Teoría cuántica de electrones en una red cristalina

Física del estado sólido
Teoría cuántica de electrones en una red cristalina
Ecuación de onda de un electrón en un potencial periódico
Un potencial general U(x) en una red periódica lineal, que cumple la condición dada por la ecuación (a)
del teorema de Bloch se puede expandir en series de Fourier en términos del vector G de la red recíproca
[ecuación (a)].
U (x) = ! UG e iGx , (a)
G
donde UG decrece 1/G2 como la ecuación de Coulomb.
La ecuación de onda en este caso está dada por la ecuación de movimiento de Schrödinger en una dimensión por [ecuación (b)]:
'2 d2
'2 d2
- 2m 2 } (x) + U (x) } (x) = - 2m 2 } (x) + } (x)/ UG e iGx = E} (x).
dx
dx
G
(b)
Debido a que el potencial en el cristal es periódico, la función de onda } (x) de la ecuación (a) debe ser una
función de Bloch; por lo tanto, esta función se puede expandir como una serie de Fourier sobre todos los k
permitidos, que es (ecuación (c)):
ikx
(
x
)
C
(
k
)
e
}
=
!
. (c)
k
Al reemplazar la ecuación (c) en la ecuación (b), se tiene:
'2 d2
ikx
- 2m 2 / C (k) e ikx + / C (k) e ikx / UG e iGx = E/ C (k) e ,
dx k
k
G
k
' 2 k 2 C (k) e ikx
i
(
G
k
)
x
+
+ / C (k) UG e
/ d 2m
n = E/ C (k) e ikx .
k
G
k
Al reordenar todo a la izquierda y aislando la componente de Fourier, se tiene la ecuación (d):
/ d 2'm k 2 C (k) + / C (k - G) UG - EC (k)n e ikx = 0 ,
(fk - E) C (k) + / UG C (k - G) = 0,
2
k
G
(d)
G
'2 2
siendo f k = 2m k .
La ecuación (d) es una ecuación algebraica de una red periódica que reemplaza la ecuación de Schrödinger
en el espacio recíproco. A esta ecuación se le llama ecuación central y es de mucha importancia en problemas posteriores.
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