Aplicaciones Lineales del Amplificador Operacional

3y4
Aplicaciones Lineales del
Amplificador Operacional
Esta Práctica permite un primer contacto con el uso del amplificador operacional de tensión
como bloque básico para el diseño de circuitos analógicos. Para ello se montan varios circuitos
con un amplificador operacional de propósito general en el rango de audio frecuencias. Estos
circuitos implementan operadores lineales básicos, como sumadores, integradores, etc.
Mediante la observación de los comportamientos experimentales de los circuitos, y la
comparación de éstas con las previsiones de los modelos teóricos, se pretende desarrollar
intuición sobre las condiciones necesarias para reducir los errores en circuitos con opamps.
1. Objetivos
• Verificar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de diferentes
circuitos de procesamiento de señal basados en el amplificador
operacional de tensión. En concreto:
- sumadores/escaladores,
- integradores, diferenciadores y
- filtros activos de primer orden: paso de baja, de alta y de
banda.
• Contrastar los resultados medidos en el laboratorio con los obtenidos
mediante análisis a mano y mediante simulación.
• Desarrollar intuición sobre los límites de operación “correcta” de estos
circuitos básicos, y los errores que degradan tal operación.
Los montajes experimentales se realizan usando:
µA741
V–
V+
V DD
Vo
V SS
Patilla #2
Entrada negativa
Patilla #3
Entrada positiva
Patilla #6
Salida
Patilla #4 Polarizacion negativa
Patilla #7 Polarizacion positiva
•resistores lineales (resistencias)
componentes pasivos, y
y
condensadores
como
•opamps de propósito general (µA741) como componentes
activos.
La figura al margen muestra el patillaje del opamp µA741. Las
patillas se numeran en sentido anti-horario empezando por la
marcada con el punto, que es la patilla 1. Las características
eléctricas del opamp µA741 están resumidas en al Anexo 1, cuya
lectura se recomienda como paso previo a la realización de la
práctica.
Técnicas Experimentales en Electrónica
Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional
2
2. Análisis Previo
El montaje experimental deberá hacerse sólo después de haber analizado
los circuitos incluidos en la práctica. Esto significa la perfecta comprensión de
su operación nominal, esto es, la que corresponde al caso donde todos los
componentes funcionan según sus modelos ideales. La influencia de los parásitos y no-idealidades de tales componentes, en particular los del opamp, debe
también ser analizada a priori, aunque sea sólo de forma aproximada.
No Olvide
Polarizar
2
V DD
v−
7
v+
4
vo
3
V SS
6
Tal como le recuerda la viñeta de la izquierda, tenga presente que los
opamps, como cualquier otro dispositivo activo, sólo amplifican si se los
polariza adecuadamente. Afortunadamente, la polarización es muy sencilla en el caso de los opamps; basta conectar dos fuentes DC, que pueden variar dentro de los límites especificados por el fabricante. En esta
práctica se usará:
• V DD = 15V y
• V SS = – 15 V .
En relación con la polarización tenga muy en cuenta lo siguiente:
• La conexión de las polarizaciones a terminales distintos de los
indicados en las hojas de características lleva al mal-funcionamiento,
o incluso la destrucción, del circuito.
• Las excitaciones del circuito sólo deberán aplicarse tras haber
polarizado correctamente.
• Al dejar de usar el circuito, deberá primero anular las excitaciones y,
después, apagar las fuentes de polarización.
Para realizar el estudio téorico de los circuitos propuestos en la práctica
deberá proceder en dos pasos:
1) Primero analizará la operación nominal del circuito, y obtendrá la
correspondiente relación entre entradas y salidas usando el modelo
ideal del opamp que se muestra en la Fig. 1, donde para simplificar el
dibujo hemos renunciado a mostrar explícitamente las polarizaciones.
2) Una vez que haya calculado, y comprendido, la operación ideal del
circuito, deberá estudiar la influencia de los comportamientos no-ideales del opamp, al menos la de los más significativos de entre ellos.
Para ello usará el modelo distinto del ideal, y que se especificará más
adelante.
vo
v−
v+
vo
vo
va
v−
v+
f ( va )
Fig. 1 Modelo ideal de un opamp.
Técnicas Experimentales en Electrónica
E S+
va
– E S−
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3
2.1. Modelo Ideal del Opamp
Las características del modelo ideal de la Fig. 1 son:
- Resistencia de entrada infinita. Esto implica que las
intensidades que circulan por ambas entradas son
nulas; esto es, los terminales de entrada del opamp no
cargan a los circuitos conectados a ellos.
Análisis Basado en el
Principio de Tierra Virtual
El principio de tierra virtual permite
simplificar el análisis de circuitos
con opamps. Se basa en que el
modelo ideal prevee tensión de
entrada diferencial nula (esto es
tensión de entrada positiva igual a
la negativa) en zona lineal. Esto se
aprovecha a la hora de analizar
procediendo como sigue:
•
El nudo de salida se asimila
a una fuente de tensión v o .
•
A cada uno de los nudos de
entrada se le asocia una
tensión nodal, respectivamente v + y v .
•
−
- Tensión de salida, v 0 , independiente de la carga; es
decir, el opamp se comporta como si su resistencia de
salida fuese nula, lo que es característico de una fuente
de tensión. Tal como se muestra en la Fig. 1, la tensión
de salida puede variar, dependiendo de los componentes conectados al opamp, en el intervalo
( – E S −, E S+ ) . Para tensiones de salida dentro de este
intervalo el opamp opera en zona lineal. La tensión de
salida no puede ser mayor que E S+ , ni menor que
– E S − . Cuando la tensión de salida toma uno de estos
valores extremos se dice que el opamp funciona en
zona de saturación en tensión.
- Ganancia infinita en zona lineal. Esto equivale a decir
que en esta zona la tensión de entrada v a es nula,
Se formula KCL en cada
nudo
de
entrada,
despreciando la intensidad
que “entra” al opamp.
•
Las dos ecuaciones así
obtenidas se combinan en
una, aprovechando que las
dos tensiones de entrada
son iguales.
•
Se
escriben
otras
ecuaciones de nudo si las
hubiera, y se resuelve el
sistema de ecuaciones.
•
Se comprueba que la
tensión de salida no supera
los límites de la zona lineal.
va → 0 ⇒ v− = v+
(1)
lo que constituye la base del llamado principio de tierra virtual, usado comúnmente para analizar, en primera aproximación,
circuitos
que
contengan
amplificadores operacionales.
Recuerde que el principio de tierra virtual sólo es válido en zona
lineal. Fuera de esta zona, cuando la tensión de salida toma uno de
los valores límite, el módulo de la tensión de entrada puede tomar
cualquier valor. En realidad, fuera de la zona lineal la tensión de
salida adquiere cierta independencia respecto a la tensión de
entrada; de hecho, fuera de esta zona lineal la tensión de salida
sólo depende del signo de la tensión de entrada,
⎧ E S+
vo = ⎨
⎩ –ES−
, for v a > 0
, for v a < 0
(2)
2.2. Modelo de Segundo Orden para el Opamp
El circuito que se muestra en la Fig. 2 modela los siguientes comportamientos no-ideales del opamp:
- Ganancia finita en DC. Capturada por el producto,
A 0 ≡ g ma ⋅ R a
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(3)
Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional
Es−
Es+
v+
v−
IB+
IB−
Eos
Rin
4
vb
ISo
ISR
Ca
va
gmava
Ra
gmovb
vo
Ro
g mo ⋅ R o = 1
Fig. 2 Modelo de Segundo Orden de un Amplificador Operacional
El valor típico de este parámetro en el caso del µA741
es de 105 ó 100dB.
- Ganancia dependiente de la frecuencia. En este modelo la
dependencia queda modelada por un polo localizado en,
1 g ma
ω a = ------ -------2π C a
(4)
Hz
El valor típico de este parámetro es 30Hz para el µA741. La
ganancia dependiente de la frecuencia en zona lineal queda
capturada por la siguiente función de transferencia:
A0
A ( s ) = ---------------s
1 + -----ωa
(5)
Otra forma de caracterizar el comportamiento en frecuencia,
es a través del denominado producto ganancia-ancho de
Banda ó GB del A.O., que se define
GB = A 0 ⋅ ω a
con un valor típico entre 0.5 -1.5MHz.
- Resistencia en entrada en modo diferencial. Representada
por R in , con un valor típico de 2MΩ para el µA741.
- Resistencia de salida. Representada por R o , con un valor
típico de 75Ω .
- Tensión de offset de entrada. Capturada por E os , con valor
típico de 2mV.
- Corrientes de entrada. Capturadas por I B ± , con valores
típicos de 80nA, y offset (diferencia) de 20nA.
- Saturación de tensión de salida. Capturada por las fuentes
de tensión E S+ y E S − . Sus valores dependen de la polariza-
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(6)
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5
ción; con V DD = – V SS = 15V , los límites de saturación
para el µA741 son E S+ ≈ 14V y E S − ≈ 13.5V .
- Saturación de corriente de salida. Capturada por la fuente de
tensión I So con un valor típico, para V DD = – V SS = 15V ,
I So ≈ 25mA .
- “Slew-Rate”, o máxima razón de cambio de la tensión de
salida. Ésta viene dada por,
I SR
SR = ------Ca
(7)
que es la “velocidad” máxima a la que se puede cargar, o
descargar, el nudo v a . Típicamente SR ≈ 0.6V/µs para el
µA741.
3. Estudio Experimental de Circuitos Sumadores/Escaladores
3.1. Operación Nominal
Entre las aplicaciones lineales del amplificador operacional se encuentra su
uso como sumador/escalador; esto es como un circuito capaz de realizar una
combinación lineal de señales de entrada:
vo =
v1−
v2−
R2 −
A
vn−
v 1+
v 2+
v m+
RF
R0−
∑ Gj− ⋅ ( vA – vj− ) + G0− ⋅ vA
+
R 2+
B
R 0+
=
(9)
j
−
R 1+
R m+
(8)
donde los factores de escala son controlados
por relaciones entre resistencias. La Fig. 3
muestra la topología genérica de un sumador/
escalador. Aplicando la técnica de análisis
basada en el principio de tierra virtual se
obtiene:
R1−
Rn −
∑ ki+ ⋅ vi+ – ∑ kj − ⋅ vj −
= GF ⋅ ( vA – v0 )
v o para el nudo de entrada negativo, y:
∑ Gi+ ⋅ ( vB – vi+ ) + G0+ ⋅ vB
= 0
(10)
i
para el nudo de entrada positivo. De esta última
ecuación puede despejarse v B y, dado que
Fig. 3 Sumador/Escalador Genérico.
v A = v B , sustituirlo en la ecuación de arriba.
Así, se obtiene:
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6
Gj−
G i+
v 0 = – ∑ -------- ⋅ v j − + ∑ -------- ⋅ v i+
GF
GF
j
(11)
i
siempre que se cumpla:
G0−
Gj−
G 0+
G i+
1 + --------- + ∑ -------= --------- + ∑ ------GF
GF
GF
GF
j
(12)
i
Este circuito tiene las siguientes propiedades de interés:
• Tanto los pesos negativos como los positivos pueden ser ajustados,
uno a uno, mediante un cociente de resistencias (equivalentemente de
conductancias) distinto para cada peso.
• Una de las conductancias G 0 − ó G 0+ puede ser siempre nula.
Dependiendo del valor acumulado de los pesos positivos, por una
parte, y de los pesos negativos, por otra, podrá anularse una otra de
estas conductancias, de acuerdo a las siguientes ecuaciones:
⎛
⎞
G 0+ = G F ⋅ ⎜ 1 + ∑ k j − – ∑ k i+⎟
⎝
⎠
i
j
G0− = 0
⎛
⎞
G 0 − = – G F ⋅ ⎜ 1 + ∑ k j − – ∑ k i+⎟
⎝
⎠
j
i
, si K + < K −
(13)
, si K + > K −
G 0+ = 0
donde K + es la suma de pesos positivos, y K − la de pesos negativos.
Recuerde que anular una conductancia equivale a eliminar el correspondiente
resistor lineal.
3.2. Circuito Experimental
En la Fig. 4 se muestra un circuito sumador/escalador de dos entradas; una
positiva y otra negativa. Los factores de escala pueden calcularse como:
R2
k 1 − = -----R1
R1
R1
R2
v 1−
vo
v 1+
R3
R4
k 1+
R2
R2
1 + -----R1
= --------------R3
1 + -----R4
(14)
R3
R4
v1−
v 1+
entrada
Caso 1
10kΩ 20kΩ
0
∞
tierra
Caso 2
10kΩ 20kΩ
∞
0
entrada
Caso 3
100Ω 100Ω
∞
0
entrada
Caso 4
1kΩ 100kΩ 100kΩ 1kΩ
tierra
entrada
Fig. 4 Esquema del circuito a usar en el montaje experimental del sumador/escalador.
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7
Se deberá montar este circuito para cada uno de los casos de valores de
elementos que se recogen en la Tabla anexada a la figura. Proceda como
sigue:
1) En el caso 1, aplique una tensión de entrada sinusoidal, centrada en
cero, de 2Vpp@1kHz . Visualice el comportamiento del circuito
utilizando el osciloscopio, tanto en modo temporal como en
modo XY. Compruebe que el circuito amplifica tal como prevé la
ecuación (14) con los valores de elementos de la Tabla.
2) Sin cambiar de caso, aumente la amplitud de la entrada hasta observar la influencia de la saturación de la tensión de salida. Visualice la
operación tanto en modo temporal como en modo XY. Mida el
valor de la tensión de saturación del A.O.
3) En el mismo caso, y con la amplitud del punto 1), aumente la frecuencia hasta observar que la señal de salida se deforma de manera apreciable. Anote la frecuencia. Visualice la operación tanto en modo
temporal como en modo XY. Mida el valor de la pendiente de la
señal de salida y compárela con el valor del SR del A.O. dado por
el fabricante. Explique porqué se produce este comportamiento
no-lineal del A.O.
4) Monte el circuito que corresponde al caso 2) de la Tabla. Aplique una
tensión de entrada sinusoidal, centrada en cero, de 2Vpp@1kHz .
Repita el Apartado 1 de esta Sección.
5) (Realice este caso mediante simulación con PSPICE). Para el
caso 3) de la Tabla, aplique una tensión de entrada sinusoidal, centrada en cero, de amplitud 2Vpp@1kHz . Obtenga la ganancia y compare con la ecn. (14). Aumente la amplitud hasta observar que la
operación se desvía notoriamente respecto a la teórica. Visualice la
operación en modo XY, y justifique el resultado en base a la
Intensidad de saturación del A.O.
6) En el caso 4), aplique una señal cuadrada de 2kHz@2Vpp . Visualice en modo temporal el comportamiento del circuito y explique
las desviaciones que observa respecto al comportamiento previsto por el modelo ideal. Utilice un modelo de polo dominante y
obtenga una medida del valor del GB del A.O. utilizado.
4. Estudio Experimental de Integradores y Diferenciadores
4.1. Operación Nominal
Los circuitos mostrados en la Fig. 5 son respectivamente un diferenciador,
Fig. 5(a), y un integrador, Fig. 5(b). Su operación nominal se puede deducir,
tanto en el dominio del tiempo, como en el de la frecuencia, usando el principio
de tierra virtual. En ambos casos, este principio indica que la tensión en la patilla negativa del opamp es igual a cero. Por lo tanto, en el elemento de entrada
(condensador para el diferenciador y resistor para el integrador) cae la tensión
de excitación v s . Conocida esta tensión es, pues, inmediato calcular la intensidad proporcionada por la fuente de tensión; basta aplicar la ecuación constitutiva del correspondiente elemento de entrada para obtener:
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8
⎧v
⎪ ----s
⎪R
is ( t ) = ⎨
⎪ dv
-s
⎪ C ------⎩ dt
circuito integrador
(15)
circuito diferenciador
Como modelo ideal del opamp supone resistencia de entrada infinita, esta
intensidad circula por el elemento de realimentación, produciendo,
⎧ 1 t
circuito integrador
⎪ – ---- i s ( t ) ⋅ dτ + v o ( 0 )
v o ( t ) = ⎨ C ∫0
⎪
–R ⋅ is ( t )
circuito diferenciador
⎩
(16)
Combinando las dos ecuaciones anteriores es inmediato obtener las
siguientes relaciones entrada-salida para ambos circuitos:
⎧
1 t
⎪ – ------------ ∫ v s ( t ) ⋅ dτ + v o ( 0 )
circuito integrador
⎪ R⋅C 0
vo ( t ) = ⎨
dv s
⎪
– R ⋅ C ⋅ -------circuito diferenciador
⎪
dt
⎩
(17)
En ambos casos la dinámica está controlada por una constante de tiempo
τ = R ⋅ C.
4.2. Estudio Experimental
En ambos circuitos anteriores se usarán los siguientes valores de elementos:
•
•
R = 10kΩ
C = 10nF
En cada uno de los montajes experimentales que realice debe tener cuidado
para aplicar las polarizaciones correctamente.
1) Monte el circuito diferenciador y aplique una señal sinusoidal de
entrada con:
- frecuencia f = 500Hz ; y amplitud A i = 1V .
La salida debe ser otra señal sinusoidal con:
- un retraso de fase de 90° , y
is
vs
is
vs
R
vo
C
(a)
R
(b)
Fig. 5 : a) Circuito diferenciador. b) Circuito integrador
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C
vo
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9
- una amplitud dada por A o = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ R ⋅ C ⋅ A i
Compruebe que efectivamente ocurre esto, y describa cualquier
desviación que observe.
2) Cambie la frecuencia en una década por arriba y otra por debajo,
manteniendo la amplitud de la entrada. Compruebe que la amplitud
y la fase de la salida siguen quedando descritas por las mismas
ecuaciones.
3) Monte ahora el circuito integrador y aplica la señal sinuosidal del
punto 1). Según el modelo ideal, debería obtener una señal sinusoidal
de salida tal que:
- presenta un adelanto de fase de 90° ,
A
2⋅π⋅f⋅R⋅C
i
- tiene una amplitud A o = --------------------------------- .
Si embargo, al montar el circuito es más que probable que observe que
la señal obtenida a la salida no se ajusta a este comportamiento.
Describa lo que observe y trate de explicarlo teniendo en cuenta la
tensión de offset a la entrada y las intensidades de entrada del opamp
(ver Fig. 2).
6
4) En el circuito integrador, inserte una resistencia R F = 10 Ω
paralelo con el condensador. Esto tiene un doble efecto:
en
- Por una parte cambia la función de transferencia del circuito,
1
1
– --------- → – k ⋅ -------------------------τ⋅s
1+τ⋅k⋅s
(18)
Esto significa que la función de integrador se consigue de
forma aproximada, siempre que se cumpla la siguiente condición sobre la frecuencia:
τ⋅k⋅2⋅π⋅f»1
Compruebe que efectivamente es así. Note que k debe
ser grande si se desea que la operación de integración
tenga validez para frecuencias bajas.
- Por otra parte, la tensión de offset de entrada aparece a la
salida amplificada por 1 + k . Si k se escoge grande para
obtener operación correcta a baja frecuencia, el factor de
amplificación del “offset” resulta ser más que notorio,
pudiendo ser necesaria la introducción de una tensión DC
externa (desplazar la sinusoide de entrada) para contrarrestar el offset. Compruebe esto en el laboratorio. Tenga en
cuenta que este procedimiento no sería válido en circuitos
prácticos porque el offset presenta cambios transitorios más
que notables.
Técnicas Experimentales en Electrónica
(19)
Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional
10
5. Estudio de Filtros Activos de Primer Orden
5.1. Estudio Teórico
Los filtros electrónicos son un bloque constitutivo fundamental en los sistemas de instrumentación y comunicación y, por lo tanto, una de las aplicaciones
más frecuentes de la electrónica analógica lineal. El diseño de filtros puede
ocupar varias asignaturas. Nuestro objetivo en este sub-apartado es simplemente ilustrar la operación de un filtro mediante:
• el estudio experimental de filtros paso de baja y de alta con funciones
de transferencia de primer orden
• la conexión de cascada de dichos filtros para conseguir filtros paso de
banda de primer orden.
Considere los circuitos mostrados en la Fig. 6. El análisis de los mismo
usando el principio de tierra virtual permite obtener sus funciones de transferencia:
H(s)
H(s)
paso de alta
V o1 ( s )
s
= ---------------- = k 1 ---------------s
V s1 ( s )
1 + -----ω1
paso de baja
V o2 ( s )
1
= ---------------- = k 2 ---------------V s2 ( s )
s
1 + -----ω2
(20)
Obtenga en ambos casos los valores de los parámetros k 1, k 2 , ω 1 , ω 2
de estas ecuaciones en función de los elementos del circuito.
5.2. Montaje Experimental
Monte en el laboratorio ambos filtros utilizando los siguientes valores de los
elementos:
R 1 = 10kΩ
R 2 = 1kΩ
C 1 = 100nF
C 2 = 10nF
R F1 = R F2 = 10kΩ
R I1 = R I2 = 10kΩ
R F1
R F2
R I1
R I2
v o1
v s1
C1
(21)
R1
v o2
v s2
R2
C2
Fig. 6 Esquemas de los filtros paso de alta y paso de baja, respectivamente
Técnicas Experimentales en Electrónica
Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional
11
1) Una vez montados los dos circuitos, compruebe experimentalmente
que su comportamiento frecuencial coincide con el teórico. En particular, compruebe si los polos de ambos circuitos se encuentran a las frecuencias seleccionadas teóricamente (analice para ello la relación
entre las amplitudes de la señal de entrada y de salida así como sus
desfases).
2) Realice medidas de amplitud y fase a distintas frecuencias de forma
que le permitan dibujar un Diagrama de Bode de los filtros y compárelos con los previstos teóricamente. (Piense en el significado de filtrado
paso de baja y de alta y eliga frecuencias que le den información de
dicho comportamiento).
3) Conecte en cascada los dos circuitos anteriores de forma que
obtenga un filtro paso de banda y compruebe experimentalmente su
comportamiento. Anote el ancho de banda del filtro y la ganancia en la
banda pasante.
En ambos experimentos, anote todas las desviaciones que observe en
los distintos circuitos respecto a lo esperado teóricamente, y trate de
justificarlos en base al comportamiento no-ideal del A.O.
6. Simulación con Spice usando MicroSim
En este apartado vamos a contrastar lo que obtuvimos experimentalmente
con lo que se obtiene mediante simulación. Por simulación se consiguen resultados más cercanos a la realidad que los obtenidos mediante análisis ideal
porque el uso del ordenador nos permite trabajar con modelos más complejos
del amplificador operacional. En concreto, utilizaremos el modelo de amplificador operacional 741 que incluye MicroSim en sus librerías. Esto puede hacerse
de dos formas alternativas en función que la entrada a PSPICE la hagamos
mediante “Schematics” o mediante un fichero de texto (.cir)
1) Si se utiliza “Schematics”, se accede al símbolo del uA741 que se
encuentra dentro de las librerías de componentes y que se activa con
Draw + Get New Part...Este símbolo muestra el mismo patillaje que el
Circuito Integrado real. De nuevo, es necesario la polarización del
Amplificador Operacional a través de los nudos 4 y 7, mientras que los
nudos 1 y 5 no es necesario utilizarlos. El resto de elementos necesarios para completar los distintos circuitos se conectan de la misma
forma que en la práctica anterior. El tipo de análisis (.TRAN ó .AC) va
a venir motivado por lo que queramos visualizar. Así para los circuitos
de los Apartados 3 y 4 es conveniente análisis transitorio, mientras
que para el comportamiento de los filtros, es más útil el barrido en AC.
En todos los casos, haga uso de los cursores de PROBE, junto con
sus funcionalidades para realizar las medidas necesarias para simular
el comportamiento de todos los circuitos de la práctica.
(Tenga en cuenta que en algunos casos deberá dejar un cierto tiempo
para que el circuito alcance el estado estacionario, y no hacer la
representación desde el instante inicial).
2) Si se utliza un fichero de texto como entrada al simulador, se necesita
una línea donde se define el A.O como un subcircuito y otra línea
donde se especifica que el modelo debe buscarlo en la librería eval.lib
de la siguiente forma:
Técnicas Experimentales en Electrónica
Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional
12
x1 1 2 3 4 5 uA741
.lib eval.lib
En este subcircuito, se tiene en cuenta la siguiente asignación de nudos:
• 1: Entrada no-inversora
• 2: Entrada Inversora
• 3: Polarización Positiva
• 4: Polarización negativa
• 5: Salida
El resto del fichero de entrada se completa de la misma forma que para
otras simulaciones.
7. Referencias de Consulta
[Horens97]M. N. Horenstein: Microelectrónica: Circuitos y Dispositivos. Prentice-Hall
Hispanoamericana, 2ª edición, 1997. El Capítulo 2.
[Sedra91] A. S. Sedra, K. C. Smith: Microelectronic Circuits. Saunders College Pu.,
1991. El Capítulo 2.
[Jaeger97] R. C. Jaeger: Microelectronic Circuit Design. McGraw-Hill, 1997. El Capítulo
12.
[Boyles97] R. L. Boylestad: Electrónica: Teoría de Circuitos. Prentice-Hall Hispanoamericana, 6ª edición, 1997. Capítulos 14 y 15.
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