Energía y presión electrostática en sistemas de conductores

Energía y presión electrostática en
sistemas de conductores
Antonio González Fernández
Dpto de Física Aplicada III
Dpto.
Universidad de Sevilla
©2008, An
ntonio Gonzá
ález Fernánde
ez
Sinopsis de la presentación
„
Las fórmulas para la energía electrostática pueden
aplicarse a un sistema de conductores
„
La energía puede expresarse en función de los
coeficientes de capacidad
„
El resultado puede interpretarse en términos del
circuito equivalente
„
La repulsión entre las cargas de un conductor
produce una presión hacia el exterior
„
La presión permite calcular la fuerza neta sobre un
conductor
2
Energía electrostática en un sistema de
cargas
„
Una distribución de cargas almacena una energía, igual al
t b j necesario
trabajo
i para producirla
d il
©2008, An
ntonio Gonzá
ález Fernánde
ez
Ue =
1
1
1
'
q
φ
r
+
σ
φ
d
S
+
ρφ dτ
(
)
∑ i i 2 ∫S s
2 i
2 ∫V
„
La energía electrostática es una función de estado: sólo
depende de la configuración, no del proceso
„
L energía
La
í no verifica
ifi ell principio
i i i d
de superposición,
i ió ya que
φ ( r ) = φ q ( r ) + φ σ ( r ) + φρ ( r )
„
Puede calcularse a partir de la densidad de energía
Ue =
1
ε 0 E 2 dτ = ∫ u e dτ
∫
2
1
ue = ε 0 E 2
2
Ue ≥ 0
3
Equilibrio electrostático en un sistema de
conductores
„
Un conjunto de conductores
cargados
d produce
d
un campo
eléctrico entre ellos
„
Toda la carga de los
conductores está en sus
superficies
La superficie de cada
conductor es equipotencial
Q2
V1
ρ
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ez
V3
„
Q4
„
„
Cuando ρ = 0 todo el campo
se debe a los conductores
Los conductores puede estar
aislados (Q cte.)
cte ) o
conectados a un generador
(V cte.) pero no ambas
cosas a la vez.
4
Energía de un sistema de conductores
cargados (en ausencia de otras cargas)
„
La energía almacenada en
un sistema de conductores
es la de una densidad σs
1
1
d
S
σ
φ
=
∑ σ s φ dS i =
s
2 ∫∀S
2 i ∫Si
1
1
= ∑Vi ∫ σ s dSi = ∑ QV
i i
Si
2 i
2 i
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ález Fernánde
ez
Ue =
„
Es similar a la energía
g de un conjunto
j
de U = 1 q φ ' r
∑ i ( i)
e
2 i
cargas puntuales, pero para los
conductores sí incluye la contribución del Para cargas puntuales
propio
i conductor
d t
„
Requiere conocer a la vez la carga y el potencial de cada
conductor,
d t llo que obliga
bli a resolver
l
ell problema
bl
d
dell
potencial
5
Los coeficientes de capacidad relacionan
las cargas y los potenciales
„
La carga de los conductores se relaciona linealmente con los
potenciales (suponemos ρ = 0)
Qi = ∑ CikVk
k
„
En forma matricial
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ez
Q = C·V
Vector que
contiene
las cargas
„
Vector que
contiene las
tensiones
⎛ Q1 ⎞ ⎛ C11 C12
⎜ ⎟ ⎜
⎜ Q2 ⎟ = ⎜ C21 C22
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎝ QN ⎠ ⎝ C N 1 C N 2
C1N ⎞ ⎛ V1 ⎞
⎟⎜ ⎟
C2 N ⎟ ⎜ V2 ⎟
·
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟
C NN ⎠ ⎝ VN ⎠
La matriz de coeficientes de capacidad
p
„
Depende sólo de la geometría del sistema
„
Es simétrica
„
Cumple que Cii > 0 y Cik ≤ 0
(i ≠ k)
6
Energía en función de los coeficientes de
capacidad
„
Sustituyendo en la expresión de la energía
Ue =
1
1
⎛
⎞ 1
QV
Vi ⎜ ∑ Q
CikikVk ⎟ = ∑ CikViVk
∑
∑
i i =
2 i ⎝ k
2 i
⎠ 2 i ,k
Los dos sumatorios van de 1 a N.
N Incluyen los casos i = k.
k
„
En forma matricial
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ez
„
⎛ C11 C12
⎜
C
C22
VN )·⎜ 21
⎜
⎜
⎝ CN 1 CN 2
1
1
1
U e = Q·V = V·C·V = (V1 V2
2
2
2
C1N ⎞ ⎛ V1 ⎞
⎟⎜ ⎟
C2 N ⎟ ⎜ V2 ⎟
·
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟
C NN ⎠ ⎝ VN ⎠
„
Es una función cuadrática de los p
potenciales: a doble carga,
g ,
cuádruple energía
„
La condición de que Ue > 0 impone limitaciones adicionales a
los valores de los Cik (p.ej C12 ≥ − C11C22 )
7
Ejemplos: Una esfera; dos esferas
concéntricas
„
En el caso de un solo conductor
esférico
1
1
U e = QV = CV 2 = 2πε0 RV02
2
2
„
En el caso de dos esferas concéntricas
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ez
C=
4πε 0b ⎛ a − a ⎞
⎜
⎟
b − a ⎝ −a b ⎠
⎛ a − a ⎞ ⎛ V1 ⎞
2πε 0b
(V1 V2 ) ⎜
⎟⎜ ⎟ =
−
a
b
b−a
⎝
⎠⎝ V2 ⎠
2πε 0b
aV12 − 2aV1V2 + bV22 )
=
(
b−a
2πε0b
2
Ue =
a (V1 − V2 ) + ( b − a )V22 > 0
b−a
Ue =
„
Es siempre positiva
(
)
8
¿Qué ocurre si lo que se conoce es la carga
de los conductores?
„
Si el dato es la carga, se usa la matriz inversa
1
1
U e = Q·V = Q·C−1 ·Q
2
2
Q = C·V ⇒ V = C−1 ·Q
„
Para una sola esfera
Si V = cte,, Ue
aumenta con R
1
1 Q2
Q2
U e = QV =
=
2
2 C 8πε 0 R
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ez
„
Si Q = cte, Ue
di i
disminuye
con R
Para dos esferas concéntricas
C−1 =
1 ⎛1 / a 1 / b ⎞
⎜
⎟
4πε0 ⎝ 1 / b 1 / b ⎠
⎛1 / a 1 / b ⎞ ⎛ Q1 ⎞
1
1 ⎛ Q12 2Q1Q2 Q22 ⎞
Ue =
+
+
( Q1 Q2 ) ⎜
⎜
⎟
⎟⎜ ⎟ =
Q
b
b
1
/
1
/
πε
a
b
b ⎠
8πε0
8
⎝
⎠⎝ 2 ⎠
0 ⎝
9
Un ejemplo más complicado: problema 3.6
„
Tenemos una esfera con dos
cavidades en la cuales hay
cavidades,
sendas esferas.
„
Datos: V1 = V0, Q2=0,
=0 V3=0
„
El sistema es
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ez
Q1 = 2πε 0 R (V0 − V2 )
„
Y su solución
Q1 =
„
3πε0V0
2
0 = 4πε 0 R ( 4V2 − V0 )
V2 =
V0
4
Q3 = −
Q3 = 2πε0 R ( 0 − V0 )
πε0 RV0
2
La energía almacenada en el sistema
3πε0V02
1
1
1
U e = Q1V1 + Q2 V2 + Q3 V3 =
2
2
2
4
10
Si además de conductores hay
distribuciones de carga se suman
„
Si tenemos conductores en
presencia de distribuciones de
carga, la energía total es
Q2
V1
1
1
qi φ ' ( ri ) + ∑ QV
∑
i i +
2 i
2 i
1
1
+ ∫ σ s φ dS + ∫ ρφ
φ dτ
2 S
2 V
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ez
Ue =
Superficies
no
conductoras
„
ρ
V3
Q4
Qi = Qi 0 + ∑ CikVk
k
Las cargas de los conductores
incluye las contribuciones de
las cargas externas
„
El potencial φ incluye
las contribuciones de los
conductores
11
Energía almacenada en un condensador
„
Un condensador lo forman dos superficies
en influencia total,
total de modo que
Q2 = −Q1
„
La energía
L
gí correspondiente
di t all
condensador es
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ez
1
1
1
1
1
2
U ec = Q1V1 + Q2V2 = Q1V(1V1+− V(2−)Q=1 )VC
V
−
V
(
)
1
2
2
2
2
2
2
2
„
Puede demostrarse que
1
1
2
U ec = C (V1 − V2 ) = ∫ ε0 E 2 dτ
2
2 τc
En el volumen del
condensador
„
Un condensador es un dispositivo que almacena energía
eléctrica en el campo que contiene en su interior
„
Esta fórmula permite calcular C
12
Energía en el circuito equivalente: suma
de las energías de los condensadores
Un sistema de conductores se
puede modelar por un circuito
equivalente
„
Cik = −Cik
Cii = ∑ Cik
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ez
k
„
Operando en la
expresión
ió d
de lla energía
í
resulta U = 1 C V V = 1
e
∑
2
ik
i k
i ,k
„
∑C V
2
2
ii i
i
+
1
2
Cik (Vi − Vk )
∑
2 i ,k
i<k
La energía total es la suma de las energías almacenadas en
cada uno de los condensador del circuito equivalente
1
1
2
U e = ∑ Cn ( ΔVn ) = ∑ ∫ ε0 E 2 dτ
Cn
n 2
n 2
13
Ejemplo: un bloque cargado entre las
placas de un condensador (3.18)
(3 18)
„
Tenemos tres conductores:
„
V1 = V0, Q2 = Q0, V3 = 0
„
El circuito equivalente
q
está
formado por dos condensadores,
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ez
ε 0 L2
C12 = C23 = C =
b−a
una fuente de tensión V0 y una
de carga Q0
Q1 = C (V0 − V2 ) Q0 = C (V2 − V0 ) + CV2
Q1 = −
„
Q0 CV0
+
2
2
V2 =
V0 Q0
+
2 2C
Q3 = −CV2
Q3 = −
Q0 CV0
−
2
2
2
2
La energía U = 1 ⎛ − Q0 + CV0 ⎞V + 1 Q ⎛ V0 + Q0 ⎞ = CV0 + Q0
e
0
0
2 ⎜⎝ 2
2 ⎟⎠
2 ⎜⎝ 2 2C ⎟⎠
4
4C
almacenada
14
Las dos placas y el bloque: forma
alternativa usando el campo eléctrico
„
Entre cada dos superficies
planas hay un campo uniforme
E12 = E12u z
„
E 23 = E23u z
L d.d.p.
La
dd
entre
t 1 y 3 es V0
B
V0 = ∫ E·dr = E12 ( b − a ) + E23 ( b − a )
A
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ez
„
La carga en el bloque es Q0
Q0
=
ε0
„
∫
E·ddS = − E12 L2 + E23 L2
S2
Resultan los campos
⎛ Q
⎞
V0
E12 = ⎜⎜ − 0 2 +
⎟⎟ u z
ε
−
2
L
2
b
a
(
)
0
⎝
⎠
⎛ Q
⎞
V0
E23 = ⎜⎜ 0 2 +
⎟⎟ u z
L
b
a
ε
−
2
2
(
)
⎝ 0
⎠
„
La energía almacenada
1
1
2
ε
E
d
τ
+
ε0 E232 dτ =
0
12
∫
∫
C
C
2 12
2 23
Q02 ( b − a ) ε 0 L2V02
=
+
4 L2 ε0
4 (b − a )
Ue =
15
Fuerza sobre las cargas de un conductor:
siempre hacia afuera
„
Sobre las cargas de la superficie de un
conductor se ejerce una fuerza debido al
resto de cargas del universo
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ez
dF = dq E '
„
Siempre apunta hacia el exterior del
conductor
„
Las cargas tienden a salir del material pero se lo impide la
resistencia de éste (deben saltar una barrera de potencial
para escapar)
„
El resultado
lt d es que ell material
t i l se ve sometido
tid a una ttensión
ió
mecánica (presión)
„
Si la densidad de carga es muy grande, pueden conseguir
escapar e incluso romper el material
16
Relación entre la fuerza sobre dq y el
campo en el conductor
„
La fuerza sobre el elemento de carga es
dF = dq E ' = σ s dS ( E − Edq )
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ez
„
Para hallar E′ hay que descontar el campo de la propia
carga, Edq
„ El campo total es nulo en el conductor
„
El campo E′ es continuo
„
El campo Edq es simétrico
σs
n = E2 = E '+ Edq
ε0
E' =
0 = E1 = E '− Edq
dq
„
σ
σ
La fuerza sobre el
dF =
n dS =
dS
elemento de carga es
2ε 0
2ε 0
2
s
2
s
σs
n
2ε 0
σs produce la mitad
del campo;
p ; el
universo la otra mitad
17
Presión electrostática: da la
proporcionalidad entre fuerza y superficie
„
La fuerza sobre un elemento de superficie puede escribirse
dF = pe dS
„
La cantidad pe es la presión electrostática
σ 2s ε 0 2
pe =
= E
2ε 0 2
„
Establece que la fuerza
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ez
„
Va en la dirección y sentido de dS
„
ƒ Normal
N
l
ƒ Hacia fuera del conductor
„
„
Es más
E
á iintensa
t
d
donde
d ell campo en lla
superficie, o σs, es mayor
La fuerza total sobre
el conductor es
F=
∫
S
„
pe dS =
1
2
Depende cuadráticamente
del campo o de la densidad
de carga
Equivale a la densidad de
energía eléctrica justo en
la superficie del conductor
∫
S
ε 0 E 2 dS
18
Ejemplo de presión electrostática: una
esfera cargada
„
Para una esfera que almacena una carga Q
σ 2s
Q2
pe =
=
2ε 0 32π2 ε 0 R 4
©2008, An
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ez
Q
σs =
4πR 2
„
Va como R-4. Si se reduce el radio a la mitad, la presión se
multiplica
lti li por dieciséis
di i éi
„
Para 1μC en una esfera de 1cm, pe ~ 36000Pa ~ 0.35 atm
„
Para un núcleo de Helio (Q = 2e,R ~10-14m), pe ~ 37×1027Pa
„
La fuerza sobre la esfera es nula,
nula F = 0,
0 ya que dF tira por
igual en todas direcciones
„
VR
Si lo que se conoce es
E = 02 u r
la tensión V0
r
r=R
V
= 0 ur
R
ε 0 E 2 ε 0V02
pe =
=
2
2R2
19
Ejemplo: el bloque entre las capas del
condensador
„
La presión a ambos lados del
bloque central es
⎞
V0
ε
ε ⎛ Q
p21 = 0 E122 = 0 ⎜⎜ − 0 2 +
⎟
2
2 ⎝ 2ε 0 L 2 ( b − a ) ⎟⎠
⎞
ε
ε ⎛ Q
V0
p23 = 0 E232 = 0 ⎜⎜ 0 2 +
⎟⎟
2
2 ⎝ 2ε 0 L 2 ( b − a ) ⎠
©2008, An
ntonio Gonzá
ález Fernánde
ez
„
F = ∫ p21dS 21 + ∫
S21
S23
p23dS 23 =
2
2
Las presiones son diferentes,
por lo que se produce una
fuerza neta sobre el bloque:
2
⎞
⎞
ε 0 L2 ⎛ Q0
V0
ε 0 L2 ⎛ Q0
V0
u
=−
−
+
+
+
⎜
⎟ z
⎜
⎟ uz =
2 ⎜⎝ 2ε 0 L2 2 ( b − a ) ⎟⎠
2 ⎜⎝ 2ε0 L2 2 ( b − a ) ⎟⎠
Q0V0
Si no hay carga en el bloque o no
=
uz
2 (b − a )
hay d.d.p., la fuerza se anula
20
2
Ejemplo: deformación de una gota de
agua en un campo externo
Una partícula esférica descargada
inmersa en un campo uniforme
adquiere una densidad de carga
„
©2008, An
ntonio Gonzá
ález Fernánde
ez
„
Positiva hacia adonde apunta el
campo
„
Negativa
g
en el hemisferio opuesto
p
„
Nula en el “ecuador”
La presión electrostática será máxima en los polos y nula en
el ecuador
La fuerza neta es nula, pero la esfera tiende
a alargarse en la dirección del campo
„
„
Un campo muy intenso puede romper la gota
(pulverización electrostática)
„
21
Ejemplo: levitación eléctrica de una
pequeña partícula conductora
„
Una partícula hemisférica de radio
a reposa sobre un plano a tierra
„
Si se aplica un campo uniforme
hacia arriba,
arriba la partícula se carga
positivamente
La fuerza eléctrica sobre la partícula puede hacerla levitar
©2008, An
ntonio Gonzá
ález Fernánde
ez
„
⎛
a3 ⎞
φ = − E0 ⎜ r − 2 ⎟ cos θ
r ⎠
⎝
„
E = −∇φ r =a = 3Ε 0 cos θu r
Integrando sobre la semiesfera (0 < φ <2π, 0< θ < π/2)
9ε0 E02 ⌠ 2 π
F = ∫ pe dS =
⎮
2 ⌡0
„
ε0 E 2 9ε0 E02
=
pe =
cos 2 θ
2
2
(∫
π/ 2
0
)
9πε0 E02 a 2
cos θ u r a sen θ dθ dϕ =
uz
4
2
2
Igualando al peso se halla el campo necesario
9 πε0 E02 a 2 2 π 3
=
a ρm g
4
3
E0 =
8aρm g
MV
∼ 0.7
27ε0
m
Para una partícula de
aluminio de Ø=1mm
22
©2008, An
ntonio Gonzá
ález Fernánde
ez
Resumen de la presentación
„
Las fórmulas para la energía electrostática pueden
aplicarse a un sistema de conductores
„
La energía puede expresarse en función de los
coeficientes de capacidad
„
El resultado puede interpretarse en términos del
circuito equivalente
„
La repulsión entre las cargas de un conductor
produce una presión hacia el exterior
„
La presión permite calcular la fuerza neta sobre un
conductor
23
Sevilla, Diciembre de 2008