Para poder graficar las líneas de campo procedimos a calcular las

62.03 Física II A
Trabajo Práctico Nº 2
“Líneas de Campo Eléctrico”
Integrantes del grupo:
De Antoni, Matías
Brusco, Gonzalo Javier
Real, Nicolás Eduardo
Ribotta, Mariano
88506
88597
88676
86052
FIUBA- 2do cuatrimestre 2007
Objetivos
La experiencia en el laboratorio tiene por objetivo determinar el vector campo eléctrico
debido a la aplicación de una diferencia de potencial entre dos zonas del espacio
(electrodos). La experiencia consistió en medir diferencias de potencial y armar una
matriz de datos con la cual luego se marcaron los diferentes valores de diferencia de
potencial (franjas coloreadas), algunas líneas equipotenciales y otras de campo (modulo
y dirección). Una vez realizada la etapa experimental, se procedió a comparar dichos
resultados con los obtenidos a partir de la resolución analítica de un “dipolo” formado
por dos cargas puntuales y otro formado por dos distribuciones lineales y uniformes de
carga.
Resumen Teórico
El concepto de campo eléctrico surge ante la necesidad de explicar la forma de
interacción entre cargas en ausencia de contacto físico. La acción a distancia se explica
mediante efectos provocados por la entidad o entidades (léase “cargas”) causantes de la
interacción sobre el espacio mismo que las rodea, permitiendo asignar a cada punto de
dicho espacio un vector de campo eléctrico (modulo y dirección), y en consecuencia, un
vector fuerza eléctrica ( E (r )  Fq0 (r ) / q0 , siendo Fq0 (r ) la fuerza eléctrica aplicada
sobre la carga puntual q0 en r que es un punto genérico del espacio en estudio).
Además, por conocimientos previos de Análisis II, sabemos que como E (r ) es un
campo conservativo, existirá una función potencial V tal que E  V , es decir que
rb
V (rb )  V (ra )    Edl .
ra
Aquí es cuando aparecen las definiciones que nos conciernen en este trabajo practico:
líneas de campo y equipotenciales. Las líneas de campo se definen como curvas que en
todo punto del espacio son tangentes al campo eléctrico E y nos permiten predecir
como será el comportamiento de una carga en cualquier punto del espacio estudiado.
También vale aclarar que una carga situada en el espacio no se va a mover siguiendo las
líneas de campo. La finalidad de las mismas es ilustrar la dirección e intensidad del
campo en cada punto independientemente del tiempo y no la influencia del campo sobre
una carga a través del tiempo. También se suele representar la intensidad del campo
variando la cantidad de líneas de campo de forma proporcional a esta.
Las superficies equipotenciales se definen como superficies en el espacio a lo largo de
las cuales la diferencia de potencial eléctrico con respecto a una referencia determinada
se mantiene constante. Finalmente, solo queda decir que las líneas de campo y las
superficies equipotenciales son ortogonales entre sí debido a lo ya mencionado
( E  V ) y el sentido del campo será contrario al de mayor crecimiento de la función
potencial V la cual tendrá una referencia fija en el espacio.
Desarrollo
La experiencia consistió en llenar una cuba con hasta aproximadamente 2cm de agua y
luego colocar dos electrodos en contacto con el agua en los extremos de la cuba. Dichos
electrodos estaban conectados a una fuente de alimentación la cual generaba una
diferencia de potencial entre ambos electrodos de 12V.
Una vez terminado todo el conexionado procedimos a medir cada dos centímetros el
valor del potencial (utilizando un voltímetro) con respecto al borne negro de la fuente
(0V) utilizando una hoja milimetrada de guía. A su vez, mientras tomábamos las
mediciones todos estos valores obtenidos eran anotados en otra hoja milimetrada
conformando una matriz de datos con la que luego procedimos a realizar los otros ítems
del trabajo práctico.
Cálculos experimentales
Para poder graficar las líneas de campo procedimos a calcular las derivadas parciales de
la función potencial como aconseja la guía de trabajos prácticos. Es decir,
Ex
xi
 V V 
   i 1 i 1 
 2d 
Ey
yi
 V V 
   i 1 i 1 
 2d 
Excepto por los casos en los la diferencia de potencial fue medida en los extremos de la
cuba. En nuestro caso, el único punto ubicado en un extremo de la cuba es el p8 . Para
dicho punto utilizamos la siguiente ecuación (también brindada por la guía de trabajos
prácticos):
Ex
xi

3Vi  4Vi 1  Vi 2
2d
Finalmente, estos fueron los resultados obtenidos:
p1  9cmiˆ  5cmjˆ
Ex
p1
p2  11cmiˆ  7cmjˆ
Ex
p2
p3  15cmiˆ 11cmjˆ
Ex
p3
p4  19cmiˆ 15cmjˆ
Ex
p4
p5  21cmiˆ  11cmjˆ
p6  21cmiˆ  5cmjˆ
p7  11cmiˆ  13cmjˆ
p8  27cmiˆ 13cmjˆ
p9  15cmiˆ  5cmjˆ
Ex
 32.5V
m
 27.5V
 27.5V
 35V
 20 V
m
m
m
m
Ex p  17.5V
m
6
Ex p  22.5V
m
7
Ex p  5V
m
8
V
Ex p  25
m
9
p5
Ey
 25V
m
Ey  22.5V
p2
m
Ey  20V
p3
m
E y  17.5V
p4
m
Ey  27.5V
p5
m
E y  17.5V
p6
m
Ey  20V
p7
m
E y  32.5V
p8
m
V
E y  15
p9
m
p1
p10  5cmiˆ  7cmjˆ
 10V
E y  30V
p10
m
m
Al final del trabajo practico se adjunta el grafico que obtuvimos a partir de la matriz de
datos con las franjas de potencial coloreadas cada un 1V (excepto en las cercanías de los
electrodos por la dificultad de identificar los valores con certeza en dichas zonas de la
cuba) y las líneas de campo pedidas.
También vale aclarar que optamos por transcribir la matriz de datos (hoja milimetrada)
a un programa de dibujo (AutoCAD) para facilitar la tarea de colorear las diferentes
zonas de potencial y dibujar las líneas de campo con más precisión. Es por eso que el
grafico resultante es un grafico impreso en vez de una hoja milimetrada coloreada. De
todas formas, se adjunta la hoja milimetrada para asegurar la veracidad de los datos
utilizados.
Por ultimo, quisiéramos aclarar dos anomalías que aparecieron durante la realización del
trabajo práctico. En primer lugar, por un probable error durante las mediciones, ya sea
por las oscilaciones del agua o un corrimiento de alguno de los electrodos, al “buscar”
con el voltímetro la línea equipotencial correspondiente a 8V la misma nos dio con un
corrimiento hacia la izquierda de la hoja milimetrada con respecto a lo que habíamos
medido anteriormente punto a punto (cada 2cm). De todas formas decidimos
conservarla en el grafico final puesto a que, a pesar del error mencionado, no modifica
ni contradice la idea general de la experiencia. Y en segundo lugar, al imprimir el
gráfico, por razones que desconocemos (el gráfico en la PC se ve correcto), al imprimir
el archivo en una imprenta aparecieron pequeños espacios sin colorear. Dichos espacios
sin colorear, los cuales son ínfimos, no representan nada en particular y no fueron
puestos ahí concientemente. Son simplemente un error de impresión del AutoCAD.
Ex
p10
Preguntas
1. ¿Las líneas de campo se pueden cortar entre sí? ¿Por qué?
La respuesta es no. Las líneas de campo son siempre dibujadas de moto tal que la
dirección de su tangente en un punto sea la misma que la del campo en ese mismo
punto. Es decir que si dos líneas de campo se cruzaran en algún punto, en dicho lugar el
campo electroestático tendría dos direcciones posibles y esto no puede ocurrir nunca
porque el campo electroestático se define para todas las distribuciones de carga en el
espacio estudiado.
2. En el segundo método, ¿Cuántos puntos son necesarios y/o adecuados para
determinarlos?
Por conocimientos previos, podemos predecir que las superficies equipotenciales en esta
distribución de cargas van a comportarse como elipses (en el plano de la cuba) aunque
más precisamente podríamos decir, como “tramos de elipses” debido a que los
electrodos están ubicados en las esquinas de la cuba. Es por esto que para poder definir
las líneas equipotenciales en la cuba tomamos tan solo 6 mediciones (por línea
equipotencial) las cuales consideramos suficientes para reconstruir el esperado “tramo
de elipse” equipotencial.
3. ¿Por qué no se puede establecer a priori el número de puntos que se deben medir?
El número de puntos que se deben medir no se puede establecer a priori debido a que a
pesar de tener una idea previa de cómo debería comportarse el campo, no sabemos con
certeza como lo hará. Es por esto que lo mas recomendable es tomar la mayor cantidad
de mediciones para que la reconstrucción del mismo sea lo mas fiable posible.
4. ¿Por qué se usa agua en esta experiencia? ¿Se podría medir la diferencia de
potencial en el aire? ¿Sería mejor o peor usar agua destilada?
En la experiencia se utiliza agua debido a la naturaleza del equipo de medición
utilizado, es decir, el voltímetro. Este dispositivo es capaz de medir una diferencia de
potencial entre dos puntos pero solo cuando una corriente mínima circula a través del
mismo. Es por esto que no podemos medir una diferencia de potencial en el aire, porque
la resistencia del mismo es muy alta y el circuito quedaría abierto, resultando en una
circulación de corriente nula.
En la experiencia este requisito impuesto por el instrumento se satisfizo al utilizar agua
debido a que la misma es conductora y, por lo tanto, permite la circulación de corriente
a través del instrumento.
Por ultimo, hubiera sido peor utilizar agua destilada debido a que en primer lugar, lo
que hacia que el agua de grifo fuera conductora eran las sales disueltas en ella. Es decir
que si utilizamos agua destilada, la cual carece de dichas sales, estaríamos utilizando
una sustancia no conductora y el comportamiento del circuito seria similar a que si
directamente no utilizáramos nada (aire).
5. Vieron que las distribuciones de carga crean campos eléctricos. ¿Qué es lo que
produce el campo eléctrico que se quiere determinar en este caso?
Lo que produce el campo eléctrico en este caso es la diferencia de potencial generada
por la fuente entre los dos electrodos. La fuente, al igual que las “pilas”, se encarga de
redistribuir las cargas generando dicho potencial y a su vez, el campo eléctrico.
6. El modelo más simple y útil para describir una corriente es que son cargas en
movimiento. En la experiencia, el voltímetro mide una corriente. ¿Se puede hablar,
entonces, de campo electrostático?
Estrictamente hablando, no. Esto se debe a que en la cuba hay una circulación de
corriente constante, es decir, movimiento de cargas. De todas formas, como este
movimiento de cargas (y la distribución del mismo) va a ser idéntico a lo largo del
tiempo (ignorando las oscilaciones del agua) podemos pensarlo como si se tratara de un
campo electroestático.
Problemas:
Problema 1: Se tiene un dipolo formado por dos cargas puntuales con |q| =0,1 nCb y
separados 30cm. Hacer un esquema de las líneas equipotenciales en la región
comprendida entre las cargas (se recomienda hacer 5), indicando los valores de
potencial en cada una de ellas. También dibujar líneas de campo eléctrico indicando el
criterio usado para dibujarlas. Indicar orden de magnitud del campo eléctrico. ¡Cuidado
con las unidades!
Lo que se busca hacer a continuación es encontrar una relación entre las
posiciones finales e iniciales de la carga de prueba, y las posiciones de las cargas q.
r1  Vector posición carga q, r2 Vector posición carga –q, rf  Vector posición
final carga de prueba, ri  Vector posición inicial carga de prueba.
Para un caso de una carga de prueba q’ (se prima el nombre de la carga de
prueba para evitar confusiones con los nombres de las otras cargas), con influencia
eléctrica de una carga Q, tenemos que la diferencia de potencial electrostático, entre 2
puntos A, B esta dada por
VB  V A 
Q
1
1
[
 
]
4 0 r B  r1 r A  r1
Luego podemos aplicar el principio de superposición,
Vrf  Vri 
q
4 0
[(
1
1
1
1
)]

)(

rf  r1 ri  r1
rf  r 2 ri  r 2
Como V esta definido como una diferencia de una magnitud entre 2 puntos
tomaremos como ri un punto que tiende al infinito y definimos V( r )  0 .
Entonces:
V rf  0 
V rf 
Q
1
1
1
1
[(   
 )(   

4 0 r f  r 1   r 1
rf  r 2   r 2
Q
1
1
(     )
4 0 r f  r 1 r f  r 2
Luego para esta función debemos buscar los rf tal que V sea una constante y así
obtendremos condiciones sobre el vector posición y podremos dibujar las líneas
equipotenciales.
Para el campo eléctrico E tenemos que para una partícula:
E (r ) 
Q (r  r q )
4 0 r  r q 3
Aplicando el principio de superposición tenemos para 2 partículas cargadas:
E (r ) 
E (r ) 
Q (r  r1 )
4 0 r  r1
Q
[
3

(r  r1 )
4 0 r  r1
3
Q (r  r 2 )
4 0 r  r 2 3

(r  r 2 )
r  r2
3
]
Respecto a las unidades:
V
Newton . Metro
W  Joule



 Volt 
Q  Coulom b
Coulom b

Newton . Metro

Coulom b
Coulom b
1
.[
]
2
Metro
Coulom b
Newton . Metro 2
Newton . Metro
Coulom b2
.
Coulom b
Newton . Metro 2
1

Coulom b
Metro
1
1

Metro Metro
Por ultimo, el grafico pedido lo adjuntamos al final del trabajo práctico.
Problema 2: En la cuba, ¿cómo debe ser el vector campo eléctrico respecto de las líneas
equipotenciales? ¿Cuánto vale el trabajo necesario para llevar un ión (cuasi
estáticamente y debido sólo a fenómenos eléctricos) de Cl- o de Na+ de un electrodo a
otro? (carga de un electrón=1,602177. 10 19 C, separación entre los electrodos=30cm).
Considerar que la diferencia de potencial entre los electrodos es de 12V.
El campo eléctrico debe ser ortogonal a las líneas equipotenciales. Esto es por
definición puesto que E  V . El signo (–) indica que el vector V apunta en la
dirección de mayor decrecimiento de E.
Para calcular el trabajo necesario para llevar un ión de un electrodo a otro
primero considero este ión como una partícula cargada a causa de un déficit o ganancia
de 1 electrón cuya carga es la indicada (carga de un electrón= 1,602177.10 19 C).
Luego trabajo con la definición de potencial eléctrico:
VB  V A 
W AB
 (12v  0v).1,602177.1
0 -19 C  WAB  1.92.1018 J
q0
En caso de que la carga sea un anión el trabajo será WAB  1.92.1018 J
Simulación con QuickField®
Para simular la experiencia utilizando el programa QuickField® lo primero que
definimos fue un recinto de las dimensiones de la cuba utilizada cuyos contornos tienen
una densidad de carga nula. Luego definimos los dos electrodos como una sucesión de
líneas y a uno le asignamos un potencial de 0V y al otro 12V.
Como resultado de dicho problema electroestático, el QuickField® nos entrego el
siguiente resultado:
En dicho grafico se puede ver un mapa de colores de la distribución de potencial en la
cuba con su respectiva leyenda a la derecha. Además, se observan algunos vectores
correspondientes al campo E en dichos puntos.
Por ultimo, para luego poder comparar con los valores hallados experimentalmente
utilizamos el programa para calcular el campo electroestático y la diferencia de
potencial (con respecto al electrodo de referencia) en cinco puntos genéricos de la cuba.
Por una cuestión de simplicidad y organización optamos por poner en exposición los
valores obtenidos en el apartado de conclusiones para no tener exponer dos veces lo
mismo.
Conclusión
Antes de comenzar consideramos útil armar una tabla de valores (experimentales y
analíticos) para luego poder hacer referencia a ellos mas fácilmente.
Coordenadas
9cmiˆ  5cmjˆ
19cmiˆ  15cmjˆ
11cmiˆ  13cmjˆ
15cmiˆ  5cmjˆ
Experimental
U  9.5V
Analítico (QuickField)
U  9.5V
Ex  32.5V m
Ey  25V m
Ex  49.4 V m
Ey  35.776 V m
E  41V m
E  60.995V m
U  4.2V
Ex  35V m
Ey  17.5V m
E  39.13V m
E  52.12V m
U  7V
Ex  22.5V m
Ey  20V m
U  6.78V
Ex  29.87 V m
Ey  16.66 V m
E  30.1V m
E  34.21V m
U  7.5V
Ex  25V m
Ey  15V m
E  29.15V m
21cmiˆ  5cmjˆ
U  3.43V
Ex  46.5V m
Ey  23.5V m
U  6.1V
Ex  17.5V m
Ey  17.5V m
E  24.74V m
U  6.87V
Ex  38.1V m
Ey  14.11V m
E  40.63V m
U  4.96V
Ex  25.2 V m
Ey  12.93V m
E  28.3V m
Como se puede apreciar, para realizar la tabla tomamos 5 puntos arbitrarios con los que
ahora basaremos nuestra comparación final.
Primeramente es inevitable notar que si bien los gráficos son comparables
cualitativamente, resulta difícil comparar los resultados cuantitativamente. Es decir que,
si bien el grafico experimental y el analítico son bastante similares, no se llego al mismo
resultado con las cuentas. Esto se puede deber a tantas cosas que resulta casi imposible
nombrarlas todas. Por empezar al calcular el campo eléctrico experimentalmente
tuvimos que aproximar los valores de las derivadas de la función potencial debido a que
no disponemos de la misma. Otro posible problema puede ser que al medir usando agua,
dicha medición estaba sujeta a las constantes oscilaciones de la misma. Podríamos
seguir mencionando posibles causas indefinidamente pero no seria práctico a los fines
de este trabajo.
Primeramente como se puede observar, los valores de diferencia de potencial son
comparables pero sin embargo, a medida que nos acercamos al electrodo referencia
(0V) los valores difieren más. En cambio, en el caso del campo, es difícil llegar a una
conclusión específica debido a que nos cuesta reconocer el patrón al que responde. Es
decir, en ciertos puntos los resultados son comparables, pero en otros puntos no. Es por
esto que decimos que los valores de potencial si se pueden considerar comparables pero
en cambio, los de campo no. Dicha anomalía se la atribuimos a que en el laboratorio
tomamos valores de potencial solo cada 2cm para luego calcular el campo eléctrico y,
en cambio, el Quickfield para calcular el campo utiliza métodos mas precisos (podría
ser por definición, o simplemente aproximando igual que lo hicimos nosotros pero
utilizando una infinidad de puntos).
Sin embargo al ver los gráficos, ignorando la diferencia entre valores obtenidos,
podemos apreciar las similitudes en la distribución de campo. Es decir que, a pesar de
que cuantitativamente las diferencias que obtuvimos no fueron óptimas, el planteo
general de la experiencia es correcto y los errores obtenidos se deben a problemas de
precisión y no de concepto. En la parte experimental pudimos comprobar que las líneas
de campo son siempre ortogonales a las equipotenciales y que siempre se dirigen en la
dirección de mayor decrecimiento de la diferencia potencial.
Por último, podemos afirmar con certeza que si se pudiera realizar la misma experiencia
pero utilizando algún otro método de medición mas preciso y midiendo una mayor
(bastante mayor) cantidad de puntos llegaríamos a resultados comparables con los
analíticos tanto cualitativamente como cuantitativamente.