2.2 El Lenguaje de

El Lenguaje de la Lógica de
Enunciados
En el capítulo anterior se ha conseguido establecer una cierta forma de
interpretar la estructura de los enunciados que constituyen los argumentos cuya
corrección nos proponemos analizar. Sabemos que no es el único modo de entender
la noción de estructura, pero sirve, al menos, para explicar una cantidad nada
desdeñable de argumentos cuya aceptabilidad parece residir, en última instancia, en
su forma.
La identificación de una cierta regimentación lógica del lenguaje mediante la
elección de una categoría de constantes y otra de variables ha llevado a establecer el
dominio de la Lógica de Enunciados. Con ello hemos cubierto la primera de las cuatro
etapas -[2.i], cap.1.2- que caracterizan el peculiar estilo que la Lógica tiene de
investigar su objeto. Al presentar una serie de símbolos aptos para representar
conectivas, y otra serie que hace lo propio con las variables de enunciado se ha
cubierto también la tercera de aquellas etapas. Es decir, disponemos de símbolos que
parecen representar adecuadamente el tipo de categorías lógicas identificadas en la
regimentación lógica del lenguaje. Que estos símbolos son adecuados parece quedar
claro al mostrar su utilidad en la traducción simbólica ofrecida en [15]. Parece difícil
errar en algo que parece tan sencillo, pero como se podrá ver a lo largo de este curso
encontrar una adecuada representación simbólica de las categorías formales que
intervienen en un problema puede llegar a ser algo bastante complicado y, desde
luego, determinante para el éxito o fracaso su análisis formal. Téngase en cuenta que
un sistema simbólico forma, precisamente, un sistema. Esto es, los signos que lo
integran forman una red de oposiciones que presumiblemente va a ser heredada por
aquellas categorías que a partir de un cierto punto pasan a representar. Esto es algo
que se aprecia, por ejemplo, cuando decidimos servirnos de letras para representar
Lógica de Enunciados
variables de enunciado. El hecho de que el sistema formado por las letras del alfabeto
sea finito obliga a introducir una nueva serie de símbolos mediante el uso números
naturales como subíndices. Con ello damos por supuesto que no hay más variables de
enunciado que números naturales, aspecto éste que no es especialmente
problemático, pero que no ha sido decidido de forma explícita. Procede, acabamos de
verlo, de una decisión acerca de los símbolos que han de representar variables. Un
argumento parecido sirve para descartar que empleemos para esa misma función
números naturales directamente, en lugar de aceptarlos sólo como subíndices. Se
evita así la tentación de incorporar propiedades genuinamente numéricas en un
dominio donde esto no procede. Según se avance en el intento por representar
componentes estructurales cada vez más complejos, el cuidado en la adecuada
representación simbólica deberá extremarse.
Puesto que el estudio de la corrección argumental que se propone la Lógica se
basa en la noción de estructura, y puesto que la estructura se representa mediante un
sistema simbólico del que ya tenemos sus componentes principales, lo que
corresponde ahora es analizar las posibilidades de ese sistema de símbolos para
hacer referencia a situaciones de cierta complejidad. Esto supone definir un lenguaje
formal del cual quepa extraer todas las expresiones que vamos a emplear en lo
sucesivo para representar la estructura de cualesquiera enunciados. Conocer la
gramática de ese lenguaje, lo que denominaremos una gramática formal, puede ser
decisivo a la hora de explorar las razones por las que ciertos argumentos son
aceptables en virtud de esa forma y otros no. Este capítulo se ocupa por completo de
la descripción de esta gramática por lo que hace a la Lógica de Enunciados. Se trata
de una tarea necesaria, dado que en ella se apoya gran parte de nuestro desarrollo
posterior, pero también es tediosa.
Lo primero que hay que hacer para establecer la gramática formal de un
lenguaje, una vez se tiene su regimentación lógica, es fijar un vocabulario básico. Por
su importancia, este es un paso que de hecho ya hemos dado, resumámoslo ahora de
forma esquemática:
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El Lenguaje de la Lógica de Enunciados
[1]
El Vocabulario básico, Vb en símbolos, de la Lógica de Enunciados
viene dado por el par:
<{p,q,r,...p0, p1,...p i,...};{¬,&,v, →}>.
Una vez establecido el vocabulario básico la definición del lenguaje formal
correspondiente es algo inmediato. Puesto que se trata de la primera vez que se
presenta en este curso un lenguaje formal seré especialmente cuidadoso en la
descripción del proceso. A diferencia de lo que sucede con los lenguajes humanos
ordinarios, que por oposición al término formal reciben aquí el calificativo de lenguajes
naturales u ordinarios, en esta ocasión no existe algo así como un diccionario en el
que consultar si una expresión forma o no parte de ese lenguaje. La razón no es sólo,
ni principalmente, el afán de rigor o la independencia de los lenguajes formales de
procesos que dependan de convenciones o de la costumbre. En realidad se trata de
algo bastante más simple: el diccionario tendría que constar de infinitas entradas ya
que todo parece indicar la existencia de una cantidad infinita de expresiones
obtenibles a partir de un vocabulario como el anterior. La única opción que existe para
acotar el dominio de todas las expresiones que cabe considerar es construir
directamente las que nos interesan. Esto equivale a ofrecer unas serie de reglas
sintácticas, o de formación, que establecen el uso correcto de los símbolos de Vb. No
es de extrañar que el resultado sea la definición de lo que entendemos por fórmula
bien formada de la Lógica de Enunciados. Las fórmulas bien formadas desempeñan,
por tanto, el papel de las oraciones del castellano -de las que no existe un número
máximo-, y no el de las palabras de que esta lengua consta. Las reglas de formación
son, por otra parte, mucho más simples que las de cualquier lengua humana escrita o
hablada.
[2]
Una fórmula bien formada –fbf- es cualquier expresión definida
mediante el uso exclusivo un número finito de veces de las siguientes
cláusulas:
c 0) Si A∈{p,q,r,...p0, p1,...pi,...}, entonces A es una fbf.
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Lógica de Enunciados
c 1) Si A es una fbf, entonces ¬A es una fbf.
c 2) Si A y B son fbfs, entonces A•B es una fbf, donde •∈{¬,&,v,→}
c 3) Si A es una fbf, (A), [A] y {A} son fbs.
Un lenguaje formal vendrá dado, entonces, por todas aquellas expresiones que
son fórmulas bien formadas una vez establecido un cierto vocabulario básico, así que:
[3]
El Lenguaje de la Lógica de Enunciados, LE, en símbolos, consiste en el
siguiente conjunto: LE={A/ A es una fbf según la definición [2]}.
Lo que se ha hecho en [2] y [3] es definir un conjunto de expresiones –
fórmulas- y asimilar este conjunto a la noción de Lenguaje de la Lógica de Enunciados.
Esta forma de proceder no es muy habitual si sólo se tienen en mente los
procedimientos típicos de la gramática y la sintaxis de los lenguajes ordinarios. Tanto
[2] como [3] son definiciones, pero ciertamente, de tipos muy distintos. En [3]
estipulamos qué condición satisfacen los elementos que pertenecen o integran un
cierto conjunto. Se trata de una definición estipulativa. El Lenguaje de la Lógica de
Enunciados está formado así por todas las expresiones que satisfacen un cierto
requisito. La definición [2] procede de manera por completo distinta. Indica cómo
construir cierto tipo de elementos mediante la aplicación un número finito de veces de
una serie, a su vez finita, de instrucciones. En cada aplicación de una de estas
instrucciones se vuelve de forma recurrente sobre el resultado de anteriores
aplicaciones hasta obtener la expresión deseada. Este tipo de definiciones son
conocidas por el nombre de definiciones recursivas, también definiciones inductivas.
La comparación entre estos dos tipos de definiciones nos pone delante, incluso a un
nivel tan elemental como éste, de un serio problema. Mientras que una definición
estipulativa puede establecer una condición que no sepamos determinar si es o no
poseída por un objeto, esto nunca puede suceder con una definición recursiva, en la
que el objeto es construido de manera efectiva. Aunque la definición de LE es, prima
facie, estipulativa, al depender de una condición -ser una fbf- que ha sido establecida
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El Lenguaje de la Lógica de Enunciados
de manera recursiva, la definición de LE hereda, por así decirlo, la buena conducta de
ésta. Pero de todo ello habrá ocasión de hablar más adelante.
Puede ser interesante ver cómo funciona lo dicho hasta ahora con algún
ejemplo. Considérese el siguiente enunciado:
[4]
Si me doy prisa aún podré entregar la documentación, pero si tengo un
accidente por el camino entonces no llegaré de ningún modo.
No parece difícil reconocer algunas de las partículas que se han asociado aquí
a diversas conectivas. Consúltese, si no, la tabla descrita en [14]. Sin embargo, no
todas aparecen completas, mientras que hay otras que parecen tener una cierta
función lógica aunque no queda del todo claro si corresponde a alguna de las
conectivas que se han tenido en cuenta aquí. La descripción de la estructura de este
enunciado constituye lo que a menudo se denomina traducción. Traducir un enunciado
de un lenguaje natural a un lenguaje formal dado supone intentar expresar la
estructura del enunciado propuesto en términos de las categorías de ese lenguaje
formal. Esto no significa que se pueda afirmar en términos absolutos que la estructura
de ese enunciado es, precisamente, la que resulta de ese proceso de traducción. Y
esto es así por dos razones: en primer lugar, la estructura de un enunciado depende
de las categorías formales disponibles, o lo que es lo mismo, del lenguaje formal de
destino. El enunciado anterior puede presentar una cierta estructura –corresponderle
una cierta fórmula- en un lenguaje formal y otra muy distinta en otro. En segundo
lugar, hay partículas en los lenguajes naturales cuya interpretación lógica más
adecuada es objeto de controversia. Esto puede hacer que existan diferencias
importantes a la hora de escoger, incluso, un formalismo al que traducir la estructura
del enunciado en cuestión.
¿Cómo se pueden superar estas dificultades? En muchas ocasiones
simplemente no se puede, en otras carece por completo de sentido enredarse en
complejas divagaciones sobre qué traducción es más conveniente, y sólo hay un
pequeño número de casos en los que el problema reviste un interés filosófico
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Lógica de Enunciados
profundo. En el nivel en que nos movemos por ahora la forma de proceder se
encuentra, sin embargo, bastante bien descrita.
En primer lugar, conviene identificar las partículas que parecen poseer una
función lógica capaz de influir en el significado del enunciado que se analiza. Esto
puede hacerse mediante un primer proceso de reescritura en el que se intenta
parafrasear ese enunciado incluyendo o completando las partículas asociadas
previamente a conectivas conocidas. Al mismo tiempo se intentará dotar de la mayor
uniformidad posible a todos aquellos enunciados simples que expresan en realidad lo
mismo. Conviene eliminar elementos superfluos así como simplificar al máximo los
tiempos y modos verbales: lo más conveniente será expresarse en presente de
indicativo. También puede ser necesario reescribir oraciones por completo, porque
figuren de forma elíptica, o porque en su lugar figuren variantes que no parecen
introducir elementos significativos. Todo esto da como resultado lo siguiente:
[5]
Si me doy prisa, entonces entrego la documentación, pero si tengo un
accidente, entonces no entrego la documentación.
Obsérvese que hay una partícula que figura en letra cursiva. La razón es que
se trata de un componente que parece tener una función lógica manifiesta aunque
puede ser que no quede claro a primera vista cuál pueda ser. Aquí se puede tomar
una de estas dos decisiones: i. buscar aquella conectiva que más de cerca se asemeja
a su función en este caso, o ii. reconocer que no hay ninguna y que, por tanto, la
estructura de ese enunciado no puede ser satisfactoriamente representada en el
lenguaje LE de la Lógica de Enunciados. Aunque admito que este es un caso en el que
es preciso hacer no poca violencia, adoptaré la posición comúnmente aceptada y
reemplazaré la partícula en cursiva por una simple conjunción –“y”-. Esto da lugar a
[6]
Si me doy prisa, entonces entrego la documentación, y si tengo un
accidente, entonces no entrego la documentación.
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El Lenguaje de la Lógica de Enunciados
La traducción prosigue ahora estableciendo lo que se denomina un glosario. Un
glosario es un pequeño diccionario que permanece vigente para cada proceso de
traducción particular y en el que se asocia a cada enunciado lógicamente destacable
en el problema una letra de variable.
[7] Glosario para [6]:
p= “me doy prisa”
q= “entrego la documentación”
r= “tengo un accidente”
Si se reúne ahora [6] y [7] reemplazando las conectivas identificadas por su
símbolo en Vb se obtendrá una fórmula de LE apta para representar la estructura de [4]
es este contexto:
[8]
(p→q)&(r→¬q)
Los ejercicios de traducción siguen por lo general el modelo que aquí se ha
descrito para pasar de [4] a [8]. Existe una casuística bien conocida que resulta de
aplicación en casos dudosos en los que ciertas conectivas aparecen muy
distorsionadas por usos peculiares del lenguaje. En la medida en que este es un curso
dedicado más bien a cuestiones de fundamentación que a aplicaciones prácticas,
podemos dejar a un lado los detalles.
El caso de la traducción de un argumento funciona exactamente igual que el
caso que nos ha servido de ejemplo. Sólo hay que añadir la correcta identificación de
cada premisa, que constituirá un enunciado independiente, y de la conclusión,
representada también aparte.
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Lógica de Enunciados
No conviene aplazar por más tiempo la presentación de la brevísima gramática
formal que se genera a partir de LE. Empezaré presentando una noción auxiliar útil en
lo sucesivo. Se trata de lo que en ocasiones se denomina tabla de formación de una
fórmula. Una de estas tablas consiste simplemente en un listado de fórmulas
necesarias en el proceso de construcción de la última de ellas, junto con la justificación
de que cada uno de los pasos dados responde a las condiciones establecidas en la
definición de fbf introducida en [3]. Veámoslo con un ejemplo:
[9] Tabla de formación de ((pvq)&¬p) →q:
1. p
fbf por c 0
2. q
fbf por c 0
3. pvq
fbf por c 2, 1,2
4. (pvq)
fbf por c 3, 3
5. ¬p
fbf por c 1, 1
6. (pvq)&¬p
fbf por c 2, 4,5
7. ((pvq)&¬p)
fbf por c 3, 6
8. ((pvq)&¬p)→q
fbf por c 2 2,7.
Las cláusulas citadas a la derecha de cada línea indican la razón por la cual la
fórmula que se acaba de introducir es una fbf.
En muchas ocasiones resulta interesante hacer mención a las fórmulas que
figuran como parte propia de otras fórmulas. Esto da lugar a la siguiente definición:
[10]
Una fbf A es una subfórmula de otra fbf B si A aparece en la tabla de
formación de A.
De acuerdo con esto, por
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El Lenguaje de la Lógica de Enunciados
[11]
El conjunto de subfórmulas de una fbf A –Sb(A), en símbolos- se
entenderá la clase formada por todas y cada una de las subfórmulas de
A.
Existe una definición algo más elegante de esta misma noción que hace uso de
una técnica de presentación típicamente recursiva.
[12]
El conjunto de subfórmulas de una fbf es el menor conjunto que se
obtiene de la aplicación un número finito de veces de las siguientes
cláusulas:
c 0) Si A∈{p,q,r,...p0, p1,...pi,...}, entonces Sb(A)={A}
c 1) Si A=¬B, entonces Sb(A)={¬B}∪Sb(B)
c 2) Si A=B•C, donde •∈{¬,&,v,→}, entonces Sb(B•C)={B•C}∪Sb(B)
∪Sb(C).
Obsérvese el efecto que tiene en este tipo de definiciones esas misteriosas
referencias al menor conjunto tal que... En este caso la consecuencia inmediata es la
detención del proceso en el momento que toda ocurrencia del tipo Sb(E) ha
desaparecido del miembro derecho de una identidad del tipo Sb(A)=... y solo quedan
una serie de conjuntos cuya unión es preciso hacer.
Un resultado a menudo llamativo de esta definición es la necesidad de incluir
entre las subfórmulas de una fbf A la propia fórmula en cuestión. No hay razones de
peso que justifiquen ese modo de proceder: se trata nada más de una opción que
simplifica las cosas.
Muchas de las propiedades que están asociadas a la conducta de una fórmula
dependen de aquellas subfórmulas que más directamente determinan su forma. La
siguiente definición establece cuáles son éstas y el nombre que reciben:
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Lógica de Enunciados
[13]
Por la(s) subfórmula(s) inmediata(s) de una fbf A se entiende aquella o
aquellas que son mencionadas en la cláusula que justifica la propia
fórmula A en su tabla de formación.
En ((pvq)&¬p) →q, vemos que las fórmulas que son mencionadas en la última
línea de su tabla, la que da como resultado la presencia de esa propia fórmula, son las
que aparecen en las líneas 2 y 7 de [30]. Esto es, q y ((pvq)&¬p). Estas son, por tanto,
las subfórmulas inmediatas de ((pvq)&¬p). El vaivén entre singular y plural en esta
definición se debe a la existencia de fórmulas con una única subfórmula inmediata. Por
ejemplo, aquellas en que la fórmula es del tipo ¬A. En ese caso la única subfórmula
inmediata es la fórmula A.
Intimamente relacionada con esta noción se encuentra otra también
determinante por lo que hace a la conducta de una fórmula:
[14]
La conectiva principal de una fbf A es aquella que es introducida en
último lugar en la tabla de construcción de A.
Siguiendo con el ejemplo anterior se ve que la conectiva principal de
((pvq)&¬p) →q es el condicional material “→”.
Muchas de las definiciones que hemos visto se ven obligadas a distinguir entre
el caso del negador y el de las restantes conectivas. Hay una diferencia gramatical
obvia que da lugar a la siguiente definición:
[15]
La ariedad de una conectiva consiste en el número de fbfs que son
mencionadas en el antecedente de la cláusula que le corresponde en la
definición de fórmula bien formada –[3], arriba-.
El negador precisa una única fbf para dar lugar a otra, así pues su ariedad es 1
tratándose entonces de una conectiva unaria. Las restantes de aquellas que se han
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El Lenguaje de la Lógica de Enunciados
considerado hasta ahora, tienen ariedad 2, denominándose entonces conectivas
binarias. Aunque parezca raro, no hay ninguna limitación lógica a la ariedad de una
conectiva. Se pueden encontrar conectivas n-arias donde n es cualquier entero
positivo mayor o igual que 0. Esto hace que se pueda hablar de conectivas 0-arias,
pese a no ser éste un concepto intuitivamente inmediato, pero la Lógica es así. Más
adelante veremos qué conectivas son esas y a qué responden.
Todas estas definiciones tratan acerca de los diversos componentes de las
fórmulas del lenguaje LE. Las que siguen se ocupan más bien de medir su
complejidad.
[16]
i. Una fórmula atómica es cualquier fbf cuya presencia en una tabla de
formación se justifique por el sólo uso de C0.
iii. Una fórmula compleja o molecular es cualquier fbf no atómica.
Las fórmulas atómicas aparecen representadas por variables sentenciales y
reciben con frecuencia el nombre de átomos. Los átomos de que consta una fórmula
suelen influir de forma decisiva en muchas de las propiedades que esa fórmula acaba
teniendo. La propia construcción de cada una de las fórmulas de LE se obtiene –según
la definición ofrecida en [3]- como resultado de un proceso que parte de fórmulas
simples hasta alcanzar la complejidad requerida. Esta característica, común a ese tipo
de definiciones que más arriba he denominado inductivas, permite contar con una
técnica de trabajo que habremos de emplear más adelante en más de una ocasión: la
incorporación de una propiedad en los átomos de un lenguaje permite transmitir esa
propiedad a todas las fórmulas de ese lenguaje comprobando tan sólo que la
propiedad en cuestión se preserva en cada uno de los posibles modos de composición
que se emplean para obtener fórmulas complejas a partir de otras más simples. Es
fácil entender el papel que desempeñan los átomos en este tipo de procesos.
[17]
Dada una fórmula A, el grado lógico de A, gr(A), en símbolos, se define
del siguiente modo:
C0) Si A es una fórmula atómica, gr(A)=0
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Lógica de Enunciados
C1) Si A es del tipo ¬B, entonces gr(A)=1+gr(B)
C2) Si A es del tipo B•C, donde •∈{¬,&,v,→}, gr(A)=1+gr(B)+gr(C).
La noción de grado lógico registra de forma trivial e inmediata el número de
conectivas presentes en una fbf. De hecho, podríamos haber definido grado lógico de
esta forma, pero entonces habríamos dejado de ofrecer una forma de calcular ese
número que pudiera ser aplicada con independencia de otras consideraciones. Este
concepto permite incorporar criterios numéricos en el manejo de fórmulas, aspecto
este que puede ser de gran utilidad a la hora de establecer propiedades generales
sobre clases enteras de fórmulas.
No puedo pretender que esta sesión resulte amena ni tampoco que llegue a
ofrecer una adecuada dimensión del interés e importancia de la Lógica en lo que
sigue, en especial si miramos a esta última serie de definiciones. Sin embargo, y aún a
riesgo de verme sacando de donde no hay, me parece importante llamar la atención
sobre esas peculiares definiciones que he denominado recursivas y que parecen
poseer tan curiosa conducta: definen construyendo lo definido. Creo también que este
es un buen punto para empezar a apreciar el tipo de herramientas de que se sirve la
Lógica contemporánea y con ello para entender por qué se dice que sus técnicas son
comunes a las de las Matemáticas.
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El Lenguaje de la Lógica de Enunciados
Orientación bibliográfica
[Badesa, Jané y Jansana, 1998] dedica su capítulo 6 a los mismos asuntos
que se tratan en este. Tiene la ventaja de que la notación es muy similar con lo que se
reduce mucho la perplejidad que suelen producir los múltiples sistemas notacionales
existentes. Esta obra insiste, además, en comentarios sobre el tipo de definiciones que
se emplean para construir un formalismo elemental, aspecto que también nos importa
aquí.
[Nepomuceno, 1995] secc. 2.3 puede servir como rápido sumario aunque es
excesivamente escueto en todo lo demás. [Quesada, 1985] cap. 2 tiene algunos
ejercicios sobre sintaxis elemental que pueden ser de ayuda. [Hunter, 1969] en cap. 1
secc. 1 y 2 hace un planteamiento muy abstracto de aquello en que consiste un
lenguaje simbólico. Tiene interés aunque conviene tutelar su lectura. Los ejercicios son
interesantes y además se responden.
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