Conocimiento para la enseñanza de las matemáticas en un

UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA
DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES
EXPERIMENTALS
Conocimiento para la enseñanza de las
matemáticas en un contexto de reflexión
conjunta sobre prácticas observadas
Màster de Recerca en Didàctica de la
Matemàtica i de les Ciències Experimentals
Autora
Isabel Moreno de Barreda Ribed
Tutora
Asesora
Edelmira Badillo Jiménez
Digna Couso Lagarón
Septiembre de 2012
UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA
DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES
EXPERIMENTALS
Conocimiento para la enseñanza de las
matemáticas en un contexto de reflexión
conjunta sobre prácticas observadas
Màster de Recerca en Didàctica de la
Matemàtica i de les Ciències Experimentals
.
Autora
Isabel Moreno de Barreda Ribed
Tutora
Asesora
Edelmira Badillo Jiménez
Digna Couso Lagarón
i
Septiembre
de 2012
A. M. D. G.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido posible gracias a los compañeros de camino que me han
acompañado durante este tiempo. Quisiera en primer lugar agradecer la generosa
colaboración del Centro Mare de Déu de Lourdes, tanto por parte del Director como por
parte de los maestros participantes en la investigación, que con tanto interés nos han
acogido, ofrecido su tiempo, facilitado la entrada en el aula y contestado a cuantas
preguntas nos surgían. También agradezco los recursos y medios con los que he podido
contar al tratarse de de un estudio realizado en el seno del proyecto europeo TRACES
Quisiera hacer una mención especialmente agradecida de mi tutora, Edelmira Badillo,
con la que he podido contar en todo momento y de Digna Couso, asesora del trabajo.
Buenos momentos hemos pasado en los que sus orientaciones permitían dilucidar el
camino, reorientar la ruta. Que Dios bendiga su claridad de visión a la hora de entender
qué posibilidades ofrece el estudio.
Otros caminantes, los compañeros y profesores del master, han hecho su labor de sostén
y de orientación en las encrucijadas. Finalmente, no puedo olvidar a mi Comunidad, las
Religiosas de la Compañía del Salvador, que me han acompañado y animado en todo
momento.
2
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Introducción ...................................................................................................................... 5
1. Planteamiento del problema ........................................................................................ 7
1.1. El problema en su contexto ................................................................................. 7
1.2. Limitaciones del estudio....................................................................................... 8
1.3. Justificación de la investigación ........................................................................... 8
1.4. Pregunta y Objetivos de la investigación ............................................................. 9
2. Marco teórico..............................................................................................................10
2.1. Desarrollo profesional........................................................................................ 10
2.2. Conocimiento Didáctico del Contenido .............................................................. 13
3. Metodología................................................................................................................17
3.1. Aproximación metodológica............................................................................... 17
3.2. Contexto de la formación permanente ............................................................... 17
3.2.1. Breve caracterización teórica de la formación emprendida ..................... 18
3.2.2. Caracterización del Proyecto de innovación en desarrollo numérico y
estrategias de cálculo mental.................................................................. 20
3.2.3. Caracterización teórica de la Noción del sentido numérico y cálculo
mental trabajados en el proyecto ............................................................ 21
3.3. Participantes...................................................................................................... 23
3.4. Instrumentos y estrategias utilizadas en la recogida de datos ........................... 25
3.4.1. Cómo se elaboran los instrumentos y se recogen los datos.................... 26
3.4.2. Qué datos se pretende obtener............................................................... 32
4. Análisis de datos y resultados ....................................................................................37
4.1. Proceso de análisis............................................................................................ 37
4.1.1. Selección de fuentes de datos ................................................................ 37
4.1.2. Selección de la muestra .......................................................................... 38
4.1.3. Selección de aspectos del conocimiento didáctico del contenido a
estudiar ................................................................................................... 38
3
4.1.4. Descripción de los indicadores................................................................ 39
4.2. Estrategias de análisis....................................................................................... 42
4.3. Resultados ........................................................................................................ 45
4.3.1. Primer objetivo: Cambios en el CDC ....................................................... 45
4.3.2. Segundo objetivo: Influencias de la formación emprendida..................... 55
5. Conclusiones..............................................................................................................61
5.1. Conclusiones ..................................................................................................... 61
5.2. Prospectiva........................................................................................................ 62
Bibliografía.......................................................................................................................65
Índice de figuras ..............................................................................................................69
Índice de tablas................................................................................................................70
Anexos ............................................................................................................................71
4
Introducción
La sociedad es consciente de la importancia de actualizar las competencias adquiridas en
el ejercicio de ciertas profesiones como un aspecto relevante de su profesionalidad, por
ejemplo, en la medicina o la arquitectura. En el campo educativo, sin embargo, se ha de
seguir profundizando en la toma de conciencia de esta necesidad (Couso y Pintó, 2009).
El interés hacia la formación del profesorado me ha llevado a leer las consideraciones de
distintos autores como Shulman, Ball, Llinares, Ponte etc., los cuales me han mostrado
un campo de investigación en el que conscientes de la relevancia del papel de profesor
en la educación, se preocupan de aproximar la investigación y la docencia (Llinares y
Krainer, 2006). Fruto de estas lecturas es la pregunta que ha motivado este trabajo
acerca de la influencia de un tipo de formación en el conocimiento y desarrollo profesional
del maestro en ejercicio.
Se ha escogido como población un grupo de maestros que, al ser conscientes de que la
reforma curricular en el área de las matemáticas, centrada en la adquisición de
competencias, requería de ellos nuevas destrezas, solicitan una formación. Ésta
intervención formativa sitúa en un lugar central la reflexión sobre prácticas de aula
observadas, prácticas que van dirigidas al desarrollo del sentido numérico y estrategias
de cálculo mental, pues, como afirman Llinares y Krainer (2006), se considera la reflexión
sobre prácticas concretas de aula un medio y referente para el desarrollo profesional de
maestros.
En la formación emprendida, el conocimiento compartido durante las sesiones de
reflexión conjunta es un elemento importante, generador de aprendizaje o, al menos, de
reflexión individual que les lleva a cuestionarse la práctica. Dentro de la literatura revisada
para dar fundamento teórico a la investigación, he encontrado numerosos artículos que
trabajan en una perspectiva cognitiva estudiando un caso individual o varios casos de
manera comparativa (Ball et al., 2008; Hill et al., 2008; Rowland et al, 2005; entre otros).
Otros artículos revisados, que parten de una perspectiva más sociocultural, versan sobre
la comunidad e investigan sobre el desarrollo de comunidades (Escudero, 2009; Shulman
y Shulman, 2004; Shulman, 1997, entre otros).
A la hora de plantear el estudio del desarrollo profesional del grupo de maestros que
participan en mi investigación, me he visto obligada a acotar el foco de interés. El
5
desarrollo profesional incluye gran cantidad de elementos, que en el contexto de un
trabajo de master de un año no da tiempo a analizar; ni a recoger datos, pues desarrollo
implica continuidad en el tiempo. Esta limitación hace que me centre en el conocimiento,
pero no sería noble obviar el contexto en el que se desarrolla dicho conocimiento; las
referencias a los compañeros en los datos recogidos son continuas. Mi trabajo de master
realiza un análisis parcial de la situación que investiga. Quedan otros niveles para futuras
investigaciones; pero si esos niveles sociales no son analizados en este momento, sí
puedo afirmar que iluminan y guían los resultados encontrados.
Tras estas indicaciones, considero que este trabajo aporta resultados sobre la evolución
del conocimiento didáctico del contenido (CDC) puesto de manifiesto por los maestros
durante una experiencia formativa y sobre algunos medios que han propiciado esta
transformación. Así podremos afirmar en las conclusiones que ha habido situaciones que
impulsaron más el desarrollo, como el análisis didáctico de episodios de aula, que otras
que, aun siendo de interés, no han hecho mella en los participantes, como es el diario
escrito de la reflexión individual.
A la hora de querer presentar el trabajo no puedo menos de pensar en una peregrinación,
pongamos por ejemplo el Camino de Santiago por su popularidad en todos los ambientes
y gran parte de las naciones. El trabajo se estructura en cinco partes. La primera, la
contextualización del estudio y justificación de la investigación, concluyendo con los
objetivos de la misma, se asemeja a ese ideal y deseo o necesidad de cambio que
mueve la voluntad para ponerse en camino. Tras la decisión de perseguir esa meta que
se vislumbra en la imaginación, hay que preparar la ruta, buscar los caminos transitados
por los antiguos que nos llevan al fin deseado: la parte correspondiente al marco teórico,
que en nuestro caso se subdivide en dos apartados que dan base teórica al estudio.
Sigue el proceso de recopilación del equipamiento para el viaje y su descripción: un
apartado de metodología en el que, tras decir la perspectiva metodológica que se
emprende en la investigación, se expone el tipo de intervención formativa emprendida y
se presentan los instrumentos y el proceso de recogida de datos. La cuarta parte, la más
importante, es el camino: el análisis y los resultados; en este apartado se muestra el
modo de realizar el análisis de la información y presenta redes y tablas que nos permiten
mostrar los resultados obtenidos. Finalmente el gozo de llegar a la meta, las reflexiones y
conclusiones que se sacan de la peregrinación, los caminos que se han visto como
posibles e interesantes futuros viajes.
6
1. Planteamiento del problema
Lo primero ante lo que se encuentra un peregrino decidido a de emprender un viaje tal y
como podría ser el Camino de Santiago es la necesidad de responder a unas preguntas
claves: dónde estoy, qué impedimentos tengo, porqué tiene sentido aquello que voy a
hacer, cuál es la meta a la que quiero llegar. En este primer apartado se responde
básicamente a estas preguntas.
1.1. El problema en su contexto
Este trabajo se enmarca dentro de la línea de investigación de formación del profesorado
y forma parte del proyecto europeo TRACES1 que se desarrolla en el seno del séptimo
proyecto marco de la Comisión Europea “Science in Society”. Su objetivo es analizar la
distancia existente entre la investigación educativa en ciencias y matemáticas y la
práctica docente, proponiendo, tal como indica su nombre, actividades de investigación
transformativas. En este sentido pretende, por un lado, ver hasta qué punto diferentes
propuestas para mejorar la enseñanza de las ciencias y matemáticas, en base a la
investigación en didáctica, son o no transformativas de la práctica educativa y, por otro,
estudiar las condiciones que favorecen esta transformación. Dicho proyecto se extiende a
lo largo de los cursos 2010-2011 y 2011-2012. El presente estudio toma datos de su
segundo año de desarrollo en uno de los casos españoles considerados en TRACES.
El grupo de maestros participantes en la investigación pertenece al Colegio Mare de Déu
de Lourdes (en adelante MDL), centro educativo religioso concertado por la Generalitat
de Catalunya, situado en la población de Mataró, Provincia de Barcelona. El Centro
escolar, de dos líneas, tiene 581 alumnos/as matriculados en las diferentes etapas
educativas desde la Educación Infantil a la Educación Secundaria Obligatoria. Todos los
maestros participantes imparten clase en los ciclos inicial y medio de la Educación
Primaria del centro.
1
Proyecto TRACES (Transformative Research Activities Cultural diversities and Education in Science),
financiado por el 7º Programa Marco de la UE, Ref. SiS-CT-2010244898. Más información en la web del
proyecto internacional www.traces-project.eu/ y nacional: http://grups.crecim.cat/traces
7
1.2. Limitaciones del estudio
En este trabajo pretendemos estudiar la influencia del modelo de formación en el
desarrollo profesional de los maestros participantes. Ahora bien, contamos con una serie
de limitaciones que impiden alcanzar plenamente el propósito de la investigación. La
primera y fundamental limitación es que se enmarca en un contexto de master de
iniciación a la investigación educativa, con lo que el tiempo del que se dispone para llevar
a término este estudio está acotado a un año. Otro factor importante, que se deriva del
primero, es la dificultad de medir el desarrollo profesional en su globalidad en tan corto
periodo de tiempo. Consciente de ello, centraré los resultados en un aspecto del
desarrollo profesional relacionado con el conocimiento didáctico del contenido. Con esto
no se pretende afirmar que éste sea más importante que otros, ni que sea suficiente para
poder considerar que un maestro ha alcanzado un buen desarrollo profesional. Esta
selección responde a su coincidencia con uno de los pilares fundamentales de la
formación emprendida y a la posibilidad que ofrece esta selección, dada su concreción,
para hacer factible el estudio en un año escaso.
1.3. Justificación de la investigación
Las numerosas iniciativas de investigación relacionadas con el desarrollo profesional del
profesorado, su formación inicial y permanente, durante los últimos treinta años dan
cuenta de la importancia social de esta área investigativa (Llinares y Krainer, 2006). A
parte de la importancia que tiene para el ejercicio de cualquier profesión su continuo
desarrollo, en el caso de la enseñanza las continuas reformas curriculares centran la
mirada en cada vez en distintos aspectos del proceso de enseñanza y aprendizaje.
El curriculum español actual, basado en competencias, viene orientado por las
indicaciones del proyecto PISA que responde a un modelo funcional sobre la enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. Según Rico (2006) este marco curricular pone énfasis
“en el conocimiento matemático puesto en funcionamiento ante una multitud de tareas y
en una variedad de contextos diferentes, por medios reflexivos, variados y basados en la
intuición personal, es decir, en competencias y capacidades personales, sostenidas por
una variedad de procesos cognitivos” (Rico, 2006; p. 281)
Responder al objetivo de que los alumnos sean matemáticamente competentes requiere
que en el aula de matemáticas se desarrollen procesos generales, tales como “pensar y
razonar, argumentar, comunicar, modelizar, plantear y resolver problemas, representar y
utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones” (Ibíd.; p. 283). Ahora
8
1. Planteamiento del problema
bien, como señalan Adler, Ball, Krainer, Lin y Novotna (2005), “por distintas razones,
muchos profesores en ejercicio no han aprendido algunos de los contenidos que están
obligados a enseñar o los han aprendido de manera limitada y condicionada […] Las
diferentes reformas curriculares han llevado a que muchos profesores tengan que
enseñar un currículo muy distinto de aquel para el que fueron educados” (p. 361). Esto,
junto con el hecho de la cada vez más reconocida importancia que tiene el profesor para
una enseñanza de calidad (Ponte, 2012; Adler et al., 2005), pone de manifiesto la
necesidad de una formación permanente que potencie la competencia docente.
Fernandez (2002) señala que, según muchos investigadores, fundamentar el desarrollo
profesional en la práctica docente real y en el examen y análisis de la misma es un medio
poderoso para fomentar la competencia docente, pero resalta que hay menor consenso a
la hora de diseñar este tipo de experiencias de aprendizaje para profesores.
1.4. Pregunta y Objetivos de la investigación
Partiendo de esta realidad, se presenta el siguiente problema de investigación que
consiste en la evolución del conocimiento didáctico del contenido (CDC) en un contexto
de formación permanente. Este propósito se enlaza con el objetivo del proyecto TRACES
que busca analizar actividades de formación del profesorado basadas en la investigación
para ver hasta qué punto son o no transformativas de la práctica del aula.
Ante este problema de investigación surge la siguiente pregunta:
¿Cómo evoluciona el CDC para la enseñanza de las matemáticas puesto de
manifiesto por un grupo de maestros en ejercicio a lo largo de una intervención
formativa –basada en la reflexión conjunta sobre prácticas observadas–?
Teniendo en cuenta las limitaciones que comporta este estudio, se plantean los
siguientes objetivos que permiten dar respuesta a la pregunta planteada.
•
Identificar cambios en algunos aspectos del CDC para la enseñanza de las
matemáticas puesto de manifiesto por los maestros a lo largo de la intervención
formativa.
•
Analizar posibles influencias de la intervención formativa en el CDC del grupo de
maestros participantes.
9
2. Marco teórico
Decididos a caminar, hay que saber por dónde. Muchas son las rutas trazadas por
grandes expertos en este tipo de viaje. Aquí se muestran algunas de ellas, verlas todas
sería perderse en el bosque de la investigación en didáctica. Estas rutas han iluminado
ampliamente el camino, aunque ninguna se haya seguido plenamente.
Los dos apartados que componen este apartado proporcionan estructura teórica al
trabajo, me han permitido acercarme de manera más sensible a la información de los
datos y han enriquecido mi comprensión. El primer apartado versa sobre el desarrollo
profesional, la formación permanente en la escuela y reflexión sobre la práctica. El
segundo se centra en el conocimiento didáctico del contenido (CDC) para enseñar
matemáticas.
2.1. Desarrollo profesional
En nuestro estudio nos ubicamos en un contexto de formación del profesorado con vistas
a un desarrollo profesional que lleve a la transformación de la práctica educativa. El papel
que juega la formación del docente como factor determinante en el proceso de
enseñanza y aprendizaje ha sido centro de numerosas investigaciones y de
recomendaciones legales desde hace unas décadas. Tenemos un ejemplo en la Ley
Orgánica de Educación española del 2006 en la que se dedica el artículo 102 a la
formación permanente: “(1) La formación permanente constituye un derecho y una
obligación de todo el profesorado y una responsabilidad de las Administraciones
educativas y de los propios centros, (2) Los programas de formación permanente,
deberán contemplar la adecuación de los conocimientos y métodos a la evolución de las
ciencias y de las didácticas específicas, […] encaminados a mejorar la calidad de la
enseñanza y el funcionamiento de los centros” (MEC, 2006a, p. 17184).
El tipo de formación de profesores en ejercicio ha seguido distintos caminos a lo largo de
este tiempo: la formación continua entendida como cualquier acción formativa –tanto
individual como colectiva–; el concepto de reciclaje con su carácter puntual tanto en el
tiempo como en el contenido o el desarrollo profesional de los profesores en el que se
enfatiza la “connotación de evolución y continuidad que nos parece que supera la
10
2. Marco teórico
tradicional yuxtaposición entre formación inicial y perfeccionamiento de los profesores”
(Marcelo, 1994; p. 315), entre otros modelos. Las numerosas iniciativas llevadas a cabo
en este campo ofrecen luces, sombras e interrogantes sobre las relaciones entre
conocimientos y actuación, profesor, comunidad y escuela, en los que es necesario
seguir profundizando (Escudero, 2009).
Según Ponte (2012), estudiar los procesos de desarrollo del conocimiento profesional del
profesorado tiene gran importancia. Este autor concibe al profesor con “necesidades y
potencialidades que se deben descubrir, valorar y ayudar a desarrollar” (p. 89). Y
puntualiza que el protagonista en el proceso de crecimiento marcado por una evolución
continua y activado en momentos concretos, es el profesor, y no tanto los cursos u
oportunidades de formación. El autor marca una gran diferencia entre la formación del
profesorado y el desarrollo profesional que tiende a considerar la teoría y la práctica de
manera integrada y a interpretar el profesorado como un todo que conjuga aspectos
cognitivos, afectivos y relacionales. Finalmente, Ponte (2012) abre la posibilidad de una
formación dirigida al desarrollo profesional que le lleva a preguntarse “cómo articular las
contribuciones derivadas de la investigación en educación matemática con lo que se sabe
sobre la naturaleza del desarrollo profesional” (p. 91). Buscar formas que favorezcan los
procesos naturales de desarrollo profesional lleva a este autor a proponer tres ideas
claves: “Colaboración; la práctica como punto de partida de la formación y la
investigación sobre la práctica como proceso clave en la construcción de conocimiento”
(p. 92).
En esta misma línea, Escudero (2009) destaca tres aportaciones de las teorías
socioculturales sobre el conocimiento y el aprendizaje que son relevantes para la
formación inicial y continuada del profesorado: una concepción del conocimiento y
aprendizaje como fenómenos y procesos activos y situados en contexto; valoración del
conocimiento como una realidad social y cultural; y su carácter distribuido, es decir, la
adquisición del mismo por medio de las relaciones entre personas y las distintas fuentes
de información. Especialmente considera que cuando el conocimiento está relacionado
con el contexto de los participantes en el proyecto formativo, relacionándolo con
actividades auténticas y haciendo una utilización reflexiva y práctica del mismo, entonces
el aprendizaje es más profundo: “De ahí la justificación y el poder de los modelos de
formación centrados en la práctica, en el estudio de casos, la realización de proyectos y
el aprendizaje por medio de problemas, particularmente si tales actividades llegan a
propiciar relaciones recíprocas entre la teoría y la práctica, el conocimiento y la acción.”
(p. 13)
11
Krainer (1999) defiende que el desarrollo profesional es consecuencia de una mayor
conciencia por parte de los profesores de los factores que influyen en los fenómenos
educativos, lo cual contribuye a una gradual y progresiva mejora en la comprensión de su
propia práctica profesional. Como medio para alcanzar esa mayor conciencia, Llinares y
Krainer (2006) proponen la reflexión y análisis de la enseñanza a través de situaciones de
aula y la interacción de los profesores, motivados por la reflexión conjunta sobre aspectos
de la práctica de enseñanza.
Se enfatiza uno de los ejes que estimamos claves para el aprendizaje y el desarrollo
profesional que es la reflexión (Shulman y Shulman, 2004). Llinares y Krainer (2006)
consideran que la reflexión “es un elemento clave en el desarrollo de procesos
necesarios para el aprendizaje continuo ya que la reflexión es considerada como un
medio por el cual los maestros continúan aprendiendo acerca de la enseñanza y sobre sí
mismos como maestros” (p. 442). Al considerar la reflexión como estrategia para el
desarrollo profesional, Marcelo (1994) puntualiza que “el objetivo de toda estrategia que
pretenda propiciar la reflexión consiste en desarrollar en los profesores destrezas
metacognitivas que les permitan conocer, analizar, evaluar y cuestionar su propia práctica
docente, así como los sustratos éticos y de valor que subyacen a ella” (p. 334).
Callejo, Valls y Llinares (2007) consideran que el uso de grabaciones de episodios de
clases ofrece espacios para reflexionar sobre diferentes aspectos de la gestión, del
proceso de enseñanza y aprendizaje, del papel del docente y dificultades y
potencialidades de los alumnos de manera que los pensamientos generales de los
maestros encuentren alimento y sustento en evidencias empíricas.
Las teorías socioculturales afirman que, en relación con la mejora de la educación y la
formación, “el conocimiento de los profesores está fuertemente ligado a sus experiencias
y prácticas. Al mismo tiempo que subrayan que las ideas y prácticas docentes no se
aprenden ni desarrollan en soledad” (Escudero, 2009; pp. 13-14). Nos situamos pues en
un paradigma de constructivismo social que considera tanto el aspecto individual como el
social del aprendizaje. Desde este paradigma se constituye como referencia de la
investigación la interacción de los maestros entre sí y con la formadora.
Ahora bien, las actividades consideradas potencialmente provechosas, como son el
trabajo con los colegas en el incremento de una comprensión profunda de los procesos
involucrados en la enseñanza y el aprendizaje, no llegarán a serlo, según Escudero
(2009), sin una profundización en el contenido, referentes conceptuales, procesos y
resultados de los aprendizajes del profesorado.
12
2. Marco teórico
2.2. Conocimiento Didáctico del Contenido
Hasta aquí se ha puesto en evidencia la importancia de la reflexión e interacción entre
profesores y/o con un formador para el desarrollo profesional. Llinares (2009) señala que,
puesto que un maestro ha de manejar situaciones de enseñanza-aprendizaje de
contenidos específicos en diversidad de situaciones, conviene analizar estas situaciones
para deducir qué conocimiento se requiere y las maneras de usarlo que pueden ser más
oportunas para tomar las mejores decisiones.
Según los estudios realizados sobre el impacto del conocimiento del profesor en la
enseñanza: “hay evidencias para afirmar que un mayor conocimiento del profesor
produce beneficios en la instrucción en el aula y en el logro del estudiante” (Hill et al.,
2008; p. 431). Pero, ¿qué tiene de particular el conocimiento del profesor?, ¿qué
conocimiento matemático debería poseer el profesor para ejercer su profesión y cómo ha
de conocerlo?, ¿es suficiente un abundante saber sabio sobre las matemáticas?
Shulman (1986, 1987) puso de manifiesto lo complejo de dicho conocimiento profesional
y llegó a distinguir siete componentes distintas, a la vez que considera que tres son las
fundamentales que son específicas de cada materia: Conocimiento del contenido que
corresponde al saber de la disciplina; Conocimiento pedagógico del contenido que
consiste en “los caminos para representar el contenido de manera que se haga
comprensible a los otros” (Shulman, 1986; p. 9) y Conocimiento curricular que incluye el
conocimiento del alcance y la secuencia de los programas de enseñanza de la materia a
lo largo del curso y de la escolaridad. A raíz de las investigaciones de Shulman surgieron
diferentes estudios sobre el conocimiento necesario para la enseñanza y, en particular,
para la enseñanza de las matemáticas.
Ball, Thames y Phelps (2008) entienden por conocimiento matemático para la enseñanza
“los conocimientos matemáticos necesarios para llevar a cabo la labor de enseñanza de
las matemáticas […] Tiene que ver con las tareas de enseñanza y las exigencias
matemáticas de esas tareas” (p. 395). Como fruto de su estudio, Ball y colaboradores
ofrecen una categorización específica de este conocimiento. Su propuesta consiste en
desglosar dos de las componentes enunciadas por Shulman (1986) en seis subdominios
que describen los distintos tipos de conocimientos que se requieren para la enseñanza de
las matemáticas.
Estos autores postularon que el conocimiento necesario para la enseñanza de las
matemáticas incluía, aparte de saber matemáticas (conocimiento común del contenido),
un conocimiento especializado del contenido (CEC) que permite realizar las tareas de la
enseñanza de las matemáticas y que es distinto del que requiere otra profesión que
13
utilice las matemáticas para su desempeño; este conocimiento incluye una serie de
habilidades como saber presentar las ideas matemáticas, responder los porqués de los
alumnos, encontrar ejemplos apropiados, reconocer qué conlleva una representación
particular, relacionar las distintas representaciones, saber adaptar los libros de texto,
saber modificar tareas para facilitar o aumentar la dificultad, adelantarse a las dificultades
de los alumnos, saber explicar o evaluar las explicaciones de los alumnos.
Conocimiento de la materia
Conocimiento del contenido pedagógico
Conocimiento
del contenido y
de los
Conocimiento
estudiantes
común del
contenido (CCC)
(CCEst)
Conocimiento
Conocimiento
especializado
del contenido y
Conocimiento
del contenido
del horizonte del
(CEC)
Conocimiento
del contenido y
contenido (CHC)
del currículum
(CC)
de la enseñanza
(CCEns)
Figura 2.1. Dominios del Conocimiento Matemático para la Enseñanza
(Ball et al., 2008)
Este conocimiento especializado va de la mano de lo que estos autores denominan
conocimiento del contenido y de los estudiantes (CCEst) que consiste en que los
profesores deben anticiparse a lo que los estudiantes piensan y lo que encuentran
confuso, prever qué les interesa y qué les motiva, qué tareas encontrarán fáciles y cuáles
difíciles. Ser capaces de escuchar e interpretar el pensamiento de los alumnos, e,
incluso, completarlo en un lenguaje que entiendan. Sobre todo, conocer las ideas previas
y errores sobre un particular contenido matemático que poseen los alumnos. “Todas
estas tareas requieren una interacción entre la comprensión de la matemática específica
y la familiaridad con los estudiantes y su pensamiento matemático” (Ibid.; p. 401).
Otro subdominio desarrollado por estos autores y que resulta de utilidad en esta
investigación es el conocimiento del contenido y la enseñanza (CCEns). Éste combina el
conocimiento sobre la enseñanza y el conocimiento acerca de las matemáticas. Muchas
de las tareas de la enseñanza de matemáticas requieren de un conocimiento matemático
para su diseño. La secuenciación del contenido, la elección de ejemplos para los distintos
momentos del aprendizaje, la evaluación de las ventajas y desventajas de ciertas
representaciones utilizadas para la enseñanza de un concepto. “Cada una de estas
tareas requiere de una interacción entre el conocimiento matemático específico y una
14
2. Marco teórico
comprensión de las cuestiones pedagógicas que afectan el aprendizaje del estudiante”
(Ibid.; p. 401).
También Rowland, Huckstep y Thwaites (2005) proponen un marco conceptual, conocido
por el Knowledge Quartet (KQ), en el que definen cuatro grandes categorías que
permiten pensar sobre las maneras en que conocimiento de la materia entra en juego en
el aula. Estas categorías son: Fundamento, es decir, el conocimiento y las creencias
adquiridos antes y durante la formación del maestro sobre la matemática, la manera de
enseñar, el papel del profesor, etc. Transformaciones: los modos y contextos en los que
se emplea el conocimiento para preparar-planificar y llevar a cabo la enseñanza, esto
incluye la elección de ejemplos y representaciones según se considere la capacidad de
aprender matemáticas de los alumnos. Conexiones, es decir, la coherencia en la
planificación y la enseñanza: secuenciación de temas y tareas, conocimiento de los
requisitos cognitivos de cada tema o tarea, etc. Contingencia, que consiste en la habilidad
para responder a las necesidades de los alumnos y saberse desviar de lo planificado si
es conveniente frente a los acontecimientos que surgen en el aula y que no se pueden
planificar.
Este grupo de investigadores, preocupados por la formación de los docentes, afirman que
el cuarteto ofrece un espacio de trabajo bueno para la reflexión sobre las matemáticas
para la enseñanza, pues normalmente los grupos de trabajo de profesores-estudiante de
magisterio se focalizan en la gestión del aula. Este marco ha sido aplicado marco a la
formación inicial de profesores haciendo uso de la observación de grabaciones de clases
y el análisis de la enseñanza de matemáticas Rowland y Turner (2007). El principal
interés de la actividad se centraba en la reflexión sobre el contenido matemático, el rol del
conocimiento matemático y del conocimiento didáctico del contenido con vistas a
identificar oportunidades para mejorar el conocimiento.
En Portugal, Ponte (2012) se interesa por el conocimiento profesional del profesorado de
matemáticas poniendo como centro la práctica educativa. Según este autor, es en la
reflexión sobre la práctica, lo que él llama investigación sobre la propia práctica, en donde
la especificidad de la disciplina se pone principalmente de manifiesto. A este
conocimiento profesional le denominan Conocimiento didáctico y dentro de este
conocimiento distingue cuatro dimensiones:
•
Conocimiento de las matemáticas (como disciplina que debe ser enseñada):
Formas de representación de los conceptos y procedimientos fundamentales de la
disciplina; conexiones internas y externas en relación con la matemática; visión
unitaria o fragmentaria de la asignatura, etc.
15
•
Conocimiento del currículo: conocimiento de las finalidades y objetivos principales
de la enseñanza de las matemáticas; organización de contenidos; prioridades y
distribución del tiempo; evaluación, etc.
•
Conocimiento del alumnado y de sus procesos de aprendizaje: conocimiento de
las reacciones y formas habituales de comportarse los alumnos; referencias
culturales; modos de aprender de aquellos a quienes se dirige.
•
Conocimiento de los procesos de trabajo en el aula: planificaciones a corto y largo
plazo; elaboración de tareas a realizar; organización del trabajo de los
estudiantes; desarrollo y regulación de los modos de comunicación y evaluación
de los aprendizajes del alumnado.
En el modelo propuesto por el autor, no se concibe una separación de las cuatro
dimensiones del conocimiento didáctico; aunque las procura diferenciar, todas ellas están
de algún modo presentes en la actividad del profesor a la hora de enseñar matemáticas.
Otra investigación que ilumina el presente trabajo es el estudio realizado por Hill y
colaboradores (2008) sobre la relación entre el conocimiento matemático para la
enseñanza de los profesores y la calidad de la instrucción matemática. En particular me
fijo en lo que entienden ellos por calidad matemática de la instrucción: “un compuesto de
varias dimensiones que caracterizan el rigor y la riqueza de las matemáticas de la
lección, incluyendo la presencia o ausencia de errores matemáticos, explicaciones y
justificaciones, representaciones y relaciones matemáticas observables” (p. 431).
Según Llinares, Valls y Roig (2008) “la mejora de la enseñanza de las matemáticas pasa
por subrayar la importancia de tres aspectos:
•
El potencial matemático de las tareas que los profesores proporcionan a sus
estudiantes
•
Las características de la interacción en el aula.
•
La manera en la que el profesor propicia el surgimiento de procesos relevantes de
comunicación matemática en el aula” (p. 60)
Estos autores proponen el análisis de situaciones de enseñanza como medio que permite
profundizar en diversos aspectos que ayudan a mejorar el conocimiento para la
enseñanza de las matemáticas: profundización en el potencial matemático de la situación
planteada; interpretación del pensamiento de los alumnos que lleve a “vincular las
estrategias y razonamientos usados por los alumnos con la información teórica” (p. 65);
identificación de aspectos en el aula que influyen en el desarrollo de la competencia
matemática de los alumnos y dotación de sentido desde una perspectiva teórica.
16
3. Metodología
Con el conocimiento de las rutas delineadas por la investigación didáctica, se muestra
ahora el equipamiento empleado en el camino seguido den esta investigación. Este
apartado, que quizás parezca largo, sitúa al lector en la corriente metodológica empleada,
pero sobre todo muestra concretamente el contexto de la investigación de manera que
quede más justificado el empleo de los instrumentos de recogida de datos y el objetivo
que persiguen.
3.1. Aproximación metodológica
Este estudio se inserta en la metodología de tradición cualitativa interpretativa que está
en concordancia con el propósito y diseño formativo emprendido y que nos permite
analizar el desarrollo profesional de los maestros a lo largo de los diferentes momentos
de la formación. Se escoge esta metodología por su orientación a la descripción e
interpretación de los fenómenos sociales y por su interés por el estudio de los
significados desde la perspectiva de los propios agentes sociales (Latorre, Rincón y
Arnal, 2005).
Dentro de esta línea metodológica, la teoría fundamentada (Glaser y Strauss, 1967) juega
un papel importante en esta investigación. Esta teoría está relacionada con la interacción
permanente que el investigador logra en el proceso de recolección de datos; de los
cuales pueden ir surgiendo nuevas hipótesis para ser verificadas.
3.2. Contexto de la formación permanente
Esta investigación forma parte de un proyecto de formación del profesorado del centro
MDL. La formación se inició con unas conferencias durante el curso 2010-2011 con el
objetivo de reflexionar sobre el currículum competencial en matemáticas. Los maestros
del ciclo inicial de Primaria pidieron una formación más extensa que permitiera llevar al
aula las exigencias del currículum en torno al tema del desarrollo del pensamiento
numérico. El modelo de formativo diseñado por la formadora e investigadora de la
Universidad Autónoma de Barcelona (en adelante UAB), y aceptado por los maestros y
directivos del Colegio, consiste en: (1) una formación global conjunta; (2) la observación
17
por parte de los maestros de clases impartidas por un experto dentro del aula de cada
tutor, a lo que se ha denominado “clases modelo”; y, (3) posteriormente, la reflexión
conjunta con los profesores del ciclo sobre la práctica observada. El tema desarrollado en
estas clases modelo se basa en la implementación de un proyecto de innovación en el
aula de matemáticas basado en el desarrollo del sentido numérico y estrategias de
cálculo mental.
A lo largo de todo el curso 2010-11, la formación consistió en que la formadora introdujo
en el ciclo inicial de la etapa de Primaria el material innovador por medio de unas
sesiones de clases modelo al inicio de cada trimestre. Los maestros permanecían en el
aula como observadores participantes y durante las siguientes semanas continuaban
ellos implementando el proyecto de innovación.
A petición de los maestros y con la aprobación de la dirección, este proyecto inicial de
formación permanente se amplía a todo el grupo de maestros de Primaria durante los dos
períodos siguientes (2011/12 y 2012/13). En este segundo periodo, curso 2011/12, es
donde se inserta el presente estudio. El proceso de la intervención llevada a cabo durante
el año académico responde al siguiente esquema (Ver Figura 3.1).
Momento 0
Momento 1
Momento 3
Formación conjunta:
Desarrollo pensamiento numérico
Resolución de problemas
Clase Modelo-1 (1h/grupo)
Reflexión/ciclo (sobre CMod-1)
Clase Modelo-3 (1h/grupo)
Reflexión/ciclo (Episodios-2 + CMod-3)
Septiembre 2011
Marzo 2012
Septiembre 2011
EPISODIOS-1
Selección episodios de
Clase Modelo-1
Teoría Fundamentada
EPISODIOS-2
Selección episodios de
Clase Tutor / ciclo
Momento 2b
Momento 4
Clase Modelo-2 (1h/grupo)
Reflexión/ciclo (Episodios-1 + CMod-2)
Grab. Tutor (1 Tutor/Ciclo) del
Proyecto de Innovación de
Cálculo Mental
Puesta en común:
Formadora, Dirección,
Ciclos inicial y medio
Enero 2012
Febrero 2012
Abril 2012
Momento 2
Figura 3.1.: Proceso de la intervención a lo largo del curso 2011/12
3.2.1.
Breve caracterización teórica de la formación emprendida
Este tipo de formación basado en clases modelo recoge algunas de las ideas básicas del
estilo de estudio de clases japonés como son la selección previa del objetivo a procurar,
la observación de unos maestros de una clase en el aula real y la posterior reflexión del
grupo para compartir sus observaciones e impresiones. Sin embargo, no se contempla
algunos de los elementos como la planificación previa, el papel desigual (experto) que
18
3. Metodología
tiene en nuestro caso el que imparte la clase modelo frente a los que la observan o la
secuenciación del proceso de estudio de clase japonés (Isoda, Arcavi, Mena Lorca, 2007;
Fernandez, 2002).
El modelo de formación ofrece a los profesores en ejercicio oportunidades diseñadas que
integren diferentes elementos de su conocimiento profesional, como son el conocimiento
didáctico del contenido matemático (CDCM) y el conocimiento didáctico del contenido
para el aula de matemáticas (CDCA) (Llinares, 2007). Estas oportunidades son:
•
Implementación del proyecto de innovación sobre desarrollo de sentido numérico.
•
Observación de “clases modelos” realizadas por un experto (3 durante el curso)
(Ver Figura 3.2)
•
Reflexión conjunta sobre las prácticas observadas del experto
•
Reflexión individual mediante la redacción de un diario del profesor
•
Acompañamiento del formador/experto en las innovación
•
Grabación de prácticas de los maestros y selección consensuadas de episodios
de aula.
•
Reflexión conjunta sobre las prácticas observadas de compañeros (ver Figura 3.3)
Figura 3.2. Fotograma, clase modelo
Figura 3.3. Fotograma, reflexión sobre
(Tutora y maestro de apoyo
prácticas observadas con los maestros
observando a la formadora en el aula)
del ciclo medio
Por tanto, esta formación permanente procura desarrollar competencias profesionales del
profesor que le permitan comprender la enseñanza de las matemáticas, tales como:
1. Evaluar y analizar prácticas concretas de aulas (competencia profesional de mirar
con sentido).
19
2. Construir nuevos conocimientos como resultado de la reflexión, individual y
colectiva, en y sobre la práctica matemática en el aula (relación teoría-práctica) a
través de la participación en una comunidad de prácticas.
3.2.2.
Caracterización del Proyecto de innovación en desarrollo
numérico y estrategias de cálculo mental
El proyecto de innovación en desarrollo numérico y estrategias de cálculo mental conlleva
dedicar sistemáticamente una hora semanal (un día concreto de la semana),
independientemente de la clase de matemáticas, al trabajo de cálculo mental. El sentido
numérico se trabaja desde la comprensión del sistema decimal posicional, el uso
consciente y fundamentado de las propiedades de los números y de las operaciones y,
finalmente, desde la identificación en problemas contextualizados del lenguaje
matemático y la aplicación de los conocimientos numéricos.
La dinámica de la sesión se centra en la propuesta de ejercicios y problemas
contextualizados de cálculo mental, adoptando diferentes momentos de trabajo en el
aula, por un lado, el trabajo individual del alumno mediante la resolución de actividades
concretas de agilidad mental y resolución mental de problemas contextualizados; por
otro, el trabajo en gran grupo mediante la verbalización y justificación por parte de los
alumnos de las estrategias empleadas y la gestión por parte del profesor de la
participación para la profundización y consenso de las estrategias que emergen durante
los diferentes procesos de resolución (ver tabla 3.1).
IV
Fases
Trimestre
I
II
III
Esta fase se propone a partir del
V
Ciclo Medio y no es recomendable
para el Ciclo Inicial
1.
er
problemas
2.º
3.
Series de
er
Series de
problemas
Series de
problemas
Resolución de
Estrategias generales con
la hoja de
operaciones aritméticas
cálculo rápido
sencillas (<100)
Resolución de
Estrategias generales con
Estrategias generales con
la hoja de
operaciones aritméticas
operaciones aritméticas
cálculo rápido
sencillas (<100)
sencillas (>100)
________
________
________
Resolución de
la hoja de
________
________
Implementación del taller
cálculo rápido
de juegos de mesa
(estrategias y azar)
Tabla 3.1. Planificación del Proyecto de innovación
Desde esta interacción se procura dotar de sentido a los procedimientos aritméticos como
medio de expresión significativa y no automática de sus acciones sobre los números y
20
3. Metodología
sobre las estructuras aritméticas. Igualmente, se promueve la participación y
comunicación de ideas como elemento clave en la construcción de conocimiento
matemático. En este sentido, se tienen en cuenta las dificultades de los alumnos y se
posibilitan diferentes ritmos de aprendizajes; se busca la gestión y el tratamiento del error
como oportunidades de aprendizaje. Asimismo, el proyecto promueve la reflexión y
conciencia de los aprendizajes por parte de los estudiantes interiorizando y relacionando
aprendizajes anteriores y experiencias no escolares durante el proceso de argumentación
sobre las estrategias y heurísticas aplicadas en la resolución de los problemas y
situaciones planteadas. “Se debe también estimular a los niños para que compartan sus
estrategias de cálculo en los debates en clase. De esta manera pueden desarrollar y
perfeccionar estrategias a medida que escuchan las descripciones de compañeros
acerca de su modo de pensar sobre las combinaciones de números” (NTCM, 2000; pp.
88-89).
3.2.3.
Caracterización teórica de la Noción del sentido numérico
y cálculo mental trabajados en el proyecto
Tratamos ahora de definir qué entendemos por sentido numérico y porqué abordar su
desarrollo desde el cálculo mental. Esta tarea no es fácil, pues esta expresión es
relativamente reciente e implica varias capacidades de los sujetos incluyendo cálculo
mental flexible, estimación numérica y razonamiento cuantitativo (Godino et al., 2009).
Internacionalmente se reconoce la importancia de este contenido, una muestra de ello la
encontramos en los Estándares Americanos para la Educación Matemática en donde se
especifica que “la comprensión del número y las operaciones, el desarrollo del sentido
numérico y conseguir fluidez de cálculo aritmético, constituyen el núcleo de la educación
matemática en los niveles elementales” (NTCM, 2000; p. 32).
A nivel local podemos encontrar en el decreto por el que se establecen las enseñanzas
mínimas de la Educación Primaria (MEC, 2006b) qué se entiende por desarrollo del
sentido numérico en el sistema educativo español: “el dominio reflexivo de las relaciones
numéricas que se puede expresar en capacidades como: habilidad para descomponer
números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración
decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para
realizar mentalmente cálculos […]. Interesa principalmente la habilidad para el cálculo
con diferentes procedimientos y la decisión en cada caso sobre el que sea más
adecuado. A lo largo de la etapa, se pretende que calculen con fluidez y hagan
estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre comprensión conceptual y
competencia en el cálculo” (p. 43096).
21
Profundizando algo más en dicho conocimiento encontramos la definición dada por
Godino et al. (2009) “El sentido numérico se refiere, por tanto, a la comprensión general
que tiene una persona sobre los números y operaciones junto con la capacidad para usar
esta comprensión de manera flexible para emitir juicios matemáticos y desarrollar
estrategias útiles para resolver problemas complejos” (p. 118).
Para el análisis del conocimiento matemático que ponen de manifiesto los maestros
durante la formación sobre desarrollo del sentido numérico en los alumnos nos es de
utilidad la categorización propuesta por Brocardo et al. (2008) en la que se considera que
una buena comprensión del sentido numérico incluye los siguientes aspectos:
•
El concepto de número, que engloba la comprensión de las regularidades de los
mismos, las múltiples representaciones que tienen, el sentido de su magnitud
absoluta y relativa, y el uso de sistemas de referencia para evaluar una respuesta
o el redondeo de un número para facilitar el cálculo.
•
Las operaciones con números, que abarca la comprensión del resultado de las
operaciones, las propiedades y relaciones entre las mismas.
•
La aplicación de conocimientos y habilidades con los números y las operaciones
en situaciones de cálculo, que incluye la comprensión para relacionar el contexto
y los cálculos, la conciencia de la existencia de múltiples estrategias, la
preparación para el uso eficaz de las representaciones, la flexibilidad para el uso
de la estrategia más adecuada al tipo de cálculo que se presenta y la sensibilidad
para revisar los datos y el resultado.
Centrados en este campo de estudio, Gómez (2005) afirma que el desarrollo de
estrategias de cálculo mental ayuda a dotar de sentido al concepto de número y a las
operaciones con los mismos, a la vez que lo considera un dominio privilegiado para el
trabajo colectivo en clase: “discutir acerca de las ventajas e inconvenientes de un método
u otro, poner de relieve el significado o el trasfondo de los pasos que se siguen,
traducirlos al lenguaje horizontal de igualdades y paréntesis para unificar la descripción,
la explicación, y el ejemplo, facilitar el uso de los hechos del sistema de numeración, y
aplicar las propiedades y alteraciones invariantes de las cuatro operaciones, son tareas
que ofrecen la posibilidad de un acercamiento del conocimiento y a la actividad
matemática, con una fuerte presencia de aspectos motivadores y tal vez recreativos”
(p. 24).
Ahora bien, tal y como se ha comentado en los apartados anteriores, para desarrollar el
sentido numérico en los alumnos, los maestros han de tenerlo previamente afianzado.
Gómez (1995b) propone la reflexión sobre el uso de estrategias de cálculo no tradicional
22
3. Metodología
(método de columnas) para promover el énfasis en las propiedades, el lenguaje y las
relaciones numéricas. Él afirma que esta reflexión consigue una mejora en el
conocimiento de los procedimientos aritméticos como medio de expresión significativa y
no automática de sus acciones sobre los números.
Tal y como afirma Gómez (1995a), las palabras estrategia, método y procedimiento en el
cálculo se usan unas veces como sinónimos y otras no. Dicho autor las distingue
proporcionando una definición para cada vocablo, pero dado que el interés de esta
investigación no se centra en la identificación ni en la clasificación de estrategias,
métodos o procedimientos de cálculo, se utilizaran estas palabras de manera indistinta.
La elección de un u otro término vendrá condicionada, en la mayoría de los casos, por el
uso que los maestros hacen de los mismos.
3.3. Participantes
El grupo de maestros que participan en el proyecto es un grupo homogéneo (ver tabla
3.2). Todos son maestros de Primaria del mismo centro escolar y la gran mayoría son
maestras tutoras. La mayor divergencia la encontramos en los años de experiencia de los
maestros y en la vinculación con el proyecto de innovación; la siguiente tabla resume el
perfil de los participantes. A lo largo de todo el trabajo se han omitido los nombres de las
personas, sustituyéndolos por unos códigos que indican el ciclo de Primaria en el que dan
clase (PI-#: maestros del ciclo inicial y PM-#: maestros del ciclo medio).
Durante las intervenciones de la formadora, tres veces al año (una sesión al inicio de
cada trimestre), los maestros del claustro, tutores y no tutores, participan como
observadores en el desarrollo de la clase modelo en el grupo que le corresponda. La
Dirección favorece la participación de todo el profesorado del ciclo adaptando los horarios
y los maestros están dispuestos a participar coincida o no con su hora libre.
Posteriormente, todos los maestros del ciclo participan en la reflexión en grupo sobre las
clases observadas durante su tiempo de almuerzo. Los maestros no tutores participan, en
sus horas libres o en horas adaptadas por la Dirección, como observadores en los grupos
donde actúa la formadora y en los que ellos tienen asignada docencia. Igualmente,
participan en la reflexión del ciclo sobre la práctica de aula observada. La amplia
disposición que muestran todos les convierte en un grupo de interés investigativo.
23
Nivel educativo
Primaria: Ciclo inicial (6-8 años)
6
Primaria: Ciclo medio (8-10 años)
6
PI-3, PI-5
< 3 años
Años de pertenencia al
claustro del centro
PM-6
PI-4
3 < x < 10 años
PM-3, PM-4
PI-1, PI-2, PI-6
> 10 años
Años de experiencia
PM-1, PM-2, PM-5
PI-3, PI-5
< 5 años
PM-3, PM-6
como maestros
PI-1, PI-2, PI-4, PI-6
> 5 años
PM-1, PM-2, PM-4, PM-5
Hombre
PI-5, PM-4
Sexo
PI-1, PI-2, PI-3, PI-4, PI-6, PM-1, PM-2,
Mujer
PM-3, PM-5
PI-1, PI-2, PI-4, PI-6
Tutor de aula
PM-1, PM-2, PM-3, PM-5
Cargo
Maestro de apoyo y/o de asignaturas
PI-3, PI-5,
específicas (música e inglés)
Vinculación con el
Imparte la hora de cálculo mental
proyecto de cálculo
mental
Años implementando
el proyecto de cálculo
PM-4, PM-6
PI-1, PI-2, PI-4, PI-6
PM-2, PM-5 (4º A y B), PM-6
PI-3, PI-5
No imparte la hora de cálculo mental
PM-1, PM-3, PM-4
PI-2, PI-4, PI-6,
2.º año
PM-2 (el curso 2010/11 daba clase en 2.º)
er
1. año
PI-1, PM-5, PM-6
Tabla 3.2. Perfil de los maestros participantes
La formadora del grupo es investigadora en Didáctica de la Matemática, Doctora y Máster
en Didáctica de la Matemática por la UAB con amplia experiencia docente: más de veinte
años de experiencia como maestra de escuela primaria, profesora de matemáticas de
secundaria y a nivel universitario. Es licenciada en Educación Matemática por la
Universidad del Atlántico (Barranquilla, Colombia), licenciada en Psicopedagogía por la
Universitat Oberta de Catalunya y Diplomada en Magisterio de Primaria por la UAB. Sus
últimos seis años de experiencia como maestra de Primaria los realizó en una escuela
concertada en Cataluña. Lleva cinco años como formadora de maestros de primaria e
infantil en la Facultad de Educación de la UAB. Asimismo, tiene una experiencia de más
ocho años como profesora de matemáticas de Secundaria y Bachillerato y como
24
3. Metodología
profesora de cálculo diferencial en facultades de Ingeniería y matemáticas de diferentes
Universidades en Barranquilla (Colombia). Dada su formación como investigadora en
didáctica de la matemática, como formadora de maestros de primaria y por su vasta
experiencia como maestra y profesora de matemáticas en los diferentes niveles de
escolaridad, en este modelo de formación se considera como experta en didáctica de la
matemática y asume el rol de formadora e investigadora del equipo TRACES de España.
Con la colaboración de otros investigadores y formadores de maestros del Departamento
de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales de la UAB, diseñó el
proyecto de cálculo mental que llevó a la práctica en el centro escolar de Badalona
(Barcelona - España) donde laboró durante 6 años consecutivos. Como resultado de la
reflexión sobre la implementación de dicho proyecto elaboró material didáctico para la
enseñanza del cálculo mental en primaria (cuadernos de cálculo de 1º a 6º) que son la
base de la innovación que implementan los profesores del claustro del Colegio MDL
donde se realiza la formación.
El papel de la formadora en el proceso de formación que estamos investigando es triple:
1. como experta en didáctica de la matemática, imparte la formación conjunta al claustro
2. imparte prácticas de matemáticas centradas en el desarrollo del pensamiento
numérico y estrategias de cálculo mental que hemos denominado clases modelo
3. gestiona la discusión posterior a las clases modelo con los maestros del ciclo. La
formadora, en dichas sesiones, escucha las necesidades que le van planteando los
maestros y reflexiona con ellos acerca de sus intereses y, según convenga, propone
el tema a discutir y aclara dudas que puedan emerger.
3.4. Instrumentos y estrategias utilizadas en la recogida de
datos
Los instrumentos para la recogida de datos están insertados en la dinámica de la
formación y se elaboraron de acuerdo con los objetivos de la misma. Con el fin de dar
respuesta a la pregunta de investigación planteada y de aumentar la fiabilidad de los
datos, se utilizaron diferentes instrumentos que permiten contrastar las fuentes de
información y comprobar su convergencia. Inmersos en la tradición cualitativa, los
instrumentos de recogida de datos siguen una estructura flexible, no determinados desde
el inicio del estudio, sino que se les ha ido dando forma y adaptando según emergían las
necesidades (Latorre et al., 2005). Se ha hecho uso de todo lo que pudiera ser útil para
25
captar la situación y aquello que influía positiva o negativamente en el grupo. Por esta
razón, entre los instrumentos, se encuentran grabaciones en vídeo y/o audio,
cuestionarios de preguntas abiertas, guiones de reflexión, notas de un observador
externo, entrevistas semiestructuradas, documentos elaborados por el centro y
relacionados con la formación, etc.
3.4.1.
Cómo se elaboran los instrumentos y se recogen los datos
En este apartado se expondrá brevemente el proceso de elaboración de los instrumentos,
las fuentes teóricas que los sostienen y el proceso de recogerlos. Todos ellos fueron
aprobados por la formadora, validados por el grupo de investigación de TRACES y,
algunos, por los profesores del master a quienes se les mostró y preguntó sobre su
idoneidad (ver Tabla 3.3).
Momento
Código del
Instrumento de recogida de datos
documento
Cuestionario inicial sobre la comunidad y la propia práctica
M0
(sep.-11)
Cuestionario inicial de conocimiento didáctico del contenido sobre
pensamiento numérico
Grabación vídeo sesión de las sesiones de formación conjunta
Pauta del observador externo
M1
(sep.-11)
M2
(ene.-12)
M2b
(feb.-12)
M3
(mar.-12)
M4
(abr.-12)
Guión de reflexión sobre la clase modelo observada
Grabación vídeo de las sesiones de reflexión conjuntas
Diario del profesor
C-Com-M0
C-CDC-M0
V-Form-M0
G-Obs-M0
G-Ref-M1
V-CI-M1
V-CM-M1
Diario-M1
Guión de reflexión sobre los episodios seleccionados de la clase
G-Ref-M2
modelo
V-CI-M2
Grabación vídeo de las sesiones de reflexión conjuntas
V-CM-M2
Diario del profesor
Diario-M2
Grabación vídeo Clase matemáticas/maestra del ciclo medio
V-matCM-M2b
Grabación vídeo Clase Cálculo mental/maestra (1 por ciclo)
V-calCI-M2b
Entrevista a las maestras
V-calCM-M2b
Carta a las familias sobre la multiplicación
E-CI-M2b
Presentación de ppt elaborada por el centro.
E-CM-M2b
Guión de reflexión sobre los episodios seleccionados de las
G-Ref-M3
clases de las maestras
V-CI-M3
Grabación vídeo de las sesiones de reflexión conjuntas
V-CM-M3
Diario del profesor
Diario-M3
Cuestionario final comunidad, práctica y conocimiento didáctico
C-Final-M4
Tabla 3.3. Instrumentos de recogida de datos
26
3. Metodología
Los instrumentos correspondientes al inicio de la formación, septiembre de 2011, fueron
diseñados por el grupo de investigadores del proyecto TRACES antes del comienzo del
presente estudio (ver Anexos 1 a 5). Aquí se utilizan con fuente de datos de diagnóstico,
que muestran el estado inicial de los maestros participantes antes de la intervención
formativa o al inicio de la misma.
El resto de los instrumentos (ver Anexos 6, 7, 8 y 10) fueron elaborados tras una primera
lectura de los datos recogidos hasta el momento y de acuerdo a las necesidades
formativas que emergían del grupo.
A continuación se desglosan algunos datos de interés relacionados con la elaboración de
estos instrumentos de recogida de datos y su aplicación al grupo de maestros
participantes. Aunque se comenta brevemente el cuestionario inicial de conocimiento
didáctico por su relevancia en el estudio emprendido, me detendré en aquellos
instrumentos en los que he intervenido en su diseño.
Momento M0: Como ya se ha dicho, los instrumentos de este Momento 0 fueron elaborados
por el grupo de investigadoras TRACES. Las preguntas y situaciones del cuestionario de
conocimiento didáctico del contenido se tomaron de los Principios y Estándares de
Educación Matemática (NCTM, 2000) y del libro de The Mathematical Association (1992)
sobre métodos mentales en matemáticas.
Antes de comenzar las sesiones de formación, los días 7 y 8 de septiembre, se pasaron
dos cuestionarios iniciales, a modo de prueba diagnóstica, uno de conocimiento didáctico
del contenido sobre pensamiento numérico (C-CDC-M0; ver Anexo 1); y otro sobre la
comunidad y la propia práctica (C-Com-M0; ver Anexo 2), tema de especial interés en el
proyecto TRACES, pero que en este estudio se considera como fuente complementaria
de datos. Durante la formación conjunta al claustro, previa a la incorporación de los
alumnos a la escuela, un observador externo, investigador en didáctica de las
matemáticas, tomó notas de los comentarios e impresiones de los maestros que nos
sirven de contraste o confirmación de los datos recogidos en el cuestionario.
Momento M1: Estos instrumentos también se elaboraron antes del comienzo del master.
Plantean cuestiones abiertas que ayudan a la reflexión conjunta e individual sobre la
clase modelo observada en la sesión de septiembre.
Durante la primera semana de clase, los días 14 y 15 de septiembre se procedió a la
primera sesión de clases modelo y reflexión conjunta sobre la práctica observada. La
formadora impartió a lo largo de dos mañanas la clase de cálculo en los cuatro grupos de
cada ciclo. Tras las horas de clase, se reunió con los maestros del ciclo, que la habían
observado dando clase a sus alumnos, para la reflexión conjunta. La formadora comienza
27
la reunión preguntándoles sus impresiones sobre lo visto y pasan a contestar en alto las
preguntas del guión de reflexión (G-Ref-M1; ver Anexo 4). Antes de concluir la sesión
rellenan el guión de reflexión que entregan a la formadora. Tanto algunas de las clases
modelo como las dos reuniones por ciclo fueron grabadas en vídeo para su posterior
observación.
Los días que siguieron a la intervención de la formadora, los maestros fueron rellenando
el diario del profesor colgado en Internet.
Momento M2: Estos instrumentos se diseñaron tras una primera lectura de los datos en los
que se detectan temas de reflexión que han sido poco tratados y que se consideran
importantes para el desarrollo profesional del grupo. La lectura del primer guión de
reflexión, del diario del profesor y la visualización de la reunión conjunta relativa al
Momento 1 mostró un panorama de reflexión centrado en la gestión del aula por parte del
ciclo inicial. El ciclo medio se detenía brevemente en aspectos tanto de contenido
matemático como de gestión. Al considerar que se estaba perdiendo la reflexión sobre
aspectos claves del desarrollo del pensamiento numérico se decidió seleccionar dos
episodios de la clase impartida por la formadora en un aula de 3.º de Primaria durante la
primera sesión. Siguiendo la idea propuesta por Callejo, Valls y Llinares (2007) se decide
utilizar estos episodios de clases como espacios donde reflexionar sobre diferentes
aspectos de la gestión del aula y del contenido, del proceso de enseñanza y aprendizaje,
del papel del docente y dificultades y potencialidades de los alumnos. Además se piensa
en presentar los mismos episodios a la reflexión con los dos ciclos sosteniendo la idea de
que la reflexión sobre aspectos matemáticos anteriores o posteriores en el currículum
proporciona una visión global de la educación matemática de los estudiantes y ofrece
conexiones que permiten “la construcción del significado de los contenidos matemáticos
escolares en términos de continuidad” (Martínez et al., 2011; pp. 430-431).
En el primer episodio se gestiona la respuesta de una alumna a la pregunta de cuál es el
triple de 11. En él se profundiza y construye con los alumnos el concepto de la
multiplicación, como suma repetida, a partir de la descomposición del número (basada en
el valor posicional del sistema de numeración decimal: decenas y unidades) y aplicando
la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Así, llegan a simplificar
el cálculo del producto a operaciones mentales inmediatas y de manera comprensiva
para los estudiantes (ver Tabla 3.4):
28
3. Metodología
Representación escrita en la pizarra
Transcripción parcial del episodio-1, primera parte
Formadora: Tu com ho fas, el triple d’onze?
Alumna: Què he pensat?
F: Sí
A: 10 tres vegades i hi poso 3
[…]
F: Ella ha fet molt bé, descomposar les desenes i les
unitats.
F: Ella ha dit: tres desenes és deu més deu més deu
[escribe (10+10+10)], perquè té tres desenes. I
desprès ha fet tres unitats [escribe (1+1+1)], [...] uno
més uno més uno.
[...]
F: El onze [pinta 11], ha fet: tres vegades, [línea
trazada con el dedo que une el 1 de las decenas con
10+10+10] tres desenes i tres vegades, [línea que une
1 de las unidades con 1+1+1] tres unitats
Tabla 3.4. Transcripción parcial del episodio-1, primera parte
El segundo episodio se centra en el sistema decimal posicional, considerando sus
propiedades (valor posicional y base 10) como estrategias facilitadoras para la suma de
decenas exactas. A la vez, se trabaja repetidamente la propiedad conmutativa de la suma
como una herramienta para el cálculo mental rápido (ver Tabla 3.5).
Representación escrita en la pizarra
Transcripción parcial del episodio-1, segunda parte
F: 60 + 40 = 100 [lo escribe en la pizarra]. ¿Perquè ho
fem tan ràpid?, ¿en què em fixo? [...]
A1: En que 6 més 4 són 10
F: ¿Què 6?, ¿6 què?
A1: 60
F: 6 ...
A2: 6 desenes
F: 6 desenes [recuadra el 6] més 4 desenes [recuadra el
4], això ho sap tothom, perquè és de primer [grau], fan
10 [recuadra el 10] ¿què?
As: Desenes.
F: Desenes. Cent. Cent és 10 desenes. A que sí?
As: Sí! [Se mueven en el sitio emocionados]
Tabla 3.5. Transcripción parcial del episodio-1, segunda parte
En torno a estos episodios seleccionados se proponen varias preguntas abiertas para el
Momento 2 en las que se cuestiona sobre las grabaciones relacionándolas con el
desarrollo del pensamiento numérico en los alumnos (ver Anexo 6).
29
Otro tema que se discutió con el grupo investigador era el de mantener la misma
pregunta para el propiciar la reflexión individual reflejada en el diario del profesor o
cambiarla. Pensando que la pregunta abierta y general planteada en el Momento 1
permitiría ver mejor aquello que ha marcado más a los maestros participantes sin
condicionarles con nuevas cuestiones que les hagan fijarse en aspectos concretos de la
formación, se decide mantener siempre la misma pregunta (ver Anexo 5).
Con estas estrategias de análisis didáctico se procedió a la recogida de datos del
Momento 2, los días 11 y 12 de enero. Durante la reflexión conjunta, tras la observación
de las clases modelos dadas en el aula de cada tutor, se les entregó un guión de
reflexión. Primero se visualizó un episodio y sin darles ninguna consigna, más que las
escritas en el guión, los maestros respondieron por escrito y en silencio a las preguntas
abiertas correspondientes al primer episodio. Después se discutieron en conjunto con la
formadora. Seguidamente se visualizó el segundo episodio y, al igual que antes, sin
consigna alguna, los maestros contestaron las preguntas correspondientes. Al igual que
en la primera sesión, durante los días que siguieron a la formación, los maestros fueron
escribiendo el diario del profesor. Algunos que no habían escrito el correspondiente a la
primera sesión, lo hicieron en este momento.
Momento M2b y M3: Visto el éxito en las reflexiones mediadas por los episodios del
Momento 2, se decide dar un paso más en la formación con vistas al desarrollo
profesional del grupo de maestros participantes. Se les plantea aquello que Ponte (2012)
llama reflexión e investigación sobre la propia práctica solicitando que algunas maestras
se dejen grabar para seleccionar episodios que sean presentados a la reflexión conjunta.
Dos maestras se prestan voluntariamente a que la cámara entre en sus clases de cálculo,
una del ciclo inicial y otra del ciclo medio. Tras grabarlas, se seleccionan dos episodios
que, al igual que en el Momento 2, versan sobre elementos del conocimiento didáctico
que han sido poco tratados en las reflexiones conjuntas anteriores (ver Anexo 8). Antes
de presentar al grupo de participantes los episodios seleccionados se decide entrevistar a
las dos maestras que han sido grabadas. Ambas tienen más de diez años de experiencia
en el centro y se muestran receptivas a la formación emprendida. La entrevista
semiestructurada (ver Anexo 7) se diseña en cinco bloques de preguntas que giran en
torno a los indicadores de desarrollo profesional caracterizado para el proyecto TRACES
que son la reflexión sobre y para la práctica, el conocimiento didáctico del contenido, el
posicionamiento en un continuo, el reconocimiento del aporte externo y la participación en
la comunidad de los cuales sólo el segundo se considera en este trabajo. Este
instrumento fue revisado tanto por el grupo investigador del proyecto como por profesores
y compañeros del master que ayudaron a clarificar la redacción y centrar el interés de las
30
3. Metodología
preguntas. Ambas entrevistas fueron realizadas por separado en una hora libre de cada
maestra, durante una jornada de trabajo en la escuela, y grabadas en audio.
Los episodios seleccionados contenían aspectos de contenido especializado trabajados
durante los diferentes momentos de la formación que mostraban aspectos de gestión
positivos y algún error. El primero, perteneciente a la clase de 2.º grado, muestra la
corrección de la fase de problemas del proyecto de cálculo mental. Se selecciona para
reflexionar sobre la gestión de los problemas, las diversas resoluciones de los
estudiantes y el potencial matemático que encierran tanto las resoluciones correctas
como las erróneas y que el maestro ha de aprovechar como oportunidad de aprendizaje.
El segundo episodio, de la clase de 3.º, muestra la explicación de una estrategia de
cálculo mental por parte de la maestra. Los conceptos matemáticos que trabaja son el
sentido de la multiplicación, la propiedad distributiva. A parte, se observa la gestión del
contenido, sabiendo improvisar una explicación más detallada para aquellos alumnos que
no la entienden a la primera, y la importancia de las representaciones. Se observa
también un error de lenguaje específico. (ver Tabla 3.6).
Representación escrita en la pizarra
Transcripción de E-CM-M2b_42:33-43:02
PM-2: Me di cuenta, cuando lo estaba haciendo que no
me entendían qué era multiplicar por..., por 11. Sé que
saben lo que es la multiplicación, que es una suma del
mismo número, pero cuando ya el número era muy
grande, me di cuenta de que no lo pillaban. Entonces
por eso se me ha ocurrido lo de poner 12+12+12+
12+12..., entonces la mayoría enseguida lo pilló; de
hecho ahora ya casi todos saben hacer esta estrategia.
Ese día costó. Y, como se repitió otra vez, la mayoría…
A lo mejor hay cinco que no, pero de 25…
Tabla 3.6. Transcripción parcial de la entrevista E-CM-M2b, relativa al episodio-2
La recogida de datos relativa al Momento 3, días 21 y 22 de marzo, sigue la misma
estructura que la del Momento 2.
Momento M4: Finalmente, el cuestionario final (ver Anexo 9), de preguntas abiertas, se
elaboró con el propósito de poder contrastarlo con el cuestionario inicial. Se realizó una
síntesis de los dos cuestionarios iniciales; algunas preguntas se presentan igual en el
Momento M0 y en el M4, por ejemplo la pregunta sobre la gestión del error. Otras se
plantean de manera similar, por ejemplo: la descripción de estrategias de cálculo se
31
decidió dejarla como pregunta abierta en la que se les pedía que propusiesen sus propias
estrategias de cálculo para resolver unas multiplicaciones (las mismas operaciones que
se habían planteado en el cuestionario inicial). Se pensó que dejarles a ellos que
eligieran las estrategias de cálculo permitiría mejor ver la incidencia de la formación que
solicitar la descripción de unos métodos dados. Otras preguntas del cuestionario inicial
que no fueron tratadas en la formación no se incluyeron por cuestiones de brevedad. Por
último, con el fin de responder al segundo objetivo de investigación planteado, hay
preguntas nuevas que recogen la incidencia de la formación en la práctica del maestro.
Cabe añadir que este cuestionario se pensó también con el fin de dar respuesta al
estudio planteado para el proyecto TRACES, por lo que incluye preguntas que no son
relevantes para la presente investigación. Tras el análisis de los datos recogidos en este
cuestionario se vio la oportunidad de plantear una de las preguntas del cuestionario inicial
que había sido omitida en el final, la pregunta 8 del C-CDC-M0.
El día 24 de abril, se quedó con todos los maestros participantes y con el director de la
escuela después del horario de clases. El orden del día fue, agradecimiento por parte del
equipo investigador al colegio y a los maestros participantes, entrega del cuestionario
final con la consigna de que no hay respuestas correctas e incorrectas, que todo lo que
pongan será útil para la investigación, animándoles a escribir. Los maestros no tutores
que no imparten clases de matemáticas ni de cálculo preguntaron si tenían que
responder a las preguntas relativas a la práctica en el aula de matemáticas, la respuesta
fue que no. Tras decidir la conveniencia de preguntar la misma pregunta 8 del
cuestionario inicial, se les pasó a los maestros durante las reuniones de ciclo con el
director en el mes de junio. Ellos decidieron contestar en un único folio por ciclo.
3.4.2.
Qué datos se pretende obtener
Son muchos los medios empleados para obtener información en este estudio, con lo que
en este apartado sólo se explican parte de algunos de los instrumentos utilizados para
conseguirla. En los anexos se presentan en su totalidad. La selección de lo que aquí se
expondrá responde a que, como se explicará en el apartado 4 sobre el Análisis de los
datos, no todos los instrumentos tienen el mismo peso para la investigación. Algunos se
consideran fuentes primarias de datos y otros se emplean para reforzar, complementar o
contrastar la información obtenida de los primarios.
C-CDC-M0: (ver texto completo en Anexo 1) Los datos que nos proporciona este instrumento
pretenden dar cuenta de la situación inicial del desarrollo profesional relacionado con la
enseñanza de la matemática
32
3. Metodología
Pregunta 2: Los ejemplos de soluciones de alumnos fueron tomados del libro Principios y
Estándares de Educación Matemática (NCTM, 2000) en el que se presentan diferentes
maneras de calcular de estudiantes y sus argumentaciones. Con esta pregunta se
pretende: - Identificar la valoración de la argumentación matemática en el aula.
-
Identificar a qué adjudican la causa del error en los alumnos
2. Valora de l’1 al 5 les resposta dels següents alumnes. I justifica com a mestre la teva
valoració més alta i la valoració més baixa.
Valoració més alta
Valoració més baixa
Per què?
Preguntas 3, 4, 5 y 6: Los ejemplos de estrategias o métodos de cálculo mental de la pregunta
3 fueron tomados del libro Mental Methods in Mathematics: A first resort. (The
Mathematical Association, 1992) en el que se ilustra cómo es necesaria una flexibilidad
de pensamiento para desarrollar y usar métodos de cálculo mental de manera eficaz. Con
este grupo de preguntas se pretendía poner de manifiesto varios elementos del
conocimiento matemático del profesor:
33
-
Identificar el dominio de la materia y desarrollo del pensamiento numérico por
parte del profesor: comprensión de los métodos, uso de los hechos del sistema
de numeración que los posibilitan y propiedades de las operaciones utilizadas
en cada uno de ellos (Preguntas 3 y 6).
-
Identificar el uso en el aula de diferentes métodos de cálculo a la vez que la
manera de exponer el contenido (Preguntas 4 y 5).
3. Observa els diferents mètodes de càlcul que han fet servir els alumnes per realitzar els
següents productes. Podries descriure en què es basen els alumnes o quins coneixement
de numeració fan servir implícitament?
Mètode 1: 7 x 14
Mètode 2: 7 x 15
7 x 30 = 210
7 x 7 = 49
½ de 210 = 105
2 x 49 = 98
Mètode 3: 7 x 17
Mètode 4: 7 x 19
7 x 10 = 70
7 x 20 = 140
140 - 7 = 133
7 x 7 = 49
70 + 49 = 119
4. Consideres que alguns dels mètodes anteriors són fàcils per explicar oralment, però difícil
de escriure’ls? Quins i per què?
5. Consideres que alguns dels mètodes anteriors són fàcils d’escriure a la pissarra, però
difícils d’explicar oralment? Quins i per què?
6. Creus que els nombres particulars seleccionats pels càlculs de la taula anterior poden
influenciar l’ús de determinats mètodes de càlcul? Per què?
Pregunta 7: Esta pregunta toma su ejemplo del libro Principios y Estándares de Educación
Matemática (NCTM, 2000) en el que se presenta el error en los cálculos como la
manifestación de un error conceptual en los alumnos. Con esta pregunta se pretende:
-
Identificar la comprensión del pensamiento de los alumnos por parte de los
maestros
-
Identificar la manera de gestionar el error que emplean los maestros.
34
3. Metodología
Analitza la resposta escrita d’alumnes de primària als següents algoritmes estàndards:
CAS 1: 28
CAS 2: : 54
+ 35
- 28
513
34
Què li ha portat a aquest error?
Com ha de respondre el professor?
Com podem utilitzar les respostes
dels per ajudar-los a millorar la
seva comprensió ?
Pregunta 8: El ejemplo de esta pregunta también se ha extraído del libro Mental Methods in
Mathematics (1992) en la que se pretende poner de manifiesto la relación entre los
algoritmos y el uso de las propiedades de las operaciones aritméticas de manera que se
interrelacionan con métodos de cálculo mental. A la vez que se cuestiona el uso o no de
las calculadoras. Con esta pregunta se pretende:
-
Identificar el uso en el aula de los algoritmos tradicionales
-
Identificar el uso de diferentes representaciones y las conexiones que las
relacionan
-
Identificar el nivel de comprensión de las operaciones
Alguns alumnes ho fan d'una manera, i alguns d’altres maneres:
Caso 1
24
x 17
168
24 .
408
Caso 2
24
x 17
168
240
408
Caso 3
24
x 17
240
168
408
Comenta i explica que hi ha
darrera de cada mètode?
Creus
que
es pot
usar una
calculadora?
Quina relació hi ha amb
7x8=3x8+4x8
Diario del profesor-M1-M2-M3: (ver Anexo 5) Con el Diario se pretende por un lado, generar
una reflexión individual sobre el propio conocimiento didáctico del maestro, y por otro,
35
obtener información de aquello que ha llamado más la atención de la formación y de lo
que van incorporando a su conocimiento profesional.
Entrevistas-M2b: (ver el esquema en Anexo 7). Con la entrevista se pretende obtener
información sobre aspectos en los que no se ha profundizado en los datos recogidos
hasta el momento, contrastar la interpretación dada a algunos datos, comprobar la
incidencia de la formación y pedir permiso para la proyección de los episodios
seleccionados.
C-Final-M4: (ver texto completo en Anexo 9)
Pregunta 1 coincide con la 7 del cuestionario inicial. El hecho de proponer exactamente la
misma pregunta responde al interés por identificar cambios en las respuestas y de ahí
poder inferir posibles influencias de la formación emprendida.
Pregunta 2: La presentación de la pregunta 2 difiere ligeramente de la pregunta 3 del
cuestionario inicial. No se proponen los métodos de cálculo de manera que se pueda
identificar los métodos que los profesores han incorporado a su práctica.
Quines estratègies de càlcul mental proposaries als teus alumnes per resoldre aquestes
operacions? T’influencien els números per escollir l’estratègia?
7 x 14
7 x 15
7 x 17
7 x 19
Pregunta 3: Con esta pregunta se pretende ver la influencia de la formación en la práctica
docente de los maestros participantes
Senyala alguns exemples de canvis que hagis incorporat a la teva aula de càlcul i de
matemàtiques durant aquest curs com a resultat de la formació realitzada
36
4. Análisis de datos y resultados
En este apartado se explica el recorrido desde los datos en su estado original a los
resultados de la investigación. Largo camino que como el famoso Camino de Santiago
sigue toda una serie de etapas, unas más largas y fatigosas; otras de obligado
detenimiento para reflexionar y replantear la ruta; otras gozosas a la vista de los primeros
indicios de la meta. Todas estas etapas están mediadas por encuentros y compañeros de
camino que ayudaron a seguir adelante pese a las dificultades.
4.1. Proceso de análisis
El análisis de la información recogida ha sido un proceso cíclico y sistemático, integrado
en todas las fases de la investigación (Latorre et al., 2005, Glaser y Strauss, 1967). Aquí
se muestran las decisiones más importantes que se han tomado para llevar a cabo la
investigación: qué datos analizar, tanto en lo que respecta a los instrumentos empleados
para obtenerlos como a los maestros que los han proporcionado; cómo analizarlos.
Aunque se presente al final el campo de análisis escogido para el trabajo,
cronológicamente va al principio, pues tanto las fuentes como la muestra se seleccionan
en función de esa primera decisión.
4.1.1.
Selección de fuentes de datos
De acuerdo con investigadores experimentados2 se decidió escoger los cuestionarios
inicial y final (C-CDC-M0 y C-Final-M4) y los diarios del profesor de los tres momentos de
la intervención formativa (Diario-M1, M2 y M3), como fuentes primarias de datos. El resto
de lo recogido en la investigación se utiliza como elemento de contraste y fuente
complementaria. Con los datos seleccionados se pretende obtener una visión global del
proceso. Los cuestionarios se utilizan como “fotos estáticas de la situación” y los diarios
permiten ver qué ha conducido a las variaciones que encontramos entre las “fotos” de
septiembre (M0) y abril (M4) del curso 2011-2012.
2
Por investigadores experimentados se entiende los doctores, profesores titulares o
investigadores invitados, que nos han impartido clases durante el master de investigación en
didáctica de las matemáticas y de las ciencias de la UAB.
37
La elección de estas fuentes y no otras no resultó fácil, pues las grabaciones y
entrevistas permiten ver una gran cantidad de detalles interesantes. Todas esas
grabaciones fueron escuchadas y valoradas, pero la índole del presente trabajo obliga a
restringir la visión dejando el análisis de las mismas para futuras investigaciones.
4.1.2.
Selección de la muestra
Durante el transcurso de la formación se pudo observar que los maestros no tutores que
no impartían clase de matemáticas ni implementaban el proyecto de cálculo, aunque
participaban activamente en la observación de las clases modelo y de las reuniones de
reflexión por ciclos, no se implicaban de la misma manera que el resto de maestros
participantes. Sus reflexiones sobre la práctica observada no conducían a una reflexión
para la práctica, por el hecho de no tener perspectivas de aplicación. Y, aunque muchas
de las aportaciones de sus compañeros son aplicables a otras materias, pues no todo el
conocimiento didáctico es específico de las matemáticas, no llegaron a entrar plenamente
en la corriente formativa emprendida. Esto, junto con el hecho de que no han entregado
diarios de reflexión individual, ha provocado la decisión de desestimarlos de la muestra a
analizar. Así, la muestra la conforman cuatro maestras del ciclo inicial y cinco del ciclo
medio.
Resultado de estas dos selecciones es la relación de datos que tenemos, pues no todos
los participantes entregan todos los instrumentos (ver Tabla 4.1)
Fuente de datos
Maestros que lo
entregan
C-CDC-M0
Diario-M1
Diario-M2
Diario-M3
C-Final-M4
PI-1, PI-2, PI-4,
PM-1, PM-2, PM-3,
PI-2, PI-4, PI-6,
PI-1, PI-2, PI-4, PI-6,
PI-1, PI-2, PI-4, PI-6,
PI-1, PI-2, PI-4, PI-6,
PM-1, PM-2, PM-6
PM-1, PM-2, PM-3,
PM-2, PM-3, PM-5
PM-1, PM-2, PM-3,
PM-6
PM-5, PM-6
PM-5, PM-6
Tabla 4.1. Datos recogidos
4.1.3.
Selección de aspectos del conocimiento didáctico del
contenido a estudiar
El proceso de decisión de cómo analizar no ha sido fácil. En un primer momento costó
ubicar el centro de interés del estudio, pues los datos ofrecían diversas posibles visiones,
de carácter más cognitivo o más social. Las limitaciones del estudio presentadas
brevemente en el primer apartado y los investigadores expertos a los que se consultó
acabaron por inclinar el estudio a lo cognitivo sin perder de vista influencia social que
genera las reflexiones en grupo.
38
4. Análisis de datos y resultados
Se pensó que la caracterización del conocimiento matemático para la enseñanza
propuesto por el grupo de investigación de Deborah Ball (Ball et al., 2008; Hill et al., 2008;
Ball y Bass, 2009) ofrecía un marco adecuado. Tomando algunos códigos que proponía
la teoría, desechando otros y añadiendo algunos emergentes, salió a la luz un primer libro
de códigos con los que se inició un proceso de codificación
Al comprobar que la caracterización propuesta por la teoría no respondía bien al tipo de
datos de este estudio, se buscó otra manera de codificarlos atendiendo a las necesidades
que emergían de los mismos. El inconveniente se encontró por la rigidez de los códigos
provenientes de la teoría y por la dificultad de reflejar la evolución tal y como estaban
planteados. El trabajo de síntesis de Ponte (2012) en el que presenta su trayectoria
investigativa relacionada con la formación y el desarrollo profesional de los profesores
resultó una ayuda eficaz para sostener y validar la codificación que se iba perfilando de
los datos. Con estas bases teóricas (Ponte, MKT) se adaptó el libro de códigos, se probó
en los diarios. Acto seguido se diseñó una gradación de adquisición del CDC de manera
que se pudiese reflejar las diferencias que se observadas entre datos codificados con el
mismo indicador de CDC.
La codificación sistemática se comenzó con los diarios del profesor. A medida que se
codificaba y se refinaban los códigos se contrastaban las nuevas definiciones con los
datos ya codificados hasta la conclusión de los tres diarios de cada maestro. Satisfechos
con el libro de códigos se procedió a la codificación de los cuestionarios inicial y final.
4.1.4.
Descripción de los indicadores
El aspecto de estudio seleccionado es el Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) tal
y como lo denomina Ponte (2012). De las cuatro dimensiones que este autor considera,
en este estudio se realiza una síntesis y adaptación a dos dimensiones: la relativa al
Conocimiento didáctico del contenido matemático (CDCM) y su aplicación al aula de
matemáticas (CDCA) (ver Figura 4.1).
Estas dimensiones se caracterizan por distintos aspectos del CDC. Los del CDCM
encuentran su base teórica en Brocardo et al. (2008). No se ha considerado todo lo que
estos autores incluyen en Aplicación de los conocimientos sobre el concepto de número y
las operaciones con números sino que, por el tipo de trabajo llevado a cabo en las
prácticas observadas, se habla sólo de estrategias de cálculo mental (ECM).
Los aspectos considerados como indicadores de CDCA son una síntesis de lo que Ponte
(2012) incluye en las dimensiones relacionadas con el currículo, alumnado y procesos de
trabajo en el aula.
39
Sistema de numeración decimal posicional (SN)
Propiedades de las operaciones (PO)
Conocimiento didáctico del
Contenido matemático
(CDCM)
Operaciones
aritméticas (OA)
Significado de los algoritmos (SA)
Representación de las operaciones (RO)
Estrategias de cálculo mental (ECM )
Argumentación matemática (AM) *
Uso del lenguaje específico (LE)
Comunicación (Co)
Lenguaje no verbal (LNV)
Conocimiento Didáctico del
Contenido para el aula de
matemática (CDCA)
Normas (N)
Gestión del aula (GA)
Participación de los alumnos (PA)
Gestión del error (GE)
Conexión con conocimientos pasados y futuros (PF) **
Figura 4.1. Red de categorías y códigos
* Por Argumentación matemática se entiende la explicación en el aula de primaria que se
basa en hechos y propiedades de la matemática, separándose aquí de teorías
estructurales sobre la argumentación matemática (ver autores como Toulmin, Boero,
Planas, D’Amore entre otros)
** Al hablar de conexión con conocimientos pasados y futuros se hace referencia por un
lado, a la toma de conciencia o tener en cuenta los conocimientos previos de los alumnos
para dar significado a los contenidos presentes; por otro, a la conciencia de los conceptos
que se imparten en cursos superiores y cuya base se prepara en el momento presente,
de suerte que esta base puede resultar una ayuda o un obstáculo según cómo se dé.
Dentro de algunos de estos indicadores de CDC, los datos recogidos piden una mayor
distinción.Tres son las subcategorías subdivididas:
40
4. Análisis de datos y resultados
-
Operaciones aritméticas: El trabajo de las propiedades de las operaciones,
del sentido de los algoritmos y la relación entre las diferentes representaciones
de las operaciones durante la intervención formativa ocasiona esta distinción.
-
Comunicación en el aula: La teoría (Hill et al., 2008) nos habla de la
importancia del lenguaje específico y los datos ofrecían numerosas referencias
a este código. La investigación en didáctica habla también de la importancia
del lenguaje no verbal en la comunicación, este código se incluye por algunas
referencias de los maestros a este tipo de comunicación, aunque el análisis ha
mostrado ser poco relevante en las reflexiones escritas de los maestros.
-
Gestión del aula: los datos, principalmente los de la reflexión conjunta del
Momento 1 (M1), hablaban de dos aspectos diferentes de gestión del aula de
matemáticas: la participación de los alumnos en el aula y el uso de normas
para el desarrollo de la clase.
Estas distinciones en los indicadores son ejemplos de códigos emergentes (Glaser y
Strauss, 1967) que han surgido de los datos.
Caracterización de los grados de asimilación del CDC
Los grados de asimilación del CDC a lo largo de la formación se definieron de manera
que pudiesen aplicarse a todos los códigos con sus ligeras adaptaciones. A continuación
se describen estos grados y se muestra un ejemplo de cita codificada con ese grado:
•
Consideración: Se menciona ese aspecto del CDC en los diarios o cuestionarios,
señal de toma de conciencia de la existencia de dicho aspecto del CDC:
“El que m'ha sorprès és la quantitat d'estratègies que es busquen els nens per fer les
operacions i solucionar els problemes si els dones l'oportunitat”. (Diario-M1.048 PM-1
CDCA/ECM-Consideración).
En este ejemplo se ve que la maestra ha observado que los alumnos utilizan sus propias
estrategias que les llevan a resolver los problemas. Considera la existencia de más
estrategias que la que pueda enseñar el maestro en el aula, pero no hace reflexiones que
valoren positivamente dando importancia a este uso de estrategias de cálculo ni
manifiesta deseo de actuar de tal manera en su clase.
•
Importancia: Se atribuye importancia a ese aspecto del CDC tanto para el
desarrollo profesional como para el aprendizaje de los alumnos.
“Reconec que les mates sempre m'han costat i m'agradaria no dubtar a l'hora de
transmetre als nens els conceptes. La manera d'explicar-ho perquè ho puguin entendre.”
(C-Final-M4.013 PI-1 CDCA/AM-Importancia).
41
En este ejemplo se percibe que la maestra da importancia a la argumentación
matemática, la manera de transmitir conceptos en el aula de matemáticas
•
Utilización: Se reflexiona sobre y para la propia práctica en relación con dicho
aspecto
“Les propietats, els símbols, xifres, posició de les xifres, problemes, dobles-triplesmeitats, hores, operacions, aproximacions,... moltíssimes coses que hem d’intentar que
els alumnes ho assoleixin des del principi de la primària per evitar errors quan es van fent
grans” (C-Final-M4.344 PI-4 CDCA/PF-Utilidad).
En este ejemplo se evidencia una reflexión sobre los contenidos matemáticos que forman
una base para los conocimientos que los alumnos adquirirán en cursos posteriores. La
maestra manifiesta la necesidad de dar esos contenidos con una visión de futuro.
•
Realización: Este grado se aplica a las producciones de los maestros. Se
considera que se alcanza este grado de asimilación de un aspecto del CDC cuando
se ve realizado en la respuesta dada. Este grado no siempre es verificable, sólo se
aplica a los códigos PO, ECM, LE, AM y GE en los que se puede detectar el uso.
“Hem detectat que, tot i que és la primera vegada que els alumnes de quart fan càlcul
mental, comencen a assolir la diferència entre el valor posicional del nombre i la xifra que
representa” (Diario-M2.068 PM-3 y PM-5 CDCA/LE-Realización).
En este ejemplo se evidencia un uso del lenguaje específico del sistema decimal
posicional.
4.2. Estrategias de análisis
El análisis de la información a lo largo de este estudio sigue un proceso complementario
con la obtención de la misma. Podemos afirmar con Latorre et al. (2005) que han sido
procesos complementarios, continuos, simultáneos e interactivos más que secuenciales.
Los datos han sufrido distintos niveles de análisis para los cuales se han elaborado
instrumentos de análisis que permiten extraer los resultados:
•
Primer nivel de análisis:
– Transcripción de los datos de cada instrumento y primera codificación de aspectos del CDC.
– Elaboración de redes sistémicas de los cuestionarios inicial y final.
Este instrumento de representación permite estructurar los datos en categorías. Para la
organización de la información, se ha seguido la estructura propuesta por Bliss et al.
(1983). Así, la barra vertical ( | ) indica que a su derecha se encuentran subcategorías
42
4. Análisis de datos y resultados
disjuntas y excluyentes relacionadas con la categoría ubicada a la izquierda de la barra;
la llave ( { ) indica subcategorías no disjuntas ni excluyentes.
En este nivel de análisis se plantearon las redes sistémicas por preguntas de manera que
se pudiese comparar las equivalentes en los cuestionarios inicial y final
– El programa de análisis cualitativo de datos Atlas.ti
Este programa informático ha facilitado las sucesivas codificaciones teniendo siempre los
datos delante. También ha permitido relacionar citas de los profesores en los distintos
momentos, identificar elementos emergentes (por ejemplo, los aspectos PA y N del
CDCA), influencias de instrumentos de formación, etc.
•
Segundo nivel de análisis:
– Refinar la red sistémica del conocimiento didáctico del contenido: matemático y para el
aula de matemáticas.
– Definir grados de profundización en los aspectos del CDC.
– Codificación detallada de los datos atendiendo a los aspectos definidos y a los grados de
profundización en cada momento de la intervención.
– Elaboración de una red sistémica global que recoge esquemáticamente todos los aspectos
de CDC y Momentos de la intervención formativa
Para mejor visualización de la información contenida en la red, se asignó un color a cada
Momento. Para sintetizar las diversas respuestas de los cuestionarios inicial y final en una
única entrada en la red, se estableció el siguiente criterio: a) para el grado de
Consideración, cuando hay varias preguntas del cuestionario que hagan referencia a un
aspecto del CDC, se anota en la red el maestro que lo considere al menos en dos
ocasiones; b) para los grados de Importancia y Utilización, basta una única mención para
incluirlo en la red.
•
Tercer nivel de análisis:
– Caracterización del CDC en cada momento (Vertical)
– Identificación de la evolución del CDC durante la intervención formativa (Horizontal)
– Interpretación de la influencia de la intervención formativa en el CDC. Elaboración de
tablas de múltiple entrada en las que se señalan los instrumentos formativos empleados
en la intervención, los aspectos del CDC, los Momentos de la formación y los profesores
participantes.
La Figura 4.2 representa esquemáticamente el proceso de análisis realizado:
43
Selección de
PROCESO DE
aspectos de estudio
ANÁLISIS
Selección de
fuentes de datos
Fuentes Primarias
Fuentes Complementarias
Cuestionario inicial (C-CDC-M0)
Guión de observador externo (G-Obs-M0)
Diarios del profesor (Diario-M1, M2, M3)
Cuestionario inicial Comunidad (C-Com-M0)
Cuestionario final (C-Final-M4)
Guiones de reflexión (G-Ref-M1, M2, M3)
Grabaciones reflexión conjunta (V-CI/CM-M1, M2, M3)
Grabaciones clases (V-matCM-M2b, V-calCI/CM-M2b)
Entrevistas (E-CI/CM-M2b)
Documentos elaborados por el colegio.
Selección de la
muestra
Maestros seleccionados
Maestros no seleccionados
Imparten matemáticas y el proyecto de cálculo: PI-1, PI-2, PI-
No imparten ni matemáticas ni el
4, PI6, PM-2, PM-5
proyecto de cálculo: PI-3, PI5, PM4
Imparten matemáticas pero no cálculo: PM-1, PM-3
Definición de
códigos de análisis
Imparte cálculo pero no matemáticas: PM-6
2.º Paso
3.º Paso
Revisión de la teoría relacionada
Situación de encierro por los códigos
Nueva codificación de los diarios
Identificación de códigos emergentes
definidos para mostrar la evolución y
según las definiciones propuestas
Fusión de códigos relacionados y
los matices del estudio
Codificación de los cuestionarios
desestimación de códigos improcedentes
Nueva revisión de la teoría
Revisión de las definiciones de
Primera lista de indicadores siguiendo el MKT
Definición de indicadores
los indicadores
Primera codificación de los diarios y de
Segunda codificación de los diarios
algunas preguntas de los cuestionarios
Definición de grados de apropiación
1.º Paso
del conocimiento
Instrumentos de
análisis
2.º Instrumento
1.º Instrumentos
3.º Instrumento
Redes sistémicas del C-CDC-M0
Red sistémica global con la gradación de
Tabla de múltiple entrada para el
y C-Final-M4 por preguntas
asimilación del CDC para caracterización
análisis de la influencia de la formación
Programa informático Atlas.ti
de la evolución del CDC
en el desarrollo profesional
Figura 4.2. Proceso de análisis
44
4. Análisis de datos y resultados
4.3. Resultados
El análisis de datos llevado a cabo permite ver algunas evidencias de cambio en la
reflexión de los diferentes aspectos del conocimiento didáctico del contenido en torno a
los cuales gira este trabajo. La presentación de los resultados se organiza según los
objetivos planteados al principio y a los que se pretende responder.
4.3.1.
Primer objetivo: Cambios en el CDC
Se inicia dando respuesta al objetivo primero que guía esta investigación en el que se
propone identificar la evolución de algunos aspectos del CDC para la enseñanza de las
matemáticas del grupo de maestros a lo largo de la intervención formativa.
Antes de realizar una caracterización detallada de los cambios identificados, a modo de
ejemplo se presenta un caso en el que la comparación entre las respuestas a una misma
pregunta (C-CDC-M0_8) en el Momento 0 (M0) y en el 4º (M4) ofrece unas diferencias
significativas:
Reconoce qué conlleva
una representación
particular
El caso 1 es el que utilizan
(PI-2, PI-4,
PM-1, PM-3)
Algoritmo tradicional, caso 1, puede
llevar a confusión
Nadie
El 0 del caso 2 facilita el cálculo
El caso 2 explicita la multiplicación por 10
(PI-2, PI-4,
PM-1)
Nadie
Comenta y explica qué
hay tras cada método
[C-CDC-M0_8]
Caso 1 Caso 2 Caso 3
24
24
24
x 17
x 17
x 17
168
168
240
24 .
240
168
408
408
408
Vincula diferentes
representaciones del
mismo concepto
Vincula diferentes conceptos
que los estudiantes afrontan
al mismo tiempo
Considera el caso 3 no generalizable
No considera ninguna incorrecta
Relaciona el algoritmo con la
propiedad distributiva 7x8 = 3x8 + 4x8
No encuentra relación
No contesta
(PI-4)
(PM-1, PM-6)
Nadie
(PI-4)
(PI-1, PI-2,
PM-1, PM-2, PM-3, PM-6)
Figura 4.3. Red sistémica de la pregunta C-CDC-M0_8
La Figura 4.3 muestra una situación inicial en la que ninguno de los siete maestros que
entregan el cuestionario inicial relaciona el algoritmo tradicional con la propiedad
distributiva, ninguno considera que el algoritmo tradicional puede generar confusión en
los alumnos, ninguno argumenta matemáticamente el 240 que aparece en el segundo y
tercer método propuesto.
45
Frente a esta situación inicial, se muestra a continuación la respuesta dada a la misma
pregunta al final de la intervención formativa. Esta respuesta fue elaborada en conjunto
por los maestros de cada ciclo:
CICLO INICIAL: Pregunta: Comenta i explica que hi ha darrera de cada mètode?
Respuesta: Cas 1: Aquest és el mètode de tota la vida, el que hem après a l’escola.
Cas 2: En aquest cas comença la multiplicació per les unitats i fa 7 x 24 i després 10 x 24
Cas 3: En aquest cas comença a multiplicar per les desenes i fa 10 x 24 i desprès 7 x 24
Pregunta: Quina relació hi ha amb 7 x 8 = 3 x 8 + 4 x 8
Respuesta: Cas 1: Cap perquè no hi ha descomposició de nombres, és una multiplicació
normal.
Cas 2 i 3: Aquí hi ha relació perquè descomposa el 17 en 10 +7
CICLO MEDIO: Pregunta: Comenta i explica que hi ha darrera de cada mètode?
Respuesta: Cas 1: Aquest és el mètode tradicional. No té en compte el valor posicional.
Cas 2: Descomposa el 17 (10 + 7) i multiplica. Es té en compte el valor posicional
Cas 3: És el mateix però 1r multiplica per 10 i desprès per 7
Pregunta: Quina relació hi ha amb 7 x 8 = 3 x 8 + 4 x 8
Respuesta: Cas 1: No li veiem la relació amb aquest mètode.
Cas 2 i 3: En canvi amb aquests dos utilitza la descomposició del nombre 7 i la
propietat distributiva igual que els de dalt [se refieren a los métodos de los casos 2 y
3 que están ubicados encima del espacio asignado para contestar esta pregunta]
En las respuestas dadas al final de la intervención formativa se percibe una
argumentación matemática de los casos 2 y 3 y comprensión del significado del algoritmo
de la multiplicación. Se usan las propiedades de las operaciones y se consideración del
sistema decimal posicional. Así mismo utiliza un lenguaje específico relacionado con los
conceptos puestos en juego.
Ante esta respuesta conjunta final, cabe cuestionarse hasta qué punto los maestros han
asimilado estos aspectos del CDC. Para responder a esta objeción se recurre a los diarios
de reflexión individual de los maestros entregados en los Momentos M1, M2, y M3.
En M2, momento en el que se trabajó especialmente el pensamiento numérico a raíz de
la visualización de los episodios-1, las dos maestras de 3º anotan:
46
4. Análisis de datos y resultados
“El que m'ha quedat molt clar és que el més important és que els nens sàpiguen el
perquè es fan les operacions i el seu sentit, i no que les facin mecànicament sense saber
perquè es fa d'aquesta manera” (Diario-M2.050 PM-1)
“Fa anys que penso que sempre demanem als nens els algoritmes i si això realment és
tant important. Ho és, però crec que tenir el concepte clar ho és molt més. Amb la meva
companya, després d'aquella reunió vam decidir ensenyar la multiplicació aplicant la
propietat distributiva i els nens i nenes ho van entendre de seguida”. (Diario-M2.060 PM-2)
En el fragmento anterior del diario de PM-1 se observa que empieza a dar importancia al
hecho de que los alumnos entiendan el sentido de las operaciones (SA); importancia que
conlleva la utilización o reflexión para la práctica educativa. Aparte de las consideraciones
sobre el sentido del algoritmo, que en PM-2 coinciden con PM-1, en el fragmento de PM2 se observa una realización del uso del lenguaje específico (LE) y de las propiedades de
las operaciones. El análisis de los diarios de estas dos maestras muestran que el cambio
de respuestas a C-CDC-M0_8 observado entre M0 y M4 responde, al menos en su caso,
a una verdadera asimilación de varios aspectos del CDC.
Tras este ejemplo detallado de cambio en el CDC de los maestros, se presenta ahora la
red sistémica que recoge los datos de todo el proceso según la gradación propuesta.
Esta red global, vista en su conjunto, permite dos análisis diferentes:
•
Un análisis vertical (por momentos de la intervención formativa) que caracteriza el
CDC de manera estática en cada momento.
•
Un análisis horizontal (por aspecto del CDC a lo largo de la intervención formativa)
que permite caracterizar el desarrollo profesional relacionado con la evolución de
cada aspecto del CDC
En orden a responder al primer objetivo, se presentara cada aspecto del CDC por
separado facilitando así su análisis horizontal.
CDCM/SN
En la Figura 4.4 se observa que, en M0, sólo dos de siete maestras consideran el sistema
decimal en las respuestas del cuestionario inicial; frente a esto, en el cuestionario final
ocho de nueve maestras consideran y dan importancia al sistema de numeración decimal
posicional en la enseñanza primaria y siete de ellas hacen mención explícita de una
reflexión para la práctica en el aula (utilización).
47
Figura 4.4. Red global referente al CDCM/SN
Tras la constatación de las diferencias entre los momentos M0 y M4, inicio y fin de la
intervención formativa, se busca si la formación ha podido generar tal cambio; para ello
se recurre a las reflexiones individuales recogidas en los diarios de los momentos M1, M2
y M3. El análisis de la Figura 4.4 muestra como en la primera sesión de observación de
clases modelo (M1) una maestra (PM-1) empieza a considerar, dar importancia y
proponer la utilización en el aula del SN. También se observa que las acciones formativas
de M2 generaron procesos de reflexión en este sentido. Como ejemplo se señalan las
siguientes citas:
“A la sessió que vam fer les mestres juntes, amb els vídeos, ella [la formadora] va voler
que ens n'adonéssim del valor posicional dels nombres i això ens ha anat molt bé
després per utilitzar-ho sempre a l'aula. Ho hem utilitzat i creiem que els nens ho entenen
molt millor”. (Diario-M2.004 Respuesta conjunta del Ciclo inicial)
“He descobert la gran importància de treballar la posició dels nombres; si els nens tenen
clar això els hi és molt més fàcil el càlcul mental”. (Diario-M2.057 PM-2)
CDCM/OA
En el aspecto de las operaciones aritméticas (OA) (ver Figura 4.5) el análisis llega a
diferentes conclusiones:
- PO: La diferencia mayor que encontramos en este aspecto al comparar M0 y M4 es en
la consideración (de una maestra se pasa a tres). No tenemos datos de realización en el
cuestionario inicial que permitan comparar este grado de asimilación, pero la poca
consideración que se hace de estas propiedades, sólo PM-2 menciona su uso, y la
intervención de PM-5 en la reunión del Momento 2 acerca del uso de la propiedad
distributiva como estrategia de cálculo mental, dan a entender que también en este
aspecto ha habido un cambio.
“Aquest matí, amb el [problema] de las potes de les taules i les cadires, has arribat a la
propietat distributiva que jo he explicat mecànicament, mecànicament, al aula de
48
4. Análisis de datos y resultados
matemàtiques i no he sabut relacionar aquest problema amb la propietat distributiva”
(V-CM-M2_22:11-22:30)
Figura 4.5. Red global referente al CDCM/OA
- SA: La comparación de M0 y M4 muestra que de una maestra (PM-2) se pasa a seis
maestras (todas salvo las que imparten clase en 1º de Primaria) que consideran, dan
importancia y se proponen explicar (utilización) el significado de los algoritmos. La
búsqueda de explicación del cambio en M1, M2 y M3 concluye que las acciones de M2
tuvieron una relevancia crucial en este aspecto para las maestras del ciclo medio (tanto
que las maestras de 4º solicitaron una sesión extra a la formadora para dotar de sentido
al algoritmo de la división, no tratado en la reunión conjunta). El hecho de que PM-6 no
haga referencia a ello se interpreta al considerar que no es tutora de aula y por lo tanto
no imparte la clase de matemáticas en las que se explican las operaciones. El ciclo inicial
no incluye en su reflexión individual este aspecto; se interpreta, pues, que la causa del
cambio es el conocimiento base generado por estas oportunidades de reflexión permiten
compartir la visión sobre la enseñanza y el aprendizaje (Shulman y Shulman, 2004).
- RO: Las actividades formativas de M1, M2 y M3 han generado reflexión en torno a
las representaciones de las operaciones, sobre todo en M2 y M3 en los que algunos
49
maestros las consideran, dan importancia y proponen su utilización, pero estas
reflexiones no suscitan un cambio en la consideración ni importancia entre M0 y M4.
CDCM/ECM
Finalmente, en el aspecto de la aplicación de los conocimientos del número y las
operaciones en el uso de estrategias de cálculo mental (ECM) (ver Figura 4.6), también
se ve un cambio entre la situación inicial y final. En M0 ninguna maestra daba importancia
ni se proponía la utilización de estrategias de cálculo mental en sus aulas; frente a esto,
en M4, siete de nueve maestras reflexionan sobre su utilización, aunque sólo tres de ellas
dan importancia al uso de éstas como fundamento para la agilidad mental y la resolución
de problemas matemáticos en otros contextos. Sin embargo, a la hora de analizar las
estrategias que utilizan para resolver las multiplicaciones que se les proponía en la
pregunta 2 del cuestionario final, cinco de nueve maestras emplean únicamente la
estrategia basada en descomposición y uso de la propiedad distributiva para resolver
todas las operaciones. Cuatro utilizan además la aproximación a la decena más cercana
en el caso de 7 x 19. Esto apunta a que, aunque empiecen a considerar diferentes
maneras de abordar las operaciones, todavía no han adquirido una gran flexibilidad
numérica.
El análisis de los diarios M1, M2 y M3 muestran una incorporación paulatina en los
grados de importancia y utilización. Con esto se puede concluir que durante toda la
formación, el uso de estrategias ha estado presente, siendo casi un eje conductor de la
misma.
Figura 4.6. Red global referente al CDCM/ECM
CDCA/AM
Del aspecto del CDCA relativo a la argumentación matemática (AM) (ver Figura 4.7)
resaltamos tres hechos:
50
4. Análisis de datos y resultados
a) Pese al incremento de maestras que consideran y dan importancia a la AM en el aula,
en M4 solo una (PI-4) se propone explícitamente su utilización.
b) El cambio en la realización (entre M0 y M4): de una maestra (PI-1) que argumenta
matemáticamente sus respuestas en M0, pasamos a ocho que ofrecen una explicación
basada en hechos de la matemática.
c) Este aspecto está cada vez más presente en las reflexiones de M1, M2 y M3, con lo
que se puede concluir que esta característica de la formación ha generado reflexión
sobre y para la práctica de manera productiva. Sólo PM-5 no refleja en ningún diario una
reflexión en torno a este aspecto del CDC.
Figura 4.7. Red global referente al CDCA/AM
CDCA/Co
Referente a la comunicación en el aula (Co) (ver Figura 4.8) la intervención formativa
parece haber influido en el uso del lenguaje específico (LE), especialmente el M3 de la
formación (todas consideran el LE, y seis de siete se proponen su uso en el aula); en M3,
como ya se explicó en la caracterización de los episodios visionados durante la reflexión,
se muestra un error de lenguaje matemático en una buena explicación de una de las
maestras participantes. Pero antes de ese Momento encontramos reflexiones que hacen
mención al uso específico del lenguaje incluso con niños pequeños. Este aspecto se
ilustra a continuación en un extracto de la entrevista realizada a la maestra PI-1 en
febrero:
“A veces nosotros teníamos miedo de… de hablar a los niños…, pues con… con los
términos que tocan, ¿no? O sea, a veces para que entendieran a… un poco lo que… lo
que tú quieres explicar; les explicas de otra manera, pero no diciendo la palabra de lo
que vas a explicar. Por ejemplo, me explico, ¿no? (aaa…) Si estás explicando la
propiedad conmutativa, pues yo no se lo decía que era la propiedad conmutativa, pues
pensaba que eran niños pequeños para empezar a… a aprender estos términos, ¿no?
Pero claro, yo veo que ella lo hace, que ella [la formadora], aunque los niños no tengan
51
ni idea de lo que es la propiedad conmutativa, les… A medida que van escuchándolo,
pues al final se les queda. […] y llega un momento que para ellos, pues…, tienen
clarísimo qué es la propiedad conmutativa y para qué sirve y cómo utilizarla” E-CIM2b_06:00-06:43; 07:04-07:13
Con todo, en M4 hay poca presencia de este indicador en las reflexiones (sólo hay tres
maestras que mencionan su utilización en el aula), pero bastante realización de este
aspecto del CDC (cinco de nueve maestras utilizan un lenguaje específico para
contestar a las preguntas del C-Final-M4).
Por lo dicho anteriormente se puede afirmar que, aunque las acciones formativas han
generado reflexión entorno a este aspecto, no ha habido una asimilación notable del
mismo.
Figura 4.8. Red global referente al CDCA/Co
Del LNV, que se incluyó como código teórico, la Figura 4.8 no refleja casi ninguna
incidencia en los maestros.
CDCA/PF
Relacionado con las conexiones con conocimientos pasados o futuros (PF) en M4 se
percibe una falta de importancia de la preparación presente a conocimientos futuros de
los estudiantes que los mismos maestros consideran y utilizan en sus aulas. Los diarios
de reflexión individual (M1, M2, M3) muestran indicios de consideración (en M1 referentes
a los conocimientos previos de los alumnos; en M2 y M3 también de elementos que el
currículum coloca en cursos posteriores, pero que en germen se estudian antes), y, en
menor grado de importancia y utilización (ver Figura 4.9).
52
4. Análisis de datos y resultados
Figura 4.9. Red global referente al CDCA/PF
Tenemos referencia a una mayor toma de conciencia de la importancia de este aspecto
del CDC en la entrevista realizada a la maestra PM-2:
“El otro día, por ejemplo, fue muy bien, que tuvimos una reunión Ciclo inicial y Ciclo
medio, que son los que estamos haciendo el proyecto, y fue muy bien. Y vino D. [nombre
del Director del Centro] también, […] todo el mundo iba diciendo ‘mira yo encuentro esto,
encuentro lo otro’… Y D., que está en la ESO –que él no…, no lo hace aún, pero bueno
está en la ESO–: ‘Pues a mí me va súper bien esto, porque luego en la ESO hacemos
esto, esto…’. Y, claro, es aquello que dices ‘¡Ostras!, ¿ves?’. Con la división, por
ejemplo, la discusión [entre los maestros] que hay ahora, ¿no?: ‘La hago con resta o no
la hago con resta’. Con resta. El niño que le cueste irá más seguro y el que no, ya llegará
un momento que la hará sin resta, pero empecemos... y aquí dijo D., claro, porque
cuando yo haga los polinomios, entonces, me es mucho más fácil porque me entienden,
tal y cual...” (E-CM-M2b_04:53-05:00 / 05:23 05:56)
Tras lo dicho podemos concluir que este aspecto del CDCA no ha sido plenamente
incorporado al CDC de los maestros, aunque la formación ha generado procesos de
discusión y reflexión que le han dado una relevancia que no aparece en la situación
inicial (M0)
CDCA/GE
La gestión del error es un aspecto cuyo análisis muestra que se ha incorporado poco al
CDC de los maestros. La Figura 4.11 indica muchas citas referentes al error en M3, pero
la mayoría de éstas hacen referencia al error del maestro en el aula más que al
aprovechamiento del error del alumno como oportunidad de aprendizaje. Las dos
maestras que fueron grabadas, reflexionan sobre la corrección de este tipo de errores
(grado de utilización).
En cuanto a aprovechar el error del alumno, sí hay bastantes referencias en el
cuestionario final, pero todavía incipientes (ver Figura 4.10). Se consideran incipientes,
pues las referencias a la importancia y utilización de este tipo de CDC que aparecen en la
red son relativas, en la mayoría de los casos, al error del maestro. Sin embargo, en el
grado de realización, tal y como muestra la comparación de redes por preguntas
53
presentada en la Figura 4.10, sí se puede afirmar que hay un aumento tanto de
estrategias de aprovechamiento del error como de maestros que las proponen.
Explica el error cometido
CDCA/GE
Aprovecha el
error como
instrumento de
aprendizaje
C-CDC-M0_7
(PI-1)
Reconoce una confusión
común en muchos alumnos
(PM-3)
Pide que el alumno se explique
(PI-2, PI-6
PM-2)
Pide que los alumnos identifiquen
errores semejantes en otros ejemplos
(PM-6)
CDCA/GE
Aprovecha el error
como instrumento
de aprendizaje
C-Final-M4_1
Explica el error cometido
(PI-4
PM-1, PM-3,)
Pide que el alumno se explique para
observar lo que no ha asimilado
(PM-6)
Hace participar al resto de alumnos en
la detección del error y en la
explicación
(PI-1, PI-4
PM-6)
Utiliza material manipulativo, dibujos
(PI-2, PI-6)
Parte de la respuesta del alumno
Utiliza la lógica del resultado
(PM-1)
(PM-5)
Figura 4.10. Redes por preguntas sobre GE en M0 y M4
Figura 4.11. Red global referente al CDCA/GE y GA
CDCA/GA
Respecto a la Gestión del aula, se observa (ver Figura 4.11) una reflexión descendiente
en lo relativo a las normas (N): si en M1 cuatro de seis maestros consideran las normas,
54
4. Análisis de datos y resultados
en M2 sólo uno de los nueve las considera y en M3 dos de siete, pero ninguno reflexiona
sobre su utilización.
En cuanto a la Participación de los alumnos en el aula (PA), también hay una mayor
presencia de reflexiones (que lleven a un cuestionamiento de la práctica –utilización-) en
torno a este tema en M1 que en M2 o M3. Lo significativo de este aspecto del CDCA es
que muchos, seis de nueve, concluyen la formación considerando importante esta
participación de los alumnos para el aprendizaje. A continuación se muestran dos
ejemplos de respuesta a la pregunta 3 del cuestionario final
Pregunta: Senyala alguns exemples de canvis que hagis incorporat a la teva aula de càlcul i
de matemàtiques durant aquest curs com a resultat de la formació realitzada
Respuesta: PI-4: Utilitzo també els errors dels alumnes i les seves estratègies. Els faig
participar molt més a la classe i sempre intento que expliquin el què han fet.
PM-1: A l’hora de realitzar un problema faig que els nens expliquin com ho han fet i
surten diferents estratègies que treballem tots a la classe.
De todo lo expuesto en este apartado podemos afirmar que a lo largo de la intervención
formativa ha habido una evolución en el CDC manifestado por los maestros. No en todos
los aspectos considerados la evolución ha seguido la misma trayectoria ni la asimilación
de los aspectos analizados del CDC ha sido igual de profunda. También se podemos
afirmar que estos cambios identificados se han producido en diferentes momentos de la
intervención según el aspecto de conocimiento. En el siguiente apartado relativo al
segundo objetivo se expondrá qué ha podido generar esas diferencias entre unos
momentos y otros de la formación, pero con lo ya dicho afirma que la formación
emprendida ha generado desarrollo profesional en el grupo de maestros participantes.
4.3.2.
Segundo objetivo: Influencias de la formación emprendida
Para emprender el análisis de las posibles influencias de la intervención formativa en el
CDC del grupo de maestros participantes se han preparado tablas de múltiple entrada (ver
tablas 4.2 y 4.3) que sintetizan la información contenida en las relaciones entre los datos
recogidos y los aspectos claves de la formación emprendida. Estos aspectos claves son:
•
La observación participante de las clases modelo impartidas por la formadora
•
El análisis didáctico de episodios de aula visualizados
•
La reflexión conjunta
•
El proyecto de desarrollo de pensamiento numérico y estrategias de cálculo
mental que se está implementando en el centro MDL
55
X
X
X
PO
X
X
X
SA
OA
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
RO
X
X
X
ECM
CDCM
X
X
PM-6
X
X
PM-5
SN
X
PM-3
PM-1
X
X
PM-2
PI-6
PI-4
PI-2
PI-1
X
PM-6
PI-6
X
Proyecto de innovación en
cálculo mental
PM-5
PI-4
X
PM-3
PI-2
X
PM-2
PI-1
PM-6
PM-5
PI-6
X
PM-3
PI-4
X
PM-2
PI-2
X
PM-1
PI-1
PM-6
X
PM-1
Reflexión conjunta
Análisis didáctico de episodios de aula
PM-5
PM-3
PM-2
PM-1
PI-6
PI-4
PI-2
PI-1
Clases modelo
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Tabla 4.2. Influencia de los instrumentos de la formación en el CDCM
56
X
X
X
X
X
X
X
X
4. Análisis de datos y resultados
LE
PM-6
PM-5
PM-3
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
CO
PM-2
PM-1
PI-6
PI-4
PI-2
PI-1
PM-6
X
X
PM-5
PI-6
X
X
PM-3
PI-4
X
X
PM-2
PI-2
X
PM-1
PI-1
PM-6
PM-5
X
X
PM-3
X
X
PM-2
PI-6
X
X
PM-1
PI-4
X
Proyecto de innovación en
cálculo mental
Reflexión conjunta
X
X
X
X
X
X
X
LNV
X
X
X
X
X
X
PF
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
GE
X
X
X
N
X
GA
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
PA
CDCA
PI-2
X
PM-6
X
PM-5
PI-6
X
PM-3
PI-4
X
PM-2
PI-2
X
PM-1
PI-1
AM
X
X
X
PI-1
Análisis didáctico de episodios de aula
Clases modelo
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Tabla 4.3. Influencia de los instrumentos de la formación en el CDCA
57
X
X
X
4. Análisis de datos y resultados
Las tablas 4.2 y 4.3 muestran con una cruz en la columna de cada profesor si hace o no
referencia a los sucesivos códigos indicadores de CDC en cada uno de los instrumentos
claves de la formación. Además se ha querido señalar la cruz con los colores referentes a
cada Momento de la formación manteniendo el mismo código de colores que en la red
global presentada en el apartado anterior, así: color azul M1, color verde M2, color violeta
M3 y color rojo M4.
•
La observación de clases impartidas por la formadora
Las Tablas 4.2 y 4.3 muestran que casi todas las citas que hacen referencia a la
observación de las clases modelo se fijan en aspectos del CDCA como son en la gestión
del aula, normas
y participación de los alumnos, la argumentación matemática y la
relación con conocimientos previos o futuros de los estudiantes y, con menos frecuencia,
en la comunicación tanto en el uso del lenguaje específico como el no verbal y en la
gestión del error. Sin embargo, en el aspecto del CDCM, los participantes sólo se fijan en
el uso de las estrategias (CDCM/ECM).
También se evidencia la incidencia que ha tenido en la maestra PI-1 la observación de
las prácticas de una persona que hemos considerado experta por su formación y práctica
previas (hace referencia a estas clases en M2, M3 y M4). Esta parte de la formación le
sugiere reflexionar sobre todo acerca de las Normas (CDCA/N) y de la Argumentación
matemática (CDCA/AM).
En las tablas 4.2 y 4.3 se echa en falta la reflexión de dos maestros, PM-3 y PM-5, que
no mencionan este instrumento formativo en ninguna de sus reflexiones. Así mismo,
llama la atención que en el M2 ningún maestro del ciclo medio lo menciona y en el M3 y
M4 sólo lo referencia la maestra PI-1.
Con todo esto podemos afirmar que la observación de clases impartidas por un experto
ha servido de arranque para la reflexión sobre la práctica y, en particular, en los aspectos
del conocimiento didáctico del contenido para el aula de matemática, pero que su
relevancia a lo largo del proceso no tiene peso por sí solo para el desarrollo profesional
del maestro en ejercicio.
•
El análisis didáctico de episodios de aula visualizados
La columna referente al análisis didáctico de episodio de aula en las tablas 4.2 y 4.3
muestra una gran densidad de referencias tanto al CDCM como al CDCA al mismo
tiempo que indican una gran incidencia en la mayoría de los maestros. Las únicas
58
4. Análisis de datos y resultados
maestras que no tienen ninguna referencia a este instrumento de la formación son PM-1
y PM-6, las cuales no entregan el diario de M3.
En torno a este instrumento de formación se puede observar que los episodios de vídeo
del proyecto impartido por la formadora (M2, cruces de color verde) generan procesos de
reflexión principalmente en torno al SN, AM y LE (cinco de nueve maestras reflexionan
sobre estos tres aspectos del CDC). En el caso de la maestra PM-2, la visualización de
los episodios le lleva a profundizar en otros cuatro aspectos más PO, SA, ECM y PF.
Los episodios de vídeo del proyecto impartido por maestras del claustro (M3, cruces de
color violeta) mueven a la mayoría de los participantes a reflexionar sobre una gran
multitud de aspectos relacionados con el CDCA (seis de los siete codificados) y sobre
alguno de los aspectos del CDCM. También es interesante resaltar que todas las
maestras que entregan el diario de M3 mencionan la influencia de los episodios.
Así, la visualización de episodios de la formadora suscita una mayor reflexión en torno a
los elementos técnicos y matemáticos mientras que la visualización de episodios de
compañeros de trabajo centra la reflexión alrededor de la práctica de aula. Como dice
Escudero (2009) el conocimiento de los profesores está fuertemente ligado a sus
experiencias y prácticas.
Esto nos indica que el análisis didáctico de episodios de aula resulta ser un instrumento
capaz de generar una profunda reflexión sobre práctica, lo cual, tal y como dicen las
investigaciones en didáctica (Llinares y Krainer, 2006), es principio fundamental para el
desarrollo profesional y para el cambio de prácticas de aula.
•
La reflexión conjunta
El tercer bloque de columnas de las tablas 4.2 y 4.3 permite extraer varias conclusiones:
- El escaso número de cruces azules (M1) confirma que cuando la reflexión conjunta
tiene como único sostén la observación de clases modelo, se comparten unas reflexiones
de carácter general, centradas en la GA.
- Las numerosas cruces verdes (M2) y violetas (M3) indican que las actividades
formativas de esos dos momentos (el análisis didáctico de episodios de aula) genera
procesos de reflexión conjunta que construye un conocimiento base rico en aspectos del
CDC.
- Todas las maestras, a excepción de PI-2, atribuyen la consideración de aspectos del
CDC a la reflexión conjunta. Este resultado va en la línea de las teorías socioculturales
59
que afirman que el las ideas y prácticas docentes no se aprenden ni desarrollan en
soledad.
Ante estos resultados se puede concluir que la reflexión conjunta resulta un instrumento
clave en el incremento de una comprensión profunda de los procesos involucrados en la
enseñanza y el aprendizaje, siempre que vaya ligado a la profundización en el contenido,
referentes conceptuales, procesos y resultados de los aprendizajes del profesorado
Escudero (2009).
•
Proyecto de desarrollo de pensamiento numérico y estrategias de cálculo mental
Finalmente, el análisis de la información recogida en torno al proyecto de cálculo
implementado evidencia que este instrumento de acción continua para las maestras a lo
largo de un periodo extenso de tiempo genera en todas ellas procesos de reflexión sobre
la práctica. Dos aspectos del desarrollo del CDC son los que más se han visto
influenciados por este instrumento de formación: ECM y LE; aunque el desarrollo de CDC
en torno a SN y AM también puede decirse que está impulsado por este proyecto.
También es importante señalar la amplia gama de aspectos del CDC, siete en total, que
el proyecto de cálculo saca a relucir en la maestra PM-1. Esta maestra, que no hace
mención alguna del análisis didáctico de episodios de aula y casi no considera la reflexión
conjunta, saca gran provecho de la observación de clases modelo y del proyecto de
cálculo mental. Además, esta maestra no imparte la clase de cálculo, por lo que todas
sus reflexiones para la práctica tienen un carácter globalizador que no se restringe al
cálculo mental sino que se extiende a las matemáticas en general.
La siguiente cita del Diario-M3 de PM-5 expresa el sentir general de las maestras entorno
a la formación recibida y puede servir de conclusión a los resultados expuestos para dar
contestación al segundo objetivo de la investigación:
“Déjame primero expresarte que ha sido realmente revelador, yo que llevo tantos años
en la enseñanza, que sigo con ilusión todavía pero pensando que ya casi no podía
sorprenderme nada, me encuentro con un proyecto Traces, que me ha despertado otra
visión en las matemáticas”. (Diario-M4.059 PM-5)
60
5. Conclusiones
5.1. Conclusiones
Llegados a la meta de la peregrinación emprendida en este proceso de investigación,
llega el momento de realizar nuestra propia reflexión sobre el camino seguido con una
mirada de futuro.
La iniciativa de desarrollo profesional presentada cuenta con algunos elementos que
corroboran su incidencia en el grupo de maestros y su alcance transformativo del aula.
Se puede afirmar que el Conocimiento didáctico del contenido manifestado por los
maestros se ha enriquecido a lo largo de la intervención formativa en las dos dimensiones
estudiadas, CDCM y CDCA.
El hecho de que esta intervención se haya prolongado durante un año entero ha
permitido que los maestros tomen conciencia y reflexionen en aspectos del CDC que no
aparecen en los primeros momentos. En particular se observa un mayor uso del
vocabulario específico relacionándolo con el interés por la comprensión del significado
matemático que representa. Es notable en algunas maestras en el incremento de interés
por fundamentar epistemológicamente los contenidos que se trabajan en el aula. Se
percibe un despertar, no ajeno de dificultades, a una mayor conciencia de las
implicaciones a futuro de los contenidos que las maestras tratan en sus aulas y a la
gestión del error como oportunidad de aprendizaje.
Con respecto a la influencia de los instrumentos de formación, podemos afirmar con
Callejo, Valls y Llinares (2007) la gran incidencia del análisis didáctico de episodios de
aula para profundizar en aspectos claves del CDC. Se puede afinar este resultado
observando que el análisis de episodios del experto ayuda a generar procesos de
reflexión sobre aspectos epistemológicos, pero que tiene una mayor incidencia en la
reflexión para la práctica los episodios de los compañeros de claustro.
La reflexión conjunta entre los maestros y con la formadora ha resultado un instrumento
de gran importancia para el desarrollo del CDC caracterizado cuando ésta se centra en
temas concretos de alto contenido matemático o didáctico (Escudero, 2009). Para centrar
esos temas de discusión en la propia práctica y en un interés común, el Proyecto de
innovación en sentido numérico y cálculo mental ha tenido un papel relevante.
61
Así, la conjugación de análisis didáctico de episodios de aula en una reflexión conjunta
entre maestros del mismo ciclo y experto en investigación en didáctica de las
matemáticas sobre temas de interés común y la propia práctica, consideramos que ha
sido el motor principal del cambio.
Las clases modelo han jugado un papel importante, pero secundario; podríamos decir
que han servido de detonante para emprender suscitar reflexión sobre la práctica. En
concreto ha ayudado más a profundizar en aspectos del CDC para el aula.
Con todo, algunos aspectos podrían reconsiderarse en la iniciativa emprendida con la
finalidad de mejorarla y de que tenga continuidad en el tiempo. Dentro de estos
señalamos temas claves en el CDC que han quedado sin tocar como la evaluación o la
planificación; otro aspecto fundamental para el desarrollo profesional es la apropiación de
los instrumentos de reflexión y análisis didáctico, que juegan un papel clave en este
modelo pero que no se ven indicios que aseguren su continuidad fuera del contexto
formativo. Particularmente nos referimos a la reflexión individual, pues ha costado mucho
obtener información acerca de la misma ya que varios maestros se han mostrado
“perezosos” a la hora de escribir el diario; lo consideraban más un elemento de utilidad
para el equipo investigador que un instrumento formativo para su propio desarrollo.
Ante todo, éste es un ejemplo de formación permanente en la escuela con vistas al
desarrollo profesional del profesor propuesta para desenvolverse en un largo periodo de
tiempo y con un alto nivel de implicación tanto del profesorado, como de la escuela, como
del equipo investigador. Esta iniciativa permite que los maestros discutan sobre la
práctica en sus aulas con los compañeros de trabajo, pero también con personas
dedicadas a la investigación en didáctica de manera que todos comparten unos
conocimientos y experiencias de los que el resto aprende, generando así una cultura
pedagógica compartida.
5.2. Prospectiva
Este estudio realiza un análisis que no abarca todas las dimensiones del desarrollo
profesional; en particular, aunque la perspectiva sociocultural a estado inevitablemente
presente en los resultados de investigación expuestos, no se ha llegado a un nivel social
de análisis. Lo que Shulman y Shulman (2004) exponen a cerca del desarrollo profesional
en comunidades de aprendizaje (Fostering communities of teachers as learning) ofrece
62
5. Conclusiones
un marco muy interesante al que se invita a aplicar en el que el caso de esta intervención
formativa en futuras investigaciones.
Frente a estas conclusiones nos surgen algunas preguntas que no han quedado
resueltas en este estudio: ¿Es viable a nivel nacional o internacional una formación con
tan alta demanda del equipo investigador? Pues aparte de los días completos empleados
en la formación, esta iniciativa requiere continuidad a lo largo de varios años. ¿Cómo
poder llegar a varios centros?
Otra pregunta está relacionada con la continuidad de los procesos de reflexión sobre y
para la práctica, tanto a nivel individual como claustral. Dada la complejidad y saturación
de los horarios de los maestros de primaria, ¿se pueden asegurar unos tiempos más o
menos periódicos de reflexión conjunta sobre una práctica concreta y real de sus propias
aulas? La cooperación y el intercambio representan componentes fundamentales en la
práctica de los maestros y desarrollo profesional. Elementos sistémicos tales como la
formación inicial y permanente, ordenación del tiempo de trabajo y las herramientas de
los espacios, la documentación y la comunicación deben elaborarse de modo que
promuevan una cultura de la cooperación y el intercambio entre maestros en cada
escuela.
63
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67
Índice de figuras
Figura 2.1. Dominios del Conocimiento Matemático para la Enseñanza ................... 14
Figura 3.1. Proceso de la intervención a lo largo del curso 2011/12 ......................... 18
Figura 3.2. Fotograma: clase modelo ....................................................................... 19
Figura 3.3. Fotograma: reflexión sobre prácticas observadas ................................... 19
Figura 4.1. Red de categorías y códigos ................................................................... 40
Figura 4.2. Proceso de l análisis ............................................................................... 44
Figura 4.3. Red sistémica de la pregunta 8 C-CDC-M0_8 ........................................ 45
Figura 4.4. Red global referente al CDCM/SN .......................................................... 48
Figura 4.5. Red global referente al CDCM/OA .......................................................... 49
Figura 4.6. Red global referente al CDCM/ECM ....................................................... 50
Figura 4.7. Red global referente al CDCA/AM .......................................................... 51
Figura 4.8. Red global referente al CDCA/Co ........................................................... 52
Figura 4.9. Red global referente al CDCA/PF ........................................................... 53
Figura 4.10. Redes por preguntas sobre GE en M0 y M4 ............................................ 54
Figura 4.11. Red global referente al CDCA/GE y GA .................................................. 54
Índice de tablas
Tabla 3.1.
Planificación del Proyecto de Innovación ................................................ 20
Tabla 3.2.
Perfil de los maestros participantes ........................................................ 24
Tabla 3.3.
Instrumentos de recogida de datos ......................................................... 26
Tabla 3.4.
Transcripción parcial del episodio-1, primera parte.................................. 29
Tabla 3.5.
Transcripción parcial del episodio-1, segunda parte ................................ 29
Tabla 3.6.
Transcripción parcial de la entrevista E-CM-M2b, relativa al episodio-2 .. 31
Tabla 4.1.
Datos recogidos ...................................................................................... 38
Tabla 4.2.
Influencia de los instrumentos de la formación en el CDCM .................... 56
Tabla 4.3.
Influencia de los instrumentos de la formación en el CDCA..................... 57
70
Anexos
ANEXO 1.
Cuestionario sobre el conocimiento didáctico del contenido matemático ... 3
ANEXO 2.
Cuestionario sobre la comunidad y la propia práctica ................................ 6
ANEXO 3.
Pauta de observación sesión de formación................................................ 7
ANEXO 4.
Guión de reflexión 1.ª sesión ..................................................................... 8
ANEXO 5.
Diario del profesor ..................................................................................... 8
ANEXO 6.
Guión de reflexión 2.ª sesión ..................................................................... 9
ANEXO 7.
Esquema de la entrevista realizada a dos maestras ................................. 12
ANEXO 8.
Guión de reflexión 3.ª sesión ................................................................... 13
ANEXO 9.
Carta a las familias de los alumnos de 3.º sobre la multiplicación............ 16
ANEXO 10. Cuestionario final ..................................................................................... 17
ANEXO 11. Póster preparado por MDL para presentar el Proyecto ............................. 20
ANEXO 12. Red sistémica por preguntas (C-CDC-M0_3, 4, 5, 6)............................... 21
ANEXO 13. Red sistémica por preguntas (C-Final-M4_2)........................................... 22
2
Anexos
ANEXO 1.
Cuestionario sobre el conocimiento didáctico del contenido matemático
NOM: ____________________________________ CICLE: ___________
1. Valora de l’1 a 5, la importància que en l’actualitat doneu el professor del cicle a
l’ús habitual a l’aula de matemàtica dels diferents tipus de càlculs: 1 totalment en
desacord, 2 desacord, 3 indiferent, 4 d’acord, 5 totalment d’acord.
Tipus de càlcul
1
2
Càlcul escrit: treball sistemàtic dels algoritmes escrits de les operacions aritmètiques.
Càlcul mental: és el càlcul de cap o de memòria (sense cap ajuda externa) i amb dades
exactes.
Càlcul estimat: es quan els nombres que s’operen són aproximacions subjectives per obtenir
una resposta raonablement propera del resultat real.
Càlcul abreviat: és l’escrit amb dades exactes però amb mètodes alternatius o adaptacions
particulars dels algoritmes estàndards que estalvien o simplifiquen tasques.
Càlcul aproximat: es quan els nombres que s’operen són aproximacions objectives, per
restriccions obligades o limitacions derivades d’una mesura o acotació.
2. Valora de l’1 al 5 les resposta dels següents alumnes. I justifica com a mestre la teva
valoració més alta i la valoració més baixa.
Valoració més alta
Valoració més baixa
Per què?
3
3
4
5
3. Observa els diferents mètodes de càlcul que han fet servir els alumnes per
realitzar els següents productes. Podries descriure en què es basen els alumnes o
quins coneixement de numeració fan servir implícitament?
Mètode 1:
Mètode 2:
Mètode 3:
Mètode 4:
4. Consideres que alguns dels mètodes anteriors són fàcils per explicar oralment,
però difícil de escriure’ls? Quins i per què?
5. Consideres que alguns dels mètodes anteriors són fàcils d’escriure a la pissarra,
però difícils d’explicar oralment? Quins i per què?
6. Creus que els nombres particulars seleccionats pels càlculs de la taula anterior
poden influenciar l’ús de determinats mètodes de càlcul? Per què?
4
Anexos
7. Analitza la resposta escrita d’alumnes de primària als següents algoritmes estàndards:
CAS 1:
CAS 2:
Què li ha portat a aquest error?
Com ha de respondre el professor?
Com podem utilitzar les respostes
dels per ajudar-los a millorar la
seva comprensió ?
8. Alguns alumnes ho fan d'una manera, i alguns d’altres maneres:
Comenta i explica que hi ha darrera
de cada mètode?
Creus
que
es
pot
usar
una
calculadora?
Quina relació hi ha amb 7 x 8 = 3 x 8
+4x8
9. En quina de les dues situacions creus que els teus alumnes tindrien més dificultat per
donar una resposta correcta? I per què?
Situació 1
Situació 2
Quin canvi em donen a la pastisseria si pago 63
cèntims del pa amb una moneda d’1 euro?
Quants cèntims tinc en 2 euros?
Gràcies per la teva col·laboració!
5
ANEXO 2.
Cuestionario sobre la comunidad y la propia práctica
NOM: ____________________________________ CICLE: ___________
1. Amb una frase descriu quin paper creus que haurien de jugar en el teu creixement
professional:
a. Els companys de l’escola:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
b. L’Equip directiu:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
c. L’Administració educativa:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
d. Els alumnes:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
e. L’Entorn social:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
f. La recerca en didàctica de la matemàtica:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. Com creus que hauria de ser un curs de formació per tal que t’ajudi a millorar les teves
classes de matemàtiques?
3. Com valores les teves classes de matemàtiques:
a. Quins aspectes destacaries positivament?
b. Quins aspectes necessitarien millores?
4. En què et fitxes per saber que una classe de matemàtiques funciona correctament?
Gràcies per la teva col·laboració!
6
Anexos
ANEXO 3.
Observación de la primera sesión de formación
FECHA: _________________
1. Aspectos motivacionales del profesorado (clima de intercambio en la sesión):
2. Participación del profesorado durante la sesión:
3. Foco de las intervenciones:
Conocimiento
matemático
Aprendizaje
Gestión
de
las del aula
matemáticas
Enseñanza de Infraestructura
las
matemáticas
Otros
4. Creencias de los profesores sobre la influencia de la formación en generar cambios en
su práctica:
5. Creencias de los profesores sobre la viabilidad de gestionar el proyecto de innovación y
generar cambios en la escuela:
Observaciones:
7
ANEXO 4.
uión de reflexión 1.ª sesión
PROJECTE DE CÀLCUL MENTAL I ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ
GUIÓ D’OBSERVACIÓ DE LES CLASSES MODEL
NOM: __________________________ CICLE:___________
CURS:______
1. Què han fet els alumnes que pugui ser significatiu per al seu aprenentatge?
2. Per què ha passat?
PROJECTE DE CÀLCUL MENTAL I ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ
GUIÓ DE REFLEXIÓ DE LES CLASSES MODEL
NOM: ____________________________ CICLE:__________
CURS:_____
1. Anomena les diferents estratègies de resolució que utilitzen els alumnes durant la sessió?
2. De quina manera gestiona la professora l’aprenentatge dels alumnes a l’aula de
matemàtica?
ANEXO 5.
Diario del profesor
PROJECTE DE CÀLCUL MENTAL I ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ
DIARI DEL PROFESSORAT
NOM: ____________________________ CICLE:__________
•
CURS:_____
Què he après avui que em pot servir per a millorar la meva pràctica docent?
8
Anexos
ANEXO 6.
Guión de reflexión 2.ª sesión
Seminari de reflexió 2: Observem l’episodi 1 i reflexionen al voltant d’aquestes preguntes.
1. Què destacaries d’aquest episodi?
2. Què ressaltes com a important d’aquest episodi pel
desenvolupament del pensament numèric dels teus
alumnes?
3. Què canviaries de l’episodi i com es pot millorar?
4. Quines dificultats tindries tu com a mestre per gestionar
aquest episodi i com consideres que les pots superar?
9
Seminari de reflexió 2: Observem l’episodi 2 i reflexionen al voltant d’aquestes preguntes.
1. Quines semblances trobes entre l’episodi 1 i el 2?
2. Quines diferències trobes entre l’episodi 1 i el 2?
3. Què t’aporta a tu com a mestre aquest tipus de discussions
o reflexions per a millorar la teva pràctica a l’aula?
4. Què us aporta com a equip docent aquestes reflexions en
les reunions de cicle o en la programació amb la teva
paral·lela i quins problemes poden emergir?
10
Anexos
ANEXO 7.
Esquema de la entrevista realizada a dos maestras
Indicador
Pregunta
Subpreguntas
Reflexión
Éste es un episodio de tu clase del otro día que me ha gustado especialmente,
¿Estás de acuerdo con que se proyecte en la próxima sesión de
sobre/para la
a) ¿Por qué crees que lo he escogido?
b) ¿En qué te ayuda analizar este episodio para tu práctica en el aula?
c) ¿Qué crees que les puede aportar a tus compañeros?
reflexión?
práctica
Conocimiento
didáctico del
contenido
Posicionarse
en
un
continuo
Reconocimie
a) ¿Qué piensas de la forma de explicar las operaciones que propone el
proyecto?
b) ¿Qué otros aspectos de la forma de dar las clases de la formadora te
llaman la atención?
c) ¿Ves posibles aplicaciones para otros temas de matemáticas?
d) El primer día que se propone una estrategia cuesta mucho entenderla,
¿crees que los alumnos van asimilándolas?
e) ¿Ves diferencias en los alumnos/maestros con respecto a otros años / a
medida que avanza el curso?
a) ¿Qué piensas de que se propongan estrategias que involucren conceptos
de otros cursos?
b) Hay ideas en matemáticas que pueden ser complicadas, como la división.
¿Cómo crees que influye el hecho de que se trabaje problemas de reparto
en 1.º y 2.º?
a) ¿Habías participado en otro tipo de formación permanente anteriormente?
b) ¿Cómo definirías este programa de formación?
nto del aporte
externo
c) ¿En qué crees que te puede ayudar a la hora de preparar y dar clase?
(CMod / Ref.)
Participación
en
comunidad
la
Esta formación hace que los maestros del ciclo os planteéis cuestiones acerca
de la manera de dar los contenidos en las clases,
a) ¿Qué implicaciones en el aprendizaje de los alumnos crees que puede
tener el hecho de que se hable de esto en el claustro?
b) ¿Cómo crees que influye en la relación con los compañeros?
c) ¿Y en relación con la escuela?
11
¿Qué propones como guión que ayude a la reflexión del resto de
maestros para la próxima sesión de manera? (qué destacarías)
a/b1. ¿Hay algo en esta forma de explicar de la formadora que te
gustaría incorporar (o que estás incorporando) a tus clases?
a/b2. ¿Por qué te gusta / disgusta?
c1. ¿Y de otras materias que no sean matemáticas?
e1. ¿Argumentación, problemas en contexto, rapidez?
a. (uso de paréntesis / propiedades de las operaciones / uso de
los enteros)
b. ¿Se te ocurren otros ejemplos de ideas complicadas de cursos
superiores que se puedan trabajar en tu curso?
a1. ¿qué puntos te parecen positivos/negativos en comparación?
b1. ¿Qué te aporta la observación de las clases de la formadora?
b2. ¿Y la reflexión con los compañeros?
b3. ¿Y visionar episodios seleccionados de clases?
c1. ¿En qué momento te influye más la formación: planificación,
gestión, evaluación?
¿Qué crees que influye para que se den o no estos puntos que
acabas de señalar?
ANEXO 8.
Guión de reflexión 3.ª sesión
Seminari de reflexió 3: Observem l’episodi 1 i reflexionen al voltant d’aquestes preguntes.
1. Què destacaries d’aquest episodi?
2. Què ressaltes com a important d’aquest episodi pel
desenvolupament del pensament numèric dels teus alumnes?
3. Què canviaries de l’episodi i com es pot millorar?
4. Quines dificultats tindries tu com a mestre per gestionar
aquest episodi i com consideres que les pots superar?
12
Anexos
Seminari de reflexió 3: Observem l’episodi 2 i reflexionen al voltant d’aquestes preguntes.
5. Què destacaries d’aquest episodi?
6. Què ressaltes com a important d’aquest episodi pel
desenvolupament del pensament numèric dels teus alumnes?
7. Què canviaries de l’episodi i com es pot millorar?
8. Quines dificultats tindries tu com a mestre per gestionar
aquest episodi i com consideres que les pots superar?
13
9. Al visualitzar per segon cop el episodi 2, intenta reflexionar
sobre els següents aspectes:
a. Relació entre l’enunciat verbal d’un problema i l’operació
necessària per resoldre’l (Llenguatge quotidià vs. Llenguatge
matemàtic)
b. Diferents significats del llenguatge matemàtic per a la
resolució del problema:
10. Redacta un enunciat d’un problema per:
4 + _____= 10
4 + _____= 10
10 – 4 = _____
10 – 6 = _____
11. Redacta un enunciat d’un problema per:
12. Redacta un enunciat d’un problema additiu per:
10 – 4 = _____
6
14
Anexos
ANEXO 9.
Cuestionario final
1. Analitza la resposta escrita d’alumnes de primària als següents algoritmes
estàndards:
CAS 1:
CAS 2:
Què li ha portat a
aquest error?
Com ha de respondre
el professor?
Com podem utilitzar
aquestes respostes dels
alumnes per ajudar-los
a millorar la seva
comprensió ?
2. Quines estratègies de càlcul mental proposaries als teus alumnes per resoldre
aquestes operacions? T’influencien els números per escollir l’estratègia?
7 x 14
7 x 15
7 x 17
7 x 19
15
3. Senyala alguns exemples de canvis que hagis incorporat a la teva aula de càlcul i de
matemàtiques durant aquest curs com a resultat de la formació realitzada:
4. Com valores les teves classes de matemàtiques:
c. Quins aspectes destacaries positivament?
d. Quins aspectes necessitarien millores?
5. Senyala alguns temes/conceptes de matemàtiques que tu treballes i que estiguin
relacionats amb les matemàtiques d’altres cursos o amb d’altres matèries.
6. Indica uns quants aspectes en els que penses que el teus companys de l’escola et
podrien ajudar a aprendre i a millorar la teva pràctica a l’aula (desenvolupament
professional).
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_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
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16
Anexos
7. Quin paper creus que haurien de jugar en el teu creixement professional:
g. L’Equip directiu:
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h. La recerca en didàctica de la matemàtica:
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8. T`han ajudat les reflexions sobre les pràctiques a l’aula amb els teus companys?
Podries concretar-ho amb exemples?
9. Penses que seria bo, útil i/o viable continuar-les?
Gràcies per la teva col·laboració!
17