Tema 7. El capital

José L. Zofío
Organización Industrial II
Licenciatura: Economía
(2º semestre) Código 15710
1
Parte III: Los Mercados de Factores
„
Tema 7. El Capital
„
7.1 La teoría del capital: demanda y oferta
„
7.2 Asignación óptima de los recursos a lo largo del tiempo
2
7.1. La Teoría del Capital
7.1.1. Capital y Tasa de Rendimiento
• El stock de capital de una economía es la suma total de maquinaria,
edificios, y otros recursos reproducibles que existen en un determinado
momento de tiempo
• Estos activos representan una parte de la producción anterior que no fue
consumida, sino que fue dejada de lado para producciones futuras
• “Sacrificio” actual a cambio de ganancias futuras
• Supongamos que la sociedad consume inicialmente c0.
• En el momento t1 se decide retener parte de la producción (una cantidad
s) del consumo actual durante un período
• A partir del período t2 este consumo retenido se pone a producir consumo
futuro
3
7.1. La Teoría del Capital
Tasa de rendimiento:
• La tasa de rendimiento de un período (r1) de una inversión es el
consumo adicional obtenido en el período dos respecto al consumo
renunciado en el período uno:
r1 =
x −s x
= −1
s
s
• La tasa de rendimiento perenne o continuo (r∝) de una inversión es el
incremento permanente del consumo futuro expresado como proporción
del consumo inicial retenido. Es decir:
r∞ =
y
s
4
7.1. La Teoría del Capital
1. En el período t1, se decide retener una cantidad s del
consumo actual
Consumo
2. Esa cantidad s se utiliza para producir
adicionalmente en el período t2
3. La producción en t2 se incrementa
en la cuantía x
x
c0
4. El consumo retorna a su
nivel de equilibrio a largo plazo
(c0) en el período t3
s
Tiempo
t1
t2
t3
5
7.1. La Teoría del Capital
1. En el período t1, se decide retener una cantidad s del
consumo actual durante un período
Consumo
2. Esa cantidad s se utiliza para producir
adicionalmente en los períodos futuros
3. Ahora el consumo se
incrementa hasta c0 + y en
todos los períodos futuros
y
c0
s
Tiempo
t1
t2
t3
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7.1. La Teoría del Capital
• Cuando los economistas hablan de tasa de rendimiento de la acumulación
de capital se refieren a algo intermedio entre estos dos extremos
• Hablaremos de la tasa de rendimiento como una medida de la
relación a la que se puede convertir el consumo actual en consumo
futuro
• ¿Cómo se determina la tasa de rendimiento de una economía?
• A través de la oferta y demanda en el mercado de bienes “futuros”,
que pasaremos a analizar a continuación
7
7.1. La Teoría del Capital
7.1.2. Tasa de Rendimiento y Precio de los Bienes
Futuros:
• Supongamos que sólo hay dos períodos a analizar: el actual (t0) y el
siguiente (t1) y que la tasa de rendimiento entre dos períodos (r) se define
como:
r =
Δc 0
1
=
Δc1 1 + r
Δc1
−1
Δc0
• El precio relativo de los bienes futuros (p1) es la cantidad de bienes
actuales a los que se debe renunciar para aumentar el consumo futuro en
una unidad. Es decir:
p1 =
Δc0
1
=
Δc1 1 + r
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7.1. La Teoría del Capital
Demanda de bienes futuros:
• Se trata de una aplicación más del modelo de maximización de la utilidad
• En este caso, la utilidad del individuo depende del consumo actual y
futuro:
U = U(c0,c1)
• Y el individuo debe decidir qué parte de su riqueza actual (w) quiere
asignar a cada uno de estos dos bienes
• La riqueza que no se gasta en consumo actual se puede invertir a una tasa de
rendimiento r para obtener consumo en el próximo período (luego p1 refleja el
coste actual del consumo futuro)
• La restricción presupuestaria viene dada por
w = c0 + p1c1 = c0 + c1/(1+r)
9
7.1. La Teoría del Capital
Maximización de la utilidad:
c1
w = c0 + p1c1
El individuo maximizará su utilidad eligiendo
consumir c0* actualmente y c1* en el siguiente
período
w/p1
c1*
•
Consume actualmente c0* y decide ahorrar w - c0*
para consumirlo en el próximo período
Este consumo futuro será:
U1
c1* = (w - c0*)/p1
U0
c0*
w
p 1c 1 * = w - c 0 *
c0
= (w - c0*)(1 + r)
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7.1. La Teoría del Capital
Ejemplo 23.1: Impaciencia intertemporal
•
Las elecciones de maximización de la utilidad de los individuos en el tiempo
dependerán de lo que piensan sobre las ventajas relativas de consumir ahora o
esperar al futuro
•
Supongamos que la función de utilidad de un individuo por consumir U(c) es la
misma en ambos períodos pero la utilidad del período 1 se descuenta a una
tasa de preferencia temporal de 1/(1 + δ) (donde δ > 0)
•
Si la función de utilidad es separable:
U (c0 , c1 ) = U (c0 ) +
•
1
U (c1 )
1+ δ
La maximización de esta función sujeta a la restricción presupuestaria
intertemporal ofrece la siguiente expresión lagrangiana:
c ⎤
⎡
L = U (c0 , c1 ) + λ ⎢w − c0 − 1 ⎥
1+ r ⎦
⎣
11
7.1. La Teoría del Capital
Ejemplo 23.1: Impaciencia intertemporal (cont.)
•
Y las C.P.O. para un máximo son:
∂L
= U ' (c 0 ) − λ = 0
∂c0
λ
∂L
1
=
U ' (c1 ) −
=0
∂c1 1 + δ
1+ r
∂L
c
= w − c0 − 1 = 0
∂λ
1+ r
•
Dividiendo la primera y segunda ecuación y reorganizando términos:
U ' (c 0 ) =
•
1+ r
U ' (c1 )
1+ δ
Se puede concluir que:
– si r = δ, c0 = c1
– si r < δ, c0 > c1
– si r > δ, c0 < c1
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7.1. La Teoría del Capital
Efectos de variaciones de r:
•
Cuando r aumenta (p1 disminuye), el efecto renta y el efecto
sustitución harán que se demande más c1 (excepto en el improbable
caso de que sea un bien inferior)
•
•
Esto implica que la curva de demanda de c1 tendrá pendiente
negativa
Sin embargo, no se puede hacer una afirmación inequívoca sobre el
signo de ∂c0/∂p1 porque los efectos sustitución y renta se mueven en
sentido opuesto
Una disminución de p1 hará que el individuo sustituya c1 por c0, pero
elevará el valor real de la riqueza, aumentando tanto c0 como c1
•
•
Luego no se puede predecir cómo afectan las variaciones de la tasa de
rendimiento a la acumulación de riqueza en el período actual (ahorro)
13
7.1. La Teoría del Capital
Oferta de bienes futuros:
Un incremento en el precio relativo de los bienes futuros (p1)
probablemente inducirá a las empresas a producir más de estos bienes,
porque el rendimiento de esta producción será mayor ahora
•
•
•
Esto significa que la curva de oferta de bienes futuros tendrá
pendiente positiva
Reflejando los costes marginales crecientes (o los rendimientos
decrecientes) que experimentan las empresas cuando intentan
convertir bienes actuales en bienes futuros gracias a la acumulación de
capital
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7.1. La Teoría del Capital
Precio de equilibrio de los bienes futuros:
El equilibrio se da a un precio de p1* y
un consumo de c1*
p1
S
En este punto se encuentran en
equilibrio las ofertas y demandas de los
individuos de bienes futuros y se pondrá
la cantidad necesaria de bienes actuales
en acumulación de capital para producir
c1* en el futuro
p1*
D
c1
c1*
Esperamos que p1 < 1 porque los
individuos necesitan alguna
compensación por esperar y la
acumulación de capital es
“productiva” ya que sacrificar un bien
hoy producirá más de un bien en el
futuro
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7.1. La Teoría del Capital
Tasa de rendimiento de equilibrio y tipos de interés:
• El precio de los bienes futuros se define como:
p1* = 1/(1+r)
• Como hemos asumido que p1* debe ser menor que uno, la tasa de
rendimiento (r) será positiva
• p1* y r son formas equivalentes de medir la relación a la que se
pueden convertir bienes actuales en bienes futuros
• Tanto la tasa de rendimiento como el tipo de interés real se refieren al
rendimiento real que se puede lograr gracias a la acumulación de capital
• Se debe diferenciar del tipo de interés nominal que se puede encontrar en
los mercados financieros
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7.1. La Teoría del Capital
•
El tipo de interés nominal (R) viene dado por:
donde
•
p e
1 + R = (1 + r )(1 + p e )
refleja el crecimiento del nivel general de precios.
La ampliación de la ecuación anterior permite obtener
•
•
1 + R = 1 + r + pe + r pe
•
Y suponiendo que el último término es pequeño, tenemos la
aproximación más sencilla
•
R = r + pe
17
7.1. La Teoría del Capital
7.1.3. La demanda de capital de la empresa
•
En un mercado perfectamente competitivo, una empresa elegirá
contratar aquel número de máquinas para el que el valor del producto
marginal sea igual al alquiler de la maquinaria en el mercado
Los determinantes del precio de alquiler del mercado:
•
Considérese el caso de una empresa que alquila maquinaria a otras
empresas
•
El propietario de la maquina tiene que asumir dos tipos de costes:
•
La depreciación de la maquina
• Es un porcentaje constante (d) del precio de la maquina
•
El coste de oportunidad de tener sus fondos invertidos en una maquina en
vez de en una inversión que ofrece la tasa de rendimiento disponible en la
actualidad
• Viene dado por el tipo de interés real (r)
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7.1. La Teoría del Capital
• Los costes totales para el propietario de la maquina en un período vienen
dados por la expresión
pd + pr = p(r + d)
• Si asumimos que el mercado de alquiler de maquinas es perfectamente
competitivo, dicho alquiler no puede ofrecer beneficios a largo plazo
• El alquiler de la maquina por período (v) será exactamente igual a los
costes en los que incurre el propietario de la maquina:
v = p(r + d)
• Es la suma de los intereses perdidos y los costes por depreciación en los que
debe incurrir el propietario de la maquina
• Si la maquina no se deprecia (d = 0), entonces v/p = r
• En equilibrio, una máquina con una larga indefinida (que no se deprecia) es
equivalente a un bono perpetuo y debe rendir la tasa de rendimiento del
mercado
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7.1. La Teoría del Capital
Propiedad de las máquinas:
•
Hasta ahora hemos supuesto que las empresas alquilan todas las maquinas que
usan, pero lo más frecuente es que las empresas sean propietarias de las
maquinas que utilizan
•
Una empresa utiliza servicios de capital para fabricar sus productos
• Estos servicios son una variable flujo
•
Generalmente, se asume que el flujo de servicios de capital es proporcional al
número de maquinas
• Por eso la demanda de servicios de capital de la empresa es también la demanda de
capital
•
Una empresa maximizadora de beneficios en un mercado de alquiler
perfectamente competitivo contratará más factor capital hasta el punto en el
que el VPMgK sea igual al alquiler en el mercado (v)
• En competencia perfecta, el alquiler reflejará tanto los costes de depreciación como
los costes de oportunidad en inversiones alternativas
VPMgk = v = p (r + d)
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7.1. La Teoría del Capital
Teoría de la inversión:
• Si una empresa necesita más servicios de capital que los que tiene
actualmente (de acuerdo al principio de maximización anterior), tendrá
dos opciones:
1. Alquilar más maquinas en el mercado de alquiler
2. Adquirir o comprar nueva maquinaria (más frecuente)
• Denominamos la adquisición de nuevos equipos por parte de la empresa
como inversión
21
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
7.2.1. Valor Actual Descontado:
• Cuando una empresa compra una maquina está comprando realmente un
flujo de ingresos netos en períodos futuros (inversión)
• Para decidir si debe comprar la maquina, la empresa deberá calcular el
valor actual descontado de ese flujo, para tener en cuenta
correctamente los efectos de los intereses perdidos
• Consideremos el caso de una empresa en el proceso de decidir si va a
comprar una determinada maquina, que se espera vaya a durar n años y
que ofrecerá al propietario un flujo de rendimientos monetarios (valores
del producto marginal) en cada uno de los n años (Ri)
• El valor actual descontado (VAD) del flujo de ingresos netos de la maquina
para sus propietarios viene dado por:
VAD =
Rn
R1
R2
+
+
+
...
1 + r (1 + r ) 2
(1 + r ) n
22
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• Si el VAD de este flujo de pagos es superior al precio de la maquina, la
empresa debería hacer la compra
• Si el precio supera este VAD, la empresa estaría en mejor situación si
invierte sus fondos en alguna alternativa que prometa un tipo de
rendimiento r
• En un mercado competitivo, el único equilibrio que prevalecerá es aquel
en el que el precio de la maquina es igual al VAD de los ingresos netos
provenientes de la maquina. Luego exige que:
P = VAD =
Rn
R1
R2
+
+
+
...
1 + r (1 + r ) 2
(1 + r ) n
• Ahora vamos a utilizar esta condición para ver dos situaciones en las que
el criterio del valor actual descontado de las inversiones se reduce a las
condiciones de equilibrio destacadas en el punto 7.1
23
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Caso simple:
• Supongamos que la maquina tiene una vida infinita y que el valor del
producto marginal (Ri) es el mismo cada año
• Este rendimiento uniforme también será igual al precio de alquiler de las
maquinas (v) porque esta sería la cantidad que estaría dispuesta a pagar
otra empresa por utilizar la maquina durante un período cualquiera
• Con estos supuestos, el VAD para el propietario de la maquina es:
v
v
v
...
+
+
+
+ ...
2
n
1 + r (1 + r )
(1 + r )
1
⎛ 1+ r ⎞
VAD = v ⋅
− 1⎟
VAD = v ⋅ ⎜
r
⎝ r
⎠
v
En equilibrio P = VAD, luego:
r =
P
VAD =
•
24
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Caso general:
• Se pueden generalizar resultados similares para el caso en el que el precio
de alquiler de las maquinas no sea constante a lo largo del tiempo y en el
que hay cierta depreciación
• Suponga que el alquiler de una máquina nueva en un momento
cualquiera s viene dado por v(s)
• La maquina se deprecia a una tasa d de forma exponencial
• El alquiler neto (y el valor del producto marginal) de una maquina
disminuye a lo largo del tiempo a medida que la máquina se va haciendo
más vieja
• En concreto, en el año s, el alquiler neto de una maquina adquirida en el año
anterior (t) sería
v (s)e –d (s - t)
25
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• Si la empresa está considerando la compra de la maquina cuando es nueva
en el año t, debería descontar todos estos alquileres netos hasta esa
fecha.
• El valor actual del alquiler neto en el año s descontado hacía atrás hasta
el año t es (si r es el tipo de interés)
e –r (s - t)v (s)e –d (s - t) = e (r + d)tv (s)e -(r + d)s
• El valor actual descontado de una maquina adquirida en el año t es la
suma (integral) de estos valores actuales:
∞
VAD (t ) = ∫ e( r + d )t v( s )e − ( r + d ) s ds = p (t )
t
• En equilibrio, el precio de la maquina en el año t [p(t)] será igual a su
valor actual
26
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• Esta ecuación se puede utilizar para derivar la relación v = p (r + d)
• Volvemos a escribir la ecuación de la forma
p(t ) = e
( r + d )t
∞
−( r + d ) s
v
(
s
)
e
ds
∫
t
• Diferenciando respecto a t, y utilizando la regla de la derivada de un
producto:
∞
dp(t)
= (r + d )e(r +d )t ∫ v(s)e−(r +d )s ds − e(r +d )t v(t)e−(r +d )t = (r + d ) p(t) − v(t)
dt
t
dp(t )
v
(
t
)
=
(
r
+
d
)
p
(
t
)
−
• Por tanto:
dt
• El último término de la derecha representa las ganancias de capital
acumuladas por el propietario de la maquina
27
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.2: Tala de un árbol
• Consideremos el caso de un silvicultor que debe decidir cuando talar un
árbol
• Supongamos que el valor del árbol en cualquier momento de tiempo t
viene dado por f(t) [con f’(t)>0 y f’’(t)<0] y que se invirtieron
inicialmente l euros como pago a los trabajadores que plantaron el árbol
• El tipo de interés de mercado (continuo) viene dado por r
• Cuando se planta el árbol, el VAD de los beneficios del silvicultor viene
dado por:
VAD (t) = e-rtf (t) – l
• La decisión del silvicultor consiste en elegir la fecha de talar, t, para
maximizar este valor
28
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.2: Tala de un árbol (cont.)
dVAD (t )
= e − rt f ′(t ) − re − rt f (t ) = 0
dt
• Dividiendo ambos lados por e-rt:
f’ (t) – r f (t) = 0
• Por tanto:
r =
f ' (t )
f (t )
• Características de esta condición óptima:
1. El coste del factor trabajo inicial desaparece al derivar, luego se
considera un coste hundido irrelevante para la decisión de maximización
2. Habrá que cortar el árbol cuando el tipo de interés sea igual a la tasa de
crecimiento del árbol
29
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.2: Tala de un árbol (cont.)
• Suponga que los árboles crecen siguiendo la ecuación
f ( t ) = e 0.4
t
• La tasa de crecimiento proporcional disminuye con el tiempo, ya que
f ' ( t ) 0.2
=
f (t )
t
• Cuanto mayor es el tipo de interés real menos se incentiva la inversión en
árboles animando al silvicultor a elegir una edad más temprana para la
tala
• Si el tipo de interés fuera, por ejemplo, del 4 por ciento, se puede calcular el
momento óptimo para la tala como t* = 25 años
• Si el tipo de interés asciende hasta el 5 por ciento, la edad óptima pasaría a
ser de t* = 16 años
30
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
7.2.2. Asignación Óptima de los Recursos a lo largo
del Tiempo:
• La teoría del capital que hemos visto afirma que los agentes económicos
dejan de lado parte de la producción actual en concepto de acumulación
de capital para producir más en los períodos futuros
• Los agentes económicos deben tomar decisiones sobre aumentar o reducir el
nivel de algún stock, y estas decisiones afectarán tanto al bienestar actual
como al futuro
• En el problema de asignar recursos a lo largo del tiempo hay dos
variables de interés primordial:
1. El stock que se va a asignar (k): stock de capital
2. Una variable de control (c) que se utiliza para efectuar incrementos o
reducciones de k: tasa de ahorro o inversión neta total
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7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• Las elecciones de k y c ofrecerán beneficios a lo largo del tiempo a los
agentes económicos implicados, que se representarán como U (k,c,t)
• El objetivo de los agentes será maximizar
T
∫ U (k, c, t )dt
0
• donde T indica el período de tiempo en el que se están tomando las
decisiones
• Por otra parte, hay dos tipos de restricciones en este problema.
1. Las reglas por las que k cambia a lo largo del tiempo
dk •
= k = f ( k , c, t )
dt
2. Las condiciones iniciales y finales especificadas para el stock k
k(0) = k0
k(T) = kT
32
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• El problema de optimización dinámica que hemos descrito exige que
encontremos una trayectoria temporal óptima para las variables k y c
• Para solucionar dicho problema, convertiremos el problema dinámico en un
problema de un único período y luego demostraremos que la solución para
cualquier momento arbitrario de tiempo resuelve también el problema
dinámico
• Cualquier decisión actual sobre cómo debe cambiar el stock de k afectará
tanto al bienestar actual como al futuro
• Introducimos un multiplicador de tipo lagrangiano λ(t), que se puede
interpretar como la variación marginal de los beneficios futuros generados
mediante la variación de una unidad de k
• Es una medida del valor marginal del stock k en el momento actual t
• Esta variable permite una solución que equilibra los beneficios y
costes de las decisiones actuales
33
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Desarrollo matemático:
•
Una vez convertido el problema dinámico en uno de único período, hay que
volver a formular la solución en un contexto dinámico, demostrando como
varía λ(t) a lo largo del tiempo, para que
1. Los cambios de k se sigan produciendo de forma óptima
2. Se garantice que las condiciones puntuales finales de k se cumplen
•
Esta solución final proporcionará una trayectoria temporal de valores de c y k
que maximizan la utilidad, pero además también del multiplicador λ que
mostrará cómo varía la evaluación marginal de k (su precio) en el tiempo
•
El valor total del stock en cualquier momento t viene dado por λ(t)k
•
La tasa de variación de este valor (ganancias o pérdidas experimentadas por
el stock de capital) viene dada por
•
•
dλ(t )k
dk
dλ
=λ
+K
= λk+ k λ
dt
dt
dt
34
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• El valor neto total de la utilidad en cualquier momento viene dado por
•
•
H = U ( k , c, t ) + λ k + k λ
donde el término H indica su parecido con la función “hamiltoniana” que
se encuentra en la teoría formal de la optimización dinámica
• La C.P.O. para elegir c maximizando H es
•
∂H ∂U (k , c, t )
∂k
=0
=
+λ
∂c
∂c
∂c
porque λ y k no dependen del valor actual de c
• Volviendo a escribir esta primera condición
•
∂U
∂k
= −λ
∂c
∂c
35
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• Para que se elija un c óptimo se debe cumplir que el incremento marginal
de U derivado de un incremento de c se vea perfectamente compensado
por cualquier efecto que tenga este incremento para reducir la variación
del stock de k
• Una vez elegido c para maximizar nuestra utilidad, es necesario centrarse
en cómo cambia en el tiempo la valoración marginal de k (λ)
• Para ello buscamos el nivel de k que maximizará H
• La derivada de H respecto de k da lugar a
•
∂H ∂U (k , c, t )
∂k •
=
+λ
+λ =0
∂k
∂k
∂k
como condición de primer orden para un máximo
• Reordenando términos:
•
∂k
∂U
+λ
−λ =
∂k
∂k
•
36
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
• Cualquier reducción de la valoración marginal de k debe
ser igual a la
•
productividad neta de k cuando aumenta U o aumenta k
• Juntando estas dos condiciones del óptimo obtenemos:
•
∂H ∂U
∂k
=
+λ
=0
∂c
∂c
∂c
•
∂H ∂U
∂k •
=
+λ
+λ =0
∂k
∂k
∂k
• Estas ecuaciones muestran cómo deben evolucionar c y λ a lo largo del
tiempo de forma que k se mantenga en su trayectoria óptima
37
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.3: Recursos agotables
• Suponga que la función de demanda inversa de un recurso (petróleo,
carbón o mineral de hierro) es p = p(c), donde p es el precio de mercado y
c es la cantidad total consumida durante un período
• Para cualquier nivel de consumo c, la utilidad total derivada es
c
U (c) = ∫ p (c)dc
0
• Si la tasa de preferencia temporal viene dada por r, el patrón óptimo de
utilización del recurso será aquel que maximice
T
∫e
− rt
U (c )dt
0
38
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.3: Recursos agotables (cont.)
• Las restricciones de este problema son de dos tipos:
• Puesto que el stock del recurso es fijo, ese stock se reduce en cada
período por el nivel de consumo:
•
k = −c
• Además, el stock de recursos también debe cumplir las restricciones
puntuales finales
k(0) = k0
k(T) = kT
• Estableciendo la función hamiltoniana:
− rt
•
•
− rt
•
H = e (U ) + λ k + λ k = e (U ) − λc + λ k
39
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.3: Recursos agotables (cont.)
• Se obtienen las siguientes C.P.O. para un máximo:
∂H
∂U
= e − rt
−λ = 0
∂c
∂c
∂H •
=λ =0
∂k
• La segunda ecuación muestra que el precio sombra del recurso (λ) debe
mantenerse constante a lo largo del tiempo
• Como ∂U/∂c = p(c), e-rt p(c) = λ
• Esto exige que se elija una trayectoria para c de forma que el precio de
mercado aumente a una tasa r por período
• Esta es la solución que surgiría en un mercado competitivo
40
7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo
Ejemplo 23.3: Recursos agotables (cont.)
• Para que un recurso cualquiera ofrezca una inversión que esté en
equilibrio con otras alternativas, su precio debe aumentar al mismo ritmo
que los tipos de interés
• Los mercados competitivos asignan los recursos naturales de forma eficiente a
lo largo del tiempo
• Las restricciones del final del período se resuelven analizando las
relacionadas con los stocks del período final
• Se requiere que el precio en el período final sea tal que la demanda sea igual a
cero para ese precio
• Aunque no se ha supuesto que los costes de extracción son nulos, el
consumo actual de recursos implica un consumo futuro menor
• Estos costes se denominan costes de uso o de escasez, y se miden mediante
el precio sombra del stock del recurso, λ
41