Determinación de estructuras cristalinas mediante difracción de Rayos X Para que la difracción de Rayos X sea observable, la longitud de onda de la radiación debe ser menor o del orden de las distancias interatómicas del cristal E = hν ~12.5 KeV (con d~1Å) Básicamente, el fenómeno de la difracción de rayos X (y también la de electrones y otros) se explica mediante dos formulaciones equivalentes: La formulación de Bragg y la formulación de Laue (Von Laue). La formulación de Bragg En la formulación de Bragg se supone que los diferentes planos p a os ccristalinos sta os reflejan e eja especularmente especu a e te la a o onda da electromagnética. Esquema de la reflexión en planos cristalinos. Cuando la diferencia de camino óptico es múltiplo de se observará un máximo en la dirección que forma un ángulo 2 θ respecto del haz incidente. La condición para interferencia constructiva es: 2d·sen θ=n λ La formulación de Bragg Hay múltiples planos para cada estructura … y otros planos posibles, entre muchos más, para el mismo cristal … varias direcciones hacia donde pueden producirse máximos de interferencia Formulación de Von Laue Aparece como una alternativa menos geométrica (con más asidero físico) físico). Supone que los puntos de la red, (o átomos) cuando son “iluminados” con Rayos X, pueden reemitir. gg es q que no se la diferencia esencial con Bragg explica el fenómeno como reflexión especular en los planos cristalinos. cristalinos Sin embargo, ambas formulaciones son equivalentes. i l t El análisis es más simple con la formulación de Laue. Formulación de Von Laue En este E t caso, cada d punto t que recibe la radiación, la reemite, conservando la longitud de onda de la misma. La condición para que q exista interferencia constructiva se obtiene de la figura como: d cosθ + d 'cos θ´ = nλ lo que también puede ser escrito como k = 2π 2π λ' d → R ∈ RB . ∴ R .Δ k = 2 π m ⇒ e R . Δ k = 1 a c o r a p c i o r c p i ee c RR d ee d RR a a ee ss oo Δk ∈ Δk i a r a p e l a v o t s e o r e P λ k' = Formulación de Von Laue En términos del vector de onda incidente. K = k − k ' → k = k ' =| k − K | k2 + K 2 − 2 k .K = k 2 ^ 1 K = K .k 2 O sea la punta de k tiene sobre un plano de Bragg (aquel que biseca un vector de la RR). Equivalencia Bragg –Von Laue K es perpendicular a un plano de la red y K=k-k’ Pero K es un múltiplo p entero de un vector K0 / | K0 |=2π/d, K=2πn/d Plano cristalino k = 2π λ ! ! g g a r B 2π n 2 k sin θ = d 2 d sin θ = n λ La construcción de Ewald Esta construcción representa la condición para que en una dirección determinada k’ exista interferencia constructiva. Pongo el vector de onda incidente en el origen de la RR. Co Construyo s uyo u una a es esfera e a co con centro en la punta de k Si la esfera corta un punto de la RR señala un di dirección ió k’ donde d d h habrá bá difracción permitida. Método de Laue Monocristal fijo Radiación policromática (λ 0 <λ< λ1) Se ven los puntos de la RR que están entre dos esferas de radios 2π λ0 y k0 = k1 = 2π λ1 Se usa p para orientar cristales porque refleja las simetrías alrededor del eje de incidencia. Método del cristal rotante Monocristal rotante Radiación monocromática λ 0 Se ven máximos en las direcciones donde la rotación de los puntos de la red reciproca cortan t a la l esfera f de d Ewald E ld Método de polvos o de DebyeDebye-Sherrer Policristal o polvo Radiación monocromática λ 0 El polvo está formado de muchos cristales rotados unos respecto de otros. Es como si la RR generaría una esfera. Los máximos se dan sobre el cono de intersección de los puntos rotados de la RR y la esfera de Ewald. Se generan anillos. El ángulo entre la dirección incidente y la que produce el máximo está dado por: p Redes con bases. Factor geométrico de estructura Los átomos del motivo están sobre planos paralelos a los de la RB Si hubiera un sólo átomo en el motivo la onda difracta en la dirección permitida se escribiría Ψ0 = Ae i ( k '.r − ωt ) Cada uno de esos planos genera una onda plana paralela a la anterior anterior, desfasada en δi = G.d i de modo que la onda total se escribe: Ψ = Ψ0 ∑ e j i ( G.d j − ωt ) Redes con bases. Factor geométrico de estructura S (G ) = ∑e i G .d j j se llama factor de estructura geométrico y su modulo al cuadrado d d da d la l constribución ib ió del d l motivo i a la l intensidad i id d del d l pico i de Bragg en G. Ejemplo: bcc como c.s. con motivo Ejemplo: bcc como c.s. con motivo Esto convierte la red cs de constante 2π/a en una fcc de constante 4π/a. 4π/a Regla de extinción bcc r a p m i n1 + n2 + n3 d a d i r a p a t n i t s i d Mostrar que la regla de extinción fcc es n1 , n2 , n3 Ejemplo: Estructura del diamante Ejemplo: Estructura del diamante Si hubiera trabajado sobre el sistema de ejes cúbicos. La regla de extinción sería: d a d i r a p a t n i t s e i d d s á m e d a n1 + n2 + n3 = r a p n u e d e l b o d n1 , n2 , n3