TEORÍA DE CIRCUITOS - ³ ³ TEORÍA DE CIRCUITOS LEYES DE

1/24
2/24
TEORÍA DE CIRCUITOS
CIRCUITO ELÉCTRICO
TEORÍA DE CIRCUITOS
CIRCUITO ELÉCTRICO: DEFINICIONES
CIRCUITO ELÉCTRICO REAL
CABLES
CONDUCTORES
DISPOSITIVOS
DISPOSITIVOS
ELÉCTRICOS
O ELECTRÓNICOS
ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
N1
E2
NO NUDO
(CONEXIÓN
EN SERIE)
E3
ELEMENTOS
DE CIRCUITO
ANÁLISIS DE CIRCUITOS:
1
+
DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS VARIABLES DE CIRCUITO:
v(t) = v1(t) - v2(t)
i(t) = i1(t) = i2(t)
v(t)
i2
CORRIENTES EN LAS RAMA Y TENSIONES EN LOS NODOS
LEYES DE KIRCHHOFF
MAGNITUDES Y VARIABLES IMPLICADAS EN EL ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS
Intensidad de corriente, i ( t ) = d q ( t ) , Amperio (A)
dt
Flujo magnético, φ(t), Webers (Wb)
Trabajo por unidad v ( t ) = d W ( t )
Tensión eléctrica, de carga
dq
Voltio (V)
Ley de Faraday
v( t ) = d φ ( t )
dt
- Variables relacionadas
Energía, W ( t ) =
³ p ( τ ) dτ
–∞
t
=
³ ( v ( τ ) ⋅ i ( τ ) ) dτ
, Julios (J)
–∞
d
Potencia, p(t), p ( t ) = W ( t ) = v ( t ) ⋅ i ( t ) ,Watios (W)
nombre
símbolo
factor
multiplicativo
femto
f
x 10-15
pico
p
x 10-12
nano
n
x 10-9
micro
µ
x 10-6
mili
m
x 10-3
kilo
k
x 103
mega
M
x 106
giga
G
x
109
tera
T
x 1012
dt
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RELACIÓN TENSIÓN-CORRIENTE
(LKI)
EN LOS TERMINALES
(LKV)
DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO
LEYES DE KIRCHHOFF
Prefijos empleados en las unidades
Carga eléctrica, q(t), Culombios (C)
t
CORRIENTES Y TENSIONES EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO
2
- Variables básicas
asociadas al campo electromagnético
E6
MALLA O LAZO
NUDO
DE TIERRA
ELEMENTO DE CIRCUITO
NODOS
IDEALES
E5
N0
CONEXIONES
i1
N2
E4
E1
MODELO DE CIRCUITO ELÉCTRICO REAL
CABLES
IDEALES
CONEXIÓN
EN PARALELO
NUDOS
RAMA
LEY DE KIRCHHOFF
DE TENSIÓN (LKV)
LEY DE KIRCHHOFF
DE CORRIENTE (LKI)
_
i1
v1
_
i4
N1
_
v2
v4
+
+
N2
i3
i2
+
_
i 1 + i2 – i3 –i4 = 0
v3
+
v 1 – v 2 – v3 + v 4 = 0
O BIEN
i1 + i 2 = i3 + i 4
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O BIEN
v1 – v2 – v3 = – v 4
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ELEMENTOS DE CIRCUITO
REFERENCIAS
DE CORRIENTE Y TENSIÓN
ELEMENTO PASIVO
CRITERIO ELEMENTO PASIVO
ELEMENTOS DE CIRCUITO
p( t) = v( t) ⋅ i( t) > 0
∀t
FUENTE INDEPENDIENTE
DE TENSIÓN
Consume energía o es capaz de almacenarla
i
i
+
V
i
i
+
V_
ELEMENTO ACTIVO
+
FUENTE INDEPENDIENTE
DE INTENSIDAD
i
+
v
_
V
Todo aquel que no es pasivo
v
En un circuito siempre se cumple la ecuación
∑ Potencia suministrada = ∑ Potencia consumida
v
p ( t ) = V ⋅ i( t )
Dado V > 0
p( t) > 0
si i > 0 ∀t
Elemento pasivo
Dado I > 0 p ( t ) = I ⋅ v ( t )
p( t) > 0
si v > 0 ∀t Elemento pasivo
p( t) < 0
si i < 0 ∀t
Elemento activo
p( t) < 0
R=1Ω iR
RESISTENCIA (Ω Ohmio)
R(Ω)
+
Ley de Ohm
v
_
2
2
v (t)
p ( t ) = ------------ = R ⋅ i ( t ) > 0
R
1
--- = G
R
v ( t -)
i ( t ) = -------R
p( t) = v(t) ⋅ i( t) > 0
Ley de Ohm
i1
∀t
+
V1= vR+ V2
vR
_
+
_
+
V2=3V
V1=5V
vR= 2V
i2
LKI:
Elemento pasivo
pV1 = V1 i1 = -10W < 0 Elemento activo
Elemento pasivo
pV2 = V2 i2 = 6W > 0
CIRCUITO ABIERTO
CORTOCIRCUITO
i
i
+
v
i
i
R = 0
V = 0
_
0,0
v
MODELADO DE UNA FUENTE
DE TENSIÓN REAL
R→∞
E
0,0
v
MODELADO DE UNA FUENTE
DE INTENSIDAD REAL
i
i
I = 0
+ v _
Rs
v
+
v
E
I
+
Gs v
Rs
-
v = Rs i + E
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i
I
Gs
v
i
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
i1= -iR
i2 = iR
i1= -2A
i2= 2A
vR= RiR
iR= 2A
pR = vR iR = 4W > 0
_
Elemento pasivo
v
Elemento activo
Ej: Determinar los valores de i1,i2 vR e iR.
LKV:
i
si v < 0 ∀t
¿Qué elementos son pasivos y cuáles activos? Realizar el balance energético
ELEMENTOS DE CIRCUITO BÁSICOS: Relación tensión-corriente
i
I
I
v
Capaz de proporcionar energía
-
_
i
i = Gs v + I
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELEMENTOS DE CIRCUITO
NUDO
RAMA
NO NUDO
Posibles variables incognita en un circuito:
- Intensidades y tensiones en los elementos
(en todos o en alguno/os en particular)
ELEMENTOS DINÁMICOS
- Tensiones entre dos nudos cualesquiera
CONDENSADOR (F Faradio)
+
v
_
i
i = C
dv
dt
Elemento pasivo
almacenador de energía eléctrica
i
v = L
v
_
- Intensidad en cualquiera de las ramas
Algoritmos de solución:
MALLA
ELEMENTO
1 2
W = --- Cv
2
C(F)
INDUCTANCIA (H Henrio)
+
Elemento pasivo
almacenador de energía eléctrica
di
dt
Plantear y resolver un conjunto mínimo
de ecuaciones e incognitas que permitan calcular
cualquiera de las posibles incognitas en un circuito.
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS
Identifica los nudos (son N), las ramas (son R), y las mallas independientes (son R - (N-1)).
1 2
W = --- Li
2
L(H)
Da un nombre y un sentido a la intensidad en las ramas sin fuentes de intensidad,
y da nombre y polaridad a la caída de tensión en las fuentes de intensidad (ambos tipos
de variables son las incógnitas del sistema de ecuaciones mínimo).
ic
+
I = βic
-
+
-
paso anterior
V = rm ic
ic
Si hay fuentes controladas, pon la variable de control (ic o vc) en función de las incógnitas.
FVCI
FICI
+
vc
_
Da una polaridad a la caída de tensión en los elementos.
i
FUENTES CONTROLADAS
_ v
c
V = kvc
I = gm vc
FICV
Escribe las ecuaciones de Kirchhoff en los nudos, y descarta una cualquiera.
+
Escribe las ecuaciones de Kirchhoff en las mallas, sustituyendo al tiempo la relación
tensión-intensidad que imponen los elementos de circuito.
Resuelve el sistema de ecuaciones resultante de los dos pasos anteriores.
FVCV
Escribe la variables incognita del circuito en términos de la solución obtenida en el paso anterior.
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
Dep-Leg. Nº : MA-686-2003
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: EJEMPLO
(continuación)
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: EJEMPLO
Ej: Determinar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos del
circuito de la figura (Cálculo del punto de operación o análisis dc).
R2=1Ω
R1=1Ω
R3=1Ω
E=5V
Variables cuyo valor hay que calcular:
Ej: Determinar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos
del circuito de la figura (Cálculo del punto de operación o análisis dc).
i
i
R1 R1 N1 R2 R2
R2=1Ω
R1=1Ω
_
-Tensión e Intensidad en cada uno de las
resistencias (vR1,iR1,vR2,iR2,vR3,iR3).
- Intensidad en la fuente de tensión E,( iE )
I=1A
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS
I=1A
R3=1Ω
E=5V
iE
vR1 +
+
_
1º ) N = 2 (N0 y N1) ; R = 3 (R1, R2, R3)
E
+
M = R - (N-1) = 2 (M1 y M2)
R1
N1
R1
R2 R1
R2
N1
i1
R3
E
R1
R3
M1
I
E
M2
R3
R2
R2
i3
+
R3
vI I
_
N0
N0
5º ) Cálculo de las variables que pide el enunciado
en función de las variables calculadas ende 4º)
vR1 = R1i1
iR1 = i1
N1:
i1 - i 3 + I = 0
M1: R1i1 + E+ R3i3 = 0
vR2 = R2I
iR2 = I
vR3 = R3i3
iR3 = i3
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
_
+
vI
R3
_
I
5º ) Variables que pide el enunciado
vR2 = R2I vR3 = R3i3
vR1 = R1i1
iR3 = i3
iR2 = I
iR1 = i1
vI Se calcula en 4º)
M2: R2I+ vI+ R3i3 = 0
i E = i1
Solución del sistema de ecuaciones y cálculo numérico
Método de sustitución
De N1 i1 = i3 -I
N0
3º ) Elección de Referencias de las Variables 4º ) Planteamiento del sistema de ecuaciones
de los elementos de circuito
N -1 ecuaciones de nudos y
iR1
iR2
M ecuaciones de malla
R1
N1 R2
_
_
+
N1: i1 - i3 + I = 0
vR1 + _
vR2
iE
iR3
+
+
M1: R1i1 + E+ R3i3 = 0
vR3
vI
I
E
_
+ R
M2: R2I+ vI+ R3i3 = 0
_
3
vR2
N0
4º ) Sistema de ecuaciones
2º ) Selección de variables independientes:
i1, i3,vI
iR3
vR3
-Tensión en la fuente de intensidad I, (vI ).
Aplicación del algoritmo de resolución de circuitos
+
_
De donde i1 =
sustituyendo en M1
R1i3 -R1I+ Ri3 = -E
R1I - E
-I =
R1+ R3
De M2 vI = - R2I - R3i3
i3 =
R1I - E
R1+ R3
R3I + E
R1+ R3
sustituyendo i3
vI = - R2I -
R3 (R1I - E)
R1+ R3
Sustituyendo valores numéricos
i3 = -2A
i1 = -3A vI = 1V
y finalmente
vI Se calcula en 4º)
i E = i1
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vR1 = -3V
iR1 = -3A
vR2 = 1V
iR2 = 1A
vR3 = -2V
iR3 = -2A
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
vI = 1V E = 5V
I = 1A iE = -3A
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: EJEMPLO
(continuación)
Ej: Determinar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos
del circuito de la figura (Cálculo del punto de operación o análisis dc).
+
vAB
Solución del Sistema de ecuaciones
N1:
_
i1 -
i1 - i 3 + I = 0
M2: R2I+ vI+ R3i3 = 0
i3 = - I
R1i1 + R3 i3 = -E
M1: R1i1 + E+ R3i3 = 0
v I+
+ R3i3 = - R2I
0 1 –1 vI
0 R1 R3 i =
1
1 0 R3 i
3
–I
–E
–R2 I
∆ =
iAB
B
iAB A
CIRCUITO
EQUIVALENTE
= R1 + R3
–I 1 –1
–E R1 R3
–R2 I 0 R3
– IR 1 R 3 + R 3 E – IR 2 R 3 – IR 2 R 3
v I = ------------------------------------- = ----------------------------------------------------------------------------R 1 + R3
∆
+
1 0 –R2 I
0 – E + R1 I
i 3 = ---------------------------------- = --------------------------R1 + R3
∆
+
iE2
E1
vE1
_
E2
vE2
+
i1 - i3 = - 1
vI+
∆ =
+ i3 = - 1
0 1 –1
0 1 1
1 0 1
–1 1 –1
–5 1 1
–1 0 1
–1+4–1
v I = ---------------------------- = ------------------------- = 1V
∆
2
= 2≠0
0 1 –1
0 1 –5
1 0 –1
0–5+1
i 3 = ------------------------ = --------------------- = – 2 A
∆
2
vI
–I
–1
i1 = A
–E
–R2 I
i3
V1
_
E
+
iE1= iE2 = iAB
vE1+ vE2 = vAB
_
vI
R1 R3 –R3 R1 + R3 –I
1
i 1 = ------------------- R 3
1
0
–E
R1 + R3
–
R2 I
i3
–R1 1
0
V2
V =
VN
vAB
B
_
N
¦ Vi
R =
R1
i=1
EQUIVALENTE DE
ELEMENTOS EN PARALELO
iAB
A
A
+
+
Formulación Matricial
–I
A i1 = –E
–R2 I
i3
iAB
N
0 –1 –1
0 –5 1
1 –1 1
0–1–5
i 1 = ---------------------------- = --------------------- = – 3A
∆
2
vI
B
A
B
vAB
vAB
iAB B
EQUIVALENTE DE
ELEMENTOS EN SERIE
iE1
A
_
Sustituyendo valores numéricos
i1 + i3 = -5
CIRCUITO
EQUIVALENTE
iAB B
A
B
PUERTO
+
vAB
_
0 1 –I
0 R1 –E
0 –I –1
0 –E R 3
1 –R2 I R3
0 – R3 I – E
i 1 = ---------------------------------- = -------------------------R1 + R3
∆
B
iAB A
+
Regla de Cramer
0 1 –1
0 R1 R3
1 0 R3
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ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS
EQUIVALENCIAS
iAB
A
A
A
vE1 E1
_
iE1 iE2
+
Dep-Leg. Nº : MA-686-2003
RN
iAB
E
vAB
N
I =
I2
B
¦ Ii
i=1
_
IN
+
E2
i=1
I1
vE2 vAB
_
vE1= vE2 = vAB
iE1+ iE2 = iAB
R1
N
R2
_
B
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
R2
¦ Ri
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
1
--- =
R
1
¦ ---Ri
i=1
RN
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ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS
12/24
ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS
EQUIVALENCIAS
ERRORES
N
R = 0
V = 0
-V
V
V
R =
V
R1
R2
RN
∑ Ri
i=1
I1
V1
Si
R→∞
I = 0
I
-I
I
I2
V2
Si
V1 ≠ V2
I1 ≠ I 2
I
EJEMPLO: Si es posible la asociación
y obtener un equivalente en el caso de fuentes reles
i
Rs1
DIVISOR DE TENSIÓN
i
Rb
+
+
v
Ra
_
vo
_
Ejercicio:
i Rb
v
i = ------------------Rb + R a
vo = R a i
+
Ra
v o = ------------------- v
Rb + R a
+
Ra
v
_
va ?
_
Rs2
iE1+ + iE2
E1 vE1 vE2
+
RTH i
+
E2
_ _
vo ?
v
_
ETH
v
v = RTH i + ETH
_
_
vE1 = Rs1 iE1 + E1
E
+
vE2 = Rs2 iE2 + E2
vE1= vE2 = v
iE1+ iE2 = i
R s1 R
s2
R TH = ----------------------R s1 + R s2
R s1 E 2 
 R s2 E 1
E TH =  ----------------------+ ----------------------
R
+
R
R
 s1
s2
s1 + R s2
DIVISOR DE INTENSIDAD
i
+ ib
v
_
ia
Rb
Ra
Ra Rb
v = ------------------- i
Ra + Rb
Ejercicio:
io?
i
vi a = ----Ra
Rb
i a = ------------------- i
Ra + Rb
v
i b = -----Rb
Ra
i b = ------------------- i
Ra + Rb
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
ia?
+ ib
v
_
Rs1 iE1 + E1 = Rs2 iE2 + E2
iE2 = i - iE1
Rb
Ra
Rs1 iE1 + E1 = Rs2 (i - iE1) + E2
R s2
E2 – E1
i E1 = ----------------------- i + ----------------------R s1 + R s2 R s1 + R s2
R s1 R
R s1 E 2 
 R s2 E 1
s2
v = ----------------------- i +  ----------------------+ ----------------------
R s1 + R s2  R s1 + R s2 R s1 + R s2
v = Rs1 iE1 + E1
I
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ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS
EQUIVALENTES THEVENIN Y NORTON
A
Elementos de Circuito
Resistencias,
Fuentes de Tensión
Fuentes de Corriente
i
ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS
EQUIVALENTES THEVENIN Y NORTON: Ejemplo
NORTON
RTH
R1
R2
+
I1
VI
V1
CÁLCULO DE LA TENSIÓN THEVENIN:
v
_
R1
_
+
R2
_
i
I1
B
(c)
VI
+
_
+
(b)
_
V1
+
i2
i3
+
_
(a)
(a) ETH = -i3R3
ETH
R3
(b) ETH = i2R2 + V1
+
(c) ETH = i2R2 + I1R1 + VI
_
EQUIVALENTE THEVENIN
EQUIVALENTE NORTON
i
i
ETH
RTH
v
+
v
ETH
IN
RTH
+
Gs v
-i3R3 = i2R2 + V1
i3(R3 + R2) = - V1
i2 = i3
i
-IN
-
-
v
GN
i
v = RTH i + ETH
RN = RTH
IN = ETH/ RTH
THEVENIN
+
CIRCUITO
EQUIVALENTE
i3 =
- V1
ETH =
(R3 + R2)
R3 V1
(R3 + R2)
CÁLCULO DE LA RESISTENCIA THEVENIN:
SE ANULAN LAS FUENTES:
i = GN v - IN
RN
_
A
B
IN
ETH
R3
14/24
I1 = 0
I1
V1 = 0
V1
GN = 1/RTH
R1
ETH TENSIÓN THEVENIN
R2
ETH = v cuando i = 0
R3
RTH RESISTENCIA THEVENIN
R2
R3
RTH = R2 || R3
RTH = R2R3/ (R2 + R3)
Es la resistencia equivalente vista desde los terminales A y B
cuando se anulan las fuentes independientes
INTENSIDAD Y RESISTENCIA NORTON:
IN INTENSIDAD NORTON
IN = ETH / RTH
RN = RTH
RN RESISTENCIA NORTON
IN = V1/ R2
RN = RTH
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IN = ETH/ RTH
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Ejemplo de análisis: Circuito con fuentes controladas
Ejemplo de análisis: Circuito con fuentes controladas
Ej: Determinar la tensión en el nudo 1 (N1) y la corriente iB en el circuito
de la figura.
iB
R2=0,8kΩ
R1=2kΩ
Ej: Determinar la tensión en el nudo 1 (N1) y la corriente iB en el circuito
de la figura (Continuación).
N1
R3=1kΩ
VB=0,7V
I = β iB
_
Variables cuyo valor hay que calcular:
-Tensión en el nudo (N1) ( vN1 )
VC=5V
iR1
R1 N1
i B = i1
+
- Intensidad ( iB )
_
vI
β= 50
1º ) N = 2 (N0 y N1) ; R = 3 (R1, R2, R3)
M = R - (N-1) = 2 (M1 y M2)
R2
R2
R1
2º ) Selección de variables independientes:
i1, i2,vI
iB
i1
VB
VB
M2 VC
M1
I = βiB
N0
R2
R2
R1
N1
R3
R3
i2
+
vI
_
VC
N0
+
_
VB
vR1 + +
vR3
vI
_
+
_
+v
R2
iR3
_
R3
VC_
vN1 = R3βi1+ vI
o bien
I = βi 1
_
vN1 = R1i1+ VB
+
VC_
I = β i1
N1:
i1 + i2 + βi1 = 0
M2: R2i2 + VC - vI - R3βi1 = 0
¡Basta con calcular
i1 + i2 + βi1 = 0
i1 para evaluar iB y vN1 !
( β+ 1) i1 + i2 = 0
(a)
M1: R1i1 + VB - vI - R3βi1 = 0
(b) vI - (R1 - R3β) i1
M2: R2i2 + VC - vI - R3βi1 = 0
(c) vI +
i2 = -( β+ 1) i1
De (a)
Restando (d)- (b) se obtiene
Y finalmente
i1 =
= VB
R3β i1 - R2 i2 = VC
sustituyendo en (c) se obtiene
(d) vI + [R2 ( β+ 1) + R3β] i1 = VC
{ [R2 ( β+ 1) + R3β] + (R1 - R3β) } i1
= VC − VB
VC − VB
R2 ( β+ 1) + R1
Al sustituir los valores numéricos hay que tener cuidado con las unidades en las que
vienen expresadas los diferentes elementos
i1 =
5V − 0,7V
4,3V
0,8kΩ x ( 50+ 1) + 2kΩ
Y finalmente
iB = i 1
vN1 = R1i1+ VB
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vN1 = R2i2+ VC
Solución del Sistema de ecuaciones
M1: R1i1 + VB - vI - R3βi1 = 0
N0
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o bien
I = β i1
3º ) Elección de Referencias de las Variables 4º ) Planteamiento del sistema de ecuaciones
de los elementos de circuito
N -1 ecuaciones de nudos y
iR2
iR1
iB = i1
M ecuaciones de malla
R1 N1
R2
_
+
R3
R1=2kΩ R2=0,8kΩ R3=1kΩ
VB = 0,7V VC = 5V β= 50
N1:
R1
N1
R3
R3
_
N0
Aplicación del algoritmo de resolución de circuitos
iB
vR2
5º ) Cálculo de las variables que pide
el enunciado en función de las variables
calculadas ende 4º)
iB = i1
R2
iR3
_
+
N0
R1
+
vR1 + +
vR3
VB
iR2
=
42,8kΩ
= 0,10 mA
iB ≅ 0,10 mA
vN1 ≅ 2kΩ x 0,10 mA+ 0,7V ≅ 0,9V
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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
i
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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores
vs
Ra
i
VA
+
vs
t
iC
V
vo
Ra
R
_
iC = C
VA
+
C
2
t
vo
Ra
Ecuación diferencial lineal
con coeficientes constantes
de primer orden
_
v C = Ke
Solución
T
T grande
T pequeño
– αt
dt
C
– αt
vx
+
+
vy
_
_
+
vx
vy
Cout
vC
V- = 0
- – ------+ ------RC RC
dv C
= – αKe
– αt
– αt
, sustituyendo ambas arriba
– αt
K
β
V
 ------- – αK e
+ -------- – -------- = 0
 RC

RC RC
+ β- – ------Ke
V- = 0
+ ----------------------RC
RC
t
β - – ------V- = 0
------RC RC
K- – αK = 0
 ------ RC

VIL
1
α = -------RC
vy
+
dt
V – vC
= --------------R
Esta expresión ha de ser válida para cualquier valor de la variable t por lo que
se ha de cumplir simultaneamente que
VIH
vx
dv C
donde K, α y β son constantes por determinar
+β
Dada esta solución y por tanto que
– αKe
Cin
dt
dv c
dt
_
dv C
vo
Ra
vs
iC = i
_
T
i
+
vC
C
V – vC
i = --------------R
iR + v C – V = 0
β = V
Con lo que hemos determinado el valor de dos de las tres constantes de forma que
VOH
la solución puede escribirse ahora
t
v C = Ke
t
– -------RC
+V
K se calcula a partir de la condición inicial vC (t=0) = v0.
_
VOL
Finalmente
Real
Ideal
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v C = ( v 0 – V )e
t– ------RC
K = v0 – V
t
+V
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V – v 0 – ------RC
i C =  --------------- e
 R 
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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores
i
R
+
iC
V
v C = ( v 0 – V )e
t
t=0
C
+
– -------
RC
vC = V  1 – e



V
V
vC
t
_
V/R
(1/e)(V/R)
t
τ = RC
Descarga del condensador
V
C
vC
_
t2
vC = v0e
t
– -------RC
(v0/e)
iC
t4
τ = RC
t
tf = t4 − t3
Cálculo de tf
τr = CRC constante de tiempo
durante la carga
τf = CRD constante de tiempo
durante la descarga
vC = v0e
– ----

τr
0, 1V = V  1 – e 




– ---t
τf
t 1 ≈ 0, 1τ r
0, 9v 0 = v 0 e
t
– ---2-

τr
0, 9V = V  1 – e 




τ = RC
t
tr = t2 − t1
tf
t1
t
v – ------RC
i C = – ----0- e
R
t3
t
v0
i
+
tr
t
0,1v0
– ----

τr
vC = V  1 – e 




vC
vC (t=0) = v0
iC
t1
Cálculo de tr
τ = RC constante de tiempo
R
t
0,1V
iC
t
– --------
t=0
v0
0,9v0
V(1-1/e)
τ = RC
V RC
i C = --- e
R
V = 0
vC
vC
t
iC
Descarga del condensador
vC
0,9V
v0 = 0
V
Tiempo de bajada tf
Tiempo de Subida tr
Carga del condensador
+V
V – v 0 – ------RC
i C =  --------------- e
 R 
_
Carga del condensador
R
t
– -------RC
vC
C
i
CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores
Tiempo de Subida tr y tiempo de bajada tf
t 2 ≈ 2, 3τ r
t r ≈ 2, 2τ r
0, 1v 0 = v 0 e
t
– ---3
τf
t
– ---4
τf
t 3 ≈ 0, 1τ f
t 4 ≈ 2, 3τ f
t f ≈ 2, 2τ f
-v0/R
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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores
Respuesta para un tren de pulsos
Si el interruptor S conmuta con frecuencia f = 1/T
Ej: En el circuito de la figura, el interruptor S1 se cierra en el instante t =0 s.
y se vuelve a abrir en el instante t = 4 ms. Si inicialmente el condensador está
descargado, encuentra la expresión de vC (t) para t ≥ 0
Dibuja esquemáticamente la forma de onda de onda de vC
y ton= toff
i
S on R
V
con T= ton+ toff
CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Ejemplo
+
iC
off
va
C
_
va
+
V
vC
ton
T
R3
toff
S1
I
t
_
t = 0s t = 4 ms
R1
E
R2
E=5V
I=10mA C = 10µF
+
iC
R4
vC
C
_
R1=6kΩ
R2=4kΩ
R3=2kΩ
R4=3kΩ
0
R
va
T > tr+tf
vC
ton >> tr= tf
V
i
iC
+
C
_
t
vC
0
T ≅ tr+tf
ton ≅ tr= tf
0,9V
Tiempo de subida
0,1V
0
Tiempo de bajada
t f ≈ 2, 2τ f
C
vC
Constante de tiempo
τf = τr = CR
t r ≈ 2, 2τ r
Según el enunciado para valores 0 ≤ t ≤ 4 el interruptor S1 está cerrado por lo que
se tiene el siguiente circuito, y donde el condensador, que esta inicialmente descargado
comenzara a cargarse.
Rc
i
0 ≤ t ≤ 4 v0 = v C ( 0 ) = 0
R1
R3
iC +
Veqc
S1
iC +
vC
C
I
E
R4
R2
_
vC
_
t
– ----------

R c C
v C = V eqc  1 – e




t
Por otra parte, para t ≥ 4 el interruptor S1 se abrirá
por lo que se tendrá el siguiente circuito, donde ahora el condensador,
que posee una carga inicial que corresponde al valor que en el caso anterior se alcanza
en el instante t=4, se descargará. Asi, en este circuito de descarga, el instante inicial
corresponde a t=4 y por tanto v 0 = v C ( 4 ) calculada a partir de la expresión
4
obtenida en el caso anterior.
– ----------

T ≅ τ r= τ f
ton ≅ τr= τf v
C
0,9V
t
0,1V
0
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
R3
I
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E
R2
t ≥ 4 v 0 = v C ( 4 ) = V eqc  1 – e

S1
iC
+
C
_
R4
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
vC
R c C


vC = v0e
t
– ---------Rd C
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24/24
CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Ejemplo (Continuación)
CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS
ANÁLISIS TRANSITORIO: Ejemplo (Continuación)
Durante el proceso de carga, 0 ≤ t ≤ 4 se tiene,
v 0 = vC ( 0 ) = 0
Rc
i
Durante el proceso de descarga, t ≥ 4 se tiene,
4
A
+
iC
Veqc
4– ----------
– ----

R c C
12

v 0 = v C ( 4 ) = V eqc 1 – e
= 3  1 – e  = 0, 85V






t
– ----------

R c C
v C ( t ) = V eqc  1 – e




vC
C
R3
_
S1
I
B
E
Veqc es la tensión Thevenin, mientras que Rc es la resistencia Thevenin
R3
A
S1
I
E
+
iC
R4
R2
B
C
E=5V
I=10mA C = 10µF
vC R1=6kΩ
R3=2kΩ
R2=4kΩ
R4=3kΩ
_
_
vC
t≥4
vC ( t ) = v0e
v C ( t ) = 0, 85e
t
– ---------Rd C
t
– -----30
vC (V)
R3
R3
R1
A
S1
E
C
τd = CRd = 30ms
Rd = R4 = 3kΩ
- Cálculo de Veqc.
I
+
R4
R2
visto desde los terminales A y B
R1
iC
R4
R2
S1
+
E
Veqc
3
+
R4
R4
V eqc = E ------------------R3 + R4
_
_
B
V
3(1-1/e)2
Veqc = 3V
0,85 1
- Cálculo de Rc.
R1
τc = CRc = 12ms
R3
A
S1
R2
R4
R4 R3
R c = -----------------R3 + R4
Rc = 6/5kΩ
B
Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos
t
– -----
12
vC( t ) = 3 1 – e 


0,85/e)
t (ms)
0
0
4
8
12 16 18 20 22 24 26 28 30 34
τd = 30ms
τc = 12ms
0≤t≤4
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