Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2014-2
TAREA 9
Dr. A. Reyes-Coronado
Solución por Carlos Andrés Escobar Ruı́z
1.- Problema: (15pts) Un cilindro infinito de radio a posee una magnetización fija paralela a su eje, dada por
~ = k s êz ,
M
(1)
donde k es una constante y s es la distancia del eje del cilindro. Calcula el cam~ dentro y fuera del cilindro, considerando que no existen corrientes
po magnético B
externas en ningún lado, por dos métodos diferentes:
a) localiza todas las corrientes inducidas y calcula el campo magnético que producen,
~ empleando la ley de Ampère, y luego calcula B.
~
b) calcula H
Nota que el segundo método es más rápido y evita el calcular las corrientes inducidas.
Solución al problema 1
a) Debido a la magnetización existen corrientes inducidas dadas por
~ = −k êφ ,
J~ind = ∇ × M
y
~ ind = M
~ × n̂ = ka êφ .
K
(2)
Dentro del cilindro, la corriente volumétrica inducida produce un campo magnético
parecido al de un solenoide (dirección êz ), y por tanto fuera del cilindro el campo magnético
es cero (jind se cancela con Kind ).
Usando un circuito amperiano (como el que se muestra en la figura) tenemos que
I
~ · d~l = Bl = µ0 Ienc = µ0
B
Z
Z
Kind l = µ0 [−kl(a − s) + kal] = µ0 kls. (3)
Jind da +
A
C
1
Siendo s la distancia entre el borde del circuito amperiano y el eje del cilindro. De ésto
tenemos que dentro del cilindro
~ = µ0 ksêz .
B
(4)
~ = 0 (análogo al solenoide).
Fuera del cilindro la corriente encerrada es cero y por ende B
~ debe ser êz . Tomando el mismo circuito
b) Por simetrı́a, la dirección del Hcampo H
ext = 0. La última igualdad se
~
~
amperiado del inciso a) tenemos que H · dl = Hl = µ0 Ienc
~ = 0, lo
sigue del hecho que no se tienen corrientes externas en el problema. Por lo tanto, H
~ . Fuera del cilindro M
~ = 0, es decir, B
~ = 0. Dentro del cilindro
~ = µ0 M
cual implica que B
~
~
M = ksêz , lo cual implica que B = µ0 ks êz . Lo anterior está de acuerdo con lo calculado
en el inciso anterior y es mucho ms directo el llegar al resultado.
2.- Problema: (20pts) Un cable coaxial muy largo consiste en dos cilindros metálicos de
radios a y b (b > a), que están separados por un material lineal aislante de susceptibilidad magnética χm . Una corriente I fluye por el cilindro interior y regresa por el
exterior, y en cada caso la corriente se distribuye uniformemente sobre la superficie.
~ en la región entre los cilindros.
a) Calcula el campo magnético B
b) Calcula la magnetización y las corrientes inducidas, y confirma que el campo
magnético es el mismo que el obtenido en el inciso anterior (no se te olvide
considerar también la corriente externa!).
I!
I!
a!
b!
Solución al problema 2
a) Tomando un circuito amperiano circular de radio s, con a < s < b, centrado en el eje
de los cilindros tenemos que
I
ext
~ · d~l = Ienc
~ = I êφ .
H
= I,
⇒
H
(5)
2πs
Para realizar la integral de lı́nea se ha usado el hecho de que conocemos la dirección
~ (análogo al campo magnético producido por un cable por donde circula una
del campo H
corriente I), que circula alrededor del cable. De lo anterior se sigue que el campo magnético
está dado por
~ = µ0 (1 + χm )H
~ = µ0 (1 + χm ) I êφ .
B
(6)
2πs
b) Recordando la definición de la magnetización, tenemos que
~ = χm H
~ = χm I êφ .
M
2πs
2
(7)
Las corrientes inducidas asociadas a esta magnetización están dadas por
χm I
1 ∂
χm I
en s = a;
2πa êz ,
~
~
~
~
Jind = ∇ × M =
s
êz = 0, y Kind = M × n̂ =
mI
s ∂s
2πs
− χ2πb
êz , en s = b,
(8)
La corriente total encerrada por un circuito amperiano entre los cilindros es
I+
χm I
2πa = (1 + χm )I .
2πa
De lo anterior se sigue que
I
~ · d~l = µ0 Ienc = µ0 (1 + χm )I,
B
~ = µ0 (1 + χm )I êφ .
B
2πs
⇒
(9)
(10)
3. Problema: (20pts) Una corriente I fluye a lo largo de un alambre recto de radio a de
manera uniforme, hecho de un material lineal (por ejemplo de cobre o aluminio) con
susceptibilidad χm .
~ a una distancia s del eje del alambre.
a) Calcula el campo magnético B
b) Calcula todas las corrientes inducidas y calcula la corriente total neta inducida
fluyendo por el alambre.
Solución al problema 3
a) Dada la geometrı́a del problema, en particular como circula la corriente, sabemos
~ debe formar cı́rculos concéntricos alrededor del cable. Tomando un circuito
que el campo H
amperiano circular de radio s, concéntrico al cable tenemos, por ley de Ampère que
s2
I
I a2 , (s < a);
ext
~
~
H · dl = H(2πs) = Ienc =
(11)
I, (s > a),
es decir,
(
H=
Is
,
2πa2
I
2πs ,
(s < a);
(s > a),
(12)
y por ende
(
B = µH =
µ0 (1+χm )Is
,
2πa2
µ0 I
(s
2πs ,
(s < a);
(13)
> a).
b) Las corrientes inducidas las calculamos por medio de las siguientes relaciones
J~ind = χm J~ext ,
(14)
χm I
êz ,
J~ind =
πa2
(15)
pero J~ext = I/(πa2 )êz , con lo cual
3
que tiene la misma dirección de I. Las corrientes inducidas superficiales están dadas por
~ ind = M
~ × n̂ = χm H
~ × n̂,
K
~ ind = χm I (−êz ),
K
2πa
⇒
(16)
con dirección opuesta a la corriente I. Notamos que se verifica que Iind = Jind (πa2 ) +
Kind (2πa) = χm I − χm I = 0, como debe ser porque no hay magnetización del cable permanente.
4. Problema: (20pts) Considera un sistema de imanes permanentes con forma de dona,
que se deslizan sin fricción en dirección vertical sobre una varilla, como se muestra
en la figura. Considera también a los imanes como dipolos con masa M y momento
dipolar m.
~
a) Si colocas dos imanes encontrados (para uno el norte magnético apunta hacia
arriba y el del otro imán hacia abajo), el imán de arriba flotará en el aire (la fuerza
magnética repulsiva balanceará la fuerza de atracción gravitacional). Calcula a
qué altura z flotará el imán.
b) Si agregas un tercer imán al sistema considerado en el inciso anterior, con su norte
apuntando hacia arriba, ¿cuál será el cociente de las dos alturas z2 /z1 ? (calcula
tu resultado numéricamente con tres cifras significativas).
a)!
b)!
z1!
z!
z2!
Solución al problema 4
a) Haciendo uso de la siguiente ecuación
~ 1 = µ0 m [2 cos θêr + sin θêθ ] ,
B
4πr3
(17)
y evaluando θ = 0, tenemos que el campo magnético está dado por
~ 1 = 2µ0 m êz ,
B
4πz 3
(18)
por lo tanto,
2
~ 1 = − µ0 m ,
m
~2·B
2πz 3
4
(19)
y la fuerza sobre el imán superior será
~ 1 ),
F~ = ∇(m
~2·B
⇒
∂
µ0 m2
3µ0 m2
F~ =
−
êz =
êz .
3
∂z
2π z
2πz 4
(20)
Esta es la fuerza sobre el imán superior debido al imán inferior. Para que equilibre la fuerza
gravitacional (−M g êz ) se tiene que cumplir que
3µ0 m2
− M g = 0,
2πz 4
3µ0 m2
z=
2πgM
⇒
14
.
(21)
b) El imán en el centro es repelido por ambos imanes (superior e inferior), por tanto se
debe cumplir que
3µ0 m2 3µ0 m2
−
− M g = 0.
(22)
2πz24
2πz14
A su vez, el imán superior es repelido por el imán que se encuentra en el centro y atraı́do
por el imán que se encuentra en la parte inferior, y por lo tanto en el equilibrio de fuerzas
se debe de tener que
3µ0 m2
3µ0 m2
− M g = 0.
(23)
−
2π(z1 + z2 )4
2πz14
Restando estas dos últimas ecuaciones encontramos que
3µ0 m2 1
1
1
1
−
−
+
− M g + M g = 0,
2π
z24 z14 z14 (z1 + z2 )4
o bien
1
2
1
= 0,
− 4+
4
(z
+
z2 )4
z2
z1
1
⇒
1
1
+
= 2.
(z2 /z1 )4 (z2 /z1 + 1)4
(24)
(25)
Haciendo α = z2 /z1 , la ecuación anterior se escribe como
1
1
+
= 2.
(α)4 (α + 1)4
(26)
Resolviendo numéricamente encontramos que α = z2 /z1 = 0.850115.
5. Problema: (25pts) Una espira rectangular de alambre está localizada de tal forma que
un lado de altura h está dentro de dos placas metálicas paralelas formando un capa~ El otro lado de la espira está fuera del
citor, orientado paralelo al campo eléctrico E.
capacitor, donde el campo eléctrico es prácticamente cero. Calcula la fuerza electromotriz inducida (FEM ). Si la resistencia total es R, calcula la corriente que fluye por
el alambre y explica tu resultado.
Nota: Aquı́ el Griffiths nos advierte que el problema tiene truco y que tengas cuidado
con tu razonamiento, en el sentido de que si inventas una máquina de movimiento
perpetuo, algo andará mal!.
5
Solución al problema 5
Todos los campos electroestáticos satisfacen
I
~ · d~l = 0 .
E= E
En principio parecerı́a que la FEM en este caso satisface que
Z
~ · d~l = σ h,
E= E
0
(27)
(28)
como de hecho serı́a el caso si el campo eléctrico fuese σ/0 dentro del capacitor y 0 inmediatamente fuera de éste. Pero el hecho es que en un capacitor real siempre existe un
residuo del campo eléctrico en las orillas, y éste es precisamente el que anula la contribución
del lado derecho del circuito (el que está dentro del capacitor). Como la FEM es cero la
corriente también debe serlo.
6. Problema TORITO: (30pts) Sobre un solenoide muy largo de radio a circula una
corriente alterna de tal manera que el campo dentro del solenoide está dado por
~
B(t)
= B0 cos (ωt) êz .
(29)
Una espira circular de alambre de radio a/2 y resistencia R se coloca dentro del
solenoide, orientado de manera coaxial con el solenoide (el vector normal de área de
la espira es paralelo al eje êz ). Calcula la corriente inducida en la espira como función
del tiempo.
Solución al problema 6
El flujo que produce el campo magnético a través de la espira circular de radio a/2 es
Z
Φ=
2
πa2
a
~
B=
B0 cos(ωt) .
B · d~a = π
2
4
(30)
La FEM producida por la variación en el tiempo de este flujo está dada por
E =−
dΦ
πa2
=
B0 ω sin(ωt),
dt
4
(31)
y la corriente se relaciona con esta FEM mediante
I(t) =
E(t)
πa2 ω
=
B0 sin(ωt).
R
4R
6
(32)