Optimización y Programación Lineal

Optimización y Programación Lineal
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
31 de agosto de 2010
SOLUCIÓN
1. El granjero Jones debe determinar cuántos acres de maı́z y trigo debe plantar este año. Un acre sembrado
de trigo produce 25 bushels de trigo y requiere de 10 horas de labor a la semana. Un acre sembrado de
maı́z produce 10 bushels de maı́z y requiere 4 horas de labor a la semana. Todo el trigo producido puede
ser vendido a 4 dólares el bushel y todo el maı́z producido puede ser vendido a 3 dólares el bushel. Se
tienen disponibles 7 acres de terreno y 40 horas de labor. El gobierno impone la condición de que se
produzcan al menos 30 bushel de maı́z. Sea x1 el número de acres de trigo a ser plantados y x2 el número
de acres de maı́z a ser plantados. Usando tales variables de decisión, formule un modelo de programación
lineal(PL) donde el granjero Jones pueda mazimizar la ganancia de las ventas de trigo y maı́z sembrado.
Solución
Variables de Decisión:
x1 : Cantidad de acres de terreno sembrados con trigo
x2 : Cantidad de acres de terreno sembrados con maı́z
Función Objetivo:
Maximizar la ganancia total de ventas de los productos sembrados:
3 dólares
10 bushel
Ventas = ( 4 dólares ) · ( 25 bushel
acre ) · (x1 ) + ( bushel ) · ( acre ) · (x2 )
bushel
= 100 x1 + 30 x2 dólares
Restricciones:
Por recursos de terreno: Total plantado = x1 + x2 ≤ 7 acres
horas ) x + ( 4 horas ) x ≤ 40 horas
Por recursos de manor de obra: Total de horas de labor = ( 10acre
1
2
acre
10 bushels
Por condiciones de producción impuestas: Producción de maı́z = ( acre ) · x2 ≥ 30 bushels
Naturales: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0
2. Respecto al problema anterior,
¿x1 = 2, x2 = 3 está en la región factible? Sı́, todas las restricciones se cumplen.
¿x1 = 4, x2 = 3 está en la región factible? No, falla la restricción de horas de labor.
¿x1 = 2, x2 = −1 está en la región factible? No, no se cumplen las restricciones naturales.
¿x1 = 3, x2 = 2 está en la región factible? No, no se cumple la restricción impuesta por el
gobierno en la producción de maı́z.
3. Respecto al problema inicia, reformule el modelo usando ahora
x1 = número de bushels de maı́z a producir y
x2 = número de bushels de trigo a producir.
Solución
Función Objetivo:
Maximizar la ganancia de ventas de los productos sembrados:
Ventas = ( 3 dólares ) · x1 + ( 4 dólares ) · x2
1 bushel
1 bushel
= 3 x1 + 4 x2 dólares
Restricciones:
Condiciones de producción: Bushels de maı́z producido = x1 ≥ 30 bushels
1 acre
1 acre
Recursos de terreno: Total sembrado=
· x1 +
· x2 ≤ 7 acres
10 bushels
25 bushels
1 acre
10 horas
1 acre
Horas de labor : Total horas= 41horas
·
x
+
· x2 ≤ 40 horas
1
acre
1 acre
10 bushels
25 bushels
Naturales: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0
4. Hay 3 fábricas a la orilla del rı́o Momiss. Cada una de ellas emite 2 tipos de contaminante en el rı́o. Si la
basura es procesada en cada fábrica es posible reducir el contaminante vertido al rı́o. Cuesta 15 dólares
procesar una tonelada de basura de la fábrica 1 y reduce en 0.1 toneladas en el contaminante 1 y en
el contaminante 2 en 0.45 toneladas. Cuesta 10 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica
2 y reduce en 0.2 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.25 toneladas. Cuesta 20
dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 2 y reduce en 0.4 toneladas en el contaminante
1 y en el contaminante 2 en 0.3 toneladas. El Estado quiere reducir la contaminación vertida al rı́o en
al menos 30 toneladas del contaminante 1 y en al menos 40 toneladas en el contaminante 2. Formule
un modelo de programación lineal que minimice el costo de reducir la contaminación. Argumente sobre
el cumplimiento de las suposiciones de que exige el modelo lineal. Tome como variables de decisión las
cantidades (en toneladas) de la basura a ser procesada por cada fábrica.
Solución
Variables de Decisión:
Xi : El número de toneladas de basura procesada por la fábrica i (i = 1, 2, 3).
Datos:
Ci : El costo en dólares de procesar una tonelada de basura en la fábrica i (i = 1, 2, 3).
Ci
i=1
15
i=2
10
i=3
20
j: El tipo de contaminante a disminuir (j = 1, 2).
fij : La cantidad en toneladas de contaminante j que se elimina al procesar una tonelada de basura
en la fábrica i.
fij
j=1
j=2
i=1
0.10
0.45
i=2
0.20
0.25
i=3
0.40
0.30
Mj : La cantidad en toneladas en que se impone reducir el contaminate j en el rı́o Momiss por las
tres fábricas.
2
j=1
30
Mj
j=2
40
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de procesar Xi toneladas de basura en la fábrica i.
Costo =
3
X
Ci · Xi
i=1
Restricciones:
Reducir cada tipo de contaminante en la cantidad total reducida no es menor que la meta
Para cada j = 1, 2 :
3
X
fij · Xi ≥ Mj
i=1
Naturales: Xi ≥ 0 para i = 1, 2, 3.
5. Supóngase que en el ejemplo de la oficina de correos, que cada emplado de tiempo completo trabaja 8
horas. De esta manera, el requerimiento de 17 trabajadores el lunes puede verse como una necesidad de
8 · 17 = 136 horas. La oficina de correos quiere cumplir con sus necesidades laborables diarias empleando
personal de tiempo completo y de tiempo parcial. Durante una semana, un trabajador de tiempo completo
labora 5 dı́as consecutivos y uno de tiempo parcial trabaja 4 horas durante 5 dı́as consecutivos. Un
empleado de tiempo completo cuesta 15 dólares la hora mientras que un empleado de tiempo parcial
cuesta 10 dólares la hora. Los requirimientos sindicales limitan el trabajo de tiempo parcial al 25 % de
las necesidades laborales semanales. Formule un PL para minimizar los costos laborales semanales de la
oficina de correos.
Solución
Variables de Decisión:
xi = número de trabajadores de planta que inicia su semana en el dı́a i
yi = número de trabajadores de tiempo parcial que inicia su semana el dı́a i.
X = total de trabajadores de tiempo completo
Y = total de trabajadores de tiempo parcial
Datos:
C1 = Costo de hora laboral de un empleado de tiempo completo.
C2 = Costo de hora laboral de un empleado de tiempo parcial.
Hi = Número de horas hombre requeridas en el dı́a i.
Función Objetivo:
Min z = 40 C1 X + 20 C2 Y
Restricciones:
P
P
X = 7i=1 , Y = 7i=1 yi .
Horas requeridas dı́a 1: 8 (X − (x2 + x3 )) + 4 (Y − (y2 + y3 )) ≤ H1
Horas requeridas dı́a 2: 8 (X − (x3 + x4 )) + 4 (Y − (y3 + y4 )) ≤ H2
Horas requeridas dı́a 3: 8 (X − (x4 + x5 )) + 4 (Y − (y4 + y5 )) ≤ H3
3
Horas requeridas dı́a 4: 8 (X − (x5 + x6 )) + 4 (Y − (y5 + y6 )) ≤ H4
Horas requeridas dı́a 5: 8 (X − (x6 + x7 )) + 4 (Y − (y6 + y7 )) ≤ H5
Horas requeridas dı́a 6: 8 (X − (x7 + x1 )) + 4 (Y − (y7 + y1 )) ≤ H6
Horas requeridas dı́a 7: 8 (X − (x1 + x2 )) + 4 (Y − (y1 + y2 )) ≤ H7
Relación tiempo parcial/completo: 400 Y ≤ 25 (8 X + 4 Y )
Naturales xi , y, X, Y ≥ 0.
6. Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces:
Slugger Candy y Easy Out Candy, que se componen únicamente de azúcar, chocolate y nueces. Actualmente tiene en bodega 100 Onzas de azúcar, 20 onzas de nueces y 30 onzas de chocolate. La mezcla para
producir Slugger tiene que contener al menos 10 % de nueces y por la menos 10 % de chocolate, mientras
que para producir Easy Out debe contener al menos 20 % de nueces. Cada onza de Easy Out se vende en
25 centavos de dólar mientras que una de Slugger se vende en 20 centavos. Formule un PL que permita
maximizar los ingresos por venta.
Solución
Variables de Decisión:
xij = número de onzas del ingrediente i usada en el producto j.
Xj = total de onzas producidas del producto j.
Datos:
N = número de productos a producir.
M = número de ingredientes usados.
Gj = ganancia en el producto j, j = 1, . . . , N .
Pi = número de onzas del ingrediente i disponibles i = 1, . . . , M .
Q11 = 10 % del producto 1 (Slugger) debe ser del ingrediente 1 (nuez) al menos.
Q21 = 10 % del producto 1 (Slugger) debe ser del ingrediente 2 (chocolate) al menos.
Q12 = 20 % del producto 2 (Easy Out) debe ser del ingrediente 1 (nuez) al menos.
Función Objetivo:
Max z =
N
X
Gj Xj
j=1
Restricciones:
P
Producción: para todo j = 1, . . . , N , Xj = M
i=1 xij .
PN
Recursos: para todo i = 1, . . . , M , j=1 xij ≤ Pi .
Calidad:
• Nueces en Slugger: x11 ≥ Q11 · X1
• Chocolate en Sluger: x21 ≥ Q21 · X1
• Nueces en Easy-Out: x12 ≥ Q12 · X2
Naturales: xij , Xj ≥ 0.
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7. La cervecerı́a Bloomington produce cerveza del tipo I y cerveza del tipo II. La cerveza del tipo I se vende
a 5 dólares el barril y la cerveza del tipo II se vende a 2 dólares el barril. La producción de un barril de
cerveza tipo I requiere 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo, mientras que un barril de cerveza del tipo
II requiere 2 libras de cebada y 1 libra de lúpulo. Se disponen 60 libras de cebada y 23 libras de lúpulo.
Formule un modelo de PL de manera que la compañı́a maximice sus ingresos bajo el supuesto que toda
la producción será vendida.
Solución
Variables de Decisión:
xij = número de libras del ingrediente i usada en el producto j.
Xj = total de barriles producidos del producto j.
Datos:
N = número de productos a producir 2.
M = número de ingredientes usados 2.
Gj = ganancia en el producto j, j = 1, . . . , N .
Pi = número de libras del ingrediente i disponibles i = 1, . . . , M .
Rij = libras del ingrediente i requeridas en un barril del producto j.
Función Objetivo:
Max z =
N
X
Gj Xj
j=1
Restricciones:
Producción: para todo j = 1, . . . , N y para todo i, Rij Xj = xij .
P
Materia prima: para todo i = 1, . . . , M , N
j=1 xij ≤ Pi .
Recursos humanos: no considerados.
Calidad: No hay restricciones.
Demanda: No hay restricciones.
Naturales: xij , Xj ≥ 0.
8. El pastelero Jones produce dos tipos de pastelillos (de chocolate y de vainilla). Se puede vender cada
pastelillo de chocolate a 1 dólar y cada pastelillo de vainilla a 50 centavos. Cada pastelillo de chocolate
tarda 20 minutos en cocerse y requiere 4 huevos. Cada pastelillo de vainilla tarda 40 minutos en cocerse
y requiere 1 huevo. Se disponen 8 horas de horneado y 30 huevos. Formule un modelo de PL de manera
que el pastelero maximice sus ingresos bajo el supuesto que todos sus productos serán vendidos.
Solución
Variables de Decisión:
xi = número de productos tipo i a producir
Datos:
N = número de productos a producir 2.
Gi = ganancia en el producto i, i = 1, . . . , N .
Ci = horas requeridas de cocimiento para el producto i
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Hi = número de huevos requeridos para el producto i
HT = total de huevos disponibles
CT = total de horas de horno disponibles
Función Objetivo:
Max z =
N
X
Gi x i
i=1
Restricciones:
PN
i=1 Hi xi ≤ HT .
PN
Materia prima tiempo cocimiento: i=1 Ci xi ≤ CT .
Materia prima huevo: para todo
Recursos humanos: no considerdos.
Calidad: No hay restricciones.
Demanda: No hay restricciones.
Naturales: xi ≥ 0.
9. Todo el acero producido por SteelCo tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5 %
de carbono; 1.8 a 2.5 % de silicio; 0.9 a 1.2 % de nı́quel; y resistencia a la tracción de por lo menos
45,000 lb/pulg2 . SteelCo produce su acero mezclando dos tipos de aleaciones. El costo y sus propiedades
aparecen en la siguiente tabla. Suponga que se puede determinar la resistencia a la tracción haciendo un
promedio ponderado de los tipos de aceros que se mezclan. Modele un PL que minimize los costos de
producción de una tonelada de acero.
Costo
% Si
% Ni
%C
Resistencia
Aleación 1
190
2%
1%
3%
42,000 lb/pulg2
Aleación 2
200
2.5 %
1.5 %
4.0 %
50,000 lb/pulg2
Solución
Variables de decisión:
x1 = Toneladas de la aleación 1 a usar
x2 = Toneladas de la aleación 2 a usar
Función objetivo:
Minimizar los costos de producción:
z = 190 x1 + 200 x2
Restricciones:
Se desea producir solo una tonelada de acero: x1 + x2 = 1
Rango de nı́quel:
• 0.009 · (x1 + x2 ) ≤ (0.01 x1 + 0.015 x2 )
• (0.01 x1 + 0.015 x2 ) ≤ 0.012 (x1 + x2 )
Rango de silicio:
• 0.018 (x1 + x2 ) ≤ (0.02 x1 + 0.025 x2 )
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• (0.02 x1 + 0.025 x2 ) ≤ 0.025 (x1 + x2 )
Rango de carbono:
• 0.032 (x1 + x2 ) ≤ (0.03 x1 + 0.04 x2 )
• (0.03 x1 + 0.04 x2 ) ≤ 0.035 (x1 + x2 )
Resistencia de tracción mı́nima: (42000 x1 + 50000 x2 ) ≥ 45000 (x1 + x2 )
Naturales: x1 , x2 ≥ 0
10. SteelCo produce dos tipos de aceros en tres diferentes acerı́as. Durante un mes dado, cada acererı́a
dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producción de una tonelada de acero, difiere
de una acerı́a a otra debido a las diferencias de hornos en cada acerı́a. En la siguiente tabla se muestran
el tiempo y el costo de producción para cada acerı́a. Cada mes, SteelCo debe producir al menos 500 ton
de acero tipo 1 y 600 ton de acero tipo 2. Formule un PL para nimimizar el costo de producir el acero
deseado.
Acerı́a 1
Acerı́a 2
Acerı́a 3
Acero 1
costo(dls) tiempo(min)
10
20
12
24
14
28
Acero 2
costo(dls) tiempo(min)
11
22
9
18
10
30
Solución
Variables de Decisión:
xij = número de toneladas de acero tipo i producidas en la acerı́a j.
Datos:
N = número de tipos de acero a producir 2.
M = número de acerı́as disponibles 3.
Hj = número de horas de alto horno disponibles en la acerı́a j.
Ai = toneladas de acero tipo i requeridas en total.
Cij = costo de producción de una tonelada de acero tipo i en la acerı́a j.
Hij = número de horas de alto horno requeridas para la producción de una tonelada acero tipo i
en la acerı́a j.
Función Objetivo:: Minimizar el costo total de producción:
Min z =
N X
M
X
Cij xij
i=1 j=1
Restricciones:
Producción: para cada acero i = 1, . . . , N :
PM
j=1 xij
= Ai .
Recursos horas de alto horno: para cada acerı́a j = 1, . . . , M
Naturales xij ≥ 0.
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PN
i=1 Hij
xij ≤ Hj .
11. FeedCo produce dos tipos de alimento para ganado. Ambos productos están hechos completamente de
trigo y de alfalfa. El alimento 1 debe contener por lo menos 80 % de trigo y el alimento 2 por lo menos
60 % de alfalfa. El alimento 1 se vende a 1.50 dólares la libra y el alimento 2 a 1.30 dólares la libra.
FeedCO puede comprar hasta 1,000 libras de trigo a 50 centavos la libra y hasta 800 libras a 40 centavos
la libra. Suponiendo que todo producto producido se puede vender, formule un PL para maximizar las
ganancias de FeedCo.
Solución
Variables de decisión:
x11 = Libras de trigo usadas para producir el alimento 1
x12 = Libras de trigo usadas para producir el alimento 2
x21 = Libras de alfalfa usadas para producir el alimento 1
x22 = Libras de alfalfa usadas para producir el alimento 2
Ası́
x11 + x12 total de trigo usado
x21 + x22 total de alfalfa usada
x11 + x21 total de producto 1 producido
x12 + x22 total de producto 2 producido
Función objetivo:
Maximizar la ganancia:
Ganancia = Ventas − Gastos
z = (1.5 (x11 + x21 ) + 1.3(x12 + x22 )) − (0.5(x11 + x12 ) + 0.4(x21 + x22 )
Restricciones:
Libras de trigo que se pueden comprar: x11 + x12 ≤ 1000
Libras de alfalfa que se pueden comprar: x21 + x22 ≤ 800
Porcentaje de trigo en el alimento 1: x11 ≥ 0.80 (x11 + x21 )
Porcentaje de alfalfa en el alimento 2: x22 ≥ 0.60 (x12 + x22 )
Naturales: x11 , x12 , x21 , x22 ≥ 0
12. El departamento de policı́a de la ciudad X dispone de 30 oficiales. Cada oficial trabaja 5 dı́as de la
semana. El número de delitos varı́a dependiendo de el dı́a de la semana y por tanto, el número de
oficiales requeridos diariamente depende del dı́a de la semana: el sábado se requieren 28 oficiales, el
domingo 18, el lunes 18 el martes 24, el miércoles 25, el jueves 16 , y el viernes 21. El departamento de
policı́a quiere programar los oficiales para minimizar el número de policı́as cuyos dı́as de descanso no son
consecutivos.
Sugerencia: Para i < j, sea xij el número de oficiales que descansan los dı́as i y j. Dı́a 1 = domingo,
dı́a 2 = lunes,. . . ,dı́a 7 = sábado.
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