PRÀCTICA 2.

PRÀCTICA 2.
1.- En un estudio sobre los préstamos realizados por dos entidades financieras se toma una
muestra aleatoria simple de seis préstamos de la primera entidad, observando que el importe
medio es de 9.972 euros y una desviación típica de 7.470 euros, y otra muestra aleatoria
simple, independiente de la anterior, de nueve préstamos, tal que su importe medio es de 2.098
euros y su desviación típica de 10.834 euros. Admitiendo que las dos distribuciones de
préstamos son normales con la misma varianza, obtener al nivel del 95% un intervalo de
confianza para la diferencia entre sus medias poblacionales.
Disposem de dos mostres de sis préstecs de dos entitats financeres diferents de les quals
coneguem la mitja(X) i la desviació típica (σ).
També sabem que les distribucions dels dos préstecs són normals així com el nivell de
confiança (95%).
Volem conèixer un interval de confiança per a la diferència entre les mitges poblacionals.
Apliquem aquesta fórmula, ja que sabem que ambdues distribucions de préstecs tenen la
mateixa variança (malgrat que desconeguda):
Nivell de confiança → 0,95 = 1 – ε → ε/2 = 0,025
P(Z>Zε/2) = 0,025 → D’ací obtenim la probabilitat per l’esquerre
P(Z<Zε/2) = 1 - 0,025 = 0,975
Per obtenir tn1+n2-2, ε/2 emprem el matlab, concretament la funció tinv.
a1= tinv(0,975,13) = 2,1604
a2 = tinv(0,975,13) = 2,1604
Les altres dades necessàries per al càlcul de la fórmula són facilitades per l’enunciat.
n1 = 6
x1 = 9,972
s1 = 7470
n2 = 9
x2 = 2,098
s2 = 10834
Aleshores, substituint en la formula obtenim el interval demanat pel problema:
[7874,15372.41369]
2.- El precio de un determinado artículo en los comercios de una ciudad sigue una
distribución normal. Se toma una muestra aleatoria simple de ocho comercios y se observa el
precio de dicho artículo, obteniendo las siguientes observaciones: (132, 125, 130, 139, 126,
138, 124, 140) . Obtened al nivel de confianza del 95% un intervalo de confianza para la
varianza poblacional.
En aquest problema tenim una mostra de 8 tendes de les quals obtenim les següents dades del
cost d’un determinat producte:
(132, 125, 130, 139, 126, 138, 124, 140)
Amb aquestes dades podem calcular la mitja de la mostra (x) la desviació típica (s) i la variança
2
(s ).
s2= cov (datos,1)
s = sqrt(s2)
Emprem la següent formula, ja que volem obtindre un interval de confiança per a la variança
poblacional malgrat que no coneguem la mitja de la població.
També, sabem que el nivell de confiança és 0,05 podem calcular ε.
1 – ε = 0,95 → ε = 0,05 → ε/2 = 0,025
Aleshores, també podem obtindre la probabilitat per l’esquerre l’esquerre:
P(Z<Zε/2) = 1 - 0,025 = 0,975
a = chi2inv (0,975,7) = 16.0128
I per la dreta:
P(Z>Zε/2) = 0,025
b = chi2inv (0,025,7) = 1.6899
A partir de les dades, també podem calcular:
s2 = cov(dades,1) = 37.6875 (variança)
s= sqrt(s2) = 6.1390 (desviació típca)
I substituint en la fórmula anterior, obtenim el interval de confiança per a la variança poblacional
demanat:
[16.475 , 156.111]
3.- Los científicos han citado al benceno, un disolvente químico de uso común en la síntesis
de plásticos, como un posible agente causante de cáncer. Ciertos estudios han demostrado
que las personas que trabajan con benceno durante más de 5 años tienen una incidencia de
leucemia 20 veces mayor que la de la población en general. En consecuencia, el gobierno
federal estadounidense ha bajado el nivel máximo permisible de benceno en el lugar de trabajo
de 10 ppm a 1 ppm. Suponga que una fábrica de artículos de acero, que expone a sus
trabajadores diariamente a benceno, está siendo investigada por la Administración de
Seguridad y Salud Ocupacionales (OSHA) de EEUU. Se examinan 20 muestras de aire,
tomadas durante un periodo de un mes, para determinar el contenido de benceno. Los análisis
produjeron las siguientes estadísticas resumidas: y = 2,1 ppm; s = 1,7 ppm ¿La fábrica de
artículos de acero está violando las nuevas normas del gobierno?.
Pruebe la hipótesis de que el nivel medio de benceno en la planta es mayor que 1 ppm,
utilizando un nivel de significación del 5%?
Ens plantegem que μo=1 (Hipòtesi nul·la), i el problema ens diu que la mitja ha de ser major
que 1 per que no es trobe dins de les lleis vigents, així que la hipòtesi alternativa serà (μ >μ o)
Sabem que el nivell de significació és → α = 0,05, per tant 1 – α = 0,95
Del enunciat sabem que : x = 2,1
sc = 1,7
Com que no coneguem Ϭ, emprem la següent fórmula per al càlcul de Z.
Després comprovarem que es trobe dins de el interval que ens donarà la hipòtesi alternativa
(μ >μo) per tal d’acceptar o no la hipòtesi nul·la.

Càlcul de Z.(aplicant la fórmula)
Z = 2,89.

Com que μ >μo apliquem la unilateral dreta :
Per al càlcul de tn-1, ε/2 emprem una funció predefinida en el matlab:
a = tinv(0,95, 19) = 1,7291
El interval per tant, és (- ∞ , 1.7291).
Com que z = 2,89 està fora del interval, descartem la hipòtesi nul·la, per tant, s’estan
violant les lleis vigents
4.- Los bifenilos policlorados (PCB) que se emplean en la fabricación de transformadores y
condensadores eléctricos grandes son contaminantes extremadamente peligrosos cuando se
liberan al ambiente. La Agencia de Protección Ambiental (EPA) de EEUU está experimentando
con un dispositivo nuevo que mide la concentración de PCB en peces. A fin de comprobar la
precisión del nuevo instrumento, se tomaron siete lecturas de PCB con la misma muestra de
peces. Los datos (en partes por millón) son: 6,2 5,8 5,7 6,3 5,9 5,8 6,0 Suponga que la EPA
necesita un instrumento que produzca lecturas de PCB con una varianza menos que 0,1. ¿El
nuevo instrumento cumple con las especificaciones de la EPA? Pruebe con a = 0,05.
Disposem de les dades d’una mostra de 7 lectures (n = 7).
2
Suposem una hipòtesi nul·la la qual tinga Ϭ o = 0,1 → Ϭo = 0,3162
Com en l’exercici anterior, calculem el valor de Z mitjançant la formula següent, ja que
desconeguem el valor de la mitja poblacional.
Després calcularem el interval quan la hipòtesi alternativa és: Ϭ
problema.)

2
o
< Ϭ ( conforme diu el
Per al càlcul de Z:
Emprem les funcions predefinides del matlab per al càlcul de la mitja i la variança a
partir de les dades facilitades pel problema:
2
Sc = cov(dades,1) = 0,0424
X = mean(dades) = 5,9571
Z= 2,5459

El interval imposant Ϭ
2
o
2
< Ϭ és :
Com que α = 0,05, calculem Xn-1, α mitjançant una funció predefinida del matlab:
c = chi2inv(0,05,6) = 1,6354
Aleshores el interval que estem buscant és: [1.6354, + ∞]
Com que Z està dins de el interval, acceptem la hipòtesi nul·la, es a dir, el nou instrument
2
no compleix les especificacions de la EPA, ja que Ϭ o = 0,1