Módulos y residuos

Módulos y residuos
Operamos con restos
Comenzamos con un caso práctico, que resolveremos de dos formas distintas: demostrar que todos los
cuadrados perfectos, o son múltiplos de 8, o dan resto 1 o 4 al dividir por 8.
Vemos en primer lugar que si tomamos los 8 primeros cuadrados perfectos, que son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49
y 64, efectivamente dan restos 1, 4, 1, 0 al dividir por 8. Vemos también que si un cuadrado perfecto a2
da un cierto resto al dividir por 8, entonces (a+4)2 da el mismo resto, pues (a+4)2−a2=8(a+2), con lo que
el cociente al dividir (a+4)2 es igual al de a2, más a+2, y el resto es el mismo. Por lo tanto, los cuadrados
de los números 1, 5, 9, 13,... darán el mismo resto (1), los cuadrados de 2, 6, 10, 14,... darán el mismo
resto (4), etc.
Vemos también que todo entero se puede escribir como 4n+m, donde m puede tomar valores 0, 1, 2 o 3.
Claramente, al elevar al cuadrado tenemos 16n2+8mn+m2, con lo que al ser 16n2+8mn un múltiplo de 8, el
resto al dividir (4n+m)2 entre 8 es el mismo que al dividir m2 entre 8. Como m2 toma valores 0, 1, 4, 9,
con restos respectivos 0, 1, 4, 1 al dividir por 8, éstos son los únicos valores que puede tomar el resto de
cualquier cuadrado perfecto al dividir entre 8.
Vemos entonces que, para hallar un resto al dividir entre 8 de un cuadrado perfecto, nos basta con
considerar los restos al dividir entre 4 de la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. Cuando sólo nos interesa
el resto que da un número al dividir entre otro, y no el número propiamente dicho, puede ser muy útil, en
cálculos intermedios, operar sólo con restos, ya que las cuentas se pueden simplificar notablemente.
Ejemplo: demostrar que, dados dos enteros consecutivos, su suma o su producto son divisibles entre 3.
Si uno cualquiera de los números es múltiplo de 3, entonces su producto es claramente múltiplo de 3. Si
ninguno de los dos números son múltiplos entre 3, entonces sus restos respectivos al dividir entre 3 son 1
y 2. Pero entonces, su suma tendrá como resto al dividir entre 3 el mismo resto que 1+2=3, es decir, su
suma será múltiplo de 3, y hemos acabado.
En el anterior ejemplo, hemos prescindido directamente de saber de qué numero estamos hablando, y
hemos utilizado sólo su resto al dividir entre 3. ¿Es esto posible? ¿Funciona siempre?
Supongamos que nos interesa tan sólo el resto al dividir entre d de una cierta operación con dos números,
m y n. Claramente, podemos escribir m=ad+r, n=bd+s, donde r y s son los restos que obtenemos al
dividir los números m y n entre d. Entonces,
m + n = (a + b )d + r + s ,
mn = (abd + br + as )d + rs .
Vemos entonces que el resto de la suma es igual a la suma de restos, y el resto del producto es igual al
producto de restos; es decir, si sólo nos interesa el resto del resultado final al dividir entre un cierto
número d, podemos sumar y multiplicar (y por lo tanto también tomar potencias) sustituyendo los
números implicados en las operaciones por sus respectivos restos al dividir entre d. Cuando operamos de
esta forma, decimos que operamos “módulo d”, que es lo mismo que decir que operamos “con los restos
al dividir entre d”. A d se le llama módulo, y al resto de cualquier número al dividir entre d, le
llamaremos residuo módulo d. Si r es el resto al dividir n entre d, diremos también que n es congruente
con r módulo d, y lo escribiremos como n≡r(mod d), siendo en cualquier caso equivalente a decir que n−r
es múltiplo de d. Como restar un número n es lo mismo que sumar −n, tenemos que la resta con residuos
también se puede realizar. No así la división: si queremos hallar el residuo r tal que 4r≡3(mod 8),
normalmente “dividiríamos”, pero en este caso, no se puede dividir 3 entre 4. Además, si un número da
resto 3 al dividir entre 8, claramente es impar, mientras que un número que da resto 4r al dividir entre 8,
forzósamente es par. ¡El problema no tiene solución! Supongamos sin embargo que nos piden hallar el
residuo r tal que 7r≡5(mod 8). Claramente 5, no es divisible entre 7; ahora bien, si tomamos r=3,
tenemos que 3×7=21, ¡sí da resto 5 al dividir entre 8! La solución en este segundo caso sería r=3.
Cómo dividir restos... cuando se puede
La razón por la que no puede haber ningún residuo r módulo 8 tal que 4r≡3(mod 8), es porque 4 y 8 no
son primos entre sí, sino que tienen máximo común divisor 4, que no divide a 3, ya que 4r≡3(mod 8) es
equivalente a decir que 4r−3 es múltiplo de 8; como para ser múltiplo de 8, tiene que ser también múltiplo
de 4, entonces 4r−3 debe ser múltiplo de 4, y como 4r lo es, también debe serlo 3, ¡imposible! Sin
embargo, curiosamente 7r≡5(mod 8) sí tiene solución, como también la tendría 6r≡2(mod 8); en este
último caso, aunque 6 y 8 tienen máximo común divisor 2, éste divide también a 2. De hecho,
comprobamos fácilemente que r=3 es solución de este sistema, pues 3×6=18 da resto 2 al dividir entre 8.
Llamamos ecuación lineal en residuos, o ecuación lineal en congruencias, a toda relación de la forma
ax≡b(mod d), donde el módulo d, el resto b, y el coeficiente a son conocidos, y es necesario hallar el
residuo x para el que se cumple la congruencia. De lo visto anteriormente, parece deducirse que la
ecuación tendrá solución si y sólo si el máximo común divisor de a y d también divide a b, y
efectivamente, así es (¿te atreves a demostrarlo?). En general, dada una ecuación lineal en congruencias,
podemos resolverla de la siguiente forma: hallamos en primer lugar el máximo común divisor de a y de d;
si es mayor que 1 y no divide a b, entonces hemos acabado y no hay solución. Si el máximo común
divisor es mayor que 1 y divide a b, entonces tomamos la ecuación equivalente a'x≡b'(mod d'), donde a',
b' y d' son los resultados de dividir (división normal) a, b y d entre su máximo común divisor. Para ver
que esta segunda relación es equivalente a la primera, nos basta con considerar que
ax − b a' x − b'
=
,
d
d'
con lo que todo número que cumpla una ecuación en congruencias, cumplirá la otra. Una vez que
mcd(a,d)=1, es conocido que ax≡1(mod d) tiene solución, que llamamos s. Si b=1, ya hemos acabado y
la solución es x=s, y si no, la solución es x=bs. ¿Es cierto siempre que ax≡1(mod d) tiene solución
cuando a y d son primos entre sí? Para ver que es así, consideramos los restos
0, a,2a,3a,..., (d − 1)a .
Todos estos restos son distintos, pues si dos de ellos fueran iguales, tendríamos que existen i y j, enteros
entre 0 y d−1, tales que (i−j)a es múltiplo de d. Pero como i−j es menor que d en valor absoluto, entonces
no es posible que d divida a i−j, luego algún factor de d debe dividir a a, con lo que a y d no podrían ser
primos entre sí, ¡contradicción! Por reducción al absurdo, hemos pues demostrado que los restos
considerados son todos distintos. Además, hay d posibles restos al dividir por d, que son 0,1,2,...,d−1,
luego todos han de aparecer en 0, a, 2a,...,(d−1)a; en particular ha de aparecer el 1, y hemos demostrado
que siempre habrá una solución para ax≡1(mod d) cuando a y d sean primos entre sí, y la podemos hallar
si escribimos todos los números 0, a, 2a,...,(d−1)a. Además, el recíproco es también cierto, es decir, si
existe solución, a y d son primos entre sí, ya que sabemos por lo dicho antes que si no son primos entre sí,
ax≡1(mod d) no tiene solución.
Aunque sea entonces de una forma que suponga “dar un poco de vuelta”, ya sabemos cuándo se puede
dividir un residuo b entre a, y cómo realizar la división, aunque sea a base de prueba y error.
El teorema chino del resto
A veces nos encontramos con varias ecuaciones en congruencias que deben satisfacerse simultáneamente.
Por ejemplo, encuentra un número x que dé resto 3 al dividir entre 4, 5 al dividir entre 9, y 3 al dividir
entre 7. Esto podríamos escribirlo de la siguiente manera: x es la solución del sistema de ecuaciones
⎧ x ≡ 3(mod 4 ),
⎪
⎨ x ≡ 5(mod 9 ),
⎪ x ≡ 3(mod 7 ).
⎩
El teorema chino del resto nos garantiza que, si las ecuaciones individuales tienen solución, y los módulos
de cada ecuación son primos entre sí dos a dos, entonces el sistema tiene una solución única módulo el
producto de todos los módulos. En este caso, como 4, 7 y 9 son primos entre sí, se tiene que existirá
solución única módulo 4×7×9=252. Nótese que podemos resolver estos sistemas de forma “secuencial”:
si un número x da resto 3 al dividir por 7, entonces dará uno de los restos 3, 10, 17,... al dividir por 63, y
si da resto 5 al dividir por 9, dará uno de los restos 5, 14, 23,... al dividir por 63. Buscamos el resto
común, que es 59. Se tiene entonces que el número x dará resto 59, 122, 185, 248 al dividir por 252. De
estos restos, el único que daría resto 3 al dividir entre 4 es 59, y x≡59(mod 252), es decir, son solución al
sistema todos los enteros x que den resto 59 al dividir por 252.
Ejercicios propuestos
Hallar todas las posibles formas de escribir 2003 como suma de dos cuadrados de números enteros
positivos. Repetir el ejercicio con 2010.
Hallar la 4 últimas cifras de 32010.
Hallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de
sus cifras.
Los números enteros desde 1 hasta 9 se distribuyen en las casillas de una tabla 3×3. Después se suman
seis números de tres cifras: los tres que se leen en filas de izquierda a derecha y los tres que se leen en
columnas de arriba abajo. ¿Hay alguna distribución para la cual el valor de esa suma sea 2001?