Inductancia - Blog de ESPOL

Inductancia
Auto-Inductancia, Circuitos RL
X XX X
X XX XX X
X XX X
a
b
e
b
B
I
e
L
(dI / dt )
07/08/2009
I
R
1
L
I
a
e1
L
L/R
VL
f( x ) 0.5
0.0183156
FLORENCIO PINELA 0
- ESPOL
0
1
2
3
1
4
t
LA INERCIA Y LA INDUCTANCIA
La oposición que presentan los cuerpos al
intentar cambiar su estado de
movimiento, inercia, tiene su equivalente
en los circuitos eléctricos, inductancia
dv F

dt m
di e

dt L
La oposición que presentan los circuitos al
intentar cambiar su corriente se conoce
como INDUCTANCIA
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2
07/08/2009
La Inductancia Mutua
 Se induce una corriente en una
espira cuando se cambia la
corriente en una espira vecina
b
a
 Se puede describir este efecto
cuantitativamente en términos de
la inductancia mutua, la relación
entre el flujo en una espira para la
corriente en la espira opuesta.
 ab  ba
M

Ib
Ia
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ab = flujo a través del lazo “a” debida
a la corriente en el lazo “b”
3
07/08/2009
Aplicaciones de
Inductancia Mutua
Transformadores
(a) Un transformador-elevador
tiene mas vueltas en la bobina
del secundario que en la
bobina del primario.
(b) Un transformador-reductor
tiene mas vueltas en la bobina
del primario que en la del
secundario.
Ver animacion
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07/08/2009
Transformadores Típicos
UCSD: Physics 8; 2006
5
Spring 2006
Hierro
e
~
V2
V1
N1
N2
(primario)
(secundario)
P  VI
V1 I1  V2 I 2
I 2 N1

I1 N 2
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07/08/2009
Detector de Metales (Aeropuertos)
– Corriente Pulsante  pulso de campo B  Induce una
fem en el metal
Metales
Ferromagnéticos
producen mayor B 
mayor inductancia
mutua  mayor fem
fem  corriente (¿cuánta?, ¿qué duración?, depende de la
resistividad del material)
Decaimiento de la corriente genera decaimiento del campo
magnético  induce una corriente en espiras vecinas
Magnitud & duración de la señal depende de la composición y
geometría del objeto metálico.
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07/08/2009
Marca-Pasos
 Marca-Pasos
–
–
No es fácil cambiar la batería!
Se utiliza una fuente externa
de CA.
– Corriente alterna
 alternado B
~
 alternado ФB dentro del
“paciente”
 induce una corriente AC que
energiza el marcapasos.
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8
07/08/2009
LA AUTOINDUCCIÓN Y
LA INDUCTANCIA
La fem autoinducida en un circuito es el resultado de la variación
del flujo a través del circuito debido a la variación de la corriente
en el propio circuito.
d  dI

dt
dt
d   L dI
N
L
INDUCTANCIA
I DEL CIRCUITO
V
R
I
Q
C
V
Similar a la Resistencia y la Capacitancia, la Inductancia
depende únicamente de la geometría del conductor. La
inductancia es una propiedad de los conductores.
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07/08/2009
Auto-Inducción y la fem Autoinducida
 Usted sabe que una corriente que cambia en un lazo
induce un FEM en el otro circuito vecino. Usted puede
apreciar que si los dos lazos son parte de la misma
bobina, un cambio en la corriente en uno de los lazos
inducirá una FEM en otro lazo de la misma bobina.
 De hecho, una corriente que cambia en un solo lazo
induce una FEM en sí mismo.
Esto se llama
autoinducción.
 Puesto que para cualquier inductor L 
 Pero la ley de Faraday dice.
e L   N d B   L di
dt
dt
N B
entonces
i
iL  N B
di
d B
L N
dt
dt
La FEM auto-inducida se opone a la
dirección en que cambia la corriente
eL
di
 L
dt
07/08/2009
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UNIDADES DE LA INDUCTANCIA (L)
dI
e L  L
dt
1H 
L
1V
1A
s
N B
i
Unidad de la Inductancia: henry (H)
1 H = 1 T-m2/A
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07/08/2009
Dirección de la fuerza electromotriz (fem) autoinducida
Si la corriente es constante NO hay
fem autoinducida
Si la corriente aumenta, la fem
autoinducida aparece oponiéndose a la
dirección de la corriente.
Si la corriente disminuye, la fem
autoinducida aparece sumándose en la
misma dirección de la corriente
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07/08/2009
Regla de Kirchhoff para los inductores
(a) con el aumento de la corriente, y
(b) con la corriente que disminuye.
La fem autoinducida está presenta mientras la corriente
está variando en el circuito.
Una vez que la corriente se estabiliza, la fem autoinducida
vale cero.
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07/08/2009
Auto-Inductancia: Resumen
 Todo conductor presenta inductancia, de la misma
forma que presenta resistencia y tiene capacitancia.
 La inductancia de un inductor (e.g., solenoide)
puede ser calculada por su geometría solamente, si
el dispositivo es construido de conductores y aire
(similar a la capacitancia de un capacitor).
 Si hay un material extra añadido (e.g., núcleo de
hierro) la inductancia se incrementará (igual como
un dieléctrico aumenta la capacitancia de un
capacitor)
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07/08/2009
• El arquetipo de un inductor es un
solenoide, de la misma forma que
un par de placas planas es el
arquetipo de un capacitor.
A
++++
l
r
r << l
d
-----
d  A
N vueltas
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Cálculo de la Inductancia de un solenoide
l
 Solenoide Ideal:
N: total de vueltas, radio r, Longitud l
r
N
r  l  B   0 I
N vueltas
l
Para una vuelta, A  r 2    BA   0 N Ir 2
l
El flujo total a través del solenoide viene dado por:
N2
 B  N   0
Ir 2
l
La Inductancia de un solenoide puede ser calculada:
NB
N2 2
N
L
 0
 r  0   l  r 2
I
l
l 
2
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1
07/08/2009
 Considere los dos inductores
mostrados:
 El Inductor 1 tiene longitud l, N
vueltas e inductancia L1.
 El Inductor 2 tiene longitud 2l, 2N
vueltas e inductancia L2.
 Cual es la relacion entre L1 y L2?
(a) L2 < L1
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(b) L2 = L1
17
l
2l
r
r
N turns
r
2N turns
(c) L2 > L1
07/08/2009
Similar a la Resistencia y la Capacitancia, la Inductancia
depende únicamente de la geometría del conductor. La
inductancia es una propiedad de los conductores.
l
R
A
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2
N
L  0   l r 2
 l 
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C  eo
A
d
07/08/2009
PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS CONDUCTORES
Dispositivo
Propiedades
Resistor
Resistencia
R
Capacitor
Capacitancia
C
Inductor
Inductancia
L
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Representación
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Nomenclatura
07/08/2009
Un inductor de 10 mH y un resistor de 10  se conectan en
paralelo. Luego estos dos elementos se conectan en serie con
una batería de 12 V y un resistor de 20  ¿Cuál es la rapidez de
cambio de la corriente en el inductor cuando la corriente en la
batería es 0,50 A?
a)
b)
c)
d)
e)
600 A/s
400 A/s
200 A/s
800 A/s
500 A/s
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07/08/2009
Regla General: Los inductores
resisten cambios de corriente
cuando son conectados a una fuente
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07/08/2009
Inicialmente, al cerrar el interruptor de un circuito, el inductor se
comporta como un “interruptor” abierto. Se produce la máxima
variación de corriente. (máximo valor de fem autoinducida).
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07/08/2009
Después de que el interruptor permanece cerrado por un tiempo
muy largo, el inductor se comporta como un “corto”. La
corriente se ha estabilizado. (la fem autoinducida vale cero).
e L
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di
dt
 t 0 
di
0
dt
07/08/2009
Desconectemos el inductor de la fuente de corriente.
Pasemos el interruptor de la posición a a la posición b
• Inicialmente, el inductor se comporta como
una fuente de corriente (fem auto inducida).
• Después de un tiempo relativamente grande, el
inductor entrega toda su energía, la corriente a
través de él se hace cero.
I
a
I
R
b
2
e
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L
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07/08/2009
Pregunta de concepto: recordemos
I
a
I
R
 A t = 0 el “switch” se pasa de la
posición b a la posición a en el
circuito mostrado:
b
e
L
R
– ¿Cuál es el valor de la corriente I0 inmediatamente
después de cerrar el “switch”?
(a) I0 = 0
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(b) I0 = e/2R
25
(c) I0 = 2e/R
07/08/2009
Determine el valor de la corriente que maneja la fuente
en el instante de cerrar el interruptor y después de que el
interruptor permanece cerrado por un tiempo muy largo.
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Análisis del Circuito RL
a
I
R
• A t=0, se cierra el interruptor y
la corriente I comienza a fluir.
• Suma de voltajes:
I
b
e
L
dI
e  IR  L  0
dt
Note que esta ecuación es idéntica en forma a la del circuito RC
con las siguientes sustituciones:
RC: ε  Q  R dQ  0
C
dt
 RCRL:
L


RC
Por tanto,
RC
  RL 
R
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RL
QI
1
R
C
CONSTANTE DE
TIEMPO INDUCTIVA
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Circuito RL
 Para encontrar la corriente I en
función del tiempo t,
necesitamos escoger una
solución exponencial que
satisfaga las condiciones de
frontera:
e
dI
(t  )  0  I (t  ) 
R
dt
• En consecuencia:
I
a
I
R
b
L
RL = R
L
ε
I  1  e Rt / L 
R
• La caída de voltaje a través del inductor está dada por:
dI
VL  L  εe Rt / L
dt
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07/08/2009
Circuito RL (e on)
I 
e

1 e
R
 Rt / L
2L/R
1
2
Dibuje las curvas!

Max = e/R
Q
Corriente
e/R
1
L/R
f( x ) I
0.5
63% Max a t=L/R
00
Voltaje en L
VL  L
dI
 ee  Rt / L
dt
Max = e/R
1
e1
0
t
3
t
3
4
x
t/RC
f( xV
) 0.5
L
37% Max a t=L/R
FLORENCIO PINELA - ESPOL
0.0183156 0
29
0
1
2
07/08/2009
4
Un circuito en serie contiene una batería de 12 V, un resistor de
2000 , un inductor de 3 H. Si el interruptor que conecta el
circuito es cerrado a t = 0, determine el tiempo requerido para
que la corriente en el circuito alcance el 63% de su valor final.
a. 1.5 ns
b. 3.0 ns
c. 4.0 ns
d. 5.0 ns
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07/08/2009
Circuitos RL

IR  L
I
a
Después que el “switch” pasó un
largo tiempo en la posición a, el
interruptor pasa a la nueva
posición b a t=0.
• Suma de voltajes:
I
R
b
e
L
dI
0
dt
• La condición inicial apropiada es:
I 
• La solución debe tener la
forma:
I (t  0) 
e
R
e
R
e  Rt / L
dI
VL  L
 ee  Rt / L
dt
FLORENCIO PINELA - ESPOL
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07/08/2009
Circuito RL (e off)
e/R
1
1
Corriente
I 
e
R
L/R
2L/R
1
2
e  Rt / L
f( x ) 0.5
I
Max = e/R
37% Max a t=L/R
0.0183156
0
01
0
0
t
3
x
4
4
VL  L
Max = -e
dI
 ee  Rt / L
dt
Q
Voltaje en L
f( x ) V
0.5L
37% Max a t=L/R
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-e
0
32
0
1
2
x
t
3
4
07/08/2009
Energía de un Inductor
 Cuánta energía almacena
un inductor cuando una
corriente circula en él?
I
a
I
R
b
• Suma de voltajes:
L
e
dI
e  IR  L
dt
Multiplicando por I
dI
e I  I R  LI
dt
2
FLORENCIO PINELA - ESPOL
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07/08/2009
dI
εI  I R  LI
dt
2
Rapidez con que la
fuente entrega energia
Rapidez con que la
resistencia disipa
energia
Rapidez con que el
inductor almacena energia
• De esta ecuación, identificamos PL, la rapidez con que se
almacena energía en el inductor:
dU
dI
PL 
 LI
dt
dt
dU
dI
 LI
dt
dt
FLORENCIO PINELA - ESPOL
U
I
1 2
0 dU  L0 IdI  U  2 LI
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07/08/2009
¿Dónde está la Energía Almacenada?
 La energía es almacenada en el campo magnético (igual
que en el capacitor, en su campo eléctrico).
 Para calcular esta densidad de energía, consideremos el
campo magnético uniforme generado por un solenoide:
N
l
B  0 I
N2 2
l
• La inductancia L es: L  0
r
l
• Energía U:
r
N vueltas
1 2 1  N2
1  2 N2 2  2
1 2 2
2 2
U  L I   0
 r I 
Br l
 o 2 I   r l 
2
2
l
2 0 
l
2 0


•Podemos convertirla en densidad
de energía dividiéndola para el
volumen que contiene el campo:
FLORENCIO PINELA - ESPOL
35
U
1 B2
u

2
 r l 2 0
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densidad de energía
magnética
B2
um 
2 o
Esta expresión tiene su similar para el campo eléctrico.
densidad de energía
eléctrica
E2
uE  e 0
2
FLORENCIO PINELA - ESPOL
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07/08/2009
Para el circuito mostrado en la figura. Después que el
interruptor en el circuito ha permanecido cerrado por
un tiempo muy largo, determine la energía que
finalmente almacenan el inductor y el capacitor.
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