PERÍMETRO Y ÁREA DEL CÍRCULO Y SUPERFICIES RELACIONADAS Ejemplos 1. Un sector circular está determinado por un ángulo central que mide 70 y 175 cm2 . Calcular la longitud del arco que subtiene. tiene un área de 36 Solución A B Se calcula la longitud del radio usando el área y el ángulo central. 175 r2 70 36 360 r 5 Se calcula la longitud del arco que subtiene. 175 5 s 36 2 35 s 18 C El arco mide 35 cm . 18 10 cm y otra circunferencia, 7 6 concéntrica con la primera, tiene una longitud de cm . Calcular el área 5 del anillo circular que forman. 2. La longitud de una circunferencia es Solución A Se calcula el radio de la primera circunferencia. 10 2r1 7 5 r1 7 B Se calcula el radio de la segunda circunferencia. C Se calcula el área del anillo circular. D 6 2r2 5 3 r2 5 5 2 3 2 A 7 5 184 A 1225 184 Por lo tanto, el área del anillo circular es cm2 . 1225 3. En un círculo con radio de 4 cm se tiene un segmento circular determinado por un ángulo central que mide 90 . Calcular el área del segmento circular. Solución A Se calcula primero el área del sector circular. B Como el ángulo central mide 90 entonces el triángulo que se forma es rectángulo y se calcula su área. 42 90 360 A1 4 A1 44 2 A2 8 A2 C D Finalmente se calcula el área del Asegmento 4 8 segmento circular. Por lo tanto, el área del segmento circular mide 4 8 cm2 . Ejercicios 1. Dos circunferencias son concéntricas y el radio de la mayor es el doble del radio de la menor. Si la suma de sus radios es 12 cm y ambas determinan un trapecio circular con área 2 cm2 , calcule la medida del ángulo central que determina el trapecio. 2. Calcule el área del segmento circular con radio de 10 cm y ángulo central de 60 . 3. Un sector circular con una longitud de arco de 6 cm tiene un área de 24 cm2 . Calcule el área y el perímetro del círculo correspondiente. Soluciones 1. A B El radio de la circunferencia mayor mide el doble del radio de la circunferencia menor. Se calculan las longitudes de los radios. R 2r 12 R r 12 2r r 4r 8R C D Ahora se busca la medida del ángulo central. 2 82 42 360 15 Por lo tanto, el ángulo central que determina el trapecio circular mide 15 . 2. A Se calcula primero el área del sector circular. B Como el ángulo central mide 60 entonces el triángulo que se forma es equilátero y se calcula su área. 102 60 360 50 A1 3 A1 102 3 A2 4 A2 25 3 C Finalmente se calcula el área del segmento circular. D Por lo tanto, el área 50 2 3 25 3 cm . Asegmento del segmento 50 25 3 3 circular mide 3. A Se calcula el circunferencia. radio de la 24 r 6 2 8r B Se calcula el área del círculo. C Ahora se calcula el perímetro del círculo, que corresponde a la longitud de la circunferencia. D A 82 A 64 C 2 8 C 16 Por lo tanto, el área del círculo mide 64 cm2 y su perímetro mide 16 cm .