Materiales eléctricos y magnéticos

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LOS MATERIALES
Índice
• Introducción
• Campos Magnéticos y Magnitudes
• Sustancias magnéticas
• Dominios, ciclos de histéresis y condicionantes sobre los rendimientos de los materiales
magnéticos
• Materiales Ferromagnéticos
• Materiales Ferrimagnéticos
• Bibliografía
Introducción
Los materiales magnéticos son importantes materiales industriales necesarios para muchos diseños en
ingeniería. Primeramente penetraremos en el origen del magnetismo de los materiales ferromagnéticos y
examinaremos brevemente algunas de las unidades básicas y relaciones asociadas con el magnetismo y con
los materiales magnéticos. Posteriormente investigaremos algunas de las propiedades más importantes de los
campos magnéticos y estudiaremos la formación y movimiento de los dominios en los materiales
ferromagnéticos. A continuación discutiremos algunos aspectos de la estructura y propiedades de algunos
materiales ferromagnéticos industriales, tanto blandos como duros. Finalmente describiremos brevemente el
ferrimagnetismo y la estructura y propiedades de las ferritas, que son materiales magnéticos cerámicos.
Campos Magnéticos y Magnitudes
Fuentes del magnetismo natural
Un imán es un cuerpo capaz de atraer fuertemente los objetos de hierro. También sabemos que las corrientes
eléctricas presentan propiedades magnéticas como los imanes. Como veremos, las propiedades magnéticas de
los imanes y de las corrientes eléctricas tienen un origen común: el movimiento de cargas eléctricas.
En 1823, Ampère sugirió que el magnetismo natural era debido a pequeñas corrientes cerradas en el interior
de la materia. En la actualidad, identificamos esas pequeñas corrientes con el movimiento de los electrones en
el interior de los átomos. Un electrón que gira alrededor del núcleo equivale a una corriente que produce los
mismos efectos magnéticos que un pequeño imán. Por otro lado, los electrones giran sobre sí mismos
produciendo efectos magnéticos adicionales.
Podemos imaginar que en cualquier material existen muchos imanes de tamaño atómico. En la mayoría de los
casos, estos pequeños imanes o dipolos magnéticos están orientados al azar y sus efectos se cancelan. Sin
embargo, en ciertas sustancias, estos dipolos magnéticos están orientados en el mismo sentido. En tal caso, los
efectos de cada dipolo magnético se suman formando un imán natural.
Campos magnéticos
Comencemos nuestro estudio sobre los materiales magnéticos revisando algunas de las propiedades
fundamentales del magnetismo y de los campos magnéticos. Los metales hierro, cobalto y níquel son los tres
únicos elementos metálicos que una vez imanados a temperatura ambiente pueden generar un fuerte campo
magnético a su alrededor diciéndose que son ferromagnéticos. La presencia de un campo magnético rodeando
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una barra imanada de hierro puede observarse por la dispersión de pequeñas partículas de hierro
espolvoreadas sobre una hoja de papel localizada encima de la barra de hierro. Como se observa en la figura
1, la barra imanada posee dos polos magnéticos, y las líneas de campo magnético salen de un polo y entran en
el otro.
En general, el magnetismo presenta una naturaleza dipolar, no habiéndose descubierto ningún monopolo
magnético. Siempre hay dos polos magnéticos o centros del campo magnético, separados una distancia
determinada, y este comportamiento dipolar se extiende hasta los pequeños dipolos magnéticos encontrados
en algunos átomos.
Los campos magnéticos también son producidos por conductores portadores de corriente. La figura 2 ilustra la
formación de un campo magnético alrededor de una larga bobina de hilo de cobre, llamada solenoide, cuya
longitud es mucho mayor que su radio. Para una solenoide de n vueltas y longitud l, la intensidad del campo
magnético H es
donde i es la corriente. La intensidad del campo magnético H tiene, en el SI, unidades de amperios por metro
(A/m) y, en el sistema cgs, unidades de oersted (Oe). La relación de conversión entre las unidades del SI y cgs
para H es 1 A/m = 4 x 10−3 Oe.
Inducción magnética
Situemos una barra de hierro desimanada dentro de un solenoide y apliquemos una corriente imanadora al
solenoide, tal y como se muestra en la figura 2b. Se obtiene que el campo magnético exterior al solenoide es
mayor con la barra imanada dentro del solenoide. El aumento del campo magnético fuera de la solenoide es
debido a la suma del campo generado por el solenoide y el campo magnético externo a la barra imanada. El
nuevo campo magnético resultante se denomina inducción magnética, o densidad de flujo, o simplemente
inducción y se denota por el símbolo B.
La inducción magnética B es la suma del campo aplicado H y el campo externo proveniente de la imanación
de la solenoide. El momento magnético inducido por unidad de volumen debido a la barra se denomina
intensidad de imanación o simplemente imanación, y se denota por el símbolo M. En el SI de unidades
donde 0 es la permeabilidad en el espacio libre = 4 x 10−7 tesla−metro por amperio (T·m/A). 0 no tiene
significado físico y únicamente es necesario en la Ecuación anterior por la elección del SI de unidades. La
unidad en el SI para B es el weber (1 Wb = 1 V·s) por metro cuadrado (Wb/m2), o el tesla (T), y la unidad del
SI para H y M es el amperio por metro (A/m). La unidad cgs para B es el gauss (G) y para H, el oersted (Oe).
Un punto importante a resaltar es que para los materiales ferromagnéticos, en muchos casos, la imanación
0M es generalmente mucho mayor que el campo aplicado 0H, de forma que podemos utilizar la relación B
" 0M. Por consiguiente, para materiales ferromagnéticos, algunas veces las cantidades B (inducción
magnética) y M (imanación) pueden intercambiarse.
Permeabilidad magnética
Como hemos señalado antes, cuando se coloca un material ferromagnético dentro de un campo magnético,
aumenta la intensidad del campo magnético. Este incremento en la imanación se mide mediante una cantidad
llamada permeabilidad magnética , definida como el cociente de la inducción magnética B respecto al
campo aplicado H, es decir,
Si el campo magnético se aplica al vacío resulta
donde 0 = 4 x 10−7 T·m/A = permeabilidad del vacío, como definimos anteriormente.
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Una forma alternativa de definir la permeabilidad magnética es a partir de la cantidad permeabilidad relativa
, definida como el cociente /0. Entonces:
y
La permeabilidad relativa 0 es una cantidad adimensional.
La permeabilidad relativa es una medida de la intensidad del campo magnético inducido. En cierta forma, la
permeabilidad magnética de los materiales magnéticos es análoga a la constante dieléctrica de los materiales
dieléctricos. Sin embargo, la permeabilidad magnética de un material ferromagnético no es una constante,
sino que varía cuando el material es imanado, tal como se muestra en la Figura 12.4. La permeabilidad
magnética de un material magnético se mide generalmente como su permeabilidad inicial i o como su
permeabilidad máxima máx. La Figura 12.4 muestra cómo se obtiene i y máx a partir de la pendiente de
la curva de imanación inicial B−H para un material magnético. Los materiales magnéticos que son fácilmente
imanados tienen alta permeabilidad magnética.
Susceptibilidad magnética
Dado que la imanación de un material magnético es proporcional al campo aplicado, el factor de
proporcionalidad llamado susceptibilidad magnética m se define como
Sustancias magnéticas
Diamagnetismo
En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A tales
sustancias las llamó diamagnéticas. El diamagnetismo es una forma muy débil de campo magnético que no es
permanente y persiste sólo mientras un campo externo está presente. Un campo magnético que actúa sobre un
átomo, induce un dipolo magnético en todo el átomo, influyendo sobre el momento magnético a través de los
electrones orbitales. Estos dipolos se oponen al campo magnético, causando que la magnetización sea menor
que la unidad. Este comportamiento proporciona una permeabilidad relativa de aproximadamente 0,99995 y la
susceptibilidad magnética es negativa. El comportamiento diamagnético no tiene aplicaciones importantes en
materiales o dispositivos magnéticos. Cuando estos materiales se colocan entre los polos de un fuerte
electroimán son atraídos hacia las regiones donde el campo es menor.
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Paramagnetismo
Cuando los materiales tienen electrones no pareados, se les asocia un momento magnético neto debido al
espín o giro electrónico. Cuando se aplica un campo magnético los dipolos se alinean con el mismo, lo
aumentan, y dan origen a una permeabilidad relativa mayor que la unidad (1,01) y a una pequeña pero positiva
susceptibilidad magnética. las susceptibilidades para los materiales paramagnéticos van desde 10−5 a 10−2.
Sin embargo, debido a que los dipolos no interactúan, se requieren campos magnéticos extremadamente
grandes para alinear a todos los dipolos. Este efecto es importante solamente a temperaturas elevadas. Estos
materiales son considerados no magnéticos debido a que solo presentan magnetización en presencia de un
campo externo, además la densidad de flujo en estos materiales es prácticamente la misma que en el vacío.
Ferromagnetismo
Estos materiales metálicos poseen un momento magnético permanente en ausencia del campo externo
aplicado y manifiestan magnetizaciones permanentes muy grandes. Este comportamiento se debe a los niveles
de energía incompletos en el nivel 3d (para el hierro, níquel y el cobalto), o bien el nivel 4f (para el gadolinio).
En este tipo de materiales los dipolos permanentes no pareados se alinean con el campo magnético aplicado.
Debido al reforzamiento mutuo de los dipolos se produce una gran intensificación del campo impuesto, aun
para campos magnéticos pequeños, proporcionando permeabilidades relativas altas. Los materiales
ferromagnéticos pueden tener susceptibilidades magnéticas tan altas como 106, por lo que H << M por lo que
la ecuación del campo queda expresada de la siguiente manera:
Los momentos magnéticos resultan de los momentos magnéticos atómicos debido al espín de los electrones,
aunque también hay un aporte del momento magnético orbital pero esta es muy pequeña comparada con el
momento de espín.
Las interacciones de acoplamiento hacen que los momentos magnéticos netos de espín de átomos adyacentes
se alineen unos con otros aun en ausencia de un campo magnético externo, esto lo podemos observar en la
siguiente ilustración:
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La magnetización de saturación, Ms, representa la magnetización que resulta cuando todos los dipolos
magnéticos en una pieza sólida están mutuamente alineados con el campo externo, también hay una densidad
de flujo de saturación Bs. La magnetización de saturación es igual al producto del momento magnético neto de
cada átomo y el número de átomos presentes.
Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al
aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve
paramagnético se le denomina temperatura Curie. La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770oC;
arriba de esta temperatura, el hierro es paramagnético.
Antiferromagnetismo
En algunos materiales, los momentos magnéticos producidos en los dipolos circundantes se alinean
oponiéndose unos a otros en el campo magnético. Estos materiales tienen una magnetización nula. La
diferencia entre el ferromagnetismo y el antiferromagnetismo estriba en las interacciones entre los dipolos
circundantes, ya sea que se refuercen o se opongan entre sí.
Ferrimagnetismo
En los materiales cerámicos, los diferentes iones tienen momentos magnéticos distintos. En un campo
magnético, los dipolos del ion A pueden alinearse con el campo mientras que los dipolos del ion B se oponen
al campo. Pero debido a que las resistencias de los dipolos no son iguales, resulta una magnetización neta.
Este tipo de materiales puede proporcionar una buena intensificación del campo aplicado.
Dominios, ciclos de histéresis y condicionantes sobre los rendimientos de los materiales magnéticos
En este apartado sobre las propiedades magnéticas de los materiales, nos centraremos en comprender y
conocer los dominios y los ciclos de histéresis, así como los aspectos que modifican el comportamiento del
material.
Antes de entrar en su estudio vamos a definir lo que es un dominio. Definimos dominio como la región de un
material en la que todos sus dipolos están orientados en el mismo sentido. Debemos particularizar este
fenómeno a los materiales ferromagnéticos y a los ferrimagnéticos. Cada uno de estos dominios tiene una
magnetización y que llega hasta el nivel de saturación.
Sin embargo, como ya hemos dicho antes, los dominios son regiones tridimensionales de un sistema, y entre
ellos aparecen las llamadas Paredes de Bloch. En éstas la dirección del momento magnético va cambiando, de
un dominio a otro. Como ya se ha podido deducir los dominios tienen, por lo general, un momento magnético
con un sentido distinto, de ahí que, si un material no ha sido expuesto a un campo magnético, los sentidos de
los momentos se anulen.
Ahora nos vamos a centrar en un material ferromagnético y como se comporta ante un campo magnético.
El campo magnético que afectará al material lo podemos dividir en dos magnitudes: la densidad de flujo y la
intensidad de campo magnético. Estas magnitudes no son proporcionales si las aplicamos sobre materiales
ferromagnéticos o ferrimagnéticos. Si aplicamos este campo magnético a un material desmagnetizado vemos
como varía la densidad de flujo en función de la intensidad de campo magnético, pero, a partir de un valor de
H, B ya es independiente.
Ese valor de B se denomina densidad de flujo de saturación, Bs, además, en ese mismo punto también se
encuentra la magnetización de saturación, Ms, que vimos en los dominios.
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Si seguimos estudiando la gráfica vemos que, aunque los dominios estén al azar, los dominios cuyo sentido es
el mismo que el del campo en el que se encuentran aumentan, llegando a magnetizarse por completo el
material en la dirección del campo. En este momento se ha alcanzado la saturación del sistema.
Como consecuencia del cambio del sentido del campo magnético, aparece el fenómeno de histéresis.
Este fenómeno surge como consecuencia de un desfase entre la densidad de flujo y la intensidad del campo
magnético. En general, lo que ocurre es una remanencia de densidad de flujo con una intensidad de campo
nula. Esto quiere decir que el material está magnetizado en ausencia de campo magnético.
En este proceso las paredes de los dominios tienen una gran relevancia, ya que gracias a éstas y a su
resistencia existe una histéresis mayor o menor. Cuando se aplica el campo en sentido contrario en el punto de
saturación, la dirección del dominio va cambiando. Poco después los dominios van creciendo en el sentido del
nuevo campo, sin embargo, esa resistividad de la que hablábamos antes, impide que lo hagan a la vez que el
campo, de forma que existen dominios orientados en el antiguo sentido del campo.
Por otro lado, si lo que queremos es anular la magnetización del material debemos aplicar un campo en el
sentido contrario al inicial. Este fenómeno lo llamaremos coercitividad o fuerza coercitiva. De esta forma
conseguimos que la magnetización neta del material sea cero.
Aunque en este caso los campos no los hemos invertido hasta la saturación, éstos pueden hacerse en cualquier
punto, generando curvas de histéresis distintas.
Con relación a los ciclos de histéresis, podemos conocer la potencia y energía requeridas para desmagnetizar
un imán permanente, conociendo el máximo producto entre B−H en el segundo o cuarto cuadrantes.
Efectos
Uno de los factores que más influyen en un ciclo de histéresis es la temperatura.
Si nos encontramos en un material ferromagnético, el aumento de la temperatura provoca una disminución de
la permeabilidad magnética, con lo que el campo magnético introducido ya no afecta de forma tan
transcendental sobre el material. Es decir, los dominios vuelven a orientarse aleatoriamente.
Todo esto provoca que la magnetización, la remanencia y la coercitividad sean menores.
En relación con el efecto de la temperatura sobre los materiales magnéticos aparece un nuevo concepto. La
temperatura de Curie, en honor a su descubridor, ésta indica la temperatura a partir de la cual dejan de
manifestarse los comportamientos magnéticos del material. Esta temperatura depende de cada material y es
modificable gracias a la aleación.
Materiales Ferromagnéticos
Materiales magnéticos blandos
• Descripción
Un material magnético blando es aquel que posee una gran facilidad para imanar y desimnanar, pero que
reciba este nombre no tiene nada que ver con la dureza física del material. Este tipo de material tiene un ciclo
de histéresis estrecho, determinado por pequeñas fuerzas coercitivas y una permeabilidad inicial alta.
Un material con estas características, alcanza la saturación con un campo aplicado relativamente pequeño y
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aun así tener pérdidas de energía pequeñas.
• Pérdidas de energía
Un material blando puede tener pérdidas de energía debidas a la histéresis y por acción de corrientes
parasitarias. En el primer caso, los valores de susceptibilidad y la coercitividad que determinan la curva de
histéresis son sensibles a la estructura del material. Así, los defectos estructurales (partículas de una fase no
magnética, poros en material no magnético) disminuyen el movimiento de las paredes del dominio y aumenta
por tanto la coercitividad.
Por otra parte, las perdidas de energía debidas a corrientes parasitarias o de Foucault se dan al inducirse
corrientes eléctricas en el material magnético, por un campo magnético que varía en magnitud y dirección con
el tiempo. Para solucionar estas pérdidas se amplia la resistividad eléctrica del material.
• Aleación hierro−silicio
Es una de las aleaciones más utilizadas como material magnético blando, ya que soluciona en gran parte las
pérdidas por histéresis y las corrientes parasitarias, y es menor la inducción por saturación y la temperatura de
Curie, todo ello gracias al silicio. La proporción de este no puede superar el 4% debido a que a partir de
entonces la ductilidad comienza a disminuir. Se suele utilizar en la fabricación de transformadores, apilando
laminas de hierro−silicio con una capa de aislante entre ellas. Dichas laminas tienen la particularidad de tener
los granos orientados para tener menos pérdidas.
• Vidrios metálicos
Son materiales de estructura amorfa, obtenidos mediante la combinación de elementos ferrimagnéticos como
el hierro, cobalto y niquel, con metaloides como el Boro y el Silicio. Son muy fuertes, muy duros, con cierta
flexibilidad y resistentes a la corrosión. En estos materiales, las paredes del dominio se mueven con facilidad
a causa de que tienen ciclos de histéresis muy estrechos. Se suele emplear en la fabricación de
transformadores de potencia, sensores magnéticos y cabezas grabadoras.
• Aleaciones niquel−hierro
Estos materiales magnéticos blandos se emplean como sustituto de la aleación hierro−silicio en aplicaciones
que se necesite una permeabilidad relativamente alta para campos bajos. Existen dos tipos: con 50% de níquel,
con moderada permeabilidad y alta inducción de saturación; y con 79% de níquel con alta permeabilidad y
menor inducción de saturación. Estas aleaciones tiene permeabilidades altas porque sus energías de
anisotropía magnética y de magnetostricción son pequeñas. Se suelen emplear en transformadores de
instrumentación, relés de instrumentación y para laminados de rotores y estatores.
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Tabla de las características de los materiales blandos (incluida ferritas de las que hablaremos
posteriormente)
Materiales magnéticos duros
• Descripción
Este grupo de materiales destacan entre el resto por tener una gran resistencia a la desmagnetización, por lo
que son utilizados como imanes permanentes. Sus características son una remanencia, coercitividad y
densidad de flujo de saturación altas que hace que tenga un ciclo de histéresis ancho y alto. Estos materiales se
imanan mediante la aplicación de un campo magnético que consiga orientar los dominios magnéticos en la
misma dirección que el campo. De esta forma, el material adquirirá energía del campo que será convertida en
energía potencial. La curva de desimanación viene dada por la representación del ciclo de histéresis en el
segundo cuadrante. La energía potencial magnética de un material se mide como el producto de la inducción
magnética y el campo desimanador, es decir, el área encerrada por el mayor rectángulo que puede ser inscrito
en el segundo cuadrante del ciclo de histéresis del material.
• Aleaciones de alnico
El alnico es uno de los materiales magnéticos duros comercialmente más importantes. Tienen una alta energía
producto (40 a 70 kJ/m3), una alta inducción de remanente (0,7 a 1,35 T) y un moderado campo coercitivo (40
a 160 kA/m). Este tipo de aleaciones se obtienen a partir del hierro con adición de Aluminio, Níquel y Cobalto
más un 3% de Cobre aunque también se le puede añadir Titanio. Este tipo de material es quebradizo y para su
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elaboración se funde para posteriormente recurrir a procesos de metalurgia de polvo. Su finalidad principal es
la producción de grandes cantidades de pequeños artículos de formas complejas.
• Aleaciones de tierras raras
Los imanes de aleaciones de tierras raras tienen propiedades superiores a cualquier otro material magnético
comercial. Su energía producto alcanza valores de 240kJ/m3 y las coercitividades rondan los 3200kA/m. Hay
dos grupos principales de materiales magnéticos de tierras raras: uno es la monofase SmCo5 y el otro son las
aleaciones endurecidas por precipitación de composición aproximada Sm(Co,Cu)7,5 .
Los imanes de monofase SmCo5 tienen un mecanismo de coercitividad basado en la nucleación y fijación de
las paredes del dominio en las superficies y fronteras de grano. Se trabajan mediante procesos de metalurgia
de polvo utilizando partículas finas. Durante la compactación las partículas se alineen por la acción del campo
magnético y posteriormente son sinterizados para evitar el crecimiento de las partículas. Los valores de la
energía producto son de entre 130 y 160 kJ/m3 .
En el endurecimiento por precipitación de la aleación de Sm(Co,Cu)7,5,parte del cobalto es sustituido por el
Cobre en el SmCo5 por medio de un fino precipitado a una temperatura de envejecimiento de unos 400º C. El
precipitado formado es coherente con la estructura anterior y se basa en la fijación homogénea de las paredes
del dominio de las partículas precipitadas. Al igual que el anterior se recurre a métodos de metalurgia de
polvos para su conformación. Los valores típicos de la energía producto en una aleación
Sm(Co0,68Cu0,10Fe0,21 Zr0,01)7,4 son de 240Kj/m3 y de 1,1 T de inducción remanente.
Los imanes de Sm−Co se utilizan en dispositivos médicos tales como los pequeños motores de bombas
implantables y válvulas, en relojes de muñeca, tubos de onda progresiva y en motores y generadores de
corriente continua síncronos.
• Aleaciones magnéticas de neodimio−hierro−boro
El descubrimiento de este tipo de material es muy reciente, hacia 1984. Su energía producto, alrededor de
300kJ/m3, es una de las mayores entre los materiales magnéticos. Se producen mediante metalurgia de polvo,
solidificando rápidamente mediante cintas de hilado fundido. La alta coercitividad y energía producto de este
material son resultado de una nucleación inversa de los dominios magnéticos que habitualmente nuclean en
las fronteras de grano de las matrices de los granos.
Se emplean en motores eléctricos, en especial en los motores de arranque de automóviles, gracias a ser más
potente que otros materiales.
• Aleaciones magnéticas de hierro−cromo−cobalto
Estas aleaciones son similares a las de alnico en estructura metalúrgica y propiedades magnéticas
permanentes, pero poseen como ventaja que pueden ser conformables en frío. La composición típica de esta
estructura guarda la siguiente proporción: 61% de hierro, 28% de cromo y 11% de Cobalto. Los valores de las
propiedades magnéticas son de 1,0T a 1,3T de inducción remanente, de 150 A/cm a 600 A/cm de
coercitividad y de 10kJ/m3 a 45kJ /m3. Se emplean en imanes permanentes para receptores telefónicos.
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Tabla de las características de los materiales duros (incluida ferritas de las que hablaremos
posteriormente)
Materiales Ferrimagnéticos
Ferritas
Las ferritas son materiales cerámicos magnéticos obtenidos al combinar óxido de hierro (Fe2O3) con otros
óxidos y carbonatos en forma de polvo. Estos son presionados y sinterizados a grandes temperaturas. Al igual
que los materiales ferromagnéticos, tienen una gran imanación pero su saturación es más baja que en los
ferromagnéticos.
Ferritas blandas
La mayoría de las ferritas blandas tienen la composición básica de MO·Fe2C3, donde M es un ion bivalente
como el Fe 2+ , Mn 2+ y Ni 2+ . Estos materiales tienen una estructura de espinela inversa, que contienen una
celdilla unidad consistente en 8 subceldas FCC. Cada subcelda corresponde a una molécula de MO·Fe2O3.
Por tanto, en esta estructura los 8 iones de M 2+ ocupan 8 posiciones octaédricas, los 16 iones de Fe3+
ocupan 8 localizaciones octaédricas y 8 tetraédricas.
Estas ferritas se utilizan para aplicaciones de baja señal, núcleos de memoria, audiovisuales y cabezas
grabadoras, como ejemplos. Puesto que estos materiales son aislantes, pueden utilizarse para aplicaciones de
alta frecuencia donde las corrientes parásitas son un problema con campos alternos.
Ferritas duras
Las ferritas duras, con la fórmula general de MO Fe203, donde M es usualmente un ion de Ba o Sr, son
utilizadas para aplicaciones que requieran materiales magnéticos permanentes de bajo costo y baja densidad.
Estos materiales se utilizan en altavoces, emisores y receptores telefónicos.
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Bibliografía
Donald R. Askeland. La ciencia e ingeniería de los materiales.Grupo Editorial Iberoamericana.1987
William F.Smith. Fundamentos de la Ciencia e Ingeniería de losMateriales.McGraw−Hill.1993
William D.Callister,Jr. Introducción a la Ciencia e Ingeniería de los Materiales.Editorial Reverté, S.A.
1997
Ciclo de histéresis en un material blando
Ciclo de histéresis en un material duro
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