Relación de problemas: Tema 3

Relación de problemas: Tema 3
1.- Una barra rígida de 1 m de longitud, cuyo peso es despreciable, está sostenida
horizontalmente en sus extremos por dos hilos verticales de la misma longitud; uno de
ellos es de acero y el otro de cobre, siendo sus secciones rectas de 1 mm2 y 2 mm2
respectivamente. ¿En qué punto de la barra ha de suspenderse un peso W para producir:
a) igual esfuerzo en ambos hilos?
b) igual deformación unitaria en ambos hilos?
1 = acero
2 = cobre
E1 = Eacero = 20.0 ⋅1010 Nm −2
E2 = Ecobre = 12.8 ⋅1010 Nm −2
ℓ1 = ℓ 2
s1 = 1mm 2
s2 = 2mm 2
x = ?/
∆ℓ Fl
=
ℓ
s
F F
F s 1
σ1 = σ 2 ⇒ 1 = 2 ⇒ 1 = 1 =
s1 s2
F2 s2 2
a )σ l1 = σ l 2
b)ε l1 = ε l 2
a) σ l = E ⋅ ε l = E
F1 x = F2 ( D − x ) ⇒
F1 D − x
=
F2
x
⇒
D−x 1
D
1 
= ⇒ D = x  + 1 = 1.5 x ⇒ x =
x
2
1.5
2 
⇒ x=
b)
ε l1 = ε l 2 ⇒
σ
1
= 66.7cm
1.5
∆ℓ1 ∆ℓ 2
=
⇒ ∆ℓ1 = ∆ℓ 2
ℓ1
ℓ2
 Es

F s
F s F s
F
Es
Es
D−x
⇒ 1 1= 2 2⇒ 1 = 11 ⇒ 11 =
⇒ x  1 1 + 1 = D ⇒
E
E
E1
E2
F2 E2 s2
E2 s2
x
 E2 s2 
 20 ⋅1

⇒ x
+ 1  = 1 ⇒ x = 56.1cm
 12.8 ⋅ 2 
ε=
=
1
2.-Un cilindro vertical, de 30 cm de diámetro, contiene agua, sobre cuya superficie
descansa un émbolo perfectamente ajustado al cilindro y atravesado por un tubo abierto
por sus dos extremos, de 1 cm de diámetro. El peso del émbolo, con el tubo, es de 10
kg. ¿Hasta que altura h por encima de la base inferior del émbolo subirá el agua por el
interior del tubo?
M = 10 kg 

R = 15 cm 
r = 0.5 cm 
PB = Patm +
Mg
Mg
= Patm +
S
π R2 − r 2
PA − PB = − ρ g ( Z A − Z B )
→
(
)
Mg
= ρ gh
π R2 − r 2
h=
(
π
)
ρπ ( R 2 − r 2 )
= 14.163 cm
h = 14.163 cm
3.-Una bola de acero de radio R=1 mm se deja caer en un depósito de glicerina.
a) ¿Con qué velocidad se mueve cuando su aceleración es la mitad de la de un cuerpo
que cae libremente?
b) ¿Cuál es la velocidad límite que adquiere en la caída?
Datos:
Densidad del acero ρo=8.5 g/cm3
Densidad de la glicerina ρg=1.32 g/cm3
Viscosidad de la glicerina η=8.27 P
a)
a = g/2
∑ F = ma
mg − 6πη Rv − ρ gVg = ma = m
g
2
g
g
−m + mg − ρ gVg m − ρ gVg 
2
= 2
v=
6πη R
6πη R 

4
−2
V = π R3 = 4.18 ⋅10−3 cm3
 v = 0.77 ⋅10 cm / s
3


m = 35.53 ⋅10−3 g



2
b)
∑F =0
mg − 6πη Rv − ρ gVg = 0
mg − ρ gVg
v=
6πη R
v = 1.89 ⋅10−2 cm / s
4.-La lluvia deja trazas en la ventana lateral del automóvil de 60º de inclinación
respecto a la horizontal.
a) Si el automóvil tiene una velocidad de 60 km/h y no hay viento, ¿cuál es la velocidad
de las gotas de lluvia?
b) Supuestas esféricas y que han alcanzado la velocidad límite, ¿cuál es su radio?
c) ¿Cuánto vale la sobrepresión debida a la tensión superficial?
Datos:
Viscosidad del aire: η = 0.001 Ns/m2
Tensión superficial del agua: σ =7·10-2 N/m
a)
vct
cos60
vgt = vgc sin 60 = vct tg 60 = 103.8 km / h
vct = vgc cos60 → vgc =
vgt = 28.83 m / s
b)
Si despreciamos la densidad del aire ρo frente a la del agua ρ:
2 ( ρ − ρ0 )
2 ρ
vL = R 2
g = R2 g
9
η
η
ρ0 = 0 9
R2 =
9 η vL
9 η vL
→R=
2 ρg
2 ρg
R = 0.32 cm
3
c)
2σ
(Ley de Laplace)
R
2σ
2 ⋅ 7 ⋅10−2
∆P =
=
= 43.75 Pa
0.32 ⋅10−2 0.32 ⋅10 −2
∆P =
5.-¿Cuál deberá ser la superficie de un bloque de hielo (ρhielo =0.922 g/cm3), de 25cm de
espesor, que flota en agua (ρagua =1 g/cm3), para que pueda soportar como máximo el
peso de una persona de 80 kg sin hundirse?
FE
∆P=43.75 Pa
(mHielo+mHombre)g
P hielo + P hom bre − F E = 0
mhielo g + mhombre g − hS ρagua g = 0
 → hS ( ρ hielo − ρ agua ) = −mhom bre
mhielo = ρ hieloVhielo = ρ hielo hS

→S =
mhombre
h ( ρ agua − ρhielo )
S = 4.1m2
4
6.-Un bloque cilíndrico de madera de radio 2cm y altura 10 cm, flota verticalmente
entre dos capas, una de aceite y otra de agua, estando su cara inferior 2 cm por debajo
de la superficie de separación. La densidad del aceite es 0.6 g/cm3.
a) ¿Cuál es la masa del bloque?
b) ¿Cuál es la presión manométrica en la cara inferior del bloque?
R = 2cm
h = 10cm
ρ aceite = ρ ac = 0.6 g cm3
mb = ρb ⋅ Vb
a) mb = ?
Peso = Empuje hidrostático
⇒ mb g = ρ H 2O ⋅VH 2O g + ρacVac g
⇒ mb = 1 g

 cm 
3 ⋅
(π ⋅ 2 ⋅ 2)( cm ) + 0.6  g cm  ⋅ (π ⋅ 2 ⋅ 8)( cm )
2
3
2
3
3
mb = 85.5 g
b)
Pm (cara inferior) = ρac ghac + ρ H 2O ghH 2O =
= 0.6 ⋅ 980 ⋅12 + 1⋅ 980 ⋅ 2 = 9016 Din
cm2
o bien:
Pm (cara inferior) = ρac ghac
′ + ρb ghb
85.5
= 0.6 ⋅ 980 ⋅ 4 +
980 ⋅10 = 9016 Din 2
cm
π ⋅ 22 ⋅10
5
Pm (cara inferior) = 9016 Din
cm2
7.- Para determinar la densidad de un material insoluble en agua, se toma una muestra
del mismo cuya masa es de 150 g. Sobre el plato de una balanza de resorte se coloca un
vaso de laboratorio que contiene agua; en estas circunstancias la balanza registra 720 g.
A continuación, se introduce la muestra de mineral en el agua, colgada de un hilo ligero,
de modo que no toque ni con las paredes ni con el fondo del vaso y que quede
totalmente sumergido; en estas condiciones la balanza registra 775 g.
a) Calcular la densidad del material.
b) Calcular la tensión del hilo.
a)
m = 150 g
N1 = 0.720 ⋅ g = 7.056 N
N 2 = 0.775 ⋅ g = 7.595 N
P1 − N1 = 0 → P1 = N1 = 7.056 N
N 2 − P1 − FE = 0

FE = N 2 − N1
N 2 − N1
Vmin eral =
FE = ρaguaVmin eral g 
ρagua g
ρmin eral =
mmin eral mρagua g
=
= 2.73 g cm3
Vmin eral N 2 − N1
ρmin eral = 2.73 g cm3
b)
mg − T − FE = 0
T = mg − FE
T = 0.931 N
6
8.-Un paralelepípedo rectangular de aluminio, cuyas dimensiones son 10 cm x 6 cm x 2
cm, está sometido a fuerzas normales tensoras de 500 kg y 200 kg sobre sus caras de
10x6 cm2 y 10x2 cm2, respectivamente, y compresoras de 300 kg sobre las caras de 6x2
cm2.
a) Calcule las deformaciones unitarias que experimentan sus aristas, así como el cambio
en el volumen del cuerpo.
b) ¿Cuál es la densidad de energía elástica almacenada en el cuerpo?
V= (10 × 6 × 2 ) cm3
E Alu min io = 7.1⋅1010 Nm −2
µ Alu min io = 0.34
a) ε xx , ε yy , ε zz = ? , ∆V = ?
ε xx =
1
(σ xx − µ ⋅ σ yy − µ ⋅ σ zz )
E
300 ⋅ 9.8 N
σ xx = −
= −24.5 ⋅105 N / m 2
−4
2
6.2 ⋅10 m
200 ⋅ 9.8 N
σ yy = +
= 9.8 ⋅105 N / m 2
−4
2
10 ⋅ 2 ⋅10 m
500 ⋅ 9.8 N
σ zz = +
= 8.167 ⋅105 N / m 2
−4
2
10 ⋅ 6 ⋅10 m
105
( −24.5 − 0.34 ⋅ 9.8 − 0.34 ⋅ 8.167 ) = −4.31⋅10−5
7.1 ⋅1010
105
ε yy =
+0.34 ⋅ 24.5 + 9.8 − 0.34 ⋅ 8.167 ) = 2.16 ⋅10−5
10 (
7.1 ⋅10
105
ε zz =
( +0.34 ⋅ 24.5 − 0.34 ⋅ 9.8 + 8.167 ) = 1.85 ⋅10−5
7.1 ⋅1010
∆V
= ε xx + ε yy + ε zz = −0.3 ⋅10 −5 ⇒ ∆V = −0.3 ⋅10 −5 ⋅10 ⋅ 6 ⋅ 2cm3 ⇒
V
ε xx =
εxx = -4.31· 10-5
εyy = 2.16 · 10-5
εzz = 1.85 · 10-5
∆V = 3.6 ⋅10−4 cm3
7
b)
u=
Eel 1
1
1
1
= σ xxε xx + σ yyε yy + σ zzε zz = ( 24.5 ⋅ 4.31 + 9.8 ⋅ 2.16 + 8.167 ⋅1.85 )105 ⋅10−5 ⇒
V
2
2
2
2
u = 70.94 J m3
9.- Un tubo en U contiene mercurio. Se vierte agua en una de las ramas y en la otra
alcohol hasta que sus superficies están al mismo nivel. La longitud de la columna de
agua es 30.5 cm y la del alcohol 30 cm.
a) Hállese la densidad del alcohol.
b) Añadiendo o quitando alcohol se consigue que las dos superficies de mercurio estén
al mismo nivel; ¿cuánto vale entonces la altura de la columna de alcohol?
Dato: ρ(Hg)=13.6 g/cm3
PA= PB
PB = Patm + ρagua gh
PA = Patm + ρalc gh′ + ρ Hg g ( 0.5)
Al igualar las dos expresiones podemos despejar la densidad del alcohol:
ρalc =
30.5ρagua − 0.5ρ Hg
30
ρ alc = 0.79 g
cm3
8
b)
ρalc gh′′= ρagua gh ⇒ h′′=
ρagua
h
ρalc
h´´=38.6 cm
10.-Si la densidad del acero es de 7.9 g/cm3 y la tensión superficial del agua a 20ºC es
de 75.6 dyn/cm, ¿ cuál será el diámetro que debe de poseer una esfera de acero para
flotar en el agua con exactamente la mitad de su volumen sumergido?
En equilibrio: P=E+Ftensión
ρ acVg = ρ agua
V
V
V
g + σ l = ρ agua g + σ 2π r = ρ agua g + σπ d
2
2
2
3
3
4 d 
4 d 
ρ acero π   g = ρ agua π   g + σπ d
3 2
6 2

1 2
1
gd  ρ acero − ρ agua  = σ
6
2


d=
12σ
g ( 2 ρ acero − ρ agua )
d = 2.5mm
9
11.- Un tubo capilar está sumergido en agua, con su extremo inferior a 10 cm por debajo
de la superficie de la misma. El agua se eleva en el tubo hasta una altura de 4 cm por
encima de la superficie, y el ángulo de contacto es cero. ¿Qué presión manométrica se
requiere para formar una burbuja semiesférica en el extremo inferior del tubo?
Superficie circular con el mismo
radio r que el tubo capilar.
θ=0 (ángulo de contacto=0)
cos θ =1
y=
2γ cosθ
2γ cosθ
⇒R=
ρ gR
ρ gy
2γ 
2γ

R  ⇒ Pint − Patm − ρ gh =
R
Pext = Patm + ρ gh 
Pint − Pext =
Pint − Patm = Pmf =
Pmf =
2γ
2γ
+ ρ gh =
2γ cosθ
R
+ ρ gh
ρ gy
ρ gy
+ ρ gh = ρ g ( y + h )
cosθ
Pmf = 1 g
cm3
⋅ 980 cm
Pmf = 1372 N
s2
⋅ ( 4 + 10 ) cm = 13720 din
cm2
m2
10
12.-Un depósito abierto, de grandes dimensiones y paredes verticales, contiene agua
hasta una altura H por encima de su fondo. Se practica un orificio en la pared del
depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre del agua. El chorro de
agua sale horizontalmente y, tras describir una trayectoria parabólica llega al suelo a una
distancia x del pie del depósito.
a) ¿Cuál será el valor de x?
b) ¿Será posible abrir un segundo orificio, a distinta profundidad, de modo que el chorro
que salga de él tenga el mismo alcance que antes? En caso afirmativo, ¿a qué
profundidad?
c) ¿A qué profundidad se debe perforar un tercer orificio para que el alcance del chorro
sea máximo? ¿Cuál será el alcance máximo?
v2 = 2 gh (Ec. de Torricelli)
 x = v2 xt

Tiro parabólico 
1 2
 y = h2 − 2 gt

Si y = 0 ⇒ h2 =
x = 2 gh
v2 x = v2 = 2 gh

v2 y = − gt
2 ( H − h)
2h2
1 2
gt ⇒ t =
=
g
g
2
2 ( H − h)
= 2 h ( H − h)
g
x = 2 h ( H − h)
11
Análogamente para el punto 2´:
v2′ = 2 g ( H − h′ )
x′ = 2 h′ ( H − h′ )
Si x = x′ → 2 h ( H − h ) = 2 h′ ( H − h′ ) → h′2 − h′H + ( hH − h2 ) = 0
h′ =
H ± H 2 − 4 ( hH − h 2 )
2
=
H±
( H − 2h )
2
2
Solución válida: h′ = h
La otra solución coincide con la situación del apartado a).
c)
x = 2 h ( H − h)
dx
=0
dh
dx
H − 2h
H
=
= 0 ↔ H − 2h = 0 ↔ h =
dh
2
h ( H − h)
xmax ↔
xmax = 2
H
H
H− 

2
2
xmax = H
13.-Una corriente de agua circula por una tubería de sección circular que se une con otra
de diámetro mitad, situadas de modo que el conjunto forma un ángulo de 30º con la
horizontal. Un manómetro colocado entre dos puntos situados 1 m antes y 1m después
de la unión de los dos tubos indica una diferencia de presión entre ambos de 10 cm de
Hg. ¿Qué diferencia de velocidad presenta el agua entre dichos puntos?
12
Puesto que d1 = 2d 2 → S1 = 4S2 , por conservación
del caudal: v2 = 4v1
De la ecuación de Bernuilli deducimos:
(
)
1
P1 − P2 + ρ g ( h1 − h2 ) + ρ v12 − v2 2 = 0
2
2
v12 − v22 = − ( P1 − P2 ) + 2 g ( h2 − h1 )
ρ
−15v12 = −
2
ρ
( P1 − P2 ) + 2 g ( h2 − h1 )
En esta ecuación todos los datos son conocidos
deduciéndose:
100 mm Hg = 0.1315 atm = 13328.94 Pa
h2 − h1 = D sin 30 = 2 ⋅ 0.5 = 1m
2
v12 − v22 = −15v12 = − 3 13328.94 + 2 ⋅ 9.81⋅1 =
10
= −26.6578 + 19.62
v1 = 0.68m / s
v2 = 2.73m / s
v2 − v1 = 2.05m / s
14.-Un líquido que fluye por un agujero practicado en la base de un depósito, produce
un chorro vertical con una forma bien definida. Para obtener la ecuación de esta forma,
suponga que el líquido está en caída libre una vez que sale del tubo. Considere que al
salir, el líquido tiene una velocidad vo, y el radio del chorro es ro. En función de la
distancia (y) que ha caído el líquido desde su salida del tubo, obtenga una expresión
para:
a) La velocidad v del líquido.
b) El radio r del chorro.
Si fluye agua de un tubo vertical con una velocidad de salida v=1.20 m/s,
c) ¿A qué distancia bajo la salida se habrá reducida a la mitad el radio original del
chorro?
a)
1
1
P0 + ρ v02 + ρ gh0 = P + ρ v 2 + ρ gh
2
2
P0 = P = Patm
h − h0 = y
v 2 = v02 + 2 gy → v = v0 2 + 2 gy
13
b)
A0v0 = Av → π r02v0 = π r 2v
r=
r0 v0
(
v02 + 2 gy
)
1
4
1

v0 2  4
r = r0  2

 v + 2 gy 
 0

c)
1

r0
v 2 4
v2
15v0 2
1
= r0  2 0
= 2 0
→y=
 →
 v + 2 gy 
2
16 v0 + 2 gy
2g
 0

y = 1.10m
15.-Un aparato típico para hacer demostraciones acerca de la pérdida de carga a lo largo
de un tubo está constituido por un depósito de grandes dimensiones que desagua a la
atmósfera a través de un tubo horizontal de longitud L y sección constante de 8 mm de
diámetro interno. La entrada al tubo tiene los bordes redondeados de modo que pueden
despreciarse las pérdidas de carga menores. A lo largo del tubo, se han dispuesto dos
tubos manométricos verticales. En el instante en el que el nivel del agua está a 25 cm
por encima del tubo, los manómetros indican 19 y 14 cm respectivamente.
a) ¿Cuál es la longitud del tubo?
b) En ese instante, ¿cuál es su caudal?
14
a)
∆P
= cte
L
P2 − P3 P3 − P4
=
L23
L34
P2 = Patm + ρ gh2
P3 = Patm + ρ gh3
P4 = Pa
ρ gh3
P3 − P4
h3
L23 =
L23 =
L
ρ gh2 − ρ gh3
P2 − P3
h2 − h3 23
h3
14
14 = 39.2cm
y=
L23 =
19 − 14
h2 − h3
y=
L = 14cm + 14cm + 39.2cm = 67.2cm
L = 67.2cm
b)




( P1 − P2 ) +  12 ρ v12 − 12 ρ v22  + ( ρ gh1 − ρ gh2 ) = ρ H12
( P1 − P2 ) +  − 12 ρ v22  = ρ H12

( P2 − P3 ) = ρ H 23
( P3 − P4 ) = ρ H 34

H12 = H 23 ≠ H 34
( P1 − P2 ) = ρ H12 + 12 ρ v22 = ρ H 23 + 12 ρ v22 = ( P2 − P3 ) + 12 ρ v22
v2 = 2 g ( h1 + h3 − 2h2 ) = 2 ⋅ 9′8 ( 0.25 + 0.14 − 2 ⋅ 0.19 ) = 0.44 m s
2
 0.002 
−6 3
C = v2 ⋅ S2 = 0.44 ⋅π ⋅ 
 = 1.4 ⋅10 m s = 0.0014 l s
2


v2 = 0.44 m s
C = 0.0014 l s
15
16.-Para medir el caudal de agua que circula por una tubería, se intercala en ésta un
venturímetro cuyos diámetros en el tramo principal y en el estrechamiento son 5 cm y 1
cm, respectivamente. La diferencia de presión entre el tramo principal y el
estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es el caudal?
DA = DC = 5 cm → S A = SC = π
DA 2
= 19.6 cm2
4
DB 2
= 0.79 cm2
4
PA − PB = 0.35atm = 35452.48 N m2
DB = 1cm → S B = π
1
1
PA + ρ ghA + ρ vA2 = PB + ρ ghB + ρ vB 2
2
2

1
PA − PB = ρ vB 2 − vA2

2
 2
2
1  S A2  2 1

2 S A − SB
ρ
ρ
⇒
−
=
−
1
=
P
P
v
v




B
A
A 
2
S A 

S 2
 A
2
2
S
B
B




vA ⋅ S A = vB ⋅ S B → vB = vA
S B 
(
vA =
2 ( PA − PB ) S B 2
ρ ( S A2 − S B 2 )
)
= 0.34 m s
Q = vA ⋅ S A = 0.34 ⋅19.6 ⋅10−4 = 6.67 ⋅10−4 m3 s = 0.67 l
Q = 0.67 l
17.- Suponiendo que parten del reposo, calcule la aceleración inicial y la velocidad
límite de:
a) Una burbuja de aire en agua.
b) Una gota de agua en aire.
c) Una pompa de agua jabonosa, con el 0.1% de su volumen ocupado por el líquido, en
aire.
16
El radio es R=1 mm en los tres casos. Suponga que las densidades del aire dentro de la
pompa y del agua jabonosa son iguales, respectivamente, a las del aire y del agua.
Datos: densidad del agua =1 g/cm3, densidad del aire=1.2g/dm3, viscosidad del
agua=10-3 DP, viscosidad del aire=18·10-6 DP
R = 1mm = 0.1cm
E = ρmVg ρ m = densidad del medio
P = ρeVg ρe = densidad de la esfera
Fη =6π rηm v ηm = viscosidad del medio
vlim ⇒ ∑ F = 0
2
4 3
2 r g ( ρe − ρ m )
6π rηm vlim = π r g ( ρe − ρm ) → vlim =
3
9
ηm
vinicial = 0 → P − E = ma

ρeVg − ρmVg = ρeVa → a = g 1 −

ρm 

ρe 
a) Burbuja de aire en agua:
ηm = ηagua = 10−3 DP = 10−2 P 
ρe = ρaire = 1.2 ⋅10−3 g cm3
ρm = ρagua = 1 g cm3

:
a = g 1 −







1
→ a = −8156.9 m s 2
−3 

1.2 ⋅10 
a < 0 → la burbuja de aire sube
(
)
2
−3
2 0.1 ⋅ 980 ⋅ 1.2 ⋅10 − 1
vlim =
= −217.5 cm s
9
10−2
vlim = −2.175 m s
17
b) Gota de agua en aire:
ηm = ηaire = 18 ⋅10−6 DP = 18 ⋅10−5 P 

ρe = ρagua = 1 g cm3



ρm = ρaire = 1.2 ⋅10−3 g cm3
 1.2 ⋅10−3 
2
a = g 1 −
 → a = 9.788 m s
1


a > 0 → la gota de agua baja
(
)
2
−3
2 0.1 ⋅ 980 ⋅ 1 − 1.2 ⋅10
vlim =
= 12084.2 cm s
9
18 ⋅10−5
vlim = 120.842 m s
c) Pompa jabonosa en aire:
ηm = ηaire = 18 ⋅10−6 DP = 18 ⋅10−5 P 

ρm = ρaire = 1.2 ⋅10−3 g cm3

V jabón = 0.1%V pompa
4
4
π ( r 3 − ri 3 ) = 10−3 π r 3
3
3
 ri 3 
3
3
−3 3
r − ri = 10 r →  3  = 0.999 → ri ≃ 0.9997 mm
r 
ρe =
Vi ρ aire + Vliq ρ agua
V pompa
r 
= i 
r
3
  ri 3 
ρaire + 1 −    ρagua
  r  
ρe = 0.999 ⋅1.2 ⋅10−3 + (1 − 0.999 ) ⋅1 = 2.1988 ⋅10−3 g cm3 ≃ 2.2 ⋅10−3 g cm3

1.2 ⋅10−3 
a = g 1 −
→ a = 4.452 m s 2
−3 

2.1988 ⋅10 

a > 0 → la pompa jabonosa baja
18
(
)
2
−3
−3
2 0.1 ⋅ 980 ⋅ 2.1988 ⋅10 −1.2 ⋅10
vlim =
= 12.084 cm s
9
18 ⋅10−5
vlim = 0.1208 m s
18.-Determinar la fuerza total que actúa sobre la presa y la situación de la línea de
acción de dicha fuerza respecto de la parte inferior de la misma. La anchura de la presa
es de 10 m.
a)
P = ρ gh
dF = L ρ gh dh
L ρ gH 2
F = ∫ dF =
2
F = 1226250 N
b)
dM = ( H − h ) dF
H
 H3
0
 2
M = ∫ ( H − h ) L ρ gh dh = L ρ g 
M = ∑ Fd =
−
H 3  L ρ gH 2  H 
=
3 
2  3 
L ρ gH 2  H 
H
= 1.67 m
 →d =
2 3
3
d = 1.67m
19
19.-Un depósito cerrado, cilíndrico y de eje vertical, de 400 cm2 de base, contiene agua
y, por encima de esta, aire a presión manométrica de 3 atm. Se abre un orificio, cuya
área es de 1 cm2, a una profundidad de 1.5 m por debajo de la superficie libre del agua.
a) Calcular la velocidad de salida del agua.
b) Calcular la fuerza de reacción que produce el chorro sobre el resto del sistema.
a)
P1 − Patm = 3 atm
v1S1 = v2 S2 → v1 =
S2
v
S1 2
1
1
P1 + ρ gh1 + ρ v12 = P2 + ρ gh2 + ρ v22
2
2
2
1 S 
1
P1 − Patm + ρ gh + ρ  2  v22 = ρ v22
2  S1 
2
  
S
1
2
P1 − Patm + ρ gh = ρ v2 1 −  2 

2
 S1 
2

v22 = 2
P1 − Patm + ρ gh
  2 
S
ρ 1 −  2  
  S1  


≃2



P1 − Patm + ρ gh
ρ
v = 25.25m s
b)
dP d (mv) 
=
dt
dt  → F = ρ S v 2 = 2 ρ S P1 − Patm + ρ gh

2 2
2
ρ
dm ρ S2v2 dt 
=

dt
dt
F = 63.74 N
F=
20
20.-Un depósito derrama líquido (ρ=1200 kg/m) por un orificio muy estrecho practicado
en la base de una de sus paredes laterales.
a) Si la altura del líquido es de 2 m, y se desprecia la viscosidad, hallar la velocidad de
salida por el orificio.
b) Se conecta un tubo recto y horizontal en el orificio. El líquido derrama ahora por el
tubo en régimen laminar y viscoso, por lo que la velocidad de salida es la mitad de
la anterior. Hallar la energía disipada en el tubo por kg de líquido que circula, y la
diferencia de presión entre los extremos del tubo (“pérdida de carga en el mismo”).
c) Si el tubo es recto de 1 m de longitud, y de sección circular de 2 mm de radio,
calcular el coeficiente de viscosidad del líquido.
a)
P1 = P2 = Patm
ρ1 = ρ 2 = ρ
v1 ≃ 0
v12
P v2
+ gZ1 = 2 + 2 + gZ 2
ρ
2
ρ 2
1
g ( Z1 − Z 2 ) = v2 2
2
P1
+
h
v2 = 2 gh = 6.26 m s
v2 = 6.26 m s
b)
(Ver nota)
1
v f = vi (vi es v2 del apartado anterior)
2
1
1
∆Ec = mv f 2 − mvi 2
2
2
La energía disipada por kg será:
∆Ec 1 2 1 2
3
3
= v f − vi = − v f 2 = − vi 2 = −14.69 J kg = H e
m
2
2
2
8
H e ≡ pérdidas de carga ≡ energía/masa
H e = −14.69 J kg
(
)
1
1
3
1
Pi − Pf = ρ v f 2 − ρ vi 2 = ρ v f 2 − vi 2 = ρ H e = − ρ vi 2
2
2
2
8
Pi − Pf = −17634.42 Pa → la presión Pf es mayor que Pi
21
c)
r = 2 mm
v = 3.13 m / s
C = vm S
π R 4 ( P1 − P2 )
π R 4 ( P1 − P2 )
C=
→η =
8η L
8CL
η = 0.2817 ⋅10−2
Ns
= 0.2817 ⋅10−2 DP
2
m
Nota apartado b):
v12
P2 v22
+
+ gZ1 =
+
+ gZ 2 + H e
ρ 2
ρ
2
P1
0
1
H e = g ( Z1 − Z 2 ) − v22
2
(
)
Pero del apartado anterior: g Z1 − Z 2 =
1 2
v
2 2a
1
1
3
3
H e = v2a 2 − v22 = − v2 2 = − v2 a 2
2
2
2
8
P2 a − P2 = ρ H e
En el tubo horizontal:
v1 = v2 por continuidad
P1 − P2
= He
ρ
Al conectar el tubo la presión en 2a ya no es la misma sino que P2a es mayor que la
atmosférica.
22
23