mecanica clasica no relativista. formulacion lagrangiana

MECANICA CLASICA NO
RELATIVISTA.
FORMULACION LAGRANGIANA
1. Introducción.
2. Principios de la formulación de
Lagrange.
3. Teorema Fundamental. Ecuaciones de
Lagrange
4. Ecuaciones de Lagrange en campos
conservativos.
5. ¿Quién fue Luis de Lagrange?.
1. Introducción:
La Mecánica Clásica No Relativista, esto es, la mecánica en la que la partícula
material mínima no está cuantizada, sino que es un punto-instante del espaciotiempo, y en la que la velocidad máxima de propagación de las interacciones no
está limitada por la velocidad de la luz, sino que es infinita, admite varias
formulaciones partiendo de diferentes principios, todas entre sí equivalentes, de las
que las más conocidas son la de Lagrange, la de Newton y la de Hamilton.
La Formulación de Lagrangese basa en los principios de Definición de la Masa y de
los Desplazamientos Virtuales.
La Formulación de Newton se basa en los principios de Definición de la Masa, de
Acción y Reacción y De la Inercia.
La Formulación de Hamilton se basa en un único principio, llamado De Mínima
Acción.
Las tres formulaciones mencionadas son entre sí equivalentes, esto es, puede
probarse de forma sencilla que:
a) La Formulación de Hamilton implica la Formulación de Newton.
b) La Formulación de Newton implica la Formulación de Lagrange.
c) La Formulación de Lagrange implica la Formulación de Hamilton.
2 Principios de la formulación de Lagrange:
La Formulación Lagrangiana de la Mecánica se desarrolla partiendo de dos
principios: Principio de Definición de la masa y Principio de los
desplazamientos virtuales.
La idea básica es que todos los sistemas físicos de partículas están sometidos a fuerzas
de interacción exterior que pueden formularse vectorialmente, de forma que una parte
tiende a originar un movimiento de aceleración del sistema y otra parte a equilibrar las
restrictivas fuerzas de ligadura:
A su vez, las fuerzas que tienden a acelerar el sistema tienen una componente
conservativa y otra componente disipativa:
1. El principio de Definición de la Masa:
"Para toda partícula existe una única constante de proporcionalidad
entre la fuerza que sobre ella ejerce la interacción exterior y la
aceleración que, con respecto al espacio absoluto, esta interacción le
produce. A tal constante de proporcionalidad se le llama, por
definición, masa de la partícula."
2. Principio de los Desplazamientos Virtuales.
"En cualquier desplazamiento intemporal de las N partículas de un
sistema, desplazamiento virtual, compatible con la restricción de las
fuerzas de ligadura, se cumple que la suma de los productos de cada
fuerza de ligadura por el desplazamiento virtual es cero".
Matemáticamente, por tanto, se podrían formular ambos principios por:
Definición de la masa:
Desplazamientos virtuales:
3 Teorema Fundamental. Ecuaciones de Lagrange:
Teorema Fundamental:
En todo sistema de partículas con n grados de libertad, existen n
ecuaciones diferenciales de la forma:
que ligan a las coordenadas y velocidades generalizadas, y en las que
L es una función característica del sistema de partículas, que
llamaremos Función Lagrangiana, o, simplemente, Lagrangiana, del
sistema de partículas.
Este sistema de ecuaciones se denomina Ecuaciones de Lagrange del sistema de
partículas.
Demostración del Teorema Fundamental. Obtención de las Ecuaciones de Lagrange:
Partimos de los principios de la formulación:
Por tanto:
y se tiene:
y por ser las
independientes:
y de aquí, sumando y restando un mismo término:
y se tiene:
Y llamando:
Se obtienen:
que todavía no son las Ecuaciones de Lagrange buscadas. Al término T se le
denomina Energía Cinética del sistema de partículas. Veamos ya, finalmente, las
ecuaciones que buscamos:
Sustituyendo en las ecuaciones de la energía cinética:
y llamando L = T-V:
(Ecuaciones de Lagrange)
4. Ecuaciones de Lagrange en campos conservativos:
Si el sistema de partículas estuviese sometido solamente a fuerzas conservativas
serán nulos los términos:
y las ecuaciones de Lagrange quedarían en la forma:
La n Ecuaciones de Lagrange determinan completamente el estado de un sistema
de partículas, por quedar relacionadas las coordenadas y velocidades generalizadas
el sistema, pues, se determina completamente.
La función de Lagrange, L, es función, por tanto, de las coordenadas generalizadas
y de las velocidades generalizadas. Una coordenada generalizada se dice que es
cíclica o bien ignorada si no figura en la expresión de la Lagrangiana.
Es decir:
Teorema:
En todo sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas conservativas se
cumple que la condición necesaria y suficiente para que la variación de la
lagrangiana con respecto a la velocidad generalizada i-esima sea constante es que
la coordenada generalizada i-esima sea ignorada.
O sea:
En efecto:
a) Es condición necesaria:
b) Es condición suficiente:
Se acostumbra a llamar:
5 ¿Quién fué Luis de Lagrange?:
Nació en 1736 en Turín, Italia, de familia francesa, murió en
1833. Lagrange, junto con Leonardo Euler, es el más grande
matemático del siglo XVIII.
A los 23 años escribió su obra maestra: Mecanique
Analytique, una publicación que hizo época, catalogada de
"poema científico", y que sirvió de inspiración a Alberto
Einstein en el descubrimiento de la relatividad.
En 1766, ocupó el puesto que habia dejado Euler en la
Universidad Berlin, a peticion del rey de Prusia, Federico el
Grande. Permaneció en dicho puesto a lo largo de 20 años.
En 1797 se creó en Francia la l'Ecole Polytechnique, cuna de los más grandes
matemáticos franceses. Lagrange fue su primer profesor.
Ideó uno de los métodos de interpolación más usados.
Astrónomo y matemático, estableció una teoría de las libraciones de la Luna.
Carlos S. CHINEA