2 - Campus Monterrey

ITESM Campus Monterrey
Programa de Graduados en Ingeniería - Maestría en Ingeniería Eléctrica
Factor de cresta, valor rms, distorsión armónica y factor K
Dr. Armando Llamas, Profesor del Departamento de Ingeniería Eléctrica, 24-Oct.-96
En la literatura correspondiente a armónicas en sistemas de potencia es frecuente encontrar los
siguientes términos: factor de cresta, valor rms verdadero, distorsión armónica y espectro normalizado.
En este artículo se presentan las definiciones de tales términos y se determinan los valores
mencionados utilizando un ejemplo de corriente con distorsión.
Factor de cresta, la relación del valor pico (cresta) al valor rms de una forma de onda periódica [1]. La
ecuación (1) representa tal definición,
f. c. =
valor pico
valor rms
(1)
Debido a que el valor rms de una senoidal es el valor pico entre
es
2 , el factor de cresta de una senoidal
2.
El valor promedio de una forma de onda periódica es el área bajo la curva de la onda en un período T,
entre el tiempo del período. Matemáticamente se escribe como
Fprom =
área bajo la curva
1
=
período en segundos T
T
∫ f(t) dt
(2)
0
siendo Fprom el valor promedio de la forma de onda [2]. El valor promedio de una senoidal es cero, el
2
valor promedio de una senoidal rectificada es Vp , siendo Vp el valor pico de la senoidal.
π
El valor efectivo o valor rms de una función periódica es la raíz cuadrada del valor promedio de la
función al cuadrado, matemáticamente esto es
Frms =
promedio de f 2 ( t) =
1
T
∫
T
f 2 ( t ) dt
(3)
0
siendo Frms el valor rms de la forma de onda [2].
El valor rms de una senoidal es el valor pico entre 2 . El valor rms de una función formada por
componentes senoidales de frecuencia distinta está dado por la raíz cuadrada de los cuadrados de los
valores rms de dichas componentes [3], esto es, el valor rms de
i( t) = 2 I1 sin(ω 1 t) + 2 I 2 sin(ω 2 t) + 2 I 3 sin(ω 3 t )
está dado por I rms =
I12 + I 22 + I 23 , si las frecuencias angulares ω 1 , ω 2 y ω 3 son distintas.
1
Corriente con distorsión armónica. La corriente descrita en esta sección es similar a la que
demandan tres computadoras y sus monitores cuando se les aplica un voltaje senoidal de 120 V rms, 60
Hz [4]. Esta corriente se utilizará en algunos ejemplos. Está dada por la siguiente ecuación:
i(ω 1 × t) =
+2.88 × sin(1 × ω 1 × t) −2.31 × sin( 3 × ω 1 × t )
+175
. × sin( 5 × ω 1 × t) −107
. × sin(7 × ω 1 × t)
+0.45 × sin(9 × ω 1 × t)
(4)
Las gráficas de la corriente total, la fundamental y las armónicas se muestran a continuación:
corriente (A)
3
Fundamental
corriente (A)
9
Tercera
Séptima
2
6
1
3
0
-1
Resultante
0
0
90
-2
180
270
-3
0
90
180
270
-6
Novena
-3
-9
grados eléctricos
grados eléctricos
Quinta
(a) Componentes armónicas
(b) Componentes armónicas y resultante
Figura 1. Descomposición de corriente con distorsión
En la Figura 1a) se muestran la fundamental y las armónicas, en la Figura 1b) aparece además la
resultante. El valor pico de la resultante es 8.449 A y el valor promedio de la rectificación de onda
completa es 1.501 A.
Ejemplo 1. Empleando los datos de la corriente anterior determinaremos, el factor de cresta, el valor
promedio y el valor rms.
El factor de cresta está dado por
f. c. =
valor pico 8.449
=
= 2.816
valor rms
3
El valor promedio de la corriente del ejemplo es cero pues es simétrica alrededor del eje de tiempo.
En la tabla siguiente aparecen los valores pico, los valores rms y los valores rms al cuadrado de las
componentes (la fundamental y las armónicas).
h
I pico, h
I rms, h
(I rms,h)2
1
2.88
2.036
4.1472
3
2.31
1.633
2.66805
5
1.75
1.237
1.53125
7
1.07
0.757
0.57245
9
0.45
0.318
0.10125
La suma del cuadrado de los valores rms es 9.02 y la raíz cuadrada de este valor es 3. Así pues el valor
rms es 3 A rms.
Valor rms verdadero. Algunos instrumentos indican el valor rms sin importar la forma de la onda, por
lo general aparece la leyenda “true rms” en dichos instrumentos.
2
Valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada. Algunos instrumentos rectifican una señal
proporcional a la cantidad a medir y miden directamente el valor promedio de dicha señal. La escala no
indica el valor promedio sino el valor rms que corresponde a una senoidal. Se ha visto que el valor rms
de una senoidal es el valor pico entre 2 , matemáticamente
Ipico
Irms =
(5)
2
y que el valor promedio de una senoidal con rectificación de onda completa está dada por
2
Iprom = Ipico ,
(6)
π
sustituyendo Ipico de (6) en (5), tenemos que el valor rms en función del valor promedio está dado por
Irms =
π
2 2
Iprom
(7)
Si la corriente es senoidal estos amperímetros miden apropiadamente el valor rms de la misma, en caso
contrario la indicación puede ser errónea.
Ejemplo 2. Un amperímetro de valor efectivo verdadero indicaría 3 A rms con la corriente del ejemplo
anterior, mientras que un amperímetro que de valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada
π
indicaría, Irms =
× 1501
.
= 1667
.
A rms, (el valor promedio de la senoidal con rectificación de onda es
2 2
completa es 1.501 A), la razón de la lectura del amperímetro en base al promedio a la lectura verdadera
es 0.5557. Debido a que el amperímetro que emplea valor promedio fue diseñado para una corriente
senoidal el valor que este determina es erróneo, mientras que el de valor efectivo verdadero da una
lectura verdadera.
Distorsión armónica total. “Total Harmonic Distortion (THD)”. También se le conoce como factor
armónico o factor de distorsión [5]. Es la relación del valor rms de la distorsión al valor rms de la
fundamental. Debido a que la fundamental no contribuye a la distorsión, el valor efectivo de la
distorsión es la raíz de la suma de los cuadrados de los valores rms de las armónicas, de la segunda en
adelante. Matemáticamente,
THD =
valor rms de la distorsión
=
valor rms de la fundamental
I 22 + I 23 + I 24 + I 25 +L+Ih2 max
(8)
I1
Al incluir el valor rms de la fundamental, I1, dentro del radical se obtiene
2
THD =
2
2
2
 I2 
I 
I 
I 
I

  +  3  +  4  +  5  +L+ h max 
 I1 
 I1 
 I1 
 I1 
 I1 
2
h max
=
∑
h =2
 Ih 
 
 I1 
2
(9)
Ih
es el valor rms de la armónica h dividido por el valor rms de la fundamental, este cociente
I1
está en por unidad, también se puede decir que ha sido normalizado tomando como base el valor rms
fundamental. Este grupo de cocientes forman el espectro normalizado.
el cociente
3
Ejemplo 3.
tabla:
Empleando los datos de la corriente con distorsión de este artículo, tenemos la siguiente
h
I pico, h
I rms, h
(I rms,h)2
(I rms,h) / I1
{(I rms,h) / I1}2
1
2.88
2.036
4.1472
1
1
3
2.31
1.633
2.66805
0.802
0.643
5
1.75
1.237
1.53125
0.608
0.369
7
1.07
0.757
0.57245
0.372
0.138
9
0.45
0.318
0.10125
0.156
0.024
La distorsión armónica se puede obtener sumando los cuadrados de los valores rms que aparecen
subrayados en el renglón cuarto de la tabla anterior, 4.873, y elevando este resultado a la 1/2
obtenemos el valor rms de la distorsión, 2.207 A rms de distorsión, el THD es
2.207
= 1084
.
= 108.4% .
2.036
El THD también se puede obtener empleando los cuadrados de dicho renglón,
0.643 +.369 +.138+.024 = 1084
.
= 108.4% .
El penúltimo renglón de la tabla es el espectro normalizado de la corriente, se tiene 1 p.u. o 100 % de
fundamental, 0.802 p.u. o 80.2% de tercera, 0.608 p.u. o 60.8 % de quinta, etc.
Factor K. El factor K indica la capacidad de un transformador para alimentar cargas no senoidales sin
sobrecalentarse [1]. El factor K está dado por la siguiente expresión:
K=
h = h max
Ih2
h =1
∑
⋅ h2
donde
Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu del valor efectivo de la corriente nominal.
El factor K de una corriente de carga se puede obtener con la misma ecuación y con Ih en pu de
corriente total. Si se tienen los datos de las corrientes armónicas en pu de fundamental, el factor K se
puede calcular mediante la siguiente expresión:
2 h = h max
Ih2
h =1
I 
K = 1 ⋅
I
∑
⋅ h2
donde
I1 es el valor efectivo de la corriente fundamental en A rms,
I es el valor efectivo de la corriente en A rms, e
Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu de corriente fundamental.
Ejemplo 4.
tabla:
h
Ih en A rms
Empleando los datos de la corriente con distorsión de este artículo, tenemos la siguiente
1
2.036
3
1.633
5
1.237
4
7
0.757
9
0.318
Ih / I1 en pu
{Ih / I1}2
h2
{Ih / I1}2 h2
1.000
1.000
1
1
0.802
0.643
9
5.787
0.608
0.369
25
9.225
0.372
0.138
49
6.762
0.156
0.024
81
1.944
Sumando los valores del último renglón y multiplicando por la relación al cuadrado de corriente
fundamental a corriente total, obtenemos
2 h = hmax
Ih2
h =1
I 
K = 1 ⋅
I
∑
⋅ h 2 = 0 .4606 × 24 .718 = 11.38
Corriente nominal con factor K = 1 da lugar a pérdidas nominales por corrientes circulantes, Pec,R,
corriente nominal con la distorsión del ejemplo daría lugar a 11.38 Pec,R. En transformadores secos las
pérdidas por corrientes circulantes en el devanado de baja tensión resultan en puntos calientes en ese
devanado. Si se emplea un transformador seco con factor K = 1 para alimentar corrientes con distorsión
como la del ejemplo es obvio que en esos puntos calientes la temperatura se puede elevar en forma
peligrosa.
Conclusiones. Se han presentado las siguientes cuatro formas de cuantificar la distorsión armónica:
a. factor de cresta,
fc =
valor pico
valor rms
b. relación de valor rms en base a valor promedio
valor rms en base a promedio senoidal rectificada
valor rms verdadero
c. distorsión armónica total
THD =
valor rms de la distorsión
=
valor rms de la fundamental
I 22 + I 23 + I 24 + I 25 +L+Ih2 max
I1
donde
I1 es el valor efectivo de la corriente fundamental en A rms, e
Ih es el valor rms de la armónica h
d. factor K
2 h = h max
Ih2
h =1
I 
K = 1 ⋅
I
∑
⋅ h2
donde
I1 es el valor efectivo de la corriente fundamental en A rms,
I es el valor efectivo de la corriente en A rms, e
Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu de corriente fundamental.
No es posible decidir cuál es más util, ya que tienen distintos propósitos, por ejemplo el factor de cresta
es una especificación de los medidores “true rms”, mientras que el factor K es una especificación de
transformadores secos. Es importante entender y utilizar en forma apropiada los cuatro.
5
Bibliografía
[1] IEEE Std 1100-1992, IEEE Recommended Practice for Powering and Grounding Sensitive
Electronic Equipment (Emerald Book).
[2] Stanley Wolf and Richard F.M. Smith, “Guía para mediciones eléctricas y prácticas de laboratorio,”
Prentice Hall, 1992, ISBN 968-880-224-7.
[3] William H. Hayt, Jr. Jack E. Kemmerly, “Análisis de circuitos en ingeniería,” McGraw-Hill, 1993,
ISBN 970-10-0407-8.
[4] A. Llamas, ¿Qué son las armónicas ?, ITESM Campus Monterrey.
[5] IEEE Std 519-1992, IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in
Electrical Power Systems, April 12 1993.
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