Átomo de hidrógeno Gráficas de las partes angulares En la figura

Átomo de hidrógeno
Gráficas de las partes angulares
En la figura presentamos la gráfica de la función s: (1/4π)1/2
La función s es un círculo porque siempre vale (1/4π)1/2
independientemente del valor de los ángulos θ y φ.
La siguiente función es la pz y su cuadrado. La función es positiva
para los valores de θ que van de 0 a 90º, y negativa para los valores
de θ que van de 90 a 180º,
Átomo de hidrógeno
Gráficas de las partes angulares
Las funciones px y py deben graficarse con más cuidado. Por
ejemplo, la px = A senθ cosφ, puede graficarse sobre el plano xz,
haciendo φ = 0 y φ = π, o sobre el plano xy, haciendo θ = 90º.
Por su parte, la py = A senθ senφ, puede graficarse sobre el plano
xz, haciendo φ = π/2 y φ = 3π/2, o sobre el plano xy, haciendo θ =
90º.
Átomo de hidrógeno
Gráficas de las partes angulares
Se muestran las gráficas de las cinco funciones d sobre diferentes
planos
Átomo de hidrógeno
Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares
Hay forma de graficar las funciones de onda completas, con parte
radial y parte angular tomadas en cuenta.
Una de ellas es a través de “curvas de nivel”, que son los puntos del
espacio para los cuales se da el mismo valor de la función a
graficar, por ejemplo la altura de una montaña:
La aplicación de este concepto para el átomo de hidrógeno es
graficar los puntos para los cuales el cuadrado de la función de
onda 1s, por ejemplo, vale 0.1, o 0.01, o 0.001, etc.
1 Z
ρ1s (r ,θ , φ ) = 
π  a0
3
2 Zr
 − a0
 e

Se iguala esta expresión a 0.1, 0.01, 0.001 y se procede a despejar
el valor de r en cada caso, obteniéndose
r/a0
ρ1s
0.1
0.58
0.01
1.73
0.001
2.88
0.0001
4.03
0.0001
5.18
Átomo de hidrógeno
Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares
Así, podemos obtener la figura para las curvas de nivel de la
densidad de probabilidad 1s como:
De forma similar, aunque más complicada de hacer, resulta la
gráfica de las curvas de nivel de la función de densidad 2pz
Átomo de hidrógeno
Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares
En la siguiente figura presentamos la curva de nivel para la función
de densidad de probabilidad 2pz graficada conjuntamente con los
valores de la función de densidad sobre el eje z, donde puede
observarse la similitud con las curvas de nivel graficadas para una
altura de una montaña.
Átomo de hidrógeno
Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares
Las siguientes son curvas de nivel de probabilidad acumulativa para
los orbitales 2pz, 3pz, 3dxy y 3d z2. La primera corresponde al 10% de
la probabilidad de encontrar al electrón, la segunda al 20%, y así
sucesivamente hasta el 90%
Se ha marcado como una zona más obscura la que representa el
40% de la probabilidad de encontrar al electrón.
Estos son los contornos tridimensionales para la probabilidad
acumulativa del 90% en los orbitales 1s a 3d.
Átomo de hidrógeno
Valor de la energía en la ecuación de Schroedinger
El valor de la energía del átomo de hidrógeno que se obtiene al
resolver la ecuación de Schroedinger es exactamente la misma que
en el modelo de Bohr:
 Z2 
4π 2κ 2 Z 2 e 4 µ
En = −
= −2.18 aJ 2 
2n 2 h 2
n 
Lo anterior es un magnífico resultado, pues la ecuación de
Schroedinger resulta igual de predictiva del espectro del hidrógeno
que el modelo de Bohr.
Átomo de hidrógeno
Valor de la cantidad de movimiento angular en la ecuación de
Schroedinger
Las funciones de onda del hidrógeno resultan ser propias también
de los operadores asociados tanto al cuadrado de la magnitud del
momentum angular orbital como a su componente en z, de donde
pueden obtenerse los valores correspondientes a estas magnitudes
como:
L = l (l + 1)h
Lz = mh
Pauli agregó una función del espín a la función de onda del
hidrógeno, de tal forma que también el cuadrado de la magnitud del
momentum angular del espín como su componente en z fueron
operadores bajo los cuales la función de onda era una función
propia. De esta manera,
S = s (s + 1)h
S z = ms h
con s = 1 / 2
con ms = 1 / 2,−1 / 2
Estos valores del momentum angular estaban de acuerdo con las
predicciones más refinadas de los multipletes espectrales y del
efecto normal y anormal de Zeemann.