TEMA 1 MATRICES Matrices.

TEMA 1
MATRICES
Matrices.
Definición: Se denomina matriz real de orden mxn, al conjunto de mxn números reales ordenados en m filas y
en n columnas de la siguiente forma.
A este conjunto de números denotados genéricamente por aij se les denomina términos de la matriz. Los
números naturales i y j designan, la fila y la columna a las que pertenece el elemento.
Las matrices suelen denotarse por letras mayúsculas con doble trazado.
Por ejemplo:
Generalidades:
• Se dice que una línea ( fila o columna ) es combinación lineal de otras líneas paralelas a ella cuando
resulta de sumar estas, multiplicadas respectivamente por números cualesquiera denominados
escalares.
• Dos matrices son equidimensionales si tienen el mismo número de filas que de columnas.
• Dos matrices son iguales cuando tienen iguales entre si los elementos que ocupan los mismos lugares
en cada una de ellas.
• Se denomina matriz nula a la que tiene cualquier orden y todos sus elementos son igual a 0.
•
Tipos de matrices:
Matrices rectangulares: Son aquellas que tienen diferente número de filas y de columnas.
_ Matriz fila: Es aquella que tiene sólo una fila y varias columnas.
_ Matriz columna: Es aquella que tiene varias filas y una sóla columna.
Matrices cuadradas: Son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.
_ Matriz diagonal: Es aquella cuyos términos con i distinto de j (elementos fuera de la diagonal principal) son
0.
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_ Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales. Si estos son
todos 1 se la denomina matriz unidad.
_ Matriz triangular: Es la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por encima o por
debajo de la diagonal principal. Si son nulos los de encima se la denomina triangular superior y si son los de
abajo se la denomina triangular inferior.
_ Matriz simétrica: Es la matriz cuadrada que tiene sus elementos conjugados iguales. Es decir cumple que aij
= aji.
_ Matriz antisimétrica: Matriz cuadrada cuyos elementos conjugados son iguales pero cambiados de signo.
Esto es: aij = − aji.
Operaciones con matrices:
Las operaciones básicas a realizar con matrices son: Adición, Producto por un escalar y producto de matrices.
_ Adición de matrices:
La suma de dos matrices del mismo orden da como resultado otra matriz de orden idéntico, cuyos elementos
se obtienen sumando los elementos que ocupan lugares homólogos en ambas matrices.
_ Propiedades de la adición:
− Asociativa: Amxn + (Bmxn + Cmxn) = (Amxn + Bmxn) + Cmxn
− Elemento neutro: Se trata de la matriz nula del mismo orden que aquella a la que está siendo sumada. Se
denotará por O.
− Elemento simétrico: Se trata de la misma matriz que aquella a la que está siendo sumada pero con todos sus
elementos cambiados de signo.
− Conmutativa: Amxn + Bmxn = Bmxn + Amxn
Por cumplir estas propiedades mencionadas el conjunto de las matrices, respecto de la suma, tiene estructura
de grupo conmutativo o Abeliano.
_ Producto de matriz y escalar:
Este producto se realiza multiplicando todos y cada uno de los elementos de la matriz por el escalar
considerado.
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_ Propiedades del producto de escalar y matriz:
− Distributiva respecto de la suma de matrices: (A+B)= A+B
− Distributiva respecto de la suma de escalares: (+)A=A+A
− Asociativa mixta: (A)=()A
− Elemento neutro: 1A=A
Por cumplir esta propiedades mencionadas, respecto del producto con escalares, y las mencionadas respecto
de la adición; el conjunto de las matrices, respecto de la suma y del producto con escalares, tiene estructura de
Espacio Vectorial.
_ Producto de matrices:
Dadas las matrices A y B, de órdenes respectivos mxp y pxn, se denomina producto, a una matriz de orden
mxn donde el elemento genérico cij se obtiene a través de la suma de los productos siguientes: primer
elemento de la fila i de A por el primero de la columna j de B más el segundo elemento de la fila i de A por el
segundo de la columna j de B, ..., más el n−esimo elemento de la fila i de A por el n−esimo de la columna j de
B.
Matemáticamente expresada esta definición:
_ Propiedades del producto de matrices:
− Asociativa: Ax(BxC)=(AxB)xC
− Distributiva respecto de la suma: Ax(B+C)=AxB+AxC
− En general no se verifica la propiedad conmutativa.
Existen algunos casos en que el producto de matrices si que posee esta propiedad, a saber:
− Caso del producto de una matriz cuadrada de orden n con una matriz escalar del mismo orden.
− Caso del producto de cualquier matriz cuadrada con la identidad del mismo orden.
Debe tenerse especial cuidado, para que el producto pueda realizarse, en que el nº de columnas de la primera
matris sea igual al nº de filas de la segunda.
Matriz Traspuesta:
Se obtiene la matriz traspuesta de otra cambiando ordenadamente sus filas por sus columnas.
Esta matriz traspuesta se simboliza por At.
Por ejemplo:
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_ Propiedades de la matriz traspuesta:
− (At)t = A
− (A+B)t = At + Bt
− (kA)t = kAt
− (AB)t = Bt At
− Si A es simétrica entonces A = At
• Si A es antisimétrica entonces − A = At
•
Matriz Inversa (Método de Gauss):
Se dice que una matriz A cuadrada de orden n tiene inversa si existe una matriz cuadrada B, de orden n, tal
que AxB = In
La matriz inversa se simboliza por A−1.
Si existe la matriz cuadrada de otra es única.
Una matriz cuadrada presentará inversa si y sólo si es posible pasar, por transformaciones elementales, sobre
las filas del cuadro.
(AøI) ! ... ! ... ! (IøA−1 )
Las transformaciones elementales son:
− Multiplicar, o dividir, los elementos de una fila por un número.
− Cambiar entre si dos filas.
− Sumar a los elementos de una fila, multiplicados por una cantidad, los homólogos de otra u otras filas.
La aplicación inmediata del cálculo de la matriz inversa se realiza en la resolución de ecuaciones matriciales.
Ecuaciones Matriciales:
− Tipo I:
AX=B
A−1AX=A−1B
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X= A−1B
− Tipo II:
AX+B=C
AX=C−B
A partir de aquí se resuelve como tipo Y.
− Tipo III:
AXB+C=D
AXB=D−C
A−1AXBB−1=A−1(D−C)B−1
X= A−1(D−C)B−1
Siempre debe tenerse cuidado en mantener el mismo orden de los productos en ambos miembros de la
ecuación, dada la no conmutatividad de la operación.
PROBLEMAS
1) Obtener los valores de x, y, z, que satisfacen la igualdad siguiente:
2) Resolver el siguiente sistema:
2X+Y=A
4X−3Y=B
y
3) Dada la matriz A comprobar que se cumple la igualdad A2 = 2A+I y calcular A4 usando la fórmula
deducida.
4) Dada la matriz A encontrar una matriz X, cuadrada, de orden apropiado, y simétrica tal que cumpla la
igualdad AX = O
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5) Dada la matriz
y la Y ( identidad de orden 3 ), se pide:
− Calcular ( A−I)2
− Haciendo uso del apartado anterior, calcular A4
6) Sea la matriz
hallar An " n " N.
7) Probar que la matriz indicada tiene inversa y calcularla
7) Idem. problema anterior
TEMA 4
PROGRAMACIÓN LINEAL
Inecuaciónes lineales. Interpretación geométrica.
Definición: Se denomina inecuación a una desigualdad planteada entre dos miembros formados por números
reales e incógnitas y conectados entre si por operadores lógicos: >, <, >=, <=, ".
2x−3y−6=0 es la ecuación de una recta que pasa por los puntos (3,0) y (0,−2). Esta recta divide al plano en
dos semiplanos, superior e inferior a la recta.
2x−3y−6>0 define el semiplano inferior.
2x−3y−6<0 define el semiplano superior. (ver Figura 1).
El método para saber qué semiplano es el que se encuentra definido por cada inecuación consiste en escoger
un punto que se encuentre en uno de los semiplanos y sustituirlo en la desigualdad, si la satisface entonces esa
desigualdad es la que define dicho semiplano, si no lo hace el semiplano está definido por la misma
desigualdad pero con sentido contrario.
En general la incuación ax+by+c ><= representa un conjunto de puntos del semiplano, en que queda dividido
el plano por la recta.
Sistemas de inecuaciones lineales. Interpretación geométrica.
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Todo sistema de desigualdades representa un recinto en el plano cartesiano, acotado o no por las mismas.
Considerando el sistema:
x"0; y"0; x"5; x−y"0
El recinto bajo ambas restricciones y sobre el eje X, es la representación de dicho sistema de inecuaciones y
cada uno de los puntos de dicho recinto es solución del mismo.
Para resolver un sistema de inecuaciones debe hacerse de la siguiente forma:
• Representar una a una todas las ecuaciones.
• Se identifica el recinto, asi como si es acotado o no.
• Comprobar, si dan una solución, si esta pertenece al recinto o no.
Programación Lineal:
Se encarga de maximizar o minimizar una función dada, teniendo en cuenta las posibles restricciones del
problema; condiciones económicas, logísticas, etc.
Para resolver los problemas tenemos dos formas de hacerlo:
• Analítica
• Gráfica
Antes de entrar en estas dos formas de resolución vamos a familiarizarnos con el vocabulario empleado en
este tema.
Vocabulario:
• Función Objetivo: Se trata de la función a maximizar o minimizar, (OPTIMIZAR). Siempre toma la
forma: F = ax+by.
• Conjunto de restricciones: Sistema de desigualdades que se deriva de las condiciones del problema.
• Región factible: Región del plano , que en el supuesto de que el problema tenga solución, contiene
estas.
• Valor del programa lineal: Valor óptimo de F.
Procedimiento de resolución de problemas:
Formular la función objetivo.
Formular el sistema de restricciones
Barrer la región factible con lineas de nivel de la función objetivo que tengan puntos en élla.
De todas las isolíneas buscar la que corresponde al valor óptimo de la función.
Este procedimiento es el denominado Gráfico.
Veamos la aplicación de la resolución de un problema por el procedimiento analítico.
Queremos maximizar la función Z=1300x+1350y, con las restricciones siguientes:
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x +1.5y " 100
x + y " 85
x"0
y"0
Primero representamos las restricciones (Gráfico siguiente) como si fueran igualdades, luego se determinan
los límites del recinto que contiene las soluciones, calculando sus vértices y luego se sustituyen las
coordenadas de cada vértice en la función objetivo. El vértice que de mayor valor es el que hace que la
función sea máxima con las restricciones planteadas.
En este caso el recinto de las soluciones se encuentra por debajo de ambas restricciones y el vértice del recinto
que nos hace máxima la función objetivo es el punto de corte de ambas restricciones representadas.
Para aplicar el procedimiento gráfico representaremos también la recta, función objetivo, y después
trazaremos paralelas a la misma por todos los vértices prolongándolas hasta que corten al eje de ordenadas. La
que corte a dicho eje en el punto más alto será la que pasa por el vértice solución.
Diferentes soluciones del Programa Lineal:
Pueden presentarse varios casos de recintos y de soluciones para un programa lineal determinado.
Solución única:
Este es el caso del ejemplo que hemos puesto antes.
Solución múltiple:
Es el caso de la resolución de un sistema de ineciaciones restricción de una función objetivo como las
siguientes:
x"0; y"0; y"7; x+y"10; x−y"5
La función objetivo considerada en este caso es: Z=x+y, que es paralela a la segunda restricción, luego todos
los puntos de esa restricción son vértices del recinto y por tanto soluciones.
Solución no acotada:
No existe límite al valor de la función objetivo ya que el recinto de las soluciones es abierto.Un ejemplo lo
tendríamos con el sistema siguiente:
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x"0; y"0; x"y; x−2y"2
En este caso sea cual sea la función objetivo nos es indiferente ya que al no ser el recinto acotado las
soluciones crecen indefinidamente.
Solución no factible:
El problema no tiene solución al no existir recinto de soluciones por no ser compatibles entre si las
restricciones. Un ejemplo de este caso lo encontramos en el siguiente conjunto de restricciones: x"0; y"0;
x+y"2; 2x+y"5.
En este caso para la serie 1 son válidos los puntos que se encuentran por debajo de la restricción, y en la serie
2 son válidos los puntos que hay por encima de la misma, con lo que no son compatibles.
Solución degenerada:
Se trata del caso en el que en un punto coinciden más de dos rectas de las que constituyen los límites de la
región factible.
Este es el caso de una región factible definida por las incuaciones siguientes: x"0; y"0; x+y"4; x"y. Esto es
válido para cualquier ecuación función objetivo.
PROBLEMAS
• Maximizar Z, con las restricciones indicadas:
Z=3x+2y
−7x+5y"10
−7x+3y"−15
2x−3y"−10
x"0
y"0
• Minimizar y maximizar: Z= 5x+4y, con las siguientes restricciones:
12x+5y"120
6x+8y"180
5x+10y"100
x"0
y"0
• Se desea obtener 3 elementos químicos a partir de 2 sustancias A y B. Se sabe que 1 Kg de A contiene 8
grs. del primer elemento, 1 gramo del 2º y 2 del tercero. 1 Kg. de B contiene en gramos: 4, 1, y 2 del 1º, 2º,
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y 3º, respectivamente. Se desean obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del 2º y
del 3º han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente. La cantidad de A, como mucho, será el
doble que la de B.
Calcular los Kg. de A y de B que se hande tomar para que el coste sea mínimo, si son 200 pts por Kg. de A y
1000 pts por Kg de B. ¿Puede eliminarse alguna restricción?
• Una compañía aérea tiene 2 aviones: A y B, para un trayecto determinado. El avión A debe hacer más veces
el trayecto que el B, sin sobrepasar los 120 viajes. Entre los dos deben hacer más de 60 vuelos, pero sin
sobrepasar los 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y el B 700 litros. En cada viaje la
empresa gana 300000 pts. por viaje de A y 200000 pts. por viaje de B.
¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancia y cuántos para que el gasto de
combustible sea mínimo?
• Pablo dispone de 12000 pts. para gastar en libros y en discos. En la tienda el precio de cada libro es de 400
pts. y el de los discos es de 1200 pts. Suponiendo que desea comprar como mucho el doble de libros que de
discos:
• Formular el problema y representarlo gráficamente.
• Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos.
• ¿Puede adquirir 15 libros y 5 discos? ¿Cuánto dinero le sobra?
Razonar todas las respuestas.
• Disponemos de 21 millones de pesetas para invertir en Bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Tipo
A que rinde el 10% y otras de tipo B que rinden el 8%. Decidimos invertir 13 millones en las de tipo A y
como mínimo 600000 pts en las de tipo B. Además queremos que la inversión en las de tipo A sea menor o
igual que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo de interés anual?
• Una compañía posee dos minas: La mina A produce 1 Tm. de mineral de hierro al día; de alta calidad, 3 de
calidad media y 5 de calidad baja. La B produce 2 Tm de las tres calidades. La compañía necesita al menos
80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 toneladas de baja calidad.
Sabiendo que el costo diario de cada mina es de 200000 pts. ¿Cuántos días debe trabajar cada mina para
obtener un costo mínimo?
TEMA 5
FUNCIONES NUMÉRICAS DE UNA VARIABLE REAL: LÍMITES Y CONTINIUIDAD
Función.
Definición: Se denomina función real de variable real a una correspondencia f: R R, que asocia a cada nº real
otro nº real. Esto es, una aplicación.
Al valor de X se le denomina variable independiente, y al de Y, variable dependiente. A este valor de Y se le
conoce también como imagen de f.
Dominio de definición: Es el campo de valores de X que tienen imagen real al hacer los cálculos que indica la
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ley funcional f.
Recorrido: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y que tienen algún antecedente real X. (Es lo
mismo que el dominio pero para los valores de Y).
Matemáticamente se pueden expresar estos dos conceptos de la siguiente forma:
Grafo de la Función: Es el conjunto de pares (x,y) representados en el plano Cartesiano.
Función Acotada: Una función será acotada si existen cotas superior e inferior para dicha función, esto es:
f(x) " D ! f(x) " C " f(x) " c ("x " R).
A C se le denomina mayorante y a c se le denomina minorante.
Sólo será acotada globalmente la función, si lo está superior e inferiormente a la vez, si no estará acotada sólo
superior o inferiormente.
A la menor de las cotas superiores se le denomina Extremo Superior y a la mayor de las cotas inferiores
Extremo Inferior. Si estas cotas pertenecieran al conjunto de valores del Rango de la función se les dice
Extremos Superior e Inferior de la función.
Función Constante: Es aquella cuyas imágenes, para cualquier valor de x, son siempre las mismas.
" (x1,x2) " D ! f(x1)=f(x2).
Su representación será casi siempre lineal en posición vertical u horizontal.
Función Creciente y Decreciente: Una función será creciente cuando a medida que aumentan los valores de la
variable independiente también lo hacen los de la dependiente. Si a medida que los valores de la variable
independiente crecen los de la dependiente decrecen se tratará de una función decreciente.
" (x1,x2) " D / x1 " x2! f(x1) " f(x2). Función Creciente
" (x1,x2) " D / x1 " x2! f(x1) " f(x2). Función Decreciente
Si sólo hubiéramos empleado el símbolo de mayor o menor sin el igual diríamos que es estrictamente
creciente o decreciente.
La función tendrá un máximo o mínimo relativo en x0 si cumple con:
Máximo relativo: ">0/"x"D, x0−<x< x0+ ! f(x) " f(x0)
Mínimo relativo: ">0/"x"D, x0−<x< x0+ ! f(x) " f(x0)
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Todos estos conceptos que hemos enumerado hasta ahora quedan recogidos en el gráfico siguiente, donde se
observa que la función representada, una función racional cúbica de denominador cuadrático, de ecuación: y=
(x3−x2−x)/(x2+1), tiene de dominio de definición todos los reales y rango idéntico al dominio de definición.
Se encuentra acotada entre 5 y −5, siendo estos valores de x los extremos de la misma en ese intervalo.
Resulta creciente entre −5 y aproximadamente −1, decreciente entre −1 y 1 aproximadamente y de nuevo
creciente hasta el valor de x = 5. También presenta en el valor x =−1 un máximo relativo y en x = 1 un
mínimo relativo.
Función par, impar y periódica: Las funciones pueden ser pares, impares o periódicas cuando cumplen con las
siguientes condiciones respectivamente:
f(−x) = f(x), f(−x)=−f(x) y f(x)=f(x+T) (Donde a T se le denomina período de la función). Un ejemplo claro
de estas periódicas lo tenemos en las funciones trigonométricas como el seno y coseno, representadas a
continuación. Estas de nuevo son un ejemplo claro de funciones acotadas entre +1 y −1. El período de ambas
es de 360º, esto es, se repiten los valores de las imágenes a medida que pasamos de x a x+360.
Operaciones con funciones: Las operaciones con funciones se realizan igual que las operaciones con números
reales. Basta con sumar, restar, multiplicar o dividir las leyes funcionales entre sí.
La única operación especial que existe en funciones es la composición de las mismas. Esta se lleva a cabo
aplicando 1º una función ( la que se encuentre más cerca de la x ) y posteriormente, sobre toda ella se aplica la
siguiente función. Por ejemplo: Componer las funciones f= 3x+2 y g= x2, según (fog)(x).
x
x2
3x2 + 2
Función Recíproca: Es el resultado de despejar la x en función de y y de establecer el cambio de variable de x
por y.
Se denota como f−1(x) o bien como y−1.
Dos funciones que son recíprocas tienen la propiedad de que al componerlas se obtiene la función identidad.
Estas también son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
Funciones elementales: Los tipos de funciones que más interesantes resultan en este curso quedan recogidos
en la tabla siguiente.
NOMBRE
Potencial
F. ELEMENTAL
y=xn
y=x2
Exponencial
y=ax/y= ex
y=7x/y= ex
Polinómica
Racional
y=axn+bxn−1+cxn−2+ y=2x2+5x+3
y=Pn(x)/Qm(x)
y=(2x2+5x+3)/x3
y=senx
y=cosx
y=tanx
y=arcsenx
Trigonométric
F. COMPUESTA
y=(f(x))n
y=(2x+3)4
y=72x+5
y=af(x)/y=
ef(x)
y= e2x+3
y=senf(x)
y=sen(3x+2)
y=cosf(x)
y=tanf(x)
y=arcsenf(x)
y=cos(x−4)
y=tan(x2)
y=arcsen(3x+2)
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y=arccosx
y=arctanx
Logarítmica
y=logax/y=Lnx
Expo−potencial y=f(x)g(x)
y=logaf(x)
y=arccosf(x)
y=arctanf(x)
y=log3(3x+2)
y=Lnf(x)
y=Ln(3x+2)
y=arccos(3x+2)
y=arctan(3x+2)
y=log2x/y=Lnx
y=(3x2+6)4x−1
Límite de una función
Definición: Sea una función real definida en I " R y a un punto de I (intervalo). La función f tendrá como
límite un nº real l, cuando x tiende hacia a, si para todo nº real positivo , se puede hacer corresponder otro nº
real ; también positivo, que cumpla:
De forma idéntica se definirían los límites laterales derecho e izquierdo, solo que la condición a cumplir será,
respectivamente:
Naturalmente existirá el límite si ambos laterales coinciden.
Cálculo de límites: Al cálculo de límites se le aplican las mismas propiedades que a la operativa con números
reales.
lim (f+g)=lim f+lim g
lim (a*f)=alim f
lim (f*g)=lim f*lim g
lim (f/g)=lim f / lim g
lim((f)g)=lim f lim g
El límite del valor absoluto de una función es igual al valor absoluto del límite de la misma.
Funciones equivalentes en un punto: Dos funciones f y g son equivalentes en un punto a sí cumplen: El límite
del cociente de ambas, cuando x tiende hacia a, toma de
valor la unidad. Si cada una de los límites de estas funciones cuando x tiende hacia a toma de valor 0, a estas
funciones se les denomina infinitésimos.
Límites indeterminados: Son expresiones de resultados de límites que deben levantarse para obtener el valor
real del límite, si es que existe. Estas son: "−", 0/0, "/", 0*", 00, "0, 1". Cada una de estas expresiones tiene
una forma especia de levantarse. (Ojo infinitésimos equivalentes).
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Continuidad de una función en un punto
Definición: Una función real de variable real será continua en un punto si presenta límites laterales en ese
punto, ambos son iguales, y además dichos límites son iguales a la imagen de la función en dicho punto.
Matemáticamente considerado:
Si esta condición no se cumpliera, se dice que la función es discontinua en a.
Tipos de discontinuidades:
Si existen los límites laterales, pero estos son diferentes de la imagen, s este tipo de discontinuidad se le
denomina evitable. Puede definirse una nueva imagen de la función en el punto y prolongar la continuidad.
Si los límites laterales son diferentes se trata de una discontinuidad inevitable de primera especie.
Si los límites son alguno infinito, de cualquier signo, se trata de una discontinuidad inevitable de tipo
asintótico, ya que la función no se encuentra acotada en un entorno de ese punto.
Propiedades de las funciones continuas:
Si f y g son funciones continuas en un punto también serán continuas la suma, diferencia, producto, cociente,
producto por un escalar, y composición.
Si f es continua en a, existe un entorno de a donde está acotada.
Si f es continua en a y distinta de 0 la imagen de a, existirá un entorno de a donde f no se anula en ningún
punto y su signo es el de la imagen de a.
Continuidad en un intervalo:
Una función será continua en un intervalo cuando sea continua en todo punto interior al intervalo, así como a
la derecha de a y a la izquierda de b; si a y b son los extremos del intervalo.
Teorema de Bolzano:
Una función que sea continua en un intervalo cerrado y acotado a−b, y cuyas imágenes tengan signos
diferentes en los extremos del intervalo, presentará un punto intermedio c entre a y b, para el que la imagen
será 0.
Este teorema sirve para encontrar raices de ecuaciones que no tienen resolución analítica y precisan de una
aproximación con un error acotado.
PROBLEMAS
• Calcular:
E=limx!3 (x3−3x2+9x−27)/(x2−9)
• Determinar a que verifique: limx!"((x2+ax+1)1/2−x)=2
• Calcular los siguientes límites:
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E=limx!"(x)1/2((x+a)1/2−(x)1/2)
Límite de f(x)=(1−cos x)/x2; cuando x tiende a: 0, 1, ".
E= limx!"((2x+3)/(2x−1))
• Calcular el valor de c para que el límite de f sea 0 al tender x a infinito.
F(x)= ((x+3)/(x))cx
• Probar que f(x)= (x2−1)/(x3+7x−8) no es continua en x= 1. Indica el tipo de discontinuidad que presenta
• Estudiar las continuidades de la función Mantisa y Parte Entera de x.
• Determinar a y b de tal forma que la función indicada sea continua:
• Determinar a y b para que f(x) sea continua en toda la recta real.
• Usando el Teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación x3+x−5=0 tiene solución única en el intervalo
(1,2).
10) Probar que las gráficas dadas se cortan en algún punto y obtenerlo de forma aproximada. y=Lnx; y=e−x.
TEMA 6
DERIVACIÓN Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES
Derivada de una función en un punto.
Definición:
Sea f una función definida en un entorno de x0. Se denomina incremento de f en x0 al valor de: y0 =
f(x0+x) − f(x0).
La función f será derivable si existe el límite del cociente incremental. Matemáticamente expresado será:
Normalmente suele verse x = h.
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La función será derivable por la derecha y por la izquierda si cumple con las condiciones:
Los valores de los límites laterales en este caso pueden ser finitos o infinitos pero siempre de mismo signo.
Teorema fundamental de la derivabilidad de funciones:
Toda función que es derivable en un punto, será continua en ese punto. Ojo porque el recíproco no tiene por
que ser cierto.
Interpretación geométrica de la derivada:
C es la curva de f respecto un sistema de referencia ortonormal
Cuando A tiende al valor de A0, la recta AA0 (cuerda), tiende a ser la tangente en A0 sobre C y el ángulo
tiende a ser el ángulo que forma la tangente con el eje OX.
Matemáticamente podemos escribir:
Esto conduce a la conclusión de que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta
tangente en el punto considerado de la curva C.
Función Derivada.
Definición:
Es la función que hace corresponder a cada punto de una función el valor de la derivada en ese punto.
Para calcularla deberíamos ir calculando la derivada de la función dada en cada punto y luego ver la gráfica
que mejor se ajusta a la nube de puntos. La ecuación de esa gráfica sería la función derivada de la original
dada.
Este procedimiento resulta muy largo y costoso de cálculo en determinados casos con lo que se lleva a cabo a
través de la aplicación de las reglas y leyes de derivación.
Reglas de derivación:
La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas.
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La derivada de un producto de funciones se igual a la suma del producto de la derivada del multiplicando por
el multiplicador sin derivar, más el producto entre la derivada del multiplicador por el multiplicando sin
derivar.
La derivada de un cociente es igual al cociente; de numerador, el producto de la derivada del dividendo por el
divisor sin derivar, menos el producto de la derivada del divisor por el dividendo sin derivar, y de
denominador, el cuadrado del divisor.
(Las derivadas de las funciones elementales se recogen en una tabla al final del tema).
Derivada de la función compuesta:
Sea f una función derivable en I y g derivable en f(I). (fog)(x) es derivable en I, verificándose "x0"I, si:
F´(x0)=(gof)´(x0)=g´(f(x0))*f´(x0)
Si y=f(x) y z=g(f(x)) entonces: dz/dx=dz/dy*dy/dx
A esta expresión se la conoce como regla de la cadena.
Función diferenciable:
A una función f, definida en un entorno de x0 se le dice diferenciable en ese punto, si existe una función
y un nº real A, independiente de h, que verifican la igualdad:
Interpretación gráfica de la diferencial:
C es la curva de la función respecto del sistema de referencia ortonormal. R es la recta tangente a la curva en
A0 a C.
En el triángulo A0BC tenemos que x0=dx y tg=f´(x0)=BC/A0B=
=BC/dx
Como BC=f´(x0)dx entonces BC=dy
dy es el incremento de la ordenada de la tangente a la curva, en el punto de abscisa x0, al pasar de ese punto al
punto x0+x0.
En resumen podemos decir que: dy=f´(x)dx.
Derivada de la función recíproca:
Si una función f admite recíproca y es derivable, entonces su recíproca también será derivable verificándose la
fórmula siguiente:
dy/dx=1/(dx/dy)
17
DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES COMUNES
FUNCIÓN
DERIVADA
FUNCIÓN COMPUESTA
Y=k
Y´=0
Y=x / y=kx
Y´=1 / y´=k
Y=xn
Y´=nxn−1
Y=(f(x))n
Irracional
Derivar como potencial
Y=senx
Y´=cosx
Y=sen f(x)
Y=cosx
Y´=−senx
Y=cos f(x)
Y=tanx
Y´=1/cos2x
Y=tan f(x)
Las inversas de trigonométricas se derivan como cocientes.
Las recíprocas de trigonométricas se derivan a través de la expresión dada.
Y=Ln x
Y´=1/f(x)
Y=Ln f(x)
Y=ex
Y´=ex
Y=ef(x)
Y=f(x)g(x)
DERIVADA
Y´=n(f(x))n−1
Y´=cosf(x)*f´(x)
Y´=−sen f(x)*f´(x)
Y´=f´(x)/cos2f(x)
Y´=(1/f(x))*f´(x)
Y´=f´(x)*ef(x)
Deriv. Logarítmica.
PROBLEMAS
• Encontrar la derivada de la función
, usando la definición, en el punto de abscisa 9.
• Idem. Ejercicio 1 para la función
, en el punto x=0.
• Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función indicada donde sea necesario.
• Calcular para la función indicada:
• Valor de a para que f(x) sea continua
• Gráfica de f(x)
• Dominio y recorrido de f(x)
• Derivada en x=7
• Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
f(x)=x3/sen2x; f(x)=tan2(x/2); f(x)=(1+x4)1/2; f(x)=arctan(1+x/1−x)−arctan x;
f(x)=
• Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6 m3/min. Si la presión se mantiene constante, ¿Cuál es la
velocidad con que cambia el radio del globo cuando el diámetro es 120 cm ?
• Obtener la derivada n−esima de f(x)= e2x
• Sea una función definida en todos los reales, salvo en el 0, y derivable tal que: f´(x)=f(1/x). Demostrar que f
es al menos derivable dos veces.
18
Demostrar que existen a, b, y c, tal que cumplen con las igualdades siguientes:
ax2f´´(x)+bxf´(x)+cf(x)=0; a2+b2+c2"0.
• Hallar los puntos en que la tangente a la curva y=x3/3−x2−3x+1 es:
• Paralela al eje OX
• Paralela a r (y=5x+3)
• Perpendicular a t (y=x/3+1)
TEMAS 7 Y 8
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS
Crecimiento y decrecimiento.
Definición: Una función f, definida en un intervalo I, es estrictamente creciente en x0, de I, si se cumple en un
entorno simétrico de x0, de radio , para todo valor h entre 0 y , la siguiente condición:
f(x0−h)<f(x0)<f(x0+h)
Igualmente será decreciente, estrictamente hablando, si cumple:
f(x0−h)>f(x0)>f(x0+h)
Estos criterios también pueden definirse a través del concepto de derivada, si se toman límites en las
desigualdades anteriores, cuando h tiende a 0, resultando:
Si donde hemos colocado los símbolos >, <; añadimos un igual, la función pasa a ser creciente o decreciente a
secas.
Como consecuencia de todo esto sacamos que si se desean estudiar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función, deberemos estudiar el signo que toma la derivada primera de la función en el
dominio de la misma.
Máximos y mínimos.
Definición: Una función f definida en un intervalo I tendrá un máximo relativo en x0, si al considerar un
entorno de ese punto, de radio , verifica que:
f(x0−)<f(x0)>f(x0+)
De la misma forma presentará un mínimo relativo si cumple con la condición:
f(x0−)>f(x0)<f(x0+)
19
Esto puede traducirse en: La función tendrá un máximo en un punto, si antes de llegar al punto es creciente y
posteriormente al punto es decreciente. Si se tratara de un mínimo, antes del punto la función es decreciente y
posteriormente creciente.
Si estas desigualdades se verifican para todo valor x del intervalo I, hablaremos de un mínimo o máximo
absolutos.
Si f(x) es derivable en x0 y tiene máximo o mínimo en él, en ese punto f´(x0)=0, con lo que la recta tangente
en ese punto a la curva será horizontal.
Puntos de inflexión.
Definición: Si una función f es derivable en un entorno del punto a y C es el grafo de dicha función, el punto
M(a,f(a)) será de inflexión, si: la tangente a C que pasa por ese punto, atraviesa a la curva.
La ecuación de la tangente a la curva y=f(x) en el punto x=a será:
y−f(a)=f´(a)(x−a)
ytg=f(a)+f´(a)(x−a) [1]
El punto M será de inflexión si el signo de [1] es diferente en un entorno de a.
Regla práctica para el cálculo de Máximos y mínimos.
Esta es la conocida como Regla de las derivadas sucesivas de Newton.
1º se calcula f´(x) y se iguala a 0. Resolviendo la ecuación resultante salen unos valores que denotaremos por
xi.
2º Se calcula la derivada 2ª de la función y se particulariza para todos y cada uno de los valores hallados. Si el
signo de la derivada 2ª es positivo ese valor de xi es un mínimo de la función. Si el signo de la derivada 2ª
fuese <0, se trataría de un máximo.
En el caso de que se hiciera 0 la derivada 2ª, estamos ante un posible punto de inflexión. Esto puede
determinarse calculando y´´´ y sustituyendo ese valor que hace 0 la segunda derivada; si la tercera derivada da
diferente de 0, setamos ante un punto de inflexión, si nos diera 0, no puede determinarse nada y debemos ir a
la cuarta derivada. En esta se procede a hacer un análisis como el de la tercera derivada, y así con las
sucesivas derivadas, caso de obtener 0.
Como es lógico este procedimiento se aplica cuando las derivadas sucesivas toman formas sencillas.
Regla práctica para el estudio de concavidad y convexidad.
Se estudia el signo de la derivada segunda entre los valores de los puntos de inflexión, ya que cambia entre
éllos.
Si y´´>0 estamos ante la parte convexa de la función.
Si y´´<0 estamos ante la parte cóncava de la función.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS DADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
20
Siempre para representar una función deben de atenderse los siguientes puntos:
• Puntos de corte con los ejes (ceros y polos)
• Simetrías
• Dominio y signo de la función
• Asíntotas
• Crecimiento y decrecimiento
• Máximos y mínimos
• Puntos de inflexión
• Concavidad y convexidad
Puntos de corte con los ejes: Los calculamos haciendo 0 a cada variable de la función, por separado, y
resolviendo la ecuación después.
Corte con eje OX f(x) = 0
Corte con eje OY f(0)= y
Los polos serán aquellos valores de X que hacen que la Y valga ±".
Una vez que se tienen calculados, se trazan rectas verticales a puntos por cada valor de x, correspondiente a
cada cero y polo.
Simetría: Pueden existir tres tipos de simetría: Respecto de ejes OX y OY, y respecto del origen O.
La función es simétrica respecto del eje OY si es par en x, si la función es impar en x, entonces es simétrica
respecto de O; y si la función es par en y entonces es simétrica respecto del eje OX.
Dominio de definición y signo de la función: Este apartado se realiza como explicamos en el tema de
generalidades de funciones.
Asíntotas: Se definen como: Toda recta r tal que, la distancia desde un punto P de una rama de la curva a
representar, hasta la recta, tiende a 0 cuando P se aleja indefinidamente.
Las asíntotas verticales se calculan igual que los polos de la función.
Las asíntotas horizontales se calculan haciendo el límite de la función cuando la variable independiente tiende
a infinito.
Las asíntotas oblicuas se calculan a través de las expresiones siguientes:
Crecimiento y Decrecimiento: Lo estudiaremos estudiando el signo de la derivada 1ª, entre los valores de x de
los máximios y mínimos previamente calculados.
Si f´(x) > 0 la función será creciente en ese intervalo, si por el contrario la dervada 1ª es negativa la función
será decreciente en el intervalo.
21
Máximos y Mínimos: Los calcularemos como indicamos en el resumen anterior haciendo la derivada 1ª de la
función e igualándola a 0. Resolviendo la ecuación resultante se obtienen las x de dichos puntos. Sus
imágenes podremos obtenerlas sustituyendo estos valores en la ecuación de la función y = f(x).
Para comprobar si son máximos o mínimos aplicar la regla de derivadas sucesivas de Newton.
Concavidad y Convexidad: Se hará estudiando el signo de la derivada 2ª en los intervalos denotados por los
puntos de inflexión. Previamente calcularemos los puntos de inflexión. La regla está recogida en el tema
anterior.
Puntos de Inflexión: Se calculan resolviendo la ecuación: y´´(x)=0. Las x que da como resultado son los
puntos de inflexión de la función.
PROBLEMAS
• Dada la función definida por y=x+5−2senx, existente en el intervalo (0,360º), hallar los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento.
• Demostrar que la ecuación x3−36x+10=0 no puede tener 2 raíces reales en el intervalo (−1,2). ¿Tiene
alguna raiz en este?
• Demostrar que para todo x real, y mayor que 1 se cumple: Lnx"2(x−1)/(x+1).
• Considerando la función f(x)=x2/x−1 estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los
extremos relativos.
• Encontrar las funciones polinómicas ax+bx+cx+d cuya segunda derivada es x−1, y con mínimo en el punto
(4,−1/3).
• Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de su lado desigual, engendrando un cono. Hallar
sus lados para que el volumen sea máximo.
• Estudiar crecimiento y concavidad de la función dada, definida en el intervalo (0,").
f(x)=Lnx/x.
• Las ganancias de un juego varían en función del tiempo según la función: G(x)= 100x/x2+400, donde x
viene dado en minutos. Contestar razonadamente:
¿Cuánto más tiempo se juega es mayor la ganancia?
¿Qué tiempo de juego hace la ganancia máxima?
¿Puede suceder que sobrepasado un cierto tiempo halla ganancias negativas?
• Se desea construir una lata circular, cilíndrica, de área total 150 cm2. Si se desea que el volumen sea
máximo, determinar la generatriz y el radio que debe de tener dicha lata.
• Representar las siguientes funciones:
y=x/x2−16
y=+(1−x2)1/2
y=x4−5x2+4
y=Ln(1−x/1+x)
y=cos2x
22
y=x2+1/x2−1
Soluciones al ejercicio 10)
TEMA 9
INTERPOLACIÓN
Hasta ahora, siempre que hemos trabajado con funciones, se ha dado de una forma u otra la ley funcional o la
expresión explícita de la función. Esto permitía hacer un estudio completo de todas las características de la
misma, como: Comportamiento, crecimiento y decrecimiento,
Se plantea ahora la necesidad de que dada una serie de puntos podamos calcular la función que verifique todos
esos valores.
Definición de Interpolación: Interpolar una serie de puntos, con coordenadas x e y que conocemos, consiste en
encontrar la función explícita y=f(x), que toma los valores yi, correspondientes a los valores xi de la variable.
Si los n−1 valores: x1, x2, x3, , xn son todos distintos, la función más sencilla es la función expresada por un
polinomio de grado n:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn
Hay un polinomio de grado n, a lo sumo, y sólo uno, que toma los n+1 valores y0, y1, y2, , yn para los n+1
valores diferentes de la variable: x0, x1, , xn.
En la práctica, el polinomio anterior puede expresarse de la forma siguiente:
F(x)=b0+b1(x−x0)+b2(x−x0)(x−x1)++b(x−x0)(x−x1)(x−xn−1)
Esta es la forma generalmente usada ya que es la más cómoda para determianr los coeficientes.
Interpolación de Lagrange:
Sea f una función desconocida, en su ley de formación, y resulten conocidos los siguientes pares: f(x0)=y0,
f(x1)=y1, f(x2)=y2, , f(xn)=yn. Esta función vendrá definida a través del polinomio de expresión:
Este desarrollo se trunca en función del número de valores que conocemos. Si sólo se conocen dos valores
estaremos en el caso de interpolación lineal y el polinomio de Lagrange tendrá sólo dos términos; si
conocemos tres valores estaremos en el caso de interpolación cuadrática y el polinomio tendrá, tan sólo, tres
términos, y así sucesivamente.
Extrapolación:
Se trata del mismo problema pero ahora queremos calcular un valor de y cuyo valor de x se encuentra fuera de
los valores de x que conocemos. La forma de operar en este caso es idéntica al caso de la interpolación pero el
23
error que cometemos al hacer el cálculo puede ser considerable ya que el polinomio obtenido se ajusta bien a
los valores del intervalo que conocemos pero no sabemos si la función sigue la misma tendencia o no fuera
del intervalo.
PROBLEMAS
• Encontrar una función polinómica que pase por los puntos: (0,1), (1,2), (2,3).
• Dada la función f(x), se conocen los valores de x= 1, 2, 4; y sus imágenes, que son: 4, 7, y 31
respectivamente.
Calcular la función de interpolación lineal y cuadrática que toma dichos valores y comparar ambas.
Calcular el valor de la función de interpolación en x=3.
• Dada la siguiente tabla de valores:
X
1
2,5
4
5
Y
2
−1
8
30
Estimar el valor de la función en x=3.
• El nº de turistas que visitaron España en el período 1970−1985 siguió la tendencia que muestra la tabla
siguiente:
AÑOS
1970 1975 1980 1985
TURISTAS (MILLONES)
24.1
30.1
38.1
43.2
Hallar la previsión para el 1988 a partir de la función lineal del último tramo (80−85).
Efectuar idéntica previsión con el polinomio interpolador de 2º grado, también en el último tramo (años: 75,
80, y 85).
• Se considera la tabla de cuadrados siguiente:
X
6
7
8
X2
36
49
64
Hallar el valor aproximado de (55)1/2 con los datos proporcionados.
TEMA 10
INTEGRACIÓN INDEFINIDA Y DEFINIDA
Integral.
Se denomina integrar a la operación contraria a derivar. Se trata de calcular una función primitiva de otra que
se denomina integrando, tal que se cumpla que la derivada de la primitiva sea esa función integrando.
Si F(x) es primitiva de una función, F(x)+K también lo es, con lo que existen infinitas primitivas de una
función.
24
Propiedades de la integral indefinida: A las propiedades se las denomina de linealidad.
Cálculo de integrales: Hay varios grupos en que pueden clasificarse, para racionar y facilitar su estudio.
Integrales Cuasi−inmediatas:
Integrales tipo potencial:
Siempre que bajo el signo integral aparezca una función elevada a una constante, si lo que multiplica a dicha
función es, al menos, en su parte variable la derivada de la función, se puede ajustar por constantes.
Integrales tipo exponencial:
Cuando bajo el signo integral aparezca una constante elevada a una función, si lo que multiplica a la función
es, al menos, en su parte variable la derivada de la función, se puede ajustar con constantes, saliendo de forma
inmediata.
Integrales tipo logarítmico:
Cuando bajo el signo integral aparezca un cociente, si el numerador es, al menos, en su parte variable la
derivada del denominador, puede ser ajustado con constantes y será inmediata de tipo logarítmico.
Integrales inmediatas tipo arco:
Obedecen a los tipos siguientes:
TIPO
Resolución por el procedimiento de Cuatro Pasos
25
Resolución por el procedimiento de Cuatro Pasos
El procedimiento mencionado de los cuatro pasos consiste en:
1º Se multiplica por 4 el valor absoluto del coeficiente de 2º grado a, al numerador y denominador del
integrando.
2º Se expresa el denominador de la forma
(mx
n)2
p
3º Se divide numerador y denominador por p.
4º Se ajusta mediante constantes a la expresión de arcotangente.
Aplicar este procedimiento a las de tipo arcoseno o arcocoseno es análogo, salvo que en el primer paso se
multiplica por ("4a), y en el tercero se divide por ("p), desembocando en un arcsen f(x), o arccosf(x);
dependiendo del signo más o menos.
Integrales Racionales:
Se integran en este apartado expresiones de la forma:
, donde P y Q son polinomios de exponentes naturales y coeficientes reales.
Pueden darse dos casos diferentes:
• Si n
m
• Si n<m
En el primer caso se dividen los polinomios entre si y se aplica la regla de divisibilidad.
Pn(x):Qm(x)=C(x) y tendrá un resto R(x)
Pn(x) = Qm(x)*C(x)+R(x)
Si dividimos toda la igualdad por Qm(x) y tomamos integrales de nuevo tenemos:
La primera integral es de tipo inmediato, y la segunda se ajusta al segundo caso de grado del denominador
mayor que el del numerador.
26
Para resolver este segundo caso se aplica el procedimiento de descomposición de la fracción integrando en
fracciones sencillas o de coeficientes indeterminados.
Para aplicar este procedimiento, se descompone y factoriza al máximo posible el denominador. Este podrá
tener raíces de diferentes tipos:
Raíces reales simples: La descomposición de la fracción será:
A, B, son coeficientes reales indeterminados, que se determinan haciendo las operaciones de la igualdad.
Raíces reales múltiples: Imaginemos que tenemos dos raíces del denominador, x1, con =1 y x2 con =3. La
descomposición será la siguiente:
+
Raíces imaginarias: Cuando existen raíces imaginarias, siempre que existe la raiz a+bi, existirá su cojugada
a−bi. Imaginemos que tenemos dos raíces del denominador sencilla e imaginaria:
La segunda fracción es la correspondiente a la raiz imaginaria. A ese denominador se llega a través de teoría
general de factorización:
[x−(a+bi)]*[x−(a−bi)]
Una vez hallados los coeficientes se sustituyen en las fracciones simples. Tomando integrales en ambos
miembros, ahora salen de tipo inmediato o cuasi−inmediato. La integral que arroja el último tipo de
descomposición acaba en Ln+arctg como resultado. Esto se consigue, descomponiendo dicha integral en dos:
La primera es el logaritmo neperiano y la segunda el arcotangente.
Integración por sustitución:
Casi todas las integrales que no se hayan podido resolver por los procedimientos anteriores, requerirán la
aplicación de este procedimiento.
El método se basa en encontrar una función x=g(t) que al ser sustituida en la integral, la convierta en otra
mucho más sencilla de resolver. Esta función de sustitución debe cumplir con dos condiciones:
• Ser derivable y con derivada no nula
• Admitir función inversa
27
Sustituciones más comunes:
Recogemos en esta tabla las sustituciones más habituales que deberemos emplear según sea el integrando
original.
INTEGRALES
SUSTITUCIÓN
ax = t
ex = t
Lnx = t
cosx = t
Impar en seno
Idem. Impar en coseno
Idem. Par en sen y cos
Idem. Paridad indefinida
senx = t
tgx = t
tgx/2 = t
m impar: cosx=t
n impar: senx=t
Integrandos tipo: (a2−b2x2)1/2
m y n idem.paridad: tgx=t
x=a/b sent
(a2+b2x2)1/2
x=a/b tgt
(a2x2−b2)1/2
x=a/b sect
Integración por partes:
Se resuelve atendiendo a la fórmula correspondiente de la diferencial de un producto de funciones.
d(u*v)=udv+vdu !
Cálculo de Integrales Definidas:
Las integrales definidas, se calculan igual que las indefinidas, salvo que el resultado que arrojan es un número
y no una función. Una vez calculada la pimitiva, se aplica la regla de Barrow.
Esta regla indica:
Sea una función f(x) no negativa y continua en un intervalo [a,b], puede probarse que:
El area limitada por la curva f(x), el eje de las x, y las rectas x=a y x=b, es igual a la diferencia F(b)−F(a),
donde F(x) es cualquier función cuya derivada es f(x), esto es, F´(x) = f(x). Se escribe:
28
Es a esta la expresión a la que se conoce como regla de Barrow.
Aplicaciones de la integral definida:
La integral definida tiene muchas aplicaciones, pero la aplicación más general es la del cálculo de areas.
Para el cálculo de estas debemos tener en cuenta algunos casos diferentes:
• Cálculo del área cuando la función es definida negativa:
En el apartado anterior hemos indicado que la función debe ser definida positiva así que cuando queramos
calcular el área entre 1 y 2 en la función del gráfico, deberemos hacer:
ya que la integral definida tomaría signo negativo, y un área no puede ser negativa.
Si la función es definida negativa y positiva se tomará el valor absoluto en todo el rango. Por ejemplo al
calcular el area entre la curva y el eje, entre los valores 0 y 2, deberíamos hacer:
− Si el área a calcular es entre dos curvas, tenemos que:
Para calcular el área comprendida entre la recta y la parábola restaremos de la recta la ecuación de la parábola
y calcularemos la integral entre 0 y 5.
PROBLEMAS
• Resolver:
29
• Demostrar sin usar la regla de Barrow:
• Demostrar que para todo valor de r se cumple la desigualdad siguiente:
• Calcular el área limitada por la función y = tgx, el eje de abscisas y la recta correspondiente a x = /4.
• Calcular el área limitada por la función y = x(1−x)1/2, y los ejes de abscisas y de ordenadas.
• Calcular:
• Dadas las siguientes funciones: f(x)=1/(2+x2), y g(x)=x2/3, calcular el área delimitada por éllas.
30
• Determinar el área del recinto limitado por la parábola y2−2x=0 y la recta que pasa por los puntos:
(2,−2),(4,2"2).
TEMA 11
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Conceptos generales.
Definición: La estadística trata de la recogida de datos, ordenación y simplificación de los mismos;
describiendo y analizando uno o varios caracteres de una población o muestra de población.
Población: Conjunto del que se hace el estudio, analizando caracteres de sus elementos. Estos caracteres
pueden ser: Cualitativos o Cuantitativos.
Cualitativos: Son modalidades no medibles (Olor de flores,)
Cuantitativos: Modalidades medibles (Tª de un enfermo,)
Muestra: Subconjunto de la población. Al número de elementos que presenta se le denomina según tamaño de
muestra.
Tablas de recogida de datos.
Son conocidas también como tablas de distribución. Existen de dos clases.
Tablas de datos sin agrupar: El examen de una muestra da lugar a una serie de valores de la variable, que a lo
largo de todo el tema denotaremos xi, esscribiéndose en el orden en que se obtienen. Si los datos no son muy
numerosos se escriben en tablas, de forma encolumnada.
x1
x2
Frecuencia
Absoluta
n1
n2
Frecuencia
Relativa
f1=n1/N
f2=n2/N
Frecuencia Absoluta
Acumulada
N1= n1
N2= n1+n2
Frecuencia Relativa
Acumulada
N1/N=F1
N2/N=F2
xn
nn
fn=nn/N
Nn=n1+n2++nn
Nn/N=Fn
Variable
Frecuencia Absoluta: Nº de veces que se repite el valor de la variable.
Frecuencia Relativa: Nº de veces que se repite el valor de la variable entre el valor del tamaño de muestra.
Idéntico sucede con las acumuladas.
Tablas de datos agrupados:
Se utilizan cuando el tamaño de la muestra es muy grande. Los datos suelen agruparse en intervalos de clase,
sustituyendo cada variable por la semisuma de los extremos del intervalo a que pertenece. Esta nueva variable
es denominada Marca de Clase.
Intervalo
ei−ei+1
Marca de Clase
xi=(Ei−ei+1)/2
Frec. Assoluta
ni
31
El resto de variables que se meten en la tabla es igual que en la anterior.
Representaciones gráficas.
Son las diferentes maneras de representar los datos que se han tomado de la muestra.
Datos sin agrupar: Existen varias formas de representar estos datos. Las más usadas son los polígonos de
frecuencias y los diagramas de barras o columnas.
En los diagramas de barras se pone en el eje de abscisas la variable y la longitud de las barras es la frecuencia,
o proporcional a la frecuencia. La unión de los extremos de esas barras nos da la representación del polígono
de frecuencias.
Datos agrupados:
Histogramas: En el eje de abscisas se marcan los intervalos de clase, y en cada rectángulo se coloca una barra
de anchura la anchura del intervalo y de altura la frecuencia del mismo. Si se unen los puntos marcas de clase
de cada extremo de las barras del histograma con una línea, a esta se le denomina polígono de frecuencias,
como en el caso de datos no agrupados.
A menor amplitud del intervalo y mayor número de estos, más se aproxima el polígono de frecuencias a una
curva. Si las frecuencias se agrupan a la parte izquierda se habla de distribución asimétrica positiva y si lo
hacen a la derecha de distribución asimétrica negativa.
Si la acumulación de las frecuencias se produce en la parte central, se habla de una distribución simétrica
alrededor de un valor central.
Existen otro tipo de diagramas muy usados para el tratamiento de este tipo de datos, como:
Polígono acumulativo: Se trata de una linea poligonal que une los puntos (e1,0), (e2,N1),
Este tipo de diagrama se encuentra en la página siguiente.
Además se usan diagramas como:
Pictogramas, donde se sustituyen las barras del diagrama por figuras alusivas al carácter representado.
Cartogramas: sobre un mapa se representan los datos deseados.
Diagramas de sectores: los sectores tienen amplitudes proporcionales a las frecuencias.
Para representar y analizar los datos obtenidos de una distribución se usan una serie de medidas, que pueden
situarse en dos grandes grupos: Centralización y Dispersión.
Medidas de Centralización: Son valores alrededor del cual se agrupa la variable. Se toman, a veces, como
representantes de la distribución.
Estas medidas son las siguientes:
Media aritmética: En función de cómo sean los datos la podremos calcular de varias formas. Si tenemos n
datos la calcularemos:
32
Si se presentan con sus frecuencias absolutas:
Y si n1 datos presentan de media un valor, n2 otro diferente y así sucesivamente, calcularemos la media
según:
Si la media es ponderada, a cada valor de la variable afectan los pesos estadísticos. Todas las variables no
tienen la misma importancia. Las de mayor peso afectan más alos cálculos que las de menor peso. Esta media
se calcula:
Mediana: Ordenados de menor a mayor los valores de la variable, la mediana es el valor en que el 50% de los
valores son inferiores y el 50% son superiores. En el caso de N datos sin agrupar:
N impar: Valor central de la distribución
N par: Semisuma de los dos centrales
En el caso de datos agrupados se usa la expresión:
Donde el significado de cada parte de la expresión es el siguiente:
em: Extremo inferior del intervalo mediano
N=n1+n2+n3++nk
Nm−1: Suma de frecuencias absolutas anteriores a la clase mediana
nm: Frecuencia absoluta de la clase mediana
am: Amplitud de la clase mediana
Para calcular ésta, primero se calcula el intervalo mediano, que será aquel que cuyo extremo inferior
corresponde a una frecuencia acumulada inferior a la mitad de los datos y cuyo extremo superior corresponde
a la frecuencia acumulada superior a la mitad de los datos.
33
Moda: Es el valor de la variable estadística tal que su frecuencia es superior al valor de las frecuencias de las
anteriores variables, sucediendo idénticamente con el valor posterior. Puede haber una, varias o no existir.
Si los datos están agrupados en intervalos, debe buscarse el intervalo modal, primero. Luego se aplica la
expresión siguiente:
Donde toda la simbología tiene idéntico significado al ya visto. Con los subíndices m+1 y m−1, se denotan
valores del intervalo posterior y anterior al modal respectivamente.
A veces es más cómodo trabajar con los valores de la distribución agupados en cuartas partes, décimas partes,
o centésimas partes; así se habla de:
Cuartiles, Deciles y Percentiles: Ordenados en orden creciente, los datos de la distribución, los números que
dividen la distribución en 4, 10, ó , 100 partes con igual nº de datos cada una, son los cuartiles, deciles y
percentiles. El 25%, 10%, ó, 1% de los datos de la distribución, respectivamente, tienen valores inferiores a
Q1, D1, o, P1.
En datos sin agrupar se hallan números naturales iguales o superiores a N/4, 2N/4,y 3N/4 en el caso de los
cuartiles; N/10, 2N/10, , 9N/10 en el caso de los deciles, y N/100, 2N/100, , 99N/100 en el caso de los
percentiles.
Cuando se trata de datos agrupados se hallan primero los intervalos que contienen cada uno de los límites de
la distribución y luego se aplican las expresiones siguentes:
Donde la simbología tiene significado idéntico que en casos anteriores.
Medidas de Dispersión:
Miden la proximidad o alejamiento de los valores de la variable, o su concentración alrededor de la media
aritmética.
Recorrido o rango: Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.
Recorrido=xi−xj
Desviación media: Media aritmética de los valores absolutos de la variable y la media. Se calcula a través de
la expresión:
34
La segunda expresión se utiliza cuando disponemos de las frecuencias absolutas de la variable. Si los datos
fueran agrupados se usan las mismas expresiones pero en vez del valor de la variable se incluyen las marcas
de clase.
Desviación típica o standard: Es la más empleada para el estudio de la dispersión de los valores de la variable
respecto de la media. Se puede calcular a través de la expresión:
Si no se dispone de las frecuencias absolutas basta con suprimirlas en la fórmula y operarla sin ellas.
Varianza: Es el cuadrado de la desviación típica. v=S2
Coeficiente de variación de Pearson: Util cuando se quiere comparar dos distribuciones en su grado de
dispersión, teniendo estas distribuciones diferentes medias.
V=S/media de la variable
La que presente menor V será la que menos se desvía relativamente, lo que indica una media más
representativa de todos los valores de la distribución.
Variable tipificada: Util cuando quieren compararse dos distribuciones o medias, que no sean la aritmética y
la desviación típica. Se obtiene una nueva variable para cada distribución que se denomina tipificada.
Z=(x−x)/
PROBLEMAS
• Un médico atendió en 20 días las siguientes urgencias: 1, 3, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 6, 3, 1, 4, 0.
• Resumir los datos en una tabla, que muestre las frecuencias absolutas y los porcentajes, y dibujar el
diagrama de barras correspondiente.
• Calcular la media y la mediana del conjunto de datos.
• Las dianas logradas por 25 tiradores en un campeonato fueron: 8, 10, 12, 12, 10, 10,11, 11, 10, 13, 9, 11,
10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 8, 10, 9, 10. Resumir estos datos en una tabla de frecuencias absolutas y
relativas, y dibujar el diagrama de barras, calculando la media y mediana del conjunto de datos. Indicar el
error máximo y mínimo con que puede predecirse el comportamiento de este grupo de tiradores.
3) Ciertos empleados tienen de sueldos: 80000, 105000, 90000, 85000, 120000, 190000, 100000. Calcular el
sueldo medio de los empleados de la empresa.
¿ Es el sueldo medio representativo de los sueldos anteriores? En caso negativo proponer una medida
considerada oportuna en esta situación.
35
• Controlando el peso de 50 recién nacidos se obtienen los datos indicados a continuación: 6 niños pesan
menos de 2.5 Kg, 9 tienen pesos entre 2.5 y 3, 20 niños pesan entre 3 y 3.5, 10 entre 3.5 y 4, y 5 pesan más
de 4 Kg y menos de 5 Kg.
Calcular la media, le mediana y la desviación típica.
• Del ayuntamiento de cierto pueblo se han obtenido los siguientes datos sobre el número de fincas agrícolas
en relación a su superficie explotada:
Superficie(Ha)
0−5
5−10
10−15
15−20
20−25
Nº fincas
2
10
3
4
1
Calcular la superficie media de explotación, moda y mediana, y los cuartiles de la distribución y representar
gráficamente la misma.
• Se preguntó a 62 personas cuánto tiempo dedicaban a ver la televisión durante un fin de semana y los datos
obtenidos se recogen en la siguiente tabla:
Tiempo(Hs)
0−0.5 0.5−1.5 1.5−2.5 2.5−4
Nº personas
10
10
18
12
Hállese la mediana, moda, media y desviación típica.
4−8
12
Dibújese el histograma de frecuencias.
TEMA 12
DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES
Variable estadística bidimensional.
Este tipo de variables surge con el estudio cuantitativo de dos caracteres dentro de un grupo. Suele interesar el
grado de correlación o de dependencia que existe entre ambos caracteres.
Cada observación da lugar a un par de valores (x,y), que indican el valor de la variable X e Y
respectivamente. Se disponen en tablas. Representados en el plano cartesiano tenemos una nube de puntos o
diagrama de dispersión. Esta nube obtenida da una idea de la correlación existente. Las correlacionas más
frecuentes son la rectilínea y la curvilínea.
Si crecen las dos variables a la vez, a la correlación se le denomina directa; mientras que si al crecer una
decrece la otra, a la correlación se le denominará inversa.
Si los puntos considerados se encuentran dispuestos al azar, a la distribución se le dice incorrelada, mientras
que si obedecen a una función a la correlación se le denominará funcional.
Recta de regresión mínimo cuadrática.
Por regresión se entiende la sustitución de una nube de puntos por la función matemática que mejor se ajuste a
ella.
La recta de regresión de y sobre x tendrá por ecuación: y=ax+b, y será aquella que mejor se ajuste a todos los
pares x e y que tengo.
36
Denominaremos residuo correspondiente a la observación (xi,yi) a la diferencia existente entre la ordenada del
punto real Pi(xi,yi) y la ordenada de la recta de regresión de y sobre x, correspondiente a xi.
yi−(axi+b)=yi−axi−b
La recta que hemos propuesto como regresión será la mejor si los valores de a y de b son los que hacen
mínima la suma de de cuadrados de los n resíduos; esto es, hacen mínima la expresión:
Los valores que cumplen con esto son hallados a través de aplicar en esta expresión la condición de máximo o
mínimo:
Las ecuaciones [1] y [2] se denominan normales, y permiten hallar a y b que necesitamos para la recta de
regresión.
Igual que regresión de y sobre x podemos hacer una regresión de x sobre y, caso de necesidad. La ecuación de
la recta será: x=cy+d.
Sus residuos vendrán dados por la diferencia entre la abscisa observada y la de la recta.
Las ecuaciones normales, serán de expresión idéntica a las vistas en la regresión de y sobre x, excepción
hecha que donde aparezcan a y b, en estas últimas aparecerán c y d, respectivamente.
La forma que tomarán estas ecuaciones será la siguiente:
De las ecuaciones [1] y [2] de la regresión de y sobre x, resolviendo el sistema para a y b, y sustituyendo estos
valores en la ecuación general punto pendiente de la recta se obtiene la expresión:
Y de las segundas ecuaciones de la regresión de x sobre y se obtiene, operando de forma análoga, la ecuación
del ajuste indicado, que toma la expresión:
37
Estas ecuaciones no indican la bondad de la regresión, ni su calidad. Esto se analizará a través del coeficiente
de correlación r.
El coeficiente de correlación lo calcularemos teniendo en cuenta el concepto de covarianza.
Se denomina covarianza a la expresión:
y considerando que:
con lo que las ecuaciones de regresión pueden escribirse de la forma:
A la relación dada por: Sxy/SxSy, se le denomina coeficiente de correlaciónde x e y, y nos indica la bondad
del ajuste que hemos realizado. Teniendo en cuenta que a y c eran las pendientes de las rectas de regresión, y
la forma de expresarlas en función de la covarianza, es faácilmente deducible que r2=a*c.
La condición que debe cumplir r será: −1 " r " 1.
Si r está comprendido entre 0 y 1 la correlación es directa, y si lo está entre 0 y −1, será inversa.
Si tomara valor 0, esto quiere decir que los puntos están incorrelados.
Cuando r alcanza valor 1 ó −1, se dice que la correlación es perfecta o ideal; luego la correlación entre las
variables estudiadas será tanto mejor, cuanto más se acerque a estos valores el coeficiente.
PROBLEMAS
• Un profesor ha realizado un test a 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados:
38
Test 1: media 6; desviación típica 1.5
Test 2: media 4; desviación típica 0.5
Un alumno obtiene 6 en el primer test y 5 en el segundo. En relación a los resultados del grupo, en cuál
obtuvo mejor puntuación?
• Cinco niños de 2, 3, 5, 7, y 8 años de edad pesan respectivamente: 14, 20, 30, 42, y 44 kilogramos.
Hallar la recta de regresión del peso sobre la edad.
Cuál sería el peso aproximado de un niño de 6 años.
• La tabla adjunta, indica la relación entre la mortalidad en función del consumo de tabaco al día:
Nº de cigarros
3
5
6
15
20
40
45
I.M.
0.2 0.3
0.3
0.5
0.7
1.4
1.5
Determinar la correlación entre x e y, y predecir la mortalidad para un consumo de 60 cigarros diarios.
• Calcular la recta de regresión correspondiente a la distribución siguiente:
Altura niv. Mar
0
184 231 481 730 911 1550
Presión
760 745 740 720 700 685 650
¿Qué presión atmosférica habrá en Peña Vieja, si se encuentra a 2600 m. de altitud?
TEMA 13
PROBABILIDAD
Generalidades.
Experimento aleatorio: Es un experimento que repetido en idénticas condiciones arroja resultados diferentes,
no puede predecirse el resultado de una experiencia en particular. Por ejemplo: Lanzamiento de un dado,
monedas, extracción de cartas de una baraja,
Si r1, r2, , rn Posibles resultados de un experimento ={ri}
es el Espacio Muestral que contiene todos los posibles resultados del experimento y ri es cada uno de los
sucesos elementales, o posibles resultados del experimento.
Un Fenómeno puede ser Estocástico, cuando no puede predecirse el resultado, o determinístico, cuando da
siempre el mismo resultado.
Suceso: Subconjunto del espacio muestral. Los sucesos pueden clasificarse en:
Seguro: Se verifica por todos los resultados del experimento.
Imposible: No es verificado por ninguno de los resultados del experimento.
Contrario de otro: Aquel que verifica todos los resultados que no verifica el 1º.
39
Idéntico a otro: Cuando ambos sucesos son verificados por los mismos resultados. Uno puede estar incluido
en otro, no tienen por que ser el mismo suceso.
Incompatibles: Su realización de forma simultánea es imposible.
Compatibles: Pueden darse simultaneamente.
Operaciones con sucesos: Hay tres operaciones fundamentales con sucesos.
Unión: Se da la unión de dos sucesos si se realiza al menos uno de éllos.
Representada por A"B, lo que significa que puede darse A, B, ó ambos a la vez, pero no puede afirmarse que
se den los dos a la vez.
Intersección: Se da cuando se realizan los dos sucesos a la vez.
Representada por A"B. Necesariamente deben darse A y B a la vez para que exista.
Diferencia: Entre dos sucesos A y B se da la diferencia cuando se verifica por los resultados de A y el
contrario de B.
Representada por A−B=A"
.
Propiedades de Unión e Intersección:Sea un experimento aleatorio y P una partición del mismo, que
contiene el suceso vacío (").
Se cumple: " A, B, C, "P()
A"B"C" "P()
A"B"C" "P()
" A"P()!
"P()
N. B. : Estas propiedades indican que la partición del espacio muestral contiene las operaciones indicadas en
el apartado anterior.
UNIÓN
A""=A
A"=
A"B=B"A
A"(B"C)=(A"B)"C
A"(B"C)=(A"B)"(A"C)
A"A=A
A"
=
A"(A"B)=A
INTERSECCIÓN
A""="
A"=A
A"B=B"A
A"(B"C)=(A"B)"C
A"(B"C)=(A"B) " (A"C)
A"A=A
A"
="
A"(A"B)=A
40
Algebra de Boole: Si es el espacio muestral de un suceso aleatorio y A es un conjunto de sucesos de : A
será álgebra de Boole si se dan las propiedades siguientes:
A
"; "Ai"A!"
i"A; "(Ai, Aj) "A2! Ai"Aj"A
Al par {, A} se le denomina espacio probabilizable.
A los elementos de A se les conoce como sucesos estocásticos, donde es el suceso seguro y " es el suceso
imposible.
Frecuencias: Si se realizan n pruebas en un experimento aleatorio y A se presenta nA veces, este valor será la
frecuencia absoluta de A y el cociente de nA/n será la frecuencia relativa del mismo.
Probabilidad: Una probabilidad P sobre un álgebra de Boole A de elemento universal , es una aplicación de
A en el intervalo real [0,1] que satisface:
"Ai"A!P(Ai)
0
P()=1
Si A1, A2, A3, son incompatibles dos a dos entonces: P(A1"A2"A3")=P(A1)+P(A2)+P(A3)+
Esta es la conocida como definición axiomática de probabilidad. La probabilidad de un experimento aleatorio
se hace considerando la frecuencia relativa de los sucesos elementales, en un número elevado de pruebas.
Propiedades de la probabilidad:
P(A)+P(
)=1
P(")=0
0
P(A)
1
Si A"B !P(A)
P(B)
P(A"B)=P(A)+P(B)−P(A"B)
Si P(A)=P(B) entonces A y B son equiprobables.
Si atendemos a todo esto podemos dar la definición clásica de probabilidad como:
P(A)=nº de casos favorables/nº de casos posibles
41
Expresión conocida como fórmula de Laplace.
Probabilidad Condicionada: Si A y B son dos sucesos del mismo experimento aleatorio tal que P(B)>0, se
denomina probabilidad condicionada a P(A/B). Este valor se refiere a un suceso ya realizado B, al que se da el
nombre de probabilidad a posteriori de A, en contraposición de P(A) que se conoce como a priori.
El valor de esta probabilidad se obtiene haciendo:
P(A/B)=P(A"B)/P(B); P(B/A)=P(B"A)/P(A)
Sucesos independientes: A y B serán independientes si cumple que: P(A"B)=P(A)*P(B)
Como P(A/B)=P(A"B)/P(B)! P(A"B)=P(B)*P(A/B) !P(A/B)=P(A)
Teorema de Bayes: Sean A1, A2, A3, , An " y B un suceso que se sabe realizado, al hacer una prueba.
Se conocen: Probabilidades condicionadas: P(B/A1), , P(B/An)
Probabilidades a priori: P(A1), P(A2), , P(An)
Deseamos conocer P(Ai/B)
Esta probabilidad podremos calcularla a través del teorema de Bayes.
P(A/B)=P(Ai)*P(B/Ai)/[P(A1)*P(B/A1)++P(An)*P(B/An)]
PROBLEMAS
• En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al futbol o al baloncesto
y el 10% practica ambos. Si además hay un 60% que no juega al futbol. ¿Cuál será la probabilidad de que,
escogido al azar un alumno de clase:
• Juegue sólo al futbol
• Juegue sólo al baloncesto
• Practique uno sólo de los deportes
• No juegue al futbol ni al baloncesto?
• Se tiran dos dados. Sea E el suceso de que la suma de los puntos obtenidos sea impar. Sea F el suceso de
que por lo menos, uno de los dados muestre un 1. Calcular:
• Probabilidad de la intersección de ambos sucesos
• Probabilidad de la unión de ambos sucesos
• Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes. Otra urna contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma al
azar una bola de cada urna. Describir el espacio muestral del suceso. ¿Cuál es la probabilidad de que sean
del mismo color? ¿y diferente?
• De una baraja se extraen simultáneamente 2 cartas. Si la baraja tiene 48 cartas, calcular la probabilidad de
que:
• Las dos sean de copas
• Al menos una sea de copas
• Una sea de copas y la otra de espadas
42
• Se dispone de tres cajas con bombillas. La 1ª contiene 10 bombillas, de las cuales 4 son fundidas; la 2ª tiene
6 bombillas, de las que 1 es fundida; y la 3ª tiene 3 fundidas de un total de 8. ¿Cuál es la probabilidad de
que al tomar una bombilla al azar de una de las cajas, esté fundida?
• Tres máquinas A, B, y C fabrican tornillos del mismo tipo. Los porcentajes de defectuosos son 1, 2, y 3 %
respectivamente. Se mezclan 120 tornillos escogidos de la forma siguiente: 20 de la A, 40 de la B, y 60 de
la C. Elegido uno al azar, sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de haber sido fabricado por B?
• En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es de 0.1. Si este se produce, la
probabilidad de que la alarma suene es de 0.95. La probabilidad de que suene, la misma, sin haber habido
incidente es de 0.03. Si la alrma ha funcionado, calcular la probabilidad de que no haya habido incidente.
ANEXO 1
TRIGONOMETRÍA
Definición: Es la parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un
triángulo, esto es relaciones métricas.
Trazada una circunferencia, a cada arco le corresponde un ángulo central y viceversa. En toda circunferencia a
ángulos iguales les corresponden arcos iguales.
Para poder medir un arco es necesario precisar el origen, el sentido y la unidad de medida. Como origen se
considera el punto donde el diámetro horizontal corta a la circunferencia. El sentido de medida se considera
positivo si es antihorario y negativo si es horario. Como unidades de medida se usan: el grado sexagesimal y
el radián.
Grado Sexagesimal: Es el valor del ángulo central que resulta al dividir una circunferencia en 360 partes
iguales. Cada una de esas partes es un grado. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60
segundos. (º, `, ``).
Radián: Es el valor de un arco que tiene una longitud igual a la del radio con el que ha sido trazada la
circunferencia. Si una circunferencia contiene al radio 2 veces también contendrá al radián 2 veces.
La correspondencia entre estas unidades: 360º=2rad.
Razones de un ángulo agudo:
El estudio de las razones trigonométricas de los ángulos agudos se hace en u n triángulo rectángulo. Los lados
de un triángulo rectángulo se denominan catetos e hipotenusa, y la relación que existe entre ellos se da a
través del teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras: a2=b2+c2
Consideraremos el ángulo agudo marcado y definiremos las razones trigonométricas como:
Seno de B=cateto opuesto/hipotenusa=b/a
Coseno de B=cateto contiguo/hipotenusa=c/a
Tangente de B=cateto opuesto/cateto contiguo=b/c
Cotangente de B=1/tangente de B=c/b
43
Secante de B=1/coseno de B=a/c
Cosecante de B=1/seno de B=a/b
Relaciones trigonométricas fundamentales:
De las relaciones indicadas antes se deducen las siguientes:
Relaciones inversas:
senB*cosecB=1
cosB*secB=1
tgB*cotgB=1
Relación Pitagórica:
sen2B+cos2B=b2/a2+c2/a2 =1
Las derivadas de la relación pitagórica se obtienen con sólo dividir ambos miembros de esta por sen2B o por
cos2B dándose:
1+cotg2B=cosec2B (Dividiendo entre sen2B)
tg2B+1=sec2B (Dividiendo por cos2B)
Relaciones de ángulos de 30º, 45º, y 60º:
30º
(L/2)"3
L
L/2
60º
El estudio de las razones de los ángulos de 30º y 60º se hace en un triángulo equilátero, y las del ángulo de 45º
se hace en un cuadrado. Se obtienen los siguientes valores:
Seno
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
Cotangente
30º
1/2
"3/2
"3/3
2
2"3/3
"3
60º
"3/2
1/2
"3
2"3/3
2
"3/3
45º
"2/2
"2/2
1
"2
"2
1
Resolución de triángulos rectángulos:
44
Resolver un triángulo consiste en encontrar uno o más elementos desconocidos, a partir de otros conocidos.
Casos de resolución:
Siempre ha de tenerse en cuenta que se cono ce un ángulo en estos triángulos: el recto.
ELEMENTOS CONOCIDOS
¿CÓMO SE CALCULAN LOS DEMÁS?
Dos lados
Un lado
Un ángulo
• El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras.
• El ángulo que forman dos lados conocidos se halla a partir
de la razón trigonométrica que los relaciona.
• Otro lado se calcula mediante la razón trigonométrica que lo
relaciona con el lado y el ángulo conocidos.
• El otro ángulo agudo es el complementario del que
conocemos.
Esto puede aplicarse a triángulos no rectángulos mediante la estrategia de la altura. Si se traza la altura de un
triángulo no rectángulo, este se convierte en dos triángulos rectángulos, que puede, que con los datos que
tenemos sean resolubles y por tanto, el no rectángulo.
Ej: En este caso pretendemos calcular x, y, z, y el cateto c.
Resultados útiles:
A través de todos estos cálculos podemos establecer otros como:
Proyección de un segmento sobre otro:
La longitud de la proyección de un segmento sobre una recta es igual al producto de la longitud del segmento
por el coseno del ángulo que forman.
cos=AC/AB ! AC=AB cos ! A´B´=AB cos
Altura y Area de un triángulo:
La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales, por el seno del ángulo que dicho
lado forma con la base.
sen=h/a ! h=a sen
El área de un triángulo es igual a la mitad de el producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que
forman.
Área=b*h/2=1/2ab*sen
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera:
Para hallar las razones trigonométricas de cualquier ángulo no basta un triángulo rectángulo. Los estudiamos
en una circunferencia, denominada goniométrica de radio unidad, en cuyo centro se traza los ejes Cartesianos
(XY). En esta pueden generalizarse las definiciones que se han dado para las razones de ángulos agudos.
45
El signo de estas depende, sólo, del signo que tengan la abscisa y la ordenada del extremo del arco.
El radio siempre se toma como positivo.
La ordenada es positiva en el primer y segundo cuadrantes.
La abscisa es positiva en primer y cuarto cuadrantes.
Sen
Cos
Tg
Cotg
Sec
Cosec
1º Cuad
+
+
+
+
+
+
2º Cuad
+
−
−
−
−
+
3º Cuad
−
−
+
+
−
−
4º Cuad
−
+
−
−
+
−
Líneas trigonométricas:
Son la representación geométrica de las razones trigonométricas en una circunferencia de radio unidad.
Sen =AB
Cos =OA
Tg =CT
Cotg =DE
Sec =OT
Cosec =OE
Relaciones trigonométricas entre diferentes ángulos:
Angulos complementarios: Son los que suman 90º.
Angulos suplementarios: Son los que suman 180º.
Angulos opuestos: Son los que suman 0º, ó múltiplos enteros de circunferencias.
Angulos opuestos:
Sen(−x)=senx
Cos(−x)=cosx
Tg(−x)=−tgx
Angulos que difieren en 180º: x, y, x+180º
Sen(x+180º)=−senx
46
Cos(x+180º)=−cosx
Tg(x+180º)=tgx
Angulos complementarios: x, y, x+90º
Sen(90º−x)=cosx
Cos(90º−x)=senx
Tg(90º−x)=cotgx
Angulos que difieren en 90º: x, y, x+90º
Sen(x+90º)=cosx
Cos(x+90º)=−senx
Tg(x+90º)=−cotgx
Angulos suplementarios: x, y, 180º−x
Sen(180º−x)=senx
Cos(180º−x)=−cosx
Tg(180º−x)=−tgx
Funciones circulares: senx, cosx, y tgx:
Se trata de dos funciones periódicas, de período igual a 2. Son continuas para todo valor de x real.
Se trata de funciones: Impar el seno y par el coseno.
Ambas toman valores entre +1 y −1, con lo que están acotadas superior e inferiormente.
La función tangente es periódica, de período , es continua en toda la recta real salvo en (90º+180K), donde
manifiesta tendencia asintótica hacia +", ó −".
Se trata de una función impar.
Fórmulas trigonométricas:
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos:
Razones trigonométricas del ángulo doble:
47
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
Sumas y diferencias de senos y cosenos: Transformación de sumas en productos.
Ecuaciones y Sistemas trigonométricos:
Son aquellos donde aparece la incógnita, que como en toda ecuación o sistema debemos despejar, y encontrar
su valor.
Para ello deben usarse todas las relaciones, que sean necesarias, de las vistas en este tema.
En el caso de las ecuaciones deben ponerse todas las líneas en función de una y posteriormente despejar.
PROBLEMAS
• Sabiendo que cos a =0.63. Calcular el resto de razones trigonométricas.
• Sabiendo que tg a = 2. Calcular el resto de razones trigonométricas.
• Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9m de cuerda y esta forma un ángulo de 55º con el suelo. ¿A
qué altura se encuentra?
• Calcular en el triángulo no rectángulo, que se incluye en el tema, el lado c.
• Para hallar el ancho de un río nos situamos en la orilla A, y medimos el ángulo bajo el que se ve un árbol
(53º), situado en la otra orilla. Nos alejamos 20 m de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos
a medir el ángulo, resultando 32º esta vez. ¿Cuál será el ancho del río?
• Un grupo de operarios transporta un biombo formado por cinco piezas de longitudes: 3.20, 1.80, 2.40, 2.90,
y 3 metros. Las piezas forman con el suelo ángulos de: 35, 70, 22, 77, y 55º. Hallar la longitud de la
comitiva.
• Hallar el área de un triángulo escaleno de lados: 7 y 5 cm, y ángulo entre ambos de 52º.
48
• Resolver la ecuación: cos(30º+a)=sen a
• Resolver la ecuación: 2cos2x+cosx−1=0
• Resolver la ecuación: 2sen 2x−1=0
jercicios algebra basica
Sacar factor común en las siguientes expresiones:
ð 3b+12
ð 7x−21
ð 15xy+30z
ð 12xy−30xz
ð 9x2y+21x
ð 4u2v2−12uv2
ð 7ab−14ac+21ad
ð 12abc2−42bc+6ab2c
ð 5axy4−6ax4y+7ª2xy
ð 13−26hk−39uv
ð x2y−x4y2+ax6y6
ð 15ap2−30a2p2+5p4
ð 100m2−200mn+300mn2
ð 250x2−1000x6y
ð 52x−52x2
ð 17A2−51B2
ð 13(AB)2−65(AB)2
ð 15A2B2+30A2B2
ð (x−2)a+(x−2)b
Desarrolla los siguientes cuadrados sin hacer la multiplicación:
ð (x+6)2
ð (2x−6)2
49
ð (2x+6y)2
ð (2x−6y)2
ð (A2−2)2
ð (2b2+1t)2
ð (4−5w2)2
ð (2u2−av)2
ð (2ax−3by)2
ð (2x2+3xy2)2
ð (32−22)2
ð (30−1)2
ð (20+1)2
ð (50−1)2
ð (20−1)2
ð (100−1)2
Calcular cuáles de los trinomios son cuadrados perfectos y, cuando sea posible, descomponerlos:
(1) x2+2x+1
ð 9+6x4+x2
ð 4y2−4y+1
ð 16u2+16u+4
ð 9v2−18v+9
ð U2+16U4+64U6
ð 16a2b2−8ab2c2+b2c4
ð 9+6x4+x2
ð −30x+225+x2
ð 4x2+6xy+8y2
ð 16abc+16a2b2−4c2
50
ð 0'16t2+0'8t+1
ð 0'25x2−0'25x+1/16
ð x6+12x2y2+9y4
ð 108U2V2+36U4+81V4
ð −40ST+16S2+25T2
ð −(x2+2x+1)
ð −(−112R+49R2+64)
ð x2+2x(a+b)+(a+b)2
ð (a+b)2−a(a+b)(a−b)+(a+b)2
Hallar cada uno de los siguientes productos sin efectuar la multiplicación:
ð (x+5)(x−5)
ð (2x+5)(2x−5)
ð (5xy−6)(5xy+6)
ð (12+9RS)(12−9RS)
ð (3xyv−4ab)(3xyv+4ab)
ð (3ab2c−4ad2)(3ab2c+4ad2)
ð (11axt2v2+w4)(11axt2v2−w4)
ð (5.32+4)(5.32−4)
ð ((a+4)−b)((a+4)+b)
ð ((x−y)+z)((x−y)−z)
(11) (2c+d+e)(2c+d−e)
ð (a+b+5)(a+b−5)
ð (a−b+5)(a+b+5)
ð (a2−b2−ab)(a2+b2+ab)
ð (10+2ª+3b)(10−2ª−3b)
ð (3−x+y)(3+x+y)
51
ð (a+b+7)(a−b+7)
ð (−a−b+7)(a+b+7)
ð (10x2a+9bc)(9bc−10x2a)
Descomponer en factores y después comprobar el resultado efectuando la multiplicación:
(1) 16−x2
ð 9x2−y2
ð 4U2−4V2
ð 25a2−64c2
ð 25a2−9b2
ð x2y2−4y2z2
ð (xy)2−9z2
ð 4(ab)2−(3c)2
ð (2abc)2d2−16
ð 4a2(uv)2−9(xy)2ww2
(11) A2(bc)2−64(10)2
(12) 22a2b2−42c2
ð (a+2)2−x2
ð (a+2b)2−9c2
ð a2+2ab+b2−c2
ð a2−4ba−4bc−c2
ð 4−(x+2y)2
ð 100−(a−b)2
ð 4b2+9c2−16x2−12bc
ð (4−x)2−(x−y)2
Descomponer en factores y comprobar las soluciones multiplicando:
52
ð 2x2+11x+12
ð 2x2+6x−20
ð 2x2−7x−30
ð 6x2−16x−6
ð 6x2+17x+10
ð 20x2+41x+20
ð 12x2−x−20
ð 15x2+34xy−77y2
ð 45x2−78xy−63y2
ð 4x+8y−12z
ð 4x2+8xy+4y2
ð 8x+x4
ð 10x2+23x+12
ð x2−6x+8
(15) 100−x4
(16) 16−x4
ð (x2+4)2−(4x)2
ð 6A2−A−2
ð 5B2−24B−5
ð 14x2+29x−15
ð 25x4−25x
ð 25x2−10xy+y2
ð mn2−6mn+9m
ð 6y2−48
ð a2−b2−bc−4c2
ð 4x2−100
53
ð (x−y)2−125
(28) (x−y)2−25
ð 27+(a−2b)2
ð 8x−2xy2
ð 10x2+23xy
ð 2x2y4−16x2y
ð (x2+4)2−16x2
ð a2x2−b2
ð a2+8a5
ð 22x2+69x+35
ð Ax5−Ax2
ð (2x+y)2+2(2x+y)+1
ð −x2−y2+2xy+a2
ð 4(x−y)2−4(x−y)+1
ð (a−2b)2+(a+2b)2
ECUACIONES
Esquema de resolución de ecuaciones de primer grado.
ð Quitar denominadores.
2. Quitar paréntesis.
3. Despejar la incógnita.
4. Comprobación de la solución.
Resolver y comprobar las siguientes ecuaciones.
(1) 2x+3=x+4
(2) 4x−10=2x+2
(3) 9x+9+3x=15
(4) 300x−250=50x+750
54
(5) 17x−7x=x+18
(6) 2'5x+0'5x=1'5x+1'5
(7) 9y−19+y=11
(8) x+2x+3−4x=5x−9
(9) 2y+3y−4=5y+6y−16
(10) 75z−150=80z−300
(11) 3'3x+2'7x−4'6=7'4
(12) 2y−3y+4y−5=6y−7y+15
(13) (4x+6)−2x=(x−6)+24
(14) 15y−(3−(4y+4)−57)=2−y
(15) (2y−(3y−4)+5y−6)+10y=(12y−12)+36
(16) 4t−(12t−24)+38t−38=0
Problemas de ecuaciones I
1. Un hombre tiene s años. Expresar algebráicamente su edad hace 5 años; su edad hace T años; y su edad
hace 5+T años. Expresar su edad dentro de 5+T años..
2. Hace 10 años, un hombre tenia s años, ¿cuántos años tendrá dentro de 20 años? ¿ y dentro de T años?
¿cuándo habrá cumplido los 30 años?.
3. Un hombre recorre d kilómetros en 8 horas, ¿cuánto recorre en un ahora? ¿ y en T horas? ¿y en T horas y
m minutos?
4. Un coche recorre d kilómetros en h horas?, ¿cuánto tardará en recorrer 100 kms?
5. ¿Cuántos céntimos hay en 20 pts.? ¿ y en a pts.? ¿ y en 10 monedas de 10 céntimos? ¿ y en d monedas de
10 céntimos y n de 5 céntimos?
6. Un hombre tiene 2x ptas., ¿cuántas monedas de 10 céntimos podría tener?, y de 5 céntimos?, ¿cuántos
céntimos tiene?
7. Si tú tienes 100 ptas. Más que yo y tú tienes x ptas. ¿cuánto dinero tengo?−
8. Escribir cinco números impares consecutivos, sienda a el número impar del centro.
Escribir los siguientes ejercicios como ecuaciones y resolverlos.
9. 4x sumado con 4, resulta 44.
10. Si a 10x le sumamos 4 resulta lo mismo que si a 8x le quitamos (2−3x).
55
11. Si a 12x le restamos 4, resulta lo mismo que si a 4x le añadimos 12.
12. Un automóvil gasta un litro de gasolina al recorrer 18 km. Si recorre 360 km y gasta x litros, ¿cuánto vale
x?
13. Un hombre compra un coche usado por 96000 ptas. Y lo vuelve a vender perdiendo d ptas. Si lo vendió
por 45000 ptas., ¿cuánto vale d?.
14. Si sumamos 10 al doble de tu dinero resultará lo mismo que si restamos tu dinero de 43. Llamando x a tu
dinero, calcula x.
15. Si se suma 10 a 10x y se 15 del total, el resultado es igual a 2x+3. Calcular x.
16. 17. 18. 19. Escribir las ecuaciones de las relaciones que aparecen en las figuras a, b, c, y d
respectivamente y resolver en cada una de ellas.
12
7x
18 x
20. 21. 22. Los balancines que aparecen en las figuras siguientes están en equilibrio cuando los pesos de
ambos lados son iguales. Hallar los valores de los pesos desconocidos (en kilogramos) que aparecen en las
figuras (a), (b) y ( c ) respectivamente.
23. Si x es un cierto número de litros de aceite y su precio total es de 140 ptas.., ¿cuál es el precio de un litro?
24. Hallar el precio de cada libro, si 8 libros, a x ptas. El libro, han costado 2000 ptas. Escribir el enunciado
como una ecuación y resolverla para hallar el valor de x.
25. Una habitación es 3 veces más larga que ancha y tiene un perímetro de 96 m. ¿Cuáles serán sus medidas?
(en primer lugar, dibujar un plano de la habitación, que será tres veces más largo que ancho).
Aplicación de multiplicación de polinomios.
1. Hallar el tanto por ciento de error, si no se tiene en cuenta el término ab en (1+a)(1+b) cuando a=0'001 y
b=0'002.
2. Hallar con tres cifras decimales exactas el valor de 1'002x1'05, utilizando el método anterior (a=0'002,
b=0'05).
3. ¿Cuántas cifras de decimales pueden precisarse en el producto 1'02x1'0024 por el método anterior?
(NOTA: b tiene cuatro cifras decimales).
4. ¿Cuál es el tanto por ciento de error cometido suponiendo (1+a)(1+b)=1+a+b cuando a=0'003 y b=0'005?.
5. Suponiendo (1+a)=1+3ª, ¿cuál es el tanto por ciento de error al 0'0002? ¿cuando a=0'002? ¿cuándo a=0'2?
6. Al medir el radio r de un círculo cuya longitud correcta es 1 dm hemos cometido un error del 1%. Hallar el
tanto por ciento de error cometido al calcular su área con el radio que hemos medido. El área de un círculo es
56
PR2, donde R es su radio.
7. El área de un triángulo se ha determinado dibujando una figura a escala y midiendo su base y su altura. Al
medir la base y la altura se han cometido errores del 1'5% y del 2% respectivamente, ambos en exceso. ¿Cuál
será el tanto por ciento del error cometido al calcular el área, despreciando el término del producto de los dos
errores? El área del triángulo es el producto de la mitad de la altura por la base.
8. Hallar el producto aprosimado en los casos siguientes:
(a) 1'003x1'012 (b) 1'02x0'97 (c) 1'004x0'998
(d) 0'97x0'98 (e) 9'996x0'997 (f) 0'985x0'996
9. Al medir las dimensiones de un rectángulo se ha cometido un error del 2% en exceso en la longitud y el
error en la anchura ha sido del 3% por defecto. Si calculamos el área con estas medidas, hallar el porcentaje
del error cometido.
10. Al medir un triángulo, la base se ha medido con un exceso del 1% y la altura con un defecto del 1'5%.
Hallar el porcentaje del error del área calculada con estas medidas.
11. Si el error de un número es del 1%, ¿cuál es el porcentaje del error en su cuadrado? ¿y en su cubo?.
12. Hallar el área de un rectángulo que mide s más largo que de ancho.
13. Hallar el volumen de un ortoedro que mide 2x−3 metros de ancho, 7x−2 metros de largo y x+4 metros de
alto. Dibujar la figura. Para hallar el volumen se multiplica la longitud por la altura por la anchura. La fórmula
es V=lah.
14. Hallar el volumen de un cilindro circular recto cuya altura es h dm y su radio 2h−4 dm. Volumen del
cilindro: V=PR2h donde R es el radio y h la altura. Dibujar la figura.
15. Un cuadrado tiene en su interior una perforación cuadrada, cuyas dimensiones aparecen en la figura.
Hallar el área no perforada.
16. Una lámina de acero de a cm de ancho se cierra uniendo sus cantos para formar una conducción
rectángular de d cm dealto. ¿Cuál es el área de la sección de esta conducción?
17. Una lámina rectángular es estaño de a cm y b cm de largo se emplea para hacer de ella una caja sin tapa.
Cortando en cada esquina un cuadrado de c cm de lado y doblando hacia arriba las solapas resultantes. Hallar
el volumen de la caja. Dibujar las distintas figuras del proceso.
18. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a) (x−4)2 = x2−40
(b) (x−3)2 = (x+3)2−24
(c ) 9(x−10) = −(x−10)
(d) 20(x+2) = 2(x+20)
(e) (x−3)2+40 = (x+7)2+200
57
(f) (2x+1)2 = 4(x+2)2
(g) (3x−2)2 = 3x(3x+1)
(h) (2x−2)2 = 4(x+2)2
(i) (6x+2)(5x−4)−30(x−1)2 = 34x+106
(j) 6x2−27x+72 = 3x(2x+3)
(k) (s+1)(3s+1) = 3s2+7s−13
(l) (h+1)(h2−h+1) = h2−8h−31
19. Si x−4 se multiplica por x−10, el producto es 20 unidades mayor que x2. Hallar x.
20. Si un número más 6 se multiplica por dicho número más 13, el producto es 27 más el cuadrado del
número. Halla dicho número.
21. Un rectángulo es de 10 metros más estrecho que un cuadrado y 15 metros más largo que él tiene la misma
área que el cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado y del rectángulo?.
22. Un rectángulo es 2 metros más ancho que un cierto cuadrado, 6 metros más largo que él y tiene un área 84
m2 mayor que la de dicho cuadrado. Hallar las dimensiones de las dos figuras.
23. Demostrar que el producto del primero y el último de tres números enteros consecutivos es siempre una
unidad menor que el cuadrado del segundo número.
24. Un hombre cobra 3000 ptas. El primer mes y cada mes cobra p ptas. Más. Escribir la fórmula del sueldo s
que cobraría el mes n.
25. n hombres cobran el mismo salario de x ptas. Al año durante t años. Durante (m+t) años han recibido un
total de p ptas. Escribir una fórmula que nos dé el valor de x, otra que nos dé el valor de m y otra para el de n.
26. Diez estudiantes compran una radio. Como cuatro de ellos no tienen dinero, los otros han de pagar 80 ptas.
más cada uno. ¿Cuánto cuesta la radio?.
Problemas de ecuaciones I
1. Hallar dos números cuya diferencia es 10 y cuya suma es 4(1/5) veces su diferencia.
2. Un campo rectángular es 5 Dm más largo que ancho. Si fuera 2 Dm más ancho y 3 Dm más corto, su
superficie tendría 5 Dm2 menos.. Hallar las dimensiones del campo.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 15. ¿Cuáles son estos números?.
4. La diferencia entre los cuadrados de dos números cosecutivos pares es 44, ¿cuáles son estos números?
Plantear las ecuaciones correspondientes a los problemas siguientes y resolverlos descomponiendo en factores
simples.
5. Hallar el número que sumado a su cuadrado dá 42.
58
6. El doble de un número, sumado a su cuadrado, es igual a 63. Hallar dicho número.
7. El doble de un número, restado a su cuadrado dá 63. Hallar el número.
8. Si sumamos 16 al cuadrado de un número, resulta 10 veces dicho número. Hallarlo.
9. Si restamos 44 al cuadrado de un número, la diferencia es 7 veces dicho número. Hallarlo.
10. Si se suma 2 a un cierto número, el cuadrado de la suma es igual a 4 más 13 veces dicho número, ¿de qué
número se trata?
11. Un rectángulo es 8 cm más largo que ancho. Si su superficie es de 560 cm2, ¿cuáles son sus dimensiones?.
NOTA: Sólo será válida una de las dos soluciones. Es muy frecuente este caso cuando los problemas se
resuelven por ecuaciones de segundo grado, pero sólo una de las soluciones tiene sentido práctico.
12. Un solar rectángular de 40 m por 26 m está rodeado por un camino de anchura constante. La superficie del
camino es de 360 m2. ¿Cuál es su anchura?.
13. Una chapa rectángular de estaño es 8 cm más larga que ancha. Si en cada esquina se le corta un cuadrado
de 2 cm de lado y las solapas se soblan hacia arriba. Se forma una caja de 18 cm2. Calcular la longitud de las
tres dimensiones de la caja.
14. Un rectángulo tiene 4 m más de largo que de ancho. Si su longitud se aumenta en 4 m y su anchura en
otros 4 m, el área queda multiplicada por 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo inicial?.
15. Despejar de estas fórmulas las variables indicadas:
(a) A = Pab; despejar a y b
(b) S = ph; despejar p y h
(c ) S = 2Prh; despejar r
(d) V = Pr2h; despejar h
(e) V = PR2h−PR2h; despejar h
(f) A = 4P2Rr; despejar R
(g) Z = 2Prh; despejar h
(h) T = 6a2 ; despejar a2 y a
(i) V = 2P2Rr2; despejar r
(j) S = 4Pr2; despejar r
(k) V = Pr2h; despejar r
16. La f´órmula
59
expresa en m/s la velocidad que alcanza un cuerpo cuando cae libremente desde una altura de h metros.
Despejar h de esta ecuación y hallar una fórmula que expresa desde qué altura debe caer un curpo para
alcanzar una velocidad de v m/s.
SUGERENCIA: En primer lugar, elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación; entonces se obtiene
.
17. La fórmula Vt=V0+9'8t expresa la velocidad de un cuerpo que cae libremente desde hace t segundos.
Siendo V0 la velocidad en m/sg que tenía el cuerpo en el momento de empezar a caer, es decir, V0=velocidad
inicial; Vt es la velocidad que ha alcanzado, al cabo de t segundos, en m7sg. Despejar V0y t.
18. Dada la fórmula
para calcular el volumen de un cono circular, despejar h y r.
19. De la fórmula A=td+b(s+n), despejar t,d,b,s y n.
20. Utilizando la fórmula del ejercicio anterior:
(a) Calcular t cuando A=3'35 cm2, b=2'04 cm, s=0'22 cm, n=0'45 cm y d=8 cm.
(b) Hallar b cuando d=10 cm, t=0'24 cm, n=0'63 cm, s=24 cm y A=4'45 cm2.
(c ) Hallar s cuando d=5 cm, t=0'19 cm, b=1'56 cm, n=0'45 cm y A=1'95 m2.
21. Recordando la fórmula del interés simple C=crt+c donde C es el capital total, c es el capital inicial, t es el
tiempo en años y r es el rédito en tanto por ciento. Despejar cada una de las letras.
22. Aplicando la fórmula del ejercicio anterior:
(a) Calcular t cuando c=2500 ptas., r=6% y C=37720 ptas.
(b) Calcular r cuando t=3 años, c=32800 ptas., y C=37720 ptas.
(c) Calcular c cuando C=500 ptas., t=5 años y r=4%.
23. Un rectángulo de 2 dm. , más de largo que de ancho, tiene una superficie de 8 dm2. Hallar sus
dimensiones. Calcular también sus dimensiones si su superficie fuese:
(a) 15 dm2; (b) 24 dm2; (c) 35 dm2.
Problermas de ecuaciones II
1. Si
, despejar k; calcular después el valor de k si a=19000, b=90000 y l=3180.
60
2. Dada la ecuación
. Despejar r.
3. Dada la ecuación
. Demostrar que
.
4. Dada la ecuación
, demostrar que
.
5. Dada la ecuación R1=R0(1+at), despejar R0, a+t, en función de las demás variables..
6. Dadas las ecuaciones siguientes, despejar las variables indicadas:
61
7. Un hombre cobra en su trabajo el doble que su hijo. Si entre los dos cobran 600 ptas. Diarias, ¿cuánto cobra
cada uno?.
8. A una compañía, un determinado artículo le cuesta 27 ptas. En total. La compañía calcula que el gasto de
manufactura es tres veces mayor que el de material y que los gastos de publicidad son la mitad que en
material, ¿cuál es el coste de cada concepto?.
9. El precio de un artículo se rebajó en una tercera parte y entonces era igual a 6/5 de 320 ptas. ¿Cuálk erá su
precio inicial?.
10. El precio de un artículo se aumentó en un quinto y resultó entonces el 0'75 de 160 ptas. ¿Cuál era su
precio inicial?.
11. Un número, más su mitad, más su tercera parte es once décimos de 100, ¿cuál es el número?.
12. El precio de un ventilador se rebaja un 20%. El ventilador se vende entonces a 480 ptas., o sea, un 20%
más que el precio de coste, ¿cuál es el precio de venta sin rebaja y el precio de coste?
13. Después de que A rebajase el precio de un coche usado en un 10% a B, lo vende a C incrementando la
cantidad que él pagó en un 10%. Si C lo compra en 9900 ptas. ¿Cuál era el precio inicial, sin rebaja, del
coche?.
14. El salario semanal de un obrero se incrementa en un 50% y luego en un 33 1/3 % y entonces cobra 12800
ptas. Semanales, ¿cuál era su salario inicial?.
15. Una suma de 11000 ptas. Se imponen, parte al 5% y parte al 6%. Si el interés al cabo de un año es de 590
ptas., ¿qué cantidad se impuso a cada tipo de interés?.
62
SUGERENCIA: Sea x=pesetas impuestas al 5%, 11000−x las impuestas al 16%. Por lo tanto,
0'05x+(11000−x)0'06=590.
16. Un capital de 13000 ptas. se imponen, parte al 2% y parte al 2'5%. El interés, al cabo de un año es de 300
ptas. ¿Qué cantidad se impuso a cada tipo de interés?.
17. El interés de 12000 ptas., en t años, al 3% son 840 ptas. Hallar t.
18. El interés de 12000 ptas. al 1% durante 3'25 años es de 1170 ptas. Calcular i.
19. Si el aire está compuesto por 4 partes de nitrógeno por cada parte de oxígeno, ¿cuántos metros cúbicos de
cada gas habrá en un local de 12 m por 40m por 30m?.
SUGERENCIA: Sea x=metros cúbicos de nitrógeno del volumen.
20. Si una mezcla de 3 partes de agua por una de aceite tiene un volumen total de 88 litros, ¿cuántos litros hay
en cada líquido?.
21 Una compañía contrata a tres empleados. El primero recibe 6 partes, el segundo 4 partes y el último 3
partes de un sueldo semanal de 33800 ptas. semanales. ¿Cuánto cobra cada uno?.
22. Un recipiente lleno de agua pesa 6 kg. Si se llena de gasolina, de densidad específica 0'9, pesa 5'5 kg.
¿Cuánto pesa el recipiente?.
23. Siete veces la cantidad que gasta una persona en León en lavanderías y tintorerías al año es 6 ptas. menos
que lo que gasta otra persona en Madrid por la misma causa. Si entre las dos personas gastan 246 ptas.
¿Cuánto gasta cada una?.
24. Si 19 ¼ Kg de oro y 10 ¼ Kg de plata, al sumergirlos en agua pierden cada uno 1 kg de peso. Calcular el
peso de oro que hay en una aleación de oro y plata, de 20 kg de peso si al sumergirlo en agua pierde 1'25 kg
de peso.
25. Si el 50% de x, más el 10% de x es el 12'5% de 480, calcular x.
26. En un museo entran en un año 110000 personas. Al año siguiente sube 15 ptas. el precio de entrada,
visitan el museo 5000 personas menos, pero ingresan 10250 ptas. más. ¿Cuánto cuesta la entrada el segundo
año y cuánto costaba el primero?.
27. Un autobús a 64 millas por hora tarda en ir de Omaha a Detroit 15 ¼ horas menos que un camión que
circula a 40 millas por hora. ¿Cuál es la distancia en millas entre estas dos ciudades?.
28. Dos cilindros contienen agua. En el primero alcanza una altura de 26 cms. , y se vacía a una velocidad de
1 ½ cm por minuto. El otro tiene una altura de agua de 4 cm y se vallenando a una velocidad de 1 ¼ cm por
minuto. ¿Cuánto alcanzará el agua la misma altura en los dos cilindros? ¿Cuál será dicha altura?.
29. Para medir resisitencias eléctricas se emplea el puente de Wheatstone, formado por tres resistencia
conocidas y otra desconocida. La resistencia desconocida puede ser cualquiera de las r1, r2, r3 y r4 de la
figura. Las cuatro resistencias se equilibran de tal modo que
. Mediante esta fórmula, es posible calcular la resistencia desconocida.
63
(a) Si r1=3'6, r2=4'7, r3=5; calcular r4.
(b) Si r1=500, r2=300, r4=125; calcular r3.
(c ) Si r1=19'3, r3=27'8, r4=17'8; calcular r2.
(d) Si r2=16'4, r3=28'2, r4=16; calcular r1.
PROBLEMAS DE ECUACIONES III
SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
1. Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:
2. El triple de un número más el cuádruple de otro es 10, y el segundo más el cuádruple del primero es 9.
¿Cuáles son estos números?
3. Qué fracción es igual a 1/3 cuando se suma 1 al numerador y es igual a ¼ cuando se suma 1 al
denominador?
SUGERENCIA: Sea x el numerador de la fracción e y el denominador de la fracción..
4. En el sistema siguiente, calcular 1/x y 1/y sin eliminar las fracciones:
5. Hallar dos números cuya suma es 1 y su diferencia es 6.
6. Una persona compra un traje y un abrigo y, de 10000 ptas. le sobran 1900. Sabiendo que 1/6 del coste del
traje son 100 `ptas. más que 1/9 del coste del abrigo. ¿Cuánto pagó por cada prenda?
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7. Este año, un padre es tres veces mayor que su hijo. Hace 10 años, la edad del padre es 10 veces la de su
hijo. ¿Qué edad tiene actualmente?
8. Estoy pensando en dos números: el doble de uno es la mitad del triple del otro. Hallar por lo menos tres
pares de números que cumplen estas condiciones.
9. Por un lote sobrante de alfombras un hombre pagó 24000 ptas. vendió un tercio de las alfombras a 200 ptas.
cada una, un cuarto de ellas a 30 ptas. cada una, un sexto a 400 ptas. y un cuarto a 500 ptas. cada una. En total,
ganó 8000 ptas. ¿Cuántas alfombras había comprado?
10. Un contratista emplea a tres categorías de obreros. La mitad de todos los obreros cobran 100 ptas. por
hora; la tercera parte cobran 200 ptas. y un sexto cobran 300 ptas. En total paga 2000 ptas. por hora. ¿Cuántos
obreros contrató de cada clase?
11. La suma de dos números consecutivos escede a la mitad del de los números en 25. Hallar dichos números.
12. Si S=PDN/12 y T=LF/N, eliminar N entre las dos ecuaciones y despeja el valor de T en función de las
letras restantes.
SUGERENCIA: Despejar N en las dos ecuaciones y eliminarla por comparación (igualación).
13. Las fórmulas del ejercicio anterior se aplican a trabajos de tornado. T es el tiempo en minutos, S la
velocidad del corte en ft/min (pies por minuto), D es el diámetro de corte en pulgadas, L es la longitud de la
pieza a tornear en pulgadas, F es el avance del torno, número de vueltas a tornear por pulgada; es decir, un
avance a 16 indica que cada corte es de 1/6 de pulgada. Sabido todo esto, hallar el tiempo necesario para
tornear una pieza que resulte de 3 pulgadas de diámetro y 2 pies de largo. Si el paso es de 20 y la velocidad de
corte 15 ft/min.
14. Un hombre tiene 9800 ptas. en billetes de 100 ptas. y monedas de 50 y 25 ptas. La mitad de los billetes de
100 ptas. y la quinta parte de las monedas de 50 son 3100 ptas. La séptima parte de las monedas de 50 ptas. y
la tercera parte de las monedas son 1000 ptas. ¿Cuántos billetes y cuántas monedas de cada clase tiene?
15. Una palanca está en equilibrio cuando soporta en sus estremos pesos de 40 kg y 50 kg. Si se añaden 5 kg a
los 40 iniciales, para que estuviese en equilibrio sin variar el fulcro, habría que añadir 20 cm el peso de 50 kg.
¿Cuáles son las longitudes de los brazos de la palanca al principio?
SUGERENCIA:Sea x=la longitud en centímetros del brazo mayor y sea y=la longitud en centímetros del
brazo menor.
16. Un vaso, lleno de agua, pesa 180 grs. Si se llena con sulfúrico, de densidad relativa 1'75, pesa 270 grs.
¿Cuánto pesa el vaso vacío?
17. Una palanca está en equilibrio con un peso w1 en un brazo y un peso w2 en el otro. Si se añade un peso p
a w1, el peso w2 se ha de mover m metros para estar nuevamente en equilibrio. Hallar las longitudes de los
dos brazos.
18. Disponemos de dos minerales de cinc, uno contiene un 45% de cinc y el otro un 25%. ¿Cuántos
kilogramos de cada mineral se han de tomar para conseguir una mezcla de 2000 kg de peso, con un 40% de
cinc?. (Ver la tabla siguiente).
Mineral 1 Mineral 2 Mineral mezcla
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45% 25% Mineral 1 + Mineral 2
x kg y kg 2000 kg
45 % Zn + 25% Zn = 40% Zn
55% impurezas 75% impurezas 60% impurezas
19. ¿Cuántos litros de nata con un 35% de grasa se han de mezclar con leche del 4% de grasa para obtener 20
litros de leche con un 25% de grasa?
20. ¿Cuántos grs. De plata de 700 milésimas se han de mezclar con plata de 870 milésimas para obtener 12
grs. de plata de 800 milésimas?
21. La densidad relativa de un líquido es 1'75 y la de otro 1'4. ¿Cuántos gramos de cada uno serán necesarias
para obtener 20 grs. de líquido de densidad relativa 1'7?
22. La suma de tres números es 12. Cuando restamos el tercer número a la suma de los otros dos, el resultado
es 2, y si a la suma del tercero más el doble del pimero se le resta el segundo el resultado es 7. ¿Cuáles son los
tres números?.
1
3
Ejercicios Algebra Básica y Ecuaciones
1.1.1. Hallar m.c.m. de los denominadores, si es necesario.
ð Dividir el numerador nuevo entre el antiguo de cada fracción.
ð Multiplicar numerador y denominador por el resultado anterior respectivamente.
ð Igualar denominadores.
1.2. Quitar los denominadores.
ð Descomponer cada denominador en producto de facto−
Res primos.
ð Extraer los factores comunes y no comunes con el ma−
yor exponente y multiplicarlos.
2.1. Multiplicar los paréntesis entre sí.
2.2. Multiplicar el valor fuera del paréntesis por todos los de dentro del mismo.
El signo (−) ante paréntesis cambia el signo de todos los términos del mismo.
2.1.1. Multiplicar cada término de un paréntesis por todos los términos del
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otro paréntesis.
3.1. Pasar los términos con incógnita a un miembro y el resto al otro miembro.
3.2. Sumar los términos de distinto signo en cada miembro.
3.3. Pasar el coeficiente de la incógnita al otro miembro dividiendo.
3.1.1. Los términos con signo (+) pasan con signo (−) y viceversa.
3.2.1. Sumar los términos positivos por un lado y los negativos por otro.
3.2.2. Suma de un término positivo con otro negativo.
3.2.2.1. Signo del resultado, el del mayor.
3.2.2.2. El valor del resultado es la diferencia de valores.
3.3.1. Simplificar la fracción resultante todo lo posible.
3.3.2. Dejar el resultado indicado SIN SACAR DECIMALES.
4.1. Sustituir el resultado obtenido por la incógnita en la acción inicial y realizar todas las
operaciones correspondientes.
4.2. Si la igualdad se cumple, la ecuación está bien resuelta.
4.3. Si no se verifica, repasar o rehacer.
Forma generral de un sistema de dos ecuaciones de primer grado don dos incógnitas:
Ax+By = C
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A'x+b'y = C'
MÉTODO DE IGUALACIÓN
1. Seleccionar una de las dos incógnitas.
2. Despejar la incógnita seleccionada en las dos ecuaciones.
3. Igualar las expresiones resultantes.
4. Resolver la ecuación anterior. Se obtiene el valor de la incógnita.
5. Sustitución del valor de la incógnita resuelta.
Se obtiene el valor de la segunda incógnita.
6. Comprobar la solución.
5.1. Seleccionar una de las expresiones donde aparece la incógnita despejada.
5.2. Cambiar la aparición de la incógnita resuelta por su valor.
5.3. Realizar las operaciones correspondientes.
6.1. Sustituir en las ecuaciones originales cada incógnita por su valor resuelto.
6.2. Realizar las operaciones correspondientes.
6.3. Decidir la comprobación.
6.3.1. Si se verifican las dos igualdades, el sistema está bien resuelto.
6.3.2. Si no se verifican las dos igualdades, el sistema está mal resuelto.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1. Elegir cualquier incógnita de una de las dos ecuaciones.
2. Despejar la incógnita seleccionada de la ecuación anterior.
3. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación.
4. Se resuelve la ecuación. Se obtiene el valor de la primera incógnita.
5. Hallar el valor de la otra incógnita.
6. Comprobar la solución.
3.1. Copiar la ecuación sin las apariciones de la incógnita que vamos a sustituir.
3.2. Se inserta el despeje en los lugares desocupados anteriores.
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3.3. El resultado es una ecuación de primer grado con una incógnita.
5.1. Sustituir el valor de la incógnita resuelta.
5.2. Resolver la ecuación obtenida. Se obtiene el valor de la segunda incógnita.
5.1.1. Seleccionar una de las ecuaciones originales.
5.1.2. Cambiar la incógnita resuelta por su valor como en el punto 3.
5.1.3. Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita.
6.1. Sustituir en las ecuaciones originales cada incógnita por su valor resuelto.
6.2. Realizar las operaciones correspondientes.
6.3. Decidir la comprobación.
6.3.1. Si se verifican las dos igualdades, el sistema está bien resuelto.
6.3.2. Si no se verifican las dos igualdades, el sistema está mal resuelto.
MÉTODO DE REDUCCIÓN.
1. Se selecciona una de las incógnitas.
2. Se igualan los coeficientes de la incógnita seleccionada de ambas ecuaciones.
3. Se resuelve la ecuación obtenida y se consigue el resultado de una incógnita.
4. Sustitución del valor de la incógnita ecuación.
5. Comprobar la solución.
2.1. Se buscan números para cada ecuación de forma que al multiplicar por los coeficientes de la incógnita
seleccionada el resultado sea igual.
2.2. Localización rápida de los números.
2.3. Multiplicar cada ecuación por el valor localizado.
2.4. En caso de tener los soeficientes del mismo signo, cambiar una delas ecuaciones de signo.
2.5. Sumar las ecuaciones.
2.6. Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita.
2.2.1. Tomar, para la primera ecuación, el coeficiente de la segunda ecuación.
2.2.2. Para la segunda ecuación, tomar el coeficiente de la primera ecuación.
2.3.1. Multiplicar cada coeficiente de la ecuación por el valor correspondiente, en ambos miembros.
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2.4.1. Cambiar todos los signos de la ecuación, en ambos miembros.
2.5.1. Sumar los términos en x.
2.5.2. Sumar los términos en y.
2.5.3. Sumar los términos independientes.
2.55. Cada resultado queda en un miembro de la ecuación resultante.
4.1. Selección de cualquier ecuación
4.2. Cambiar la aparición de la incógnita resuelta por su valor. Se consigue una ecuación con una incógnita.
4.3. Se resuelve la ecuación. Se obtiene el valor de la segunda incógnita.
5.1. Sustituir en las ecuaciones originales cada incógnita por su valor resuelto.
5.2. Realizar las operaciones correspondientes.
5.3. Decidir la comprobación.
5.3.1. Si se verifican las dos igualdades, el sistema está bien resuelto.
5.3.2. Si no se verifican las dos igualdades, el sistema está mal resuelto.
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71
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73
74
75
Angulo
Origen
acb
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ABC
L"2
L
45º
a=120
C=60º
C?
Z
X
y
b=172
b=172
B
A
A´ B´ C
ab
h
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78