Bienvenidos al maravilloso mundo de los números complejos. .TEMA : NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CANONICA. CONCEPTOS PREVIOS. FORMA CANONICA: (a,b) , a :parte real y b es la parte imaginaria NUMERO REAL (a,0). IMAGINARIO PURO: (0,b). Un complejo esta compuesto por una parte real y una imaginaria .Esto es NUMERO COMPLEJO: (a,0)+(0,b). Representación grafica: Se define el modulo: de Z=(a,b) como: Z = a 2 + b 2 . b a Se define el conjugado de Z(a,b) como Z =(a,-b) SE DEFINEN LAS OPRACIONES FUNDAMENTALES DE LOS COMPLEJOS EN FORMA CANONICA : ADICION:(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d). PRODUCTO :(a,b) × (c,d)=(ac-bd,ad+bc). Estas dos operaciones así definidas verifican las siguientes propiedades: ADICION PRODUCTO cerrada Cerrada Tiene elemento neutro Tiene elemento neutro Tiene opuesto Tiene inverso Es conmutativa Es conmutativa Es asociativa Es asociativa Se define la dirección como ϕ = arctan Además la multiplicación así definida es distributiva con respecto a la adición. En consecuencia: El conjunto de los números complejos (C,+, × ) provisto de estas dos operaciones verifica todas las propiedades anteriormente expuestas, se dice que posee la estructura de un CAMPO ALGEBRAICO. Ejercicios de aplicación. 1.- Considere los complejos : Z=(a,b) , Z’=(c,d) y Z’’=(e,f).Demuestre que : 1.1.- Z+Z’=Z’+Z 1.2.- ZxZ’=Z’xZ 1.3.- (Z+Z’)+Z’’=Z+(Z’+Z’’) 1.4.- (ZxZ’)xZ’’=Zx(Z’xZ’’) 1.5.- Pruebe que el neutro aditivo es Zo=(0,0) 1.6- Pruebe que el opuesto aditivo de Z es (-a,-b) 1.7.-Pruebe que el neutro multiplicativo es (1,0) b a 1.6.- Pruebe que el inverso multiplicativo de Z es : Z −1 2 ,− 2 2 a + b2 a +b 2.- Pruebe las siguientes propiedades métricas de los números complejos: 2.1.- El modulo de un producto de dos complejos equivale al producto de los módulos de los mismos. 2.2.- Pruebe si se verifica la aseveración anterior con respecto al cuociente. 2.3.- Pruebe que : ( ZxZ ' ) = Z x Z ' Z Z 2.4.- Pruebe que : = Z' Z' 2.5.- Pruebe que : Z = 0 ⇔ Z = 0 2.6.- Pruebe que : Zx Z = Z 2 2.7.-Pruebe que : Z+ Z = doble de la parte real de Z 2.8.- Pruebe que : : Z- Z = doble de la parte imaginaria de Z. 2.9.- Pruebe que : Z + Z ' = Z + Z ' 2.10.- Pruebe que : la parte real de ( Z x Z ' )< Z x Z ' 2.11.- Pruebe que : Z + Z ' < Z + Z ' 2.12.- Pruebe que : Z − Z ' < Z − Z ' 3.- Dados Z=(-3,4) , Z’=(12,-5) , Z’’=(2,0) Z’’’=(-2,0).Calcule en forma canónica: 3.1.-2Z+3Z’-4(Z’’’-3Z’’’) 3.2.- 4(Z’-2Z’’)-3((Z’-Z’’’’)(Z’+Z’’’’) 3.3- Z + Z ' ' + Z ' ' ' + Z ' ' ' ' 3.4.- Z + Z '+ Z ' '+ Z ' ' '+ Z ' ' ' ' 3.5.- 2(Z+Z’)-Z’xZ’’’ 3.6.- Z’’’xZ’’+ Z (2Z+Z’’xZ’’’’) 3.7.- Z + Z '+2 Z ' ' ' 1 2 3 + − Z Z '' Z ''' Z '+2 Z ' ' Z + Z ' ' ' ' 3.10.− Z '''' 2Z − Z ' 3.9.- Z ' Z ' ' '+ Z + Z Z 3.8.-