6. Análisis cuasigeostrófico de flujos de gran escala extratropicales

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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6. Análisis cuasigeostrófico de flujos de gran escala
extratropicales
Regiones de movimientos ascendentes estan generalmente asociadas con nubes y
precipitación pues al ascender el aire se enfría por expansión. Este enfriamiento
aumenta la humedad relativa del aire que eventualmente da lugar a la condensación y
formación de nubes. Estas regiones están generalmente asociadas con divergencia de
masa en la columna de aire y consecuentemente la presión de superficie baja y se hay
ciclogenesis. Por el contrario, regiones de movimientos descendentes tienen por lo
general cielos claros pues el aire tiende a disminuir su humedad relativa a medida que se
mueve hacia la superficie. Estas regiones tienen asociada convergencia de masa en la
columna por lo que la presión en superficie aumenta y hay anti-ciclogenesis. Por lo
tanto, el pronóstico de regiones de ascenso y descenso en la atmósfera es de
fundamental importancia para el diagnóstico del tiempo y para la predicción del futuro
estado de la atmósfera. Este capítulo está destinado a investigar varios métodos para el
diagnóstico de movimientos verticales en sistemas sinópticos de latitudes medias.
6.1 Naturaleza del viento ageostrófico
Recordemos que el viento geostrófico es no-divergente en un plano f, y por lo tanto
solamente desviaciones con respecto al geostrofismo contribuyen a la divergencia
horizontal y por lo tanto, por conservación de masa, a movimientos verticales.
El viento ageostrófico se podía escribir como
k d V
Vag= ∧
f
dt
Usando esta relación pudimos diagnosticar las regiones de movimientos ascendentes y
descendentes para los dos casos en los cuales la aproximación geostrófica no es válida:
máximo de vientos y regiones con curvatura.
La figura 6.1 muestra el ejemplo de un “jet streak” (máximo de vientos) en el H.N. a
una altura de 300 mb. La línea punteada perpendicular al eje del jet divide el jet en las
regiones de entrada (hacia la izquierda) y salida (hacia la derecha). Una parcela de aire
ubicada en el extremo oeste de la región de entrada experimentará una aceleración en la
dirección del flujo por lo que el vector dV/dt apunta hacia el este. Consecuentemente el
viento ageostrofico apuntará hacia el norte en ese punto. El resultado de la distribución
de viento ageostrófico en la región de entrada del jet es que existe convergencia en 300
mb hacia el norte de la posición indicada y divergencia hacia el sur. Dado que 300 mb
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es casi el tope de la tropósfera, la divergencia (convergencia) está asociada a
movimientos ascendentes (descendentes) en la columna y por lo tanto existe una
circulación vertical en la región de entrada del “jet streak”. Esta circulación vertical se
dice térmicamente directa pues el aire mas cálido sube y el mas frío desciende.
En la región de salida del jet existe desaceleración por lo que la dirección del viento
ageostrófico es la opuesta y las zonas de convergencia y divergencia en 300 mb son
ahora tales que existe convergencia al sur y divergencia al norte del eje del jet. La
circulación vertical resultante es térmicamente indirecta.
Figura 6.1 – Regiones de convergencia/divergencia en un máximo de vientos. La línea
verde divide el jet en las regiones de entrada y salida del jet. El viento ageostrófico se
indica por flechas negras gruesa en las regiones de entrada y salida.
La figura 6.2 muestra el caso de un flujo con curvatura donde se muestra
esquemáticamente una vaguada y dos cuñas en el H.N. La distancia entre líneas
equipotenciales es constante por lo que la magnitud del viento es constante y su
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dirección se asume paralelo a las equipotenciales. En estas circunstancias la aceleración
del viento será consecuencia únicamente de cambios en la dirección. Por lo tanto entre
los puntos A y B es necesaria una aceleración hacia el suroeste para torcer el viento.
Como no existe cambio en la dirección entre B y C no hay aceleración. Entre C y D es
necesaria una aceleración hacia el noreste. Entre D y E es necesaria una aceleración
hacia el noroeste. Entre E y F no existe aceleración, y entre F y G es necesaria una
aceleración hacia el sudeste. Dadas las aceleraciones es posible determinar la dirección
del viento ageostrófico en la figura 6.2. El resultado muestra que el viento ageostrófico
converge en el lado oeste de una vaguada en altura dando lugar a movimientos
descendentes en esa columna. Por otro lado, el viento ageostrófico diverge al este de la
vaguada lo cual da lugar a movimientos ascendentes en esa columna.
Figura 6.2 – Distribución de aceleración, viento ageostrófico y zonas de
convergencia/divergencia en una situación de vaguadas y cuñas donde la velocidad tiene
módulo constante y sólo depende de la dirección.
6.1.1 Expresión de Sutcliffe para la divergencia ageostrófica neta en una columna
Consideremos el viento en superficie V0, el viento en un nivel superior V, y la
diferencia vertical de viento entre las dos capas Vs=V-V0. Por lo tanto
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por lo que
ó
Notemos que los términos de la izquierda son proporcionales a las velocidades
ageostróficas en superficie y en el nivel superior. Entonces, esta expresión indica que si
los términos de la derecha no son nulos (y tampoco su suma) existirá una diferencia
entre los vientos ageostróficos de superficie y en altura por lo que existe una
divergencia neta en la columna y por lo tanto un movmiento vertical.
Interpretemos el primer término de la derecha de la ecuación. Para ello lo
consideraremos aisladamente y lo escribimos como
y consideramos el esquema mostrado en la figura 6.4: un mínimo de presión en
superficie y los contornos de espesor de 1000-500 hPa. Evaluemos el término en el
centro de la baja presión considerando que los vientos son geostróficos en todos lados,
lo cual implica que el viento térmico esté dirigido en la dirección positiva del eje y (en
el H.N.). Por lo tanto en el centro de la baja no existe cortante vertical en la dirección x,
∂v 0
o sea us=0. Asimismo
=0 en el centro de la baja presión. Entonces, el término a
∂y
examinar se reduce a
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∂u 0
< 0 por lo que V s . ∇ V 0 < 0 . Como este término representa
∂y
la aceleración en el tope de la columna menos la aceleración en superficie, tomando el
producto vectorial con el versor vertical obtenemos la dirección del diferencial viento
ageostrófico en la columna. Un esquema de la situación es el siguiente
y se tiene vs>0 y
Vag
C
D
ΔVag
D
C
Vag
y
Figura 6.3 – Esquema de la circulacion alrededor de la columna definida por 1000-500
mb.
La figura 6.3 muestra que en este caso hay mayor divergencia (convergencia)
ageostrófica en niveles superiores que en la superficie en la region norte (sur) de la baja
en superficie lo cual implica ascenso (descenso) de aire. El ciclón en superficie se
propagará hacia la dirección del ascenso de aire (divergencia neta) pues estará asociada
a una disminución contínua de la presión en superficie (figura 6.4). Un razonamiento
similar para el caso del anticiclón da lugar a la siguiente afirmación: la anomalía de
presión en superficie se propagará en la dirección del viento térmico.
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Figura 6.4 – Isóbaras en superficie (lineas solidas) y espesor en 1000-500 hPa (lineas
punteadas) cerca de un centro de baja presión en desarrollo en el H.N. Las flechas
negras finas representan los vientos geostróficos a nivel del mar. Las flechas negras
anchas representan V s . ∇ V 0 . La flecha gris representa la diferencia entre el viento
ageostrófico en altura y en superficie. Convergencia (divergencia) neta en la columna
está indicada por C (D).
Interpretemos ahora el segundo término de la derecha de la ecuación. La figura 6.5
muestra la líneas de espesor de 1000-500 hPa y el cortante del viento térmico en la capa
en el H.N. en un tiempo T=0. Un tiempo mas tarde (T=T1) el gradiente horizontal de
espesor ha aumentado por alguna razón tal como un flujo horizontal confluente. El
resultado del aumento de baroclinicidad es un viento térmico mayor, también dirigido
hacia el norte. Si asumimos que los vientos son geostróficos entonces la diferencia en
los vectores viento térmico de las figuras 6.5a y 6.5b representa un cambio en el vector
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cortante y puede ser representado por la expresión dVs/dt siempre y cuando el cambio
haya sido medido siguiendo una parcela. Por lo tanto, dVs/dt está dirigida en la
dirección positiva de y. El producto vectorial de dVs/dt con el versor k representa el
diferencial viento ageostrófico en el ejemplo. Entonces, análogamente al caso anterior,
la columna de aire en el lado cálido (frío) del gradiente de espesor experimenta una
divergencia (convergencia) mayor en altura que en superficie y por lo tanto asciende
(desciende). Por lo tanto, cuando el flujo horizontal actúa para aumentar el gradiente del
espesor (temperatura) la respuesta es el desarrollo de una circulación vertical
térmicamente directa en la cual aire cálido sube y aire frío baja. Por el contrario, si el
flujo horizontal tiende a disminuir el gradiente horizontal de presión aparece una
circulación vertical indirecta.
Figura 6.5 – Lineas punteadas indican espesor de 1000-500 hPa cuyo gradiente
aumenta en magnitud de T=0 a T=T1. El aumento de la confluencia horizontal se
muestra por flechas finas negras en (a). Las flechas grises finas representan Vs, el
cortante del viento térmico. En T=T1 el viento térmico es mayor y la flecha negra ancha
en (b) representa el cambio lagrangiano en el cortante. La flecha gris en (b) representa la
diferencia entre el viento ageostrófico de altura y de superficie .
6.1.2 Otra perspectiva del viento ageostrófico
La expresión del viento ageostrofico es
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y puede expandirse de la forma
Si asumimos que el viento real se puede aproximar por el viento geostrófico entonces
Supongamos que quiero diagnosticar el viento vertical a partir de esta expresión del
viento ageostrófico. Claramente no puedo usar el término convectivo pues implica el
conocimiento de ω, pero es posible analizar los otros dos términos.
Comencemos por el término de la tendencia local del viento que se puede reescribir en
función de la altura del geopotencial
en coordenadas de presión, o en función de la presión
en coordenadas de altura. Esta contribución al viento ageostrófico se denomina viento
isalobárico debido a su dependencia con el gradiente de las isalóbaras (líneas de igual
tendencia de la presión). El conocimiento del viento isalobárico, como cualquier
contribución al viento ageostrófico, solamente dice sobre la distribución del movimiento
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vertical cuando conocemos la divergencia. Por lo tanto nos interesa particularmente la
divergencia del viento isalobárico
en superficies de presión, ó
en coordenadas de altura. De las ecuaciones se observa que una tendencia negativa en
la presión está asociada con convergencia del viento isalobárico, y vice versa. La
figuras 6.6 y 6.7 muestran un ejemplo en el cual el término isalobárico juega un rol
fundamental en el desarrollo del ciclón.
Figura 6.6 – Pronóstico del modelo ETA mostrando el cambio en la presión en las
ultimas 6 horas (naranjas) y la presion en superficie (azul) para un cierto día. Se observa
una ciclogénesis muy rápida y el movimiento hacia el noreste del ciclón. El viento
isalobárico es perpendicular a las líneas de igual tendencia de la presión y hacia la
región de disminución de presion.
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Figura 6.7 – Esta figura muestra los mismos campos que la figura 6.6 y ademas
muestra la intensidad del viento (color) y barbas de vientos. Notar que la contribución
isalobárica al viento total aumenta la intensidad de los vientos donde los vectores son
mas paralelos al viento gradiente (paralelo a las isóbaras) y causa mayor flujo a través
de las isóbaras cuando los vectores son mas perpendiculares.
La componente inercial advectiva del viento ageostrófico está dada por
Para interpretarla consideremos dos casos. Consideremos primero un flujo divergente en
niveles altos (como la salida de un jet) mostrado en la figura 6.7(a). En el punto en
questión la expresión anterior se simplifica pues vg=0 y dvg/dx=0. Por lo tanto
Notando que ug>0 y que dug/dx<0 en el punto indicado, el producto de estos términos
apunta segun (-x). Por lo tanto VIA apunta segun (-y) y se tiene divergencia hacia el
norte y convergencia hacia el sur. Por lo tanto se desarrollará una circulación
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térmicamente indirecta; esta es la circulación que diagnosticamos en la región de salida
del jet.
En el segundo ejemplo usamos VIA para considerar el efecto de la curvatura del flujo en
los movimientos verticales. La figura 6.7(b) muestra una cuña en el H.N. Si la magnitud
del viento geostrófico es constante, en el punto central de la figura vg=0 y dug/dx=0 y la
expresión se reduce a
En la cresta de la cuña ug>0 y dvg/dy<0 por lo que V IA apunta en la dirección (x). Así,
mostramos nuevamente que el flujo en una cuña es supergeostrófico y que esta
circunstancia es debido al término advectivo en el viento ageostrófico.
Figura 6.7 – Viento ageostrófico advectivo en 300 mb en el H.N. para dos casos: (a)
salida de un jet, (b) cuña. Flechas finas indican viento geostrófico.
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6.2 Compensación de Dines
Como los movimientos de gran escala están en balance hidrostático la presión en la base
de una columna fija de aire es proporcional a la masa de aire en la columna: si la masa
total decrece también lo hará la presión en superficie y vice versa.
En un sistema de baja presión que se está desarrollando el viento isalobárico (y la
fricción) contribuirá a la convergencia en niveles bajos. Dines mostró que la
convergencia en niveles bajos debe estar acompañada de una divergencia en altura y que
esta divergencia debe ser mayor para que la baja se profundice.
Puesto que la divergencia integrada es el resultado de contribuciones mucho mayores de
diferente signo en diferentes niveles, no es práctico predecir los cambios en la presión
de superficie integrando la divergencia horizontal. En particular, la presión en superficie
está dada por
∞
∂ ps
=−g ∫o ∇ .  udz
∂t
la cual se denomina ecuación para la tendencia en la presión de superficie. En la
práctica no es muy útil usar esta ecuación para la predicción pues los errores en las
observaciones se propagan rápidamente y como resultado el término de la derecha no se
puede calcular adecuadamente.
Figura 6.8 – Compensación de Dines: convergencia en superficie debe estar
acompañada de divergencia en altura y vice versa.
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6.3 Teorema de desarrollo de Sutcliffe
El desarrollo de la sección 6.1 puede refinarse de la siguiente manera. Sutcliffe mostró
que es posible escribir la divergencia del viento ageostrófico como proporcional a la
componente vertical de la vorticidad
Considerando las ecuaciones de movimiento horizontal sin fricción es posible escribir el
término de la derecha en la forma
Entonces por el mismo procedimiento que derivamos la ecuación de vorticidad en
coordenadas isobáricas obtenemos
la cual muestra que los cambios en la vorticidad son el resultado de la divergencia en el
fluído (esta ecuación es similar a la derivada en el capítulo anterior pero no incluye el
término de inclinación).
Si ahora asumimos que (1) el flujo horizontal y la vorticidad son geostróficos, (2) es
posible despreciar la advección vertical de vorticidad, y (3) la vorticidad relativa puede
ser despreciada en el término de divergencia es posible simplificar la ecuación anterior
de la forma
Esta es la misma ecuación que derivamos en la sección 5.6 cuando derivamos las
ecuaciones cuasi-geostróficas. En esta sección la reescribiremos como
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pues
Si consideramos la diferencia en la divergencia entre el tope y la base de una columna
de aire (por ej. entre los niveles de 1000 y 500 mb) podemos reescribir la ecuación de la
siguiente forma
donde
representa la razón de cambio en el tiempo del espesor de la columna. Por lo tanto el
movimiento vertical estará dado por el cambio en la distribución vertical de la
advección de vorticidad y por el laplaciano del cambio en altura de la tendencia del
geopotencial.
El término de tendencia del espesor se puede escribir como
lo cual indica que el cambio en el espesor puede ocurrir debido a (A) calentamiento
diabático, (B) advección horizontal y (C) advección vertical (cambio de temperatura por
procesos adiabáticos).
Asumamos que las variaciones en el espesor son únicamente debido a la advección
horizontal. En ese caso podemos escribir
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donde las barras marcan los vientos geostróficos promediados en la columna. Usando
las ecuaciones de viento térmico
∂'
∂x
−∂'
f u g '=
∂y
f vg ' =
se obtiene
la cual puede ser reescrita como
mientras sea posible despreciar los términos de deformación del tipo
Estos términos de deformación son importantes en los frentes y hasta pueden dominar la
dinámica, pero para escalas sinópticas son muy pequeños.
Los términos segundo y cuarto son nulos pues implican la divergencia del viento
geostrófico. Por lo tanto
Recordando que
Vg = Vg Vg0 /2
g= g g0 /2
Vg ' =Vg −Vg0
 g '=g − g0
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la ecuación anterior queda
Sustituyendo esta expresión en la ecuación
se obtiene
la cual se reduce a
o finalmente a
Para interpretar esta ecuación consideramos una columna de aire entre 500 y 1000 mb y
asumimos que la divergencia en 500 mb es nula (nivel de no-divergencia). Usando al
vorticidad térmica  g ' la ecuación resulta en una ecuación de diagnóstico para la
divergencia en 1000 mb
−∇ . V 0=
−2 
1
1
V ' . ∇  g0− Vg ' . ∇  g ' − Vg ' . ∇ f
f0 g
f0
f0
El primer término de la derecha es proporcional a la magnitud del viento térmico y a la
variación de la vorticidad de superficie en la dirección del viento térmico. En el centro
del ciclón de superficie la velocidad es muy pequeña por lo que el centro de baja presión
se propagará en la dirección del viento térmico, o equivalentemente el viento en 500
mb, con una velocidad propocional al viento térmico; esto representa un efecto de
conducción.
Para analizar este término con mas detalle consideremos la figura 6.9 donde se muestra
un centro de baja presión en superficie en el H.N. y un viento térmico en la dirección x.
Para la situación de la figura 6.9 tanto el viento térmico como el gradiente de la
vorticidad en superficie es en la dirección x. Entonces si consideramos únicamente el
término de conducción la ecuación anterior se puede escribir como
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−∇ . V 0 =
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∂
−2
∣V ' g∣ g0
f0
∂x
En una baja del H.N. la vorticidad es máxima en el centro y es positiva. Entonces, como
∂ g0
0 detrás del centro (región I) vale que −∇ . V 0 0 por lo que existe
∂x
∂ g0
divergencia en esa zona. Por otro lado
0 delante de la baja (zona II) por lo que
∂x
−∇ . V 00 y existe convergencia en esta otra zona.
I
II
V'g
x
Figura 6.9 – Esquema con baja superficial de estructura circular y viento térmico V'g
para interpretar término de conducción
Por lo tanto, un cortante de vientos actuando sobre un máximo de vorticidad (H.N.)
estará asociado a un desarrollo ciclónico delante del máximo y a un desarrollo
anticiclónico detrás lo cual da lugar a un desplazamiento en la dirección del viento
térmico (V'g). Por lo tanto, en sentido amplio, en cada instante los ciclones se moverán
en la dirección de las líneas de igual espesor sobre el centro de la baja.
El segundo término de la derecha es proporcional a la magnitud del viento térmico y a la
variación de la vorticidad a lo largo del flujo. Este término crea convergencia en niveles
bajos y aumento de la vorticidad ciclónica sobre la baja de superficie siempre y cuando
la vaguada en altura este desplazada hacia el oeste con respecto a la baja (Figura 6.10).
Este es un término de desarrollo pues es el principal contribuyente a la intensificación
o decaimiento de los sistemas.
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Figura 6.10 – Ilustración de las regiones favorables a ciclogénesis y anti-ciclogénesis
de acuerdo a la teoría de Sutcliffe.
El tercer término de la derecha es el efecto de la variación de Coriolis con la latitud
(efecto β) en la dirección del viento térmico, y es generalmente pequeño.
Debemos recordar que la teoría de Sutcliffe es una relación de diagnóstico y no de
pronóstico y que las líneas de igual espesor también cambian en el tiempo. Por lo tanto
los términos dan la tendencia de movimiento o, en términos prácticos, hacia donde se
moverá en las próximas pocas horas. El campo de temperatura y por lo tanto la
advección de vorticidad cambiará con el tiempo y por eso será necesaria una solución
numérica. Esto se puede entender de la figura 6.11 que muestra una baja en superficie
en una posición relativa a la estructura de espesor favorable a la profundización de la
baja. En esta situación la baja causa advección de calor hacia el polo al este
intensificando la cuña y de frío hacia el ecuador al oeste intensificando la vaguada. Por
lo tanto el sitema de cuña-vaguada, y por lo tanto el forzante −V g ' . ∇  g ' , se
intensifica al mismo tiempo que la baja (ver también sección 6.6).
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Figura 6.11 – Esquema mostrando la posición de una baja en superficie relativo a un
patrón de líneas de igual espesor en configuración favorable para ciclogénesis (H.N.).
El concepto de conducción fue un avance revolucionario en la compresión de la
ciclogénesis pues implica que un ciclón no es llevado “como una burbuja” en un flujo,
sino que el campo de presiones está siendo reconstituído continuamente por el campo de
divergencia. Al mismo tiempo el campo de divergencia es debido a la advección de
vorticidad y de calor. Por lo tanto, los sistemas de baja presión se mueven de un punto a
otro pues la estructura del campo de presión en superficie está siendo reconstituído por
los forzantes. Así, la presón disminuye adelante de una baja y aumenta detrás.
A pesar de que parece que la baja se mueve en la dirección de los vientos en 500mb y
por lo tanto es conducido por el flujo en altura, la presión en superficie no se mueve
como una entidad separada sino que se debe pensar en elevaciones y depresiones del
campo de presión. La baja se mueve pues está siendo “llenada” por detrás y
“profundizada” por delante debido a los patrones de convergencia y divergencia
asociados a la advección geostrófica en altura.
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La ecuación desarrolada por Sutcliffe en 1940's representó uno de los mayores avances
de meteorología teórica para el pronóstico operacional. Esto es pues teniendo las alturas
de geopotencial en 1000 y 500 mb es posible calcular gráficamente la distribución de
isópletas de espesor y de ahi determinar la dirección y sentido del viento térmico V'.
También es posible calcular la vorticidad en cada nivel pues es proporcional al
laplaciano del geopotencial. Por lo tanto, dado únicamente la distribución de
geopotencial en dos niveles es posible estimar los movimientos verticales a escala
sinóptica.
6.4 La ecuación omega cuasi-geostrófica
En la sección anterior diagnosticamos los movimientos verticales considerando
únicamente la ecuación de vorticidad cuasi geostrófica, la cual se puede escribir como
o, (1) dado que f no depende del tiempo, (2) usando la ecuación de continuidad y (3) la
vorticidad relativa es el laplaciano del geopotencial
En esta sección consideraremos además la versión cuasi-geostrófica de la energía
termodinámica derivada anteriormente (recordemos que Q̇=0 )
Para eliminar las derivadas temporales en ambas expresiones aplicamos el operador
∂
f0
a la ecuación de vorticidad y ∇ 2 a la ecuación termodinámica. Entonces
∂p
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y sumando obtenemos
la cual se puede escribir de la siguiente forma
que se conoce como la ecuación omega cuasi-geostrófica. Esta ecuación permite
diagnosticar la velocidad vertical ω a partir del campo de geopotencial instantáneo
dado.
El término de la izquierda es un laplaciano 3-dimensional. Si el campo de velocidades
∂2 
∝− . Asimismo,
vertical tiene un perfil aproximadamente sinusoidal, entonces
2
∂p
como el laplaciano concierne derivadas segundas un máximo (mínimo) local en
∇ 2  implica un mínimo (máximo) local de ω. Esto se puede formalizar
considerando
entonces
lo cual muestra que el término de la izquierda es proporcional a – ω. Por lo tanto, si la
suma de los términos de la derecha es positivo (negativo), entonces ω es negativo
(positivo), o sea ascendente (descendente).
El segundo término de la derecha de la ecuación puede ser reescrito como
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lo cual muestra que este término describe las variaciones horizontales de la advección
de temperatura. En las regiones donde existe un máximo local de advección de aire
cálido este término es positivo correspondiendo a movimientos verticales ascendentes (y
viceversa, ver figura 6.12). Físicamente este patrón de movimientos verticales es
necesario para mantener el campo de vorticidad geostrófica en los niveles mas altos en
presencia de cambios en el espesor debido a la advección térmica. Notar que para
diagnosticar el sentido de los movimientos verticales es necesario conocer la
heterogeneidad en el campo de advección de temperatura.
Figura 6.12 – Advección de aire cálido al este de la baja de superficie: movimiento
ascendente en la región del frente cálido. Advección fría al oeste de la baja de
superficie: movimiento descendente atrás del frente frío.
El primer término de la derecha representa la derivada vertical de la advección de
vorticidad geostrófica: si la advección de vorticidad ciclónica aumenta con la altura este
término es positivo implicando un movimiento vertical ascendente. Este término tiene
por lo tanto un significado físico similar con el rol de la advección diferencial en el
teorema de Sutcliffe. Consideremos la figura 6.10. En general la advección de
vorticidad es pequeña en superficie, pero no en altura. En altura, arriba de una baja la
advección de vorticidad es grande y positiva (H.N.) de tal forma que la columna
presenta un movimiento ascendente. En altura, arriba de una alta la advección de
vorticidad es grande y negativa por lo que la advección de vorticidad ciclónica
disminuye con la altura y por lo tanto existe movimiento descendente. Notar que un
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aumento en la vorticidad implica una disminucion del geopotencial. Por lo tanto el
espesor de la capa entre superficie y 500 mb está decreciendo. Como la advección
horizontal es pequeña arriba de una baja, la unica forma de disminuir el espesor es a
través del enfriamiento adiabático asociado a los movimientos ascendentes. De esta
forma los campos de viento vertical descritos por la ecuación omega cuasigeostrófica
son aquellos movimientos verticales requeridos para mantener los balances geostrófico
e hidrostático, o sea el viento térmico, en presencia de una advección diferencial de
vorticidad. Asimismo, estos movimientos verticales son una muy buena aproximación
de los movimientos observados a escala sinóptica en latitudes medias.
6.4.1 Versión Trenberth (1987)
La ecuación omega puede simplificarse pues los términos de la derecha tienden a
cancelarse. Expandiendo los términos a la derecha de la ecuación de omega
quedan de la forma siguiente:
el primero
f0
∂ V g
∂ ∇2 
. ∇ g  f Vg . ∇
∂p
∂p
el segundo −[∇ 2 u g
2
∂ ∂
∂ ∂
∂∇ 
∇ 2 v g
]−Vg . ∇
∂x ∂ p
∂y ∂ p
∂p
Notando que los últimos términos de cada expresión se cancelan y que el primer
término del segundo es mucho menor que el primer término del primero se llega a una
forma aproximada de la ecuación omega cuasi-geostrófica
que establece que los movimientos verticales en latitudes medias están forzados por la
advección del viento térmico de la vorticidad geostrófica absoluta, o sea que
recuperamos los resultados del teorema de Sutcliffe.
En lo anterior hemos despreciado los términos de deformación (que también
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despreciamos en la derivación del teorema de Surcliffe). Como se mencionó
anteriormente en las zonas frontales esos términos dominan la dinámica. No obstante,
estos términos de deformación también juegan un papel importante en ciclones ocluídos
(figura 6.13) y por lo tanto despreciar los términos de deformación puede acarrear a
errores importantes. En la sección siguiente derivamos una expresión alternativa para el
forzamiento de movimientos verticales cuasi-geostróficos que incluye esos términos y
es mas simple de evaluar gráficamente.
Figura 6.13 – Ciclón ocluído: ciclón en el cual la advección de temperatura es muy
pequeña o inexistente. (Está asociado a un frente ocluído).
6.5 Vector Q
El vector Q fue introducido por Hoskins et al (1978) y permite apreciar mejor el rol de
los movimientos ageostróficos en el flujo cuasi-geostrófico.
Consideremos las versiones cuasi-geostróficas de la ecuación de energia termodinámica
y de la ecuación de movimiento en la dirección y
Despreciando por el momento el componente ageostrofico las expresiones anteriores se
pueden escribir como
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
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Aplicando a la ecuación de momento el operador
25
f0
∂
se obtiene
∂p
Recordando que el viento geostrófico es no-divergente y la relación de viento térmico
∂ vg
∂2 
=
∂p ∂x∂ p
∂ u g −∂ 2 
f0
=
∂ p ∂ y∂ p
f0
es posible escribirla como
Tomando ahora
−∂
∂ x de la ecuación termodinámica
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26
Notar que las tendencias siguiendo el movimiento geostrófico de
2
f0
∂ vg
y
∂p
∂ 
(las componentes del viento térmico) son iguales pero opuestas. Por lo tanto
∂x∂ p
el viento geostrófico tiende a destruir el balance del viento térmico y por lo tanto a sí
mismo. Para mantener el viento térmico es necesaria la circulación ageostrófica.
Definimos Q1 como la magnitud de la tendencia geostrófica
Si ahora reinsertamos los términos ageostróficos que habiamos despreciado obtenemos
y
Multiplicando esta ultima ecuación por (-1) y sumándosela a la anterior queda (usando
el viento térmico)
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27
Por otro lado, se puede proceder análogamente con la ecuación de momento en x
obteniéndose
donde
Por último tomamos la derivada con respecto a x de la ecuación para Q1 y con respecto
a y de la ecuación para Q2 y llegamos a
y usando la ecuación de continuidad
El término de derecha es idéntico al operador laplaciano en 3-D encontrado para la
ecuación omega cuasi-geostrófica y sabemos que es proporcional a -ω. Por otro lado la
función forzante está escrita como la convergencia de un vector 2-D, el vector Q,
definido como Q=(Q1,Q2). Un Q convergente (divergente) indica/fuerza movimientos
verticales ascendentes (descendentes). Notar que en la derivación de Q no se
despreciaron los términos de deformación como sí se hizo al derivar la ecuación omega.
El vector Q tiene la forma
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ó, usando la ecuación hidrostática
28
∂Φ
=−R T / p ,
∂p
La dirección y magnitud del vector Q en un punto dado en un mapa sinóptico puede ser
estimado refiriendo el movimiento a un sistema de coordenadas cartesiano en el cual el
eje x es paralelo a la isoterma local con el aire frío a la izquierda. En este caso usando
es posible escribir Q de la forma
o
Por lo tanto el vector Q puede ser obtenido evaluando el cambio vectorial de Vg a lo
largo de la isoterma (con aire frio a la izquierda), luego rotandolo 90 grados en sentido
∂T
horario y multiplicando el vector resultando por ∣ ∣ . Así, el vector Q, y por lo
∂y
tanto el forzante del movimiento vertical, puede ser estimado a partir de observaciones
de Φ y T en una superficie isobárica.
Consideremos dos ejemplos. El primer ejemplo consiste en un patrón de ciclones y
anticiclones idealizado dentro de un viento térmico del oeste (figura 6.14) en el H.N por
lo que el aire frío está al norte. Cerca del centro de la baja el cambio en el viento
geostrófico moviéndose hacia el este a lo largo de la isoterma es de del norte a del sur.
Por lo tanto el vector cambio de viento geostrófico apunta al norte y una rotación de 90°
en sentido horario produce un vector Q paralelo al viento térmico. En las altas usando el
mismo razonamiento los vectores Q son antiparalelos al viento térmico. El patrón de
divergencia de Q resulta entonces en descenso en la región de advección de aire frío al
oeste de la vaguada y ascenso en la región de advección cálida al este de la vaguada.
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29
Figura 6.14 – Vectores Q para un patrón idealizado de altas y bajas en superficie en el
H.N. Las líneas punteadas indican isotermas o líneas de igual espesor 1000-500 mb. Las
flechas gruesas indican los vectores Q.
El otro ejemplo consiste en un flujo geostrófico confluente de tal forma que el viento
geostrófico aumente hacia el este a lo largo de las isotermas (figura 6.15). En este caso
el cambio vectorial de Vg a lo largo de las isotermas es paralelo a ellas y los vectores Q
son perpendiculares y dirigidas hacia el gradiente de temperatura. El movimiento
ascendente ocurre donde los vectores Q son convergentes. Puesto que movimientos
ascendentes implican un estiramiento de la columna habrá un aumento en la vorticidad
ciclónica en niveles por debajo del nivel con vectores Q convergentes.
Figura 6.15 – Orientación de los vectores Q en la región de entrada de un “jet streak”.
Las líneas punteadas indican las isotermas.
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6.6 Predicción cuasi-geostrófica
En las secciones anteriores estudiamos varios métodos para diagnosticar los
movimientos verticales: teoría de Sutcliffe, ecuación omega y vector Q. En esta sección
desarrollaremos una ecuación para el pronóstico de la circulación geostrófica basada en
las ecuaciones cuasi-geostróficas
Si escribimos la tendencia del geopotencial como
podemos escribir la tendencia en la vorticidad geostrófica como
y las ecuaciones cuasi-geostróficas quedan de la forma
Para eliminar ω en las ecuaciones anteriores aplicamos el operador
f 02 ∂
a la
 ∂p
segunda ecuación y la sumamos a la primera. Entonces obtenemos
la cual se conoce como la ecuación de tendencia del geopotencial cuasi-geostrófica.
La ecuación provee una relación entre la tendencia local en el geopotencial y las
distribuciones de advección de vorticidad absoluta y advección de espesor. Si se conoce
la distribución de  en un tiempo dado, los términos de la derecha se pueden
considerar como funciones de forzamiento conocidas y la ecuación tiene como única
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31
incógnita a χ.
El operador a la izquierda es el mismo que en la ecuación omega y se puede interpretar
en forma similar: cuando
es menor (mayor) que cero entonces χ es mayor (menor) que cero.
Consideremos el término de advección geostrófica de vorticidad absoluta. La figura
6.16 muestra en forma esquemática una vaguada en altura con el máximo ciclónico de
vorticidad asociado. Inmediatamente al este (oeste) hay advección de vorticidad positiva
(negativa) por lo que el geopotencial tenderá a bajar (subir). Como el gradiente de
vorticidad geostrófica es nulo en el eje de la vaguada, también lo es la advección de
vorticidad, resultando en una tendencia nula del geopotencial en el eje. Por lo tanto la
advección de vorticidad no puede intensificar una perturbación, sólo puede propagarla.
Esta característica es válida en general, aunque a veces los máximos y mínimos no están
colocados en el mismo lugar que los ejes de vaguada y cuña, respectivamente, por lo
que este término también puede inducir una intensificación/decaimiento de la
perturbación.
Figura 6.16 – Vaguada en altura en el H.N. Los vectores indican velocidad geostrófica
y las líneas punteadas son contornos de vorticidad ciclónica, con la X marcando el
máximo. Regiones de gris claro (oscuro) indican regiones de advección de vorticidad
positiva (negativa).
La figura 6.17 muestra un ejemplo real para el H.S en donde los signos son opuestos por
la presencia de f0 en el término de advección de vorticidad. La vaguada en 500 mb se
moverá hacia el este no como respuesta directa a la advección sino debido a cambios en
el geopotencial causado por la advección de vorticidad (y temperatura).
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Adv. Vort Pos.
Como f0<0 altura del geop
tendera aumentar
Adv. Vort Neg.
Como f0<0 altura del geop
tendera disminuir
La vaguada se moverá al sureste
Figura 6.17 – La línea punteada indica la posición inicial de la vaguada.
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El mecanismo de amplificación o decaimiento de un sistema sinóptico en latitudes
medias está contenido principalmente en el segundo término de la ecuación para la
tendencia del geopotencial, o sea en el término de advección de espesor. La advección
de espesor tiende a ser mayor en la tropósfera baja por debajo de las vaguadas y cuñas
en 500 hPa. Notar que este término se puede escribir
ó, como
se puede expresar
la cual es la derivada vertical de la advección geostrófica de temperatura. Por lo tanto si
la advección de temperatura aumenta (disminuye) con la altura el geopotencial tenderá a
bajar (subir) (ver figura 6.18).
Z-top
WAA
ΔZ
WAA
Z-700mb
Z-bottom
WAA
CAA
CAA
CAA
ΔZ increases
Z-400mb
ΔZ
Z-top
ΔZ decreases
Z-400mb
Z-700mb
Pressure
Surfaces
Fell
Pressure
Surfaces
Rose
Z-bottom
Figura 6.18 – Efecto de la advección de aire caĺido en una atmósfera de tres capas. En
el caso superior existe un aumento de la advección de aire cálido (WAA) con la altura lo
cual tiende a disminuir la altura del geopotencial. En el caso inferior hay un aumento de
la advección de aire frío con la altura lo cual tiende a aumentar la altura del
geopotencial.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
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34
En general, el término de advección de temperatura aumenta las anomalías de
geopotencial en niveles medios en la ciclogénesis. Por debajo de la cuña en 500 hPa
existe advección de aire cálido asociado al frente caĺido por lo que el espesor aumenta y
la cuña se intensifica. Debajo de la vaguada en 500 hPa hay advección de aire frío
asociado al frente frío por lo que el espesor disminuye y la vaguada tenderá a
profundizarse (figura 6.19).
Figura 6.19 – Esquema de desarrollo de una onda baroclínica. Se muestra los contornos
de geopotencial en 500 hPa (líneas gruesas), en 1000 hPa (líneas finas) y el espesor
1000-500 hPa.
Por encima de los 500 hPa el gradiente de temperatura es pequeño y las isotermas se
vuelven paralelas a los contornos de altura de tal forma que la advección de temperatura
es muy chica. Por lo tanto el término de advección de temperatura, a diferencia del
término de advección de vorticidad, está concentrado en niveles bajos.
De acuerdo a lo anterior, a lo largo de los ejes de las vaguadas (trough) y cuñas (ridge)
donde la advección de vorticidad es nula, pero donde el gradiente de temperatura es
grande la ecuación de la tendencia del geopotencial para una onda baroclínica en
desarrollo establece que
De lo anterior se deduce que si no existe una liberación de calor diabática, para que un
sistema sinóptico se intensifique debe existir advección horizontal de temperatura. Esto
implica una conversión de energía potencial en energía cinética y es la base del
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
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desarrollo de una perturbación a través de procesos baroclínicos.
La figura 6.19 muestra un esquema de la estructura vertical de la onda.
Figura 6.19 – Sección este-oeste a través de una onda sinóptica en desarrollo mostrando
la relación entre la advección de temperatura con las tendencias del geopotencial en
altura. Recordemos que las bajas (altas) en superficie están al este de las vaguadas
(cuñas) en altura.
A y B marcan, respectivamente, las regiones de advección de aire frío y cálido en la
tropoósfera baja. Este patrón de advección es consecuencia directa de que las vaguadas
en 500 hPa están al oeste de la baja de superficie de tal forma que el viento geostrófico
medio en la capa 500-1000 hPa está dirigido a través de las líneas de espesor constante
hacia espesores mas anchos al oeste y hacia espesores mas delgados al este. Notar que
los ejes térmicos de la onda en desarrollo están inclinados hacia el este con la altura.
Esto se debe a que (1) en general el centro de los ciclones (anticiclones) en superficie
coincide con el máximo (mínimo) de temperatura y (2) por la ecuación hipsométrica
mínimos (máximos) de geopotencial en altura deben estar arriba de columnas
relativamente frías (cálidas).
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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6.7 Modelo idealizado de una perturbación baroclínica
En esta sección combinaremos los resultados de los análisis de la ecuación
omega y de tendencia del geopotencial para ilustrar las características escenciales de
una onda baroclínica en desarrollo.
La figura 6.20 muestra la relación entre el campo de vientos vertical y el
geopotencial en 500 y 1000 hPa. Asimismo se indican los procesos físicos que dan lugar
a la circulación vertical en las diferentes regiones. La tabla 1 indica los procesos físicos
para las columnas verticales ubicadas en (A) la vaguada en 500 hPa, (B) la baja de
superficie y (C) la cuña en 500 hPa. Se puede observar de la tabla 1 que en todos los
casos los movimientos verticales y el campo de divergencia actúan para mantener el
viento térmico.
Es posible considerar los movimientos ageostróficos verticales como una
circulacion secundaria necesaria para mantener los balances geostrófico e hidrostático.
Sin esta circulación la advección geostrófica tiende a destruir el viento térmico. Claro
que, esta circulación secundaria está a su vez forzada por pequeñas desviaciones del
flujo del balance geostrófico.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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Figura 6.20 – Circulación secundaria asociada a una onda baroclínica en desarrollo.
(arriba) contornos de 500 hPa (solido), 1000 hPa (punteado) y frentes en superficie.
(abajo) perfil vertical a través de la línea II' indicando el campo de movimiento vertical.
Tabla 1.
Referencias principales
– Mid-latitude atmospheric dynamics, J. Martin
– An introduction to dynamic meteorology, J. Holton.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro