Modelo Estándar Juan Barranco Monarca DCI Universidad de Guanajuato IV Escuela Mexicana de Cuerdas y Supersimetrı́a Guanajuato, Guanajuato, Junio 8 a 16, 2015 Modelo Estándar– p. 1 Entender Modelo Estándar– p. 2 Dos modelos estándares Modelo Estándar Cosmológico Relatividad general Modelo Estándar– p. 3 Dos modelos estándares Modelo Estándar Cosmológico Relatividad general Modelo Estándar– p. 3 Dos modelos estándares Modelo Estándar de las partículas elementales Teoría cuántica de campos SU (3) × SU (2) × U (1) Modelo Estándar– p. 4 Dos modelos estándares Un par de comentarios respecto a la “Teoría cuántica de campos”: Es una teoría descriptiva Campos 1. Campos clásicos 2. Campos cuánticos El surgimiento de las partículas Modelo Estándar– p. 5 Outline La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y filosofía Modelo Estándar– p. 6 Outline La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y filosofía El Modelo estándar como una teoría de norma Modelo Estándar– p. 6 Outline La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y filosofía El Modelo estándar como una teoría de norma Cálculo de un proceso en el SM: Dispersión neutrino-electrón Modelo Estándar– p. 6 Outline La construcción del Modelo Estándar (SM): Historia y filosofía El Modelo estándar como una teoría de norma Cálculo de un proceso en el SM: Dispersión neutrino-electrón ¿Qué preguntas abiertas hay en el SM? Modelo Estándar– p. 6 El modelo estándar: Historia y algo de Filosofía Procuramos entender los fenómenos y al hacerlo nos damos cuenta de que toda comprensión comienza con el reconocimiento de las similitudes o regularidades Modelo Estándar– p. 7 El modelo estándar: Historia y algo de Filosofía Procuramos entender los fenómenos y al hacerlo nos damos cuenta de que toda comprensión comienza con el reconocimiento de las similitudes o regularidades Dichas regularidades aparecen entonces como consecuencias parciales de algo que es común a diversos fenómenos, que puede llamarse principio fundamental Modelo Estándar– p. 7 El modelo estándar: Historia y algo de Filosofía Procuramos entender los fenómenos y al hacerlo nos damos cuenta de que toda comprensión comienza con el reconocimiento de las similitudes o regularidades Dichas regularidades aparecen entonces como consecuencias parciales de algo que es común a diversos fenómenos, que puede llamarse principio fundamental Esperanza de la simplicidad de los fenómenos y con ella la de que exista una sustancia fundamental. Modelo Estándar– p. 7 Primera lección Interacciones fundamentales ⇔ Constituyentes fundamentales La ciencia es analı́tica: La investigación comienza descomponiendo sus objetos a fin de descubrir el mecanismo interno responsable de los fenómenos observados; ...el próximo paso es el exámen de la interdependencia de las partes y la etapa final es la tentativa de reconstruir el todo en términos de sus partes interconectadas Mario Bunge, La ciencia, su método y su filosofía Modelo Estándar– p. 8 Un poco de historia La búsqueda de las interacciones y los componentes últimos de la materia. 1807-1909 Descubriemiento teórico de la máxima importancia: Lorentz, Maxwell, Helmholtz y Lorentz descubren lo que llamamos las ”gauge transformation” del campo electromagnético. ~→A ~′ = A ~ + ∇χ , A 1 ∂χ , φ→φ =φ− c ∂t ′ 1896 ⋆ Becquerel encuentra evindencia de decaimiento espontáneo del uranio radioactivo usando películas fotográficas. Modelo Estándar– p. 9 Un poco de historia 1897 ⋆ Thomson: Descubre el electrón en rayos catódicos. La primera partícula fundamental. ¿Qué es una partícula fundamental? 1900 ⋆ Planck: Inicio de la era cuántica. 1. adj. Fı́s. Perteneciente o relativo a los cuantos de energı́a. El conocimiento cientı́fico es claro y preciso. Mario Bunge, La ciencia, su método y su filosofía 1905 Einstein: Inicio de la era relativista. Primer postulado:) Las leyes de la fı́sica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales Segundo postulado (invarianza de c): La velocidad de la luz en el espacio vacio tiene el mismo valor c en todos los sistemas de referencia inerciales Modelo Estándar– p. 10 Un poco de historia 1905 ⋆ Einstein: Explicación del efecto foto-eléctrico como un efecto cuántico. 1911 ⋆ Millikan: Hace la medición de la carga eléctrica del electrón. 1911 Rutherford: Obtiene evidencia de la existencia del núcleo atómico. 1913 ⋆ Bohr: invención de la teoría cuántica para el espctro atómico 1914 Chadwick : Primera observación de que el espectro β es continuo. Observación indirecta de la existencia de partículas neutras penetrantes. Modelo Estándar– p. 11 Un poco de historia 1919 Rutherford: Descubre el protón, constituyente del núcleo atómico. 1923 ⋆ Compton: Confirmación experimental de que el fotón es una partícula elemental en γ + C → γ + C . 1923 ⋆ de Broglie: Dualidad onda-partícula para electrones. λ = hp . Modelo Estándar– p. 12 Un poco de historia 1925 ⋆ Pauli: Descubrimiento del principio de exclusión. ¿De que observación experimental viene el principio de exclusión? ¿Qué es una enana blanca? 1925 ⋆ Heisenberg: Fundamentos de la mecánica cuántica. 1926 ⋆ Schrödinger: Creación de la mecánica cuántica ondulatoria. Modelo Estándar– p. 13 Un poco de historia 1926 Fock: Observa que en complemento a las transformaciones gauge: ~→A ~′ = A ~ + ∇χ , A 1 ∂χ , φ→φ =φ− c ∂t cuando se combinan con la mecánica cuántica hay un hecho notable: para la dinámica cuántica, es decir, para que la ecuación cuántica sea invariante por esta transformación, la función de onda debe satisfacer la condición: ψ → ψ ′ = ψ exp(ieχ/~c) ′ Modelo Estándar– p. 14 Un poco de historia 1927 Ellis and Wooster: Confirmación de que el espectro del decaimiento β es continuo. 1927 Dirac: Fundamentos de la electrodinámica cla’sica (QED) 1928 ⋆ Dirac: Descubrimiento de la función de onda relativista para el electrón. (i 6 ∂ − m)ψ = 0 1929 Skobelzyn: observación de una cascada de rayos cósmicos. 1930 Pauli: Primera propuesta de la existencia de una partícula ligera, neutra, y débilmente interactuante → neutrino. Modelo Estándar– p. 15 Una posible solución desesperada El decaimiento beta (β) es el proceso mediante el cual, un núcleo radioactivo emite un electrón. Originalmente se creía que un neutrón decaía en un protón y un electrón (n → p + e− ). Si esto es así, por conservación de la energía: m21 − m22 M + , E1 = 2 2M m22 − m21 M E2 = + 2 2M M es la masa del neutrón y m1 la masa del electrón y m2 la masa del protón. Modelo Estándar– p. 16 Carta de Pauli del 4 de diciembre de 1930 Dear Radioactive Ladies and Gentlemen, As the bearer of these lines, to whom I graciously ask you to listen, will explain to you in more detail, how because of the ”wrong”statistics of the N and Li nuclei and the continuous beta spectrum, I have hit upon a deseperate remedy to save the .exchange theorem.of statistics and the law of conservation of energy. Namely, the possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles, that I wish to call neutrons, which have spin 1/2 and obey the exclusion principle and which further differ from light quanta in that they do not travel with the velocity of light. The mass of the neutrons should be of the same order of magnitude as the electron mass and in any event not larger than 0.01 proton masses. The continuous beta spectrum would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the electron such that the sum of the energies of the neutron and the electron is constant... I agree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they really exist. But only the one who dare can win and the difficult situation, due to the continuous structure of the beta spectrum, is lighted by a remark of my honoured predecessor, Mr Debye, who told me recently in Bruxelles: .Oh, It’s well better not to think to this at all, like new taxes”. From now on, every solution to the issue must be discussed. Thus, dear radioactive people, look and judge. Unfortunately, I cannot appear in Tubingen personally since I am indispensable here in Zurich because of a ball on the night of 6/7 December. With my best regards to you, and also to Mr Back. Your humble servant, W. Pauli The text above is an abridged version of the original. Modelo Estándar– p. 17 El nacimiento Electricamente neutra Fermión Masa menor a la masa del electrón Modelo Estándar– p. 18 Un poco de historia 1931 Dirac: Predicción de las antipartículas. 1932 ⋆ Anderson: primera evidencia del positron en rayos cósmicos. 1932 ⋆ Chadwick: Descubrimiento del neutrón. 1932 Heisenberg: Núcleo esta compuesto por protones y neutrones. 1934 Pauli: explanation of continuous electron spectrum of β decay — proposal for the neutrino. n → p + e− + ν̄e . Modelo Estándar– p. 19 Un poco de historia 1934 Fermi: teoría de campo para el decaimiento β , asumiendo la existencia del neutrino. Fermi propone un Lagrangiano de la forma: Lweak GF µ = √ ψ̄p γµ ψn ψ̄e γ ψν . 2 1936 Gamow and Teller: proponen una extension a la teoría de Fermi para ∆J nuc 6= 0. Modelo Estándar– p. 20 Un poco de historia 1937 Neddermeyer and Anderson: Primera evidencia del muón. (Rabi: ¿Quién ordenó eso?) 1937 Majorana: Teoría del neutrino de Majorana. 1940 Williams and Roberts: µ− → e− + (ν̄e + νµ ) . 1943-1948 ⋆ Feynman, Schwinger, Tati and Tomonaga crearon la teoría covariante de la QED. Modelo Estándar– p. 21 Un poco de historia 1949 Wheeler y Tiomno; Lee, Rosenbluth y Yang: proponen la universalidad de las interacciones débiles, esto es, los procesos β − decay : µ − capture : µ − decay : n → p + e− + ν̄e , µ− → e− + ν̄e + νµ , µ − + p → νµ + n , son de la misma naturaleza y tienen la misma constante de acoplamiento: GF . Modelo Estándar– p. 22 Los grandes aceleradores de partículas 50’s Se descubre un gran número de nuevas partículas: π 0 , K ± , Λ, K 0 , ∆++ , Ξ− , Σ± , ν̄e , p̄, KL,S , n̄, Σ0 , Λ̄, Ξ0 , · · · 1954 Yang and Mills: Introducción del principio de invariancia local de norma en teoría cuántica de campos. 1955 Alvarez y Goldhaber: Rompecabezas θ − τ , que sugería que la paridad podría ser violada. 1956 ⋆ Lee and Yang: proponen probar la conservación de paridad espacial en interacciones débiles. Modelo Estándar– p. 23 Violación de la paridad 1957 Wu y colaboradores: obtienen la primera evidencia de la no-conservación de la paridad en decaimientos débiles. La confirmación de la violación de paridad por las interacciones débiles muestra que es necesario tener un término γ5 en la corriente débil: Lweak GF X i i → √ Ci ψ̄p Γ ψn ψ̄e Γ (1 ± γ5 ) ψν . 2 i Modelo Estándar– p. 24 El papel den neutrino para V − A 1958 Feynman y Gell–Mann, Marshak y Sudarshan ; Sakurai: interacciones débiles universales V − A +µ µ Jlept = ψ̄e γ (1 − γ5 ) ψν . (1) 1958 Goldhaber, Grodzins and Sunyar: primera evidencia de la helicidad negativa del νe . Modelo Estándar– p. 25 El neutrino 1959 ⋆ Reines: Detección del neutrino de Pauli. Modelo Estándar– p. 26 Observación experimental del neutrino: Reines Modelo Estándar– p. 27 Observación experimental del neutrino: Reines Modelo Estándar– p. 28 Desarrollo teórico en la teoría de campos 1961 Goldstone : predicción de un bosón sin masa si una simetría del Lagrangiano es rota espontanéamente. 1961 Salam and Ward: invención del principio de norma como la base para construir teorías cuánticas de campo de los campos interactuantes fundamentales. 1961 ⋆ Glashow: primera introducción del bosón de norma débil Z 0 1962 ⋆ Danby et al.: primera evindecia del νµ de π ± → µ± + (ν/ν̄). Número leptónico Modelo Estándar– p. 29 Desarrollo teórico en la teoría de campos 1963 Cabibbo: introducción del ángulo de Cabibbo y de las corrientes hadrónicas. 1964 Higgs; Englert and Brout; Guralnik, Hagen and Kibble: Construyen un ejemplo de una teoría de campo con rompimiento espontaneo de la simetría, sin un bosón no masivo de Goldstone y bosones vectoriales masivos. Modelo Estándar– p. 30 El nacimiento del modelo estándar 1964 ⋆ Salam y Ward: Escriben el Lagrangiano de la sintesis electro-débil. Estiman la masa del W . 1964 ⋆ Gell–Mann; Zweig: introducción de los quarks como bloques fundamentales de construcción para los hadrones. 1964 Greenberg; Han y Nambu: introducen el número cuántico color, los quarks coloreados y los gluones. 1967 Kibble [?]: extienden el mecanismo de Higgs de generación de masas para teorías de campo no abelianas. Modelo Estándar– p. 31 El nacimiento del modelo estándar 1967 ⋆ Weinberg: Lagrangiano para la sintesis electrodébil y estimación de las masasa de los bosones vectoriales W y Z . 1967 Faddeev and Popov: método para la construcción de las reglas de Feynman para las teorías de Yang-Mills. 1968 ⋆ Salam: Lagrangiano para la sintesis electrodébil. Modelo Estándar– p. 32 El nacimiento del modelo estándar 1970 Glashow, Iliopoulos and Maiani: introducción de una simetría lepton– quark y la propuesta de un quark encantado. (Mecanismo GIM). 1971 ⋆ ’t Hooft: Prueba rigorosa de que las teorías de Yang-Mills son renormalizables. 1973 Kobayashi y Maskawa: La violación de CP es acomodada en el SM con seis sabores. 1973 Hasert et al. (CERN): Observación experimental de la existencia de las corrientes débiles. Calcularemos la sección eficaz Modelo Estándar– p. 33 Modelos estándar Los experimentos a bajas energías han aportado una gran cantidad de información. Sólo los fermiones (anti-fermiones) de quiralidad izquierda (derecha) participan en las interacciones débiles. Además la interacción parece ser universal lo cual queda manifiesto al estudiar otros procesos como π − → e− ν̄e o π − → µ− ν̄µ que implican que los neutrinos tienen también quiralidad izquierda y los anti-neutrinos una quiralidad derecha. Existen tres tipos diferentes de neutrinos (νe 6= νµ ) y que hay una conservación de los número leptónico que distingue a los neutrinos de los antineutrinos. Así es que observamos transiciones como ν̄e p → e+ n , νe n → e− p , ν̄µ p → µ+ n o νµ n → µ− p , pero nunca procesos como νe p 6→ e+ n , ν̄e n 6→ e− p , ν̄µ p 6→ e+ n o νµ n 6→ e− p . Ausencia de corrientes neutras con cambio de sabor (µ− 6→ e− e− e+ ). Modelo Estándar– p. 34 Corrientes cargadas νµ νµ µ− W − e − νe e − µ− W + νe Figura 1: Diagramas de Feynman a nivel árbol para µ− → e− ν̄e νµ y νµ e− → µ− νe . Modelo Estándar– p. 35 Corrientes cargadas La interacción de los quarks y de los leptones con los bosones W ± exhiben las siguientes características: Sólo los fermiones izquierdos y los antifermiones derechos se acoplan con W ± . Además hay un rompimiento al 100 % de la paridad P (izquierda ↔ derecha) y conjugación de carga C (partícula↔ antipartícula). Sin embargo CP aún es una buena simetría. Los bosones W ± se acoplan a los dobletes fermiónicos donde las cargas eléctricas de los dos fermiones difieren en una unidad. νe u e− d′ , νµ c µ− s′ Los canales de decaimiento del W − son: , ντ t τ− b W − → e− ν̄e , µ− ν̄µ , τ − ν̄τ , d ′ ū , s ′ c̄ . , (2) (3) Modelo Estándar– p. 36 Corrientes cargadas Todos los dobletes fermionicos se acoplan con los bosones W ± con la misma intensidad universal. Los auto-estados débiles d ′ , s ′ , b ′ son diferentes a los auto-estados de masa d , s , b . Estos estan relacionados a través de una matriz unitaria 3 × 3 V que caracteriza el fenómeno de mezcla de sabores. Modelo Estándar– p. 37 Corrientes Neutras e– e+ γ, Z – µ– e ν Z ν µ+ e+ Figura 2: Diagramas de Feynman a nivel árbol para e+ e− → µ+ µ− y e+ e− → ν ν̄. Modelo Estándar– p. 38 Corrientes Neutras Los acoplamientos entre los fermiones y los portadores neutros de las interacciones eléctricas y débiles presentan las siguientes características: Todos los vértices conservan el sabor. Tanto el γ y el Z se acoplan a los fermiones y a los antifermiones , es decir, γ f f¯ y Z f f¯. Transiciones del tipo µ 6→ eγ o Z 6→ e± µ∓ nunca se han observado. Las interacciones dependen de la carga eléctrica Qf . Los fermiones con la misma Qf tienen exactamente el mismo acoplamiento universal . Los neutrinos no tienen interacciones electromagnéticas (Qν = 0), pero tienen un acoplamiento al bosón Z. Los fotones tienen la misma interacción con ambas quiralidades de los fermiones, pero el acoplamiento del bosón Z es diferente para cada quiralidad. El acoplamiento de los neutrinos con el Z involucra sólo neutrinos zurdos. Hay sólo tres especies de neutrinos ligeros. Modelo Estándar– p. 39 La teoría SU(2)L ⊗ U(1)Y Usando invariancia de norma es posible obtener los lagrangianos correctos para la electrodinámica cuántica (QED). Pero, para describir las interacciones débiles se necesita una estructura más elaborada, que incluya distintos sabores fermiónicos y diferentes propiedades para los campos izquierdos y derechos tal que se reproduzcan los hechos experimentales mencionados en la sección anterior. Además, los fermiones izquierdos deben aparecer en dobletes y se desea que los bososnes de norma W ± y el Z sean masivos, y adicionalmente incluir al fotón. El grupo más simple con representación de dobletes es SU (2). Como queremos incluir las interacciones electromagnéticas incluimos un grupo U (1) adicional. Por lo tanto el grupo de simetría obvio a considerar es G ≡ SU (2)L ⊗ U (1)Y , (4) donde L se refiere a campos izquierdos (left). Por el momento el significado de Y no se específica y la interpretación obvia de electromagnetismo no se aplica. Modelo Estándar– p. 40 Tomemos una sola familia Por simplicidad, sólo tomaremos una sola familia de quarks e introducimos la notación ψ1 (x) = u d , ψ2 (x) = uR , ψ3 (x) = dR . (5) L y de igual forma para el sector leptónico ψ1 (x) = νe e− , ψ2 (x) = νeR , ψ3 (x) = e− R. (6) L y el lagrangiano libre es ¯ γ ∂µ d(x) = L0 = i ū(x) γ ∂µ u(x) + i d(x) µ µ 3 X i ψ j (x) γ µ ∂µ ψj (x) . (7) j=1 L0 Es invariante ante transformaciones de norma globales G en la base de sabor: Modelo Estándar– p. 41 Tomemos una sola familia G ψ1 (x) −→ ψ1′ (x) ≡ exp {iy1 β} UL ψ1 (x) , ψ2 (x) −→ ψ2′ (x) ≡ exp {iy2 β} ψ2 (x) , ψ3 (x) −→ ψ3′ (x) ≡ exp {iy3 β} ψ3 (x) , G G (8) donde la transformación SU (2)L UL n σ o i i ≡ exp i α 2 (i = 1, 2, 3) (9) sólo actúa sobre los dobletes ψ1 . Los parámetros yi son llamados hipercargas debido a que las transformaciones U (1)Y son análogas a las de la QED. Nótese que no se ha introducido ningún término de masa en 7 porque dicho término mezclaría los campos izquierdos y derechos destruyendo las simetrías impuestas. Modelo Estándar– p. 42 Invariancia de norma local → interacción Si ahora se exige que el Lagrangiano sea invariante bajo transformaciones de norma local SU (2)L ⊗ U (1)Y que implica que αi = αi (x) y β = β(x), este requirimiento de simetría requiere que las derivadas sean ahora derivadas covariantes. Puesto que se tienen 4 parámetros de norma, αi (x) y β(x) entonces se requieren 4 diferentes bosones de norma h i f ∂µ − i g Wµ (x) − i g ′ y1 Bµ (x) ψ1 (x) , Dµ ψ1 (x) ≡ Dµ ψ2 (x) ≡ [∂µ − i g ′ y2 Bµ (x)] ψ2 (x) , Dµ ψ3 (x) ≡ [∂µ − i g ′ y3 Bµ (x)] ψ3 (x) . (10) donde fµ (x) ≡ σi W i (x) W µ 2 (11) denota a un campo matricial SU (2)L . De esta forma tenemos el número correcto de campos; 3 Wµi y un Bµ que se relacionarán con los campos de norma físicos W ± , Z y γ. Modelo Estándar– p. 43 Transformación de los campos Una vez introducidas las derivadas covariantes se requiere además que Dµ ψj (x) transforme de la misma forma que el campo ψj (x) lo cual determina la transformación de los campos de norma: G Bµ (x) −→ fµ W −→ G 1 ∂µ β(x), g′ fµ U † (x) − i ∂µ U (x) U † (x), f ′ ≡ U (x) W W µ L L L L g ′ (x) ≡ Bµ (x) + Bµ (12) (13) σi i donde UL (x) ≡ exp i 2 α (x) . Nótese que los acoplamientos de ψj a Bµ son completamente arbitrarios mientras que dada la no-linealidad en las relaciones de conmutación de SU (2)L esta libertad no existe para Wµi . Existe una sola constante de acoplamiento g para SU (2)L . Finalmente el lagrangiano L = 3 X i ψ j (x) γ µ Dµ ψj (x) , (14) j=1 es invariante ante transformaciones locales G. Modelo Estándar– p. 44 Términos cinéticos Para construir términos cinéticos invariantes de norma para los campos de norma se construyen los correspondientes tensores de campo: Bµν ≡ ∂µ Bν − ∂ν Bµ , fµν W i i h fν − ∂ν W fµ − ig [Wµ , Wν ] , fν fµ , ∂ν − i g W ≡ = ∂µ W ∂µ − i g W g fµν ≡ σi W i , W µν 2 i = ∂µ Wνi − ∂ν Wµi + g ǫijk Wµj Wνk . Wµν (15) (16) (17) fµν transforma Bµν permanece invariante ante transformaciones G mientras que W covariantemente: G Bµν −→ Bµν , G fµν −→ fµν U † . W UL W L (18) Modelo Estándar– p. 45 Términos cinéticos Finalmente el lagrangiano cinético, propiamente normalizado está dado por LKin 1 1 1 h f f µν i 1 i µν = − Bµν B − Tr Wµν W = − Bµν B µν − Wµν Wiµν . 4 2 4 4 (19) i contienen términos cuárticos, esto da origen a Puesto que los tensores de campo Wµν auto-interacciones de los campos de norma de orden cúbico y cuártico. Es importante enfatizar que la simetría de norma prohíbe escribir un término de masa para los bosones de norma. Las masas de los fermiones tampoco se pueden agregar directamente en el lagrangiano porque estos mezclarían campos izquierdo y derechos que explicítamente rompen la simetrá de norma. Los lagrangianos 14 y 19 contienen por lo tanto sólo campos sin masa. Modelo Estándar– p. 46 Interacciones de corrientes cargadas W qd g 2 3/2 (1− γ ) 5 W qu l− g (1− γ ) 5 2 νl 3/2 El lagrangiano 14 contiene interacciones de los fermiones con los campos de norma, L −→ fµ ψ1 + g ′ Bµ g ψ1 γ µ W 3 X yj ψ j γ µ ψj . (20) j=1 Modelo Estándar– p. 47 Interacciones de corrientes cargadas El término que contiene la matriz SU (2)L √ i 1 σ fµ = Wµi = √ W 2 2 2 Wµ3 Wµ Wµ† √ − 2 Wµ3 (21) da origen a las interacciones de corriente cargada con el campo bosónico √ √ † 1 2 1 2 Wµ ≡ (Wµ + i Wµ )/ 2 y su complejo conjugado Wµ ≡ (Wµ − i Wµ )/ 2 que como se verán corresponden al W ± . Modelo Estándar– p. 48 Interacciones de corrientes cargadas Entonces para una familia de quarks y leptones el lagrangiano resultante es, LCC g † µ µ = √ Wµ [ūγ (1 − γ5 )d + ν̄e γ (1 − γ5 )e] + h.c. . 2 2 (22) y se observa que la universalidad de las interacciones es una consecuencia de la simetría de norma asumida. Nota, sin embargo, que 22 no puede describir la dinámica experimental observada porque los bosones de norma no tienen masa y por lo tanto, dan origen a fuerzas de largo alcance lo cual no se observa. Modelo Estándar– p. 49 Interacciones de corrientes neutras γ f e Qf Z f f f e 2 sθ c θ (vf − af γ5 ) La eq. 20 contiene también interacción con los bosones de norma neutros Wµ3 y Bµ . Sería conveniente poder identificar estos bosones con Z y γ. Sin embargo, puesto que el fotón tiene la misma interacción con fermiones de ambas quiralidades, el bosón Bµ no puede ser igual al campo electromagnético porque eso requiere que y1 = y2 = y3 y g ′ yj = e Qj , lo cual no se puede satisfacer simultáneamente. Modelo Estándar– p. 50 Interacciones de corrientes neutras Puesto que ambos campos son neutros, para resolver este problema, se puede tratar con una combinación arbitraria de ellos: Wµ3 Bµ ≡ cos θW sin θW − sin θW cos θW Zµ Aµ . (23) En términos de los “verdaderos” campos de norma Aµ (γ) y Zµ el lagrangiano de corrientes neutras esta dado por LNC = X j ψj γ µ n h σ h σ i io 3 3 Aµ g ψj . sin θW + g ′ yj cos θW + Zµ g cos θW − g ′ yj sin θW 2 2 (24) Modelo Estándar– p. 51 Interacciones de corrientes neutras Por último, para obtener la QED se impone la condición g sin θW = g ′ cos θW = e , Y = Q − T3 , (25) donde T3 ≡ σ3 /2 y Q denota el operador de carga electromagnética Q1 ≡ Qu/ν 0 0 Qd/e , Q2 = Qu/ν , Q3 = Qd/e . (26) La primera igualdad de 25 relaciona los acoplamientos de SU (2)L y U (1)Y mientras que la segunda fija las hipercargas en términos de su carga eléctrica y su número cuántico de isoespín: Quarks: Leptones: y1 = Qu − y1 = Qν − 1 2 1 2 = Qd + = Qe + 1 2 1 2 = 1 6 , = − 12 , , y3 = Qd = − 13 , y2 = Qν = 0 , y3 = Qe = −1 . y2 = Qu = 2 3 Modelo Estándar– p. 52 Interacciones de corrientes neutras Usando entonces 25 el lagrangiano de corrientes neutras puede ser escrito como LNC = LQED + LZ NC , (27) donde LQED = e Aµ X j µ ψ j γ µ Qj ψj ≡ e Aµ Jem (28) es el lagrangiano usual de la electrodinámica cuántica y LZ NC = e 2 sin θW cos θW µ JZ Zµ (29) contiene la interacción del bosón Z µ JZ ≡ X j µ . ψ j γ µ σ3 − 2 sin2 θW Qj ψj = J3µ − 2 sin2 θW Jem (30) Modelo Estándar– p. 53 Interacciones de corrientes neutras En términos de los campos fermiónicos LZ NC tiene la siguiente forma LZ NC = e 2 sin θW cos θW T3f T3f Zµ X f f¯γ µ (vf − af γ5 ) f , (31) | sin2 1 − 4|Qf θW . En la tabla 1 se han colocado los y vf = donde af = diferentes valores de acoplamiento de las corrientes neutras. Cuadro 1: Neutral-current couplings. u 2 vf 2 af 1− 8 3 sin2 θW 1 −1 + 4 3 d νe e sin2 θW 1 −1 + 4 sin2 θW 1 −1 −1 Modelo Estándar– p. 54 El mecanismo Higgs–Kibble El modelo presentado anteriormente es muy elegante, pero padece el inconveniente de que tanto los fermiones como los bosones no tienen masa. Sin embargo hay una característica muy interesante que se da cuando existe una simetría local de norma como lo notó Weinberg. Si se considera un doblete SU (2)L de campos escalares φ(x) ≡ φ(+) (x) φ(0) (x) y un lagrangiano para estos campos LS 2 † = (Dµ φ) D φ − µ φ φ − h φ φ , † µ 2 † i h µ µ µ f φ, D φ = ∂ − i g W − i g ′ yφ B µ . (32) (h > 0 , µ2 < 0) , (33) 1 , 2 (34) yφ = Qφ − T3 = observamos que dicho Lagrangiano es invariante bajo tranformaciones SU (2)L ⊗ U (1)Y . El valor de la hipercarga escalar esta fijada al requerir el acoplamiento correcto entre φ(x) y Aµ (x) por lo que el fotón no se acopla a φ(0) , y se obtiene la carga correcta para φ(+) . Modelo Estándar– p. 55 El mecanismo Higgs–Kibble El potencial del lagrangiano que aparece en 33 tiene un número infinito de estados degenerados de mínima energía que satisfacen h0|φ(0) |0i = s −µ2 v ≡ √ . 2h 2 (35) Puesto que la carga eléctrica es una cantidad conservada, sólo el campo escalar neutro puede adquirir un valor de expectación de vacío. Una vez que se escoge un estado base particular la simetría SU (2)L ⊗ U (1)Y se rompe espontáneamente al sub-grupo U (1)QED que por construcción sigue siendo una simetría del vacío. De acuerdo al teorema de Goldstone, tres estados de masa deberían aparecer. Ahora, al parametrizar al doblete escalar de la forma general o 1 n σ 0 i i , θ (x) √ φ(x) = exp i 2 2 v + H(x) (36) tiene cuatro campos reales θi (x) y H(x). El punto crucial es que la invariancia local del lagrangiano permite eliminar la dependencia en θi (x). Estos tres campos eran precisamente los bosones sin masa tipo Goldstone asociados al rompimiento espontáneo de la simetría. Modelo Estándar– p. 56 El mecanismo Higgs–Kibble La derivada covariante 34 asocia el multiplete escalar a los bosones de norma SU (2)L ⊗ U (1)Y , y la parte cinética del lagrangiano escalar 33 toma la forma (Dµ φ)† Dµ φ θi =0 −→ 1 ∂µ H∂ µ H + (v + H)2 2 g2 g2 µ † µ Wµ W + Z Z µ 4 8 cos2 θW . (37) El valor esperado del vacío del campo escalar ha generado un término cuártico para los bosones W ± y Z, es decir, los bosones de norma han adquirido masa : MZ cos θW = MW = 1 vg. 2 (38) Este el el método de dar masa a los portadores de las interacciones débiles que es simplemente agregar LS al lagrangiano del modelo SU (2)L ⊗ U (1)Y . Este nuevo lagrangiano es invariante ante transformaciones de norma, lo cual garantiza que la teoría es renormalizable [?]. Una vez que se da el rompimiento espontáneo de la simetría, los tres generadores rotos dan origen a 3 bosones de Goldstone sin masa que pueden ser eliminados del lagrangiano. Llendo a la norma unitaria se descubre que los W ± y el Z han adquirido masa que están relacionados con 38. Modelo Estándar– p. 57 Masa de los fermiones f mf v H f Por último falta agregara masa Un término de masa en el lagrangiano de la a los fermiones. forma Lm = −m ψψ = −m ψ L ψR + ψ R ψL no esta permitido porque rompe la simetría de norma. Pero gracias a la introducción de un doblete escalar en el modelo, entonces podemos escribir el siguiente acoplamiento fermión-escalar invariante de norma LY = c1 (+) (0)∗ (+) φ φ φ dR + c2 ū, d¯ uR + c3 (ν̄e , ē) eR + h.c. , ū, d¯ L L L (0) (−) (0) φ −φ φ (39) Modelo Estándar– p. 58 Masa de los fermiones Donde el segundo término involucra un acoplamiento el campo escalar φc ≡ i σ2 φ∗ C-conjugado. Después del rompimiento espontaneo de la simetría, este lagrangiano tipo Yukawa adquiere la forma 1 ¯ + c2 ūu + c3 ēe . LY = √ (v + H) c1 dd 2 (40) Entonces, el mecanismo de rompimiento de simetría produce además las masas fermiónicas v md = −c1 √ , 2 v mu = −c2 √ , 2 v me = −c3 √ . 2 (41) Puesto que no conocemos los parametros ci a priori los valores de las masas son arbitrarios. Modelo Estándar– p. 59