Capítulo 10 Efectos de superficie. Sistema respiratorio

Capítulo 10
Efectos de superficie. Sistema
respiratorio
1
Tensión superficial
El coeficiente de tensión superficial γ es la fuerza por unidad de longitud que hay que realizar para aumentar una superficie:
F = 2γ l
El coeficiente de tensión superficial es la energía por unidad de área de la
superficie:
W = 2γS
El factor 2 se introduce en las ecuaciones anteriores cuando existen dos
superficies entre el líquido y el aire.
El coeficiente de tensión superficial posee unidades de N/m.
Tamaño de pompas y gotas
La diferencia de presiones entre el interior y el exterior de una pompa
vale:
4γ
∆p =
r
Si sólo hay una superficie, como ocurre en un alveolo, el factor 4 se
sustituye por 2.
El tamaño de una gota a través de un orificio de radio r es:
r=
v
u
u
t
3γ
.
2gρ
Podemos medir γ contando las gotas N y Nr de dos líquidos, de uno de
los cuales conocemos γr . Si ρ y ρr son las densidades tenemos:
γ=
ρNr
γr .
ρr N
Capilaridad
La altura de la columna de líquido producida por capilaridad en un tubo
de radio r es:
2γ cos θ
∆h =
ρgr
θ es el ángulo de contacto.
La presión negativa se debe a las fuerzas que mantienen unido a un
líquido y tratan de evitar que en él se forme una superficie libre.
Transporte respiratorio
El volumen V intercambiado en los alveolos cuando la diferencia de presiones parciales es ∆p vale:
∆p
V
= −KS
t
∆x
S es el área de la membrana, y la constante K se denomina de Krogh. La
capacidad de difusión es la constante DL = KS/∆x.
Un valor típico de DL para el O2 es 30 ml/(min·mm de Hg). La difusión
del CO2 es unas seis veces más rápida.
Características de los pulmones
La compliancia C es la relación entre el volumen y la presión:
C=
V
p
Un valor típico de la compliancia del sistema respiratorio humano es de
C = 0, 14 l/mm de Hg.
La potencia de los pulmones P es igual a:
P =
W
2p∆V
=
T
T
El factor 2 extra es para tener en cuenta tanto el trabajo realizado en la
inspiración como en la espiración.
Problema 10.1
¿Qué fuerza hay que realizar para mover un alambre que
desliza sobre dos rieles, en forma de U, separados 20 cm
si existe una capa de agua en el rectángulo formado por
ellos? ¿Cuál es la energía superficial del agua cuando la
separación entre el alambre móvil y el otro extremo es de
40 cm?
Problema 10.2
Cada una de las seis patas de un insecto produce una
deformación circular en el agua de 1 mm radio. ¿Cuál es
el peso máximo del insecto para poder mantenerse sobre
el agua?
Problema 10.3
¿Cuál es la presión del gas en el interior de una burbuja de
1 mm de diámetro en el fondo de un vaso con agua hasta
una altura de 12 cm?
Problema 10.4
Supón que ponemos en contacto dos pompas del mismo
líquido, pero de distinto radio. ¿Cuál es el radio final de
ambas?
Problema 10.5
Encuentra la aceleración con la que cae una pompa de
líquido con una tensión superficial de 0.2 N/m y de radio
0.04 m. Supón que el aire es un gas ideal.
Problema 10.6
Para determinar el coeficiente de tensión superficial de un
líquido, contamos el número de gotas que caen por un tubo estrecho, para un volumen de líquido dado. Si la densidad del líquido es de 0.8 y se producen 142 gotas, mientras que para el mismo volumen de agua se producen 39,
¿cuál es la tensión superficial del líquido?
Problema 10.7
Un líquido con una tensión superficial de 0.04 N/m y una
densidad de 1.2 posee un ángulo de contacto de 120◦ con
el material del que está formado un capilar de 0.2 mm de
radio. ¿Qué diferencia de altura, con respecto al nivel de
un gran recipiente, adquiere el líquido en el capilar?
Problema 10.8
Supón que el ángulo de contacto de la sangre con un capilar es 0◦ . ¿Cuál es el radio del capilar si la sangre asciende
por él 2 cm?
Problema 10.9
Obtén la expresión de la altura de una columna de líquido
en un capilar por medio de la diferencia de presiones entre
el gas y el líquido en función del radio de curvatuta de
su superficie de separación. Este radio de curvatura se
puede escribir en términos del radio del capilar y el ángulo
de contacto.
Problema 10.10
Podemos imaginar al xilem formado por conductos de 0.02
mm de radio que en su parte superior están cerrados por
las hojas, que poseen unos poros de 5 nm de radio. Determina:
(a) la máxima altura que puede alcanzar el agua en un
capilar de 5 nm de radio,
(b) la máxima presión, debida a la tensión superficial,
que puede aguantar uno de esos capilares,
(c) la máxima altura de un conducto si el agua que contiene aguanta una presión negativa de 32 atm,
(d) el caudal que atraviesa un conducto de un árbol de 30
m de altura, si la presión en su parte superior es un
diez por ciento mayor que la necesaria para mantener
la columna de agua,
(e) la presión necesaria para mantener el mismo caudal
en un conjunto de vasos de radio 5 nm y cuya área
total fuera igual a la del vaso del xilem.
Problema 10.11
La presión parcial del oxígeno en un alveolo es de 160 mm
de Hg y en la sangre de 40 mm de Hg. La capacidad de difusión del oxígeno a través de la membrana de separación
de un alveolo es de 30 ml/(min·mm de Hg) y el intercambio gaseoso se produce durante 0.3 s. ¿Qué cantidad de
oxígeno pasa a la sangre durante dicho intervalo en un
alveolo?
Problema 10.12
¿Cuál es la diferencia de presiones entre el interior y el
exterior de un alveolo de 0.1 mm de radio cuya capa de
fluido posee una tensión superficial de 0.004 N/m?
Problema 10.13
Determina la potencia consumida en la respiración por una
persona que realiza 10 inhalaciones por minuto, cada una
de ellas de 0.6 l, con una presión media de 10 mm de
Hg. Si la eficiencia de la persona es del 25 %, ¿cuál es la
potencia total que requiere?
10.1 ¿Qué fuerza hay que realizar para mover un alambre que desliza sobre
dos rieles, en forma de U, separados 20 cm si existe una capa de agua en el
rectángulo formado por ellos? ¿Cuál es la energía superficial del agua cuando
la separación entre el alambre móvil y el otro extremo es de 40 cm?
La fuerza es proporcional a la longitud y al coeficiente de tensión superficial:
F = 2γL = 2 · 0.073 · 0.2 = 0.029 N.
La energía superficial es proporcional al área y al coeficiente de tensión
superficial:
E = 2γS = 2 · 0.073 · 0.2 · 0.4 = 0.0117 J.
10.2 Cada una de las seis patas de un insecto produce una deformación circular en el agua de 1 mm radio. ¿Cuál es el peso máximo del insecto para poder
mantenerse sobre el agua?
El peso máximo del insecto corresponde a cuando la deformación de la
superficie del agua es semiesférica. En este caso la fuerza debida a la
tensión superficial es:
F = 6 · 2πr γ = 6 · 2π 10−3 0.073 = 2.75 · 10−3 N.
La masa máxima del insecto es:
F
2.75 · 10−3
m= =
= 0.28 g.
g
9.8
10.3 ¿Cuál es la presión del gas en el interior de una burbuja de 1 mm de
diámetro en el fondo de un vaso con agua hasta una altura de 12 cm?
La presión del gas en una burbuja es igual a la presión fuera más la diferencia de presiones asociada a la tensión superficial:
2γ
2γ
= ρgh +
r
r
2 · 0.073
= 1468 N/m2 .
= 1000 · 9.8 · 0.12 +
0.0005
pd = pf +
Esta presión es relativa a la presión atmosférica.
10.4 Supón que ponemos en contacto dos pompas del mismo líquido, pero de
distinto radio. ¿Cuál es el radio final de ambas?
La presión (por encima de la atmosférica) en el interior de cada pompa
es 4γ/r. Por tanto, es mayor en la pompa más pequeña. Puestas las
pompas en contacto pasará gas de la pompa pequeña a la grande hasta
que finalmente desaparezca la pequeña.
Para calcular el radio final obtenemos el número de moles totales:
p1 V1 p2 V2
+
RT
RT
!
1 4γ 4 3 4γ 4 3
1 16γπ 2
=
πr1 +
πr2 =
(r1 + r22 ).
RT r1 3
r2 3
RT 3
n1 + n2 =
Cuando sólo queda una burbuja su radio viene dado por:
1 16γπ 2
1 16γπ 2
(r1 + r22 ) =
r .
RT 3
RT 3 f
Y despejando llegamos a:
rf2 = r12 + r22 .
10.5 Encuentra la aceleración con la que cae una pompa de líquido con una
tensión superficial de 0.2 N/m y de radio 0.04 m. Supón que el aire es un gas
ideal.
La presión en el interior de la pompa vale:
p = patm +
4 · 0.2
4γ
= patm +
= patm + 20 N/m2 .
r
0.04
La densidad del aire fuera de la pompa es:
ρ0 =
mm
nmm
patm
=
= mm
.
V
V
RT
en donde mm es la masa molecular media del aire. En el interior de la
pompa la densidad vale:
ρ = mm
patm + 20
20
= ρ0 + mm
.
RT
RT
La aceleración de la pompa es igual a su peso menos la fuerza de empuje,
todo ello dividido por su masa:
20
mm
g
F
(ρ − ρ0 )gV
20 · 9.8
RT
a=
=
≈
=
= 0.00193 m/s2 .
p
5
atm
m
ρV
1.013 · 10
mm
RT
10.6 Para determinar el coeficiente de tensión superficial de un líquido, contamos el número de gotas que caen por un tubo estrecho, para un volumen
de líquido dado. Si la densidad del líquido es de 0.8 y se producen 142 gotas, mientras que para el mismo volumen de agua se producen 39, ¿cuál es la
tensión superficial del líquido?
El coeficiente de tensión superficial del líquido vale:
γ=
ρNr
1 · 39
γr =
0.073 = 0.025 N/m.
ρr N
0.8 · 142
10.7 Un líquido con una tensión superficial de 0.04 N/m y una densidad de 1.2
posee un ángulo de contacto de 120◦ con el material del que está formado un
capilar de 0.2 mm de radio. ¿Qué diferencia de altura, con respecto al nivel de
un gran recipiente, adquiere el líquido en el capilar?
La diferencia de alturas debida a la capilaridad es:
∆h =
2γ cos θ
2 · 0.04 cos 120
=
= −0.017 m.
ρgr
1200 · 9.8 · 2 · 10−4
10.8 Supón que el ángulo de contacto de la sangre con un capilar es 0◦ . ¿Cuál
es el radio del capilar si la sangre asciende por él 2 cm?
El radio del capilar habrá de ser igual a:
r=
2γ cos θ
2 · 0.058 · 1
=
= 5.6 · 10−4 m.
ρg∆h
1050 · 9.8 · 0.02
10.9 Obtén la expresión de la altura de una columna de líquido en un capilar
por medio de la diferencia de presiones entre el gas y el líquido en función del
radio de curvatuta de su superficie de separación. Este radio de curvatura se
puede escribir en términos del radio del capilar y el ángulo de contacto.
El radio de curvatura R de la superficie del líquido es igual a:
π
R sen
− θ = R cos θ = r.
2
!
La diferencia de alturas vale:
∆h =
2γ cos θ
2γ
=
ρgr
ρgr
La diferencia de presión entre el gas y
el líquido es:
∆p =
2γ
.
R
El resultado buscado es, por tanto:
∆h =
∆p
ρg
=⇒
∆p = ρg∆h.
10.10 Podemos imaginar al xilem formado por conductos de 0.02 mm de radio
que en su parte superior están cerrados por las hojas, que poseen unos poros
de 5 nm de radio. Determina:
(a) la máxima altura que puede alcanzar el agua en un capilar de 5 nm de
radio,
(b) la máxima presión, debida a la tensión superficial, que puede aguantar
uno de esos capilares,
(c) la máxima altura de un conducto si el agua que contiene aguanta una
presión negativa de 32 atm,
(d) el caudal que atraviesa un conducto de un árbol de 30 m de altura, si la
presión en su parte superior es un diez por ciento mayor que la necesaria
para mantener la columna de agua,
(e) la presión necesaria para mantener el mismo caudal en un conjunto de
vasos de radio 5 nm y cuya área total fuera igual a la del vaso del xilem.
(a) La altura máxima debida a la capilaridad de los poros de las hojas
es:
2γ cos θ
2 · 0.073 · 1
∆h =
=
= 2980 m.
ρgr
1000 · 9.8 · 5 · 10−9
(b) Hemos de traducir la altura anterior a su presión equivalente:
∆p = ρg∆h = 1000 · 9.8 · 2980 = 2.92 · 107 N/m2 = 288 atm.
(c) La altura que aguanta un conducto con un líquido que es capaz de
soportar una presión negativa de 32 atm es:
∆h =
∆p 32 · 1.013 · 105
=
= 331 m.
ρg
1000 · 9.8
(d) El caudal viene dado por la ley de Poiseuille considerando una diferencia de presiones igual al exceso de presión respecto de la necesaria para mantener la columna (ρgh):
∆p πR4
0.1 · 1000 · 9.8 · 30π(0.02 · 10−3 )4
Q =
=
L 8η
30 · 8 · 0.001
= 6.16 · 10−14 m3 /s.
(e) Necesitaríamos un total de (0.02 mm/5 nm)2 = 16000000 capilares de 5 nm por cada conducto de 0.02 mm de radio. El caudal a
través de uno de ellos es 16000000 veces menor que el de un conducto. Para mantener dicho caudal necesitaríamos una diferencia
de presiones igual a:
∆p1
Q1 L8η
Ql8η160000002
=
=
= 16000000 ∆p
πR14
16000000 πR4
= 16000000 · 29400 = 4.7 · 1011 N/m2 .
10.11 La presión parcial del oxígeno en un alveolo es de 160 mm de Hg y en
la sangre de 40 mm de Hg. La capacidad de difusión del oxígeno a través
de la membrana de separación de un alveolo es de 30 ml/(min·mm de Hg) y
el intercambio gaseoso se produce durante 0.3 s. ¿Qué cantidad de oxígeno
pasa a la sangre durante dicho intervalo en un alveolo?
El volumen de oxígeno intercambiado por alveolo es:
V = DL t ∆p = 30
0.3
(160 − 40) = 18 ml.
60
10.12 ¿Cuál es la diferencia de presiones entre el interior y el exterior de un
alveolo de 0.1 mm de radio cuya capa de fluido posee una tensión superficial
de 0.004 N/m?
La diferencia de presiones entre el interior y el exterior del alveolo será:
∆p =
2 · 0.004
2γ
=
= 80 N/m2 .
r
0.0001
10.13 Determina la potencia consumida en la respiración por una persona que
realiza 10 inhalaciones por minuto, cada una de ellas de 0.6 l, con una presión
media de 10 mm de Hg. Si la eficiencia de la persona es del 25 %, ¿cuál es la
potencia total que requiere?
La potencia neta necesaria para respirar es:
pV
10 · 133 · 0.6 · 10−3
P =
=
2 = 0.266 W.
t
6
El factor 2 aparece debido a la inhalación y la exhalación. La potencia
total necesaria es igual a:
P =
100
0.266 = 1.06 W.
25