ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO TRIÁNGULOS Ecuaciones incompletas

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
TRIÁNGULOS
Ecuaciones incompletas
Una ecuación simplificada es aquella en donde no hay términos semejantes.
Una ecuación con una variable es de segundo grado si, en su forma simplificada, el exponente mayor de la
variable es 2 por ej:
1) La ecuación x2=36 es de segundo grado
2) La ecuación 2x2−6x+3=3 presenta términos semejantes; pero si se realizan operaciones, se obtiene
2x2−6x=0, que es una ecuación de segundo grado
3) Como la ecuación x(x−1)=3x−3 no esta simplificada, resulta difícil de terminar si es de segundo grado. Si
se efectúa la operación indicada por el paréntesis se pasan todos los términos semejantes, se obtiene lo
siguiente x2−x=3x−3 x2−x−3x+3=0 x2−4x+3=0, la ecuación final es una ecuación de segundo grado.
Una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 es una ecuación de segundo grado con variable x.
Si b=0, la ecuación es incompleta. Por ej:
Cuando b=0 Cuando c=0
3x2−12=0 3x2−5x=0
x2−36=0 x2−6x=0
x2−2=0 −7x2+42x=0
ESQUEMAS DE SOLUCIÓN DE LA FORMA AX2+C=0
ax2+c=0
x2=c/a
x1= "c/a x2= −"c/a
SOLUCIONES
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2+bx=0
(CUANDO C=0)
Se resuelve de la siguiente manera
1.−Se saca x como factor común:
1
3x−5x=0
x(3x−5)=0
La expresión x(3x−5) es un producto de dos factores (x y 3x−5) este producto es igual a 0 solamente si un
factor vale 0.
Es decir x(3x−5) es 0 solamente si x=0 ó (3x−5)=0.Entonces, x=0 es una solución. Otra solución se obtiene si
(3−5) es igual que 0; en este caso, el valor de x se encuentra despejando esta variable 3x−5=0 3x=5 x=5/3.
Las soluciones de la ecuación 3x−5x=0 son x1=0 y x2=5/3
Comprobación
X=0
3x2−5x=0
3+(0)2−(0)=0
0=0
ESQUEMAS DE SOLUCIÓN DE LA FORMA AX2−BX=0
ax2+bx=0
x(ax+b)=o
x1= 0 ax+b= 0
x1=0 x2= −b/a
SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN
En temas anteriores se estudiaron los casos de producto de binomios: conjugados, elevados al cuadrado y con
término común.
Todos ellos dan como resultado polinomios de segundo grado.
(x−d)(x+d)=x2−d2 Conjugados
(x−d)2=x2−2dx+d2 Binomio al cuadrado
(x+d)=x2+2dx+d2 Binomio al cuadrado
(x+d)(x+e)=x2+(d+e)x+de Término común
También se estudio el proceso inverso:
Expresar una ecuación de la forma x2+bx+c como el producto de 2 binomios; esta transformación recibe el
nombre de factorización.
2
Un método para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado consiste en factorizarla. Por ej:
X2−3x+2=(x+2)(x−1)=0
(x−2)(x−1)=0 (x−2)(x−1)=0
x−2=0/(x−1) (x−1)=0/(x−2)
x−2=0 x−1=0
x1=2 x2=1
Una vez que la ecuación esta factorizada el problema de encontrar sus soluciones equivale a encontrar las
soluciones (x−2) por (x−1) solo es cero si (x−2)=0 o (x−1)=0. Por lo tanto, las ecuaciones de segundo grado
son las soluciones de esta ecuación. (x2−3x+2=0)
Resolver la siguiente ecuación por factorización
X2−x−2=0
X2−x−2=(x−2)(x+1)=0
(x−2)(x+1)=0 (x−2)(x+1)=0
(x−2)=0/(x+1) (x−1)=0/(x−2)
x=2+0 x=0−1
x1=2 x2=−1
Si la ecuación se factoriza como un binomio al cuadrado [a2+2ab+b2=(a+b)2] solo hay una solución. Por ej:
X2−12x+36=0 (x−6)2
"x2=x
"36=6
"(x−6)2="0
x−6=0
x=6
FÓRMULA GENERAL
Solución por medio de la fórmula general
La fórmula general de una ecuación de segundo grado con una incógnita es ax2+bx+c=0.
A continuación se resuelve dicha ecuación.
3
• El término independiente se pasa al segundo miembro.
ax2+bx=−c
• La igualdad se divide entre a.
X2+b/a(x)= −c/a
• Si b/a (x) se expresa como 2(x)(b/2a) se observa que sumando (b/2a)2 se completa un trinomio cuadrado
perfecto en el primer miembro:
X2+2x(b/2a)+(b/2a)2= −c/a+(b/2a)2
X2+2x(b/2a)+(b/2a)2= −c/a+b2/4a2
• Se factoriza el primer miembro de la igualdad y se desarrollan las fracciones algebraicas en el segundo
miembro.
(x+b/2a)2=b2−4ac/4a2
• Se extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad.
"(x+b/2a=_+"b2−4ac/4a2 x+b/2a=_+ "b2−4ac/4a2
x= −b/2a_+"b2−4ac/4a2 x= −b/2a_+"b2−4ac/"4a2
x= −b/2a_+"b2−4ac/2a x= −b_+"b2−4ac/2a
TRIÁNGULOS
Elementos de un triángulo
Un triángulo es un polígono de tres lados. En el se distinguen los siguientes elementos:
Vértices: A, B, C
Lados: a, b, c
La letra minúscula designa el lado opuesto del vértice con la letra mayúscula correspondiente.
Ángulos interiores: =alfa, = beta y =gama.
Ángulos exteriores: , , .
Por sus lados, los triángulos se clasifican así:
Equilátero: Tiene 3 lados iguales.
Isósceles: Tiene 2 lados iguales.
Escaleno: Tiene 3 lados diferentes.
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Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican así:
Rectángulo: Un ángulo es recto.
Acutángulo: Tres ángulos interiores agudos.
Obtusángulo: Un ángulo interior obtuso.
Un triángulo es equilátero si sus tres lados son iguales.
CONGRUENCIA
Dos figuras son congruentes si al superponerse coinciden todos sus puntos. Los lados y ángulos que coinciden
se llaman correspondientes; entonces dos figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño.
Dos triángulos son congruentes si los tres lados y los tres ángulos correspondientes son congruentes.
Sin embargo, dados dos triángulos no es necesario conocer las medidas de los seis elementos de cada figura
para determinar su congruencia; basta conocer los datos de tres elementos bien elegidos.
Estos elementos se definen en los siguientes criterios.
Dos triángulos son congruentes si:
• Los tres lados correspondientes resultan congruentes.
• Dos lados correspondientes y el ángulo que forma son congruentes.
• Dos ángulos correspondientes y un lado común son congruentes.
Propiedades de los ángulos
En todos los triángulos, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos, de lo contrario, los lados
menores no podrían unirse para formar un vértice.
En cualquier triángulo, la suma de los ángulos interiores es de 180º. Esto se demuestra a continuación:
• Si el triángulo A, B, C se traza una línea paralela al lado AB que pase por el vértice C; y se forman los
ángulos , .
• El ángulo alfa es igual que el ángulo alfa prima , porque son alternos internos entre dos paralelas y una
transversal.
• El ángulo beta es igual que el ángulo beta prima pues también son alternos internos.
• Los ángulos alfa prima , beta prima y gama suman 180º porque están sobre una línea recta; por las
igualdades de los dos incisos anteriores, alfa , beta y gama suman 180º.
C
AB
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Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.
• Se localiza el punto medio del lado desigual A, B y se denomina R. Se traza el segmento que une el punto
medio con R con el vértice opuesto.
• El triángulo isósceles queda dividido en dos triángulos que son congruentes porque los tres lados
correspondientes son congruentes. El lado AC es igual que BC por ser lados iguales de un triángulo
isósceles; el lado CR es común a los dos triángulos y el lado AR es igual que BR porque R es el punto
medio del segmento AB
• Por el criterio de congruencia número uno los triángulos ARC y BRC son congruentes y por lo tanto sus
tres ángulos son iguales. Entonces en particular sus ángulos son iguales.
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