PAU MACS(2006_10) - IES Sant Vicent Ferrer

COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A FACULTATS, ESCOLES TÈCNIQUES SUPERIORS I COL· LEGIS UNIVERSITARIS
PRUEBAS DE ACCESO A FACULTADES, ESCUELAS TÉCNICAS SUPERIORES Y COLEGIOS UNIVERSITARIOS
CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE
JUNY 2006
JUNIO 2006
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE): d’Humanitats i Ciències Socials
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE): de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències
Socials i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria)
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de
euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000,
250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros
en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la
primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la
rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.
PROBLEMA 2. Dada la función y = x 3 + x 2 − 5 x + 3 , se pide:
a)
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)
Máximos y mínimos locales.
d) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA 3. Los beneficios anuales B ( x ) , en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen
dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:
B ( x) =
a)
25x
x + 16
2
.
¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio?
Justifica que es máximo.
b) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué?
PROBLEMA 4. Sean A y B dos sucesos tales que P ( A ∪ B ) = 0,9 ; P ( A) = 0, 4 , donde A denota el suceso contrario o
complementario del suceso A, y P ( A ∩ B ) = 0, 2 . Calcula las probabilidades siguientes: P ( B ) , P ( A B) P ( A ∩ B ) y P ( A ∪ B ) .
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CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE
JUNY 2006
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
JUNIO 2006
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències
Socials i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria)
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer:
x + y −2 z = −6

x
+ z = 5
2x − y
= 11
PROBLEMA 2. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril,
respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2
barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos,
respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98 y 29.500
barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de
producción con un coste mínimo y calcula éste.
PROBLEMA 3.
a)
Estudia la continuidad en el intervalo [-3, 3] de la función:
−3 ≤ x < −2
3 x + 10
 2
−2 ≤ x < 1
f ( x) =  x
( x + 3) / 2
1≤ x ≤ 3

b) Halla la integral entre 2 y 3 de la función f ( x ) = 2 x 3 − 3x + 2 .
PROBLEMA 4. El volumen de producción diario en tres fábricas diferentes de una misma empresa es de 1.000 unidades en la
primera fábrica, 1.500 unidades en la segunda y 2.500 en la tercera. Por ciertos desajustes, algunas unidades salen defectuosas.
En concreto, lo son el 1% de las unidades producidas en las dos primeras fábricas y el 3% de las producidas en la tercera.
a)
¿Qué proporción de unidades fabricadas son correctas?
b) Si se tiene una unidad defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la tercera fábrica?
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CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE
SETEMBRE 2006
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
SEPTIEMBRE 2006
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
Barem: / Baremo:
90 minuts
90 minutos
Es triarà l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual NOMÉS caldrà fer TRES dels quatre
problemes. ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant podrà disposar d’una calculadora científica o gràfica per a realitzar l’examen. Se’n prohibeix una
utilització indeguda (per a guardar fórmules en memòria)
EXERCICI A
Totes les respostes han de ser degudament raonades
 3 −1
t
PROBLEMA 1. Determina la matriu A què verifica l’equació AB + A = 2 Bt , on B = 
 i B representa la matriu
0 2 
transposada de B.
PROBLEMA 2. Una destil·leria produeix dos tipus de whisky blend mesclant només dues maltes destil·lades distintes, A i B. El
primer té un 70% de malta A i es ven a 12 €/litre, mentre que el segon té un 50% de l’esmentada malta i es ven a 16 €/litre. La
disponibilitat de les maltes A i B són 132 i 90 litres, respectivament Quants litres de cadascun dels whiskys ha de produir la
destil·leria per a maximitzar els seus ingressos, sabent que la demanda del segon whisky mai supera a la del primer en més del
80%? Quins serien en aquest cas els ingressos de la destil·leria?.
PROBLEMA 3.
a)
Determina el valor de a perquè la següent funció siga contínua en x = −1 :
x < −1
3x + a

−1 ≤ x < 1
f ( x) = ax + 2
(2 x − 11) /( x − 3) x ≥ 1

b) Estudia la continuïtat de la funció anterior en el cas a = 0 .
c)
Troba la integral entre −2 i 2 de la funció f ( x) = x3 − 2 .
PROBLEMA 4. Un estudi revela que el 10% dels oients de ràdio sintonitza diàriament les cadenes Music i Rhythm, que un 35%
sintonitza diàriament Music i que el 55% dels oients no escolta cap de les dues emissores. Obtén
a)
La probabilitat que un oient triat a l'atzar sintonitze la cadena Rhythm.
b)
La probabilitat que un oient triat a l'atzar sintonitze la cadena Rhythm però no la Music.
c)
La probabilitat que un oient, del que sabem que escolta Rhythm, escolte Music.
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CONVOCATORIA DE
SETEMBRE 2006
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MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
SEPTIEMBRE 2006
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
Barem: / Baremo:
90 minuts
90 minutos
Es triarà l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual NOMÉS caldrà fer TRES dels quatre
problemes. ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant podrà disposar d’una calculadora científica o gràfica per a realitzar l’examen. Se’n prohibeix una
utilització indeguda (per a guardar fórmules en memòria)
EXERCICI B
Totes les respostes han de ser degudament raonades
PROBLEMA 1. En el primer curs de batxillerat d’un institut hi ha matriculats un total de 65 alumnes dividits en tres grups: A, B i
C. Dinen en el centre 42 d’ells, que corresponen a la meitat dels del grup A, les quatre cinquenes parts dels del B i les dues
terceres parts dels del C. A una eixida fora del centre van acudir les tres quartes parts dels alumnes del grup A, tots els del B i les
dues terceres parts dels del C, sumant en total 52 estudiants. Quants alumnes hi ha en cada grup?
PROBLEMA 2. Donada la funció f ( x) =
a)
2x
x2 +1
, es demana:
Domini i punts de tall amb els eixos coordenats.
b) Equació de les seues asímptotes.
c)
Intervals de creixement i decreixement.
d) Màxims i mínims relatius.
e)
Utilitza la informació anterior per a representar-la gràficament.
PROBLEMA 3. Els diners en efectiu, en euros, d’una oficina bancària durant les sis hores que roman la caixa oberta al públic ve
donat per l’expressió C (t ) = 2000 − 234t + 27t 2 , sent t el temps en hores transcorregut des de l’obertura. Determina:
a)
En quin moment hi ha més diners en efectiu i quants?
b) En quin moment hi ha menys diners en efectiu i quants?
Justifica que són màxim i mínim, respectivament.
PROBLEMA 4. Donats dos successos aleatoris independents se sap que la probabilitat que ocórreguen els dos simultàniament és
3/25 i la que ocórrega almenys un dels dos és 17/25. Calcula la probabilitat de cadascun dels dos successos.
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CONVOCATORIA DE
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MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
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de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
Obligatòria en la via de Ciències Socials i
optativa en la d’Humanitats
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales y
optativa en la de Humanidades
Barem: / Baremo:
90 minuts
90 minutos
Es triarà l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual NOMÉS caldrà fer TRES dels quatre
problemes. ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL
Cada estudiant podrà disposar d’una calculadora científica o gràfica per a realitzar l’examen. Se’n prohibeix una
utilització indeguda (per a guardar fórmules en memòria)
EXERCICI A
Totes les respostes han de ser degudament raonades.
(
)
PROBLEMA 1. Donada la matriu A = 1 2 , calcula A ⋅ At − 5 A−1 , sent At i A−1 les matrius transposada i inversa de A ,
−1 3
respectivament.
PROBLEMA 2. Una fàbrica de fertilitzants produeix dos tipus d’adob, A i B, a partir de dues matèries primeres M1i M2. Per a
fabricar 1 tona de A fan falta 500 Kg. de M1 i 750 Kg. de M2, mentre que les quantitats de M1 i M2 utilitzades per a fabricar 1
Tm. de B són 800 Kg. i 400 Kg., respectivament. L’empresa té contractat un subministrament màxim de 10 Tm. de cadascuna de
les matèries primeres i ven a 1.000 € i 1.500 € cada Tm. d’adob A i B, respectivament. Sabent que la demanda de B mai arriba a
triplicar la de A, quantes tones de cadascun dels adobs ha de fabricar per a maximitzar els seus ingressos i quins són aquestos?
PROBLEMA 3.
a)
Estudia la continuïtat de la funció y = f ( x) en l’interval [ −4, 2] , sent:
2

f ( x) =  x 2
 1
x ≤ −3
−3 < x < 1
x ≥1
b) Calcula l’àrea limitada per la gràfica de la funció y = f ( x) , les rectes x = −3, x = 2 i l’eix d’abscisses.
PROBLEMA 4. Un test per a detectar si una persona és portadora del virus de la grip aviar dóna positiu en el 96% dels pacients
que la pateixen i dóna negatiu en el 94% dels pacients que no la pateixen. Si una de cada cent quaranta-cinc persones és portadora
del virus i una persona se sotmet al test, calcula:
a)
La probabilitat que el test done positiu.
b) La probabilitat que siga portadora del virus, si el resultat del test és positiu.
c) La probabilitat que el test siga negatiu i no siga portadora del virus.
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CONVOCATORIA DE
JUNY 2007
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
JUNIO 2007
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències Socials
i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Es triarà l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual NOMÉS caldrà fer TRES dels quatre
problemes. ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL
Cada estudiant podrà disposar d’una calculadora científica o gràfica per a realitzar l’examen. Se’n prohibeix una
utilització indeguda (per a guardar fórmules en memòria)
EXERCICI B
Totes les respostes han de ser degudament raonades.
PROBLEMA 1. Els tres models existents d’una marca d'automòbils costen 12.000, 15.000 i 22.000 euros, respectivament. Un
concessionari ha ingressat 1.265.000 euros per la venda d'automòbils d’aquesta marca. Quants cotxes ha venut de cadascun dels
models si del més barat es van vendre tants com dels altres dos junts i del més car la tercera part dels cotxes que costen 15.000
euros?
PROBLEMA 2.
a) Representa gràficament el conjunt de solucions del sistema determinat per les inequacions següents:
3y − 4x − 8 ≤ 0 ,
y ≥ −4 x + 4 ,
y≥2,
x ≤ 1.
b) Troba els vèrtexs de la regió anterior.
c)
Calcula el punt on assoleix el mínim la funció f ( x, y ) = 3 x − y en la dita regió. Determina aquest valor mínim.
PROBLEMA 3. La funció y = f ( x) té les propietats següents:
• El seu domini és la recta real excepte els punts −1 i 1. És contínua en tot el seu domini i talla a l’eix OX en el punt (2, 0) .
•
Té una asímptota horitzontal en y = 0 , amb f ( x) < 0 si x > 2 i f ( x) > 0 si x < 2 , x ≠ 1 , x ≠ −1 .
•
Té una asímptota vertical en x = 1 , amb lim+ f ( x) = +∞ i lim− f ( x) = +∞ .
•
Té una asímptota vertical en x = −1 , amb lim+ f ( x) = +∞ i lim− f ( x) = +∞ .
•
Té un mínim en (4, −2) i un altre en (0,3) . No té màxims.
a)
Representa gràficament la dita funció.
b)
Determina els intervals de creixement i decreixement.
x →1
x →−1
x →1
x →−1
PROBLEMA 4. La probabilitat que hi haja un incident en una fàbrica que disposa d'alarma és 0,1. La probabilitat que sone
aquesta si s'ha produït algun incident és 0,97 i la probabilitat que sone si no ha succeït cap incident és 0,02.
a)
Calcula la probabilitat que no sone l’alarma.
b) En el cas que haja funcionat l’alarma, quina és la probabilitat que no hi haja hagut cap incident?
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2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES
CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències Socials 90 minuts
90 minutos
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Es triarà l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual NOMÉS caldrà fer TRES dels quatre
problemes. ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL
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utilització indeguda (per a guardar fórmules en memòria)
EXERCICI A
Totes les respostes han de ser degudament raonades.
PROBLEMA 1. S’estan preparant dosis amb dos tipus de complements per als astronautes de la nau Enterprise. Cada gram del
complement A conté 2 unitats de riboflavina, 3 de ferro i 2 de carbohidrats. Cada gram del complement B conté 2 unitats de
riboflavina, 1 de ferro i 4 de carbohidrats. Quants grams de cada complement són necessaris per a produir exactament una dosi
amb 12 unitats de riboflavina, 16 de ferro i 14 de carbohidrats?
PROBLEMA 2.
a) Troba els vèrtexs de la regió determinada per les inequacions següents:
x
3x y d 12 ,
x 2 y t 3 ,
y t 2,
2
b) Calcula els punts de la regió on la funció f ( x)
2x 3 y t 1 .
3x 2 y assoleix els valors màxim i mínim i determina aquestos.
PROBLEMA 3. Donada la funció:
f ( x)
a)
Troba el valor de a perquè la funció y
f ( x) en l’interval [0,4]. Justifica que els punts trobats són màxims i mínims
Calcula l’àrea de la regió del pla limitada per les rectes d’equació y
PROBLEMA 4. Sabem que p( A)
a)
0d x2
2 d x d 4
4 x d8
f ( x) siga contínua en l’interval [0,8].
b) Troba els màxims i mínims absoluts de y
absoluts.
c)
­x 2
° 2
® x 6 x 12
°¯2 x a
0, 4 , p( B )
0, 6 i p( A ‰ B )
0, x
0, x
0, 7 .
Són independents els successos A i B? Per què?
b) Calcula p( A ˆ B ) , on B representa el succés complementari o contrari de B .
c)
Calcula p( A ˆ B ) .
3 i la gràfica de y
f ( x) .
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2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
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90 minuts
90 minutos
Es triarà l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual NOMÉS caldrà fer TRES dels quatre
problemes. ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL
Cada estudiant podrà disposar d’una calculadora científica o gràfica per a realitzar l’examen. Se’n prohibeix una
utilització indeguda (per a guardar fórmules en memòria)
EXERCICI B
Totes les respostes han de ser degudament raonades.
PROBLEMA 1. Obtín totes les solucions del següent sistema d’equacions lineals:
­ x y z 1
°
® 2x y z 0
¯° 2 x 7 y z 4
PROBLEMA 2. Donada la funció f ( x)
a)
x2 4
, es demana:
2x 3
El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats.
b) Equació de les seues asímptotes verticals i horitzontals.
c)
Intervals de creixement i decreixement.
d) Màxims i mínims locals.
e)
Representació gràfica a partir de la informació dels apartats anteriors.
PROBLEMA 3. Donada la funció y
a)
x 3 9 x 2 24 x 3 :
Calcula els màxims i mínims locals. Justifica que els punts trobats són màxims i mínims locals.
b) Troba l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de y
f ( x) i les rectes y
0, x
0 i x
5.
PROBLEMA 4. De dos tiradors se sap que un d’ells fa 2 dianes de cada 3 tirs, i l’altre aconsegueix 3 dianes de cada 4 tirs. Si els
dos disparen simultàniament, calcula:
a)
La probabilitat que els dos encerten.
b) La probabilitat que un encerte i l'altre no.
c)
La probabilitat que cap encerte.
d) La probabilitat que algun encerte.
e)
Sumar les probabilitats de a), b) i c), justificant la suma obtinguda.
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problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias
obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y
6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización
C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la
urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.
PROBLEMA 2.
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones:
­3 x 2 y t 5
° x 2 y t 1
°
®
°5 x 4 y d 16
°¯ x y d 5
b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.
c)
Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f ( x, y )
3x y en dicha región. Determina dicho valor mínimo.
PROBLEMA 3.
a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f ( x)
puntos encontrados son máximos o mínimos absolutos.
x3 6 x 2 9 x 1 en el intervalo [1,4]. Justifica que los
b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de la siguiente función:
f ( x)
­2 x 3
® 3
2
¯x 6x 9x 1
0 d x 1
1d x d 4
PROBLEMA 4. Dados dos sucesos A y B , sabemos que p( A ˆ B ) 0,1 , p( A ‰ B ) 0,7 y p( A | B ) 0, 2 .
a) Calcula p( A) y p( B ) .
b) ¿Son independientes los sucesos A y B ? ¿Por qué?
c) Calcula p( A ‰ B ) , donde A representa el suceso complementario o contrario de A .
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2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
Barem: / Baremo:
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Determina la matriz X que verifica la ecuación AX I
§ 1 1·
AB t , siendo I la matriz identidad, A ¨
¸,
© 1 1¹
§ 2 1·
t
B ¨
¸ y B la transpuesta de la matriz B.
© 1 1¹
PROBLEMA 2. Dada la función f ( x)
a)
x2
4 x2
, determina:
Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos relativos.
e)
Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.
PROBLEMA 3. El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene dado por la función f ( x)
a)
x 2 x 20 .
¿Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario?
b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? ¿Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo.
PROBLEMA 4. El 60% de los alumnos de cierta asignatura aprueba en junio. El 80% de los presentados en septiembre también
aprueba la asignatura. Sabiendo que los alumnos que se presentaron en septiembre son todos los que no aprobaron en junio,
determina:
a)
La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar haya aprobado la asignatura.
b) Si sabemos que un estudiante ha aprobado la asignatura, la probabilidad de que haya sido en junio.
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A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
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i optativa en la d’Humanitats
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Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo integramente
comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la
suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la
mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la cámara digital y
todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje.
PROBLEMA 2. Dada la función
a)
x3
, se pide:
1 − x2
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e)
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA 3. Obtén los parámetros r, s y t para que la función f ( x) = x 3 + rx 2 + sx + t tenga un máximo en x = −2 , un
mínimo en x = 0 y pase por el punto (1,-1).
PROBLEMA 4. Una empresa automovilística fabrica su modelo Assegurat en cuatro factorías distintas, A, B, C y D. La factoría
A produce el 40% de los coches de este modelo con un 5% de defectuosos, la B produce el 30% con un 4% de defectuosos, la C el
20% con un 3% de defectuosos y, por último, la factoría D el 10% restante con un 2% de defectuosos. Si elegimos un coche del
modelo Assegurat al azar, calcula:
a)
La probabilidad de que sea defectuoso.
b) Si no es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado en la factoría C.
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Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
§1 3·
PROBLEMA 1. Dada la matriz A = ¨
¸.
© 4 2¹
a) Halla su inversa.
8 ·
§6
b) Resuelve la ecuación X A2 + 5A = ¨
¸.
©10 −20 ¹
PROBLEMA 2. Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no
excedan las 30 toneladas (Tm). Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y, además, esta
última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 €/kg y el de la merluza 10 €/kg, ¿qué cantidades de cada especie
debe pescar para maximizar sus ingresos?
PROBLEMA 3. La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas por la
siguiente función de los años de existencia x de la misma:
y=
a)
5 x 2 + 20 x − 25
x2 + 7
¿A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas?
b) ¿En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? ¿A cuánto ascienden éstas?
c)
Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?
PROBLEMA 4. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que P( A) = 0,7 , P( B) = 0, 2 y P( A B) = 1 .
a)
Calcula las probabilidades siguientes: P( A ∩ B ) , P( A ∪ B ) y P( B A) .
b) ¿Son los sucesos A y B independientes?
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y optativa en la de Humanidades
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Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los
bloques elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
BLOQUE A
PROBLEMA A1. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas
de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de
manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros y 3 euros por cada una del tipo B.
Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el
beneficio máximo?
PROBLEMA A2. Resuelve el sistema:
⎧x + y − z = 2
⎪
⎨2 x + z = 3
⎪x + 5 y − 7z = 4
⎩
Si ( x, y, 0) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x y de y?
BLOQUE B
PROBLEMA B1. Dada la siguiente función:
⎧− x
x < −1
⎪
f ( x) = ⎨ x − 1
−1 ≤ x < 4
⎪ x2 − 2 x − 6 4 ≤ x < 6
⎩
a) Estudia la continuidad de la función f ( x ) en el intervalo ] − 2, 6[ .
b) Calcula el área de la región del plano limitada por y = f ( x) y por las rectas y = 0 , x = 1 y x = 5 .
PROBLEMA B2. Dada la función f ( x) = x3 − 6 x , se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
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Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los
bloques elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
BLOQUE C
PROBLEMA C1. Al 20% de los alumnos de 2º de Bachillerato le gusta un grupo musical A, mientras que al 80% restante no le
gusta este grupo. En cambio otro grupo musical B gusta a la mitad y no a la otra mitad. Hay un 30% de alumnos de 2º de
Bachillerato al que no gusta ninguno de los dos grupos. Si se elige un estudiante de 2º de Bachillerato al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le gusten los dos grupos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos grupos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el grupo B y no el grupo A?
PROBLEMA C2. El 52% de los habitantes en edad de votar de cierto municipio son hombres. Los resultados de un sondeo
electoral determinan que el 70% de las mujeres opina que va a ganar el candidato A, mientras que el 35% de los hombres cree que
ganará el candidato B. Si todos los habitantes han optado por un candidato, contesta las siguientes preguntas:
a) Si hemos preguntado a una persona que cree que ganará B, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea mujer o crea que va a ganar el candidato A?
BLOQUE D
PROBLEMA D1. El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la expresión:
f ( x) = 8,5 +
3x
, x ≥ 0.
1 + x2
a) ¿Existen intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿Y en los que decrece? ¿Cuáles son?
b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale éste?
c) Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía
inicialmente? ¿Por qué?
PROBLEMA D2. Dada la función f ( x) = x3 − 12 x + 7 , se pide:
a)
b)
c)
d)
Hallar sus máximos y mínimos relativos.
Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [−3,3] .
Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [−4, 4] .
Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [−5,5] .
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SOCIALES II
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Barem: / Baremo: Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los bloques
elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
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indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
BLOQUE A
§ x·
¨ y ¸ que sean soluciones de la ecuación matricial AX
¨z¸
© ¹
PROBLEMA A1. Obtén todas las matrices columna X
§ 1 1 1·
A ¨ 0 1 1¸ y B
¨ 1 2 0¸
©
¹
B , siendo
§ 1·
¨ 1¸ . ¿Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula?
¨ 0¸
© ¹
PROBLEMA A2. En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma
de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que
expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que
están en contra de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y
cuántos no opinaron.
BLOQUE B
PROBLEMA B1. Dada la función f ( x)
a)
b)
c)
d)
e)
x
, se pide:
1 x2
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA B2. La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones Xupladits. Los costes de fabricación,
C ( x) en euros, están relacionados con el número de cajas producidas, x, mediante la función:
C ( x)
0,1x 2 20 x 2500
Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las cajas producidas, se pide:
a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas.
b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación.
c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maximizar el beneficio y el beneficio máximo.
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indebida (para guardar fórmulas en memoria).
BLOQUE C
PROBLEMA C1. Cierto estudio de mercado revela que el 50% de los entrevistados consume el producto A, el 40% consume el
B y el 25% no consume ninguno de ellos. Si seleccionamos al azar un individuo de los entrevistados, expresa los siguientes
sucesos en función de los sucesos simples A={Consumir A} y B={Consumir B}, y calcula su probabilidad:
a) Que consuma los dos productos.
b) Que sólo consuma uno de los productos.
c) Si sabemos que consume el producto A, que consuma también el B.
PROBLEMA C2. Se realiza un estudio de mercado sobre la venta de turismos y coches todoterreno y se observa que el 20% de
las compras de todoterreno corresponden a personas que adquieren un coche por primera vez, mientras que este porcentaje se
duplica en el caso de los turismos. Además, el 75% de las ventas de coches corresponde a turismos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primer coche que compra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer coche adquirido por una persona sea un turismo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primer coche que compra
y, además, sea un todoterreno?
BLOQUE D
PROBLEMA D1. Una empresa va a construir dos tipos de apartamentos, uno de lujo y otro de superlujo. El coste del modelo de
lujo es de 1 millón de euros y del de superlujo de 1,5 millones, disponiendo para la operación de 60 millones de euros. Para evitar
riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamentos de lujo como de superlujo y, en todo caso, no construir más de
45 apartamentos de lujo. ¿Cuántos apartamentos de cada tipo le interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número total
de apartamentos construidos? ¿Agotará el presupuesto disponible?
PROBLEMA D2. Dado el siguiente sistema de inecuaciones:
­ x t 2
°x 3y 5 t 0
°
® y 4 x t 6
°3 y x d 4
°y x d 2
¯
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del mismo y determina sus vértices.
b) Obtén los puntos donde la función f ( x, y ) 2 x 3 y alcanza los valores mínimo y máximo en dicha región.
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÁTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L'EXAMEN:
BAREM DE L'EXAMEN: cal triar l'EXERCICI A o l'EXERCICI B, del qual s’han de fer els TRES problemes proposats.
ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d'una calculadora científica o gràfica per a realitzar l'examen. Se’n prohibeix la utilització
indeguda (per a guardar fórmules en memòria).
OPCIÓ A
Cal raonar degudament totes les respostes.
Problema 1. En un forn mallorquí es fabriquen dos tipus d'ensaïmades, grans i xicotetes. Cada ensaïmada
gran requereix per a l’elaboració 500 g de massa i 250 g de farcit, mentre que una xicoteta requereix 250 g de
massa i 250 g de farcit. Es disposa de 20 kg de massa i 15 kg de farcit. El benefici obtingut per la venda
d'una ensaïmada gran és de 2 euros i el d'una xicoteta és d'1,5 euros.
a) Quantes ensaïmades de cada tipus ha de fabricar el forn perquè el benefici obtingut siga màxim?
b) Quin és el benefici màxim?
Problema 2. Donada la funció f ( x) =
x2 + 1
, es demana:
x2 − 9
a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats.
b) L’equació de les asímptotes horitzontals i verticals.
c) Els intervals de creixement i decreixement.
d) Els màxims i mínims locals.
e) La representació gràfica a partir de la informació dels apartats anteriors.
Problema 3. Se sap que p( B A) = 0,9 , p( A B) = 0, 2 i p ( A) = 0,1 .
a) Calcula p ( A ∩ B ) i p ( B ) .
b) Són independents els successos A i B? Per què?
c) Calcula p ( A ∪ B ) , on B representa el succés complementari o contrari de B .
1
OPCIÓ B
Cal raonar degudament totes les respostes.
Problema 1. Obtín la matriu X que verifica:
 1
 2 2
 3   2 0 −1   
2
X
−
=

 2   4 −1 3  5
 −1 −3 
  
  −3 
 
Problema 2. La funció següent representa la valoració d'una empresa en milions d'euros en funció del temps
t, al llarg dels últims 13 anys:
5 − 0,1t

f (t ) = 4, 5 + 0, 05(t − 5)
4, 75 + 0,1(t − 10) 2

0≤t <5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t ≤ 13
Estudia analíticament en l'interval [0,13] :
a) Si la funció f (t ) és o no contínua, i indica en cas negatiu els punts de discontinuïtat.
b) L’instant t en què la valoració de l'empresa és màxima i l’esmentada valoració màxima.
c) L’instant t en què la valoració de l'empresa és mínima i l’esmentada valoració mínima.
Problema 3. Al 80% dels membres d'una societat gastronòmica els agrada el vi Raïm Negre. Entre aquests,
al 75% li agrada el formatge de cabra. A més, a un 4% dels membres d'aquesta societat no li agrada el vi
Raïm Negre ni el formatge de cabra.
a) A quin percentatge li agrada tant el vi Raïm Negre com el formatge de cabra?
b) A quin percentatge no li agrada el formatge de cabra?
c) Si a un membre de la societat li agrada el formatge de cabra, quina és la probabilitat que li agrade el vi
Raïm Negre?
d) A quin percentatge li agrada el vi Raïm Negre entre aquells a qui no agrada el formatge de cabra?
2
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE 2010
CONVOCATÒRIA: SETEMBRE 2010
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÁTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L'EXAMEN:
BAREM DE L'EXAMEN: cal triar l'EXERCICI A o l'EXERCICI B, del qual s’han de fer els TRES problemes proposats.
ELS TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d'una calculadora científica o gràfica per a realitzar l'examen. Se’n prohibeix la utilització
indeguda (per a guardar fórmules en memòria).
OPCIÓ A
Cal raonar degudament totes les respostes.
Problema 1. Un ramader disposa d'aliment concentrat i farratge per a alimentar les seues vaques. Cada kg
d'aliment concentrat conté 300 g de proteïna crua (PC), 100 g de fibra crua (FC) i 2 Mcal d'energia neta de
lactància (ENL), i el seu cost és 11 euros. D’altra banda, cada kg de farratge conté 400 g de PC, 300 g de FC
i 1 Mcal d'ENL, sent el seu cost 6,5 euros. Determina la ració alimentària de mínim cost si sabem que cada
vaca ha d'ingerir almenys 3500 g de PC, 1500 g de FC i 15 Mcal d'ENL. Quin és el cost?
Problema 2. Una pastisseria ha comprovat que el nombre de pastissos d'un determinat tipus que ven
setmanalment depèn del seu preu p en euros, segons la funció:
n( p ) = 2000 − 1000 p
on n( p) és el nombre de pastissos venuts cada setmana. Calcula:
a) La funció I ( p) que expressa els ingressos setmanals de la pastisseria en funció del preu p de cada
pastís.
b) El preu a què cal vendre cada pastís per a obtenir els ingressos setmanals màxims. A quant ascendiran
aquests ingressos màxims? Justifica la resposta.
Problema 3. En un col·legi es farà una excursió a una estació d'esquí amb tres autobusos: un de gran, un de
mitjà i un de xicotet. La quarta part dels alumnes apuntats a l'excursió anirà en l'autobús menut, la tercera
part en el mitjà i la resta en el gran. Saben esquiar el 80% dels alumnes que viatjaran en l'autobús petit, el
60% dels que aniran en el mitjà i el 40% dels de l'autobús gran.
a) Calcula la probabilitat que un alumne de l'excursió, triat a l'atzar, sàpia esquiar.
b) Elegim un alumne de l'excursió a l'atzar i s'observa que no sap esquiar. Quina és la probabilitat que
viatge en l'autobús mitjà?
c) Es pren un alumne de l'excursió a l'atzar i s'observa que sap esquiar. Quina és la probabilitat que viatge
en l'autobús gran o el menut?
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OPCIÓ B
Cal raonar degudament totes les respostes.
Problema 1. En un cinema s'han venut en una setmana un total de 1405 entrades i la recaptació ha sigut de
7920 euros. El preu de l'entrada normal és de 6 euros i la del dia de l'espectador 4 euros. El preu de l'entrada
per als jubilats és sempre de 3 euros. Se sap, a més, que la recaptació de les entrades de preu reduït és igual
al 10% de la recaptació de les entrades normals. Quantes entrades de cada tipus s'han venut?
Problema 2. Siga la funció:
2
 x

f ( x) =  1
 − x2 + 6x − 8

 0
si 1 ≤ x ≤ 2
si 2 < x ≤ 3
si 3 < x ≤ 4
si 4 < x ≤ 5
definida en l'interval [1,5] . Es demana:
a) Estudia la continuïtat en tots els punts de l'interval [1,5] .
b) Calcula l'àrea de la regió del pla limitada per l'eix d'abscisses, les rectes x = 2 i x = 4 i la gràfica de
y = f ( x) .
Problema 3. Es tenen deu monedes en una bossa. Sis monedes són legals mentre que les restants tenen dues
cares. Es tria a l'atzar una moneda.
a) Calcula la probabilitat d'obtenir cara en llançar-la.
b) Si en llançar-la s'ha obtingut cara, quina és la probabilitat que la moneda siga de curs legal?
Si s’agafen dues monedes a l'atzar successivament i sense reemplaçament
c) Quina és la probabilitat que una siga legal i l'altra no ho siga?
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