Matemáticas [1º ciclo ESO] Índice Números enteros 3

Matemáticas
[1º ciclo ESO]
Índice
Números enteros 3
Divisibilidad 5
Potenciación y radicación 7
Números decimales 10
Números racionales 11
Unidades de medida 13
Magnitudes y proporciones 15
Álgebra 18
1
Geometría del plano 21
Ejercicios complementarios 31Números enteros
Nº enteros= nº positivos, nº negativos y 0.
1. Operaciones y sus propiedades
Operación
Realización
−Si tienen el mismo signo se
suman.
Suma
−Asociativa (sumar varios sumandos)
−Si tienen distinto signo se deja el
−Elemento neutro (sumar el 0)
signo con mayor valor y se le reta
el de menor
−Elemento opuesto (2 números sumados
dan 0)
−Asociativa (restar varios sumandos)
Se deja el signo del número con
mayor valor, y se restan.
Resta
Esta operación forma parte de la
suma
−Número de signos negativos
impar=resultado negativo
Multiplicación
Propiedades
−Conmutativa (cambiar el orden de
sumandos)
−Número de signos negativos
par=resultado positivo
−Asociativa (restar varios sumandos)
−Elemento neutro (restar el 0)
−Elemento opuesto (2 números restados dan
0)
−Conmutativa (cambiar orden de factores)
−Asociativa (sustituir 2 factores por su
producto)
−Elemento neutro (multiplicar por 1)
*Después se realiza la
multiplicación
−Número de signos negativos
impar=resultado negativo
División
−Elemento absorbente (multiplicar por 0)
−Número de signos negativos
par=resultado positivo
*Después se realiza la división
2. Propiedades que necesitan a la vez el producto y la suma
Distributiva
Pasamos de un producto a una suma.
Hay que multiplicar el número exterior al paréntesis por cada uno de los de dentro
Sacar factor común
2
Pasamos de una suma a un producto.
En cada sumando hay un producto de 2 factores, de los cuales uno de ellos se repite en todos los sumandos.
Hay que meter todos los números dentro de un paréntesis excepto uno (el factor que se repite) que lo
dejaremos fuera multiplicando al paréntesis.
3. Valor absoluto
Resultado de quitarle el signo al nº que me den
−2 −> 2 +3 −> 3
4. Nº opuestos
Los que tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo
Op. +8= −8 Op. −3= +3
5. Comparación y orden
Nº positivos> 0> nº negativos
4>3>2>1>0>−1>−2>−3
6. Jerarquía en las operaciones
1º Paréntesis
2º Potencias y raíces
3º Productos y divisiones
4º Sumas y restas
Divisibilidad
Múltiplo: Número que se obtiene multiplicando un número por otro
Divisor: Son los números entre los que podemos dividir un número siendo la división exacta
Un número A es divisible por otro B cuando la división de A para B da exacto.
Si A es divisible por B entonces; A es múltiplo de B y B es divisor de A.
1. Reglas de divisibilidad
Regla
Del 2
Del 3
Del 5
Del 7
Consiste en
Si la cifra acaba en 0 ó cifra par
Si la suma de su valor absoluto da 3 ó múltiplo de 3
Si la cifra acaba en 0 ó 5
Realizar la división
3
Del 11
Sumamos las cifras de lugares pares; sumamos las cifras de lugares impares; las
restamos y tiene que dar 11 ó un número múltiplo de este.
2. Números primos
Son aquellos que sólo son divisibles por si mismo, su opuesto, 1 y −1.
2.1 Números primos hasta el 100
1−2−3−5−7−11−13−17−19−23−29−31−37−41−43−47−53−59−61−67−71−73−79−83−89−97
2.2 Clasificar en primo o compuesto
1º No interviene el signo en su clasificación
2º Comprobamos si es divisible por los números primos
3º Si no es divisible y el cociente de la última división sea igual o menor al divisor será primo, si lo es será
compuesto.
3. Descomposición en factores primos
Es hallar todos los números primos cuyo producto es dicho número.
1º A la izquierda se escribe el número, a la derecha el primer número primo por el que es divisible. A la
izquierda y debajo el cociente obtenido.
2º No se pasa a dividir por otro número primo hasta que no se pueda seguir dividiendo por el anterior.
3º Continuar las divisiones hasta que el cociente sea 1
4. Máximo común divisor (m.c.d.)
Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números
1º No interviene el signo
2º Descomponer en factores primos los números
3º Multiplicamos los factores comunes en su menor exponente
5. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números
1º No intervienen los signos
2º Descomponer en factores primos los números
3º Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
Potenciación y radicación
4
Potenciación
Potencia: Producto de factores iguales
1. Partes
Base: Número a multiplicar
Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base por si misma
Exponente
Base
2. Resultado según su base o exponente.
2.1. Según el signo de la base
Si la base es positiva, dará positivo. Si la base es negativa, miramos el exponente, si es par dará positivo, si es
impar dará negativo.
Si el exponente "n" es par
Si el exponente "n" es impar
2.2. Según el signo del exponente
Si el exponente es positivo, no hay que hacer nada. Pero si el exponente es negativo hay que invertir la base
3. Potencias especiales
3.1 Potencia de base 0
Todas estas dan como resultado 0
3.2 Potencia de exponente 0
Todas estas dan como resultado 1; excepto cero elevado a cero, que da cero
3.3 Potencia de base 1
Dan siempre 1
3.4. Potencias con la unidad seguida de ceros
Da la unidad seguida de tantos ceros como el número que resulte de multiplicar el exponente por el número de
ceros.
4. Operaciones con potencias
4.1. Potencias de la misma base
5
Producto de potencias con la misma base
División de potencias con la misma base
Potencia de otra potencia
Raíz de una potencia
4.2. Potencias de igual exponente
Producto de potencias con igual exponente
División de potencias con igual exponente
Radicación
Operación contraria a la potenciación
1. Partes
Radical
v 25 = 5 Raíz
Exponente Radicando
2. Raíz cuadrada
2.1. Tipos de raíces cuadradas
Exacta: la raíz al cuadrado da justo el radicando
Entera: la raíz al cuadrado no da justo el radicando
Raíz por defecto: Se busca el número más cercano sin que su cuadrado sea mayor al radicando. El resto por
defecto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz.
Raíz por exceso: Es la raíz por defecto a la que le sumamos la unidad. El resto por exceso es la diferencia
entre el cuadrado de la raíz y el radicando
2.2 Realización de una raíz cuadrada
1º Dividimos los números del radicando en 2 cifras de derecha a izquierda
v2,38,57
2º Buscamos un número cuyo cuadrado se acerque o sea igual al de la primera pareja. Le restamos el cuadrado
a esta
v2,38,57 1
−1
6
1
3º Bajamos la siguiente cifra. En la raíz hay que poner el doble
v2,38,57 1
−1 2
138
4º Buscamos un número para hacer pareja con el 2. Este nuevo número será multiplicado por el nuevo número
(5). Se añadirá a la raíz de arriba. Este tiene que dar menos o lo mismo que 138. Los restamos, bajamos la
siguiente pareja y repetimos el proceso.
v2,38,57 154
−1 25 x 5= 125
138 304 x 4=1216
−125
01357 Raíz= 154
−1216 Resto= 141
0141
2.3. Prueba de la raíz cuadrada
Raíz al cuadrado + resto =radicando
3. Sacar factor
1º Descompongo el radicando en factores primos
V
2º Para poder sacar los factores tienen que ser mayor que le de la raíz. Los factores mayores se sacan; para eso
se divide su exponente para el de la raíz. Se saca la potencia con la misma base y el nuevo exponente.
V 784 =
Números decimales
Tienen una parte entera y una decimal. 8,5 7,829
1. Operaciones
Operación
Suma
Resta
Realización
Se colocan ambos números alineados por las unidades y se suman
Se colocan ambos números alineados por las unidades y se restan
7
Multiplicación
División
Se realiza la multiplicación, se le añaden al resultado tantas cifras
decimales como tienen los 2 factores juntos
Se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos
ceros como tenga el divisor. Después se realiza la división. Al llegar a la
cifra que esta después de la coma se añade esta al cociente
2. El redondeo
−Si lo que has redondeado es ahora un número menor del que era, será aproximación por defecto.
− Si lo que has redondeado es ahora mayor que el número inicial será aproximación por exceso.
Para redondear un número hacemos lo siguiente:
−Si el decimal a redondear es 5, 6, 7, 8, 9, entonces se redondeará por exceso
−Si el decimal a redondear es 1, 2, 3, 4, entonces redondearé por defecto
Números racionales
Una fracción es le cociente de 2 números naturales o enteros.
Fracción de 2 y −5:
1. Partes Numerador
Denominador
2. Fracciones equivalentes
2 fracciones son equivalentes cuando al multiplicar sus términos en X, nos da el mismo resultado
7 x (−12)=4 x (−21)
−84 = −84
Obtención de fracciones equivalentes
• Multiplicar los 2 términos por el mismo número
• Dividir los 2 términos para un número por el que sean divisibles los 2 términos.
3. Simplificación de fracciones
Hay que convertir la fracción original en una irreducible.
1º Descomponer cada uno de los términos en factores primos
2º Quitamos los comunes en numerador y denominador, o restamos exponentes
3º Operamos
4. Clasificación de fracciones
8
Fracciones propias
Numerador < Denominador Menores que la unidad
Fracciones impropias
Numerador >= Denominador Mayores o iguales que la unidad
Fracciones decimales
El denominador es la unidad seguida de ceros
5. Común denominador
A fracciones con denominador distinto, les buscamos uno común.
1º Simplifico las fracciones reducibles
2º Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. El m.c.m. será los nuevos denominadores.
3º El numerador hay que multiplicarlo por el mismo nº que hemos multiplicado el denominador.
m.c.m =36
6. Operaciones con fracciones
Operación
Suma
Resta
Multiplicación
Realización
Sacar común denominador. Se deja el mismo denominador y se
suman los numeradores
Sacar común denominador. Se deja el mismo denominador y se
restan los numeradores
Se multiplican los numeradores y los denominadores
respectivamente
Se multiplica siguiendo el siguiente esquema:
abcdexfxgxh
División
−− x −−− x−−−x −−− =
Potenciación
efghaxbxcxd
Se elevan el numerador y el denominador al exponente indicado
7. Ordenación y comparación de fracciones
Se saca común denominador. La que mayor numerador tenga es la mayor. La que menor denominador tenga
es la menor.
8. La fracción como operador
8.1. Operador directo
9
La unión entre la fracción y el número es la preposición de. En este caso multiplicamos el numerador por el
número.
3
de 180 3 x 180= 108
5
8.2. Operador inverso
La unión entre la fracción y el número son las palabras es o son. En este caso multiplicaremos el denominador
por el número y lo que de lo dividiremos para el numerador.
2
son 8 7 x 8= 56 56:2= 20
7
Unidades de medida
Magnitud: Propiedad de un objeto que se puede medir asignándole un número y una unidad de medida
1. El euro
10
11
Moneda común de casi todos los países de la Unión Europea.
: 100 x100
Céntimos de euro Euros
2. El sistema métrico decimal
Está basado en las potencias de exponente 10.
2.1. Prefijos que preceden a la unidad
Submúltiplos Mili (m), centi (c), deci (d)
Múltiplos Deca (d), hecto (h), kilo (k)
2.2. Unidades principales
Magnitud
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad eléctrica
Temperatura
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Unidad principal
Metro
Kilogramo
Segundo
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
Símbolo
m
Kg.
S ó ´´
A
K
mol
cd
2.3. Producto y cociente por potencias de 10
Producto Se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.
14,5 x 1000= 14500
División Se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.
83,2 : 1000= 0,0832
2.4. Longitud
X 10 : 10
U.A Km hm dam m dm cm mm
2.5. Capacidad
X 10 : 10
Kl hl dal l dl cl ml
2.6. Masa
12
x 10 : 10
t q mag kg hg dag g dg cg mg
2.7. Superficie 1 m
x 100 : 100
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1m
Ha a ca
2.8 .Volumen
x 1000 : 1000 1 cm
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 cm
1 cm
2.9. Relación entre volumen, capacidad y masa
Masa t q mag kg hg dag g
Capacidad kl hl dal l dl cl ml
Volumen m3 dm3 cm3
2.10. Tiempo
x 360 x 24 x 60 x 60
Año(a) día(d) hora(h) minuto(´) segundo(´´)
Para ir de segundo a minuto, de minuto a hora en vez de multiplicar, se divide
Magnitudes y proporciones
1. Razón
Es un cociente indicado o efectuado entre dos números cualquiera. La diferencia entre una razón y una
fracción es que en la razón puede haber números decimales y el cero como denominador. Además se lee
distinto
La lectura de esta razón sería: dos enteros cinco décimas es a cero
Sus partes son:
Antecedente
13
Consecuente
Una serie de razones iguales es un conjunto de más de 2 razones iguales
2. Proporción
Es la igualdad de dos razones. Para comprobar si dos razones forman una proporción se multiplica el
antecedente de la primera por el consecuente de la segunda y viceversa.
7x15=21x5=105
La lectura de esta proporción sería siete es a cinco como veintiuno es a quince. Sus partes son:
Antecedentes: 7, 21 Consecuentes: 5, 15 Extremos: 7, 15 Medios: 5, 21
2.1. Propiedades
Fundamental Producto de extremos y producto de medios
Intercambios Extremos entre sí
Medios entre sí
Extremos y medios a la vez
Antecedentes y consecuentes (los antecedentes a consecuentes y viceversa)
Suma de antecedentes partido suma de consecuentes Hará proporción con una de las originales
Antecedente más el consecuente partido el consecuente El mismo proceso en las dos razones
2.2. Proporciones continuas
Son en las que se repiten los extremos o los medios
2.3. Proporciones incompletas
Son en las que falta alguno de sus términos
Cuarta proporcional
En una proporción discontinua desconocemos uno de sus términos
Tercera proporcional
En una proporción continua desconocemos uno de los términos que no se repiten.
Media proporcional
En una proporción continua desconocemos los términos que se repiten
3. Magnitud
14
Es toda propiedad de cualquier objeto que se pueda medir asignándole un número y una unidad de medida
Magnitud
Longitud
Temperatura
Intensidad eléctrica
Nº
6
28
20
U. medida
m
ºC
Amp.
3.1. Magnitudes directamente proporcionales
Al comparar dos magnitudes estas pueden ser directamente proporcionales cuando al aumentar la primera, la
segunda lo hace por el mismo número o viceversa.
Nº corbatas
1
2
3
4
Precio en €
54
108
122
216
Las magnitudes quedan aumentadas o disminuidas a la vez por el mismo número. Estas magnitudes tienen la
constante de proporcionalidad (K). Esta es el número que se nos repite al dividir cada imagen para su origen
respectivo
54 es la constante de proporcionalidad (K)
3.2. Magnitudes inversamente proporcionales
Son las magnitudes que cuando la 1ª queda multiplicada por un número, la 2ª queda dividida por este mismo
Nº obreros
2
3
4
6
Tiempo de la obra:
días
240
166
120
80
Cuando la 1ª magnitud queda multiplicada por un número, su respectiva queda dividida por el mismo número.
El producto de imagen por origen tiene que dar lo mismo en todas las magnitudes.
3.3. Problemas con magnitudes
Regla de tres simple: problemas de tipo directo
1. Durante 18 días los habitantes de una barriada gastan 360.000 l de agua. Con el mismo gasto ¿Cuánto
gastan en tres meses?
Tiempo: días
18
90(3 meses)
Capacidad de gasto:
l
360.000
X
15
X= 1.800.000 l gastan en 3 meses
2. De los 25 alumnos de una clase han aprobado el 60%. ¿Cuántos han aprobado?
Nº de alumnos
totales
25
100
Nº de alumnos han
aprobado
X
60
X= 15 alumnos han aprobado
3. Un gramófono antiguo cuesta 60 euros, pero a esto hay que añadirle el 18% de IVA. ¿Cuál es el precio real
del gramófono?
Precio en € sin IVA
680
100
Precio en € con IVA.
X
118
X= 802,4 euros cuesta con IVA.
Regla de tres simple: problemas de tipo inverso
4. Un coche con una velocidad de 120 Km./h tarda 6 horas en llegar a Barcelona. ¿Cuánto le habría costado a
90 Km./h?
Velocidad: Km./h
120
90
Tiempo: h
6
X
X= 8 horas tarda
Álgebra
Se usan números y letras ligados con operaciones matemáticas.
1. Expresión algebraica
Expresión matemática que intenta describir una situación de manera abreviada.
1.1. Partes de una expresión algebraica
Incógnitas: x, y
Coeficientes: 2, 4,−1, 1, 5, 1
Términos semejantes: −x, x
Grados: 3, 2, 1, 1, 0, 1
Forma reducida:
16
2. Ecuaciones
2.1. Resolución de ecuaciones de una incógnita de grado 1
1º Quitar los paréntesis
2º Sacar común denominador
3º Ordenar
Se pasan las incógnitas a un lado y los términos independientes a otro. Pasan de un término a otro con el signo
contrario
4º Operar
Si la incógnita queda con signo negativo se le cambia el signo a esta y al otro miembro
5º Despejar la incógnita
Pasar el coeficiente de la incógnita al otro miembro realizando la operación contraria
6º Solucionarla
Se realiza la operación. Si la división da un número decimal se deja en forma de fracción.
2.2. Problemas con ecuaciones
Problemas de móviles
1. Dos helicópteros distantes entre sí1260 km, van al encuentro el uno del otro. Si el primero sale a las 9 de la
mañana y el segundo 4 horas después y sus velocidades son respectivamente 120 km/h y 140 km/h ¿Dónde y
cuando se encuentran?
Esp. A+ esp. B =1260
7 horas después de salir el 1º, 3 horas después de salir el 2º
840 km recorre el 1º, 420 km recorre el 2º
2. En un rally dos coches distantes entre sí 100km salen a la vez y en el mismo sentido. Si el que está delante
lleva una velocidad de 110 km/h y el 2º va a 130 km/h; ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?
550 Km recorre el 1º
5 horas tardan en encontrarse
Problemas de edades
3. Javier tiene 6 años más que su hermana y hace 12 años tenía el doble que ella entonces. ¿Qué edad tiene
cada uno?
Edad ahora
Edad hace 12 años
17
Javier
Hermana
X+6
X
2(X−12)
X−12
18 años tiene la hermana
24 años tiene Javier
Otros problemas.
4. Se quieren repartir 99 plátanos entre 3 monos de modo que el primero reciba 14 plátanos más que el
segundo, y el tercero, 16 menos que el primero. ¿Cuántos recibirá cada uno?
Plátanos recibe el 1º: x+14 43
Plátanos recibe el 2º: x 29
Plátanos recibe el 3º: x−2 27
Geometría del plano
El plano es indefinido.
Posición de 2 planos en el espacio
Paralelos: Ningún punto en común
Secantes: Algún punto en común
Perpendiculares: Al cortarse forman 4 regiones iguales
18
Sus elementos son:
1. Punto: Intersección de 2 rectas. Parte más pequeña del plano (. ó x)
2. Línea: Conjunto sucesivo e ilimitado de puntos (recta, ondulada, curva (abierta o cerrada), quebrada, mixta
y espiral)
2.1. Recta: Conjunto de puntos alineados, sucesivos e ilimitados.
_____________....
2.2. Semirrecta: Cada una de las 2 partes en que queda dividida una recta al colocarle un punto
____________....
2.3. Segmento: Porción de recta limitada por 2 puntos
___________
Concatenados: el final del 1º coincide con el principio del 2º
_______ _________
Consecutivos: los concatenados en la misma recta)
____________________
2.4. Posición de 2 rectas en el plano:
19
Secantes: Se cortan en algún punto
Perpendiculares: Al cortarse, los ángulos formados tienen 90º
Paralelas: Al prolongarse nunca se cortan
______________
______________
2.5. Posición de 2 rectas en el espacio
Secantes: Se cortan en un punto
Perpendiculares: Se cortan formando regiones iguales
Paralelas: Están en un mismo plano y no se cortan
Se cruzan: No son paralelas y están en distinto plano
3. Ángulo: Parte del plano limitada por 2 semirrectas del mismo origen
Lado
Vértice
3.1. Región angular: Cada una de las partes en las que queda dividido el plano en el que se trazan 2 rectas
secantes
3.2. Clasificación
3.2.1. Según las regiones angulares que ocupen
Convexo: Ocupa 1 región angular
Llano: Ocupa 2 regiones angulares
Cóncavo: Ocupa 3 regiones angulares
Completo: Ocupa 4 regiones angulares
3.2.2. Según los grados que miden
Recto: 90º
Agudo: Mide menos que un recto
20
Obtuso: Mide más que un recto y menos que un llano
Llano: Mide 180º
Completo: Mide 360º
3.2.3. Cuando hay 2 ángulos
Consecutivos: Un lado y un vértice en común
Adyacentes: Ángulos consecutivos que tienen el lado no común en la misma recta
Complementarios: Su suma es igual a 90º
Suplementarios: Su suma es igual a 180º
4. Polígono: Es una línea poligonal cerrada y su interior
4.1. Línea poligonal: Conjunto de segmentos concatenados, abierta (el final no coincide con el principio) o
cerrada (el final coincide con el principio)
4.2. Elementos del polígono
Contorno: Línea poligonal cerrada que lo limita
Lado: Cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal
Vértice: Punto en donde se unen 2 lados
Diagonal: Segmento que une 2 vértices no consecutivos
Altura: Segmento que une perpendicularmente con el lado opuesto o su prolongación
Perímetro: Medida del borde o contorno
Radio: Segmento que une el centro de un polígono regular con cualquiera de sus vértices
Apotema: Segmento que une perpendicularmente el centro con la mitad de un lado en un polígono regular
4.3. Clasificación según sus lados y ángulos
Regulares: Todos sus lados y ángulos iguales. El área de los polígonos regulares es la siguiente: A= (P x
ap):2
Irregulares: Algún lado o ángulo desigual a los demás
4.4. Clasificación según sus ángulos
Cóncavo: Todos los ángulos menores de 180º
Convexo: Algún ángulo interior mayor que 180º
21
Convexo Cóncavo
4.5. Clasificación según su número de lados
4.6. El triángulo
Polígono de de 3 lados y 3 vértices
4.6.1. Propiedades del triángulo
−Sus ángulos suman 180º
−Un lado es menor que la suma de los otros dos y menor que su diferencia
−En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos
−Área: (b x h) :2
−Perímetro: lado1+lado2+lado3
4.6.2. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos
Equilátero: 3 lados y ángulos iguales
Isósceles: 2 lados y ángulos iguales y uno desigual
Escaleno: Ningún lado ni ángulo igual
22
Clasificación según sus ángulos
Acutángulo: 3 ángulos agudos
Rectángulo: 1 ángulo recto y 2 agudos
Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y 2 agudos
4.6.3. Puntos y rectas notables del triángulo
23
24
4.6.4Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al
cuadrado
4.7. Cuadriláteros
4.7.1. Propiedades:
25
La suma de sus ángulos es igual a 360º, las diagonales de un paralelogramo se cortan en el centro y cada una
de estas divide al cuadrilátero en 2 triángulos iguales. El perímetro es igual a la suma de sus lados
4.7.2. Clasificación:
Trapecios: 2 lados paralelos. Los hay rectángulos (los lados son distintos y uno de ellos es perpendicular a la
base), isósceles (lados no paralelos desiguales y ángulos apoyados sobre la base iguales) y escaleno (lados y
ángulos desiguales). El área es igual a: ((B + b)x h): 2
Trapezoides: Lados opuestos desiguales, no paralelos. Ángulos desiguales. Pueden ser biisósceles (lados
contiguos iguales dos a dos, ángulos opuestos iguales) o escalenos (ninguna condición). Para averiguar el área
hay que descomponer el trapezoide en triángulos
Paralelogramos: Lados iguales y paralelos dos a dos, ángulos opuestos iguales. Pueden ser cuadrados (todos
los lados y ángulos iguales, sus ángulos son rectos), rectángulos (lados paralelos e iguales dos a dos, cada
ángulo mide 90º), rombo (todos los lados iguales y paralelos dos a dos, 2 ángulos agudos y 2 obtusos) y
romboide (lados paralelos e iguales dos a dos, ángulos opuestos iguales). El área es igual a base multiplicado
por altura (A= B x h)
5. Circunferencia y círculo
5.1. Circunferencia: Línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan del centro. La longitud de la
circunferencia se averigua con la siguiente fórmula: L= d= 2 r
5.1.1. Elementos de la circunferencia
Centro: Punto que está a la misma distancia de los otros puntos de la circunferencia
26
Radio: Segmento que une el centro y un punto cualquiera
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia
Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro
5.1.2. Posiciones de rectas y circunferencias entre ellas
Exteriores: Ningún punto en común
Tangentes: Un punto en común
Secantes: Dos puntos en común
5.1.3. Posiciones de dos circunferencias entre ellas
Secantes: Dos puntos en común
Tangentes exteriores: Un punto en común y una está fuera de la otra
Tangentes interiores: Un punto en común y una está dentro de la otra
Exteriores: Ningún punto en común y una está fuera de la otra
Interiores: Ningún punto en común y una está dentro de la otra
Concéntricas: Tienen el mismo centro
27
5.1.4. Ángulos en la circunferencia
Central: Su vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios
Inscrito: Tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas
5.1.5. Circunferencia y polígonos
−Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando los vértices del polígono son puntos de la
circunferencia.
−Un polígono está circunscrito en una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes con la
circunferencia.
Inscrito Circunscrito
28
5.2. Círculo: Es una circunferencia y su interior. Para averiguar el perímetro usamos la fórmula de la
circunferencia. Para averiguar el área usamos la siguiente fórmula: A=
5.2.1. Figuras circulares
Sector circular: Parte del círculo comprendida entre dos radios. El perímetro es la suma de la longitud del
arco más los dos radios. L del arco=. A= .
Corona circular: Porción de círculo comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro. A=
A círculo exterior − A círculo interior
Segmento circular: Porción de círculo comprendida entre una cuerda y su arco. A= A sector circular − A
triángulo sobrante del sector circular.
Ejercicios complementarios
1. Números enteros
1.1Efectúa las operaciones combinadas
A) [−6−8 x (12+5 x (−9)−2)+4] x [12−(7−(−3)) x4]
B) (−24): [−2 x (−5)+3 x (−2)]−7+5 x (−3)
C) 5−6 x (−4−3 x 7+12) − (−8)
Soluciones: a) 174, b) −28, c) 91.
2. Divisibilidad
1. Escribir todos los divisores de los siguientes números
A) 20
B) 36
C) 48
Soluciones: a) 1, 2, 4, 5, 10, 20. b) 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36. c) 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48.
2. Di si son divisibles por los siguientes números
Divisible por/Nº
56
141
405
29
2
3
5
Soluciones: 56) 2, 141) 3, 405) 3, 5.
3. Simplifica
A)
B)
Soluciones: a) b)
4. Calcula el M.C.M y M.C.D. de los siguientes números
A) 54 y 92
B) 46 y 38
C) 240 y −90
Soluciones: A) M.C.M.= 2484 M.C.D.= 2. B) M.C.M.= 874 M.C.D.= 2
C) M.C.M.= 720 M.C.D.= 30.
3. Potencias
1. Haz las siguientes operaciones combinadas
A)
B)
Soluciones: a) 8, b) 100.
2. Escribe como única potencia
A)
B)
Soluciones: a) , b)
5. Números racionales
30
Matemáticas 1º ciclo ESO.
33
31