Capítulo 5 IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO LINEAL PARA EL DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS 5.1.- INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior han sido examinados de manera sucinta los métodos utilizados para el dimensionado económico de redes ramificadas. Aunque cada uno de ellos presenta sus ventajas e inconvenientes, existen diversas razones, que serán expuestas a continuación, que nos conducen a sostener la superioridad del método de Programación Lineal, no solamente por el hecho de proporcionar mejores soluciones respecto de otras formulaciones, sino también por lo concerniente al aspecto metodológico. Desde que Dantzig enunciara en 1947 los principios del algoritmo SIMPLEX para la resolución de problemas de Programación Lineal, éste ha sido ampliamente utilizado en multitud de problemas de ingeniería, y por añadidura, ha sido aplicado para la resolución del problema que nos ocupa, referido al diseño económico de redes ramificadas de distribución de agua. En esta línea podemos citar algunas aportaciones tales como las debidas a Garton (1960, [12], citado por Pleban y Amir), Labye (1966, [16]), Karmeli et al. (1968, [15]), Robinson y Austin (1976, [22]), trabajo que incluye la consideración de válvulas reductoras de presión y que será analizado en detalle en el Capítulo 7; Bhave (1979, [5]) propone un criterio para la selección de los diámetros candidatos basado en el trayecto crítico; Pleban y Amir (1981, [20]) y Martínez et al. (1987, [18]) exponen en sus respectivos trabajos las medidas adoptadas para la implementación informática del problema. Además de estos trabajos, cabe citar también otros referidos al diseño económico de sistemas mallados, como son los de Calhoun [6] y Alperovits y Shamir [1], por la trascendencia que han supuesto en estudios posteriores. 5.1 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.1.1.- Formulación general del problema lineal En el capítulo anterior se expuso ya la formulación del modelo lineal para el dimensionado económico de una red ramificada. Puesto que dicha formulación constituye la base del presente capítulo, vamos a recordar brevemente como introducción la formulación general del problema, haciendo hincapié en los aspectos más relevantes. El modelo de Programación Lineal está basado en la consideración de que, en la solución final, una línea de la red deberá estar constituida por tuberías de diámetro normalizado (conjunto discreto y finito), y de este modo se formula el modelo considerando que hipotéticamente, una línea puede estar formada por varios tramos de diversos diámetros, siendo las incógnitas del problema las longitudes de dichos tramos. Este planteamiento, además de permitir la utilización de la Programación Lineal, proporciona directamente los diámetros normalizados que deben constituir las líneas de la red. Los diámetros que pueden formar parte de las líneas de la red reciben el nombre de diámetros candidatos, y deberán cumplir dos condiciones, a saber, deben ser diámetros estándar disponibles comercialmente y además, la velocidad de circulación del agua adoptando tales diámetros debe de estar comprendida entre los límites máximo y mínimo que se establezcan. De este modo el proceso de selección de diámetros candidatos incorpora de forma implícita las limitaciones de velocidad. En el caso de sistemas ramificados es posible obtener los caudales circulantes por las líneas una vez han sido establecidos los caudales consumidos en todos los nudos, independientemente del diámetro con el que resulten dimensionadas. Ello permite calcular los caudales circulantes por las líneas de la red sin necesidad de recurrir a las ecuaciones de energía (ecuaciones de pérdidas de carga), aprovechando tan sólo las ecuaciones de continuidad en los nudos de la red. Si consideramos los caudales de línea como datos de un nuevo modelo reducido del sistema, podemos calcular la pendiente hidráulica que resulta para cada diámetro candidato y el caudal circulante por la línea en cuestión, de modo que las ecuaciones de pérdidas de carga en trayectos de la red resultarán lineales respecto de las longitudes parciales de los diámetros candidatos, que son precisamente las variables de decisión en dicho modelo reducido. 5.2 5. Implementación de un modelo lineal ... Tal y como se ha visto con anterioridad, un modelo de simulación contempla la descripción más o menos exhaustiva del funcionamiento de una red en régimen permanente, mientras que un modelo de diseño incluye un conjunto de hipótesis de funcionamiento que representan los estados más críticos en los que puede funcionar la red, generalmente de manera condensada, de modo que tales hipótesis pueden representar situaciones ficticias que no correspondan necesariamente a un modo de funcionamiento real en régimen permanente. Por esta razón, el hecho de calcular los caudales circulantes independientemente de las ecuaciones de energía (esto es, sin tener en cuenta los diámetros de las tuberías) facilita la aplicación de otros criterios para definirlos, distintos de las ecuaciones de continuidad, como por ejemplo, el criterio probabilístico de Clèment [9] para redes de riego a la demanda, que ha sido tratado en el Capítulo 2. En el modelo de diseño se establecen restricciones de presión máxima y mínima en determinados nudos del sistema, bien sea por su condición de nudos extremos de consumo o por determinadas características topográficas que hacen necesario asegurar un valor mínimo de la presión en dicho nudo. Las presiones mínimas acontecerán en los nudos del sistema cuando circule el máximo caudal previsto a través de las líneas de la red, lo que dará lugar a las máximas pérdidas de carga posibles. En consecuencia, habrá que establecer restricciones de presión mínima en determinados nudos del sistema. El problema consiste en determinar cuáles son los nudos críticos del sistema, o expresado de otro modo, cuáles de los nudos del sistema deben de tener asociada una restricción de presión mínima; es evidente que cuanto menor sea su número, más reducido será el tamaño del modelo. Como mínimo habrá que considerar tantas restricciones de presión mínima como nudos extremos de la red y como máximo cabrá considerar tantas restricciones de presión mínima como nudos posee la red. Labye [16] sugiere en base a su propia experiencia que si N es el número de nudos de la red ramificada, resultará necesario establecer un promedio de N/3 restricciones de presión mínima. Alperovits y Shamir [1] proponen utilizar el mínimo número posible de restricciones de presión mínima, correspondientes solamente a los nudos extremos de la red, de modo que resolviendo el problema de optimización del sistema así formulado y analizando las presiones en el sistema resultante se pondrá de manifiesto la existencia de otros posibles nudos críticos al constatarse que la presión en dichos nudos queda por 5.3 5. Implementación de un modelo lineal ... debajo de su valor mínimo. En una segunda etapa se agregarán al modelo las restricciones de presión mínima correspondientes a los nuevos nudos críticos, de modo que la solución resultante verificará plenamente las restricciones de presión mínima en todos los nudos. Por otra parte, las presiones máximas que se registran en la red en régimen permanente suceden cuando al caudal circulante es nulo, esto es, en ausencia de pérdidas de carga (presión hidrostática). Cuando la altura piezométrica de alimentación de la red toma un valor conocido, no existe posibilidad de modificar las presiones máximas en régimen permanente en los nudos de la red, a menos que se introduzcan elementos auxiliares para tal cometido, como las válvulas reductoras de presión. Sin embargo, cuando la altura de cabecera es variable, sí es posible modificar las presiones estáticas que soportan los nudos del sistema, y es por tanto posible establecer restricciones de presión máxima en los nudos del sistema, que quedarían reducidas a una única, a saber: Hc ≤ min zk ∀k PMAX k (5.1) siendo Hc la altura de cabecera, zk la cota geométrica del nudo genérico k, y PMAXk el valor de la altura de presión máxima establecida para dicho nudo. La restricción de presión máxima puede llegar a resultar incompatible con las restricciones de presión mínima, normalmente cuando se presentan diferencias importantes entre las cotas de los nudos del sistema; en tal caso significaría que la máxima altura en cabecera permitida por la restricción de presión máxima es insuficiente para poder dotar con la presión mínima a algunos nudos del sistema. Además de las restricciones de tipo hidráulico que acabamos de apuntar, hay que considerar una restricción implícita que se considera al aplicar el algoritmo SIMPLEX para la resolución del problema, según la cual, todas las variables de decisión deben de ser no negativas, cual es precisamente el caso que nos ocupa, puesto que las longitudes parciales Li,j sólo pueden tener un sentido físico de este modo, al igual que la altura de bombeo Hb. 5.4 5. Implementación de un modelo lineal ... Finalmente, existe otro tipo de restricciones geométricas que no están implícitamente contenidas en las anteriores y por lo tanto, debe ser especificadas. Tales restricciones se aplican en todas las líneas de la red e indican que la suma de las longitudes parciales Li,j debe de ser igual a la longitud total Li de la línea en cuestión. Todas las restricciones del modelo que acabamos de exponer son lineales respecto de las variables de decisión del problema (longitudes parciales Li,j, y en su caso, la altura de bombeo Hb), y por tanto definen un espacio de soluciones convexo. La función objetivo representa precisamente el coste asociado a la red que se dimensiona, y que se pretende minimizar. La función objetivo debe incluir la contribución de todas las variables de decisión del problema, esto es, longitudes parciales Li,j y en su caso, altura de bombeo Hb. La inclusión formal de todos los costes implicados, tanto en la implantación del sistema (inversión), como en su operación deberá ser efectuada a través de las variables de decisión que han sido definidas, y en este sentido podemos asociar a groso modo los costes de inversión con el coste de las tuberías de la red, y los costes de operación con el coste energético derivado del funcionamiento de la red. Existen otros elementos singulares en la red que, merced a la importancia cualitativa de su coste de construcción, parece necesario tener en cuenta en la función objetivo. Tal es el caso, por ejemplo, de un depósito para la alimentación por gravedad de la red. La ubicación más adecuada del depósito será seleccionada en función de la necesidad de contar con una cota de alimentación suficiente en cabeza de la red para poder servir las solicitaciones de los puntos de consumo, tanto en caudal como en presión. Otro tanto podemos decir del coste de construcción de la estación de bombeo. En una gran parte de los casos es necesario aportar energía al agua para poder alcanzar los niveles de servicio exigidos en la red. Como recordaremos del capítulo 4 (apartado 4.4.4.2) el coste de un grupo motor-bomba es creciente con la potencia del mismo, aunque presenta una economía de escala, esto es, el coste residual de una unidad de potencia adicional decrece con la potencia, y por añadidura, con la altura de bombeo. No hay que olvidar que además, la 5.5 5. Implementación de un modelo lineal ... estación de bombeo cuenta con otros elementos constructivos cuyo coste es poco sensible a la magnitud de la potencia instalada. Por todas estas razones, la consideración del coste de construcción de una estación de bombeo como un coste fijo e invariable no supone una gran desviación sobre lo que sería la configuración óptima de la solución final. Cabe asimismo la alternativa de linealizar las funciones de coste que no sean lineales en diversas iteraciones para su inclusión dentro de la formulación lineal, aunque lógicamente, por cada iteración será necesario resolver un problema distinto de PL. En el caso de que sea necesario un aporte de energía al sistema, el coste energético derivado de la operación de la red está fuertemente condicionado por el diseño de la misma: un mal diseño o una estimación poco realista de los costes que puede acarrear conduce siempre a un derroche en la energía consumida. El coste energético implicado en el funcionamiento de la red debe de considerar la evolución de las condiciones de servicio de la misma durante un período de tiempo (normalmente un año), incluyendo períodos de punta, llano y valle. Expresado de otro modo, el coste de inversión en tuberías es una consecuencia de los requisitos de funcionamiento extremos, mientras que el coste energético es el resultado de unas condiciones promedio. En cuanto a otros gastos de operación, como por ejemplo, los correspondientes a mantenimiento y personal, sólo puede decirse que no existe una relación explícita (ni mucho menos lineal) entre los mismos y las variables de decisión del problema; este tipo de costes estará mucho más condicionado por factores tales como la calidad y fiabilidad de los componentes de la red y de su montaje, el nivel de automatización de la operación, etc. En definitiva, la función objetivo del problema será la siguiente: Altura de cabecera conocida : CT ( ptas ) ci,j Li,j i j (5.2) Altura de cabecera incógnita : CT ( ptas/año ) Kb Hb at ci,j Li,j i j En el caso de un problema con altura de cabecera conocida, se pretende minimizar el coste total de inversión en tuberías, siendo ci,j el coste unitario del diámetro candidato 5.6 5. Implementación de un modelo lineal ... Dji y Li,j la longitud parcial del citado diámetro en la línea i. Si la altura de cabecera es una incógnita, se busca minimizar el coste anual compuesto por la suma del coste energético, que puede expresarse como una función lineal de la altura de bombeo Hb, como se vio en el anterior capítulo, y la amortización de la inversión en tuberías, haciendo intervenir el factor de amortización at. En ambos casos, la función objetivo del problema CT es una función lineal de las variables del problema, esto es, una función que es tanto cóncava como convexa. Las restricciones explícitas del problema son: Restricciones de presión mínima: Se aplican en los nudos k seleccionados. Hk Hc i ∈ Sk j i , j Li , j ≥ zk PMINk H min , k (5.3) j Restricciones de presión máxima: Sólo una restricción y sólo si Hc es variable. Hc ≤ min zk ∀k (5.4) PMAXk Restricciones geométricas: Se aplican en todas las líneas i de la red. Li,j Li ∀i (5.5) j Como recordaremos, los términos de las restricciones son: Hc Altura piezométrica de cabecera. Hk Altura piezométrica en el nudo k. Hmin,k Altura piezométrica mínima admitida en el nudo k. zk Cota geométrica del nudo k. PMINk Altura de presión mínima admitida en el nudo k. PMAXk Altura de presión máxima admitida en el nudo k. ji,j Pendiente hidráulica del diámetro candidato Dji para el caudal de diseño de la línea i. Li,j Longitud del diámetro candidato Dji dentro de la línea i. Li Longitud total de la línea i. 5.7 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.1.2.- Características de los modelos de PL El modelo de optimización propuesto, al igual que cualquier otro tipo de modelo, pretende tomar en consideración únicamente aquellos factores que son relevantes para el propósito con el que se plantea, en este caso, el dimensionado más económico de una red ramificada cumpliendo determinados requisitos funcionales. La formulación propuesta pertenece claramente al tipo de problemas planteados en la PL, por lo que resultan aplicables todas las propiedades de los mismos, y en particular, el algoritmo SIMPLEX, apto para su resolución. A continuación resumimos brevemente las particularidades que caracterizan a este tipo de problemas. Los problemas de PL se plantean como la asignación/distribución económica de determinadas actividades (longitudes parciales Li,j y altura de bombeo Hb) entre recursos limitados (longitud de las líneas de la red, pérdida de carga en trayectos seleccionados, y en su caso, altura piezométrica máxima en cabecera). La capacidad del problema para ser formulado como un problema de PL viene dada por las siguientes condiciones (Hillier y Lieberman [14]): a) Proporcionalidad: Considerando aisladamente cada una de las actividades del problema, su influencia en la función objetivo debe ser proporcional al valor de la actividad, al igual que el nivel de utilización de los recursos, debiendo mantenerse la relación de proporcionalidad en todo el rango de validez de la actividad. El problema de dimensionado económico que nos ocupa cumple perfectamente con esta hipótesis. b) A ditividad: La hipótesis de proporcionalidad no permite asegurar por sí sola que la función objetivo y las restricciones sean lineales. Si existe interacción entre alguna de las actividades aparecerán términos de orden superior en estas funciones. La hipótesis de aditividad supone que no existe interacción entre las actividades, de modo que el valor total de cualquiera de las funciones implicadas (función objetivo y restricciones) se obtendrá como la suma de las contribuciones individuales de cada actividad. 5.8 5. Implementación de un modelo lineal ... En determinadas circunstancias no se cumple la hipótesis de aditividad en el problema de dimensionado: cuando la altura de bombeo en cabecera es una variable del problema, la presión hidrostática a la que están sometidas las tuberías dependerá del valor de Hb. El coste unitario de una tubería es función de su diámetro interno y también de la presión de trabajo que puede soportar, de modo que la contribución de una longitud parcial en la función objetivo puede expresarse como: (5.6) at c i , j ( H b ) L i , j lo que supone la aparición de términos de orden superior en la función objetivo, debido a la interacción entre Hb y todas las variables Li,j. Para soslayar este inconveniente, es necesario realizar una estimación del valor probable de la altura de bombeo Hb, que permitirá asignar la presión de trabajo de las tuberías utilizables en cada una de las líneas de la red. De este modo, los coeficientes de coste unitario de las tuberías ci,j pueden considerarse constantes en la resolución del problema de PL. Una vez obtenida una solución será necesario comprobar si el nuevo valor obtenido de Hb da lugar a las mismas presiones de trabajo hipotéticas. En caso contrario, será necesario modificar los coeficientes ci,j e iniciar un nuevo cálculo. Por desgracia, no existe garantía para la convergencia de este proceso iterativo, que puede presentar un comportamiento oscilatorio. Lo único que podemos constatar es que después de procesar una gran cantidad de casos, nunca nos hemos encontrado con uno de ellos que presentase un comportamiento oscilatorio. c) Divisibilidad: Las actividades de un problema de PL admiten cualquier nivel fraccionario, esto es, en general resultan valores reales. Las tuberías comerciales son suministradas normalmente en segmentos de una longitud determinada, de modo que parecería conveniente plantear el problema de dimensionado en términos del número entero de segmentos de un determinado tipo de tubería en lugar de trabajar con las longitudes parciales Li,j. Un problema planteado de este modo es resoluble mediante Programación Lineal en tanto que la longitud de las líneas sea múltiplo entero de la longitud de los segmentos de tubería, utilizando las técnicas especiales de la Programación Entera. Sin embargo, desde el punto de vista operativo, las técnicas de Programación Entera obligan a resolver una secuencia de problemas de PL, con un volumen de cálculos mucho mayor, que solamente estaría justificado si los resultados obtenidos fuesen netamente superiores a los que proporciona la formulación de PL convencional, con valores reales de Li,j. 5.9 5. Implementación de un modelo lineal ... Comúnmente, los segmentos comerciales de tubería poseen una longitud muy pequeña en relación con la de las líneas de la red; por ello es posible ajustar las longitudes de los tramos de tubería, una vez finalizada la optimización, sin modificar sustancialmente el estado de presiones en el sistema. d) Certidumbre: Esta hipótesis indica simplemente que los coeficientes del modelo (coeficientes de coste Kb y ci,j, pendientes hidráulicas ji,j, longitudes Li de las tuberías, pérdida de carga admisible en trayectos de tuberías) deben ser constantes de valor conocido. En los problemas que implican la modelización de sistemas reales, esta condición resulta satisfecha automáticamente. Sin embargo, los parámetros utilizados en la modelización de sistemas en proyecto adolecen siempre de un cierto grado de incertidumbre. En el dimensionado económico de redes ramificadas es posible estimar con un alto grado de exactitud los costes unitarios asociados a las tuberías ci,j, así como el valor de las pendientes hidráulicas ji,j que resultará al circular un caudal qi a través de una tubería con diámetro Dj. Sin embargo, el establecimiento de la hipótesis crítica de caudales circulantes contiene ya de por sí cierto grado de incertidumbre. Del mismo modo, la estimación del coste energético implicado en la operación ordinaria del sistema condiciona su validez a la exactitud con que se defina la modulación de los caudales bombeados. El análisis de sensibilidad permite conocer la influencia que pueden tener los parámetros del problema sobre la solución final. 5.1.3.- Análisis de las posibles soluciones Todos los problema de PL presentan un conjunto de posibilidades a la hora de obtener la solución al mismo, que vamos a analizar a continuación, interpretándolas desde el punto de vista del problema que nos ocupa. Pueden presentarse las siguientes situaciones: a) El problema no tiene solución: En este caso, las restricciones explícitas del problema definen un espacio de soluciones vacío, de modo que ninguna posible combinación de valores de las variables se ciñen a las mismas. Tal es caso que se presenta, por ejemplo, cuando la altura de cabecera Hc es un valor fijo y es inferior a las necesidades de presión mínima de algún nudo k, esto es: ∃ nudok / Hc < zk 5.10 PMINk (5.7) 5. Implementación de un modelo lineal ... Para soslayar este problema, la solución consistiría en instalar una estación de bombeo en cabecera que permitiese proporcionar presión a los nudos problemáticos. También puede suceder algo similar cuando la altura de cabecera es variable y se impone una restricción de presión máxima, de modo que el máximo valor que puede adoptar la altura de cabecera (Hmax,c) determinado por la restricción de presión máxima: H max , c min zk k PMAXk (5.8) resulta inferior a la altura piezométrica mínima en algún nudo k: H max , c < zk PMINk H min , k (5.9) En este caso, sólo cabe la posibilidad de eliminar la restricción de presión máxima, por resultar incompatible. Se ha juzgado oportuno no considerar la restricción de presión máxima en el modelo desarrollado para eliminar esta posible causa de incompatibilidad. La última circunstancia que daría lugar a esta situación sería aquella en la cual alimentando el sistema con una altura conocida y aún utilizando los máximos diámetros que permite la limitación de velocidad mínima, fuese imposible alcanzar la altura piezométrica mínima en alguno de los nudos. La solución a este inconveniente pasaría por reducir el límite inferior de velocidad o bien, plantear la alimentación de la red mediante una estación de bombeo. b) La función objetivo alcanza un valor mínimo absoluto en un punto del espacio de soluciones. Es el caso que debería darse para afirma r que existe una solución óptima que minimiza la función de costes establecida cumpliendo todas las restricciones del problema. c) La función objetivo alcanza un valor mínimo absoluto pero en infinitos puntos del espacio de soluciones. Como ejemplo de esta situación, recordemos el caso de infinitas soluciones óptimas que se presentó en el dimensionado óptimo de una tubería de impulsión, el Capítulo 4 (apartado 4.6.3); tal situación ocurría como consecuencia de que el ahorro producido por disminuir el diámetro de la impulsión resultaba exactamente igual al incremento del coste energético necesario para compensar las pérdidas de carga adicionales. d) La función objetivo no está acotada, esto es, puede reducir su valor infinitamente: Esta eventualidad realmente no tiene ningún sentido en el problema que nos 5.11 5. Implementación de un modelo lineal ... ocupa, puesto que en un caso extremo, las líneas de la red quedarían configuradas con el diámetro candidato de menor tamaño posible, y consecuentemente, la función objetivo resultará acotada inferiormente. 5.1.4.- Ventajas de la formulación mediante Programación Lineal: Con todo lo expuesto, la formulación del problema de dimensionado mediante Programación Lineal cuenta con una serie de ventajas respecto del resto de métodos que pasamos a exponer. La formulación mediante PL se ajusta de modo preciso y exacto al problema de dimensionado de redes ramificadas, tanto en el caso de la función objetivo como en el de las restricciones de pérdidas de carga. No se trata en definitiva de ninguna clase de aproximación, sino que una simple modificación en las variables de decisión del problema, considerando como tales a las longitudes parciales de los diámetros candidatos en lugar de tomar la propia magnitud de los diámetros, consigue modificar la estructura del problema de dimensionado de una red ramificada con un único punto de alimentación, generando un problema lineal. Permite considerar globalmente todas las líneas de la red en el proceso de optimización, sin necesidad de recurrir a simplificaciones, como en el caso de la aplicación del criterio de la serie económica por series de tuberías. Parte de la base de que los diámetros candidatos están determinados previamente a la formulación del problema, y en consecuencia, también lo está toda la información asociada con dichos diámetros (coste unitario y rugosidad) de manera que el conjunto de diámetros candidatos puede ser elegido de entre aquellos que están disponibles comercialmente. De este hecho se deriva una solución óptima final configurada directamente por diámetros comerciales, sin necesidad de acudir a un proceso ulterior de normalización de los diámetros, al contrario que en el caso de las formulaciones en diámetros continuos. Los limites de velocidad máxima y mínima son incorporados directamente en el proceso de selección de los diámetros candidatos, tanto si se trata de límites generales para todas las tuberías de la red, como si se aplican límites selectivos 5.12 5. Implementación de un modelo lineal ... establecidos en función del posible diámetro de las mismas, tal como proponen determinados autores (Granados [13]), y ello merced a que los caudales circulantes pueden calcularse independientemente de los diámetros de las tuberías, al tratarse de una red ramificada con un único punto de alimentación. Las formulaciones en diámetros continuos no incorporan directamente en general las limitaciones de velocidad, por lo que se hace necesario realizar modificaciones sobre la solución obtenida. La formulación mediante Programación Lineal proporciona la solución óptima ajustando al máximo, si ello es posible, la pérdida de carga disponible en los distintos trayectos de tuberías, sin introducir las holguras de presión que sistemáticamente presentan las soluciones obtenidas mediante Programación Dinámica. Cabe la posibilidad de incluir restricciones de presión máxima. En realidad, sólo será posible si la altura en cabecera es una variable del problema, y en tal caso, sólo cabe hablar de una única restricción de presión máxima. La formulación lineal permite incorporar en el modelo la consideración de varios estados de carga en el dimensionado de la red, por medio de la ampliación del conjunto de restricciones de presión. La oferta de aplicaciones estándar de Programación Lineal disponibles en el mercado es actualmente muy amplia. La formulación lineal, además de proporcionar la solución óptima, en el caso de que exista, permite estudiar la influencia de los diferentes parámetros del problema sobre la solución final, por medio del Análisis de Sensibilidad. 5.1.5.- Inconvenientes de la formulación lineal: Consideremos no obstante también algunos inconvenientes: No incluye de forma explícita la influencia de la presión de trabajo de las tuberías en la función objetivo. En realidad, casi ningún otro método contempla esta circunstancia (a excepción de los propuestos por Canales Ruiz [7] y Berthome et al. [4]). 5.13 5. Implementación de un modelo lineal ... Cabe la posibilidad de que la solución óptima final obtenida mediante PL contenga tramos cortos de tubería, de longitud impracticable, que haría necesario efectuar correcciones sobre dicha solución. La solución óptima final puede no cumplir la condición de tubería telescópica (menor diámetro a mayor caudal) en alguno de los trayectos, puesto que tal condición no está contenida explícitamente en el conjunto de restricciones del problema. En el caso de que la altura en cabecera sea una incógnita del problema, resulta necesario realizar sucesivas iteraciones hasta que la presión de trabajo de las tuberías sea compatible con la presión hidrostática que se deriva del valor actual de la altura en cabecera (como ya se ha apuntado, la relación entre ambos parámetros no es explícita en el modelo). Cuando se considera un número limitado de diámetros candidatos por línea (como suele ser habitual, al objeto de reducir el tamaño del modelo), puede ser necesario aplicar el procedimiento de resolución iterativamente hasta conseguir que los diámetros finalmente escogidos queden centrados en el intervalo de los candidatos para poder asegurar que se trata de la solución óptima. Cuando interviene en el problema cualquier factor de naturaleza no lineal, es ineludible aplicar el procedimiento de resolución de forma iterativa, linealizando en cada iteración las funciones implicadas. La formulación lineal del problema necesita mucha capacidad de memoria para la ubicación de los datos, aún en el caso de problemas de pequeño tamaño. Pese a la disponibilidad de software estándar, el problema de dimensionado económico de redes ramificadas requiere un gran esfuerzo adicional para definir todos los coeficientes de la función objetivo y las restricciones, lo que justifica sobradamente el desarrollo de una aplicación específica tal como la que se expone en el presente capítulo. 5.14 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO Como ya hemos indicado, el presente capítulo se ha dedicado al desarrollo de una aplicación para el dimensionado de redes ramificadas basada en la formulación mediante Programación Lineal. Una de las razones más importantes que nos conducen a utilizar este tipo de formulación estriba en la certidumbre de que, en el caso de que exista una solución factible para el problema de dimensionado, el método proporcionará la solución óptima desde el punto de vista económico, y además, tras un número finito de cálculos. La principal dificultad de la que adolece el método consiste en la determinación y el establecimiento formal del problema, esto es, la etapa de cálculo de los coeficientes de las restricciones de presión mínima y el ensamblado del problema. Debido a ello, la disponibilidad de software estándar para resolución de problemas de Programación Lineal, que es una ventaja en principio, resulta un inconveniente bajo el punto de vista del usuario, puesto que la elaboración de la información previa para establecer el modelo constituye una labor larga y pesada. Otra desventaja adicional que presenta el software estándar es precisamente la generalidad con que ha sido concebido, de modo que no aprovecha las características particulares del problema de optimización en redes ramificadas que pueden favorecer una resolución más rápida o con menor consumo de memoria por parte del ordenador. Por estas razones, la implementación informática propuesta debe discurrir por dos frentes de trabajo bien diferentes: por un lado debe de proporcionar al usuario las herramientas apropiadas para facilitar en lo posible el trabajo de entrada de datos y de elaboración de los mismos para poder formular finalmente un programa lineal; por otra parte y considerando la insuficiencia potencial del software estándar, cabe la posibilidad de diseñar un algoritmo de cálculo específico para el problema que se trata, buscando la mayor y más eficiente utilización de los recursos con que se cuenta, fundamentalmente la disponibilidad de memoria del ordenador. Los elementos que se manejan en Programación Lineal tienen una "traducción" inmediata sobre el sistema hidráulico que es objeto de la optimización. No se trata por tanto de un procedimiento tipo "caja negra" en el que se introduce la información y se obtiene una solución óptima, sino que el tratamiento matemático del problema está estrechamente relacionado con el sistema hidráulico representado. Aparte de esto, la 5.15 5. Implementación de un modelo lineal ... formulación mediante PL permite incorporar recursos adicionales para evaluar de forma satisfactoria la sensibilidad que presenta la solución óptima ante los diferentes parámetros de diseño del problema, como son los coeficientes de coste de los distintos elementos y las presiones mínimas admisibles en los distintos nudos seleccionados, e incluso de la presión de alimentación de la red. 5.2.1. Características generales de la aplicación. El programa DIOPRAM, cuya descripción el objeto del presente capítulo, ha sido desarrollado para solventar los problemas aducidos. La utilidad principal del programa DIOPRAM (DImensionado OPtimo de redes RAMificadas) consiste en resolver el modelo en tiempos de ejecución relativamente cortos, de modo que sea posible evaluar un gran número de alternativas para el mismo problema con cierta rapidez y flexibilidad. Para conseguir este objetivo el programa ha sido dotado de una estructura sencilla, que el usuario pueda seguir fácilmente. En este sentido, se sobrentiende que el usuario posee los conocimientos suficientes del problema analizado desde la perspectiva hidráulica, pero no tiene por qué contar con grandes conocimientos de informática ni del funcionamiento interno del programa. Por esta razón, el usuario es guiado a través de una estructura de menús, que resulta secuencial cuando se sigue la operación normal del programa. Además de la sencillez en el funcionamiento externo, el programa es interactivo, facilitando el intercambio de información con el usuario, presentando la información relevante en cada momento por pantalla, y habilitando opciones accesibles para la entrada, corrección y salida de datos y resultados; también se permite la intervención del usuario para modificar parcialmente el proceso de cálculo. La utilización de ficheros de datos y resultados será fundamental para facilitar la recuperación y modificación de la información. Para eliminar, al menos en parte, una posible fuente de errores, todos los datos son filtrados por el programa, verificando si el dato que se entrega es el del tipo esperado, y comprobando también que el dato aportado está comprendido entre unos valores máximo y mínimo (definidos internamente en el programa), para evitar la introducción 5.16 5. Implementación de un modelo lineal ... de valores carentes de sentido que acabarían produciendo condiciones de error o resultados incorrectos cuya causa sería difícil de identificar a posteriori. Independientemente de los resultados que se obtengan del proceso de optimización, el usuario puede modificar la solución final a voluntad, lo que va a permitirle introducir consideraciones adicionales que van más allá del ámbito puramente económico y que sería difícil introducir directamente en el modelo. 5.2.2. Características de las redes objeto del dimensionado económico. El programa DIOPRAM constituye una herramienta de cálculo apropiada para el dimensionado óptimo en régimen permanente de redes ramificadas. Aún siendo completamente general, presenta un marcado enfoque para su aplicación en las redes de riego a la demanda, para las cuales el dimensionado económico tiene una gran importancia. La finalidad es el dimensionado de las tuberías primarias y secundarias de la red de riego; los puntos de consumo se corresponden con los puntos de alimentación de las subunidades de riego y las solicitaciones de los mismos se definen mediante un caudal crítico y una presión mínima de servicio. Además de la topología ramificada, se exige la existencia de un único punto de alimentación, de modo que la determinación de los caudales circulantes pueda ser llevada a cabo previamente a la formulación del modelo de optimización y con independencia de la resistencia hidráulica de las líneas. Se considera que el trazado de la red está definido a priori; aunque en teoría el trazado podría ser también objeto de optimización, lo cierto es que suele estar condicionado por multitud de circunstancias ajenas al propio proceso de diseño, que restringen los posibles trazados a unas pocas alternativas. El problema puede plantearse considerando que la alimentación del sistema se realiza con altura piezométrica conocida (alimentación por gravedad o mediante una EB con altura de bombeo fijada), o bien, considerando la alimentación mediante una EB en cabecera, cuya altura de bombeo hay que determinar. Aunque el modelo de PL permite incluir múltiples estados de carga, hay que tener en cuenta que ello redunda en un aumento considerable de las restricciones del problema (el número de restricciones de presión que hay que definir es aproximadamente 5.17 5. Implementación de un modelo lineal ... proporcional al número de estados de carga considerados); dado que la memoria disponible para operar con el modelo está limitada, se ha optado por permitir el dimensionado de redes de tamaño importante, aunque considerando tan sólo un único estado de cargas, que represente las condiciones más críticas de funcionamiento de la red. Los caudales circulantes pueden calcularse de varias formas, que van desde la sencilla acumulación de los consumos producidos aguas abajo de una línea, hasta la definición directa del caudal circulante en las líneas por parte del usuario. Para el dimensionado se utilizarán diámetros disponibles comercialmente, de modo que la posibilidad de utilizar un determinado diámetro dentro de una línea vendrá determinada por el propio usuario al seleccionar los materiales posibles y sus respectivos rangos de utilización, y también por los límites de velocidad máxima y mínima impuestos. En la función objetivo se considera el coste de la inversión en tuberías, y en su caso, el coste energético anual. Aunque éstos no son todos los costes implicados en la construcción y operación del sistema, representan la parte más importante de los mismos; por otro lado, el resto de los costes involucrados, o bien pueden ser incluidos junto con los anteriores (por ser aproximadamente proporcionales), o bien no son excesivamente sensibles a los cambios en las variables del modelo. 5.2.3. Características adicionales del programa. Además de las características mencionadas, que corresponden al desarrollo elemental del modelo teórico, se ha dotado al programa con otras que faciliten la implantación final de la solución obtenida, a saber: El proceso de optimización consta de dos fases: la primera de ellas, que hemos dado en llamar fase de Predimensionado, consiste en obtener una solución al problema mediante el método de la serie económica, expuesto en el capítulo anterior. La solución obtenida permite entrar en la segunda fase, denominada de Optimización, que consiste precisamente en la aplicación del algoritmo SIMPLEX para la resolución del problema de PL en su fase II, esto es, en la mejora de la solución factible obtenida. 5.18 5. Implementación de un modelo lineal ... En el caso de que los caudales circulantes sean calculados mediante el método probabilístico de Clèment, es posible definir los parámetros de varios hidrantes individuales (hasta un total de seis) en el mismo nudo; si el número de hidrantes servidos en el nudo es superior a seis, se simplifica la introducción de los datos solicitando únicamente unos pocos datos significativos del conjunto de hidrantes. Con el objeto de dimensionar una red parcialmente existente, el programa incluye la definición de todos los datos que permitan calcular la pérdida de carga en dichas líneas existentes (para el estado de cargas considerado en el diseño), que intervendrán como constantes en las restricciones de presión del problema. Para seleccionar la presión de trabajo de las tuberías se puede tomar como referencia el valor de la máxima presión hidrostática a la que está sometida la tubería, o bien aplicar a este valor un margen de seguridad expresado como altura de presión, valor que será uniforme para todas las tuberías de la red, o finalmente, puede hacerse uso de un criterio de seguridad selectivo en función del material de la tubería, presión de trabajo, diámetro y longitud de la línea en cuestión. Las pérdidas de carga en las tuberías se calculan mediante la expresión de Darcy-Weisbach, con el factor de fricción que proporciona la fórmula de Colebrook-White (considerando siempre el flujo en régimen turbulento). Para poder efectuar este cálculo es necesario conocer la rugosidad de los diversos materiales de tubería utilizados en el dimensionado. El programa contempla la posibilidad de incluir pérdidas de carga adicionales individualizadas en cada una de las líneas mediante la adición de una longitud equivalente en cada una de ellas. Además de este margen de seguridad en el cálculo de las pérdidas de carga, es posible definir un porcentaje uniforme de mayoración de las pérdidas de carga para todas las tuberías de la red. Ambos tipos de coeficientes pueden actuar también en el cálculo de pérdidas de carga de las tuberías previamente existentes. Cuando el problema de dimensionado incluye el consumo de energía eléctrica debido a la presencia de una estación elevadora, los costes energéticos pueden calcularse de un modo muy ajustado, al contemplar tipos de discriminación horaria en la tarifa eléctrica, incluyendo el término de potencia instalada (con un margen 5.19 5. Implementación de un modelo lineal ... de seguridad sobre el valor de la misma), el recargo/descuento por energía reactiva, la promediación del coste energético considerando una tasa anual de incremento en los costes, y la posibilidad de que exista un depósito de regulación intermedio entre la EB y la red, definiendo en este caso la pérdida de carga estimada en la impulsión. Una vez dimensionada la red, es posible analizar su comportamiento incluyendo válvulas reductoras de presión (VRP) en puntos seleccionados por el usuario. Esta utilidad proporciona el ahorro en tuberías que se puede lograr como consecuencia de la disminución de la presión hidrostática provocada por la intervención de tales dispositivos. La solución finalmente obtenida puede ser modificada a voluntad por parte del usuario, corrigiendo diámetros, presiones de trabajo e incluso eliminado tramos de pequeña longitud. Permite la estimación de los elementos auxiliares de conexión necesarios, así como el número de ventosas y válvulas de purga. También proporciona resultados sobre el movimiento de tierras a partir de una zanja tipo, cuyos parámetros generales puede definir el usuario. El programa ha sido desarrollado en un equipo Hewlett-Packard HP-9816 (Serie 200), con una memoria RAM de 1'5 Mbytes. Esta limitación permite acometer el dimensionado de redes ramificadas con un único punto de inyección de hasta 250 líneas, considerando un máximo de 8 materiales, cada uno de los cuales puede tener hasta 10 presiones de trabajo distintas, y dentro de ellas, hasta 30 diámetros. En la fase de análisis con válvulas reductoras se puede considerar hasta 50 válvulas. El programa ha sido escrito en lenguaje RM BASIC 5.0, que es un lenguaje BASIC extendido para el equipo mencionado y que permite organizar el programa de modo que una vez cargado en memoria el programa principal y reservado el espacio para los datos, se pueden realizar diversas tareas a través de subprogramas que se cargan en memoria cuando son necesarios, y una vez ejecutados, liberan la porción ocupada; de este modo, es posible utilizar más espacio de memoria para los datos de la red en curso. 5.20 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.3. ESTRUCTURA GENERAL DEL PROGRAMA DIOPRAM El funcionamiento del programa DIOPRAM puede describirse en términos de un proceso que, en condiciones normales, se sigue en forma secuencial, dividido en cuatro etapas, a saber: Entrada de datos Tratamiento previo de los datos Predimensionado de la red Optimización de la red Desde cualquiera de las etapas descritas es posible avanzar a la siguiente o bien retroceder a la anterior. Una vez se ha dimensionado la red (bien se trate de la etapa de predimensionado o de la de optimización), cabe la posibilidad de analizar el comportamiento de la misma, para las condiciones de diseño, haciendo intervenir un conjunto de válvulas reductoras de presión. Existe un conjunto de tareas generales que pueden ser acometidas desde cualquiera de las fases del programa, como son: Listado de los datos introducidos. Listado de los resultados (solamente cuando se ha dimensionado la red). Configuración de la impresora. Gestión de la base de datos de materiales de tuberías. Almacenamiento de los datos y resultados de la red en ficheros. Correcciones sobre los datos o resultados. Cuando la red no ha sido dimensionada, es posible corregir y modificar los datos de partida; una vez se ha dimensionado, las correcciones atañen a los resultados obtenidos, más concretamente a las características de las tuberías resultantes. La fase de entrada de datos consiste en aportar al programa todos los datos necesarios para poder formular el problema de dimensionado. El siguiente paso consistirá en efectuar una elaboración de los datos introducidos a fin de determinar la validez de la configuración, calcular los caudales circulantes, establecer los parámetros de coste de la energía, etc... 5.21 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.1.- Estructura general del programa DIOPRAM. 5.22 5. Implementación de un modelo lineal ... La etapa de Predimensionado, a pesar de su nombre, proporciona una solución hidráulicamente factible al problema de dimensionado económico obtenida mediante el método de la serie económica y su objetivo final es generar una solución básica factible que sirva como punto de partida para resolver el problema de PL mediante el algoritmo SIMPLEX en su fase II. Naturalmente, en la fase de Predimensionado es posible determinar si el problema posee o no soluciones factibles, y en caso negativo, no será posible seguir adelante. La etapa de Optimización consiste en utilizar la solución básica factible obtenida en la etapa anterior como punto de entrada al algoritmo SIMPLEX en su fase II para la mejora de la misma, mediante la formulación del problema de dimensionado óptimo como un problema de Programación Lineal. Al finalizar cualquiera de estas dos etapas de dimensionado, el programa DIOPRAM incorpora la posibilidad de analizar el comportamiento hidráulico de la red dimensionada incluyendo válvulas reductoras de presión, permitiendo estudiar asimismo el ahorro que consiguen al reducir la presión de trabajo de las tuberías. 5.4. INTRODUCCIÓN DE LOS DATOS DE LA INSTALACIÓN Podemos clasificar los datos con que opera el programa DIOPRAM en cuatro grandes grupos, que serían: Datos Generales: Incluye un conjunto de datos que son generales y propios de la red que se procesa. Datos de Configuración: Todos aquellos que caracterizan a los elementos (las líneas y los nudos) de la red a dimensionar. Criterios de diseño: Incluye los datos que, de alguna manera, reflejan las decisiones del proyectista en cuanto al diseño de la red, principalmente en el aspecto hidráulico. Criterios económicos: Conjunto de datos que afecta de modo general al cálculo de los costes que intervienen en el problema de dimensionado. 5.23 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.4.1. Datos generales: Titulo del trabajo, a fin de identificar su contenido tanto en los listados impresos como en la pantalla del ordenador. Cota geométrica del nudo de alimentación (nudo de cabecera). Modalidad de introducción de los caudales: los caudales que circulan por las líneas de la red pueden ser definidos como: a) consumos asignados en los nudos de la red, b) directamente como caudales circulantes por las líneas, o bien, c) como caudales probabilísticos de Clèment. Unidades de caudal empleadas (m3/segundo, m3/minuto, m3/hora, litros/segundo, litros/minuto, litros/hora) Si se escoge el método de Clèment para el cálculo de los caudales circulantes, será necesario especificar los datos generales propios del método, esto es: Caudal ficticio continuo (en unidades de caudal por Hectárea). Duración (horas) de la jornada de riego (para el cálculo del rendimiento). Calidad de funcionamiento ó garantía de suministro (en %). 5.4.2. Configuración de la red: Por la estructura particular del sistema objeto de la optimización, esto es, redes ramificadas con un único punto de alimentación, se identifica cada línea con el nudo extremo aguas-abajo de la misma, y se introducen conjuntamente los datos referidos tanto a la línea como al nudo asociado. Así pues, para cada línea se aportan los siguientes datos: Numeración de los nudos que definen los extremos de la línea aguas-arriba y aguas-abajo, en el sentido de circulación del agua. Se permite introducir hasta tres dígitos, estando reservado el número 0 para el nudo de alimentación de la red. No se admiten situaciones en las que coincide la numeración de los nudos aguas-arriba y aguas-abajo de la línea, ni tampoco el caso de que la numeración del nudo aguas-abajo de la línea actual coincida con el nudo aguas-abajo de otra línea definida previamente. Longitud de la línea. Longitud equivalente en tubería de los elementos singulares de la línea. Cota geométrica del nudo aguas-abajo de la línea. 5.24 5. Implementación de un modelo lineal ... Datos de caudal. En función de la modalidad de caudal escogida, será necesario aportar los siguientes datos: a Consumos: En este caso se solicita el caudal consumido en el nudo situado aguas abajo de la línea definida. b Caudales de línea: En este caso se solicita directamente el caudal que circula por la línea definida. c Caudales de Clèment: Se definen los datos necesarios para el cálculo probabilístico de caudales mediante el método de Clèment. En el nudo extremo aguas abajo de la línea en cuestión pueden definirse tres situaciones respecto a los caudales de Clèment, que son las siguientes: c.1. Nudo sin consumo. En este caso no es necesario introducir ningún dato adicional. c.2. Nudo con hidrantes: Los datos solicitados para cada hidrante son Area Ak (ha.) servida por el hidrante y Caudal Nominal dk del hidrante. Con estos datos se calcula la probabilidad efectiva de uso asociada con el hidrante pk según: pk c.3. Qfc Ak 24 (5.10) dk Nhjr donde Qfc es el caudal ficticio continuo y Nhjr es la duración de la jornada de riego, de modo que Nhjr/24 es el rendimiento de utilización de la red. La probabilidad resultante debe estar comprendida en el intervalo 0 < pk < 1. En esta modalidad es posible definir los datos de hasta seis hidrantes. Nudo que alimenta a un conjunto de hidrantes (subred): Esta situación representa un nudo que suministra agua a una agrupación de hidrantes en número mayor de seis, al objeto de condensar los datos necesarios para su definición. Se solicita el siguiente conjunto de datos: Caudal MEDIO de la subred: Corresponde a la suma Σ dk·pk, extendida al número de hidrantes que contiene la subred, siendo dk la dotación (caudal nominal) del hidrante k-ésimo asociado al nudo y pk la probabilidad de utilización de la toma. VARIANZA de Caudal de la subred: Σ d2k·pk·(1-pk). Caudal TOTAL NOMINAL de la subred: Σ dk. Area total servida en la subred Σ Ak. Número de hidrantes de la subred. 5.25 5. Implementación de un modelo lineal ... Cuando se introducen los datos característicos de la subred para el cálculo de los caudales de Clèment no es posible evaluar la coherencia de los parámetros asociados a cada hidrante individual, puesto que dicha información no está disponible, pero sí que se pueden efectuar ciertas comprobaciones sobre los datos de la subred: en primer lugar se comprueba que todos ellos sean positivos; también se asegura que el caudal nominal total Σ dk sea superior al caudal medio Σ dk·pk. Finalmente, también se verifica que la varianza de caudal cumpla la condición: (5.11) 2 dk pk ( 1 pk ) < 0 25 ( dk )2 puesto que el máximo valor del producto pk·(1-pk) se da cuando pk = 0'5, tendremos que: max pk 2 dk pk ( 1 pk ) 2 0 25 dk < 0 25 2 dk (5.12) Hay que señalar que cuando el programa procesa una red aplicando el método de Clèment para el cálculo de los caudales, en los listados se presentan todos los datos reseñados (caudal medio y total, varianza de caudal, etc.) referidos a la cabecera de la red en cuestión. Ello permite abordar el cálculo de redes de gran tamaño, salvando al menos la dificultad derivada de la aplicación del método de Clèment, por medio de la subdivisión en subredes. Se solicita al usuario declarar si la línea actual cuenta con tubería ya instalada. En caso afirmativo, más adelante (en la etapa de Tratamiento de Datos) se exige al usuario que defina las características de la tubería instalada (material, diámetro y presión de trabajo). 5.4.3. Criterios de diseño: En primer lugar, el usuario debe determinar si la presión en cabecera de la red es un dato o se trata de una incógnita que debe intervenir en el problema de optimización. En el primer caso (presión conocida en cabecera), se solicita el valor de la altura de presión en cabecera; al indicar un valor nulo, se interpreta que la alimentación se realiza por gravedad mediante un depósito elevado, cuya cota de la lámina de agua corresponderá a la cota del nudo de cabecera indicada anteriormente; 5.26 5. Implementación de un modelo lineal ... si por el contrario, se indica un valor de la presión de cabecera mayor que cero (no se admiten valores negativos), se interpretará que la alimentación se realiza mediante una estación de bombeo con una altura de bombeo predeterminada (y que por tanto, no es objeto de optimización), correspondiendo la cota del nudo de cabecera a la cota de aspiración de las bombas. En el caso de que la presión de cabecera se trate como una incógnita, se entiende que la alimentación se realiza mediante una estación de bombeo (a través de depósito de regulación o en inyección directa) y se solicita un valor probable de la presión necesaria en cabecera, al efecto de realizar una primera estimación de la presión de trabajo de las tuberías en la etapa de Predimensionado. Selección de los materiales de tubería que se emplearán en el dimensionado, definiendo el rango de utilización de cada uno de ellos en cuanto a diámetro interno y presión de trabajo. La selección de los posibles materiales y rangos de trabajo a emplear está restringida al conjunto de datos contenido en una base de materiales de tuberías, elaborada previamente por el usuario en base a los materiales disponibles en el mercado. Con esta selección, el usuario determina aquellos materiales que pueden formar parte de la solución final, y dentro de cada uno de ellos, el intervalo de valores de presión de trabajo y diámetro interno permitidos. Dentro de estas posibilidades indicadas por el usuario, el programa escogerá finalmente los diámetros que, ajustándose al criterio de velocidades máxima y mínima, proporcionan la solución más económica. Figura 5.2.- Selección de los materiales a emplear en el dimensionado. 5.27 5. Implementación de un modelo lineal ... Antes de continuar introduciendo datos, hay que seleccionar al menos un material en esta etapa. Existe la posibilidad de modificar los precios de un determinado material, tanto globalmente como en diámetros individuales, aunque los cambios afectarán únicamente a la red que se está procesando (tales cambios no se almacenan en la base de datos de materiales). Para la aplicación del método de la serie económica en la etapa de Predimensionado, es preciso establecer una función de coste de la tubería del tipo: (5.13) c ( ptas / metro ) A D ( m )a siendo A y a los coeficientes característicos de la función de costes, D el diámetro interno de la tubería y c el coste unitario de la misma. Los coeficientes de la función se obtienen por interpolación lineal sobre la expresión anterior transformada mediante logaritmos, obteniéndose las expresiones (4.28) y (4.29) vistas en el capítulo anterior. La aplicación de esta interpolación para tuberías de varios materiales diferentes no es aconsejable, puesto que los coeficientes que obtendríamos de cada uno de los materiales aisladamente pueden ser muy diferentes entre sí. Por esta razón se calculan los coeficientes de la curva de costes a partir de los datos de un único material, normalmente el primero de los seleccionados, considerando distintos coeficientes para cada presión de trabajo del material de referencia. Pese a las imprecisiones que pueden introducirse en este punto no hay que olvidar que pueden subsanarse al normalizar los diámetros continuos. Margen de seguridad para la determinación de la presión de trabajo de las tuberías. Existen dos posibles modalidades para definir este margen: la primera y más sencilla es definir un valor del margen de presión uniforme que se aplicará a todas las tuberías de nueva implantación de la red; la segunda modalidad consiste en establecer un criterio selectivo en la aplicación de dicho margen que permita tener en cuenta factores tales como el material de la tubería, el diámetro de la misma y la longitud de la línea. Cuando se utiliza un margen de seguridad uniforme para todas las tuberías, la selección de la presión de trabajo de la tubería debe tener en cuenta la condición: max P e , 1 ( i ) , P e , 2 ( i ) ∆ Pe ≤ Pt ( l ) (5.14) donde Pe,1(i) y Pe,2(i) son las presiones hidrostáticas en los dos nudos extremos de la línea i, ∆Pe es el margen de seguridad global y Pt(l) es la presión de trabajo 5.28 5. Implementación de un modelo lineal ... correspondiente del material l. Si el usuario opta por el criterio selectivo, se considerará tanto una mayoración de la presión estática en función de la longitud de la línea, como una minoración de la presión de trabajo de la tubería, que dependerá tanto del material, la presión de trabajo considerada y el diámetro de la tubería seleccionada, esto es: max P e , 1 ( i ) , P e , 2 ( i ) ( 1 ∆ L) ≤ Pt ( l ) ∆ Pt ( l ) ( 1 ∆ D ) (5.15) donde ∆L representa el margen de seguridad sobre la presión hidrostática a aplicar en función de la longitud de la tubería, ∆Pt(l) es el margen de seguridad a detraer de la presión de trabajo de la tubería en función del material y la presión de trabajo, y finalmente, ∆D es el margen que mayora el valor de ∆Pt(l) en función del diámetro escogido. Los coeficientes ∆L y ∆D se definen tomando valores por intervalos de longitud o diámetro (hasta seis intervalos). El valor de ∆Pt(l) está contenido en la base de datos de materiales de tuberías. Presión de servicio mínima requerida en cualquier nudo de la red. En este sentido cabe la posibilidad de aplicar tres modalidades, excluyentes entre sí, para asignar un determinado valor de la presión mínima en: a todos los nudos de consumo. Esta opción solamente es aplicable en los casos en que dichos nudos pueden ser identificados, esto es, cuando se han definido los caudales como consumos en los nudos o mediante el método de Clèment. b todos los nudos extremos o terminales de la red, o bien, c todos los nudos de la red; d se incorpora una cuarta opción, complementaria con cualquiera de las tres anteriores, que posibilita definir un valor determinado de la presión mínima en nudos concretos. Hay que recordar que cuanto mayor sea el número de restricciones impuestas, mayor será el tamaño del modelo y en consecuencia, más lenta será su resolución. Rango de velocidades de circulación admisibles. Se definen unos límites máximo y mínimo a aplicar en todas las tuberías de la red, que condicionarán la elección de los diámetros de las tuberías. Por defecto se considera vmin = 0'5 m/s y vmax = 2'0 m/s, aunque el usuario puede modificar dichos límites, que siempre deben encontrarse comprendidos entre 0'1 m/s y 10 m/s. Margen de seguridad en el cálculo de pérdidas de carga. Se define un margen aditivo para mayorar las pérdidas de carga obtenidas mediante la fórmula de Darcy aplicado uniformemente en todas las tuberías de la red. 5.29 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.4.4. Criterios económicos: Período de amortización de las tuberías (en años). Interés de la amortización (en %). Volumen anual consumido (m3). Cuando la alimentación de la red se realiza por gravedad, e incluso cuando la alimentación se realiza por inyección directa mediante una estación de bombeo, este dato es puramente informativo. Sin embargo, cuando la alimentación de la red cuenta con una estación de bombeo y un depósito de regulación intermedio, el volumen consumido anualmente permitirá calcular el caudal promedio bombeado al depósito intermedio, y consecuentemente, el coste energético implicado. Caso de considerar una estación elevadora en la cabecera de la red (presión de cabecera distinta de cero, tanto si es dato como incógnita), es necesario aportar un conjunto de datos que permitan calcular el total anual de facturación eléctrica imputable a la instalación de bombeo. En dicha facturación se tiene en cuenta el coste de la energía consumida, el coste de la potencia instalada así como el recargo o descuento por energía reactiva. Los costes unitarios de cada uno de estos conceptos dependerán del tipo de tarifa y discriminación horaria escogidas. Los datos solicitados son: Rendimiento estimado del bombeo (en %). Número aproximado de horas de funcionamiento al año. Margen de seguridad sobre potencia instalada (en %). Puesto que habitualmente se instala más potencia de la necesaria, se tiene en cuenta este término para el cálculo del término de potencia en la facturación anual. Coseno ϕ de la instalación, para calcular el recargo/descuento a aplicar por energía reactiva. Se admiten valores comprendidos entre 0'5 y 1'0, de modo que el recargo o descuento Kr por energía reactiva sobre el total de la facturación eléctrica será: Kr (%) 17 cos2ϕ 21 (5.16) Incremento anual del coste del kWh (en %). Suponiendo que el efecto de la inflación no ha sido tenido en cuenta al establecer el interés de la amortización, se introduce este coeficiente para obtener los costes unitarios promedio que intervienen en la facturación eléctrica durante el período de vida de la red. En este caso, si denominamos s al incremento anual de los costes energéticos, expresado en tanto por uno, y Ce es el coste energético el primer año de uso, 5.30 5. Implementación de un modelo lineal ... suponiendo que las condiciones de operación se mantienen en el tiempo, el coste energético en el segundo año será Ce·(1+s) y se verá sucesivamente incrementado hasta llegar a ser Ce·(1+s)T-1 en el año T. De este modo, el coste energético anual promedio C e en el período de T años será: Ce Ce ( 1 s )T 1 s T (5.17) Determinar si se trata de inyección directa o bien a través de depósito de regulación. En el caso de que la inyección se realice a través de un depósito de regulación, se solicita un valor estimado de la pérdida de carga en la impulsión, de modo que la altura de cabecera óptima que proporciona el programa corresponderá a la elevación del depósito de regulación, y el coste de la energía se calculará teniendo en cuenta las pérdidas estimadas en la impulsión. Tipo de tarifa considerada, en función de la tensión de alimentación. Por defecto, el programa incorpora los valores correspondientes a la tarifa eléctrica de riegos agrícolas (R.xx) de 1992 (BOE 13, de 15 de Enero). Tipo de discriminación horaria considerada. Por defecto se consideran discriminación horaria simple (sin discriminación), doble, triple normal y triple + festivos. En la siguiente tabla se indican los valores de la tarifa eléctrica que se emplean por defecto en el programa DIOPRAM para determinar los costes energéticos. TARIFA Coste potencia ptas/kW/mes Coste energía ptas/kW·h 1 R0 (Baja tensión) 56'0 13'19 2 R1 (hasta 36 kV) 83'0 11'33 3 R2 (de 36 kV hasta 72'5 kV) 80'0 10'65 4 R3 (mayor de 72'5 kV) 75'0 10'31 Recargos / Descuentos (%) DISCRIMINACION HORARIA Punta Llano Valle 1 Tipo 1 - Simple (Pot < 50 kW) 2 Tipo 2 - Doble + 40 3 Tipo 3 - Triple Normal + 70 +0 - 43 4 Tipo 4 - Triple + Festivos + 100 +0 - 43 + 20 +0 Tabla 5.1.- Tarifas eléctricas para riegos (O.M. de 10/1/1992) 5.31 Sab/Fes t - 43 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.5 TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS Cuando han sido especificados todos los datos del problema se accede al Menú de Tratamiento de Datos, en el cual, tal como indica la Figura 5.1, se pueden seleccionar varias opciones que suelen ser comunes en todas las etapas del programa (Correcciones, Listado de Datos, Grabar Fichero, etc.) pero para proseguir hacia el dimensionado de la red hay que realizar un tratamiento previo de los datos introducidos. Esta fase de cálculo tiene un doble propósito: por un lado permite comprobar parcialmente la validez y coherencia de los datos introducidos en conjunto, y por otro, realiza algunos cálculos intermedios para formular el modelo de dimensionado, como por ejemplo, el cálculo de los caudales circulantes o de la presión hidrostática estimada en los nudos del sistema. En esta etapa se especifican también otros datos que no han sido definidos con anterioridad, como por ejemplo, aquellos referentes a las tuberías previamente instaladas y la distribución de horas de bombeo por períodos. La etapa de Tratamiento de Datos se divide en la ejecución de varios subprogramas que se ejecutan secuencialmente en el orden en el cual son descritos a continuación, y que se presentan de forma sucinta en la Figura 5.3. Antes de ejecutar los subprogramas se comprueba que el conjunto de datos esté completamente definido. 5.5.1. Cambio de numeración externa a numeración interna (Subprograma Num_int) En la introducción de los datos de las líneas se solicita al usuario la numeración de los nudos extremos de cada línea, utilizando para ello los vectores Narriba (nudo aguas arriba) y Nabajo (nudo aguas abajo), siendo el índice de la línea actual el número de orden en que se han introducido sus datos. Como sabemos, en una red ramificada podemos identificar cada línea con su correspondiente nudo aguas abajo. Atendiendo a este criterio, se conservará la numeración externa de los nudos en el vector Nabajo, al objeto de identificar líneas y nudos con su numeración externa. Sin embargo, para identificar rápidamente las líneas y nudos de un trayecto siguiendo la dirección aguas arriba, se modifica el contenido del vector Narriba en el 5.32 5. Implementación de un modelo lineal ... sentido de que el elemento Narriba(I) represente el índice (en numeración interna) Figura 5.3.- Tratamiento previo de los datos introducidos. 5.33 5. Implementación de un modelo lineal ... de la línea a través de la cual llega el caudal al nudo aguas arriba de la línea identificada con el elemento Nabajo(I). La Figura 5.4 ilustra un sencillo ejemplo de este cambio de numeración: para cada línea (y su correspondiente nudo aguas abajo) se indica la numeración externa y su índice. En las siguientes tablas se muestra el proceso de transformación entre uno y otro tipo de numeración. Figura 5.4. Cambio a numeración interna. Indice 1 2 Narriba 302 301 3 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 302 303 302 303 309 308 301 309 308 Nabajo 306 302 301 307 304 303 305 310 309 308 311 312 Restaurar numeración externa Subprog. Num_ext Numeración original (externa) Cambio a numeración interna Subprog. Num_int Indice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Narriba 2 3 0 2 6 2 6 9 10 3 9 10 Nabajo 306 302 301 307 304 303 305 310 309 308 311 312 Numeración interna Al realizar el cambio de numeración se comprueba también si todas las líneas de la red están conectadas (el hecho de que puedan existir circuitos cerrados de líneas ya ha sido comprobado en la etapa de introducción de los datos, puesto que no se permite que ningún nudo sea declarado como nudo aguas abajo de más de una línea). 5.34 5. Implementación de un modelo lineal ... En el caso de que alguna de las líneas que se han definido no esté conectada, es necesario que el usuario corrija el error, y en consecuencia, hay que restaurar la numeración externa, puesto que es el tipo de numeración que el usuario puede interpretar correctamente en la entrada y corrección de los datos. La restauración de la numeración externa es necesaria siempre que se presente algún error en el tratamiento de los datos, como condición previa antes de retornar al Menú de Tratamiento, y se consigue mediante el subprograma Num_ext. 5.5.2. Secuencia de nudos y grado de conectividad (Subprograma Arbol) A continuación se ejecuta el subprograma Arbol, que permite determinar el grado de conectividad de cada nudo (vector Gcon), que indica el número de líneas situadas aguas abajo del nudo correspondiente, y la secuencia de nudos (vector Sna), que proporciona una ordenación de los nudos de la red que servirá posteriormente para calcular alturas piezométricas desde la cabecera hacia aguas abajo. La siguiente figura muestra el valor de estos parámetros en referencia a la red de la Figura 5.4. Figura 5.5. Secuencia de nudos y Grado de conectividad. Indice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sna 3 2 10 1 4 6 9 12 5 7 8 11 Gcon 2 3 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 5.35 5. Implementación de un modelo lineal ... El vector Sna almacena los índices de los nudos de la red en un orden tal que un nudo situado aguas arriba de otro siempre ocupe una posición anterior. La ordenación definida por Sna permite calcular la altura piezométrica en los nudos de la red comenzando desde el nudo de alimentación y calculando las pérdidas de carga de cada línea una sola vez. Los elementos del vector Gcon identifican los nudos terminales o extremos de la red cuando el elemento adopta un valor nulo. 5.5.3. Asignación de presiones mínimas a los nudos (Subprograma Asig_pmin) En la entrada de datos se ha seleccionado el grupo de nudos a los que se aplica la restricción de presión mínima y el valor de la misma; como ya se mencionó, las tres primeras opciones de agrupación de los nudos eran excluyentes entre sí, mientras que la cuarta opción permitía definir valores determinados de la presión mínima asociados a nudos concretos. El subprograma Asig_pmin realiza la asignación de los valores de la presión mínima a cada nudo que haya sido seleccionado, bien con las opciones de agrupación o bien con la asignación individual, almacenando el valor de la misma en el elemento correspondiente del vector Pmin. Se comprueba que todos los nudos extremos (identificados por la condición Gcon(I) = 0) tengan asociado un valor Pmin(I) > 0; en caso contrario, el programa restaura la numeración externa y vuelve al Menú de Tratamiento. 5.5.4. Asignación de caudales de líneas (Subprograma Asig_qlinea) El subprograma Asig_qlinea permite calcular los caudales circulantes en el caso de haber optado por definir unos consumos en los nudos de la red y también en el caso de adoptar el criterio probabilístico de Clèment; por el contrario, si se han definido directamente los caudales de línea no es necesaria su intervención. En los dos casos mencionados se comprueba que en todos los nudos extremos de la red (aquellos con grado de conectividad Gcon = 0) el caudal consumido, o la dotación de los hidrantes sea mayor que cero; en caso contrario resultaría un caudal nulo en la línea terminal correspondiente. 5.36 5. Implementación de un modelo lineal ... Para el cálculo de los caudales de línea cuando se han definido consumos en los nudos, basta simplemente con acumular tales consumos en cada una de las líneas situadas aguas arriba del nudo en cuestión, o lo que es lo mismo, acumular en el caudal de la línea todos los consumos producidos en los nudos ubicados aguas abajo de la misma. Desde el punto de vista operativo se procede mediante un bucle extendido a todos los nudos k de la red, en el cual se agrega el consumo (Qk) del nudo k al caudal circulante qj de todas las líneas j del trayecto Sk (entre el nudo origen y el nudo k): (5.18) qj ← qj Qk ∀ j ∈Sk Para el cálculo de los caudales probabilísticos de Clèment se contemplan dos posibilidades: a) Aplicación del criterio de Clèment con la misma garantía de suministro (GS) en todas las líneas de la red. b) Aplicación selectiva del criterio de Clèment, considerando diferentes valores de la Garantía de Suministro GS o Calidad de Servicio en función del número de hidrantes alimentados por la línea. La definición de los datos de consumo en el nudo puede hacerse indicando todas las características propias de cada hidrante individualmente (cuando no hay más de seis) o bien se pueden indicar en conjunto, en el caso que denominamos "subred", y que requiere especificar el total de las dotaciones de los hidrantes aguas abajo del nudo (caudal total), el caudal medio, la varianza de caudal, el número de hidrantes y el área total servida. En primer lugar se calculan las probabilidades de utilización de los hidrantes, cuando han sido detallados individualmente, y se comprueba que su valor sea inferior a uno. En caso de fallo, se avisa al usuario para que corrija los datos y se vuelve al Menú de Tratamiento. Para realizar el cálculo definitivo de los caudales de línea se definen las siguientes variables: Su1i Suma de los caudales medios en los hidrantes alimentados por la línea i. Su1i j ∈A i dk pk k (nudo j) 5.37 (5.19) 5. Implementación de un modelo lineal ... Su2i Suma de las varianzas de caudal en los hidrantes alimentados por la línea i. 2 Su2i Qaci j ∈A i dk pk (1 pk) (5.20) k (nudo j) Suma de las dotaciones (caudal nominal) de los hidrantes alimentados por la línea i. Qaci j ∈A i dk (5.21) k (nudo j) Nhidi Número total de hidrantes alimentados por la línea i. En las expresiones anteriores, dk representa la dotación o caudal nominal del hidrante k, y pk es la probabilidad de utilización de dicho hidrante. Cuando se opta por la aplicación del criterio de Clèment con la misma Garantía de Suministro en toda la red, el caudal de Clèment Qcli para la línea i será: Qcli Su1i U ( GS ) Su2i (5.22) siendo U(GS) el valor de la función de probabilidad de Gauss para una probabilidad igual a GS. Sin embargo, la falta de uniformidad en las características de los hidrantes y las diversas desviaciones que aparecen sobre las hipótesis de aplicación del método de Clèment pueden dar lugar a que el caudal de Clèment Qcli sea superior al caudal acumulado Qaci, de modo que el caudal de línea qi se calculará finalmente como: qi min Qcli ; Qaci (5.23) Precisamente con la intención de paliar las inexactitudes del método de Clèment se ha planteado la posibilidad de adoptar un criterio selectivo, de modo que el valor de la Garantía de Suministro aumente cuanto menor sea el número de hidrantes servido por la línea. Los valores que normalmente se utilizan para GS van desde 95% hasta 100% (lo que supone capacidad de servir todas las dotaciones simultáneamente). Para la aplicación selectiva del criterio de Clèment se considera una Garantía GS = 100 % en todas aquellas líneas que alimenten hasta un determinado número de hidrantes Nhacq (es una valor seleccionable por el usuario, comprendido entre 1 y 15); ello implica acumular las dotaciones de todos los hidrantes alimentados por dicha línea. Para las líneas que alimentan un número de hidrantes superior a Nhacq e inferior a 51, se considera GS = 99% y finalmente, en las líneas que alimentan 51 hidrantes o más se 5.38 5. Implementación de un modelo lineal ... adopta el valor GS = 95%. El caudal de Clèment Qcli para este procedimiento será: a) 1 ≤ Nhidi ≤ Nhacq : Qcli (5.24) Qaci b) Nhacq < Nhidi ≤ 50 : Qcli Su1i U ( GS 99% ) Su2i [ U ( 99% ) 2 33 ] (5.25) U ( GS 95% ) Su2i [ U ( 95% ) 1 65 ] (5.26) c) 50 < Nhidi : Qcli Su1i En todos los casos, el caudal circulante de línea será: qi min Qcli ; Qaci (5.27) No obstante, el cálculo de los caudales circulantes es provisional, por cuanto que la aplicación de la fórmula de Clèment con diferentes valores de GS puede dar lugar a situaciones en las que una línea adopte un caudal circulante superior al de otra línea situada aguas arriba. Partiendo desde las líneas terminales hacia la cabecera de la red, se comprobará que los caudales de las líneas resultan decrecientes en el sentido hacia aguas abajo; si el caudal qi en la línea i resultase menor que qj en una línea j situada aguas abajo de i, se actualizará el caudal haciendo qi = qj. Finalmente se presenta al usuario una lista de los caudales acumulados (Qaci), de Clèment (Qcli) y definitivos qi asociados a cada línea, con la posibilidad de modificar manualmente los caudales resultantes qi. 5.5.5. Selección de los diámetros de las tuberías instaladas (Subprograma Test_amplia) Este subprograma permitirá definir las características de las tuberías que en la entrada de datos se han declarado como instaladas. Si tales características ya han sido previamente definidas, el usuario puede optar por modificarlas; si todavía no han sido definidas, es necesario seleccionar el material, diámetro y presión de trabajo de cada una de las tuberías existentes. 5.39 5. Implementación de un modelo lineal ... La selección es restringida, puesto que sólo se permite escoger entre los diámetros cuyos datos están presentes en la base de datos de materiales (no obstante, los datos contenidos en la base pueden ser actualizados y modificados, como se verá más adelante). De este modo se elimina la posibilidad de introducir datos incoherentes en esta etapa. Como se ha comentado con anterioridad, la presencia de tuberías instaladas repercute en la formulación del modelo como la inclusión de una pérdida de carga de valor conocido (para el caudal de diseño) en las restricciones de presión mínima. A tal efecto, el cálculo de pérdidas de carga en estas tuberías se verá mayorado por el margen de seguridad que se aplica a todas las líneas de la red y por la longitud equivalente especificada en la introducción de datos de la línea. La selección de la presión de trabajo de la tubería puede adoptar cualquier valor disponible, siendo su comprobación la responsabilidad del usuario. 5.5.6. Cálculo de la presión de cabecera mínima (Subprograma Pcab_min) La insuficiencia de altura piezométrica en la alimentación es uno de los principales motivos para que el problema de dimensionado no tenga solución. Por esta razón, antes de seguir adelante se comprueba que dicha altura piezométrica en cabecera sea superior al máximo valor de las alturas piezométricas mínimas requeridas en los nudos seleccionados. Sin embargo, esta comprobación no es suficiente, puesto que los diámetros de tubería empleados en la solución final siempre producirán una determinada pérdida de carga, que además no puede ser reducida a voluntad, puesto que en la selección de los diámetros finales interviene una limitación de velocidad mínima. Con todas estas consideraciones, se calcula el valor mínimo que debe adoptar la presión en cabecera para obtener presiones superiores al valor mínimo en los nudos seleccionados, considerando que en las tuberías del trayecto comprendido entre la cabecera y los nudos en cuestión se presenta una pendiente hidráulica de referencia mínima de jref = 1 m/Km (las pendientes hidráulicas resultantes en una solución final suelen estar comprendidas entre 2÷10 m/Km), resultando: 5.40 5. Implementación de un modelo lineal ... PCAB min max zk k PMINk j ref j ∈S k Lj z0 (5.28) ( k nudos seleccionados ) donde PCABmin es el valor mínimo de la altura de presión en cabecera, z0 es la cota del nudo de cabecera, y los subíndices k se extienden a todos los nudos en los cuales se ha seleccionado un valor de la altura de presión mínima PMINk. En el caso de haber definido líneas con tubería instalada, el criterio utilizado varía ligeramente, puesto que en el valor de PCABmin se considera una pendiente hidráulica de referencia jref = 1 m/Km solamente para las líneas por dimensionar, mientras que en el caso de las tuberías existentes interviene la pérdida de carga real que producen cuando circula el caudal de diseño. Si Sk es el conjunto de tuberías del trayecto que une la cabecera con el nudo k, este conjunto puede expresarse como: Sk E Sk N Sk E N ( siendo Sk Sk ∅) (5.29) donde recordemos que SEk representa el subconjunto de líneas del trayecto que poseen tuberías en servicio y SNk es el subconjunto de líneas del trayecto todavía por dimensionar. El valor de PCABmin a considerar en el caso de que existan tuberías instaladas resultará: PCAB min max zk k PMINk j ref Lj j ∈S k N hf,j j ∈S k z0 (5.30) E ( k nudos seleccionados ) siendo hf,j la pérdida de carga que se desarrolla en la línea j, con tubería instalada, cuando circula el caudal de diseño, incluyendo los criterios mayorantes expuestos anteriormente. Sí la presión en cabecera actúa como una incógnita del problema, y la presión de cabecera probable es inferior a PCABmin, se adoptará este último valor como presión de cabecera probable, y el programa continuará normalmente su curso. 5.41 5. Implementación de un modelo lineal ... Por el contrario, si la presión de cabecera es un dato del problema y es inferior a PCABmin, se comunica al usuario la circunstancia y se regresa al Menú de Tratamiento, previa restauración de la numeración externa. 5.5.7. Cálculo de las presiones estáticas (Subprograma Pres_st) Una vez se ha comprobado la suficiencia de la presión de cabecera (tanto si se trata de una incógnita como si es dato), se calculan las presiones hidrostáticas en los nudos de la red, aunque sólo de forma provisional, al objeto de determinar la presión de trabajo de las tuberías seleccionadas: PRESTk z0 PCAB zk ∀k (5.31) donde PRESTk representa la altura de presión hidrostática en el nudo k, PCAB es la altura de presión en cabecera, y z0 y zk son respectivamente las cotas geométricas del nudo de cabecera y del nudo k. 5.5.8. Asignación de parámetros de coste energético (Subprograma Asig_cener) La última etapa del Tratamiento de Datos, cuando la red esta alimentada mediante una estación de bombeo, esto es, cuando se indica una presión de cabecera distinta de cero, consiste en determinar el coeficiente de coste Kb asociado a la altura de bombeo Hb, que proporcione el coste energético anual CE = Kb·Hb, incluyendo los siguientes factores: Términos de potencia y energía. Margen de seguridad sobre la potencia instalada. Recargo/Descuento por energía reactiva. Promediación del coste energético durante el período de amortización de las tuberías, contemplando una tasa anual de incremento. Recargo/Descuento por discriminación horaria. Mientras que los diámetros de las tuberías se determinan como consecuencia de unas restricciones de presión considerando una distribución de caudales crítica, el coste energético a considerar es el resultado de la operación de la red a lo largo de un período anual, durante el cual se producen situaciones de consumo punta, llano y valle. Por ello utilizaremos dos conceptos diferentes del caudal en cabecera: por un lado tenemos el 5.42 5. Implementación de un modelo lineal ... caudal "punta" en cabecera q0, que es el caudal aplicado en cabecera para la situación de diseño de la red, y por otro, el caudal medio qb que obtenemos al dividir el volumen consumido anualmente Vol, entre el tiempo anual de bombeo: Vol (m3/año) nh (horas/año) 3600 qb (m3/s) (5.32) siendo nh el número total de horas de bombeo al año. En el caso de un bombeo con inyección directa, la potencia instalada en la EB debe ser suficiente para suministrar el caudal "punta" q0, mientras que si la inyección se realiza a través de un depósito de regulación, el caudal bombeado será normalmente inferior a q0. Aunque el caudal bombeado puede experimentar variaciones, supondremos que en el caso de bombeo con depósito intermedio, adopta el valor del caudal medio qb. No hay que olvidar que estamos tratando con una situación de diseño y muchas de las características de la operación del sistema, entre las que se encuentra la programación del bombeo, no son del todo conocidas y sólo pueden ser estimadas. El recargo/descuento por energía reactiva afecta a todos los términos de la facturación eléctrica (potencia y energía) y para incluir su influencia en el coste energético definimos el coeficiente multiplicador Kreac como: Kreac 10 Kr (%) 100 17 cos2ϕ 10 21 1 100 (5.33) siendo el cos ϕ una característica propia de la instalación. Para el máximo valor admisible cos ϕ = 1 se obtiene un descuento Kr = - 4% (Kreac = 0'96) mientras que para el mínimo valor admisible cos ϕ = 0'5 resulta un recargo Kr = + 47% (Kreac = 1'47). Para incluir el efecto de una posible tasa anual s de incremento de los costes energéticos definimos el coeficiente multiplicador Kpre como: Kpre ( 1 s )T T s 1 ( si s 0 → Kpre 1 0) (5.34) siendo T el período de promediación, que consideramos igual al período de amortización de las tuberías. El subprograma Asig_cener realiza en primer lugar una asignación de las horas de bombeo a cada uno de los períodos tarifarios, en función del tipo de discriminación 5.43 5. Implementación de un modelo lineal ... horaria escogida por el usuario. En la introducción de datos se habrá determinado el total de horas de bombeo anuales nh y seleccionado una tarifa y un tipo de discriminación horaria, aunque no se habrá especificado en detalle la distribución de las horas de bombeo. La asignación que realiza Asig_cener consiste simplemente en distribuir proporcionalmente el total de horas nh entre cada uno de los períodos tarifarios, para lo cual se tendrá en cuenta el total de horas anuales de cada período, indicado en la siguiente tabla. Tipo Discriminación Horaria Período Punta Llano Valle Sáb+Fest. 8760 Simple Doble 1460 7300 Triple Normal 1460 4380 2920 Triple+Festivos 1494 2490 1992 2784 Tabla 5.2. Número total de horas anuales en cada período tarifario En el caso de la discriminación simple, el total de horas nh corresponde a dicho período; en doble se consideran 4 horas punta por día y 20 horas llano+valle; en triple normal hay 4 horas punta, 12 horas llano y 8 horas valle; en discriminación triple+festivos se considera un total de 116 días al año de período festivo y en los 249 días restantes tendremos 6 horas punta, 10 horas llano y 8 horas valle. De este modo, la asignación inicial quedará: H. punta nhp nh Discr. DOBLE : H. llano valle Discr. TRIPLE : nh l , v nh (5.35) 7300 8760 1460 8760 H. punta nhp H. llano nhl nh 4380 8760 H. valle nhv nh 2920 8760 5.44 nh 1460 8760 (5.36) 5. Implementación de un modelo lineal ... Discr. TRIPLE nh 1494 8760 H. punta nhp H. llano nhl nh 2490 8760 H. valle nhv nh 1992 8760 FEST.: H. sab fest. nhf nh (5.37) 2784 8760 Los valores de esta primera estimación son presentados al usuario, que puede confirmarlos o modificarlos. Para los recargos/descuentos aplicables por discriminación horaria utilizaremos el símbolo ∆ba, donde el superíncide a hace referencia al tipo de discriminación (1=Simple; 2=Doble; 3=Triple Normal; 4=Triple+Festivos) y el subíndice b se refiere al período correspondiente. Considerando los valores que adopta el programa por defecto, contenidos en la Tabla 5.1, los distintos valores de ∆ba serán: Tipo Discriminación Horaria Período Punta Llano Valle Sáb+Fest. ∆1 = +0'0 Simple Doble ∆2p = +0'40 ∆2l,v = +0'0 Triple Normal ∆3p = +0'70 ∆3l = +0'0 ∆3v = -0'43 Triple+Festivos ∆4p = +1'0 ∆4l = +0'0 ∆4v = -0'43 ∆4f = -0'43 Tabla 5.3. V alores del recargo/descuento a aplicar por discr. horaria. A partir de los valores de los recargo/descuentos por discriminación horaria definiremos el número ponderado de horas de bombeo Kdh totalizando el número de horas de cada período tarifario multiplicado por el coeficiente mayorante o minorante que le corresponda, esto es: 5.45 5. Implementación de un modelo lineal ... (5.38) (SIMPLE) Kdh 1 ∆1 nh (DOBLE) Kdh 1 ∆p nhp 1 ∆ l,v nhl,v (TRIPLE) Kdh 1 ∆p nhp 1 ∆l nhl 2 3 2 3 (5.39) 1 ∆v 3 (5.40) nhv (TRIPLE FEST) (5.41) Kdh 1 ∆p 4 nhp 1 ∆l 4 nhl 1 ∆v 4 nhv 1 ∆f 4 nhf Finalmente aplicaremos todas las consideraciones expuestas para determinar el coeficiente de coste anual de la energía Kb, que se compone de dos términos, a saber, término de potencia (Kp) y término de energía (Ke). En el término de potencia debemos distinguir el caso en que la alimentación se realice mediante inyección directa o a través de depósito de regulación. En el primer caso hay que tener en cuenta que el máximo caudal a bombear corresponderá a q0, mientras que si existe un depósito de regulación, podemos aplicar el caudal medio qb, resultando: Inyección directa Kp 9 81 q0 η cp 12 Kreac Kpre ( 1 ∆ Pot) t (5.42) Inyección a través de depósito de regulación Kp siendo: Kp η cpt ∆Pot 9 81 qb η cp 12 Kreac Kpre ( 1 ∆ Pot) t (5.43) Término anual de potencia (ptas/año) Rendimiento medio de la EB Coste unitario por potencia contratada para la tarifa t (ptas/kW/mes) Margen de seguridad sobre la potencia contratada (tanto por uno) 5.46 5. Implementación de un modelo lineal ... En cuanto al término de energía, éste será: Ke siendo: Ke cet 9 81 qb η (5.44) t ce Kreac Kpre Kdh Término anual de energía (ptas/año) Coste unitario de la energía para la tarifa t (ptas/kW·hora) El coeficiente Kb de coste energético anual será pues: a) Inyección directa: Kb 9 81 Kreac Kpre η q0 cp 12 ( 1 ∆ Pot ) t t qb ce Kdh (5.45) b) Inyección a través de depósito de regulación: Kb 9 81 qb η Kreac Kpre cp 12 ( 1 ∆ Pot ) t t ce Kdh (5.46) En el caso de inyección a través de depósito de regulación se contempla una pérdida de carga en la impulsión, que será contabilizada a los efectos del coste energético final, pero que por tratarse de un coste fijo, no tendrá ninguna repercusión en la optimización. 5.47 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.6. ETAPA DE PREDIMENSIONADO 5.6.1. Introducción Si la fase de Tratamiento de los Datos es superada satisfactoriamente, el programa presenta al usuario el Menú Principal, que contiene diversas opciones, todas puramente auxiliares excepto la opción para continuar con el Predimensionado de la red. El objetivo principal de esta fase de cálculo consiste en proporcionar, mediante un método aproximado de dimensionado económico, una solución factible que permita dar entrada al proceso del algoritmo SIMPLEX en su fase II, esto es, la fase de mejora de la solución existente. También puede resultar de utilidad para obtener una solución final cuando no es posible ejecutar la última fase de optimización por insuficiencia de memoria en el ordenador. La solución obtenida en el predimensionado se caracteriza porque cada línea está configurada por un único diámetro. La consecución de la solución se realiza con intervención del objetivo económico, lo que resulta muy conveniente tanto si se utiliza como entrada del algoritmo SIMPLEX, como si se asume como la solución final; en el primer caso, podemos esperar que cuanto más próxima resulte la solución básica factible inicial a la solución óptima, tanto menor será el esfuerzo de cálculo realizado por el algoritmo SIMPLEX para mejorarla, mientras que en el segundo caso, si la solución obtenida se considera definitiva, cabe la seguridad de haber empleado el objetivo económico, aún tratándose de un método aproximado (formulación en diámetros continuos y posterior normalización). El procedimiento empleado para el dimensionado en la fase de predimensionado es una aplicación del método de la serie económica, desarrollado en el capítulo anterior, con algunas modificaciones para contemplar la intervención de las tuberías existentes como una pérdida de carga prefijada, así como la consideración de parámetros adicionales, como son las longitudes equivalentes mediante las cuales se pretende modelizar la existencia de los elementos auxiliares que producen pérdidas de carga, y también el coeficiente de mayoración de las pérdidas de carga. El método se aplica jerárquicamente a diversos trayectos de tubería de la red, siguiendo un determinado orden consistente en dimensionar en primer lugar aquellos trayectos de tuberías que conducen a los nudos críticos de la red. 5.48 5. Implementación de un modelo lineal ... Primeramente desarrollaremos las expresiones empleadas para obtener el diámetro más económico de una serie de tuberías (serie económica) teniendo en cuenta los supuestos de cálculo expuestos anteriormente, esto es, tuberías previamente instaladas en la serie y criterios para la mayoración de las pérdidas de carga y a continuación analizaremos el dimensionado de la red completa. 5.6.2. Dimensionado económico de una serie de tuberías El problema que presentamos consiste en dimensionar económicamente una serie de tuberías con caudales circulantes conocidos y una única restricción de presión mínima en el extremo aguas abajo de la serie, bajo la hipótesis de diámetros continuos. Puesto que los diámetros resultantes serán teóricos, será necesario normalizar sus valores en un proceso posterior. A diferencia del caso tratado en el apartado 4.7, se considera aquí la posibilidad de que existan líneas en la red con tuberías en servicio, de modo que en el modelo propuesto, tales tuberías actuarán como una pérdida de carga fija y conocida en base a los caudales de diseño establecidos. La serie de tuberías a dimensionar está comprendida entre un nudo de alimentación que llamaremos 0 y cuya altura piezométrica es H0, y el nudo extremo aguas abajo k, siendo Sk el conjunto de líneas del trayecto; dicho conjunto puede expresarse como: E Sk Sk N Sk E ( siendo Sk N Sk ∅) (5.47) donde SEk representa el subconjunto de líneas del trayecto que poseen tuberías en servicio y SNk es el subconjunto de líneas del trayecto todavía por dimensionar. En el problema de dimensionado económico de la serie de tuberías se define una única restricción de presión mínima en el nudo extremo k, expresada como: hf,j j ∈S E k hf,j j ∈S N k j ∈ Sk h f , j ≤ h f , adm ( 0 →k ) H0 H min , k (5.48) donde hf,j son las pérdidas de carga en las líneas j de la serie y hf,adm(0→k) representa la pérdida de carga admisible en toda la serie, siendo igual a la diferencia entre la altura en cabecera H0 y la altura mínima que se desea conseguir en el nudo extremo Hmin,k. Si denominamos hEf a la pérdida de carga (conocida) en todas las tuberías existentes: 5.49 5. Implementación de un modelo lineal ... E hf,j hf (5.49) j ∈Sk E y así, la restricción de presión mínima puede escribirse como: h f , j ≤ h f , adm N H0 E H min,k hf (5.50) j ∈S k N donde ahora denominamos hNf,adm a la pérdida de carga admisible en el conjunto de líneas por dimensionar SNk. Para el cálculo de pérdidas de carga, tanto en tuberías existentes como en tuberías por dimensionar, se han introducido dos factores mayorantes. El primero de ellos consiste en un factor aditivo hfm (expresado en tanto por uno) que afecta por igual a todas las tuberías, de modo que la pérdida de carga efectiva se mayorará multiplicando por un factor (1+hfm). En segundo lugar, se ha introducido un factor mayorante singular para cada tubería, y que consiste en aumentar la longitud de la tubería Lj solamente a efectos del cálculo de la pérdida de carga, en una longitud adicional ∆Lj. Mediante la fórmula de Darcy, la pérdida de carga en la línea j será: 8 h f,j π g 2 2 fj L j q j D j 5 2 Kf j Lj qj Dj 5 (5.51) donde Lj es la longitud de la línea j, Dj su diámetro, qj el caudal circulante y fj es el factor de fricción. Introduciendo los factores mayorantes considerados, obtenemos la pérdida de carga efectiva h*f,j: h f,j K (1 hfm) fj (Lj ∆ Lj) qj Dj 2 5 2 K fj L j q j D j 5 (5.52) donde las variables modificadas K* y f*j adoptan los siguientes valores: K K (1 hfm) ; fj fj 1 ∆ Lj (5.53) Lj Con la intervención de estos factores mayorantes de la pérdida de carga, la restricción de presión mínima del problema resultará: h f , j ≤ h f , adm N j ∈S H0 H min,k E hf (5.54) N k expresión en la que se supone que la pérdida de carga en las tuberías existentes se ha calculado considerando también los factores mayorantes, de modo que: 5.50 5. Implementación de un modelo lineal ... E hf hf,j (5.55) j ∈Sk E Estudiaremos a continuación los dos casos habituales, esto es, cuando la alimentación del sistema se efectúa con altura piezométrica conocida y cuando dicha altura es un valor por determinar, en función de los costes energéticos implicados. a) Serie de tuberías alimentada con altura piezométrica conocida: En primer lugar analizaremos el problema cuando la alimentación de la serie de tuberías se realiza con una altura piezométrica de valor conocido H0, situación que puede representarse como en la figura siguiente: Figura 5.6. Serie de tuberías alimentada con altura piezométrica conocida. Puesto que el método de la serie económica considera los diámetros de las tuberías como variables de decisión de tipo continuo, es necesario introducir una función de costes que relacione el diámetro de la tubería con su coste unitario, cuya expresión habitual es de la forma indicada en (5.13), de modo que el coste total CT de la serie de tuberías nuevas del trayecto será pues: a Cj CT j ∈S k N A Dj Lj (5.56) j ∈S k N incluyendo solamente las líneas j por dimensionar (subconjunto SNk) y que constituye precisamente la función objetivo que se desea minimizar en el problema. 5.51 5. Implementación de un modelo lineal ... Aplicando la primera condición de óptimo (∂L/∂Di = 0) podemos despejar el valor del diámetro Di (i ∈ SNk): Di 1 a 5 5λK a A 1 2 a 5 f i qi (5.57) Para obtener el valor del multiplicador λ hacemos uso de la segunda condición de óptimo (∂L/∂λ = 0); sustituyendo dicho valor en la expresión anterior obtenemos el valor del diámetro óptimo Di según: 02 1 2 a 5 Di N fi q i hf , adm a K fj j ∈S a 5 Lj q 2a a 5 j 02 (5.58) N k b) Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera incógnita: Figura 5.7. Serie de tuberías alimentada con altura piezométrica incógnita. En este segundo caso consideramos la existencia de una estación de bombeo en el nudo de alimentación, como muestra la Figura 5.7, de manera que el valor final de la altura de bombeo estará condicionado no sólo por la altura piezométrica mínima en el nudo extremo k, sino también por la magnitud del coste energético de bombeo en relación a la amortización de las tuberías de la serie. La función objetivo que debemos minimizar está compuesta por dos términos, a saber, por una parte el coste energético anual CE y por otra la amortización anual de las 5.52 5. Implementación de un modelo lineal ... tuberías CAT, esto es: CT ( ptas/año ) CE CA T Kb Hb a at A Dj Lj (5.59) j ∈S k N donde Hb es la altura de bombeo, Kb es el coeficiente de coste energético (coste energético anual por metro de altura de bombeo) y at es el factor de amortización de las tuberías. La restricción de presión mínima para la serie de tuberías alimentada con altura de cabecera incógnita, teniendo en cuenta que la altura piezométrica de cabecera es en este caso H0 = z0 + Hb, se expresa como: 2 h f,j j ∈S K f j Lj qj Dj j ∈S N k Hb ≤ z0 5 H min,k E hf (5.60) N k donde z0 es la cota de aspiración de la estación de bombeo, y de este modo, la función lagrangiana L asociada al problema se expresa como: L Kb Hb a A Dj Lj at λ j ∈S 2 K fj L j q j D j 5 Hb z0 E H min,k hf (5.61) j ∈S N k N k La aplicación de la primera condición de óptimo para una línea i ∈ SNk (∂L/∂Di = 0) da como resultado una expresión similar a la anterior (5.57), mientras que la segunda condición de óptimo (∂L/∂Hb = 0) proporciona directamente el valor del multiplicador λ: ∂L (5.62) Kb λ 0 → λ Kb ∂ Hb de modo que el diámetro económico para la línea i resulta: Di 5 Kb K 1 a 5 fi q at a A 2 i 1 a 5 (5.63) La última condición de óptimo (∂L/∂λ = 0) implica, al igual que en el caso anterior, que la pérdida de carga total en el serie de tuberías debe ser igual a la pérdida de carga admisible, y a partir de esta condición es posible obtener el valor de la altura de bombeo necesaria para conseguir la presión mínima en el nudo extremo de la serie: a Hb Hmin , k h E f z0 K a 5 5 Kb at a A 5.53 5 a 5 fj j ∈S N k a a 5 Lj q 2a a 5 j (5.64) 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.6.3. Dimensionado de una red ramificada mediante el criterio de la serie económica Hasta el momento, tan sólo se han desarrollado las expresiones del diámetro más económico mediante el método de la serie económica aplicado a una serie de tuberías. Dejando de lado la extensión del método para el dimensionado de una red ramificada completa que se estudió en el Capítulo 4, lo que se pretende en esta ocasión es proveer un procedimiento sencillo y rápido en su ejecución que permita obtener una solución hidráulicamente factible, aunque no se trate exactamente de la solución óptima desde el punto de vista económico. A diferencia del procedimiento desarrollado en el Capítulo 4, las expresiones que acabamos de establecer en el apartado anterior también están basadas en la expresión de pérdidas de Darcy, pero tienen en cuenta la no uniformidad de los valores del factor de fricción para las distintas tuberías del trayecto en el planteamiento de la restricción de presión mínima. Para la aplicación propuesta, las expresiones obtenidas para el diámetro más económico en las tuberías de una serie son fundamentales, pero subyacen todavía varias dificultades que hay que salvar, como por ejemplo, el orden en que se dimensionan los distintos trayectos de tuberías de la red o la normalización de los diámetros teóricos. El procedimiento general consistirá en dimensionar trayectos de tuberías sucesivamente, haciendo uso en primer lugar de las expresiones del diámetro más económico del apartado anterior, que proporcionan el valor del diámetro teórico a aplicar en cada línea del trayecto; posteriormente se normaliza el diámetro de las tuberías del trayecto, y en caso de necesidad, se modifica su valor hasta conseguir que las presiones en los nudos del trayecto sean superiores al valor mínimo establecido como requisito de diseño, para el estado de caudales circulantes que se haya definido. Una vez se ha dimensionado completamente un trayecto, los nudos contenidos en él poseerán una altura piezométrica conocida y constituirán la cabecera del resto de trayectos que quedan por dimensionar. El criterio para escoger el trayecto de tuberías a dimensionar consiste en calcular la pendiente hidráulica disponible en los trayectos encabezados por nudos de altura piezométrica conocida y terminados en nudos con una restricción de presión mínima; el trayecto que presente el mínimo valor de la pendiente hidráulica disponible será el trayecto crítico actual a dimensionar. 5.54 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.8. Elección del trayecto crítico. La figura anterior representa una red ramificada que se desea dimensionar siguiendo el método de la serie económica. La elección del primer trayecto crítico a dimensionar (conjunto de líneas Sc entre 0 y c) se realiza según el criterio: hf,adm (0→k) N j disp,c min j disp,k Lj k (5.65) j ∈S k N siendo jdisp,k la pendiente hidráulica disponible en el trayecto Sk, igual al cociente entre la pérdida de carga admisible en las tuberías por dimensionar (subconjunto SNk) hNf,adm(0→k) = H0 - Hmin,k - hEf(0→k) y la suma de las longitudes Lj de tubería por dimensionar. Una vez se ha completado el dimensionado del trayecto Sc, el valor de la altura piezométrica en los nudos a y b de la figura anterior resultará conocido para la situación de diseño. La porción del sistema que resta por dimensionar se puede considerar como un número de subredes alimentadas desde nudos con altura piezométrica conocida, tal y como muestra la figura siguiente. Para cada una de las subredes restantes se aplican los mismos principios utilizados para el dimensionado del trayecto crítico inicial Sc. 5.55 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.9. Situación de la red de (5.8) al dimensionar el trayecto crítico. El primer trayecto crítico seleccionado merece un tratamiento especial en el caso de que la alimentación de la red se realice mediante una estación de bombeo cuya altura de bombeo sea una incógnita del problema. En este caso, el dimensionado del trayecto crítico incluye también la determinación de la altura de bombeo Hb óptima, y en consecuencia, puesto que inicialmente se supone que su valor es desconocido, no puede aplicarse el criterio de la pendiente hidráulica disponible para determinar el trayecto crítico. En el siguiente apartado trataremos con más detalle este problema. 5.6.4. Estructura del subprograma de Predimensionado Teniendo en cuenta todas las consideraciones examinadas en el apartado anterior, veamos a continuación cómo se concreta la fase de Predimensionado de la red en curso por aplicación del método de la serie económica. Antes de entrar en detalle es importante recordar que la solución obtenida en el Predimensionado constituye una solución completa, en el sentido de que proporciona los diámetros comerciales de las líneas de la red, y la altura de bombeo en su caso, aunque es susceptible de ser mejorada en cuanto a su coste final, lo que se conseguirá en la fase de Optimización. La Figura 5.10 presenta el proceso seguido en la fase de Predimensionado. 5.56 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.10. Estructura general del subprograma de Predimensionado. 5.57 5. Implementación de un modelo lineal ... A grandes rasgos, la operación de este subprograma consiste en la realización de una serie de cálculos repetitivos para los sucesivos trayectos críticos de la red, consistentes en: Elección del trayecto crítico en cada etapa de cálculo. Obtención de los diámetros teóricos en las líneas del trayecto, por aplicación de las expresiones de la serie económica. Normalización de los diámetros obtenidos. Comprobación del estado de presiones resultante y modificación, si resultase necesaria, de los diámetros normalizados. Una vez concluidos los cálculos referentes a los distintos trayectos, se obtienen las alturas piezométricas y presiones dinámicas definitivas en todos los nudos de la red, y se calcula el coste de la solución obtenida. En el caso de que la altura de bombeo Hb sea una incógnita del problema, es necesario realizar un cálculo singular para determinar su valor. En el apartado anterior se ha hecho mención al problema que ello representa, puesto que en tal caso, la elección del trayecto crítico no puede llevarse a cabo mediante el criterio de la mínima pendiente hidráulica disponible. Sin embargo, en la Introducción de Datos, el usuario habrá definido un valor de la altura de bombeo probable, cuya validez ha sido comprobada en la fase de Tratamiento de Datos. Utilizando este valor probable es posible determinar un trayecto crítico, considerando que la altura de cabecera de la red H0 es un valor conocido es igual a: H0 z0 Hb (probable) (5.66) Aplicando ahora el criterio de la mínima pendiente hidráulica disponible en base a este valor de H0, se escoge el trayecto crítico y se calculan los diámetros teóricos en dicho trayecto (subrutina Serie_econ_pcab) a partir de los cuales se obtiene la altura de bombeo económica según la expresión (5.64) (subrutina Pcab). Si hay una variación apreciable entre el valor de la altura de bombeo Hb probable y la calculada según (5.64), será necesario recalcular las presiones hidrostáticas en los nudos de la red (subprograma Pres_st) para asegurar una correcta selección de la presión de trabajo de las tuberías. Una vez fijado el valor de la altura de bombeo Hb y recalculadas las presiones estáticas, nos enfrentamos a un problema de dimensionado con altura de cabecera conocida. 5.58 5. Implementación de un modelo lineal ... El problema consta ahora de dos fases: por un lado hay que efectuar una serie de operaciones repetitivas sobre cada uno de los trayectos, de manera que al concluir dichas operaciones, el trayecto en cuestión quede dimensionado de forma definitiva. En una segunda parte, se termina de concretar los resultados para la red completa (estado final de presiones y coste de la solución). Veamos a continuación, siguiendo la estructura definida en la Figura 5.10, las operaciones seguidas para el dimensionado completo de cada trayecto: Elección del trayecto crítico (subrutina Senda_critica) Consiste en aplicar el criterio de la mínima pendiente hidráulica disponible expuesto anteriormente para determinar cuál es el trayecto de tuberías que constituyen el trayecto crítico actual. Los posibles trayectos se construyen desde los nudos que poseen una restricción de presión mínima siguiendo el sentido aguas arriba hasta alcanzar un nudo con altura piezométrica conocida (bien sea el nudo de cabecera o un nudo perteneciente al uno de los trayectos dimensionados con anterioridad). Determinación de la altura piezométrica mínima en los nudos del trayecto crítico con ramificaciones (subrutina Hmin) Mediante esta subrutina se asigna a cada nudo del trayecto crítico un valor de la altura piezométrica Hmin suponiendo que en las líneas por dimensionar pertenecientes al trayecto se presenta una pendiente hidráulica igual a la media disponible (esto es, se considera pendiente hidráulica uniforme). La Figura 5.11 presenta la forma que puede adoptar la línea de alturas piezométricas en un trayecto cuando se considera la hipótesis de pendiente uniforme, cuando se asignan diámetros teóricos a las líneas y cuando finalmente se adoptan los diámetros normalizados. Como se observa en la figura, existen nudos en los cuales, la altura piezométrica definitiva obtenida tras el proceso de dimensionado puede ser inferior al valor Hmin obtenido mediante la consideración de pendiente hidráulica uniforme, que es precisamente el criterio considerado para especificar el trayecto crítico. 5.59 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.11. Líneas de alturas piezométricas (LAP) en el trayecto. Por esta razón, una vez determinados los diámetros comerciales y calculada la altura piezométrica definitiva en los nudos del trayecto, será necesario comprobar que dicha altura es mayor o igual que el valor Hmin en aquellos nudos con ramificaciones, y que por tanto dan origen a otros trayectos; en caso contrario podría resultar en tales nudos una altura piezométrica insuficiente para dotar de presión a los trayectos restantes. Cálculo de la presión de trabajo de las tuberías del trayecto (subrutina Selec_tim) La aplicación del método de la serie económica requiere una curva de costes de tubería (expresión 5.26), cuyos coeficientes dependen tanto del material de referencia como de la presión de trabajo escogida. Tales coeficientes ya han sido calculados al final de la etapa de Introducción de Datos, una vez seleccionados los materiales a emplear en el dimensionado y sus respectivos rangos de utilización. Los coeficientes A y a de la curva de costes que se emplean en la obtención del diámetro de las tuberías del trayecto corresponden al primer material de los seleccionados, y dentro de éste, se escoge la presión de trabajo normalizada inmediata superior a la medida aritmética de las presiones hidrostáticas máxima y mínima que se presentan en los nudos del trayecto. En el caso de que la máxima presión hidrostática en el trayecto sea superior a la máxima presión de trabajo del material de referencia, se escoge esta última presión de trabajo como referencia. 5.60 5. Implementación de un modelo lineal ... Cálculo de los diámetros teóricos (subrutina Serie_econ) Una vez se ha determinado el material y la presión de trabajo de referencia, estamos en condiciones de aplicar finalmente la expresión (5.58) para obtener el diámetro más económico de las tuberías del trayecto. La única peculiaridad de este proceso reside en que se ha considerado la no uniformidad de los factores de fricción en las líneas, que se calculan por aplicación de la fórmula de Colebrook-White, de modo que será necesario realizar un cálculo iterativo hasta obtener los verdaderos valores del factor de fricción. Normalización de los diámetros (subrutina Norm_diam) A partir de los diámetros teóricos obtenidos anteriormente, se asignan diámetros comerciales normalizados a las líneas del trayecto. Los diámetros se escogen entre los materiales seleccionados en la Introducción de Datos por un criterio de proximidad, esto es, se elige el más próximo al diámetro teórico entre el infranormalizado y el supranormalizado. Si existen diámetros posibles dentro de varios materiales, se escogerá el más económico. Comprobación de las velocidades de circulación (subrutina Velo_senda) En el planteamiento del problema de la serie económica no intervienen directamente las restricciones de velocidad, de modo que será necesario comprobar que tales limitaciones se verifican para los diámetros normalizados escogidos. En el caso de infringir la limitación de velocidad mínima en alguna de las tuberías, simplemente se avisa al usuario del hecho, sin adoptar ninguna medida, puesto que la reducción del diámetro correspondiente empeoraría el estado de presiones en los nudos del trayecto. Cuando por el contrario se incumple la limitación de velocidad máxima, se incrementa el diámetro de la tubería correspondiente al inmediato superior, manteniendo el material y la presión de trabajo. En el caso de que no exista esta posibilidad, porque no han sido seleccionados mayores diámetros, se avisa al usuario de la circunstancia, y se retorna al Menú de Tratamiento, para ampliar el rango de diámetros escogido. 5.61 5. Implementación de un modelo lineal ... Determinación de las alturas piezométricas en el trayecto (subrutina Hpiez_senda) Consiste simplemente en calcular las alturas piezométricas definitivas en los nudos del trayecto después de todos los posibles cambios efectuados sobre los diámetros de las tuberías. Modificación de los diámetros del trayecto (subrutina Incre_diam) La última comprobación en el trayecto actual concierne a las presiones en los nudos del mismo. Siguiendo el sentido contrario a la circulación del agua desde el extremo aguas abajo del trayecto, se comprueban dos circunstancias: a) que la altura piezométrica definitiva en el nudo sea igual o superior a la altura piezométrica mínima. En el caso de que el nudo no posea una restricción de presión mínima, la altura piezométrica mínima considerada es igual a la cota geométrica, de modo que un nudo no alcance presiones negativas. b) que la altura piezométrica en el nudo sea igual o superior al valor Hmin en el caso de que el nudo sea origen de nuevas ramificaciones (grado de conectividad Gcon > 1). En el caso de que alguna de las condiciones no se cumpla, se incrementará el diámetro de la línea situada aguas arriba del nudo hasta verificarlas. Si de nuevo es imposible el aumento de diámetro por no disponer de otros mayores, se avisa al usuario y se retorna al Menú de Tratamiento, para ampliar el rango de diámetros. Todas las tareas que acabamos de referir se aplican a los sucesivos trayectos que se van definiendo en la aplicación del método de la serie económica. Cuando finalmente se ha concluido el dimensionado de todas las líneas, tan sólo resta efectuar los cálculos generales que afectan a la solución definitiva, esto es, el cálculo de la altura piezométrica definitiva en todos los nudos de la red (subrutina Hpiezometrica), la determinación de la presión dinámica en los nudos (subprograma Pdin) y el cálculo de los costes de la solución final (subrutina Evalua_costes). Por último, simplemente enfatizaremos que las condiciones de error que pueden presentarse en el subprograma de Predimensionado están causadas por la ausencia de determinados diámetros entre los materiales seleccionados. 5.62 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.7. OPTIMIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL 5.7.1. Introducción En el caso de que se den las condiciones adecuadas al plantear las restricciones de diseño, la etapa de Predimensionado proporciona una solución factible en la cual las líneas están configuradas con un diámetro comercial único. Una vez concluido el predimensionado de la red, se presenta al usuario un conjunto de opciones contenidas en el Menú de Predimensionado. Una de las opciones contenidas en el Menú permite al usuario modificar a voluntad los diámetros obtenidos tras el Predimensionado; esta acción puede repercutir sobre los cálculos posteriores, puesto que se ha previsto la posibilidad de que los diámetros modificados por el usuario permanezcan invariables en el proceso posterior de Optimización mediante PL. Puede suceder que las modificaciones introducidas por el usuario acaben convirtiendo una solución factible en otra que ya no lo es, en el caso de que las pérdidas de carga en las líneas modificadas conduzcan a presiones en el sistema por debajo del valor mínimo previsto. Antes de acometer la optimización, es fundamental comprobar la factibilidad de la solución entrante, puesto que el cometido principal del Predimensionado es precisamente proporcionar una solución factible que sea susceptible de ser mejorada por aplicación del algoritmo SIMPLEX en su fase II. Dejando de lado la trascendencia que pueda tener la modificación de los resultados por parte del usuario, la opción "natural" que se escogerá finalmente en el Menú de Predimensionado es precisamente la de Optimización mediante PL. La fase de Optimización consta de varios procesos alguno de los cuales debe de ser repetido de forma iterativa hasta conseguir que la solución óptima obtenida se ajuste a las hipótesis de cálculo. La Figura 5.12 muestra de modo simplificado la estructura general del proceso de Optimización. El primer paso consiste en validar la solución inicial entrante en el proceso, que es producto del Predimensionado y, posiblemente, de las modificaciones introducidas por el usuario. Esta comprobación es fundamental, por cuanto que el problema de optimización ha sido concebido considerando tan sólo la fase II de mejora de una solución factible. Si la solución entrante no es factible, la optimización planteada pierde 5.63 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.12. Estructura general del proceso de Optimización mediante PL. 5.64 5. Implementación de un modelo lineal ... completamente su sentido. En caso de que la solución inicial no sea factible, se avisa al usuario y se retorna al Menú Principal, para poder corregir las anomalías. De una forma resumida, la Optimización de la red se concreta en tres fases diferenciadas. En primer lugar hay que seleccionar un conjunto de diámetros candidatos para cada línea, en base a los cuales se definen las variables de decisión y se calculan los coeficientes asociados al problema de PL, labor que realiza el subprograma Sbpr_dican. Las condiciones de error en la selección de los diámetros candidatos aparecen cuando no se encuentran diámetros válidos entre la gama definida por el usuario, y si ello sucede, el programa advierte al usuario y retorna al Menú Principal. A continuación hay que ensamblar el problema de PL mediante el cálculo de los coeficientes de las restricciones de presión (pendiente hidráulica asociada a cada línea y cada diámetro candidato), para finalmente resolver el problema de PL por aplicación del algoritmo SIMPLEX en su fase II. Estas dos últimas tareas están comprendidas en el programa Ens_vaci, que reclama para su ejecución la máxima capacidad posible de memoria RAM, debido a las dimensiones que puede alcanzar el planteamiento del problema de PL. Esta condición determina dos características fundamentales del programa, a saber: a) Para su ejecución, se libera previamente de la memoria el programa DIOPRAM, preservando en memoria únicamente las variables del programa, de modo que el programa Ens_vaci se ejecuta de modo autónomo y aprovecha toda la memoria RAM restante para las variables del problema de PL. b) La implementación del algoritmo SIMPLEX utiliza de un modo eficiente la memoria disponible almacenando únicamente los coeficientes no nulos de la matriz del problema, que habitualmente presenta al inicio del proceso una densidad del 5÷10 %. La ejecución del algoritmo SIMPLEX puede fallar cuando se produce un desbordamiento de la memoria disponible para almacenar los coeficientes, lo que puede suceder en la fase inicial de ensamblado o durante las operaciones del SIMPLEX, puesto que la densidad de la matriz de coeficientes puede crecer durante el cálculo. 5.65 5. Implementación de un modelo lineal ... Dependiendo de la solución obtenida, puede ser necesario repetir estas tres fases iterativamente hasta que la solución resulte conforme a las hipótesis iniciales de cálculo. Las circunstancias que obligan a iterar el cálculo son las siguientes: a) Si la altura piezométrica de cabecera es modificada durante el proceso de optimización, puede suceder que la presión de trabajo utilizada en las tuberías de la solución final no sea la adecuada para las nuevas condiciones. Cuando ello suceda será necesario recalcular las presiones hidrostáticas en el sistema, así como los costes unitarios de las tuberías cuya presión de trabajo haya podido sufrir modificaciones. b) Cuando el diámetro resultante en una línea corresponde a uno de los extremos del grupo de diámetros candidatos no será posible asegurar que el proceso de optimización hubiese escogido tal diámetro de haber contado con más candidatos posibles. En consecuencia, habrá que desplazar o ampliar el grupo de diámetros candidatos para asegurar la libertad de elección en el algoritmo de optimización. En cualquiera de los dos casos anteriores hay que volver a repetir el proceso a partir de la selección de diámetros candidatos, pero considerando las nuevas condiciones (altura de cabecera, presiones de trabajo y diámetros resultantes). Cuando los diámetros resultantes en las líneas de la red están finalmente centrados en el grupo de candidatos y la presión de trabajo de las tuberías resulte adecuada, se considera concluido el proceso. Sólo resta pues calcular la presión dinámica resultante en los nudos de la red y evaluar el coste de la solución final. 5.7.2. Selección de diámetros candidatos (Subprograma Sbpr_dican) Para formular el modelo lineal de dimensionado es necesario seleccionar un número de diámetros candidatos por cada línea. El primer problema que encontramos reside en determinar el número más apropiado de diámetros candidatos, puesto que el número de variables del problema de PL crece proporcionalmente con el número de candidatos considerados; por otro lado, si es un número pequeño, será necesario calcular varios problemas sucesivos de PL hasta poder asegurar que los diámetros finalmente seleccionados son realmente los óptimos (esto es, si ha existido una libertad real de escoger diámetros diferentes). 5.66 5. Implementación de un modelo lineal ... Como ya se citó en el capítulo anterior, sabemos que en la solución definitiva, las líneas estarán configuradas por un único diámetro o a lo sumo dos diámetros sucesivos en tamaño (Fujiwara y Dey [11]), como consecuencia de la estructura de precios de las tuberías comerciales. Teniendo en cuenta la configuración de la solución definitiva, diversos autores se han preguntado cuál sería el número idóneo de diámetros candidatos que habría que considerar en cada línea. Por ejemplo, Bhave [5] proponía calcular un diámetro teórico considerando una pendiente hidráulica uniforme en los trayectos críticos de la red, que serviría como referencia para seleccionar únicamente dos diámetros candidatos por cada línea. Sin embargo, de este modo sólo sería posible asegurar que los diámetros seleccionados para una línea son definitivos si ambos forman parte de la misma en la solución final. Este hecho todavía se complica aún más si pensamos que el desplazamiento de los diámetros candidatos en unas líneas puede conducir a que los diámetros seleccionados como definitivos en otras líneas distintas, dejen de serlo tras un nuevo proceso de optimización. Ciertamente, el considerar sólo dos diámetros candidatos resta mucha flexibilidad al proceso y obliga a realizar un gran número de iteraciones hasta la consecución de una solución definitiva. El mismo autor, aunque no reconoce explícitamente este hecho, deja abierta una cierta concesión al admitir que se pueden escoger hasta tres e incluso cuatro diámetros candidatos por línea. Otra posibilidad es la propuesta por Pleban y Amir [20], en cuyo programa de dimensionado de redes ramificadas contempla la selección de tres diámetros candidatos por línea. Para llevar a cabo tal selección los autores obtienen un diámetro teórico estimativo para cada línea tomando como referencia una velocidad de circulación del agua igual a 1'132 m/s. A partir del diámetro teórico se obtiene el diámetro normalizado más próximo a este valor, que será el diámetro candidato central; posteriormente se seleccionan los diámetros normalizados inmediato inferior y superior, que constituyen los extremos del conjunto de candidatos en una línea. Para la implementación del programa DIOPRAM se ha considerado la selección de cuatro diámetros candidatos por línea, como un compromiso entre mantener un número 5.67 5. Implementación de un modelo lineal ... moderado de variables utilizadas en la optimización y a la vez, lo suficientemente grande como para no incurrir en excesivos cálculos iterativos. El diámetro de referencia utilizado para seleccionar los candidatos será precisamente el diámetro comercial obtenido en la etapa de Predimensionado. Anteriormente se han citado dos condiciones que deberían cumplir los diámetros candidatos: deben ser diámetros comerciales, de modo que la solución final pueda ser llevada directamente a la práctica, y deben verificar las limitaciones de velocidad máxima y mínima impuestas en los requisitos de diseño de la red. Además de éstas, podemos añadir una tercera condición, que consiste en asegurar que el diámetro seleccionado en el Predimensionado para cada línea forme parte del conjunto de diámetros candidatos escogido inicialmente, como manera de asegurar la existencia de una solución factible al problema de Programación Lineal. Una última condición que deberían reunir los diámetros candidatos seleccionados es la de adyacencia, esto es, que no existan entre los candidatos otros diámetros que sean susceptibles de ser seleccionados. En realidad la segunda condición referida a las limitaciones de velocidad queda en el programa DIOPRAM como una decisión propia del usuario, en el sentido de que puede decidir mantener estrictamente dichos límites para la selección de los diámetros candidatos, o bien dejar completa libertad para la elección de los mismos, sin restricción de velocidad alguna. Teniendo en cuenta estas condiciones, veamos los casos que pueden presentarse en función del número de candidatos. Considerando dos candidatos por línea, como propone Bhave, la optimización puede conducir a que la línea quede configurada por uno de los dos diámetros extremos del conjunto de candidatos, o bien, que esté compuesta de ambos diámetros. Suponiendo que todos los casos se den con igual probabilidad, en los dos primeros casos será necesario desplazar el grupo de candidatos para poder asegurar una auténtica libertad de elección del proceso de optimización, lo que representa que aproximadamente en 2/3 ≡ 66'7 % de los casos será necesario desplazar el grupo de candidatos y volver a establecer el conjunto de candidatos. En general, si disponemos de ND diámetros candidatos por línea, se pueden presentar ND casos en los que resulta un diámetro único final y ND-1 casos con dos diámetros 5.68 5. Implementación de un modelo lineal ... seleccionados (ya que deben ser contiguos) y solamente será necesario desplazar el grupo de candidatos cuando resulte un diámetro único en cada uno de los extremos de la serie (2 casos). De esta forma podemos calcular el porcentaje de casos en los que será necesario el desplazamiento de los candidatos, como indica la siguiente tabla: Número de diámetros candidatos ND Casos que requieren desplazar el grupo de candidatos 2/(2·ND-1) 2 3 2/3 ≡ 66'7 % 4 5 2/7 ≡ 28'7 % 6 2/11 ≡ 18'2 % 2/5 ≡ 40 % 2/9 ≡ 22'2 % Como puede comprobarse, el porcentaje de casos que requieren un desplazamiento del grupo de candidatos se reduce drásticamente de emplear ND = 2 a considerar ND = 4, aunque la mejora experimentada al pasar a ND = 5 apenas es apreciable. Por otra parte, los límites de velocidad considerados habitualmente (0'5÷2'0 m/s) permiten la utilización de cuatro, y en muy pocos casos, cinco diámetros distintos. Por todas estas razones se ha optado finalmente por adoptar un número de diámetros candidatos ND = 4, igual para todas las líneas. La Figura 5.13 ilustra los casos posibles que pueden acontecer utilizando cuatro diámetros candidatos por línea. La selección de los cuatro diámetros candidatos toma como referencia el diámetro obtenido en el Predimensionado, ocupando éste la tercera posición en una lista de cuatro candidatos ordenados por tamaño ascendente. A partir de este diámetro, se escogen dos diámetros consecutivos en sentido decreciente, que ocuparán las posiciones 1ª y 2ª, y uno consecutivo de mayor tamaño en la posición 4ª. Cuando los intervalos de trabajo escogidos por el usuario para los distintos materiales no permiten seleccionar el resto de diámetros candidatos, se presenta una condición de error, que reconduce el programa hacia el Menú Principal, desde el cual se puede efectuar las correcciones necesarias. Hay ocasiones en las que no interesa seleccionar diámetros candidatos diferentes, como por ejemplo, cuando una línea cuenta ya con tubería instalada, o cuando el usuario pretende forzar el mantenimiento del diámetro obtenido en el Predimensionado. En tales casos, se asignan los cuatro diámetros candidatos a un mismo valor, esto es, el diámetro de la tubería instalada previamente o el diámetro forzado por el usuario respectivamente, de modo que las operaciones realizadas por el algoritmo SIMPLEX no puedan alterar el diámetro seleccionado en dichas líneas. 5.69 5. Implementación de un modelo lineal ... Conjunto de diámetros candidatos para la línea i (expresados en mm.) 125 150 175 200 250 300 350 400 450 500 a) La solución final queda centrada en la serie: 200 250 300 350 Configuraciones > válidas 200 250 300 350 200 250 300 350 200 250 300 350 200 250 300 350 200 250 300 350 b) La solución queda en el extremo izquierdo de la serie: 200 250 300 350 Solución > 200 250 300 350 Desplazar > 150 175 200 250 300 350 c) La solución queda en el extremo derecho de la serie: 200 250 300 350 Solución> 200 250 300 350 Desplazar> 200 250 300 350 400 Figura 5.13. Selección de cuatro diámetros candidatos por línea. Una vez definido el grupo de diámetros candidatos inicial, el usuario debe decidir si se aplican las restricciones de velocidad o no. En caso afirmativo, será necesario comprobar que todos los candidatos se ajustan a tales limitaciones, tan sólo en las líneas que admiten modificaciones en el diámetro, y si el usuario decide no aplicar las restricciones de velocidad, se prosigue con el cálculo de la pendiente hidráulica asociada a cada línea y cada diámetro candidato. La restricción de velocidad máxima se comprueba sobre el primer diámetro candidato, de modo que si no la verificase, se produce un desplazamiento de una posición hacia la izquierda, de modo que el 2º candidato pasa a ocupar la 1ª posición y así sucesivamente. Esta operación se repite hasta que el primer candidato verifique la restricción de velocidad máxima. La comprobación de la velocidad mínima se concreta sobre el cuarto candidato (el de mayor tamaño) y en el caso de que no la verifique, se asigna como cuarto candidato el mismo diámetro que el tercero. Finalmente se calcula el valor de la pendiente hidráulica ji,j asociada a cada línea i y cada diámetro candidato j, mediante la expresión de Darcy. 5.70 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.7.3. Ensamblado y resolución del problema de PL (Subprograma Ens_vaci) Una vez seleccionados los diámetros candidatos a formar parte de cada línea de la red, podemos formular el problema de dimensionado óptimo como un problema de PL, que cuenta además con una solución factible conocida que ha sido obtenida en el Predimensionado. Si la red está alimentada con una altura piezométrica conocida en cabecera, el problema se formula según: N minimizar CT ci,j Li,j i 1 sujeto a: 4 a) Li,j ∀i Li (5.67) j 1 4 b) i ∈Sk j 1 ji,j Li,j ≤ H0 ∀k seleccionado Hmin , k donde CT es el coste total de la inversión en tuberías, ci,j es el coste unitario del diámetro candidato Dji y Li,j es la longitud parcial de dicho diámetro en la línea i, de longitud total Li. Las restricciones geométricas del tipo a) se formulan para todas las líneas de la red, e indican que la suma de longitudes de los tramos en una línea debe ser igual a la longitud total de la misma. Las restricciones de presión mínima, del tipo b) se formulan únicamente para los trayectos Sk formados por las líneas que unen el nudo de cabecera con los nudos k en los que se haya establecido un valor de la presión mínima en la entrada de datos; el término Hmin,k indica precisamente la altura piezométrica mínima que debe presentarse en el nudo k, mientras que H0 es la altura piezométrica disponible en cabecera. La pendiente hidráulica ji,j asociada a cada línea i y cada diámetro candidato Dji se calcula mediante la fórmula de Darcy y teniendo en cuenta los factores mayorantes introducidos en el programa, esto es: j ji,j 8 fi 1 hfm π g D 2 j i 5 2 qi 1 ∆ Li (5.68) Li donde el factor (1+hfm) representa un coeficiente mayorante de pérdidas para toda la 5.71 5. Implementación de un modelo lineal ... red y ∆Li es una longitud adicional para considerar pérdidas menores en la línea i; el factor de fricción fji se calcula mediante la expresión de Colebrook-White, supuesto un régimen de funcionamiento turbulento. Si el sistema cuenta con una estación de bombeo en el nudo de alimentación, cuya altura de bombeo Hb interviene en el dimensionado económico, el problema se formula como: N minimizar CT CE CAT Kb Hb ci,j Li,j at i 1 sujeto a: 4 a) Li,j ∀i Li (5.69) j 1 4 b) i ∈Sk j 1 ji,j Li,j Hb ≤ z0 Hmin , k ∀k seleccionado En este caso, el coste que se minimiza corresponde al coste total anual CT compuesto por el coste energético anual CE = Kb·Hb y la amortización anual en tuberías CAT, que se obtendrá multiplicando el coste total de las mismas por el factor de amortización at. Las restricciones geométricas son totalmente idénticas al caso anterior, mientras que las restricciones de presión mínima, aunque también son similares, se reescriben separando los dos términos de la altura piezométrica en cabecera H0, por un lado la cota de aspiración de la estación de bombeo z0 y por otro, la altura de bombeo Hb, siendo esta última una variable de decisión adicional del problema de PL, además de las longitudes de los tramos Li,j. Si existen N líneas en la red y Q nudos con presión mínima definida, el problema posee hasta el momento 4·N variables de decisión (+1, si incluimos la altura de bombeo Hb) y un total de N+Q restricciones (Q≤N, aunque en general Q es bastante menor que N); de ellas, las N restricciones geométricas son de igualdad, y las Q restricciones de presión mínima son de desigualdad. El algoritmo SIMPLEX es un procedimiento algebraico para la resolución de problemas de PL, y el primer paso para su aplicación consiste en introducir variables 5.72 5. Implementación de un modelo lineal ... de holgura en las restricciones de desigualdad para convertirlas en igualdades o ecuaciones. Las variables de holgura, al igual que el resto de las variables, deben ser no negativas, y representan la cantidad no utilizada de un recurso determinado por parte de las variables originales del problema. Puesto que las variables de holgura intervienen en las restricciones de presión mínima, su significado es claro: representan las holguras de presión hk en los nudos k con presión mínima determinada, o lo que es lo mismo, la diferencia entre la altura piezométrica disponible en tales nudos respecto del valor mínimo que se exige, esto es: hk Hk (5.70) Hmin,k Introduciendo las variables de holgura, las restricciones de presión mínima de (5.67) quedan como: 4 i ∈S k j 1 ji,j Li,j hk H0 ∀k seleccionado Hmin , k (5.71) y en el caso de intervenir la altura de bombeo Hb, las restricciones correspondientes quedarán como: 4 i ∈S k j 1 ji,j Li,j Hb hk Hmin , k z0 ∀k seleccionado (5.72) Las variables de holgura deberán añadirse a las 4·N variables antes referidas, de modo que el total de variables del problema pasará a ser 4·N+Q (+1 si incluimos la altura de bombeo Hb). Todo problema de PL posee una interpretación geométrica, puesto que el espacio de soluciones posibles de un problema lineal con n variables de decisión es un poliedro n-dimensional, acotado por las restricciones lineales del problema, que pueden ser representadas como hiperplanos. La función objetivo, igualmente lineal, representa una familia de hiperplanos paralelos, cada uno de ellos asociado a un valor diferente. Consecuentemente, la solución óptima, si existe, se localiza en uno de los vértices del poliedro. A este respecto, los vértices del espacio de soluciones poseen las siguientes propiedades: 1) Si existe una única solución óptima, ésta debe ser un vértice del poliedro. 2) Si existen múltiples soluciones óptimas, al menos dos de ellas son vértices adyacentes. 5.73 5. Implementación de un modelo lineal ... 3) El número de vértices que representan soluciones factibles al problema de PL es finito. 4) Si un vértice que represente una solución factible no posee vértices adyacentes que representen una mejora de la función objetivo, entonces no existe ningún vértice que mejore el valor de la función objetivo y la solución actual es la óptima. Considerando que el problema de PL n-dimensional cuenta con m restricciones, se denomina solución básica a una solución compuesta por m variables no negativas, y n-m variables nulas: (5.73) x1 , . . . , xm ≥ 0 ; xm 1 , . . . , xn 0 donde xi son las variables del problema. Una solución es factible o posible cuando verifica las restricciones del problema. Cada vértice del poliedro que representa el espacio de soluciones posibles corresponde precisamente a una solución básica posible. El algoritmo SIMPLEX aprovecha las propiedades del espacio de soluciones posibles, considerando una solución básica posible inicial, para encontrar a continuación otra solución básica posible correspondiente a un vértice adyacente que mejore el valor de la función objetivo. La operación de desplazamiento entre un vértice y otro adyacente implica anular una de las variables de la solución básica inicial e incorporar en su lugar una variable no básica. Como se desprende del comentario anterior, suponiendo que contamos con una solución básica factible inicial, la aplicación del algoritmo SIMPLEX en la fase II consiste en un procedimiento iterativo, finito en general, que comprende dos tipos de cálculo en cada iteración: en primer lugar, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las restricciones para las variables básicas, y en segundo lugar, se analiza la influencia de las variables no básicas para decidir cuál de ellas debe entrar en la base produciendo la máxima mejora posible en la función objetivo. La forma estándar de un problema de minimización con n variables y m restricciones sería: n a i j xj n cj xj sujeto a: min z bi i 1,...,m j 1 j 1 xj ≥ 0 j 5.74 1,...,n (m < n) (5.74) 5. Implementación de un modelo lineal ... Si expresamos las restricciones en forma matricial se tendrá A · x= b, donde A es una matriz de coeficientes nxm. En ocasiones la matriz A se representa separando la parte básica B de la parte no básica N, de modo que el problema sería: minimizar z sujeto a : c T T x cB c N xB xN (5.75) T B N xB xN b x≥0 siendo c el vector columna de coeficientes de coste y b el vector de términos independientes de las restricciones. Los subíndices B y N se utilizan para distinguir las partes básica y no básica respectivamente, de los distintos elementos del problema. El primer procedimiento implicado en una iteración del algoritmo SIMPLEX consiste en obtener el valor de las variables básicas de la solución actual, según: xB B 1 b B 1 0 → xB N xN pero xN B 1 b (5.76) xN (5.77) Por otra parte, la función objetivo adopta un valor: Z T T cB x B T cB B c N xN 1 b T T cB B cN 1 N Para la solución básica inicial, puesto que xN = 0, el valor de la f. objetivo es: Z T cB x B T cB B 1 (5.78) b El término de la función objetivo que multiplica a xN: T cN T cB B 1 N ĉm 1 , . . . , ĉn (5.79) ĉN representa el vector de costes reducidos (ĉm+1,...,ĉn) para las variables no básicas. Para transformar la matriz base en cada iteración del algoritmo SIMPLEX, la variable no básica entrante debe escogerse en función de la reducción que puede aportar al valor de la función objetivo. Dantzig propone seleccionar la variable no básica entrante como aquella cuyo coeficiente de coste reducido sea el más negativo: Var. no básica entrante xe , siendo ĉe min j m 1, . . , n ĉj / ĉj < 0 (5.80) Naturalmente, ante la entrada de la nueva variable xe, los valores de las variables 5.75 5. Implementación de un modelo lineal ... básicas actuales se ven modificados según: B 1 N e 1 B xB B b 1 N e xe (5.81) vector columna e ésima de B 1 N donde el vector xB' representa el nuevo valor de las variables para la base actual. Las condiciones que debe cumplir la transformación es que ninguna variable alcance un valor negativo y que la variable básica saliente tome un valor nulo. Ante la entrada de la variable xe, la variable básica xj tomará un valor x'j igual a: B xj 1 b B j B 1 B 1 b N 1 j,e xe ≥ 0 ∀ j 1, . . . ,m xe ≥ 0 : elemento j ésimo del vector B 1 b : elemento (j , e) de la matriz B 1 N j j,e N (5.82) y a partir de la desigualdad anterior obtenemos que: 0 ≤ xe ≤ B B 1 1 b N ∀j / j B 1 N j,e (5.83) > 0 j,e de modo que la variable entrante xe adoptará el valor: xe B B 1 1 b N s min j 1,...,m s,e B B 1 1 b N j B 1 N j,e > 0 (5.84) j,e El subíndice s corresponderá a la variable saliente de la base xs, la cual tomará un valor nulo (x's = 0). Aunque el coeficiente de coste reducido ĉe de la variable entrante sea el más negativo, la influencia de la entrada de la variable xe en la base dependerá del valor final que pueda adoptar ésta. Por tanto, el criterio del coeficiente de coste reducido más negativo propuesto por Dantzig es arbitrario, aunque se comprueba en la práctica los buenos resultados que proporciona. Una vez introducida la nueva variable xe en la base y extraída la variable xs, se repite el mismo procedimiento descrito, el cual finalizará cuando no sea posible encontrar ninguna variable no básica que pueda mejorar el valor de la función objetivo. 5.76 5. Implementación de un modelo lineal ... Las operaciones referidas han consistido fundamentalmente en resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar el valor de las variables básicas, considerando que las variables no básicas son nulas, para posteriormente analizar la influencia de las variables no básicas en la función objetivo. Tales operaciones tienen una interpretación muy sencilla cuando se representa el problema de optimización en forma tabular, tal y como indica la figura de la siguiente página. Los pasos a seguir consistirían en: 1) Formulación del problema incluyendo las variables de holgura. 2) Eliminación de Gauss-Jordan sobre las variables de la solución básica factible inicial. 3) Si todos los coeficientes de coste reducidos ĉj (j>m) de las variables no básicas son no negativos, entonces la solución básica actual es la solución óptima, puesto que no es posible mejorar el valor de la función objetivo al incorporar una nueva variable en la solución. En tal caso, el procedimiento ha terminado. 4) Si existe algún ĉj = 0 (j>m) y ninguno negativo, significa que la variable no básica correspondiente puede ser incorporada a la solución sin incrementar el valor de la función objetivo. En tal caso existen infinitas soluciones óptimas además de la actual y el procedimiento ha finalizado. 5) Mientras existan ĉj < 0 (j>m) es posible reducir el valor de la función objetivo. La variable no básica xe que pasará a formar parte de la solución será aquella que verifique la condición: ĉe min ĉj / ĉj < 0 (5.85) j>m 6) Si todos los coeficientes reducidos de la columna e son âi,e ≤ 0 (∀i=1,..,m), significa que la variable entrante xe puede tomar un valor tan grande como se quiera y en consecuencia, la función objetivo no estará acotada, pudiendo reducir infinitamente su valor. Esta circunstancia no tiene demasiado sentido cuando se formula un modelo de dimensionado económico, y por ello cabe pensar que si se presenta, significa que tal modelo ha sido incorrectamente formulado. 5.77 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.14. Forma tabular estándar y canónica del problema de optimización. 5.78 5. Implementación de un modelo lineal ... 7) El máximo valor que puede llegar a adoptar la variable entrante xe estará condicionado por la restricción de no negatividad de las variables básicas actuales, y por tanto: xe ( máximo ) b̂s min âs , e i 1, . . , m b̂i / âi , e > 0 âi , e (5.86) El índice s identifica a la variable básica xs que se anula y por tanto, sale de la base. 8) Permutar las columnas s y e, y repetir el proceso comenzando con la eliminación de Gauss-Jordan del paso 2) para obtener la nueva solución básica. Si bien el algoritmo SIMPLEX fue concebido inicialmente para aplicar el método de reducción de Gauss-Jordan para la resolución del sistema de ecuaciones lineales en xB , en realidad no resulta necesario diagonalizar la matriz básica B para obtener los mismos resultados. Para resolver el sistema de ecuaciones en xB, es suficiente con transformar la matriz básica B en una matriz triangular superior mediante el método de eliminación de Gauss. Como es sabido, una matriz cuadrada A de orden m puede descomponerse como: (5.87) A L D U donde L es una matriz triangular inferior de orden m, con los elementos de la diagonal de valor unidad, D es una matriz diagonal de orden m y U es una matriz triangular superior de orden m, con los elementos de la diagonal de valor unidad. Este tipo de descomposición es posible siempre que se verifique la condición de que las m submatrices diagonales de orden k (1≤k≤m) sean invertibles; en tal caso, la descomposición es además única. Si no se cumple la condición, se pueden permutar las filas de la matriz A hasta conseguir que sea satisfecha. Así, puede afirmarse que una matriz cuadrada no singular puede factorizarse como un producto L·D·U (Ciarlet [8]). Considerando la descomposición LDU de la matriz básica B, el sistema de ecuaciones en xB que debemos resolver es: B xB L D U xB b (5.88) D b (5.89) que puede ser reescrito en la forma: U xB 1 L 5.79 1 b 5. Implementación de un modelo lineal ... Si se incluyen las variables no básicas xB, según (5.76) tendremos: U xB D 1 L 1 D b 1 L 1 N xN D 1 L 1 b N xN (5.90) donde la matriz (D-1·L-1·N) = N* resultará de aplicar el método de eliminación de Gauss sobre la matriz no básica N. De igual modo, se utiliza la matriz triangular U resultante para eliminar los coeficientes de coste de las variables básicas de la función objetivo y obtener los coeficientes de coste reducidos de las variables no básicas. La siguiente figura muestra la forma tabular del problema de PL cuando se aplica la triangularización de la matriz base en lugar de la diagonalización: Figura 5.15. Forma tabular del problema al triangularizar la matriz base. El valor de la función objetivo resulta en este caso: Z T cB x B T T cB B c N xN c T B B 1 b c 1 T N T b c T cB B cN T B U 1 N 1 N xN (5.91) xN donde [c NT - c BT·U-1·N*] es el vector de coeficientes de coste reducidos (ĉm+1,...,ĉn). 5.80 5. Implementación de un modelo lineal ... Del mismo modo que cuando se procede mediante la diagonalización, la variable no básica xe que entra a formar parte de la base será la que posea el coeficiente de coste reducido ĉe con un valor más negativo (condición expresada en 5.109). Una vez se ha determinado la variable entrante xe, la selección de la variable que abandona la base xs estará sujeta a dos condiciones: la variable saliente xs adopta el valor nulo al entrar xe en la base y ninguna de las variables básicas que permanecen debe adoptar un valor negativo, de modo que: xs → variable saliente xs xi min âs , e â i , e i 1, . . , m / â i , e > 0 (5.92) representando (xs) el valor que adopta la variable saliente en la solución actual. En el proceso de resolución por diagonalización, el valor actual de las variables básicas estaba dado por los términos independientes reducidos b̂i, mientras que al triangularizar la matriz base, no podemos utilizar los valores reducidos b*i para obtener la variable básica saliente. Por esta razón resulta necesario calcular el valor actual de las variables básicas, xB = (x1,...,xm) que se obtiene a partir del sistema de la Figura 5.15, con la matriz básica triangularizada, según: xm bm ; xm 1 bm 1 âm 1,m xm m xi bi (5.93) m âi,k xk x1 b1 k i 1 â1,k xk k 2 de modo que el valor de la variable básica saliente (xs) resulta: m xs bs â s , k xk (5.94) k s 1 Para continuar con las sucesivas iteraciones del algoritmo SIMPLEX hay que permutar las columnas de coeficientes correspondientes a la variable básica saliente xs y a la variable no básica entrante xe; a continuación será necesario restaurar la forma triangular superior de la nueva matriz básica. La siguiente figura muestra el aspecto de la matriz de coeficientes cuando se permutan las columnas e y s. 5.81 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.16. Intercambio de columnas en la matriz de coeficientes. El intercambio de las columnas e y s implica la aparición de coeficientes no nulos en la matriz básica por debajo de la diagonal principal, situados en la columna de la variable entrante, que deben ser anulados por eliminación de Gauss. Sin embargo, el proceso de eliminación va a generar otros coeficientes no nulos por debajo de la diagonal principal, situados a la derecha de la columna modificada (columna e), que deberán ser a su vez eliminados. Si en lugar de intercambiar las columnas e y s situamos la columna entrante e a la derecha de la matriz básica y desplazamos las columnas previas una posición, la matriz de coeficientes presentará el siguiente aspecto: Figura 5.17. Reordenación de las columnas de la matriz básica. Con esta modificación se consigue que todos los nuevos elementos no nulos que han 5.82 5. Implementación de un modelo lineal ... sido introducidos en la matriz básica sean elementos subdiagonales, de modo que su eliminación supone únicamente una operación de fila elemental por cada coeficiente no nulo subdiagonal. Esta técnica, que se debe a Bartels y Golub [2], disminuye considerablemente el número de operaciones necesarias para restituir la forma triangular de la matriz básica. El desplazamiento de las columnas de la matriz de coeficientes puede suponer la aparición de valores nulos situados en la diagonal de la matriz básica, y que por tanto, no podrán ser utilizados como pivotes en las sucesivas operaciones de eliminación. Para soslayar este problema se utiliza como pivote el elemento subdiagonal correspondiente (siempre que no sea también nulo), tras permutar su fila con la anterior para ubicar el nuevo pivote sobre la diagonal. La permutación de las columnas puede realizarse de una manera efectiva, cambiando las posiciones de memoria de los valores de los coeficientes o bien, simplemente utilizando un vector de correspondencia de direccionamiento indirecto que almacene el índice de las columnas en su ordenación actual, tal y como muestra la siguiente figura. Figura 5.18. Direccionamiento indirecto de las columnas de la matriz de coeficientes. Esta modalidad de almacenamiento de la información resulta más eficiente en tiempo de cálculo, puesto que evita la reordenación de toda la matriz de coeficientes en cada iteración. Forrest y Tomlin [10] propusieron una mejora sobre la técnica de Bartels y Golub, que si bien no reduce el número de operaciones elementales realizadas, consigue 5.83 5. Implementación de un modelo lineal ... mantener sensiblemente constante la densidad de coeficientes no nulos de la matriz básica. La técnica de Forrest y Tomlin consiste en trasladar la fila del mismo orden de la columna saliente a la última posición y desplazar el resto de las filas una posición hacia arriba, obteniéndose la siguiente configuración: Figura 5.19. Transformación propuesta por Forrest y Tomlin. Con la transformación propuesta por Forrest y Tomlin, la matriz básica resulta triangular superior, a excepción de la última fila, que contará con elementos no nulos a partir de la posición de la columna saliente. La permutación de las filas de la matriz de coeficientes se realiza, al igual que cuando se permutan columnas, utilizando un vector de direccionamiento indirecto, lo cual hace innecesario la reestructuración de toda la matriz de coeficientes. Como ya se ha comentado, la posible ventaja aportada por la técnica de Forrest y Tomlin frente a la Bartels y Golub reside en "evitar" el incremento de coeficientes no nulos en la matriz básica, aunque el número de operaciones de fila elementales es el mismo en ambos casos. Sin embargo, los resultados experimentales obtenidos por Tomlin [23] demuestran que el incremento de coeficientes no nulos en la matriz básica cuando se utiliza la técnica de Bartels y Golub es muy pequeño, de una magnitud comparable al que se obtiene al utilizar la técnica de Forrest y Tomlin. Por otra parte, la técnica de Forrest y Tomlin tiene el inconveniente de que puede provocar errores numéricos al adoptar algún pivote un valor excesivamente pequeño. En la primera fase de desarrollo del modelo fueron ensayadas ambas técnicas de eliminación, al objeto de poner de manifiesto sus respectivas ventajas e inconvenientes. 5.84 5. Implementación de un modelo lineal ... Los resultados obtenidos pusieron de manifiesto la superioridad de la técnica de Bartels y Golub en este tipo de problema concreto, tanto por el tiempo de cálculo como en cuanto a la densidad de coeficientes no nulos de la matriz básica (Martínez et al. [18]), y por esta razón, la implementación definitiva del método de eliminación está basada en la citada técnica. El empleo de técnicas de eliminación para triangularizar la matriz básica implica una reducción sustancial del número de operaciones elementales en cada iteración del algoritmo SIMPLEX y consecuentemente, una reducción del tiempo de cálculo de la solución óptima. En concreto, el número de operaciones aritméticas necesarias para resolver el sistema de ecuaciones en xB mediante la triangularización de la matriz básica B por eliminación gaussiana es del orden de 2/3 de las que se requieren al diagonalizar dicha matriz (Martínez [17]). En el caso de las sucesivas iteraciones del algoritmo SIMPLEX, la restauración de la forma triangular superior de la matriz básica utilizando la técnica de Bartels y Golub cuando se introduce una nueva variable en la base precisa en promedio la mitad de operaciones que en el caso de la actualización por diagonalización. Otra característica primordial del problema que nos ocupa es la gran dispersión de la matriz de coeficientes. La densidad de la matriz de coeficientes en el inicio del problema se sitúa normalmente en torno a un valor del 5 % (se entiende por densidad ρ de la matriz al cociente entre el número de elementos no nulos y el número de elementos totales) y no suele superar el 15 % tras la última iteración del algoritmo SIMPLEX. Por esta razón y al objeto de aprovechar al máximo la memoria disponible en el ordenador se ha propuesto el almacenamiento de la matriz de coeficientes en forma compactada, conservando únicamente los coeficientes no nulos. La dificultad básica que aparece al utilizar un esquema de almacenamiento compactado consiste en localizar la posición exacta de un coeficiente dado, así como la posibilidad de eliminar y añadir coeficientes. Estas necesidades implican un coste adicional de información almacenada en memoria RAM que hay que tomar en consideración, y por esta razón el almacenamiento compactado resulta recomendable solamente cuando la densidad de la matriz es relativamente baja (menor de un 25 %). 5.85 5. Implementación de un modelo lineal ... Para estimar la densidad inicial ρ0 de la matriz de coeficientes de nuestro problema, utilizaremos los siguientes parámetros: N: Q: α: P: Número de líneas de la red. Número de nudos con restricción de presión mínima. Cociente Q/N entre restricciones de presión mínima y líneas de la red (0<α≤1). Número promedio de líneas contenidas en los trayectos Sk definidos entre la cabecera de la red y los nudos con restricción de presión mínima. β: Cociente P/N entre el número promedio de líneas en los trayecto y el número total de líneas (0<β≤1). Por fijar ideas, vamos a suponer que la altura piezométrica en el nudo de alimentación es conocida y por tanto, no interviene como variable del problema. Considerando cuatro diámetros candidatos por cada línea, el número de variables del tipo Li,j será 4·N; el planteamiento de Q restricciones de presión mínima (de desigualdad) implica la aparición de Q variables de holgura hk, de modo que el número total de variables del problema será 4·N+Q, o bien, utilizando el parámetro α, el número de variables será (4+α)N. En cuanto a restricciones, el problema cuenta con N restricciones de tipo geométrico y Q restricciones de presión mínima, esto es, un total de N+Q restricciones, o si se prefiere (1+α)N restricciones. El número total de coeficientes de la matriz será (4+α)(1+α)N2 aunque una gran parte de ellos son nulos. Concretamente, las restricciones geométricas cuentan solamente con 4·N coeficientes no nulos (cuatro coeficientes correspondientes a cada línea en cuestión iguales a la unidad), mientras que las restricciones de presión mínima cuentan con (4·P+1)Q = (4·β·N+1)αN coeficientes no nulos, contando con las variables de holgura. Así pues, el valor de la densidad de la matriz inicial de coeficientes será: ρ0 4N (4 β N 1) α N 2 N (1 α) (4 α) 1 N (1 α) (1 4αβ α) (4 α) (5.95) y si el número de líneas es elevado, podemos considerar la densidad límite ρ*0: lim ρ 0 N →∞ ρ0 (1 4αβ α) (4 α) (5.96) La Figura 5.20 representa gráficamente la variación de ρ*0 y como podemos 5.86 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.20. Densidad ρ*0 de la matriz de coeficientes en función de α y β. comprobar, el máximo valor que puede llegar a adoptar la densidad ρ*0 es del 40 % en el caso de que α=1 y β=1, pero no existe ninguna disposición física de las líneas de una red ramificada que corresponda a tales valores. En la práctica es habitual encontrar que, como citaba Labye [16], el número de restricciones de presión sea del orden de N/3 y por tanto α=0'33. En cuanto al número promedio de líneas en los trayectos Sk podemos considerar un valor de N/5, o lo que es lo mismo β=0'2 y con estos valores obtenemos una densidad ρ*0=0'0462 (4'62 %). La densidad real ρ0 es ligeramente superior a ρ*0 en una magnitud de 1/N(1+α), dependiendo del número de líneas N; así por ejemplo, en una red con N=50 la densidad real es 6'12 %, con N=100 es 5'37 % y con N=250 es 4'92 %. Es interesante analizar la estructura de la matriz de coeficientes en el caso de dos disposiciones topológicas extremas, como las que muestra la Figura 5.21. El caso a) consiste en una red ramificada con N líneas, partiendo todas ellas del nudo de cabecera, y con restricción de presión mínima en sus nudos extremos; el caso b) consiste en un conjunto de N líneas dispuestas en serie, con restricciones de presión mínima en todos los nudos excepto el de cabecera. Para ambos casos, el número de coeficientes no nulos en las restricciones geométricas es el mismo (e igual a 4·N). En la red del caso a) sólo 5.87 5. Implementación de un modelo lineal ... interviene una línea en cada restricción de presión, de modo que en cada una de ellas sólo aparecerán 5 coeficientes no nulos. Figura 5.21. Dos posibles disposiciones de una red ramificada. Así pues, para el caso a) tendremos un total de 5·N variables, con 2·N restricciones, de modo que la matriz de coeficientes tiene un tamaño de 10·N2, el mismo que para el caso b) (la zona sombreada de las matrices indica la presencia de coeficientes no nulos). En el caso a) el número de coeficientes no nulos será 4·N+5·N = 9·N; sin embargo, en el caso b) el número de coeficientes no nulos en las restricciones de presión mínima es diferente: en la restricción del nudo extremo intervienen todas las líneas, de modo que cuenta con 4·N+1 coeficientes no nulos; la restricción de presión en el nudo anterior en sentido aguas arriba contará con 4(N-1)+1 coeficientes no nulos y así sucesivamente 5.88 5. Implementación de un modelo lineal ... hasta el primer nudo antes de la cabecera, cuya restricción cuenta con 5 coeficientes no nulos. El número de coeficientes no nulos en las restricciones de presión será: N N (4 i 1) 4 i 1 i N 2 N2 3N (5.97) i 1 Las densidades iniciales de la matriz de coeficientes en uno y otro caso será pues: ρ 0 (caso a) ρ 0 (caso b) 9N 10 N2 9 10 N (5.98) 2 2N 7N 10 N2 02 7 10 N En función del número de líneas N de la red, las densidades ρ0 pasan a ser: Número de líneas ρ0 (Caso a) ρ0 (Caso b) N=50 N=100 N=250 N=1000 1'8 % 0'9 % 0'36 % 0'09 % 21'40 % 21'70 % 20'28 % 20'07 % Tabla 5.4 . Densidades ρ0 de la matriz de coeficientes. Como se comprueba en la tabla anterior, con una topología en estrella como la del caso a), la densidad de la matriz de coeficientes es cada vez menor cuando crece el número de líneas (en el límite llegaría a ser nula), mientras que la configuración de líneas en serie del caso b) da lugar a una densidad decreciente con el número de líneas, aunque en el límite adoptaría un valor del 20 %. En la práctica se presentará usualmente un caso mixto, pero por comparación con los casos analizados es posible tener una idea de la densidad que podemos esperar. Una vez establecida la conveniencia de utilizar un esquema de almacenamiento compactado para la matriz de coeficientes, hay que determinar la estrategia más conveniente teniendo en cuenta las siguientes circunstancias: a) La estructura de la matriz de coeficientes: En nuestro caso, los elementos no nulos de la matriz no adoptan ninguna disposición globalmente ordenada, aunque 5.89 5. Implementación de un modelo lineal ... la submatriz de coeficientes de las restricciones geométricas posee una estructura en banda y la submatriz correspondiente a las holguras de presión es diagonal, los coeficientes no nulos de las restricciones de presión están dispuestos de forma no regular. Puesto que las operaciones del algoritmo SIMPLEX van a modificar constantemente la disposición de los elementos no nulos, no existen demasiadas posibilidades de aprovechar la estructura ordenada de tales submatrices. b) El tipo de operaciones a las que va a ser sometida la matriz de coeficientes: Los cálculos que van a acometerse en las iteraciones del algoritmo SIMPLEX consistirán en la eliminación gaussiana de parte de los elementos de la matriz, operación que se realiza por filas. Por esta razón es conveniente disponer el almacenamiento compactado de la matriz de modo que resulte sencillo el acceso a los elementos de una fila. c) Facilidad para añadir y eliminar coeficientes, sin caer en un coste de tiempo excesivo para reestructurar los elementos de acceso a la información. Pooch y Nieder describen en la referencia [21] las cuatro modalidades principales de almacenamiento compactado, a saber: Esquema Esquema Esquema Esquema de de de de mapa de bits. mapa de direcciones. fila-columna. lista encadenada. En todos los casos, los coeficientes no nulos se almacenan secuencialmente en una estructura tipo vector o lista, y las diferencias entre los distintos esquemas de almacenamiento radican en el modo en que se localizan los coeficientes. El esquema de mapa de bits utiliza para localizar los coeficientes una matriz de tipo binario, con una estructura idéntica a la matriz de coeficientes original, conteniendo unos en las posiciones correspondientes a los coeficientes no nulos y ceros en el resto. Suponiendo que los coeficientes no nulos se encuentran almacenados secuencialmente por filas o columnas en un vector independiente, la situación concreta de uno de ellos (su índice en el vector) se obtendrá contabilizando el número de unos por filas o columnas, según corresponda, hasta la posición deseada. 5.90 5. Implementación de un modelo lineal ... La ventaja de este método es la utilización eficiente de la memoria disponible puesto que la matriz binaria utilizada para localizar los coeficientes ocupa un espacio considerablemente menor del que requiere la matriz de coeficientes original. Desafortunadamente la ganancia de espacio está gravada con tiempos de acceso u operación superiores, debido a que no es posible en general manejar la matriz binaria mediante instrucciones sencillas; por añadidura, puesto que el método está basado en una ordenación secuencial de los coeficientes, la inserción o eliminación de cualquiera de ellos obligará a reestructurar completamente el vector que contiene los coeficientes. El esquema de mapa de direcciones es totalmente similar al anterior, pero en lugar de una matriz binaria utiliza una matriz de direcciones (índices del vector de coeficientes o punteros a las direcciones de memoria de los coeficientes). El acceso a los coeficientes es más rápido que en el caso del mapa de bits, pero el espacio ocupado por la matriz de direcciones es superior al que emplea la matriz binaria. El esquema de fila-columna engloba aquellos métodos mediante los cuales se almacena directamente la posición de los coeficientes no nulos del sistema. El caso más sencillo consiste en almacenar los coeficientes no nulos en un vector, disponiendo dos vectores paralelos que contengan la fila y la columna del coeficiente correspondiente. La ventaja de esta disposición es que no presupone ninguna ordenación concreta en el vector de coeficientes, aunque realmente no resulta efectivo en absoluto en la práctica tanto por el consumo de memoria como por los tiempos de acceso. El sistema más elaborado dentro de este grupo consiste en almacenar ordenadamente (por filas, por ejemplo) los coeficientes no nulos dentro de un vector, definiendo un vector paralelo en el cual se almacenan las columnas a las que corresponde cada uno de los coeficientes. La información se completa con un vector que contiene el índice del primer elemento no nulo dentro de una fila concreta. Para acceder a un coeficiente cualquiera se accede al vector que indica el primer elemento de la fila correspondiente, recorriendo el vector indicador de columnas hasta que su valor contenga el índice de la columna buscada. Finalmente, el esquema de almacenamiento de lista encadenada es muy similar al último método descrito, y posee la ventaja de que no toma en consideración la ordenación del vector de coeficientes, y en consecuencia añade el inconveniente de consumir más memoria al disponer un vector de direccionamiento indirecto para indicar 5.91 5. Implementación de un modelo lineal ... la posición del siguiente coeficiente no nulo (en el sentido de las filas o columnas). En este esquema, cada elemento tiene al menos tres componentes, a saber: un índice de fila o columna del coeficiente en cuestión, el propio coeficiente no nulo y finalmente, la dirección del siguiente coeficiente no nulo (índice o puntero a la posición de memoria). Es precisamente este último elemento el que diferencia el almacenamiento en lista encadenada del esquema de fila-columna. Comparado con el esquema de fila-columna, el almacenamiento en lista encadenada necesita más memoria, puesto que utiliza un elemento adicional de direccionamiento. Por otra parte, el tiempo de acceso a los coeficientes de una fila resulta relativamente más lento debido al direccionamiento indirecto, y todavía más en el caso del acceso a los coeficientes por columnas. La adición de ligaduras ortogonales (por filas y columnas) puede mejorar sensiblemente dichos tiempos de acceso, pero como siempre, ello supone un coste adicional en memoria. Sin embargo, de los métodos que se han presentado, el esquema de lista encadenada es el único que admite una forma simple y a la vez rápida para reordenar, añadir o eliminar coeficientes de la matriz, y es precisamente esta razón la que ha conducido a adoptar dicho esquema en el subprograma de optimización por PL. La Figura 5.22 muestra un ejemplo de aplicación del esquema de almacenamiento de lista encadenada, con direccionamiento indirecto, utilizando la misma nomenclatura del programa DIOPRAM. La coeficientes no nulos de la matriz original se almacenan secuencialmente en el vector Ma; cada elemento del vector Dir es un índice del vector Ma en el que se localiza el siguiente coeficiente no nulo, siguiendo el orden de las filas de la matriz original. Así pues, el coeficiente no nulo que sigue a Ma(i) en el orden de las filas es Ma(Dir(i)). Si un determinado coeficiente contenido en Ma(i) es el último no nulo de una fila, entonces Dir(i)=0. El vector Col contiene el índice de la columna a la que pertenece cada elemento de Ma. Finalmente, el vector Fil1 tiene tantos elementos como filas de la matriz original y contiene el índice en Ma del primer coeficiente no nulo de la fila correspondiente. 5.92 5. Implementación de un modelo lineal ... Para localizar la posición del coeficiente ai,j, en primer lugar se obtiene la dirección del primer coeficiente no nulo de la fila, que es Fil1(i), siendo dicho coeficiente Ma(Fil1(i)). A continuación se recorren los índices de columna Col(Fil1(i)), Col(Dir(Fil1(i))), Col(Dir(Dir(Fil1(i)))), ..., hasta encontrar el valor j antes de que el valor correspondiente de Dir sea nulo (lo que significa que se ha alcanzado el final de la fila actual). Si dicho valor no se encuentra en la fila actual, corresponderá lógicamente a un coeficiente nulo. Matriz de coeficientes original Ma 1 a1,1 a2,1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 2 a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a5,2 0 3 0 a2,3 a3,3 0 0 0 4 0 a2,4 0 a4,4 0 a6,4 5 0 a2,5 0 0 a5,5 0 6 0 0 0 a4,6 0 a6,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 a3,2 a3,3 a4,2 a4,4 a4,6 a5,2 a5,5 a6,4 a6,6 Col 1 2 1 2 3 4 5 2 3 2 4 6 2 5 4 6 Dir 2 0 4 5 6 7 0 9 0 12 13 0 15 0 17 0 Fil1 1 3 8 10 14 16 Figura 5.22. Esquema de almacenamiento de lista encadenada. Aunque no ha sido explícitamente mencionado, es necesario mantener una tabla de direcciones que están disponibles (huecos) para añadir coeficientes, de modo que cuando se elimina alguno de los coeficientes, su dirección se añade a la tabla de direcciones disponibles (huecos). En el subprograma Ens_vaci se ha implementado este esquema de almacenamiento dimensionando los vectores Ma, Col y Dir de modo que se agote la memoria disponible. Cuando se anula alguno de los coeficientes de Ma, la primera medida que se adopta 5.93 5. Implementación de un modelo lineal ... es la de modificar los índices contenidos en Dir para que el coeficiente anterior al anulado apunte al posterior del apuntado, o al valor "0" en el caso de que se trate del último coeficiente de la fila. Si el coeficiente anulado era el primero de su fila, también será necesario modificar el índice contenido en Fil1 para que apunte al siguiente coeficiente de la fila. En segundo lugar se incrementa en uno el contador de huecos, para dejar constancia del espacio disponible y se acumula el índice del coeficiente nulo en una posición de cola del vector Dir. Cuando se introduce un nuevo coeficiente no nulo, se comprueba en primer lugar si existen huecos disponibles (el contador de huecos es mayor que uno). En caso afirmativo, se introduce el nuevo valor en el hueco disponible en el vector Ma (apuntado desde el vector Dir) y se restablecen los enlaces de los vectores Dir y Fil1. Si no existen huecos disponibles, el nuevo coeficiente se introduce en la primera posición disponible del vector Ma, y se establecen los enlaces necesarios en Dir y Fil1. Debido a la propia operación del algoritmo, es imposible que se produzca una colisión entre las posiciones de Dir que apuntan a los coeficientes y las que apuntan a los huecos, puesto que al introducir un nuevo coeficiente no nulo se agotan en primer lugar los huecos disponibles. Sin embargo, en teoría sí resulta posible que el número de coeficientes no nulos aumente de tal modo que la capacidad del vector Ma sea insuficiente para albergarlos, lo que generaría una condición de error por desbordamiento de la memoria. Las condiciones de finalización del algoritmo son diversas y se clasifican según: Condiciones normales: En este apartado incluimos la conclusión del algoritmo debido a la aparición de una solución óptima. La solución será única en el caso de que todos los coeficientes de coste reducido para las variables no básicas sean positivos. Si alguno de ellos es nulo, significa que existen infinitas soluciones óptimas y el subprograma Ens_vaci proporciona solamente la última solución obtenida. Condiciones anómalas: En el caso de que la variable no básica seleccionada para entrar en la base en una de las iteraciones del algoritmo no esté acotada superiormente, ello significa que la función objetivo puede reducir infinitamente su valor. Este evento resulta imposible 5.94 5. Implementación de un modelo lineal ... si el problema de dimensionado ha sido correctamente formulado; por ello, el subprograma Ens_vaci devolverá como resultado la solución factible inicial obtenida del Predimensionado. Condiciones de error: Como ya ha sido comentado, en el caso de que la capacidad actual del vector de coeficientes Ma sea insuficiente para albergar los coeficiente no nulos del sistema, se produce una detención prematura del proceso de optimización y se retorna al Menú Principal. 5.7.4. Configuración de la solución óptima obtenida La solución óptima proporcionada por el algoritmo SIMPLEX estará configurada de tal modo que las líneas de la red contarán con un único diámetro comercial, o bien, estarán divididas en dos tramos de distinto diámetro comercial. El número de líneas que cuenta con dos diámetros comerciales será a lo sumo igual al número de restricciones de presión mínima del problema. Si el problema incluye la altura de bombeo en cabecera como variable de decisión, ésta será una de las variables básicas de la solución final siempre que resulte necesaria la acción de la bomba para alcanzar la presión mínima en los puntos de consumo (podría suceder que si la cota de aspiración es suficiente para cumplir con este requisito, la altura de bombeo resulte finalmente nula). Antes de dar por definitiva la solución obtenida a través del algoritmo SIMPLEX hay que efectuar una serie de comprobaciones para asegurar que dicha solución verifica determinadas condiciones que no han intervenido explícitamente en la optimización, representadas en el diagrama de flujo de la Figura 5.12, a saber: a) En el caso de que la altura de bombeo Hb sea una variable del problema, puede suceder que las presiones de trabajo de las tuberías resulten excesivas o insuficientes, al cambiar el valor de Hb en el transcurso de la optimización. Para comprobarlo, se obtienen en primer lugar las presiones estáticas en la red (subprograma Pres_st) y se recalculan las presiones de trabajo de las tuberías (subrutina Calc_tim). Si se experimentan modificaciones en las presiones de trabajo de las tuberías, hay que recomenzar el proceso desde la etapa de selección 5.95 5. Implementación de un modelo lineal ... de diámetros candidatos, pero en lugar de introducir directamente la solución obtenida del Predimensionado como referencia, se modifican previamente las presiones de trabajo de las tuberías, incluyendo la altura de bombeo obtenida en el proceso de Optimización. b) Hay que comprobar que el diámetro definitivo de cada línea de la solución óptima esté centrado en la serie de diámetros candidatos seleccionados, puesto que de otro modo no se tendrá la certeza de que el algoritmo SIMPLEX hubiese escogido un diámetro diferente si hubiese tenido la posibilidad de hacerlo. Si alguna de las líneas está configurada con alguno de los diámetros extremos de la serie de candidatos, será necesario desplazar la serie para que el diámetro obtenido quede centrado tal y como hemos visto en 5.7.2, y recomenzar el proceso de Optimización. En el supuesto de que la solución obtenida cumpla finalmente los requisitos que acabamos de exponer, puede ya calificarse de definitiva. Siguiendo el esquema de la Figura 5.12, solamente resta calcular las alturas piezométricas resultantes en los nudos de la red considerando los diámetros de la solución definitiva (subrutina Hpiezometricas), obtener las presiones dinámicas consecuentes (subprograma Pdin), y determinar los costes asociados a la solución, tanto en inversión en tuberías como, en su caso, el coste energético (subrutina Evalua_costes). 5.96 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.8. ANALISIS CON VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION 5.8.1. Introducción Las válvulas reductoras de presión (VRP) son dispositivos hidráulicos que permiten reducir la presión hasta un nivel predeterminado (presión de tarado) con independencia del caudal que la atraviese, siempre que la presión existente en el extremo aguas arriba sea superior al valor de tarado. En las redes ramificadas suelen emplearse muy a menudo las VRPs para corregir los excesos de presión que aparecen como consecuencia de una topografía abrupta y que resultan inadecuados tanto para el tipo de servicio que realiza la red como para la propia instalación. En el caso de los puntos de servicio, una presión elevada puede afectar al correcto funcionamiento de los dispositivos que se encuentran aguas abajo, y también puede provocar un incremento del caudal consumido por encima del caudal de diseño de la instalación, lo que conduciría inexorablemente a un déficit de presión en los puntos de servicio situados aguas abajo. En cuanto a la propia instalación, una presión elevada incrementa la solicitación mecánica de las tuberías y elementos de conexión, por lo que resulta necesario utilizar tuberías con mayor presión de trabajo, y en consecuencia, más caras; también aumenta el riesgo de fugas y el volumen de las mismas. En el desarrollo del programa DIOPRAM se ha incluido la posibilidad de que el diseñador pueda analizar la influencia de un conjunto de válvulas reductoras de presión dispuestas en la red. La idea básica que se busca en el análisis de la red dimensionada con VRPs consiste en utilizarlas para reducir los niveles máximos de presión en la red sin afectar a las condiciones hidráulicas de funcionamiento correspondientes a la situación de diseño, lo que implica que la disposición de VRPs no resta validez a los diámetros obtenidos en las fases de Predimensionado y Optimización, aunque permitirá emplear tuberías con menor presión de trabajo, pudiendo proporcionar una solución final aun más económica. Se puede acceder al subprograma de análisis con VRPs desde el Menú de Predimensionado y desde el Menú de Optimización, esto es, en cualquiera de las etapas en las cuales la red ha sido dimensionada. 5.97 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.8.2. Características generales y datos necesarios El análisis de la red con VRPs se ha organizado de una forma interactiva con el usuario, que dispone de herramientas para introducir nuevas válvulas, suprimirlas y modificar las características de las VRPs previamente definidas. Además, ofrece en todo momento información sobre la influencia de las VRPs definidas en el funcionamiento de la red, así como sobre las posibles nuevas válvulas que podría incorporar. La ubicación de las VRPs está restringida a los nudos de la red y el usuario puede definir hasta cincuenta válvulas en total. Los datos necesarios para la caracterización completa de cada una de ellas son los siguientes: Identificativo de la VRP. Línea donde se ubica la VRP. Situación de la VRP en la línea (en el nudo aguas-arriba o aguas-abajo). Presión de tarado de la VRP. Coste de la VRP. En muchas ocasiones, el usuario desconoce el coste preciso de la instalación completa que acompaña a la VRP para las condiciones del punto concreto donde ésta se ubica. Por ello se ha previsto estimar el coste de la misma suponiendo que puede realizarse la función hidráulica requerida con una agrupación serie-paralelo de VRPs de un modelo estándar, que posee unas especificaciones de caudal máximo Qst y pérdida de carga máxima ∆hst, y un coste unitario CVst; también se considera en la estimación un coste fijo de la instalación CF que correspondería a los elementos auxiliares necesarios. Supongamos por ejemplo, que para una determinada VRP seleccionada se tiene una pérdida de carga máxima ∆h y un caudal máximo Q. En tal caso, para cumplir dichas especificaciones con VRPs de tipo estándar, necesitaremos NP líneas de VRP en paralelo entre las que se reparte el caudal Q, donde NP es el entero superior más próximo a Q/Qst, cada una de las cuales contará con NS válvulas estándar dispuestas en serie, siendo NS el entero inmediato superior a ∆h/∆hst. El coste estimado de la VRP será pues: CV ( estimado ) CF 5.98 NS NP CV st (5.99) 5. Implementación de un modelo lineal ... Por ello, además de los datos individuales de cada VRP, habrá que considerar los siguientes datos generales para estimar el coste de una VRP: Coste fijo de la instalación CF. Coste de una VRP estándar CVst. Pérdida de carga máxima en una VRP estándar ∆hst. Caudal máximo en una unidad estándar Qst. Figura 5.23. Disposición serie-paralelo de VRPs estándar. 5.8.3. Estructura del módulo de análisis con VRPs El análisis de la red dimensionada incluyendo VRPs sólo puede realizarse desde este módulo del programa, aunque las VRPs definidas por el usuario en cualquier fase de cálculo y sus correspondientes características se conservan en memoria cuando se abandona el mismo. El módulo de análisis con VRPs sólo es accesible una vez la red en curso ha sido dimensionada, esto es, desde el Menú de Predimensionado y desde el Menú de Optimización. La denominación de "módulo" se utiliza para abarcar todo el conjunto de subprogramas que comprende esta parte de la aplicación. La siguiente figura muestra el esquema de funcionamiento del módulo de análisis con VRPs. El subprograma que se ejecuta inicialmente es Anal_vrp. 5.99 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.24. Diagrama de flujo del módulo de análisis con VRPs. 5.100 5. Implementación de un modelo lineal ... Inicialmente el subprograma Anal_vrp recalcula las presiones estáticas y dinámicas en los nudos de la red (por medio del subprograma Ini_pres). A continuación, se comprueba si existe o no información previa de VRPs definidas por el usuario. Este sería el caso más común cuando se ha definido un conjunto de VRPs tras el Predimensionado y se desea volver a analizar la red con las mismas VRPs tras la Optimización. Normalmente las presiones dinámicas en los nudos de la red habrán sufrido modificaciones, de modo que puede resultar necesario modificar las presiones de tarado de las VRPs previamente definidas, al objeto de que las presiones resultantes en los nudos no queden por debajo de su valor mínimo, tarea que realiza el subprograma Recal_pr_vrp. Tomando en consideración la nueva presión de tarado de las VRPs, el subprograma Calc_pres recalcula las presiones estáticas y dinámicas en todos los nudos de la red considerando la presencia de VRPs, y finalmente, se modifica la presión de trabajo en las tuberías que lo requieran. Por último, una vez se ha establecido el sistema definitivo con VRPs, se accede al Menú Principal de Análisis con VRPs (Subprograma Menu_prin_vrp), que cuenta con seis opciones (mostradas en la Figura 5.24), a saber: Acceso al Menú de Selección de VRPs (subprograma Menu_sel_vrp): Desde este menú es posible añadir y eliminar VRPs, modificar los parámetros de una VRP definida u obtener una lista de todas las VRPs definidas. Listado de posibles VRPs (subprograma Lista_vrp): Proporciona una lista de las posibles VRPs que pueden ser definidas en la red en curso, incluyendo su ubicación (línea y nudo), presión estática y dinámica correspondiente, caudal circulante, coste estimado, presión de tarado mínima, número de líneas situadas aguas abajo de la VRP y ahorro potencial en tuberías. Indica también el número de las VRPs de la lista que han sido seleccionadas previamente. Cambio de los parámetros generales de precio de una instalación con VRPs estándar (subprograma Cam_precio): Sirve para modificar las características de la instalación con VRPs estándar, esto es, el coste fijo de la instalación CF, el coste de la VRP estándar CVst, la pérdida de carga máxima en una VRP estándar ∆hst, y el caudal máximo en una unidad estándar Qst. 5.101 5. Implementación de un modelo lineal ... Listado de nudos en los cuales la diferencia entre la presión estática y la presión dinámica supera determinado valor (subprograma Info_nudos): Proporciona una lista de los nudos de la red en los cuales, la diferencia entre la presión estática y dinámica supera determinado valor seleccionado por el usuario. Facilita al usuario una información adicional para determinar los nudos que experimentan un amplio rango de variación en la presión. Listado de resultados de la red incluyendo las VRPs (subprograma Lis_result): Suministra un listado de resultados de la red, similar al que se obtendría desde el Menú de Predimensionado y Optimización, pero incluyendo el efecto de las VRPs, así como un listado complementario de las VRPs definidas por el usuario y sus características funcionales. Salida del módulo de análisis con VRPs: Esta opción retorna al Menú de Predimensionado u Optimización, pero previamente devuelve la red al estado original que poseía antes de definir las VRPs, esto es, restaura la presión de trabajo original de las tuberías, y recalcula la presión estática y dinámica en los nudos de la red en su estado original. La primera de las opciones del Menú Principal conduce a la ejecución del subprograma Menu_sel_vrp, denominación que representa de forma abreviada al Menú de Selección de VRPs. Dicho menú reúne las opciones para manipular el conjunto de válvulas reductoras de la red, y son las siguientes: Añadir una nueva VRP (subprograma Ana_vrp): Opción para incluir una nueva VRP en la red y definir todas sus características. En primer lugar se solicita al usuario el número de la línea y el nudo (extremo aguas abajo o arriba) donde se ubica la VRP, y a continuación se presenta una pantalla conteniendo las características por defecto de la VRP recién definida, esto es, considerando la mínima presión de tarado posible para respetar la presión mínima en los nudos situados aguas abajo, y el coste estimado de la instalación construida con VRPs estándar. El usuario tiene la posibilidad de añadir la denominación de la VRP, y de modificar la presión de tarado y el coste de la instalación. Si el usuario modifica la presión de tarado de la válvula en cuestión, se recalcula el ahorro hipotético en las tuberías situadas aguas abajo como consecuencia de la reducción de su presión de trabajo. También cabe la posibilidad de no llegar a añadir la VRP a la vista de los resultados esperados. 5.102 5. Implementación de un modelo lineal ... Corregir o eliminar una VRP previamente definida (subprograma Edit_vrp): En primer lugar se solicita al usuario que identifique la VRP cuyas características desea modificar, bien sea por la numeración de la VRP, o bien por su situación en la red (línea y nudo). Una vez identificada la VRP, se presenta una pantalla con las características actuales de la VRP en cuestión, ofreciendo, como en la opción anterior, un menú de posibilidades para modificar la denominación, presión de trabajo y coste de la instalación, e incluso la posibilidad de eliminar la VRP. Listado de las VRPs definidas (subprograma Lista_selec): Presenta una lista de las VRPs que han sido definidas por el usuario, incluyendo sus características (denominación, presión de tarado, coste, etc.). Eliminar todas las VRPs definidas (subprograma Elim_todas): Esta opción suprime todas las VRPs definidas hasta el momento, restaura la presión de trabajo original de las tuberías y recalcula el estado de las presiones estáticas y dinámicas en todos los nudos de la red. Volver al Menú Principal de Análisis con VRPs. 5.8.4. Efecto de las VRPs en el estado de la red. El parámetro fundamental que caracteriza la influencia relativa de una VRP en la red es su presión de tarado. En el caso de las redes ramificadas, la intervención de una VRP ubicada en un determinado nudo producirá una reducción de la presión en todos los nudos situados aguas abajo, cuya magnitud dependerá de la presión de tarado de dicha válvula. Para analizar las consecuencias de incluir una VRP en la red, el módulo de análisis dispone de cuatro subprogramas principales, a saber: Subprograma Afec_vrp: Identifica las líneas que se encuentran aguas abajo de una VRP determinada, a los efectos de a) reducir su presión de trabajo, b) calcular el ahorro producido por dicha circunstancia y c) recalcular la presión estática y dinámica en los nudos de tales líneas. 5.103 5. Implementación de un modelo lineal ... Subprograma Holgura: Calcula la mínima holgura de presión dinámica en los nudos situados aguas abajo de una VRP, entendiendo como tal a la diferencia entre la presión dinámica y la presión mínima definida para cada nudo. El mínimo valor de la presión de tarado que puede adoptar una VRP concreta sin afectar a la presión mínima en los nudos de servicio corresponde precisamente a la presión dinámica del nudo en el cual se ubica la válvula menos el valor de mínima holgura de presión de los nudos situados aguas abajo. Subprograma Calc_pres: Calcula la presión estática y dinámica en los nudos de la red considerando la presencia de las VRPs definidas por el usuario. Subprograma Ahorro_lin_vrp: Calcula el ahorro obtenido al reducir la presión de trabajo de las tuberías situadas aguas abajo de una VRP, considerando que se mantiene la capacidad hidráulica (diámetro) de tales tuberías. 5.9. UTILIDADES ADICIONALES DEL PROGRAMA DIOPRAM Durante los apartados anteriores han sido desarrollados los principios fundamentales de la aplicación de un modelo de Programación Lineal para el dimensionado económico, resaltando especialmente los aspectos referentes al conjunto de datos y a los algoritmos de cálculo. En el presente apartado examinaremos de forma somera otras posibilidades del programa DIOPRAM, que sin estar relacionadas directamente con el problema teórico, tienen una gran importancia en cuanto a la implementación del modelo en la práctica. 5.9.1. Base de datos de materiales de tubería Una de las principales ventajas de la formulación del problema de dimensionado mediante Programación Lineal es que puede operar directamente con diámetros disponibles comercialmente. Como contrapartida, obliga a disponer de una base de datos de materiales de tubería que contenga información sobre los distintos materiales, diámetros, presiones de trabajo y coste de las tuberías. Para que resulte útil y versátil, la base de datos de materiales debe ser periódicamente revisada para incluir los precios vigentes de las tubería y para actualizar los diámetros y presiones de trabajo disponibles 5.104 5. Implementación de un modelo lineal ... en cada material. Concretamente, el programa DIOPRAM limita la capacidad de la base de datos de tuberías a un total de diez materiales posibles, cada uno de ellos con diez presiones de trabajo, dentro de las cuales puede definirse hasta treinta diámetros. La base de datos está organizada mediante un fichero principal (MAT_DIS) donde se almacena la información general de cada material disponible, y por un conjunto de ficheros conteniendo cada uno de ellos la información específica de cada material. El fichero MAT_DIS contiene los siguientes datos: número total de materiales de la base, y para cada uno de ellos, el nombre completo, nombre abreviado, fecha de referencia, rugosidad absoluta del material y número de presiones de trabajo. Cada uno de los ficheros específicos de los materiales contiene el número de presiones de trabajo incluidas, sus valores correspondientes, y el número de diámetros que contienen para cada presión de trabajo; para cada uno de los diámetros se almacena el valor del diámetro interno, la referencia comercial (texto/literal) y el coste unitario (por metro lineal). Para mantener, corregir y actualizar el contenido de la base de materiales se ha incluido el subprograma Mat_tubo, que permite añadir nuevos materiales o eliminar alguno de los previamente definidos, y también efectuar diversas operaciones sobre los datos de un material concreto, a saber: Salida de datos de materiales por pantalla o impresora: Presenta al usuario todos los datos presentes de un determinado material. Actualización de precios: Permite modificar los precios de todas las tuberías contenidas en un material de forma global, indicando un porcentaje de variación. Corregir datos: Se puede modificar los datos de tipo general de cada material, y también añadir, eliminar y modificar presiones de trabajo y diámetros concretos. Además de las posibles modificaciones sobre la base de datos, que de alguna forma son permanentes, también es posible alterar los precios de las tuberías una vez han sido seleccionados los materiales en la fase de Entrada de Datos en el programa DIOPRAM. Tales modificaciones afectarán exclusivamente a la red en curso y no se almacenan en la base de materiales. 5.105 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.9.2. Salida de datos y resultados La presentación de los datos introducidos se realiza mediante el subprograma Sal_dato, que es accesible desde cualquier menú del programa DIOPRAM una vez estén los datos introducidos. El subprograma presenta ordenadamente todos los datos de la red, y puede realizar la salida tanto por la pantalla como por la impresora seleccionada por el usuario. Los listados de datos permiten corregir los posibles errores que se hayan deslizado en la introducción de los mismos y por otra parte, dan constancia de las hipótesis de cálculo mediante las cuales se ha obtenido determinada solución. El subprograma Sal_resu produce la salida de resultados del dimensionado de la red una vez existe dicha solución, esto es, resulta accesible desde el Menú de Predimensionado, desde el Menú de Optimización y desde el Menú Principal de Análisis con VRPs. Los listados de resultados se realizan únicamente por impresora, debido a la dificultad para presentar dichos resultados por pantalla de una forma ordenada y legible. La estructura de los listados de resultados ha sido concebida para presentar la información de la solución relevante para el usuario y a la vez, reducir al máximo el trabajo necesario para su elaboración posterior, por ejemplo, para su inclusión en el proyecto definitivo de la red. Debido a la gran cantidad de información que se presenta en los resultados, se ofrece al usuario la posibilidad de obtener un listado principal de resultados, y varios listados complementarios. El listado principal presenta fundamentalmente los diámetros definitivos de las líneas y la altura de bombeo en cabecera (si es necesaria), entre otras características, y además un desglose económico de las tuberías utilizadas en dicha solución. La información presentada en el listado principal es suficiente para evaluar la validez de la solución, al menos en una primera fase de evaluación de alternativas. Por otra parte, los listados complementarios proporcionan información adicional sobre aspectos concretos de la solución definitiva. Cuando el usuario ejecuta la opción de Salida de Resultados, se le ofrece un menú en el cual puede seleccionar cuáles de los listados complementarios desea obtener. Tales listados complementarios son los siguientes: 5.106 5. Implementación de un modelo lineal ... Listado resumen: Presenta un resumen de resultados, a saber, superficie total (ha) servida por la red, longitud total en tubería, número de hidrantes servidos, coste de inversión en tuberías, coste energético anual y volumen de agua consumido anualmente. Derivados de los resultados anteriores se presentan los siguientes ratios: longitud de tubería por ha, inversión en tuberías por ha, coste energético anual por ha y número de hidrantes por ha. Listado complementario de timbraje de las tuberías: Este listado justifica al usuario la presión de trabajo de las tuberías de la red. La misma información podría ser obtenida a partir del listado principal de resultados, pero sería necesario realizar algunos cálculos. El listado presenta la tubería seleccionada para cada línea, así como la presión hidrostática en los nudos extremos, y el incremento de presión estática (función de la longitud de la tubería); también incluye la presión de trabajo de la tubería y el decremento de la misma (función del material, diámetro y presión de trabajo). Listado complementario de las tuberías previamente instaladas: Presenta un listado agrupado de todas las tuberías existentes, aunque los datos contenidos en este listado se encuentran también en el listado general de resultados en forma dispersa (solamente en el caso de que se hayan definido tuberías previamente instaladas en la red). Listado complementario de costes energéticos: Presenta el conjunto de datos que permiten calcular el coste energético implicado en la operación de la red, esto es, tipo de tarifa y discriminación horaria, reparto anual de horas de bombeo por períodos tarifarios, recargo por energía reactiva, tipo de alimentación (inyección directa o a través de depósito), rendimiento, potencia instalada y factor de sobredimensionamiento de la misma (solamente si en el problema interviene una estación de bombeo en cabecera). Listado complementario de hidrantes de la red: Muestra en detalle las características de los hidrantes situados en los nudos de la red, esto es, caudal nominal y área servida en el caso de hidrantes individuales, y en el caso de hidrantes agrupados, caudal medio y varianza de caudal (solamente si los caudales circulantes de la red han sido definidos como caudales de Clement). 5.107 5. Implementación de un modelo lineal ... Listado complementario de elementos de conexión, ventosas y válvulas de purga: Cuando el usuario selecciona esta opción, el subprograma Sal_resu realiza una estimación de los elementos de conexión necesarios en la red (conos reductores y tes), ventosas y válvulas de purga. Para entender la forma de seleccionar los elementos de conexión, vamos a plantear el caso general de un nudo en el cual, la tubería entrante de diámetro De se ramifica en varias tuberías salientes de diámetros D1≥D2≥..≥Dn-1≥Dn, como muestra la Figura 5.25. En el caso más general, se resolverán las uniones mediante enlaces en T y conos de reducción. Figura 5.25. Nudo de conexión múltiple. En referencia a la figura, se emplean conexiones en T con un diámetro principal igual a De, y con una derivación de diámetro igual al de la tubería conectada, puesto que no disponemos de información suficiente en la base de materiales para determinar si es necesario un cono reductor u otro tipo de acoplamiento adicional. En el caso de que De≈D1, no será necesario el cono reductor. Se considera que ambos diámetros son aproximadamente iguales cuando la diferencia entre los diámetros internos no supere un 8% del valor de De (si De y D1 son del mismo material) o bien un 6% del valor de De (si De y D1 son de distinto material). Las diferencias en el diámetro externo pueden ser causadas por un espesor diferente, en el caso de tuberías del mismo material pero diferente presión de trabajo, y también por las diferencias en el valor del diámetro interno (en el caso de tuberías de diferente material). En cualquier caso, no hay que olvidar que las referencias obtenidas en este cómputo son solamente una estimación preliminar. 5.108 5. Implementación de un modelo lineal ... Además de los elementos de conexión, en determinados nudos se recomienda la instalación de ventosas y válvulas de purga. Así por ejemplo, se recomienda instalar de ventosas en los nudos de la red (incluyendo los nudos extremos) cuya cota es superior al resto de los nudos con los que está directamente conectado. Se trata sin duda de un criterio incompleto, puesto que no tiene en cuenta la longitud de las tuberías ni el trazado de las mismas entre los nudos, pero al menos proporciona una estimación del número mínimo de ventosas necesarias. En cuanto a las válvulas de purga, se recomienda su colocación en los nudos cuya cota es inferior a la de los nudos adyacentes, excluyendo los nudos extremos. El programa no tiene en cuenta otro tipo de accesorios (como por ejemplo, los codos) puesto que no dispone de mayor información sobre el trazado de la red y la topografía de otros puntos que no sean los nudos definidos. Listado complementario de zanjas: En este caso, el subprograma Sal_resu realiza una estimación del movimiento de tierras y los costes implicados en el enterramiento de las tuberías, considerando tres tipos de terreno base (franco, tránsito y roca) y una única geometría tipo de la zanja, igual para todas las tuberías. Figura 5.26. Geometría de la zanja tipo considerada. 5.109 5. Implementación de un modelo lineal ... A partir de la zanja tipo mostrada en la Figura 5.26, el usuario puede modificar sus características dentro de ciertos límites, como indica la siguiente tabla: Ref. Magnitud Valor por defecto A B C D E F Talud de la zanja Espesor mínimo de la cama Anchura extra en la base Altura de relleno seleccionado sobre la tubería Altura de relleno no seleccionado Factor de esponjamiento del sobrante 10 % 15 cm 50 cm 30 cm 100 cm 1'3 Valores mínimo y máximo 0 ÷ 250 % 15 ÷ 50 cm 50 ÷ 150 cm 30 ÷ 100 cm 30 ÷ 180 cm 1'0 ÷ 2'0 Tabla 5.5. Características geométricas de la zanja tipo. Los costes que se consideran en el recuento de las zanjas son los siguientes: Costes de excavación por m3 (según terreno: franco, tránsito o roca). Coste de relleno por m3. Coste de relleno del lecho de arena por m3. Coste de transporte de sobrante a vertedero (por m3). Para efectuar el cálculo de los volúmenes en cada una de las categorías anteriores, se considera que el relleno superior de la zanja se ejecuta con tierras provenientes de la excavación; para el cálculo del sobrante, se estima que el diámetro exterior de la tubería es aproximadamente un 20 % superior al diámetro interior, multiplicando el volumen sobrante por el factor de esponjamiento. 5.9.3. Modificación de las soluciones obtenidas La configuración de la solución de diseño que proporciona el programa DIOPRAM puede sufrir modificaciones de cara a su implantación definitiva, por diversas razones, como son: Limitar la variedad de los diámetros empleados en la solución final: En la solución óptima obtenida se encuentran en ocasiones determinados diámetros que representan un porcentaje ínfimo de la longitud total de la red. La sustitución de tales diámetros puede resultar conveniente a fin de agrupar el pedido de tuberías en unas pocas partidas importantes de características uniformes. 5.110 5. Implementación de un modelo lineal ... Acotación precisa de los rangos de utilización de los diversos materiales: En la selección de los materiales que formarán parte de la solución final y sus rangos de utilización en cuanto a diámetros y presiones de trabajo siempre existe cierto grado de solapamiento, que circunstancialmente es inevitable debido a los distintos valores normalizados de diámetro y presión de trabajo que pueden darse en los diferentes materiales y que es incluso conveniente a fin de que el programa disponga siempre de diámetros comerciales que se ajusten a unas determinadas solicitaciones. Sin embargo, una vez dimensionada la red, el usuario puede aplicar unos límites más estrictos en la utilización de los diferentes materiales mediante la sustitución de los diámetros que no cumplan tales condiciones. Modificación de la presión de trabajo de algunas tuberías: A pesar de que el programa DIOPRAM utiliza un criterio de mayoración selectivo para seleccionar la presión de trabajo de las tuberías, en algunas de ellas, el valor seleccionado puede resultar insuficiente para soportar la sobrepresión producida por el golpe de ariete, o para soportar las sobrecargas del terreno donde se ubica la tubería, circunstancias que no se contempla en el programa cuando calcula las presión de trabajo. En tales casos, el usuario tiene la posibilidad de modificar la presión de trabajo de las tuberías. Eliminación de tramos de longitud impracticable: La solución proporcionada por la etapa de Optimización está configurada de modo que algunas líneas están subdivididas en dos tramos de distinto diámetro. Cuando la longitud de alguno de los tramos es muy pequeña frente a la longitud total de la línea resulta conveniente eliminar el tramo corto y disponer toda la línea con el diámetro del tramo más largo, a fin de simplificar la configuración de la red. El programa DIOPRAM cuenta con dos subprogramas diferentes para realizar este cometido: el subprograma Camb_dia permite modificar la solución obtenida del Predimensionado, mientras que el subprograma Cam_manu hace lo propio con la solución obtenida tras la Optimización. Las modificaciones permitidas en Camb_dia comprenden el diámetro y la presión de trabajo de todas las tuberías de la red, y en el caso del subprograma Cam_manu, también las longitudes de los tramos de las líneas compuestas por dos diámetros. Tras cada cambio, los subprogramas presentan al usuario un listado con las nuevas presiones en los nudos de la red, destacando aquellos que presentan una presión inferior a la mínima exigida. 5.111 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.9.4. Configuración de la impresora Como ya se ha comentado, la salida de datos de la red en curso puede efectuarse por pantalla o por impresora, mientras que los resultados solamente pueden ser obtenidos por impresora, debido al gran número de variables contempladas por cada línea de listado, que difícilmente tendrían cabida en la pantalla. Un problema que se presenta en cualquier programa de cálculo es precisamente aprovechar las capacidades de cada impresora para presentar la información de la manera más clara y organizada posible. Por esta razón DIOPRAM incluye un subprograma para la configuración de los parámetros de la impresora (Gest_imp), que es accesible desde cualquiera de los menús principales representados en el diagrama de la Figura 5.1. Este subprograma permite escoger entre cinco modelos estándar de impresora, con sus correspondientes parámetros de impresión, o incluso definir las características propias de un modelo que no se ajuste a ninguno de los estándar. También son modificables otras características tales como el tipo de papel (alimentación contínua u hojas sueltas), la longitud del mismo y el interlineado de escritura. 5.10. EJEMPLO DE APLICACIÓN A continuación presentamos un ejemplo de aplicación del programa DIOPRAM, con la intención de mostrar la operación del programa y la información que proporciona sobre el sistema dimensionado. El caso presentado no responde a ninguna situación real y en él se ha intentado incluir la mayor parte de las peculiaridades con las que puede trabajar el programa, a saber: tuberías existentes, pérdidas de carga adicionales, cálculo de caudales probabilísticos de Clement y válvulas reductoras. Supongamos que se proyecta ampliar una red de riego a presión en una zona donde ya existe una red en servicio, que cubre parcialmente las necesidades de la zona regable. La red actual, cuyo esquema muestra la Figura 5.27, está compuesta por doce líneas principales alimentadas desde una estación de bombeo con inyección directa a la red, y ubicada a una cota de 75 m. 5.112 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.27. Trazado de la red actual. Las tuberías de la red actual fueron dimensionadas en su día para suministrar el agua 5.113 5. Implementación de un modelo lineal ... a los puntos de consumo con una presión mínima de 20 mca. En la actualidad, a pesar de que se ha experimentado un aumento promedio del 30 % en las pérdidas de carga de tales tuberías, todavía es posible mantener el suministro en condiciones satisfactorias, debido al sobredimensionamiento inicial de la red. Por otra parte, en el transcurso del tiempo se han incrementado los caudales demandados desde los nudos de consumo 10, 11, 13 y 14, de modo que la capacidad de las tuberías que alimentan dichos nudos resulta actualmente insuficiente para proporcionar un servicio adecuado. Por esta razón se ha decidido renovar las tuberías de las líneas 10-11, 11-12, 12-13 y 11-14. Para descargar las líneas 1-2 y 2-4 del caudal consumido en la zona, se ha decidido llevar el agua a la misma a través de tuberías de nueva implantación, que conectan con el nudo 10 (eliminando por tanto la línea 4-10). Los nuevos puntos de consumo que se incorporan al riego, debido a su cota elevada, necesitarán posiblemente una altura de bombeo mayor de la actual, a la vez que el caudal inyectado en la red se va a incrementar considerablemente con la ampliación. Por esta razón se ha decidido también la renovación de la estación de bombeo, que continuará siendo el único punto de inyección a la red, conservando su ubicación primitiva. Lógicamente será necesario renovar la tubería de la línea principal de alimentación 0-1, puesto que el caudal que deberá trasegar en el futuro va a ser muy superior al actual. La Figura 5.28 muestra el trazado y los datos principales de la red de riego en su nueva concepción incluyendo todas las consideraciones expuestas. La tabla siguiente resume los datos principales de la nueva red. En las casillas sombreadas se incluyen los datos de las líneas existentes, en las cuales incluiremos una mayoración de las pérdidas de carga en un 33 % por medio de la adición de una longitud equivalente igual a un tercio de la longitud de cada línea. Las tuberías de la red actual son de amianto-cemento, el mismo material que vamos a considerar para la ampliación. 5.114 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.28. Esquema de la red futura. 5.115 5. Implementación de un modelo lineal ... Línea Longitud (m.) Longitud equivalente (perdidas de carga) (m.) Diámetro Nudo aguas abajo -255 -450 D 88 107 Cota (m.) 0-1 1-2 1930 765 2-3 712 237 200 D 122 2-4 835 278 400 C 116 4-5 5-6 705 552 235 184 250 C 175 C 104 102 5-7 1037 345 150 C 98 1-8 8-9 1000 1445 --- --- 89 123 9-10 912 -- -- 127 10-11 565 -- -- 130 11-12 12-13 612 620 --- --- 106 121 11-14 1090 -- -- 123 9-15 15-16 477 795 --- --- 125 112 15-17 457 -- -- 114 8-18 455 -- -- 100 18-19 19-20 20-21 600 657 605 ---- ---- 123 112 121 20-22 1062 -- -- 145 18-23 23-24 840 545 --- --- 116 115 Consumos hidrantes Area Caudal (ha.) (l/seg.) -5 (10) 1,2 (5) 12 (30) 6 (15) 6,5 (15) 6 (15) 10,5 (25) -8,5 (20) 10,5 (25) 4,7 (10) 6,4 (15) 8,8 (20) -4 (10) 9,6 (25) 11,8 (30) 8,7 (20) 2,8 (10) 10,8 (25) -3,2 (10) 6,8 (20) 11,2 (30) 13,6 (35) 9,7 (25) -2,6 (10) 6,8 (20) 1,8 (5) 7,2 (20) 4,8 (10) 9,5 (25) 3,7 (10) 8,4 (20) --4,1 (10) 4,6 (10) 6,8 (20) 5,6 (15) 5,3 (15) -8,6 (20) 7,2 (20) 6,6 (15) Tabla 5.6. Datos de la red en proyecto. 5.116 Presión mínima (mca.) -20 20 20 -20 20 -20 20 20 -20 20 -20 20 20 --20 20 -20 5. Implementación de un modelo lineal ... En la columna de consumos se indica el área servida por cada hidrante (en ha) y entre paréntesis, el caudal nominal del hidrante (en l/s). A partir de estos datos se calculan los caudales circulantes mediante el método de Clèment, aplicado de forma selectiva de modo que en las tuberías que alimentan hasta 10 hidrantes, se considera el caudal acumulado de los mismos (Garantía de suministro GS=100 %); para las tuberías que alimentan entre 11 y 50 hidrantes, se calcula el caudal utilizando la fórmula de Clèment con GS=99%. El caudal de diseño en las líneas que alimentan a 51 hidrantes o más, aunque no hay ninguna en la red del ejemplo, se calcularía considerando una Garantía de suministro GS=95 %. Para realizar el dimensionado se han considerado los siguientes datos adicionales: Límite de velocidad del agua en las tuberías 0'5 - 2'5 m/seg. Porcentaje de pérdidas menores (toda la red) 0% GLOBAL de 0 mca. Margen de seguridad en timbrajes Caudal ficticio continuo 0'5 l/seg.ha. Duración jornada de riego 18 horas/día Volumen de agua consumido 1.268.577 m3/año Número de horas de bombeo 3.000 horas/año 5 % anual Incremento de costes energéticos Rendimiento estimado de la E. Bombeo 75 % Coseno ϕ de la instalación 0'85 Factor de sobredimensionado en Potencia instalada 10 % Tarifa eléctrica R2 (36 a 72 kV) - 80 ptas/kW/mes - 10'65 ptas/kWh. Disc. Horaria Triple normal (500 h. Punta + 1500 h. Llano + 1000 h. Valle) 20 años (12 %) Amortización de las tuberías Tabla 5.7. Criterios económicos y de diseño. Una vez introducidos todos los datos indicados en el programa DIOPRAM, podemos efectuar el tratamiento previo de los datos, obteniendo el listado de datos que se presenta en las siguiente páginas. 5.117 5. Implementación de un modelo lineal ... EJEMPLO DATOS de la CONFIGURACION de la RED y CONDICIONES de DISEÑO Linea N. ------1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 8 9 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Nudo aguas Longitud Long.eqCota abajo Arriba Abajo metros metros metros ---------------- ----------- -----------------------0 1 1930.00 0 88.00 1 2 765.00 255 107.00 2 3 712.00 237 122.00 2 4 835.00 278 116.00 4 5 705.00 235 104.00 5 6 552.00 184 102.00 5 7 1037.00 345 98.00 9 10 912.00 0 127.00 10 11 565.00 0 130.00 11 12 612.00 0 106.00 12 13 620.00 0 121.00 11 14 1090.00 0 123.00 1 8 1000.00 0 89.00 8 9 1445.00 0 123.00 9 15 477.00 0 125.00 15 16 795.00 0 112.00 15 17 457.00 0 114.00 8 18 455.00 0 100.00 18 19 600.00 0 123.00 19 20 657.00 0 112.00 20 21 605.00 0 121.00 20 22 1062.00 0 145.00 18 23 840.00 0 116.00 23 24 545.00 0 115.00 AreaQ Hidrante Q DiseñoPmin abajo ha l/seg l/seg mca. -------- ------------- ---------- ------------0.00 0.00 303.77 0.00 6.20 15.00 130.00 20.00 24.50 60.00 60.00 20.00 16.50 40.00 130.00 20.00 0.00 0.00 90.00 0.00 23.70 55.00 55.00 20.00 15.20 35.00 35.00 20.00 20.50 50.00 205.00 20.00 13.60 35.00 155.00 20.00 0.00 0.00 60.00 0.00 21.20 60.00 60.00 20.00 23.30 60.00 60.00 20.00 0.00 0.00 226.62 0.00 13.60 35.00 205.00 20.00 0.00 0.00 65.00 0.00 9.40 30.00 30.00 20.00 13.80 35.00 35.00 20.00 21.60 55.00 104.61 20.00 0.00 0.00 70.00 0.00 0.00 0.00 70.00 0.00 8.70 20.00 20.00 20.00 17.70 50.00 50.00 20.00 0.00 0.00 55.00 0.00 22.40 55.00 55.00 20.00 Tipo Nudo -------0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 Num. Hidr. -------0 2 3 2 0 3 2 2 2 0 3 2 0 2 0 2 3 3 0 0 2 3 0 3 Presion probable en cabecera de la red = 90.00 mca Velocidad minima = .50 m/s Cota en cabecera de la red = 75.00 metros Velocidad maxima = 2.50 m/s Porcentaje de perdidas menores = 0.0 % Margen de seguridad para la determinacion de los timbrajes (global en toda la red) = 0.00 m.c.a. Datos generales utilizados para el CALCULO de los CAUDALES PROBABLES por el METODO de CLEMENT Numero total de Hectareas de la red = 271.90 Ha Dotacion por Ha (caudal ficticio continuo) = .5000 l/seg Ha Numero de horas/dia disponibles para riego = 18.00 horas/dia Garantia de suministro o calidad de servicio = 95.00 % ( U = 1.64 ) Numero total de hidrantes = 39 Caudal medio en cabecera (Dato estadistico) = 181.267 (l/seg) Varianza Q en cabecera (Dato estadistico) = 2764.173 ((l/seg) ^2) Caudal acumulado (limitadores) en cabecera = 690.00 (l/seg) Figura 5.29. Listado de datos de la red (1). 5.118 5. Implementación de un modelo lineal ... Relacion de TUBERIAS previamente INSTALADAS en la red Linea ------2 3 4 5 6 7 Nudos Long.(m) L.eq.(m) Qlinea Diametro (Ini-Fin) (l/seg ) (Ref.) ----------------------- ----------- ----------1- 2 765.0 255.0 130.000 450 D 2- 3 712.0 237.0 60.000 200 D 2- 4 835.0 278.0 130.000 400 C 4- 5 705.0 235.0 90.000 250 C 5- 6 552.0 184.0 55.000 175 C 5- 7 1037.0 345.0 35.000 150 C Material ---------------------------FIBROCEMENTO FIBROCEMENTO FIBROCEMENTO FIBROCEMENTO FIBROCEMENTO FIBROCEMENTO D.interno Presion Rugosidad (mm) Trab.(mca) (mm) -----------------------------450.0 100.0 .025 200.0 100.0 .025 400.0 75.0 .025 250.0 75.0 .025 175.0 75.0 .025 150.0 75.0 .025 CONDICIONES ECONOMICAS Material :FIBROCEMENTO Rug. abs.: 0.0250 mm Presion maxima de trabajo : --------------------------------------Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): 25 m.c.a. Presion maxima de trabajo : -------------------------------------Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): 50 m.c.a. Presion maxima de trabajo : -------------------------------------Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): Diametro normalizado (mm) : Precio por metro lineal (pts): 75 m.c.a. 50 A/F 519 150 A/B 1.397 400 A 5.708 900 A 19.221 50 A/F 519 150 A/B 1.397 400 B 7.241 900 B 25.430 50 A/F 519 150 C 1.740 400 C 8.154 900 C 29.388 Margen de seguridad 60 A/F 565 175 A/B 1.826 450 A 7.674 1000 A 22.586 70 A/F 695 200 A 2.103 500 A 9.218 1100 A 24.311 2.50 m.c.a. 80 A/D 802 250 A 2.598 600 A 12.330 1200 A 28.661 Margen de seguridad 60 A/F 565 175 A/B 1.826 450 B 8.634 1000 B 28.211 70 A/F 695 200 B 2.303 500 B 10.363 1100 B 31.484 Presion maxima de trabajo : 100 Margen m.c.a.de seguridad 8.00 --------------------------------------Diametro normalizado (mm) : 50 A/F 60 A/F Precio por metro lineal (pts): 519 565 Diametro normalizado (mm) : 150 D 175 D Precio por metro lineal (pts): 2.037 2.744 Diametro normalizado (mm) : 400 D 450 D Precio por metro lineal (pts): 9.016 10.550 Diametro normalizado (mm) : 900 D 1000 D 70 A/F 695 200 C 2.884 500 C 11.474 1100 C 36.657 125 A/B 978 350 A 4.399 800 A 15.315 5.00 m.c.a. 80 A/D 802 250 B 3.265 600 B 13.266 1200 B 37.912 Margen de seguridad 60 A/F 565 175 C 2.294 450 C 9.805 1000 C 32.124 100 A/C 908 300 A 3.848 700 A 12.796 100 A/C 908 300 B 4.475 700 B 15.016 125 A/B 978 350 B 5.438 800 B 20.136 7.50 m.c.a. 80 A/D 802 250 C 4.078 600 C 14.514 1200 C 43.319 100 A/C 908 300 C 5.466 700 C 17.718 125 C 1.185 350 C 6.528 800 C 23.487 80 A/D 802 250 D 4.685 600 D 15.591 100 D 1.077 300 D 6.239 700 D 22.204 125 D 1.465 350 D 7.606 800 D 28.701 m.c.a. 70 A/F 695 200 D 3.376 500 D 12.252 Figura 5.30. Listado de datos de la red (2). Materiales de tubería. 5.119 5. Implementación de un modelo lineal ... RELACION DE LOS PARAMETROS CARACTERISTICOS DE LOS HIDRANTES DE LA RED Numero total de Ha. servidas = 272 Numero total de hidrantes = 39 Dotacion por Ha. (Q. ficticio continuo) = .500 l/seg Ha Numero de horas/dia disponibles para el riego = 18.0 horas/dia Q.Total Numero Limitadores Hidran. (l/seg) ------------- -----------------2 15.000 Datos A.Total (ha.) -----------6 Nudo --------2 Tipo Nudo --------c/hidr 3 c/hidr 3 60.000 24 4 c/hidr 2 40.000 17 6 c/hidr 3 55.000 24 7 c/hidr 2 35.000 15 10 c/hidr 2 50.000 21 11 c/hidr 2 35.000 14 13 c/hidr 3 60.000 21 14 c/hidr 2 60.000 23 9 c/hidr 2 35.000 14 16 c/hidr 2 30.000 9 17 c/hidr 3 35.000 14 18 c/hidr 3 55.000 22 21 c/hidr 2 20.000 9 22 c/hidr 3 50.000 18 24 c/hidr 3 55.000 22 Hidrantes Caudal (l/seg ) ----------10.000 5.000 30.000 15.000 15.000 15.000 25.000 20.000 25.000 10.000 15.000 20.000 30.000 20.000 10.000 25.000 10.000 20.000 30.000 35.000 25.000 10.000 25.000 10.000 20.000 5.000 20.000 10.000 25.000 10.000 20.000 10.000 10.000 20.000 15.000 15.000 20.000 20.000 15.000 Area (ha.) -------5 1 12 6 7 6 10 9 10 5 6 9 12 9 3 11 3 7 11 14 10 4 10 3 7 2 7 5 10 4 8 4 5 7 6 5 9 7 7 SUMA SUMA di*pi di^2*pi*(1-pi) (l/seg ) (l/seg )^2 ----------- ----------------------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- Figura 5.31. Listado de datos de la red (3). Características de los hidrantes. En relación a las zonas sombreadas del listado de la Figura 5.29 hay que hacer algunas aclaraciones: (1) Esta columna indica el área total (ha.) servida por todos los hidrantes conectados al nudo correspondiente. (2) Indica el caudal nominal total de los hidrantes del nudo. (3) Indica el caudal de diseño de la línea asociada. Dicho caudal será el que resulte de la aplicación del método de Clèment (en nuestro caso hemos aplicado un criterio selectivo, con GS variable en función del número de hidrantes alimentados por la línea). 5.120 5. Implementación de un modelo lineal ... (4) La referencia Tipo de nudo indica si el nudo es de conexión sin consumo (tipo 0), o si es de consumo, definido bien por hidrantes individuales (tipo 1) o por parámetros estadísticos de una subred (tipo 2). (5) Num. hidr. indica el número de hidrantes conectados al nudo en cuestión. (6) En el listado podemos distinguir las líneas previamente existentes porque su numeración está desplazada hacia la derecha y sus datos en negrilla. (7) La Garantía de suministro (GS) se solicita al usuario únicamente para el caso de optar por el cálculo de caudales de Clèment con un valor de GS uniforme en todas las tuberías. (8) Cuando la definición de caudales de diseño se realiza por el método de Clèment, podemos obtener, como resultado intermedio, los tres valores estadísticos indicados, que son: NH Caudal medio en cabecera : Q (5.100) dk pk k 1 NH Varianza de caudal en cabecera : σ 2 Q 2 dk pk ( 1 pk ) (5.101) k 1 NH Caudal acumulado en cabecera : Qac dk (5.102) k 1 siendo NH es el número de hidrantes de la red, dk es el caudal nominal del hidrante k-ésimo, y pk es la probabilidad de utilización de dicho hidrante, que se calcula como ya vimos en (5.10) según: pk Volumen de agua necesario Volumen de agua disponible ... ... (5.103) Caudal ficticio contínuo (l/seg) 24 (horas / día) dk (l/seg) Jornada riego (horas/día) A partir de estos tres datos sería posible hacer intervenir la red actual como parte de otra red de mayor entidad, a efectos del cálculo de los caudales de Clèment, simplemente definiendo el nudo de unión como tipo 2 e introduciendo los datos 5.121 5. Implementación de un modelo lineal ... estadísticos de caudal que acabamos de referir. Siguiendo con el proceso de dimensionado, procederíamos con la etapa de Predimensionado, de la cual no presentamos los resultados por abreviar, para finalmente llegar a la Optimización, cuyos resultados se presentan a continuación: EJEMPLO SALIDA DE RESULTADOS (Optimizacion por P.L.) PRESION en cabecera = 120.72 m.c.a. COTA de cabecera = 75.00 metros Material tuberias : P.V.C. Rug. abs : 0.0070 mm FIBROCEMENTO Rug. abs : 0.0250 mm Linea -------1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 8 9 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Nudos Diametro INI FIN Nominal (mm) ----- ------- -------------------0 1 450 E 1 2 450 D 2 3 200 D 2 4 400 C 4 5 250 C 5 6 175 C 5 7 150 C 9 10 350 C 10 11 350 C 11 12 250 D 200 D 12 13 200 D 11 14 250 C 200 C 1 8 400 E 8 9 350 E 9 15 200 C 15 16 150 D 125 D 15 17 150 D 8 18 300 E 18 19 250 D 19 20 250 D 20 21 125 D 20 22 250 D 18 23 175 D 23 24 175 D Longitud (m) Velocidad Parcial Total (m/s) ------------------------ -------------...... 1930 1.91 ...... 765 .82 ...... 712 1.91 .............835 1.03 .............705 1.83 .............552 2.29 .......... 1037 1.98 ........912 2.13 ........565 1.61 440 1.22 172..... 612 1.91 ........620 1.91 433 1.22 657... 1090 1.91 ........ 1000 1.80 ........ 1445 2.13 ........477 2.07 264 1.70 531 ...795 2.44 ........457 1.98 ........455 1.48 ........600 1.43 ........657 1.43 ........605 1.63 ........ 1062 1.02 ........840 2.29 ........545 2.29 Coste tramo (pts) Presion nudo aguas abajo Parcial Total Estatica (mca) Dinamica ------------ --------------- -------------------- ---------------.......... 22.627.320 107.72 97.05 .......... ---------------88.72 76.88 .......... ---------------73.72 48.06 .......... ---------------79.72 65.62 .......... ---------------91.72 67.92 .......... ---------------93.72 52.27 .......... ---------------97.72 43.44 ........... 5.953.536 68.72 30.74 ........... 3.688.320 65.72 24.68 2.061.400 89.72 44.03 580.672.... 2.642.072 ...........2.093.120 74.72 20.00 1.765.774 72.72 20.00 1.894.788 ...3.660.562 ...........9.930.000 106.72 90.33 ..........12.107.655 72.72 43.09 ...........1.375.668 70.72 33.02 537.768 83.72 20.00 777.915 ...1.315.683 .............930.909 81.72 33.95 ...........3.020.745 95.72 76.80 ...........2.811.000 72.72 49.92 ...........3.078.045 83.72 56.68 .............886.325 74.72 36.12 ...........4.975.470 50.72 20.00 ...........2.304.960 79.72 40.66 ...........1.495.480 80.72 28.59 Pmin de la red (Dinamica) = 20.00 m (Nudo: 13) Pmax de la red (Estatica) = 107.72 m. (Nudo:1) Incremento adicional sobre la carga estatica (para el calculo de los timbrajes) = 0.00 mca Porcentaje de perdidas menores =0.0 % Caudal inyeccion en cabecera = 303.77 l/seg Potencia grupo elevador = 527.64 Kw Figura 5.32. Resultados de la Optimización. Listado General (1). 5.122 5. Implementación de un modelo lineal ... DESGLOSE ECONOMICO ---- TUBERIAS ---Material -----------FIBROCEMENTO P. Trab. (mca) -----------75.0 Diametro Coste UNITARIO Long. TOTAL (mm) (pts/m.l.) (m) ------------ ------------------------- ---------------------350 C 6.528 1.477 250 C 4.078 433 200 C 2.884 1.134 100.0 250 200 175 150 125 D D D D D 4.685 3.376 2.744 2.037 1.465 125.0 450 400 350 300 E E E E 11.724 9.930 8.379 6.639 2.759 792 1.385 721 1.136 Coste TOTAL (pts) -------------------9.641.856 1.765.774 3.270.456 12.925.915 2.673.792 3.800.440 1.468.677 1.664.240 1.930 22.627.320 1.000 9.930.000 1.445 12.107.655 455 3.020.745 _________________ COSTE TOTAL de las TUBERIAS .......... 84.896.870 AMORTIZACION anual TUBERIAS ....... pts. 11.365.889 pts. Coste BOMBEO año (Promedio) ...... 7.709.647 _________________ COSTE TOTAL del sistema al año ...... 19.075.537 pts. pts. Figura 5.33. Resultados de la Optimización. Listado General (2). Los resultados obtenidos en la Optimización muestran que la presión estática que soportarán las líneas 4, 5, 6 y 7 resulta superior a la presión de trabajo de las tuberías (recordemos que dichas tuberías pertenecen a la red original). Para reducir dicha presión será necesario emplear una válvula reductora de presión (VRP) en el punto de alimentación de la subred existente. Por otra parte, se constatan asimismo diferencias considerables entre la presión estática y dinámica de los nudos de la red, circunstancia que parece aconsejar el empleo de VRPs como un medio para obtener un mayor ahorro en las tuberías mediando una disminución de su presión de trabajo. Una vez completado el proceso de Optimización, ejecutamos el módulo de Análisis de la red con VRPs para determinar cuáles podrían ser más eficientes desde el punto de vista económico. 5.123 5. Implementación de un modelo lineal ... La primera acción a emprender será efectuar un listado de posibles VRPs que pueda orientarnos sobre las que serían más convenientes. LISTA DE POSIBLES VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION Linea Nudos (Ini-Fin) Ubicacion -------1 2 8 2 3 4 4 5 6 7 10 11 12 14 12 8 9 18 9 10 15 15 16 17 18 19 23 19 20 21 22 23 ----------(0-1) (1-2) (1-8) (1-2) (2-3) (2-4) (2-4) (4-5) (5-6) (5-7) (9-10) (10-11) (11-12) (11-14) (11-12) (1-8) (8-9) (8-18) (8-9) (9-10) (9-15) (9-15) (15-16) (15-17) (8-18) (18-19) (18-23) (18-19) (19-20) (20-21) (20-22) (18-23) ----------a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo a.abajo a.arriba a.arriba a.abajo Pres. Pres. Estat. Dinam. (mca) (mca) -------- -------107.7 97.0 107.7 97.0 107.7 97.0 88.7 76.9 88.7 76.9 88.7 76.9 79.7 65.6 91.7 67.9 91.7 67.9 91.7 67.9 68.7 30.7 65.7 24.7 65.7 24.7 65.7 24.7 89.7 44.0 106.7 90.3 106.7 90.3 106.7 90.3 72.7 43.1 72.7 43.1 72.7 43.1 70.7 33.0 70.7 33.0 70.7 33.0 95.7 76.8 95.7 76.8 95.7 76.8 72.7 49.9 83.7 56.7 83.7 56.7 83.7 56.7 79.7 40.7 Caudal CosteVRP (l/seg) (ptas) -----------303.767 130.000 226.623 130.000 60.000 130.000 130.000 90.000 55.000 35.000 205.000 155.000 60.000 60.000 60.000 226.623 205.000 104.605 205.000 205.000 65.000 65.000 30.000 35.000 104.605 70.000 55.000 70.000 70.000 20.000 50.000 55.000 -----------1405000 640000 1065000 640000 385000 640000 640000 470000 300000 215000 1915000 1405000 725000 725000 725000 1065000 980000 555000 980000 980000 385000 725000 385000 385000 555000 385000 300000 385000 385000 215000 300000 555000 Num VRP ------- Pres. Tarado (mca) -------97.0 73.6 97.0 53.4 48.8 53.4 42.2 44.5 35.6 44.5 30.7 24.7 24.7 24.7 44.0 90.3 90.3 90.3 43.1 43.1 43.1 33.0 33.0 19.1 76.8 76.8 68.2 49.9 56.7 40.6 56.7 32.1 Num. Lin. Afec. -------23 6 17 5 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1 16 9 7 8 5 3 2 1 1 6 4 2 3 2 1 1 1 Ahorro Tuberia (ptas) -----------4033885 0 4033885 0 0 0 0 0 0 0 2222744 2424766 1474616 950150 665260 3776629 2136546 1640083 3640374 3000420 639954 720037 427557 308018 1458083 1212833 623250 1212833 814034 294635 644634 586965 Figura 5.34. Listado de posibles VRPs. El objetivo principal es reducir las presiones en la subred primitiva y resulta evidente que tal reducción de presiones no va a conducir a un abaratamiento de unas tuberías que ya existen. Si optamos por ubicar una VRP en el extremo aguas abajo de la línea 0-1 podemos reducir las presiones hasta 10 mca. en la subred primitiva, ahorrando también en otras tuberías afectadas, pero pensamos que es preferible ubicar una VRP en cabeza de la línea 1-2, puesto que permite reducir la presión estática aproximadamente unos 34 mca., lo que confiere una mayor seguridad al funcionamiento de las tuberías ya instaladas. Por otra parte, se observa que la VRP que proporciona un mayor ahorro neto es la ubicada en cabeza de la línea 1-8. 5.124 5. Implementación de un modelo lineal ... Una vez seleccionadas estas dos VRPs, procedemos de igual modo, seleccionando una por una aquellas VRPs que en cada fase proporcionan el máximo ahorro neto. De esta forma, seleccionamos hasta cuatro VRPs, cuyos parámetros son los siguientes: Ubicación Válvula Presión Tarado (mca.) Máxima Ahorro Caudal pérdida Coste VRP tubería Ahorro neto (l/seg.) (mca.) (ptas) (ptas) (ptas) Línea extremo VRP 1 1-2 a. arriba 73,6 130,0 34,1 1.235.000 0 -1.235.000 VRP 2 1-8 a. arriba 97,0 226,6 10,7 1.065.000 4.033.885 2.968.885 VRP 3 8-9 a. abajo 43,1 205,0 18,9 980.000 3.277.557 2.297.577 VRP 4 11-12 a. arriba 24,7 60,0 11.4 385.000 817.872 432.872 3.665.000 8.129.314 4.464.334 (*) TOTAL (**) Tabla 5.7.- V álvulas reductoras seleccionadas. NOTAS: Los valores presentados para cada VRP corresponden a la situación en la que funcionan todas las VRP anteriores. Por ejemplo, los valores obtenidos para VRP 3, implican que están funcionando VRP 1 y VRP 2. (*) La máxima perdida de carga en la VRP se refiere a la diferencia entre presión estática a la entrada de la VRP menos la presión de salida (presión de tarado). (**) El ahorro en tubería es el neto que puede conseguir la reducción de presiones provocada por la VRP, habiendo ya tenido en cuenta anteriores reducciones causadas por otras válvulas. Con la implantación de estas cuatro válvulas, podemos realizar una nueva salida de resultados definitivos, adaptados a las nuevas presiones que resultan de instalar las VRPs seleccionadas, como se muestra en las siguientes páginas. El listado se presenta completo en este caso, al ser ya definitivo. 5.125 5. Implementación de un modelo lineal ... EJEMPLO SALIDA DE RESULTADOS (Optimizacion por P.L.) === Incluye VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION === PRESION en cabecera = 120.72 m.c.a. COTA de cabecera = 75.00 metros Material tuberias : P.V.C. Rug. abs : 0.0070 mm FIBROCEMENTO Rug. abs : 0.0250 mm Linea Nudos Diametro INIFIN Nominal (mm) -------- ----- -----------------------1 0 1 450 E ===> 2 1 2 450 D 3 2 3 200 D 4 2 4 400 C 5 4 5 250 C 6 5 6 175 C 7 5 7 150 C 10 9 10 350 B 11 10 11 350 B ===> 1211 12 250 B 200 B 13 12 13 200 B 14 11 14 250 B 200 B ===> 8 1 8 400 D ===> 9 8 9 350 D 15 9 15 200 B 16 15 16 150 C 125 C 17 15 17 150 C 18 8 18 300 D 19 18 19 250 D 20 19 20 250 C 21 20 21 125 C 22 20 22 250 C 23 18 23 175 D 24 23 24 175 C Longitud (m) Velocidad Coste tramo (pts) Parcial Total (m/s) Parcial Total --------------------------------------- -----------------------------------........ 1930 1.91 .......... 22.627.320 ........ 765 .82 .......... --------........ 712 1.91 ........ --------........ 835 1.03 ........ --------........ 705 1.83 ........ --------........ 552 2.29 ........ --------........ 1037 1.98 ........ --------........ 912 2.13 ........... 4.959.456 ........ 565 1.61 ........... 3.072.470 440 1.22 1.436.600 172 ... 612 1.91 396.116... 1.832.716 ........ 620 1.91 ........... 1.427.860 433 1.22 1.413.745 657 ... 1090 1.91 1.513.071... 2.926.816 ........ 1000 1.80 ........... 9.016.000 ........ 1445 2.13 .......... 10.990.670 ........ 477 2.07 ........... 1.098.531 264 1.70 459.360 531 ... 795 2.44 629.235... 1.088.595 ........ 457 1.98 ............. 795.180 ........ 455 1.48 ........... 2.838.745 ........ 600 1.43 ........... 2.811.000 ........ 657 1.43 ........... 2.679.246 ........ 605 1.63 ............. 716.925 ........ 1062 1.02 ........... 4.330.836 ........ 840 2.29 ........... 2.304.960 ........ 545 2.29 ........... 1.250.230 Pmin de la red (Dinamica) = 20.00 m (Nudo: 7) 33.68 43.09 20.00 20.00 96.05 62.05 41.09 54.09 90.33 43.09 33.02 20.00 52.09 85.05 62.05 73.05 64.05 40.05 69.05 70.05 33.95 76.80 49.92 56.68 36.12 20.00 40.66 28.59 Pmax de la red (Estatica) = 107.72 m. (Nudo: 1) Incremento adicional sobre la carga estatica (para el calculo de los timbrajes) = Porcentaje de perdidas menores = Presion aguas abajo Estatica(mca) Dinamica -------------------------------107.72 97.05 54.60 53.44 39.60 24.61 45.60 42.18 57.60 44.47 59.60 28.83 63.60 20.00 39.09 30.74 36.09 24.68 48.68 44.03 0.00 mca 0.0 % Caudal inyeccion en cabecera = 303.77 l/seg Potencia grupo elevador = 527.64 Kw Figura 5.35. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (1) General. 5.126 5. Implementación de un modelo lineal ... DESGLOSE ECONOMICO ---- TUBERIAS ---Material P. Trab. (mca) -----------------------------FIBROCEMENTO 50.0 Diametro Coste UNITARIO Long. TOTAL (mm) (pts/m.l.) (m) ------------ ------------------------- ---------------------350 B 5.438 1.477 250 B 3.265 873 200 B 2.303 1.926 Coste TOTAL (pts) -------------------8.031.926 2.850.345 4.435.578 75.0 250 175 150 125 C C C C 4.078 2.294 1.740 1.185 1.719 545 721 1.136 7.010.082 1.250.230 1.254.540 1.346.160 100.0 400 350 300 250 175 D D D D D 9.016 7.606 6.239 4.685 2.744 1.000 1.445 455 600 840 9.016.000 10.990.670 2.838.745 2.811.000 2.304.960 125.0 450 E 11.724 1.930 22.627.320 _________________ COSTE TOTAL de las TUBERIAS.......... 76.767.556 AMORTIZACION anual TUBERIAS....... 10.277.546 Coste BOMBEO año (Promedio)...... 7.709.647 _________________ COSTE TOTAL del sistema al año...... 17.987.193 pts. pts. pts. pts. LISTA DE VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION SELECCIONADAS Nº Denom. VRP Linea Sit. Pres. Pres. Pres. Num Caudal Coste VRP Ahorro Tub. Est. Din. Tara. Lin (l/seg) (ptas) AISLADO (mca) (mca) (mca) Afec (ptas) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 SEC (1-2) arriba 107.7 97.0 73.6 6 130.000 1.235.000 0 2 CABLIN8 (1-8) arriba 107.7 97.0 97.0 17 226.623 1.065.000 3.671.068 3 LINAB 9 (8-9) abajo 62.0 43.1 43.1 8 205.000 980.000 2.620.813 4 L12ARR (11-12) arriba 36.1 24.7 24.7 2 60.000 385.000 817.872 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ahorro Total en Tuberias.......... 8.129.314ptas. Coste de las VRP seleccionadas .... 3.665.000ptas. Figura 5.36. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (2) Desglose económico y Lista de VRPs seleccionadas. 5.127 5. Implementación de un modelo lineal ... RELACION DE LOS PARAMETROS CARACTERISTICOS DE LOS HIDRANTES DE LA RED Numero total de Ha. servidas = Numero total de hidrantes = 271 39 Dotacion por Ha. (Q. ficticio continuo) = .500 l/seg Ha Numero de horas/dia disponibles para el riego = 18.0 horas/dia Q.Total Datos Hidrantes SUMA SUMA Tipo Numero Limitadores A.Total Caudal Area di*pi di^2*pi*(1-pi) Nudo Nudo Hidran. (l/seg ) (ha.) (l/seg ) (ha.) (l/seg ) (l/seg )^2 ---- ------ ------ ----------- --------- ---------- ------- ----------- -------------2 c/hidr 2 15.000 6 10.000 5 ----5.000 1 3 c/hidr 3 60.000 24 30.000 12 ----15.000 6 15.000 7 4 c/hidr 2 40.000 17 15.000 6 ----25.000 10 6 c/hidr 3 55.000 24 20.000 9 ----25.000 10 10.000 5 7 c/hidr 2 35.000 15 15.000 6 ----20.000 9 10 c/hidr 2 50.000 21 30.000 12 ----20.000 9 11 c/hidr 2 35.000 14 10.000 3 ----25.000 11 13 c/hidr 3 60.000 21 10.000 3 ----20.000 7 30.000 11 14 c/hidr 2 60.000 23 35.000 14 ----25.000 10 9 c/hidr 2 35.000 14 10.000 4 ----25.000 10 16 c/hidr 2 30.000 9 10.000 3 ----20.000 7 17 c/hidr 3 35.000 14 5.000 2 ----20.000 7 10.000 5 18 c/hidr 3 55.000 22 25.000 10 ----10.000 4 20.000 8 21 c/hidr 2 20.000 9 10.000 4 ----10.000 5 22 c/hidr 3 50.000 18 20.000 7 ----15.000 6 15.000 5 24 c/hidr 3 55.000 22 20.000 9 ----20.000 7 15.000 7 Figura 5.37. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (3) Parámetros característicos de los hidrantes. 5.128 5. Implementación de un modelo lineal ... CRITERIOS DE SELECCION DE LA PRESION DE TRABAJO DE LAS TUBERIAS Nudo Long. Diametro Lin INI-FIN (m.) Nominal --- ------- -----1 0- 1 1930 10 9-10 912 11 10-11 565 12 11-12 172 440 13 12-13 620 14 11-14 657 433 8 1- 8 1000 9 8- 9 1445 15 9-15 477 16 15-16 531 264 17 15-17 457 18 8-18 455 19 18-19 600 20 19-20 657 21 20-21 605 22 20-22 1062 23 18-23 840 24 23-24 545 -----450 E 350 B 350 B 200 B 250 B 200 B 200 B 250 B 400 D 350 D 200 B 125 C 150 C 150 C 300 D 250 D 250 C 125 C 250 C 175 D 175 C P. Estatica N.ini N.fin (mca) (mca) ------ ----121 108 43 39 39 36 25 49 Inc.P long. (mca) ----0 0 0 0 P.est. Def. (mca) ----121 43 39 49 49 36 34 43 0 0 49 43 97 96 43 41 96 62 41 54 0 0 0 0 97 96 43 54 41 96 85 62 73 73 85 69 52 85 62 73 64 40 69 70 0 0 0 0 0 0 0 0 52 96 85 73 73 73 85 70 P.Trab. Dec.PT Tuberia Diam. (mca) (mca) -------- ------125 0 50 0 50 0 50 0 50 0 50 0 50 0 50 0 100 0 100 0 50 0 75 0 75 0 75 0 100 0 100 0 75 0 75 0 75 0 100 0 75 0 P.Trab. Def. (mca) -----125 50 50 50 50 50 50 50 100 100 50 75 75 75 100 100 75 75 75 100 75 PARAMETROS PARA EL CALCULO DE LOS COSTES ENERGETICOS DE BOMBEO ** Tarifas Electricas. O.M. 10 Enero 1992 (B.O.E. 13 de 15 de Enero) ** Tipo de tarifa Ter. Potencia (ptas/kW/mes) Ter. Energia (ptas/kW.hora) --------------------------------------------------------------------------------------R0 (Baja Tension) 56.0 13.19 R1 (hasta 36 kV) 83.0 11.33 R2 (de 36 kV a 72.5 kV) 80.0 10.65 R3 (mayor de 72.5 kV) 75.0 10.31 Tipo de discriminacion horaria Recargos / Descuentos (%) --------------------------------------------------------------------------------------Tipo 1 - Simple (P<50 kW) +20 (Todas horas) Tipo 2 - Doble +40 (punta) +0 (llano+valle) Tipo 3 - Triple Normal +70 (punta) +0 (llano) -43 (valle) Tipo 4 - Triple+Festivos +100 (punta) +0 (llano) -43 (valle) -43 (sab.+festivos) Tarifa SELECCIONADA: R2 (de 36 kV a 72.5 kV) (Tipo 3 - Triple Normal) Horas anuales de bombeo: 3000 = 500 (punta) + 1500 (llano) + 1000 (valle) Coseno FI = .85 (Recargo Reactiva = +2.5 %) Incremento anual de Costes Energeticos = 5.0 %) Periodo de vida del proyecto = 20 años Volumen de agua consumido por aÀo = 888888 m3/año Inyeccion DIRECTA a la red Caudal Maximo de bombeo = .304 m3/seg. Rendimiento de la instalacion = 75 % Potencia del grupo elevador = Sobredimensionamiento Potencia Instalada = 10 % 527.6 kW Figura 5.38. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (4) Presiones de trabajo y Parámetros para el cálculo del coste energético. 5.129 5. Implementación de un modelo lineal ... Relacion de TUBERIAS previamente INSTALADAS en la red Linea Nudos Long. L.eq. Qlinea Diametro Material D.int. Presion Rugosidad (Ini-Fin) (m) (m) (l/seg) (Ref.) (mm) Trab.(mca) (mm) ----- ----- ----- ------ -------- ------- ------------ ------- ---------- ---------2 1- 2 765.0 255.0 130.000 450 D FIBROCEMENTO 450.0 100.0 .025 3 2- 3 712.0 237.0 60.000 200 D FIBROCEMENTO 200.0 100.0 .025 4 2- 4 835.0 278.0 130.000 400 C FIBROCEMENTO 400.0 75.0 .025 5 4- 5 705.0 235.0 90.000 250 C FIBROCEMENTO 250.0 75.0 .025 6 5- 6 552.0 184.0 55.000 175 C FIBROCEMENTO 175.0 75.0 .025 7 5- 7 1037.0 345.0 35.000 150 C FIBROCEMENTO 150.0 75.0 .025 Resumen de TUBERIAS INSTALADAS por MATERIALES Material -------FIBROCEMENTO P. Trab. (mca) -------75.0 100.0 Diametro (mm) -------400 C 250 C 175 C 150 C Longitud TOTAL (m) -------------835 705 552 1.037 450 D 200 D 765 712 RELACION DE ELEMENTOS AUXILIARES DE LA RED ______________________________________________________________ Ident. Tub. Diametro P.Tr. Caudal Diametro P.Tr. Tipo enlace Ventosas Desagues Salen entrante (mca) (l/seg ) saliente (mca) ----------- ------- ----- -------- -------- --------------- -------- -------Nudo 1 2 450 E 125 303.767 400 D 100 ENLACE T ........................................................................................... Nudo 3 0 200 D 100 60.000 SI ---........................................................................................... Nudo 4 1 400 C 75 130.000 SI ---........................................................................................... Nudo 11 2 350 B 50 155.000 250 B 50 ENLACE T 250 B 50 CONO REDUCTOR SI ---........................................................................................... Linea 12 1 250 B 50 60.000 200 B 50 CONO REDUCTOR Nudo 12 1 200 B 50 60.000 ---SI ........................................................................................... Nudo 13 0 0 60.000 SI ---........................................................................................... Linea 14 1 250 B 50 60.000 200 B 50 CONO REDUCTOR ........................................................................................... Nudo 8 2 400 D 100 226.623 300 D 100 ENLACE T 350 D 100 CONO REDUCTOR ........................................................................................... Nudo 9 2 350 D 100 205.000 200 B 50 ENLACE T ........................................................................................... Nudo 15 2 200 B 50 65.000 150 C 75 ENLACE T 150 C 75 CONO REDUCTOR SI ---........................................................................................... Linea 16 1 150 C 75 30.000 125 C 75 CONO REDUCTOR ........................................................................................... Nudo 18 2 300 D 100 104.605 175 D 100 ENLACE T 250 D 100 CONO REDUCTOR ........................................................................................... Nudo 19 1 250 D 100 70.000 SI ---........................................................................................... Nudo 20 2 250 C 75 70.000 125 C 75 ENLACE T ---SI ........................................................................................... Nudo 21 0 125 C 75 20.000 SI ---........................................................................................... Nudo 22 0 250 C 75 50.000 SI ---........................................................................................... Nudo 23 1 175 D 100 55.000 SI ---........................................................................................... Total ACOPLAMIENTOS en T = 7 Total VENTOSAS = 9 Total CONOS de REDUCCION = 7 Total DESAGUES = 2 Figura 5.39. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (5) Tuberías existentes y Relación de elementos auxiliares. 5.130 5. Implementación de un modelo lineal ... RELACION DE PARAMETROS DE LAS ZANJAS Datos Generales TALUD de la Zanja Espesor MINIMO de la CAMA ANCHURA Extra en la BASE ALTURA de Relleno Selecc. sobre la Tuberia ALTURA de Relleno NO Seleccionado Factor de ESPONJAMIENTO del Sobrante Linea Long. Diametro Tipo (m.) Tuberia Terreno ----- ------ ----- -------1 1930 450 E FRANCO 2 765 450 D ---3 712 200 D ---4 835 400 C ---5 705 250 C ---6 552 175 C ---7 1037 150 C ---10 912 350 B FRANCO 11 565 350 B FRANCO 12 172 200 B FRANCO 12 440 250 B FRANCO 13 620 200 B FRANCO 14 657 200 B FRANCO 14 433 250 B FRANCO 8 1000 400 D FRANCO 9 1445 350 D FRANCO 15 477 200 B FRANCO 16 531 125 C FRANCO 16 264 150 C FRANCO 17 457 150 C FRANCO 18 455 300 D FRANCO 19 600 250 D FRANCO 20 657 250 C FRANCO 21 605 125 C FRANCO 22 1062 250 C FRANCO 23 840 175 D FRANCO 24 545 175 C FRANCO : : : : : : 10 15 50 30 100 1.30 % cm. cm. cm. cm. Prof(m) Anchura (m) Volumenes (m3) Zanja Base Superf. Excavacion Relleno Lecho Sobrante ------ ------ ------------ -------- -------- --------1.91 .96 1.34 4236.657 3535.164 382.139 911.941 ------------------------------------------------------------------------------------1.81 .86 1.22 1710.113 1465.285 153.538 318.276 1.81 .86 1.22 1059.445 907.770 95.120 197.178 1.65 .70 1.03 247.334 219.886 21.827 35.683 1.71 .76 1.10 694.310 610.101 61.739 109.472 1.65 .70 1.03 891.552 792.611 78.677 128.624 1.65 .70 1.03 944.758 839.912 83.372 136.300 1.71 .76 1.10 683.264 600.394 60.756 107.731 1.86 .91 1.28 2032.280 1718.564 182.976 407.831 1.81 .86 1.22 2709.554 2321.641 243.271 504.287 1.65 .70 1.03 685.920 609.799 60.530 98.958 1.58 .63 .94 657.767 593.890 57.097 83.039 1.60 .65 .97 344.182 309.263 30.065 45.395 1.60 .65 .97 595.800 535.353 52.045 78.581 1.76 .81 1.16 784.279 680.687 70.131 134.670 1.71 .76 1.10 946.787 831.955 84.189 149.281 1.71 .76 1.10 1036.731 910.991 92.187 163.462 1.58 .63 .94 749.433 676.655 65.054 94.612 1.71 .76 1.10 1675.812 1472.561 149.014 264.227 1.63 .68 1.00 1150.916 1028.810 101.086 158.739 1.63 .68 1.00 746.725 667.501 65.586 102.991 RESUMEN MOVIMIENTO DE TIERRAS Concepto --------EXCAVACION Tipo TERRENO -----------FRANCO RELLENO VOLUMEN (m3) -----------24.583 Coste UNITARIO (ptas/m3) ------------------------650 Coste TOTAL (ptas) -----------------15.978.950 21.328 600 12.796.800 LECHO ARENA 2.190 1.350 2.956.500 TR. SOBRANTE 4.231 500 2.115.500 --------------33.847.750 Ptas. Figura 5.40. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (6) Estimación del movimiento de tierras. 5.131 5. Implementación de un modelo lineal ... RESUMEN DE RESULTADOS DE LA RED EJEMPLO Superficie total ................... 271 ha. Longitud total de tuberias ......... 19.273 m. ** Longitud tuberias instaladas .... 4.606 m. Numero total de Hidrantes servidos . 39 hid. Coste de la Inversion en tuberias .. 76.767.556 ptas. Coste Energetico anual ............. 7.709.647 ptas/año Volumen total de agua consumido .... 888.888 m3/año Longitud de tuberia por ha. ........ Inversion en tuberias por ha........ Coste energetico anual por ha. .... Numero de hidrantes por ha. ....... 71.1 283.275 28.448 .1 m/ha. ptas/ha. ptas/ha. hidr/ha. Figura 5.41. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (7) Resumen de resultados de la red. Veamos una serie de puntualizaciones sobre el listado de resultados que acabamos de presentar en las figuras precedentes: a) Listado de configuración de las líneas (Figura 5.35): (1) Las líneas donde se ha ubicado una VRP se señalan en el listado por medio del símbolo "===>". Los parámetros que definen la VRP (posición en la línea, presión de tarado, etc...) se encuentran en el listado complementario de VRPs (Figura 5.36). b) Listado complementario de VRPs seleccionadas (Figura 5.36): El usuario debe tener en cuenta que las variables que muestra este listado están referidas a la situación en la cual todas las VRPs seleccionadas están operativas. 5.132 5. Implementación de un modelo lineal ... (2) Esta columna muestra la presión estática (mca.) (caudal circulante nulo), que existirá en el extremo aguas arriba de la VRP en cuestión. (3) Indica la presión dinámica (mca.) (funcionamiento con caudal de diseño) en el extremo aguas arriba de la VRP. (4) La columna Num. Lin. Afec. informa del número de líneas afectadas por una determinada VRP, esto es, el nº de líneas que se encuentran situadas aguas abajo de la misma, y por lo tanto, alimentadas desde ella. (5) En la columna Ahorro Tub. AISLADO (ptas.) se indica el ahorro en tuberías que puede producir AISLADAMENTE la VRP indicada, esto es, la diferencia en el coste de las tuberías si la VRP está operativa y si no lo está. Obsérvese que la suma de ahorros aislados es siempre menor o igual al ahorro total real en tubería. Por la misma razón, la suma de ahorros absolutos en tubería que obtendríamos a partir de los valores del listado de posibles VRPs (ver Figura 5.34), siempre será mayor o igual al ahorro total real en tubería. Ello es debido a la interdependencia que existe entre las válvulas reductoras. c) Listado complementario de Elementos A uxiliares de la red (Figura 5.39): Para aclarar el contenido de este listado, hemos seleccionado tres de los elementos que contiene: (6) En esta fila del listado encontramos, en primer lugar, el identificativo (Nudo 1), del que parten 2 tuberías. La estructura de las conexiones del nudo 1, es la que indica la Figura 5.42. La tubería entrante (0-1) posee un diámetro 450 E, y las dos tuberías salientes poseen diámetros 400 D (línea 1-8) y 450 D (línea 1-2, instalada con anterioridad). En consecuencia se supone que la conexión principal se realizará mediante una T de diámetro Figura 5.42. Conexiones en el nudo 1. principal 450 mm. (clase E) y derivación de 400 mm. 5.133 5. Implementación de un modelo lineal ... (7) El contenido de la fila corresponde al nudo 11, del que parten 2 tuberías. La Figura 5.43 muestra la configuración de las conexiones. La tubería entrante (10-11) posee un diámetro 350 B, y las tuberías salientes conectan con diámetros 250 B (líneas 11-12 y 1114). En el listado de la Figura 5.39 podemos comprobar que ambas líneas salientes están compuestas por diámetros 250 B y 200 B, por lo que se supone que el diámetro mayor se Figura 5.43. Conexiones en el nudo 11. sitúa en el tramo aguas arriba. Las conexiones principales se realizarán mediante una T, de diámetro principal 350 mm. (clase B) y derivación de 250 mm., más un cono reductor, con diámetro de entrada 350 mm. y salida de 250 mm. (clase B). Además de las conexiones descritas, será necesario instalar en el nudo 11 una ventosa para evacuación de aire, puesto que su cota geométrica es más elevada que cualquiera de los nudos contiguos conectados físicamente. (8) En esta fila se hace referencia al nudo 21, cuya única particularidad es que se trata de un punto elevado relativo, y necesita la instalación de una ventosa. La Figura 5.44 muestra el esquema de la solución definitiva de la red, indicando la ubicación de las cuatro VRPs que se ha considerado en la última etapa de optimización. A modo de resumen, indicamos los costes más significativos en ambas soluciones: SOLUCION SIN VRPs Coste de las tuberías de la red 84.896.870 ptas. Coste de las válvulas reductoras de presión 76.767.556 ptas. 0 ptas. 3.665.000 ptas. 33.847.750 ptas. 33.847.750 ptas. 7.709.647 ptas./año 7.709.647 ptas./año 19.075.537 ptas./año 17.987.193 ptas./año Coste del enterramiento de las tuberías Coste energético anual Coste anual (Amortización tuberías + Energía) SOLUCION CON VRPs Tabla 5.8. Resumen de costes de la red. Las cifras que se presentan dejan bien claro la conveniencia de utilizar las VRPs seleccionadas; además del control de la presión que actúa sobre las tuberías primitivas, permite utilizar tuberías nuevas con menor presión de trabajo, que configuran una solución más económica, aún incluyendo el propio coste de las VRPs. 5.134 5. Implementación de un modelo lineal ... Figura 5.44. Configuración de la solución definitiva. 5.135 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.11. CONCLUSIONES En el presente capítulo se ha expuesto el desarrollo e implementación informática de un modelo para el dimensionado económico de redes ramificadas basado en una formulación mediante PL, que se ha plasmado en un programa de cálculo denominado DIOPRAM (DImensionado OPtimo de redes RAMificadas). Una aplicación de este tipo cubre una carencia en el campo del diseño de redes de riego, dominado tradicionalmente en la práctica por los métodos de dimensionado de tipo funcional (aplicación de criterios de velocidad recomendada, o de pendiente hidráulica constante). Hasta el momento actual podemos hablar de dos grandes líneas en el desarrollo de programas aplicables al cálculo (o dimensionado) de redes hidráulicas: por un lado encontramos los trabajos desarrollados en un entorno académico, orientados fundamentalmente al estudio de los métodos de dimensionado bajo su perspectiva más teórica, y por otro, los programas elaborados por las compañías especializadas del sector, cuyo objetivo principal consiste en aliviar de trabajo al usuario en la elaboración de un proyecto, automatizando en la medida de lo posible las tareas de procesamiento, organización y presentación de la información. En la actualidad se está observando una tendencia, tan natural como en cualquier otro campo de la ingeniería, a buscar una convergencia entre ambos enfoques que permita subsanar sus respectivas carencias. El programa DIOPRAM surge precisamente bajo la intención de integrar ambos puntos de vista, proporcionando al usuario un método elaborado de dimensionado económico de la red, y las herramientas adecuadas para elaborar una solución definitiva susceptible de ser llevada a la práctica, tomando como base los resultados obtenidos del modelo lineal. En la primera parte del capítulo se ha incidido especialmente en los aspectos teóricos del problema de dimensionado económico, argumentando la elección de un modelo de Programación Lineal para tal fin. En la introducción se han comentado las ventajas de este modelo frente a otros, de entre las que destacan dos, a saber: El modelo opera directamente con diámetros de tubería disponibles en el mercado y con las variables relacionadas con tales diámetros. Más aún, el conjunto de diámetros que se utilizan en el dimensionado puede ser configurado por el usuario por medio de cualquier criterio funcional o basado en su propia experiencia. 5.136 5. Implementación de un modelo lineal ... Proporciona un marco formal que permite aseverar que la solución obtenida es la óptima, al menos bajo las hipótesis bajo las cuales ha sido formulado el problema. Esta característica resulta importante si tenemos en cuenta que la linealidad del modelo es fruto de la configuración hipotética de las líneas de la red, y no de ningún tipo de aproximación o hipótesis arbitraria. Los inconvenientes de los que adolece la formulación mediante PL se derivan precisamente de la consideración de los términos no lineales, como por ejemplo: la influencia de la presión de trabajo de las tuberías en el coste unitario de las mismas. En los casos en que la altura piezométrica en cabecera puede cambiar como resultado del proceso de optimización, la presión de trabajo de las tuberías puede verse afectada, y en consecuencia, su coste unitario. la inclusión de términos no lineales en la función objetivo, correspondientes a la inversión en elementos singulares, como por ejemplo, la estación de bombeo. el término de coste energético, si consideramos que el rendimiento del grupo elevador puede variar con la altura de bombeo. Todas las circunstancias apuntadas conducen a la necesidad de resolver una secuencia de problemas de PL en forma iterativa hasta conseguir que las hipótesis de partida del problema sean coherentes con la solución obtenida. Las dificultades en la aplicación del método surgen debido al tamaño que puede alcanzar el problema, lo cual representa unas necesidades de memoria considerables para el almacenamiento de variables, aún en el caso de redes de pequeño tamaño, y por supuesto un tiempo de cálculo importante. En la implementación del programa DIOPRAM se ha intentado reducir el tamaño del problema considerando un número limitado de diámetros candidatos por línea, hasta cuatro, como un compromiso para disponer de un conjunto de diámetros candidatos lo suficientemente amplio sin incrementar en exceso el número de variables de decisión del problema. Por otra parte, si se consideran valores habituales en los límites de velocidad de circulación (0'5÷2'0 m/s), el número de diámetros admisibles suele ser de cuatro o cinco, lo cual refuerza todavía más el criterio escogido. A los efectos de reducir el tamaño del problema, también cabe recordar la propuesta de Alperovits y Shamir [1] para plantear el problema 5.137 5. Implementación de un modelo lineal ... considerando inicialmente sólo las restricciones de presión estrictamente necesarias, y en caso de necesidad, ampliar el conjunto de restricciones; este procedimiento no ha sido incluido en el programa directamente, y queda de la mano del usuario su posible aplicación. Independientemente de la reducción del tamaño del problema que puede conseguirse mediante una formulación adecuada, se ha conseguido un aprovechamiento más eficiente de la memoria del ordenador mediante el almacenamiento compactado con direccionamiento indirecto de la matriz de coeficientes del problema, también denominado esquema de lista encadenada (Pooch y Nieder [21]), de modo que solamente se conservan los coeficientes no nulos. La utilización de este tipo de esquema está justificada por la baja densidad inicial de la matriz de coeficientes, que suele estar comprendida entre un 5÷10 %. El único inconveniente que presenta es el tiempo consumido para la localización de los coeficientes mediante rutinas específicas. La consecución de la solución óptima consta de dos etapas. La primera de ellas, que hemos dado en denominar de Predimensionado, consiste en obtener una solución cercana a la óptima mediante la intervención del método de la serie económica aplicado por series de tuberías dentro de la red. El método de la serie económica considera como variables de decisión continuas a los diámetros de las tuberías, y por ello será necesario normalizar posteriormente los diámetros. Si a esto unimos el hecho de que el método se aplica por series de tuberías y no sobre el conjunto de la red, podemos imaginar que aún considerando la intervención del objetivo económico, la solución final que proporciona el Predimensionado no es la óptima. Ello, sin embargo, no es excesivamente importante, puesto que el cometido principal de esta primera fase es obtener una solución factible inicial que permita la aplicación del algoritmo SIMPLEX directamente en la fase II, esto es, en la mejora de dicha solución, por lo que podemos decir que el Predimensionado sustituye a la fase I del algoritmo con un tiempo de cálculo menor. Adicionalmente, la solución obtenida del Predimensionado puede considerarse como definitiva en aquellos casos en los que no es posible ejecutar la fase de Optimización por problemas de insuficiencia de memoria. Hay que tener en cuenta que a pesar de sus limitaciones, el método de la serie económica proporciona resultados mucho más económicos que los que se obtendrían por aplicación de cualquier otro criterio de tipo funcional, como el de la velocidad constante o pendiente hidráulica constante. La diferencia en coste de la solución obtenida en el Predimensionado respecto de la óptima suele estar habitualmente en un 3÷10 %. 5.138 5. Implementación de un modelo lineal ... La segunda etapa para alcanzar la solución óptima, que llamamos de Optimización, consiste en la aplicación del algoritmo en su fase II, tomando como base la solución factible que proporciona el Predimensionado. La estructura del algoritmo ha sido modificada respecto de lo que sería el procedimiento tradicional de solución, que implica la diagonalización de la matriz básica por eliminación de Gauss-Jordan en cada iteración, para realizar un menor número de operaciones y en consecuencia, reducir el tiempo de cálculo. En este sentido se realiza la reducción gaussiana de la matriz básica, quedando ésta con una estructura triangular superior. La entrada de una nueva variable en la base implica la sustitución de la correspondiente columna de coeficientes en la matriz básica, destruyendo la forma triangular superior de la misma. El número de operaciones necesarias para restaurar la forma triangular superior dependería de la posición de la nueva columna, y al objeto de reducir dicho número se ha adoptado el esquema de actualización de Bartels y Golub, que consiste en introducir en la última posición la nueva columna de coeficientes, adelantando el resto de las columnas una posición, para ocupar el hueco que deja la columna de la variable saliente. De este modo se consigue una estructura de la matriz básica muy cercana a la forma triangular, puesto que solamente cuenta con algunos elementos subdiagonales, cuya eliminación es muy sencilla y rápida. La solución óptima está configurada en general por líneas con un único diámetro, aunque algunas de ellas cuentan con dos tramos de distinto diámetro. El número de líneas que cuentan con dos diámetros será, a lo sumo, igual al número de restricciones de presión mínima. La adopción de dicha solución como definitiva corresponde al criterio del usuario, puesto que pueden darse tramos de tubería de longitud impracticable, o la presencia de determinados diámetros puede ser tan escasa que aconseje su eliminación. En este sentido se ha elaborado un subprograma específico mediante el cual el usuario puede modificar a voluntad las características de las tuberías de la solución obtenida. El modelo desarrollado cuenta con características adicionales sobre el planteamiento básico, de entre las que destacan las siguientes: Los caudales circulantes pueden definirse de tres maneras: por acumulación de los consumos definidos en los nudos de la red, por aplicación del criterio probabilístico de Clèment o directamente como caudales de línea. 5.139 5. Implementación de un modelo lineal ... Se puede acometer el dimensionado de redes que cuentan con tuberías previamente instaladas. Las pérdidas de carga en las tuberías se calculan mediante la expresión de Darcy-Weisbach, y pueden ser mayoradas mediante un porcentaje que afecta globalmente a todas las líneas de la red, y también mediante la adición de una longitud ficticia en cada línea de forma individual. La presión de trabajo de las tuberías es seleccionada considerando la máxima presión hidrostática a la que estarán sometidas, pudiendo incluir criterios de seguridad de tipo global (considerando una sobrepresión uniforme en toda la red), o bien de tipo selectivo, dependiendo de las características de la conducción. El cálculo del coste energético tiene en cuenta diversos factores, como la distribución tarifaria de las horas de bombeo, el término de potencia, el recargo o descuento de energía reactiva, la posible evolución temporal de los costes energéticos, etc... El programa DIOPRAM cuenta con otras capacidades que permiten obtener resultados adicionales a partir de la solución óptima, como son: Análisis de presiones en la red dimensionada considerando la intervención de un conjunto de válvulas reductoras de presión, teniendo en cuenta asimismo el impacto económico que tiene la reducción de la presión de trabajo en las tuberías de la red. Listado de resultados exhaustivo, constituido por un listado general y varios listados complementarios (opcionales), referidos a diversos aspectos particulares de la solución. Uno de los listados complementarios proporciona una estimación de los elementos de conexión necesarios en la red, ventosas y válvulas de purga. En otro de los listados complementarios se puede obtener una estimación del movimiento de tierras y el correspondiente coste implicado en el enterramiento de las tuberías de la red, tomando como base la geometría de una zanja tipo cuyas características puede definir el usuario. 5.140 5. Implementación de un modelo lineal ... 5.12. BIBLIOGRAFIA [1] Alperovits, E. y Shamir, U. (1977), "Design of Optimal Water Distribution Systems", Water Resources Research, Vol. 13, 6 (Diciembre), pp. 885-900. [2] Bartels, R.H. y Golub, G.H. (1969), "The Simplex Method of Linear Programming Using LU Decomposition", Communication ACM, 12, pp. 266-268. [3] Beale, E.M.L. (1988), Introduction to Optimization, Ed. John Wiley & Sons, Chichester (Reino Unido). [4] Berthome, P., Bourgine, P., Ezerzer, M. y Penadille, Y. (1987) "Contribution a l'Optimisation Economique des Reseaux Arborescents de Transport de l'Eau. Dimensionnement d'un Organe Hydraulique", La Houille Blanche, Nº 3, pp. 205-214. [5] Bhave, P.R. (1979), "Selecting Pipe Sizes in Network Optimization by Linear Programming". Journal of the Hydraulics Division (ASCE), Vol. 105, HY7, pp. 1019-25. [6] Calhoun, C.A. (1970), "Optimization of Pipe Systems by Linear Programming", Proc. on Control Flow in Closed Conduits, Ed. J.P. Tullis, Colorado State Univ. Fort Collins CO (EEUU), pp. 175-192. [7] Canales-Ruiz, R. (1980),"Optimal Design of Gravity Flow W ater Conduits", Journal of the Hydraulics Division (ASCE), Vol. 106, HY9 Septiembre, pp. 1489-1502. [8] Ciarlet, P.G. (1982), Introduction à l'Analyse Numérique Matricielle et à l'Optimisation, Ed. Masson, París (Francia). [9] Clèment, R. (1966) "Calcul des Debits dans les Reseaux d'Irrigation Fonctionnant a la Demande", La Houille Blanche, Nº 5, pp. 553-575. 5.141 5. Implementación de un modelo lineal ... [10] Forrest, J.J.H. y Tomlin, J.A. (1972), "Updating Triangular Factors of the Basis to Maintain Sparsity in the Product Form of the Simplex Method", Mathematical Programming, 2, pp. 263-278. [11] Fujiwara, O. y Dey, D. (1987), "Two Adjacent Pipe Diameters at the Optimal Solution in the W ater Distribution Network Models", Water Resources Research, Vol. 23, 8 (Agosto), pp. 1457-1460. [12] Garton, J.E. (1960) "Design of Irrigation Pipe Lines for Minimum A nnual Cost", Transactions of the ASAE (American Society of Agricultural Eng.), Vol. 3, 1, pp. 29-32. [13] Granados, A (1990), Infraestructura de Regadíos. Redes Colectivas de Riego por Aspersión (2ª ed.), E.T.S.I.C.C.P., Madrid. [14] Hillier y Lieberman (1990), Introduction to Operations Research (5ª ed.), McGraw-Hill, [15] Karmeli, D., Gadish, Y. y Meyers, S. (1968), "Design of Optimal Water Distribution Networks", Journal of the Pipeline Division (ASCE), Vol. 94, PL1, pp. 1-10. [16] Labye, Y. (1966), "Etude des Procédés de Calcul Ayant Pour But de Rendre Minimal le Cout d'un Reseau de Distribution d'Eau Sous Presion", La Houille Blanche, Nº 5 (Mayo), pp. 577-583. [17] Martínez, F. (1982) Desarrollo de un Modelo Matemático para el Análisis de Redes Hidráulicas por Miniordenador con Posibilidades de Explotación en el Campo de la Gestión y Control, Tesis para la obtención del grado de Doctor Ingeniero Industrial, Universidad Politécnica de Valencia. [18] Martínez, F., Sanz, F., García-Serra, J., Cerrillo, J.L. (1987), "Dimensionado Óptimo de Redes Ramificadas de Distribución de A gua por Programación Lineal", Tecnología del Agua, Nº 40, pp. 73-90. 5.142 5. Implementación de un modelo lineal ... [19] Nazareth, J.L. (1986), "Implementation A ids for Optimization A lgorithms that Solve Sequences of Linear Programs", ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 12, 4 (Diciembre), pp. 307-323. [20] Pleban, S. y Amir, I. (1981), "A n Interactive Computerized A id for the Design of Branching Irrigation Networks", Transactions of the ASAE (American Society of Agricultural Eng.), Vol. 24, 2, pp. 358-361. [21] Pooch, U.W. y Nieder, A. (1973) "A Survey of Indexing Techniques for Sparse Matrix", Computing Surveys, Vol. 5, 2, Junio, pp. 109-133. [22] Robinson, R.B. y Austin, T.A. (1976), "Cost Optimization of rural water systems", Journal of the Hydraulics Division (ASCE), Vol. 102, HY8, pp. 1119-34. [23] Tomlin, J.A. (1972), "Pivoting for Size and Sparsity in Linear Programming Inversion Routines", del libro Sparse Matrices and Their Applications, ed. Rose, D.J. y Willoughby, R.A., Plenum Press, Nueva York (EEUU). [24] U.D. Mecánica de Fluidos (1989), Programa DIOPRAM v. 1.0 (DIseño OPtimo de Redes rAMificadas). Manual de usuario. Universidad Politécnica de Valencia. [25] U.D. Mecánica de Fluidos (1992), Programa DIOPRAM v. 2.0 (DIseño OPtimo de Redes rAMificadas). Manual de usuario. Universidad Politécnica de Valencia. 5.143