LA PARADOJA EPR Y LAS DESIGUALDADES DE BELL

LA PARADOJA EPR Y LAS DESIGUALDADES DE BELL
1.
2.
3.
4.
5.
Principios
p
de Realidad y Localidad formulados por
p EPR (1935).
(
)
La paradoja EPR.
De la teoría a los experimentos: Desigualdades de Bell (1964).
Demostración de la desigualdad CHSH.
La hipótesis del fair sampling.
LA PARADOJA E.P.R. (1935)
Albert Einstein
Boris Podolsky
Nathan Rosen
Si la Mecánica Cuántica es una teoría completa,
p
, entonces está en
contradicción con el Realismo Local.
PRINCIPIO DE REALIDAD: Si,, sin perturbar
a un sistema físico,, se puede
p
p
predecir con certeza el valor de una magnitud física, entonces existe un
elemento de realidad asociado a esta magnitud física.
PRINCIPIO DE LOCALIDAD: Si dos sistemas están causalmente desconectados,
el resultado de una medida realizada sobre un sistema no puede tener
influencia sobre el resultado de otra medida realizada en el otro sistema.
x1 , t1
| x |  c | t |
x2 , t 2
X

x1 , t1
1
2
X
| x |  c | t |
x2 , t 2
Fuente de qubits entrelazados
Resultado
Ejemplo 1: conversor paramétrico a la baja
Ejemplo 2: Sistema de dos électrones con espín total cero.
 
1
2
H
1
V
2
V
1
H
2

Colapso del
vector de
estado al medir
la partícula 1
'  V
1
H
2
Resultado
1. El resultado de la medida sobre la partícula 2 se sabe con certeza antes de medir.
2. Como las dos medidas están causalmente desconectadas (principio de localidad), entonces
existe un elemento de realidad asociado a la polarización de la partícula 2 en la base
rectilínea (principio de realidad). Este elemento de realidad existía antes de medir la
partícula 1.
3. La invariancia rotacional del estado entrelazado implica que existe un elemento de realidad
asociado a la polarización de la partícula 2 en cualquier base.
4. Pero estos elementos de realidad no tienen contrapartida en la Teoría Cuántica, porque:
•
La descripción a través del estado entrelazado no permite tal asignación del elemento de
realidad.
•
Los operadores asociados a la polarización en la base rectilínea y diagonal no conmutan
conmutan,
luego la Teoría cuántica no permite la asignación de valores definidos, de forma simultánea,
de la polarización en cualquier dirección.
LA MECÁNICA CUÁNTICA ES INCOMPATIBLE CON EL REALISMO
LOCAL
Dos posibles conclusiones enfrentadas:
La Mecánica Cuántica es incompleta (conclusión EPR).
La Mecánica Cuántica es completa,
completa pero el realismo local no se
cumple.
PUNTO DE VISTA HETERODOXO (minoritaria, defiende el realismo local):
• La Mecánica Cuántica es una teoría incompleta, y podría completarse a
través de la llamadas variables ocultas (grados de libertad desconocidos
que no tienen representación
q
p
en la teoría cuántica).
)
PUNTO DE VISTA ORTODOXO (mayoritario):
• La Mecánica Cuántica es una teoría completa. No se acepta el Realismo
Local.
¿Cómo se comporta realmente la naturaleza?
1. Desigualdades de Bell (1964): deben verificarlas las correlaciones
predichas por cualquier teoría de variables ocultas locales.
2. Teorema de Bell: La Mecánica Cuántica viola las desigualdades de Bell,
es decir, existen estados cuánticos cuyas correlaciones, predichas por la
Teoría Cuántica, no verifican las desigualdades de Bell.
Ejemplo: el estado singlete.
1. Para llevar el problema al laboratorio se deben obtener desigualdades
que sean contrastables experimentalmente:
q
p
Clauser,, Horne,, Shimonyy y
Holt (1969); Clauser y Horne (1974).
2. El mayor problema para el contraste experimental de las desigualdades
j eficiencia de los detectores. Gran
de Bell ((con fotones)) está en la baja
parte de las parejas emitidas por la fuente no se detectan.
3. Se obtienen desigualdades nuevas basadas en hipótesis adicionales,
tales como el no-enhancement,, o el fair sampling,
p g, las cuales sí se han
contrastado experimentalmente y se han violado. Es decir, lo que se ha
refutado en los laboratorios es la conjunción de
Realismo+localidad+hipótesis adicionales, lo que no asegura la
refutación del Realismo Local desde un punto de vista lógico.
lógico
4. Actualmente, aun existiendo acuerdo en la violación de las desigualdades
de Bell, no existe un consenso sobre si se ha violado o no el realismo
local pues las desigualdades que han sido violadas están basadas en
local,
hipótesis adicionales al realismo local.
5. Aún no se ha realizado el experimento definitivo.
John S.Bell
(1928-1990)
Desigualdades de Bell (tipo CHSH)
1
a
2
b


B(b,  )  1
A(a,  )  1
 ( )
Resultado
R
lt d de
d la
l
medida de A
Localidad: el
resultado no
depende de b.
V i bl oculta
Variable
lt
Resultado de la
medida de B
Localidad: el
resultado no
depende de a.
Distribución de
probabilidades
p
  ( )d  1
P á t experimental,
i
t l
Parámetro
ej. Orientación para la
medida de la polarización
C (a, b)   A( , a ) B( , b)  ( )d
Función de
correlación
(CHSH-Clauser,
Holt-1969):
DESIGUALDAD DE BELL (CHSH
Clauser, Horne, Shimony y Holt
1969):
| C ( a, b)  C ( a, b' ) |  | C ( a ' , b' )  C ( a ' , b) |  2
Demostración:
C (a, b)  C (a, b' )
  d ( ) A( a ,  ) B (b ,  )   d ( ) A( a ,  ) B (b ' ,  )
Sumamos y restamos la expresión:
  d 
 (  ) A ( a ,  ) B (b ,  ) A ( a ' ,  ) B (b ' ,  )
Se tiene
C (a, b)  C (a, b' )
  d ( ) A( a ,  ) B (b,  )1  A( a ' ,  ) B (b ' ,  ) 
  d (  ) A( a ,  ) B (b ' ,  ) 1  A( a ' ,  ) B (b,  ) 
Co o los
Como
os valores
a o es de A y B son
so igual
gua a +1 ó -1,, entonces
e to ces su valor
a o abso
absoluto
uto es
igual a +1, con lo cual
| C ( a , b )  C ( a , b ' ) |  1  A( a ' ,  ) B (b ' ,  )   ( ) d
  1  A( a ' ,  ) B (b ,  ) d ( )
Por tanto
| C ( a , b )  C ( a , b ' ) | [C ( a ' , b ' )  C ( a ' , b )]  2
| C ( a , b )  C ( a , b ' ) |  | C ( a ' , b ' )  C ( a ' , b ) | 2
Desigualda d CHSH :
| C ( a, b)  C ( a, b' ) |  | C ( a ' , b' )  C ( a ' , b) | 2
•
Hayy estados cuánticos q
que violan esta desigualdad
(teorema
de Bell).
g
(
) Por ejemplo,
j p , el estado singlete.
g
• Pero en el laboratorio esta desigualdad no se puede violar, debido a la baja eficiencia de detección: de las
parejas de partículas emitidas, sólo una pequeña fracción se detectan, lo que hace que las correlaciones
experimentales
e
pe e ta es sea
sean muy
uy bajas
bajas:
C exp ( a , b ) 
N   N   N   N 
2
NS
N S  Número de parejas emitidas .
  Eficiencia .
Hipótesis de fair sampling
“Las parejas detectadas son una muestra representativa del total de parejas
emitidas por la fuente.”
C fs, exp(a, b) 
N  N  N  N
N  N  N  N
NS  N  N  N  N
Fair sampling
• Las desigualdades utilizando estas nuevas correlaciones sí se han violado en el
laboratorio por lo que no se puede asegurar que se haya violado el realismo local,
local
laboratorio,
sino la conjunción de éste más la hipótesis del fair sampling.
• La violación de la desigualdad CHSH podría sugerir, perfectamente, que dicha
hipótesis no es correcta.
correcta
• Sin embargo, el punto de vista mayoritario (ortodoxo) es que la violación de la
desigualdad implica una violación del realismo local, siendo el fair sampling algo
que se supone necesario,
necesario sólo por cuestiones técnicas que serán superadas en el
futuro gracias a detectores más eficientes.