Utilidad Esperada - Microeconomía Avanzada

Teoría Microeconómica
Sandro A. Huamaní Antonio
1
LAMBDA GROUP S.A.C
Febrero del 2011
1 Esta
es una versión preliminar escrita para el curso de Microeonomía dictado en LAMBDA
GROUP cualquier sugerencia por favor escribir al correo shuamani@lambdagroup.com.pe
Decisiones Bajo Incertidumbre: El Enfoque de
la Utilidad Esperada
Introducción
Como es sabido, en la teoría del consumidor con certidumbre se estudia el problema de
decisión de un individuo en la elección de una cesta de consumo entre varias existentes y
factibles. Se encontraba solución a dicho problema por medio de dos modelos : el enfoque
de las preferencias y el enfoque de la elección. Sin embargo, muchas de las elecciones del
individuo se dan, en la realidad, bajo condiciones de incertidumbre, es decir, el individuo se
enfrenta a la decisión de elección entre un número de alternativas con resultados inciertos.
Bajo este contexto es importante el desarrollo y aprendizaje de un enfoque para modelar el
riesgo.
La teoría de la utilidad esperada menciona que sobre el conjunto de loterías existe una
relación de preferencias la cual, si es racional y cumple con el supuesto de continuidad, se
puede representar por una función de utilidad (como en el enfoque de las preferencias de
la teoría del consumidor con certidumbre), además, si dicha relación de preferencia cumple
con unos supuestos adicionales, siendo el más importante el axioma de independencia, dicha
función de utilidad puede ser representada por una función de utilidad esperada o también
llamada función de utilidad del tipo Von Neumann- Morgenstern, la cual es la base para
desarrollar el mencionado enfoque para modelar el riesgo.
Construcción de la Utilidad Esperada
En la teoría del consumidor con certidumbre el objeto de elección del consumidor son las
canastas de bienes, en la teoría de la incertidumbre son las loterías. Por lo tanto, se empezara
por de…nir las loterías y al conjunto de loterías, se estudiara los axiomas que debe cumplir la
relación de preferencias (denotado por % y que se encuentra sobre dicho espacio de loterías)
para que se puedan representar por una utilidad del tipo Von Neumann-Morgenstern.
1
Loterías
Una lotería es una manera de modelar una alternativa riesgosa, la cual, puede resultar
en una de un número de posibles resultados, para representar una lotería consideremos
al conjunto de posibilidades de resultados inciertos como S, además, consideremos a esta
como …nita y representado por el índice s = 1; :::; S, así tenemos que una lotería se puede
representarse de la siguiente forma:
l=
1
c1
2
c2
3
c3
:::
S
cS
Donde:
PS
s
s=1
=1
Y se lee: la lotería l indica a un individuo que con probabilidad
con probabilidad
2
1
me da el pago c1 y
me da el pago c2 , y asi sucesivamente. Para el caso de dos pagos, que se
usará para simpli…car el análisis del siguiente apartado, tenemos:
l=
1
c1
2
c2
Donde:
1
+
2
=1
La cual se puede representar:
1
=
)
2
=1
En el contexto de incertidumbre el individuo realiza la elección de una lotería antes de
que sepa el resultado con certeza. Por otro lado, como se mencionó los pagos pueden ser
cestas de consumo (como en la teoría del consumidor bajo certidumbre), cantidad de dinero,
probabilidades, etc.
La Relación de Preferencias sobre Loterías
En esta sección presentamos las condiciones de regularidad de las alternativas riesgosas
o loterías, a demás de los axiomas que hacen que la elección del individuo sea racional y que
se pueda representar en una función de utilidad.
2
Condiciones de Regularidad
Esta condición implica que recibir un premio o pago con una probabilidad unitaria es lo
mismo que recibirlo con certeza.
1 c1
1) c2 .
(1
c1
Esta condición re‡eja que al consumidor le da igual el orden en el que se le describa la
lotería.
1
c1
(1
1)
c2
(1
1)
c2
1
c1
En esta condición se analiza la percepción de consumidor, por lo que implica que la
manera en que perciba el consumidor una lotería depende únicamente de las probabilidades
netas de recibir los distintos premios.
3
(
1
c1
(1
1)
c2 )
(1
3)
c2
3 1
c1
(1
3 1)
c1
Este axioma nos dice que todo resultado de una lotería compuesta se puede reducir a un
resultado igual al de una lotería simple, por lo tanto, es en el conjunto de loterías simples,
que se denotara por L, el espacio sobre el que se va aplicar la relación de preferencia.
Axiomas de racionalidad
Sea l1 y l2 loterías que pertenecen a L (espacio de loterías simples). Nos garantiza que el
individuo puede hacer comparaciones entre todas las loterías existentes.
l1 % l2 _ l2 % l1 _ ambas
Sea l1 , l2 y l3 loterías que pertenecen a L. Nos garantiza coherencia en la decisión del
individuo.
l1 % l2 ^ l2 % l3 ) l1 % l3
Si se cumple los axiomas de completitud y transitividad es posible comparar un par de
de loterías simples, por medio de una relación de preferencia racional % (como en el enfoque
de las preferencias de la teoría de consumidor bajo certidumbre).
3
Utilidad Esperada
Para encontrar una función de utilidad que pueda representar las preferencias racionales
de loterías de un individuo, evitando las preferencias lexicográ…cas, se realiza el siguiente
supuesto:
Este axioma nos dice que el espacio de loterías es un conjunto cerrado y nos garantiza
que no existen saltos en la función de utilidad.
f 2 [0; 1] :
1
c1
(1
1)
c2 % c3 g ^ f 2 [0; 1] : c3 %
1
c1
(1
1)
c2 g
Si se cumple los axiomas de racionalidad y continuidad mencionados, las preferencias de
loterías se puede representar a través de una función de utilidad U ( )de tal manera que:
l1 % l2 ) U (l1 )
U (l2 )
Sin embargo, se busca de…nir una función de utilidad que tenga la forma de una función
de utilidad esperada, que permita desarrollar una teoría de incertidumbre más especializada
(que describa las preferencias de un individuo respecto a resultados inciertos). Para esto
añadimos los siguientes supuestos:
Sea l1 , l2 y l3 loterías que pertenecen a L, este axioma nos muestra que si se mezcla 2
loterías con una tercera, el orden de preferencias del individuo entre las dos primeras loterías
no debería alterarse:
Si c1 % c2 ,entonces
c1
(1
) c3 %
c2
(1
) c3
El axioma de independencia nos permite representar la función de utilidad por una función de utilidad esperada. El siguiente supuesto se formula por pura conveniencia y el último
supuesto se deduce de todos los demás supuestos.
Si existe una lotería que es la mejor de todas lm y una lotería que es la peor de todas lp ,
cualquiera que sea la lotería li perteneciente a L, se tiene que:
lm % li % lp
Si una lotería lm =
1
cm
(1
1)
cp , es preferida a otra lk =
2
cm
(1
2)
cp , es
decir, si una lotería se pre…ere a otra lotería y se tienen los mismos pagos, debe ser porque
la primera ofrece una mayor probabilidad de conseguir el mejor premio. Entonces tenemos:
4
1
2
Finalmente, se puede a…rmar que al cumplirse las condiciones de regularidad, los axiomas
de racionalidad y los 4 axiomas de este apartado, es posible representar una función de
utilidad por una forma de utilidad esperada, que se de…ne a continuación.
Función de Utilidad Esperada
Una función de utilidad U : L ! R;tiene la forma de utilidad esperada si existe una
asignación de números (v1; v2; :::; vS ) para S resultados tal que para toda lotería simple l =
1
c1
2
c2
3
c3
:::
S
cS 2 L se tiene:
U (l) = v1
1
+ v2
2
+ ::: + vS
S
Dicha función de utilidad esperada o también llamada función de utilidad del tipo Von
Neumann- Morgenstern, nos permite formular el teorema de la utilidad esperada, con la cual
se desarrolla el enfoque para modelar el riesgo.
Teorema de la Utilidad Esperada
Si sobre el espacio de loterías simple L existe una relación de preferencia racional (%)
que cumpla con le axioma de continuidad y el axioma de independencia, entonces, existe una
función de utilidad que tiene la forma de una utilidad esperada, es decir:
U ( 1 c1 +
2 c2
+ ::: + S cS ) = 1 v(c1 ) + 2 v(c2 ) + ::: +
PS
PS
U
s=1 s v(cs )
s=1 s cs =
S v(cS )
La función de utilidad con la forma de utilidad esperada es llamada función de utilidad
esperada de Von Neumann-Morgenstern.
Proof. Si tenemos: cA
:::
ci
:::
cB ;además normalizando dicha expresión
tenemos: cA = 100...cB = 0:
Por continuidad, es lógico pensar que: ci
p i cA
(1
pi )cB .
Por el axioma 9 de probabilidad mayor (monotonicidad), tenemos:9!pi ! ci ,
es decir, sólo existe un pi que hace que sea ci
5
p i cA
(1
pi ) cB única.
Por ello podemos representar la utilidad del siguiente modo: U (ci ) = pi .
Por el axioma de Independencia: p ci
(1
p) c
p) c
i
p (pi cA
(1
p i ) cB )
i
Para un caso, tenemos: p c1
(1
p) c2
Reemplazando c2 , tenemos: p c1
(1
(1
p) (p2 cA
(1
(1
U ( p c1
(1
p) c2
(1
p (p1 cA
p 1 ) cB )
(1
(1
p) c2
p 1 ) cB )
p 2 ) cB )
Operando a conveniencia: p c1
p (p1 cA
|
(1
p (p1 cA
p 1 ) cB )
(1
p) c2
(1 p) (p2 cA
{z
(1
q cA (1 q)cB
Por de…nición, sabemos que: U ( p c1
p) c2 ) = pv(c2 ) + (1
(1
p 2 ) cB )
}
p) c2 ) = q )
p)v(c2 )
Aplicaciones
En la motivación presentamos la siguiente situación: un individuo tenía que elegir entre
dos inversiones ha realizar, la inversión A que le reporta un ingreso de $ 20 mil soles con una
probabilidad de 30 % y una pérdida de $ 5 mil soles con una probabilidad de 70 %, mientras
que la inversión B le reporta un ingreso de $ 30 mil soles con una probabilidad de 50 % y
una pérdida de $ 5 mil soles con una probabilidad de 50 %. Suponiendo que dicho individuo
presenta la siguiente función de utilidad U = X 0;5 . ¿Qué inversión elegiría dicho individuo?
Determinando las utilidades esperadas en cada inversión tenemos:
U e (lA ) = 70 %:(200000;5) + 30 %:( 50000;5) = 77;78
U e (lB ) = 50 %:(300000;5) + 50 %:( 50000;5) = 51;55
Comparando las utilidades esperadas de cada lotería se obtiene que el individuo pre…era
la inversión A a la inversión B, dado que le brinda mayor utilidad esperada.
6
Bibliografía
[1] Gallardo, J and Barriga, C (2009). “Notas de Clases de Microeconomía”. Maestría en
Economía. PUCP.
[2] Hirshleifer, J and Riley, J (1994) “The Analytics of Uncertainty and Information”. Cambridge University Press.
[3] Mas Colell, A., M. D. Whinston, and J. Green (1995), “Microeconomic Theory”. Oxford
University Press.
[4] Varian, H.R (1992). “Microeconomic Analysis”. Norton and Company
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