introducción a la electrónica digital

INTRODUCCIÓN A LA
ELECTRÓNICA DIGITAL
Profesor: Ángel Millán León
I.E.S. “Virgen de Villadiego”
Peñaflor (Sevilla)
I.E.S. “Virgen de Villadiego”
Departamento de Tecnología
Índice de la Unidad Didáctica
INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL.
1. INTRODUCCIÓN: DE LO ANALÓGICO A LO DIGITAL.
2. OPERACIONES BINARIAS.
2.1. Ideas previas
2.2. Conversión de binario a decimal.
2.3. Conversión de decimal a binario.
2.4. El sistema hexadecimal.
2.5. Suma binaria.
2.6. Diferencia binaria. Algoritmo de la resta.
3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE VERDAD.
3.1. Definiciones.
3.2. Funciones básicas.
3.3. Álgebra de Boole. Propiedades.
4. PUERTAS LÓGICAS.
4.1. Puerta NOT.
4.2. Puerta OR.
4.3. Puerta AND.
4.4. Puerta NOR.
4.5. Puerta NAND.
4.6. Puerta OR Exclusiva (XOR ú OREX).
4.7. Puerta NOR Exclusiva (XNOR ó NOREX).
5. LA ELECTRÓNICA DIGITAL EN EL MERCADO.
6. APÉNDICE: MÉTODO DE KARNAUGH PARA LA SIMPLIFICACIÓN
DE FUNCIONES LÓGICAS.
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Departamento de Tecnología
1. INTRODUCCIÓN: DE LO ANALÓGICO A LO DIGITAL.
No cabe duda de que en el mundo de hoy en día la Electrónica juega un papel de
vital importancia. En la Unidad anterior has estudiado la electrónica analógica, que
permite infinidad de aplicaciones. Recuerda que un circuito analógico puede funcionar
con diversos rangos de tensiones.
Sin embargo, en los circuitos digitales sólo hay 2 voltajes. Esto significa que al
utilizar 2 estados lógicos se puede asociar cada uno con un nivel de tensión, así se
puede codificar cualquier número, letra del alfabeto u otra información. Estos 2 estados
de tensión reciben diferentes nombres, los más utilizados son estado lógico 0 y estado
lógico 1, o bien falso y verdadero, respectivamente.
Al utilizarse sólo dos estados lógicos (0 y 1) se dice que la lógica digital es binaria,
ya que el código binario se basa en la utilización de dos únicas cifras, 0 y 1. Una de las
principales ventajas de este sistema es la sencillez de sus reglas aritméticas, que
hacen de él un sistema apropiado para el uso de computadores y dispositivos digitales.
En 1854, el matemático inglés George Boole publica “Las leyes del
pensamiento”, donde da a conocer el álgebra que lleva su nombre. Este álgebra
permite explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana
por la que se rigen los razonamientos.
En 1938, el matemático Claude Shannon demostró cómo las operaciones
booleanas elementales se podían representar mediante circuitos eléctricos, y cómo la
combinación de circuitos podía representar operaciones aritméticas y lógicas
complejas. Además demostró que el álgebra de Boole se podía usar para simplificar
circuitos conmutadores. El enlace lógica-electrónica estaba establecido.
En 1942 funcionó la ABC, la primera computadora digital, y en 1946 se
terminaba el ENIAC, primera computadora electrónica.
En 1960 aparece el primer circuito integrado, y con él la revolución en este
campo. Los circuitos integrados se adaptaron perfectamente a la lógica digital.
Las aplicaciones más representativas de la electrónica digital son:
- Sistemas de control industrial (controladores o autómatas programables).
- Equipos de proceso de datos (tratamiento de datos, ordenadores).
- Otros equipos y productos electrónicos (electrodomésticos, alarmas, etc.).
Hoy en día, la palabra “digital” aparece en multitud de situaciones, y siempre
asociada a cosas novedosas. La expresión “sonido digital” nos “suena” muy bien.
Creemos que es un sonido perfecto. Lo asociamos a un CD, o al audio de una película
en DVD, que consideramos casi real.
Llevamos tiempo con televisión digital por satélite y, desde noviembre de 2005, la
Televisión Digital Terrestre es una realidad en vuestras casas. Gracias a un
decodificador digital-analógico, podéis recibir unas imágenes y sonidos de una calidad
bastante superiores a los que teníais antes.
No cabe duda, por tanto, de que estamos en un campo que tiene una gran
importancia a día de hoy, que, además, está en continua evolución, y que posee, sin
duda, un gran futuro, que puede solucionar tus expectativas académicas y
profesionales.
Introducción a la electrónica digital, 1
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2. OPERACIONES BINARIAS.
2.1. Ideas previas.
La clave del sistema binario es que para expresar cualquier número tenemos
que usar sólo dos cifras: el 0 y el 1.
Recordemos, que un número como 10, en sistema binario, no debe leerse como
“diez”, sino como “uno”,”cero”. Para aclararnos mientras estemos manejando dos
sistemas de numeración diferentes, colocaremos en la parte inferior derecha 2) o 10),
según estemos hablando de un número en sistema binario o decimal, respectivamente.
Así, por ejemplo, 112) deberá leerse como “uno uno en sistema binario”, y 1110)
se leerá como once, igual que hasta ahora.
2.2. Conversión de binario a decimal.
BYTE
BIT
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
27
26
25
24
23
22
21
20
En el diagrama anterior, vemos que cada cifra (bit) puede tomar únicamente dos
valores, los ya citados 0 y 1. Pero, dependiendo de la posición del bit, la importancia o
peso que tiene cada uno no es la misma. Así, por ejemplo, mientras que un uno en la
primera casilla tendría un peso de “1”, en la cuarta casilla desde la derecha tendría un
peso de 23 = 8. Unos ejemplos:
102) = 0·20 + 1·21 = 210)
1012) = 1·20 + 0·21 + 1·22 = 510)
Fácil, ¿no? Pues anímate a averiguar los siguientes números en sistema decimal
para entrenarte:
1001
1 1010
1011
100 1001
101 1001
Nota: observa que hemos dejado un espacio entre cada cuatro bits. Conviene que te acostumbres a
esto, ya que te será de utilidad en el futuro.
2.3. Conversión de decimal a binario.
Para convertir de decimal, el proceso es un poco más complicado. Necesitamos
una técnica, a la que llamaremos algoritmo de la división. Consiste en dividir tantas
veces por dos como se pueda, y los restos y el último cociente
obtenido nos proporcionan la expresión binaria (invertida) de
nuestro número decimal.
Veámoslo con un ejemplo, calculando la expresión
binaria de 14710) (ver figura de la derecha). Se van haciendo
las sucesivas divisiones por 2. Los restos y el último cociente
nos dan la expresión binaria que buscamos, pero en orden
invertido. A saber: 1001 0011
Introducción a la electrónica digital, 2
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2.4. El sistema hexadecimal.
Aunque los circuitos electrónicos digitales y los ordenadores utilizan el sistema
binario, trabajar con este sistema de numeración resulta DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO
0
0
0000
pesado, y suele producir equivocaciones cuando se trabaja con
1
1
0001
números binarios demasiado largos.
El sistema Hexadecimal está en base 16, sus números
están representados por los 10 primeros dígitos de la
numeración decimal, y el intervalo que va del número 10 al 15
están representados por las letras del alfabeto de la A a la F.
Actualmente el sistema hexadecimal es uno de los más
utilizados en el procesamiento de datos, debido principalmente
a 2 ventajas:
La primera ventaja es la simplificación en la escritura de
los números decimales, cada 4 cifras binarias se
representan por una hexadecimal.
2
2
0010
3
3
0011
4
4
0100
5
5
0101
6
6
0110
7
7
0111
8
8
1000
9
9
1001
10
A
1010
11
B
1011
12
C
1100
13
D
1101
14
E
1110
La segunda es que cada cifra hexadecimal se pueden
15
F
1111
expresar mediante 4 cifras binarias, con lo que se facilita la
transposición entre estos 2 sistemas. Para convertir un número binario en hexadecimal
se realiza el mismo proceso, pero a la inversa.
Ejemplo:
Número Hexadecimal: B7E16)
B: 1011 (11)
Número Binario:
1011 0111 11102)
7: 0111
E: 1110 (14)
Para pasar del número hexadecimal al sistema decimal, se han de multiplicar
los dígitos hexadecimales por las distintas potencias de base 16 que representan cada
dígito del sistema de numeración hexadecimal (160, 161, 162...).
Ejemplo:
B7E16) = 11•162 + 7•161 + 14•160 = 2816 + 112 + 14 = 2.94210)
A la inversa, para convertir el número decimal en hexadecimal, éste se irá
dividiendo por el número 16 sucesivamente hasta que ya no se puedan realizar más
divisiones con el mismo número. El número hexadecimal resultante estará formado
por el último cociente seguido de todos los restos sucesivos obtenidos desde el último
hasta el primero. Veamos, por ejemplo, qué sucede con el 350
Expresión decimal:
Nº Hexadecimal:
15E16)
Introducción a la electrónica digital, 3
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Otra posibilidad en la
conversión
de
números
decimales y hexadecimales
es utilizar los binarios como
intermediarios, es decir, en
cualquiera de los sentidos, se
obtendría en primer lugar el
número binario y después
éste
pasaría
al
código
definitivo.
Por
último,
otra
posibilidad de cálculo la
ofrecen las calculadoras de
sobremesa o las que suelen
venir con algunos sistemas
operativos. En ese caso basta
teclear la cantidad estando
seleccionado un sistema:
binario, octal, hexadecimal o
decimal, y después conmutar
al
sistema
de
destino
deseado
y
el
número
aparecerá automáticamente.
2.5. Suma de dos números binarios.
Para sumar en sistema binario, basta recordar que sólo disponemos de dos
números, el cero y el uno. Así pues, cuando nos pasemos del 1, habrá que “llevarse”
una cifra y colocarla a la izquierda de la que tenemos. O, simplemente, tener en cuenta
que 1+1 sigue siendo igual a 2, salvo que en binario “2” se escribe “10”. En definitiva,
puedes utilizar las siguientes reglas:
0+0=0
0+1=1
1 + 1 = 10
Veamos algunos ejemplos:
1 0 → 210 )
+
1 → 110 )
1 0 → 210 )
+ 1 0 → 210 )
1 1 → 310 )
1 0 0 → 410 )
Introducción a la electrónica digital, 4
1
1
1
1 1 1 → 710 )
+ 1 0 1 → 510 )
1 1 0 0 → 1210
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2.6. Diferencia binaria.
Para hacer la diferencia binaria, utilizaremos el siguiente algoritmo o procedimiento,
que obtiene la diferencia binaria a partir de una suma:
1) Colocar el minuendo.
2) Colocar el sustraendo bajo el minuendo, pero con las cifras invertidas,
cambiando ceros por unos y unos por ceros.
3) Colocar tantos “1” a la izquierda del nuevo sustraendo como sea necesario para
que ambos tengan las mismas cifras.
4) Añadir un “1” como tercera fila de la suma.
5) Efectuar la suma.
6) Quitar la cifra de la izquierda del resultado. Nos ha quedado escrito el número
que es la diferencia de los dos que nos han dado.
Desarrollemos este algoritmo para hacer la diferencia de 1310) = 11012) y 510) = 1012):
Paso 1)
Paso 2)
1 1 0 1
1 1 0 1
+
Paso 3)
+
0 1 0
Paso 4)
1 1 0 1
+ 1 0 1 0
Paso 5)
1 1 0 1
1 0 1 0
+
1
Paso 6)
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
+
1
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
+
1
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
= 810)
3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE VERDAD.
3.1. Definiciones.
Una variable lógica A es aquella que puede tomar únicamente dos valores: 0 y 1.
Una función lógica F es un conjunto de variables lógicas A, B, C, relacionadas por
los símbolos de las operaciones permitidas: suma, producto y negación. Por
ejemplo:
F = A + B + A·C
Una función acepta sólo dos entradas (0 y 1) y produce un solo valor (salida).
Una tabla de verdad es una tabla donde se recoge el valor de la función para las
diferentes combinaciones posibles de las variables. Si hay n variables, tendremos
2n combinaciones posibles.
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3.2. Funciones básicas.
Veamos las funciones más sencillas que podemos encontrar en electrónica digital.
Observa la tabla con el circuito equivalente de cada función. Te ayudará a entender.
NOMBRE DE LA
FUNCIÓN
TABLA DE
VERDAD
ESQUEMA ELÉCTRICO
0
Cero
F=0
A
0
1
F=0
0
0
Identidad
F=1
A
0
1
F=1
1
1
1
A
A
0
1
Igualdad
F=A
F
0
1
Ā
A
0
1
Negación
F=Ā
F
1
0
Suma o Unión
F=A+B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F
0
1
1
1
Producto o
Intersección
F = A·B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F
0
0
0
1
Piensa, en cada caso, en el estado que tiene la lámpara al accionar los
correspondientes pulsadores y compara con las respectivas tablas de verdad.
Introducción a la electrónica digital, 6
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3.3. Álgebra de Boole. Propiedades.
El álgebra de Boole es una estructura matemática, que cuenta con dos números (0
y 1) y tres operaciones (suma, producto y negación).
Parte de unos postulados iniciales, de los que se pueden deducir leyes, teoremas y
otras consecuencias. Veámoslos:
‰
Postulados. Son enunciados que no necesitan demostración.
Postulado 1. El elemento identidad de la suma es el “0”. (A + 0 = A)
Postulado 2. El elemento de identidad del producto es el “1”. (A · 1 = A)
Postulado 3. La suma es conmutativa A + B = B + A
Postulado 4. El producto es conmutativo: A · B = B · A
Postulado 5. La suma es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Postulado 6. El producto es asociativo: (A · B) · C = A · (B · C)
Postulado 7. El producto es distributivo respecto de la suma:
A · (B + C) = (A · B) + (A · C)
Postulado 8. La suma es distributiva respecto del producto:
A + (B · C) = (A + B) · ( A + C).
Postulado 9. Para cada valor A existe un valor Ā tal que A· Ā = 0 y A + Ā =
1. Éste valor es el complemento lógico o negado de A.
Postulado 10. El álgebra de Boole es cerrada bajo las operaciones suma,
producto y negación.
‰
Teoremas. Son enunciados que se pueden demostrar a partir de los
postulados de partida.
Teorema 1: A + A = A
Teorema 6: A + A·B = A + B
Teorema 2: A · A = A
Teorema 7: A·(A + B ) = A
Teorema 3: A · 0 = 0
Teorema 4: A + 1 = 1
Teorema 5: A + A·B = A
‰
( )
Teorema 9: A·(A + B ) = A·B
· A + B) = A
Teorema 10: (A + B )(
Teorema 8: A· A + B = A·B
Leyes de De Morgan
DM1: A + B = A·B
DM2: A·B = A + B
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4. PUERTAS LÓGICAS.
Una puerta lógica es un circuito electrónico que tiene el mismo comportamiento
que una función lógica. Por tanto, la tabla de verdad de una puerta lógica es la misma
que las de una función lógica.
Las puertas lógicas tienen una única salida, aunque pueden tener una o más
entradas. Las puertas lógicas a la salida pueden dar niveles de tensión alto (1) o
niveles de tensión bajo (0).
En estos dispositivos hay que tener en cuenta que dependiendo de la tecnología
del fabricante de los circuitos (TTL y CMOS) varían los niveles de tensión en las
entradas y en las salidas. Esto hay que tenerlo en cuenta ya que en la electrónica
digital lo que se pretende es enviar la información más fiable posible. Por ejemplo el
voltaje de alimentación de las puertas TTL es de 5 V, mientras que el de las puertas
CMOS varía entre 3 y 15 V.
Según se ha comentado, cualquier función lógica puede representarse
mediante combinación de puertas lógicas. A esto se le llama implementación.
4.1. Puerta NOT.
La figura muestra es símbolo de un circuito NOT, al cual se
le llama más comúnmente INVERSOR. Este circuito siempre
tiene una sola entrada y su nivel lógico de salida siempre es
contrario al nivel lógico de esta entrada. Junto a la figura, se
indica la tabla de verdad de esta función.
A NOT
0 1
1 0
4.2. Puerta OR.
La puerta OR es un circuito que tiene dos entradas y
cuya salida es igual a la suma lógica de las entradas.
La figura muestra el símbolo correspondiente a una
puerta OR de dos entradas. Como se puede ver en la
tabla de verdad, la salida será ALTA si por lo menos
una de las entradas está ALTA.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
OR
0
1
1
1
4.3. Puerta AND.
En la figura se muestra el símbolo de una puerta AND
de dos entradas. La salida de la puerta AND es igual
al producto lógico de las entradas.
En otras palabras, la puerta AND es un circuito que
opera en forma tal que su salida es ALTA sólo
cuando las dos entradas son ALTAS.
4.4. Puerta NOR.
En la figura se muestra el símbolo de una puerta NOR
de dos entradas. Es igual al símbolo de la puerta OR
excepto que tiene un círculo pequeño en la salida,
que representa la operación de inversión. De este
modo, la puerta NOR opera como una puerta OR
seguida de un INVERSOR, de manera que los
circuitos de la figura son equivalentes y la expresión
de salida para la puerta NOR es la de la derecha.
Introducción a la electrónica digital, 8
A B AND
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
A B NOR
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 1
0
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4.5. Puerta NAND.
En la figura se muestra el símbolo correspondiente
a una puerta NAND de dos entradas. Es el mismo
que el de la puerta AND, excepto por el pequeño
circulo en su salida, que vuelve a indicar la
operación de inversión.
De este modo, la puerta NAND opera igual que la
AND seguida de un INVERSOR, y la salida de esta
puerta es la que aparece en la tabla de la derecha.
A B NAND
0 0
1
0 1
1
1 0
1
1 1
0
A
0
0
1
1
B XOR
0 0
1 1
0 1
1 0
4.6. Puerta OR Exclusiva (X-OR u OR-EX).
En la figura se muestra el símbolo de una puerta XOR
de dos entradas. La salida es 1 lógico si y solo si A es
diferente de B. Si A y B son ambas 0 lógico o ambas
son 1 lógico entonces SAL vale 0.
La tabla de verdad la tienes junto al símbolo de la
puerta. Observa que es parecido al de la puerta OR
Puede representarse como la función siguiente:
F = A·B + A·B
4.7. Puerta NOR Exclusiva (X-NOR o NOR-EX).
La salida de esta puerta es un 1 lógico si y solo si
las dos entradas son iguales, ya sea que ambas
sean 0 o ambas 1.
La tabla de verdad la tienes junto al símbolo de la
puerta. Observa que es parecido al de la puerta
NOR
Esto puede representarse mediante la función siguiente:
F = A·B + A·B
Introducción a la electrónica digital, 9
A
0
0
1
1
B XNOR
0
1
1
0
0
0
1
1
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5. LA ELECTRÓNICA DIGITAL EN EL MERCADO.
Los circuitos integrados o CI's, se han convertido en el componente más importante de
la electrónica moderna y se forman o fabrican con la unión de varios componentes
comunes como transistores, diodos, resistencias y hasta condensadores, en un solo
envoltorio y configurados ya como un circuito completo (chip).
Al aumentar la densidad y reducir el tamaño al mismo tiempo, se presenta un avance
importantísimo en el diseño de circuitos electrónicos.
Usando la misma tecnología de los transistores, con ellos es posible agrupar cientos o
miles de componentes en un envoltorio, que es similar en tamaño a un condensador
pequeño.
Los circuitos integrados digitales se clasifican por familias. Las más populares son:
¾ La familia TTL (Transistor-Transistor Logic o Lógica transistor-transistor). Se
identifican generalmente con un número o combinación de números y letras.
Generalmente su referencia empieza con el número 74 (véase la tabla adjunta).
Como, por ejemplo, 7400, 7402, etc.
¾ La familia CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor). Se identifican
generalmente con el número 4000 y posteriores, como 4001, 4002, etc. Esta
familia requiere un manejo especial ya que la electricidad estática del cuerpo
humano podría dañarlos al tocar sus terminales.
Cada circuito integrado tiene cierto número de pines o terminales. Es muy importante
saber dónde va conectado cada terminal, ya que si se conecta en forma errada se
puede dañar fácilmente.
Para eso se recomiendan los manuales técnicos, como el TTL Cookbook y el CMOS
Cookbook, manual de reemplazos ECG o los manuales
de los fabricantes.
Se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:
™ La ranura y el punto son para localizar el pin #1.
™ El terminal o pin #1, esta señalado por el punto que
está a la izquierda de la ranura.
™ Los pines están numerados en el sentido contrario a
las manecillas del reloj en forma de U
Los circuitos integrados vienen en configuraciones de 8,
14, 16, 18, 20, 24, 40 y 64 pines.
A menudo los circuitos integrados no se sueldan directamente al circuito impreso. Para
colocarlos, se pone primero una base en el circuito y luego los integrados se enchufan
en las bases.
Esto aumenta un poco el costo, pero evita
el calentamiento en el proceso de
soldadura y facilita la reparación de los
equipos, pues solo es cambiar el integrado
por uno nuevo cuando se dañe.
Introducción a la electrónica digital, 10
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TABLA DE CIRCUITOS INTEGRADOS COMERCIALES
Precio: 0.24 € + I.V.A.
Precio: 0.32 € + I.V.A.
Precio: 0.27 € + I.V.A.
Precio: 0.23 € + I.V.A.
Precio: 0.34 € + I.V.A.
Precio: 0.42 € + I.V.A.
Introducción a la electrónica digital, 11
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¿Cómo se emplean estos circuitos integrados?
Pues bien, imagina que quieres implementar la función F = A·B + C .
La tabla de verdad de esta función es la que aparece A B C A·B
en la derecha. De ella se deduce que la salida de la
0
función únicamente es cero cuando A = B = C = 0; 0 0 0
A = C = 0, B = 1 y A = 1, B = C = 0.
0 0 1
0
F = A·B + C
0
1
Para “observar” el comportamiento de la función F
vamos a montar un circuito electrónico, en el que el
encendido de una lámpara indicará un “1” de dicha
función. Si la lámpara está apagada, sin embargo,
tendremos un “0” de la función.
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
En la función F tenemos dos operaciones: un
producto y una suma lógicos. Por tanto,
necesitaremos un C.I. con puertas AND (el 7408) y
otro con puertas OR (el 7432).
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Para simular las variables A, B y C, emplearemos pulsadores normalmente abiertos
(NA) con esos nombres, y seguiremos el convenio utilizado hasta ahora: 0 =
desactivado, 1 = activado.
Conectamos los pulsadores A y B, respectivamente, a las patillas 13 y 12 del 7408.
Esto efectúa el producto lógico de ambas variables. La salida de esta puerta lógica
(patilla 11) se conecta a una puerta del circuito 7432, por ejemplo, en su patilla 9. A la
otra entrada (patilla 10) conectamos el tercer pulsador. Con esto, se efectúa la segunda
operación (la suma), la cual tenemos disponible a la salida de la puerta OR
correspondiente (patilla 8).
No hay que olvidar conectar las correspondientes alimentaciones (VCC) y las masas
(GND).
A
B
C
El objetivo de todo diseñador de circuitos lógicos debe ser el conseguir un circuito
empleando el menor número de puertas lógicas posibles y, con ello, el menor número
de circuitos integrados posible.
Es muy común, sin embargo, emplear sólo puertas NAND (C.I. 7400) o sólo puertas
NOR (C.I. 7402), para lo cual hay que transformar la función lógica del sistema
mediante procedimientos algebraicos para transformar el aspecto de la función F.
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6. APÉNDICE: MÉTODO DE KARNAUGH PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE
FUNCIONES LÓGICAS.
Cuando las funciones lógicas tienen una expresión grande, el procedimiento algebraico
nos puede llevar a cometer errores, porque se convierte en algo pesado. Se utiliza
entonces el procedimiento de los diagramas o mapas de Karnaugh.
Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el número de
variables de la función. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones
posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las
direcciones horizontal o vertical, cambiando únicamente una variable, ya sea en
forma negada o directa.
MAPAS DE KARNAUGH PARA DOS, TRES Y CUATRO VARIABLES
2 VARIABLES
3 VARIABLES
4 VARIABLES
Se numera cada celda con el número decimal correspondiente al término binario que
contiene, para facilitar el trabajo a la hora de colocar la función. Para simplificar una
función lógica por el método de Karnaugh se seguirán los siguientes pasos:
1º) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos que valen 1 en
la función.
2º) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo
estrictamente las siguientes reglas:
a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en el
estado de una sola variable (¡OJO!: las de los extremos son
adyacentes, ya que puedes imaginar que el diagrama es flexible y se
“enrolla” sobre sí mismo)
b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible, siempre
que dicho número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.)
c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya
cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes.
d) Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el mayor
número de unos posible.
3º) La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama.
Cada término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado
en el mismo lazo.
Vamos a ver todo el proceso con una función que nos sirve de ejemplo:
Introducción a la electrónica digital, 13
I.E.S. “Virgen de Villadiego”
Departamento de Tecnología
(
)
F =A·B· C + D + C·B + D·A
En primer lugar, obtenemos la tabla de verdad de la función. Fíjate bien cómo se hace:
vamos haciendo los productos o sumas más sencillos, y de ahí vamos pasando a las
operaciones más complicadas:
(
)
A B C D A C
D A·B C + D A·B· C + D
0 0 0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0 0 0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0 0 1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0 0 1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1 0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0 1 0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0 1 1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0 1 1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1 0 0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1 0 0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1 0 1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1 0 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1 0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1 1 0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1 1 1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1 1 1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
C·B D·A C·B + D·A
F
A continuación, escribimos el cuadrado.
Una vez hecho esto, en las casillas que
corresponda hay que poner los “UNOS” de la
función F. Así, la primera combinación que hace
uno a la función F es precisamente la 0, por lo
que en la primera casilla habrá que colocar un
uno. Sucede esto también con las casillas 2, 4, 6,
7, 12, 13, 14 y 15:
El siguiente paso es hacer grupos de 8, 4, 2 ó 1
“unos” que estén adyacentes. Para eso, te
puedes imaginar que el cuadrado es flexible y
que, enrollándolo sobre sí mismo, tocaría el lado
izquierdo con el derecho.
CD
AB
00
01
0
00
1
01
1
1
10
3
2
1
4
5
7
1
12
11
11
1
13
1
8
15
1
9
6
1
14
1
11
10
10
Así, por ejemplo, el primer grupo de mayor
tamaño que puede hacerse es de cuatro “unos”,
formado por las casillas 12, 13, 14, 15. Otro es el
formado por las casillas 6, 7, 14 y 15 (no importa que haya casillas que ya hayan sido
seleccionadas: buscamos siempre el grupo más grande posible).
Introducción a la electrónica digital, 14
I.E.S. “Virgen de Villadiego”
Departamento de Tecnología
Pasamos a grupos de 2 “unos”. En este caso tenemos el formado por las casillas 0 y 4.
Y, también, el formado por las casillas 0 y 2 que, si enrolláramos el cuadrado, serían
adyacentes.
Con esto, hemos terminado todos los posibles grupos (no hay grupos ni de ocho, ni de
un “unos”), que son: {0,2}, {4,12}, {12,13,14,15} y {6,7,14,15} Ahora llega el momento
de escribir los términos de la función simplificada. Como hay cuatro grupos, la
función simplificada tendrá cuatro términos.
Los términos de 4 (22) “unos” contienen 2 variables. Los términos de 2 ( 21) “unos”
contienen 3 variables.
En el grupo {0,2} la variable que cambia de valor es C, que debe eliminarse. Entonces,
el término correspondiente puede escribirse A·B·D .
En el grupo {4,12} la variable que cambia de valor es A, que debe eliminarse. Entonces,
el término correspondiente puede escribirse B·C D
En el grupo {12,13,14,15}, cambian de valor C y D, que deben eliminarse, y el término
correspondiente puede escribirse A·B.
En el grupo {6,7,14,15}, cambian de valor A y D, que se eliminan, y el término
correspondiente puede escribirse B·C.
Por tanto, la función puede escribirse entonces como:
F =A·B·C + B·C·D + A·B + B·C
Introducción a la electrónica digital, 15
ELECTRÓNICA DIGITAL. ACTIVIDADES
CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL Y VICEVERSA.
1. Convierte los siguientes números dados en sistema binario a sistema decimal:
1012)
10012)
1001012)
1112)
1010010002)
1000100102)
100000012)
2. Convierte los siguientes números decimales a binario:
6510)
12710)
12810)
100010)
10010)
3. Escribe en una columna los 20 primeros números naturales en código binario.
4. La clave para abrir la caja fuerte de un banco está escrita en binario en un papel.
Obtén los números de dicha clave, sabiendo que cada número tiene un tamaño de 8
bits.
101001010010101001010100000101010110000100000101
5. Un radiotelescopio situado en Puerto Rico ha recibido el siguiente mensaje binario
desde el espacio: 00000111000011100000101100000000.
Suponiendo que el mensaje esté cifrado con caracteres de 8 bits, que los
extraterrestres conozcan nuestro alfabeto, y que a cada letra le corresponde un
número decimal, traduce el mensaje recibido. Puedes emplear la siguiente tabla de
equivalencia.
A B C D E F G H I J K
L M N O P Q R
S
T
U
V W X
Y
Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
6. Convierte los siguientes números, dados en sistema decimal, a binario:
2510)
13510)
25510)
25610)
104010)
101010)
1000010)
511510)
7. Convierte los siguientes números binarios a decimal:
11001002)
100100012)
1010010002)
1110001110012)
CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL Y VICEVERSA
8. Convierte los números del ejercicio 7 a hexadecimal.
9. Convierte a binario los siguientes números expresados en sistema hexadecimal:
AB16)
ABC16)
7HF16)
11CF16)
BBC16)
OPERACIONES CON NÚMEROS BINARIOS
10. Efectúa la suma binaria de los números del ejercicio 8, agrupados de dos en dos.
11. Efectúa las siguientes operaciones en binario:
1 1 1 0 1
+ 1 1 0 1
Introducción a la electrónica digital, 16
1 1 1 1 1
+
1 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1
+
1 0 1 0 1 1
12. Efectúa las siguientes sumas binarias:
1 1 1 0 1
1 0 1 0 1
1 0 1 0
+ 1 1 0 1
1 0 0
+ 1 1 1 1
13. Convierte los siguientes números a binario y súmalos después: a) 135, 215; b)
10000, 100100; c) 255, 256; d) 103.256, 20.130.
14. Efectúa las siguientes diferencias en binario:
1 1 0 0 1
− 1 0 0 1
1 1 1 1 1
−
1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 1
−
1 0 1 1 1 1
15. Convierte los siguientes números a binario y efectúa la resta de ambos: a) 2300 y
349; b) 18 y 17; c) 45098 y 23421; d) 1506 y 1420.
16. Busca en bibliografía especializada las siguientes cuestiones:
a) ¿Cómo se indica la coma decimal en binario?
b) ¿Cómo se indica el signo menos para expresar que un número es
negativo?
FUNCIONES LÓGICAS (I). OPERACIONES.
17. Obtén la tabla de verdad de las funciones siguientes: a) NOT; b) AND; c) OR;
d) NOR; e) NAND.
18. Demuestra los Teoremas del Álgebra de Boole empleando tablas de verdad: obtén
la tabla de verdad de la expresión de la izquierda, la de la derecha y compáralas. (El
teorema estará demostrado si ambas tablas de verdad son iguales).
19. Comprueba, empleando una tabla de verdad, las leyes de De Morgan.
20. Obtén la tabla de verdad de la función: F = (A + B )·C
21. Obtén la tabla de verdad de la función: F = A + A·B + A·C + A·B·C
(
)( )
22. Obtén la tabla de verdad de la siguiente función: F = A + B · A·B
( )( )
24. Obtén la tabla de verdad de la función: F = (A + B·A )(
· B + A)
23. Obtén la tabla de verdad de la función: F = A + B · A + B
25. Obtén la tabla de verdad de la función: F = A + B + A·C + A·B·C . Simplifica hasta
que sea posible.
(
)
26. Considera las funciones: F1 = A + B ·(A·B ) y F2 = A·B + B . Construye la tabla de
verdad de ambas funciones. También se pide: a) tabla de verdad de la función
F1 + F2; b) tabla de verdad de la función F1·F2; c) tabla de verdad de la función
F1 + F2 ; d) simplifica la expresión final de cada uno de los resultados.
Introducción a la electrónica digital, 17
27. Obtén la expresión de la función F cuya tabla de verdad se da a la derecha.
A
B
C G
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
28. Obtén la expresión de la función G cuya tabla de
verdad aparece a la izquierda. Simplifícala.
29. Simplifica por el método de Karnaugh la función lógica
H cuya tabla de verdad es la que aparece a la derecha.
30. Obtén la tabla de verdad de la función suma de
F y G, a la que llamaremos I. Es decir: I = G + H.
Simplifica la función que resulta por el método
de Karnaugh. Implementa la función resultante
con puertas lógicas.
31. Obtén la tabla de verdad de la función J = G·H. Simplifica la función
que resulta, empleando el método de Karnaugh. Impleméntala con
puertas lógicas.
(
)
32. Sea la función lógica: F = A·B + A· B + C . Se pide:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
A
B
F
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
a) Obtén su tabla de verdad.
b) Simplifícala.
c) Implementa las dos formas (simplificada y no simplificada) con puertas lógicas. A
la luz del resultado, contesta: ¿Por qué debe simplificarse una función lógica?
FUNCIONES LÓGICAS (II). CIRCUITOS CON INTERRUPTORES.
33. Obtén la tabla de verdad de dos interruptores conmutados. ¿Cuál es la función
lógica que indica el estado de la lámpara?
34. Obtén la tabla de verdad del
circuito de la derecha y la
expresión de la función que nos
indica el estado de la lámpara L.
Implementa dicha función con
puertas lógicas.
Introducción a la electrónica digital, 18
H
1
1
0
0
0
1
0
1
35. Obtén la tabla de verdad de la
función L, que nos da el estado
de la lámpara según se
encuentren los pulsadores. Obtén
también la expresión algebraica
de la función L.
36. Obtén la tabla de verdad del
circuito de la figura de la derecha.
¿Puedes escribir la función que
nos indica el estado de la salida S?
37. Dibuja un circuito eléctrico equivalente a
las siguientes puertas lógicas: a) NOT;
b) AND; c) OR; d) NOR; e) NAND;
f) XNOR; g) NOR-EX.
PUERTAS LÓGICAS. IMPLEMENTACIÓN.
38. Implementa con puertas lógicas la función F = A + B·C .
39. Implementa con puertas lógicas la función F = A + A·B·C .
40. Implementa con puertas lógicas la función F = A·B + A·C
41. Implementa con puertas lógicas las siguientes funciones, realizando previamente
una simplificación, caso de que sea posible: a) F = A + B ; b) F = A + B + C ;
(
)(
)
c) F = A + B ; d) F = A + B ; e) F = A + B · A + B .
42. Implementa sólo con puertas NAND las puertas: NOT, OR, NOR y AND.
43. Implementa sólo con puertas NOR las puertas: NOT, OR, NAND y AND
44. Implementa sólo con puertas NAND la puerta OREX.
45. Implementa sólo con puertas NOR la puerta OREX.
46. Implementa sólo con puertas NAND la puerta NOR-EX.
47. Implementa sólo con puertas NOR la puerta NOR-EX.
48. Implementa A+B con puertas NAND.
49. Ídem con puertas NOR.
(
)
50. Implementa la función lógica F = A· B + A·C sólo con puertas NAND, e indica si
esta operación tiene alguna ventaja.
51. Implementa A·B·C con puertas NAND
52. Ídem con puertas NOR.
Introducción a la electrónica digital, 19
PUERTAS LÓGICAS. PROBLEMAS.
53. Un local tiene tres puertas, cada una con un sensor, que se activa al abrirse cada
puerta. Cuando se abren exactamente dos puertas a la vez, se dispara una alarma,
a la que llamaremos W. Obtén la tabla de verdad de la función que nos da el estado
de dicha alarma, así como la expresión de dicha función, simplificada al máximo.
Implementa el circuito de control de la alarma con puertas lógicas.
54. La alarma de una vivienda posee tres sensores: A, B y C. Dicha alarma debe
activarse cuando por lo menos dos de los tres sensores estén activados. Se pide:
a) tabla de verdad de la función E, que nos indica el estado de la alarma; b)
simplifica la función algebraicamente; c) simplifica la función usando un diagrama de
Karnaugh; d) implementa la función empleando cualquier tipo de puertas.
55. Se ha instalado dos luminosos en la puerta de una consulta médica, uno con el
rótulo “PASE”, y otro con el rótulo “ESPERE”. El primero debe encenderse sólo si
está el médico y no hay un paciente en el interior de la consulta. Se pide: a) tabla de
verdad de la función “P”, que nos indica el estado del cartel de “PASE”; b) ídem
para el rótulo “ESPERE”; c) expresión algebraica de la función P; d) ídem para la
función “E”.
56. En una familia de tres miembros (los dos padres y un hijo) deciden construir un
circuito lógico que decida cuándo se ve la televisión. El circuito debe cumplir las
siguientes condiciones:
a) La decisión la toman los padres.
b) Si los padres no se ponen de acuerdo, decidirá el hijo.
Según esto, se pide: 1) tabla de verdad del circuito; 2) expresión sin simplificar de la
función lógica E, que indica el estado del televisor; 3) expresión simplificada de
dicha función; 4) construye el circuito lógico empleando puertas lógicas.
57. En una familia de cuatro miembros (padre, madre, hermano y hermana), a la hora
de ver la tele, emplean el siguiente procedimiento:
a) Deciden los padres.
b) Si no se ponen de acuerdo, deciden los hijos.
c) Si tampoco se ponen de acuerdo los hijos, se hará lo que diga la madre.
Se pide: a) tabla de verdad de la función T, que indica el estado del televisor; b)
expresión simplificada de la función T; c) implementa la función T con puertas
lógicas.
58. Un juego de habilidad tiene 3 pulsadores, A, B y C. Gana el jugador que antes
activa su pulsador, o el que no ha pulsado si lo hacen dos simultáneamente. Si los
tres pulsadores son activados a la vez, no ganaría ninguno. Se pide: a) construye la
tabla de verdad de la función Ji, que nos indica si el jugador i ha ganado o no;
b) obtén la expresión algebraica de las funciones Ji.
59. Una máquina-herramienta tiene cuatro detectores de seguridad, 2 superiores y 2
inferiores. La máquina se para cuando se accionen, simultáneamente, al menos un
detector superior y un detector inferior. Se pide: a) tabla de verdad de la función
lógica “estado de la máquina”; b) simplificación por Karnaugh; c) implementa la
función lógica con puertas lógicas cualesquiera; d) implementa la función sólo con
puertas NAND.
Introducción a la electrónica digital, 20
60. Se ha instalado una alarma en una puerta. Para su funcionamiento, se ha habilitado
un sensor en cada uno de los vértices de la puerta. Para que se active la alarma,
deben activarse dos o más sensores, pero no se activará si están a la misma altura
o en la misma vertical. Se pide: a) tabla de verdad de la función H, que nos indica el
estado de la alarma; b) expresión simplificada de H; c) implementa H con puertas
lógicas cualesquiera; d) implementa H sólo con puertas NAND.
61. En una fábrica hay tres depósitos de agua, con sensores de nivel A, B y C. En los
depósitos A y B hay una bomba hidráulica en cada uno (que llamaremos S y T,
respectivamente). S envía el agua al depósito B, y T al C. Una bomba se pone en
marcha cuando su correspondiente depósito está lleno, y el depósito de destino no
lo esté. Se pide: a) tabla de verdad de las funciones S y T, que nos dan los estados
de las dos bombas; b) simplifica sus expresiones; c) impleméntalas usando puertas
lógicas cualesquiera; d) impleméntala sólo con puertas NAND; e) un LED indicador
se enciende cuando funciona cualquiera de las dos bombas. Implementa con
puertas lógicas la función L que nos indica su estado.
62. En una fábrica de piezas metálicas, se dispone de tres detectores de barrera
fotoeléctrica. Dos de ellos miden la longitud de la pieza, de modo que si la pieza
interrumpe los haces láser que inciden sobre las células fotoeléctricas
simultáneamente, la pieza es rechazada (por ser demasiado larga). Un tercer
detector mide la altura de la pieza. Si se activa, la pieza también es rechazada (por
ser demasiado alta). Un cilindro neumático N se activa cuando hay que rechazar
cada pieza. Te pido: a) calcula la tabla de verdad de la función lógica N que nos
indica el estado del cilindro neumático; b) simplifícala al máximo, usando el método
de Karnaugh; c) implementa la función con puertas lógicas cualesquiera; d) ídem,
pero sólo con puertas NAND; e) ídem sólo con puertas NOR.
63. Una sala tiene 5 puertas: A, B, C, D y E. La puerta E está automatizada, de modo
que permanece abierta únicamente si hay un número impar de puertas abiertas.
Diseña un circuito lógico, con puertas de cualquier tipo, que permita el control de E.
64. Diseña un circuito de control de un motor mediante tres pulsadores, A, B y C, que
cumplan las siguientes condiciones:
9 Si se pulsan los tres pulsadores el motor se activa.
9 Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el motor se activa, pero se
enciende una lámpara de peligro.
9 Si sólo se pulsa un pulsador, el motor no se activa, pero sí se enciende la
lámpara indicadora de peligro.
9 Si no se pulsa ningún pulsador, el motor y la lámpara están desconectados.
Se pide: a) tabla de verdad; b) expresión algebraica de las funciones L y M que nos
indican, respectivamente, la activación de la luz y del motor; c) simplifica ambas
funciones empleando el método algebraico; d) simplifica ambas funciones
empleando el método de Karnaugh; e) implementa el circuito con puertas lógicas.
65. Diseña un circuito lógico constituido por tres pulsadores, A, B y C y una lámpara,
que funcione de forma que ésta se encienda cuando se pulsen los tres pulsadores a
la vez, o sólo uno cualquiera. Determina: a) tabla de verdad; b) expresión algebraica
(simplificada); c) implementa el circuito con puertas lógicas.
Introducción a la electrónica digital, 21
66. El limpiaparabrisas de un automóvil dispone de dos sensores infrarrojos situados
sobre la luna delantera. Cuando se activa uno de los sensores y el vehículo está en
marcha, el limpiaparabrisas se pone en marcha. Obtén: a) la tabla de verdad de la
función que nos indica el estado del limpiaparabrisas; b) expresión (sin simplificar)
de dicha función; c) expresión simplificada de dicha función (emplea el método de
Karnaugh); d) implementa la función lógica sólo con puertas NAND; e) implementa
la función sólo con puertas NOR.
Introducción a la electrónica digital, 22