1 MODULO VII. FACTORES QUE INFLUYEN EN

Resistencia de Materiales
Email: foxmancol@hotmail.com
Ing. Antonio Favio Ospino M
Cel: 3008042083
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MODULO VII. FACTORES QUE INFLUYEN EN LOS ESFUERZOS DE MATERIALES
7.1. CONCENTRADORES DE ESFUERZO.
Debido a que los elementos mecánicos tienen diferentes formas, acabados, imperfecciones y
discontinuidades, no se comportan como los materiales perfectos que en la mayoría de los casos se analizan.
Cualquier discontinuidad altera la distribución del esfuerzo en los alrededores de dichas discontinuidades. A
estas discontinuidades se les llama Intensificadores de esfuerzo y en las regiones en que ocurre, áreas de
concentración de esfuerzo.
σ
Distribucion
del esfuerzo
En este ejemplo tenemos una discontinuidad en el
material, las trayectorias de las líneas de esfuerzo son
uniformes menos en las partes vecindarias del orificio, en
ese punto es esfuerzo se “ concentra ”.
Para relacionar estos esfuerzos se emplean los factores de
concentración geométricos Kt ( Para esfuerzos normales )
y Kts ( para esfuerzos cortantes )
Kt = ( σmax / σo )
σ
Kts = ( τmax / τo )
El esfuerzo nominal σo o τo se calcula de las ecuaciones
fundamentales y el área neta. El subíndice t en Kt o Kts
significa que el valor de estos factores dependen solo de la
geometría de la parte. Kt o Kts es llamado Factor de
Concentración de Esfuerzos Bajo Cargas Estáticas
Ambos factores se pueden encontrar por tablas ya establecidas de la geometría y tipo de carga. Para efectos
de cálculos de cargas estáticas, debemos hallarlos o tenerlos en cuenta para los cálculos. Ejemplo
Una barra rectangular de largo = 10 cms, ancho ( w ) = 5 cms
y espesor ( t ) = 2 cms, se carga bajo tensión con una fuerza P
= 10000 N. La barra poses un agujero de 1 cms de diámetro en
su centro. Se desea calcular los esfuerzos nominales y el
esfuerzo máximo en los alrededores del agujero
10 cm s
5 cm s
El esfuerzo sin tener en cuenta el efecto de concentración de esfuerzo que genera el orificio viene dado por la
expresión:
σ = F/A = P/w*t = 10000 N / ( 0.02 mts*0.05 mts ) Î σ = 10 MPa
Ahora si se tiene en cuenta el concentrador de esfuerzo, los esfuerzos máximos alrededor del orificio viene
dado por la expresión:
σmaximo = Kt σo = Kt * [ F/( w – d)*t ] De las tablas se obtiene Kt = 2.5
σmaximo = 2.5 * [ 10000 N/( 0.05mts – 0.01 mts)*0.02 mts ] = 31.25 Mpa
Con el valor de σmaximo se emplea
como referencia para calcular el tipo
de material adecuado.
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7.2. GRIETAS.
La grietas en los materiales son también discontinuidades que modifican alteran la capacidad del material
para soportar cargas. Se había determinado que las irregularidades presentes en el material, modifican el
comportamiento del esfuerzo a través del mismo. Se tiene así que algunos materiales no son completamente
sensibles a la presencia de muescas o entalladuras, en tal caso puede emplearse un valor reducido de Kt. Para
dichos materiales, el esfuerzo máximo es de hecho:
σmáximo = Kf σo
τmáximo = Kfs τo
Kf : Valor reducido de Kt para esfuerzos normales
Kfs: Valor reducido de Kts para esfuerzos cortantes
σo: Esfuerzo nominal normal neto
τo: Esfuerzo cortante normal neto
El factor Kf se llama comúnmente Factor de Concentración de Esfuerzo por Fatiga o Bajo Carga Dinámica,
pero se hallarán muchos casos donde su uso es indicado sólo donde ocurren esfuerzos estáticos. Así que es
conveniente considerar a Kf como un factor de concentración de esfuerzos reducido a partir de Kt ( cargas de
tensión o flexión ) o Kts ( para cargas de torsión ), debido a la menor sensibilidad a la muesca. Kf = ( esfuerzo
máximo en probeta con muesca / esfuerzo en probeta libre de muesca ).La sensibilidad a la muesca ( q ) se
define por la ecuación:
q = ( Kf – 1 ) / ( Kt – 1 ) 0 =< q =< 1
Si Kf = 1, entonces q = 0 se deduce que el material no tiene sensibilidad a las muescas; por otra parte si q = 1,
entonces Kf = Kt y el material tiene sensibilidad completa a la muesca.
Despejando Kf :
Kf = 1 + q ( Kt – 1 ) [para cargas de tensión o flexión ]
Kfs = 1 + q ( Kts – 1 ) [ para cargas de torsión ]
El valor de q se obtiene de tablas establecidas para el mismo...si por alguna razón se desconoce su valor, se
toma Kf = Kt .En el análisis de grietas, lo importante es analizar las condiciones para las cuales esta se
desarrolla.
Graficas para hallar el valor de q
Valores de q para materiales en torsión con inversión.
Valores de q para materiales en tensión y/o flexión con inversión
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h
σ
h
2a
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3
2b
σ
Supóngase que se tiene una grieta transversal de
longitud 2 a, se aplica un esfuerzo axial de tensión σ,
el análisis elástico muestra que las condiciones para
el desarrollo de la grieta dependen de la magnitud
del factor K de intensidad del esfuerzo elástico que
en este caso es:
Ko = σ [ π a ]1/2 sus unidades son Mpa [ m ]1/2
Ahora, dependiendo de las características de la grieta, tenemos la siguiente relación:
( K I / Ko ) = N
Se puede obtener de las siguientes graficas:
Donde:
N es un valor de relación obtenido en graficas
KI: factor de intensidad de esfuerzo
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El KI es una condición análoga al esfuerzo. Ahora introducimos el concepto de KIC es cual es el Factor
Critico de Intensidad de Esfuerzo, o Tenacidad a la Fractura. Por medio de ensayos o pruebas se termina este
valor. Que cuando las condiciones de KI se acercan a KIC, se produce la propagación de la grieta. Por tanto
nuestro elemento con grita no fallara mientras su KI < KIC.
Para condiciones de diseño:
Factor de seguridad ( η ) = ( KIC / KI )
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5
0,28 % C
0,35 % C
Tenacidad a
fractura
120
KIC
80
Mpa [ m ]
0,4 % C
La grafica muestra los valores de KIC para
aceros aleados, dependiendo de la
temperatura de operación.
1/2
40
-200
-100
Temperatura º C
0
100
Cuadro. Valores de KIC para algunos metales en ingeniería
MATERIAL
Aluminio 2024
Aluminio 7075
Aluminio 7178
Aleación Titanio ( Ti-6AL-4V )
Acero 4340
Acero 52100
KIC en Mpa mts0.5
26
24
33
115
99
14
Sy o σy en MPa
455
495
490
910
860
2070
7.3. CARGAS CÍCLICAS.
A medida que la industria tenía nuevas exigencias, se comenzó a observar que algunas piezas como ejes
rotativos, se fracturaban inclusive trabajando en cargas inferiores a las de diseño. Dichas fracturas tenían
todas una configuración en particular:
fractura
marcas de
playa
A dicho fenómeno se le denominó FATIGA. Dicha falla
comienza por una pequeña discontinuidad del material
muy diminuta, la grita se va desarrollando como unas
marcas de playa, se va haciendo mayor. Como el área de
resistencia es menor, el esfuerzo aumenta en magnitud
hasta que el área restante falla de repente. A diferencia
del as fallas estática que se observa una deformación
preliminar, esta no da ningún indicio.
origen falla
Para analizar el problema se hicieron ensayos con probetas sometidas a fuerzas alternadas o repetidas y se
cuentan los ciclos cuando fallan obteniendo la siguiente grafica:
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CICLO BAJO
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DURACION FINITA
DURACION INFINITA
Sut
R
E
S
I
S
T
E
N
C
I
A
F
A
T
I
G
A
Se `
Sf
10
10
2
Se comenzaron a hacer pruebas con
probetas rotatorias comenzando con cargas
desde su Sut e ir disminuyendo la misma.
Se obtuvieron los números de ciclos a los
cuales correspondía una carga. Pero
después de observa que a partir de cierto
valor de carga llamado Se` no había fallas,
a dicho valor de carga Se` se le llamó
LIMITE RESISTENCIA A FATIGA DE
UNA MUESTRA ROTATORIA.
6
10
NUMEROS DE CICLOS
Además de ello, se describieron tres zonas importantes en relación con el número de ciclos: entre 10 y 102 es
una zona de bajos ciclos; entre 102 y 106 es la zona de duración finita, porque están esfuerzos superiores al de
límite de fatiga; de 106 en adelante la zona de duración infinita. Hay que tener en cuente que el caso de
materiales no ferrosos, la curva de Se` tiene pendiente y por tanto dichos materiales no poseen limite de
fatiga. Pruebas posteriores mostraron que el límite de resistencia a la fatiga Se` tiene relación con el Sut del
material quedando:
Se` =
0.504 Sut
100 Kpsi
700 MPa
Para aceros con Sut =< 200 Kpsi ( 1400 MPa )
Para aceros con Sut > 200 Kpsi ( 1400 MPa )
Para aceros con Sut > 1400 MPa
Si queremos hallar el límite de resistencia la fatiga en la zona de duración finita, tenemos la siguiente
formula:
Sf = a N b
Donde:
Sf: limite resistencia a fatiga
N: numero de ciclos de duración.
a = ( 0.9 Sut )2 / Se`
b = - ( 1/3 )Log ( 0.9 Sut / Se` )
7.3.1. FACTORES QUE MODIFICAN EL LIMITE DE RESISTENCIA DE FATIGA.
Hasta ahora hemos calculado el límite de fatiga para una probeta, pero resulta que para un elemento mecánico
posee condiciones diferentes de operación las cuales modifican dicha resistencia. De forma que se obtiene lo
siguiente:
Se = Se` Ka * Kb * Kc * Kd * Ke * ( 1/ Kf ) * KK
Donde:
Se : LIMITE RESISTENCIA A FATIGA DEL ELEMENTO MECANICO.
Se`: LIMITE RESISTENCIA FATIGA PROBETA.
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FACTOR SE SUPERFICIE ( Ka ): Factor que tiene en cuenta la calidad de acabado de la superficie del
elemento:
Ka = a Sutb
ACABADO SUPERFICIE
ESMERILADO
MAQUINADO – ESTIRADO EN FRIO
LAMINADO EN CALIENTE
FORJADO
FACTOR a
KPsi
1.34
2.7
14.4
39.9
EXPONENTE b
MPa
1.58
4.51
57.7
272
-0.085
-0.265
-0.718
-0.995
FACTOR DE TAMAÑO ( Kb )
PARA FLEXION Y TORSIÓN
Kb =
PARA AXIAL PURA
Kb =
( d / 0.3 )-0.1133 in
( d / 7.62 )-0.1133 mm
0.6 =< Kb =< 0.75
1
0.11 =< d =< 2 in
2.79 =< d = < 51 mm
d > 51 mm o d > 2 in
Cargas axiales
1
0.8
0.7
0.6
d =< 2 in
2 in < d = < 4 in
4 in < d =< 12 in
d =< 12 in
En caso de elementos no rotativos se emplea el concepto de diámetro equivalente para calcular su Kb:
Diámetro Equivalente ( de )
de = 0.37 * d
de = 0.808 ( h * b )0.5
Tipo de Sección
Circular
Rectangular
Para elementos rotativos No circulares también empleamos el diámetro equivalente:
Diámetro Equivalente ( de )
de = [ 4 * A / π ]0.5
A: Área de sección
Tipo de Sección
Cualquiera diferente de circular
FACTOR DE CONFIABILIDAD ( Kk ):
Kk = 1 – 0.08 Z∝
El valor de Z∝ se obtiene de tablas del valor de A = ( 1 - % confiabilidad )/ 2
FACTOR DE CARGA ( Kc )
Kc =
0.923
1
1
0.577
Para carga axial
Para carga axial
Para carga de flexión
Para carga de torsión y cortante
Sut =< 220 Kpsi ( 1520 Mpa )
Sut > 220 Kpsi ( 1520 Mpa )
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FACTOR DE TEMPERATURA ( Kd ):
Donde:
St : Resistencia a tensión a la temperatura de operación
Srt : Resistencia a la tensión a la temperatura del lugar de trabajo.
Kd = St / Srt
TEMPERATURA ºC
20
50
100
150
200
250
30
350
400
Kd = St / Srt
1
1.01
1.02
1.025
1.02
1
0.975
0.927
0.922
TEMPERATURA ºF
70
100
200
300
400
500
600
700
800
Kd = St / Srt
1
1.008
1.020
1.024
1.018
0.995
0.963
0.927
0.872
FACTOR DE CONCENTRACIÓN EFECTOS DIVERSOS ( Ke ):
TRATAMIENTO SUPERFICIAL
NIQUELADO
GALVANIZADO
METALIZADO POR ASPERSION
CROMADO
Se` =< 20 Kpsi
20 < Se` =< 30 Kpsi
30 < Se`
Ke
1
1
0.86
1
0.7
0.45
FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ( Kf ):
Este factor debe emplearse cuando se diseñe un elemento para evitar falla por fatiga. Hay que recordar que
este factor de esfuerzo No necesita emplearse con materiales dúctiles cuando soporten cargas estáticas,
puesto que la fluencia mitigará la concentración del esfuerzo. Por eso para ciclos menores de 103 no se
emplea.
Para 103 =< N =< 106 empleamos
Kf` = a N b
Donde a = 1 / Kf
b = -(1/3) Log ( 1/Kf )
Para valores de N mayores que 106:
Kf = 1 + q ( Kt – 1 )
Kfs = 1 + q ( Kts – 1 )
[ tension o flexion ]
[torsión]
Los valores de q al igual que los de Kt o Kts se obtienen de gráficos con diversas situaciones de elementos
geométricos y condiciones de carga.
NOTA: El factor Kf o Kfs pueden emplearse en la ecuación de Se y no se emplean en las ecuaciones de
esfuerzo alternantes. Pero por efectos de ser conservativos, dichos factores se emplean en las ecuaciones de
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los esfuerzo alternantes ( σa = Kf σo y τa = Kfs τo ) , y no se emplean para los esfuerzos medios y no se tiene
en cuenta en la ecuación de Se ( Ke = 1 ).
Algunos valores de Kt
Barra circular con ranura circunferencial sometida a tensión. σo = Barra circular con entalle circunferencial sometida a flexión.
σo = M C/ I , donde C = d/2, I = π *d4/64
F/A , A = π d2/4
Algunos valores de Kts
Barra Circular con ranura circunferencial sometida a torsión. Barra circular con agujero transversal sometida a torsión.
τo = T C / J, C = d/2 , J = πd4/32
Al inicio se había dicho que la fatiga sucede cuando se ven esfuerzos cíclicos o alternos en el tiempo, por
ejemplo en ejes rotativos o barras a vibración, por ejemplo:
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Eje Rotativo
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Barra en Vibración
Esfuerzo Vs Tiempo
σ
σmaximo
σmedio
σmínimo
t
El elemento analizado puede tener esfuerzos alternativos normales o cortantes, en este caso presenta
esfuerzos alternativos normales. De la gráfica de Esfuerzo Vs Tiempo, obtenemos los siguientes datos:
σmedio = ( σmaximo + σmínimo )/2
σalterno = ( σmaximo - σmínimo )/2
Después de calculados estos parámetros, se emplean dos ecuaciones para hallar los esfuerzos deseados;
podemos emplear las siguientes ecuaciones:
ECUACIÓN DE GOODMAN
(σalterno / Se ) + (σmedio / Su ) = ( 1/η )
Donde:
η: Factor de seguridad
Se: Limite resistencia fatiga elemento mecanico
Su: Esfuerzo ultimo del material
Sy: Esfuerzo de fluencia del material
ECUACIÓN DE SODERBERG
(σalterno / Se ) + (σmedio / Sy ) = ( 1/η )
Se emplea la ecuación de Soderberg por ser mas
conservativa.
7.3.2. FATIGA BAJO CARGAS COMBINADAS
En caso que se tengan esfuerzos cortantes alternos combinados con los normales alternos y componentes de
esfuerzo completamente invertidas ( σmedio = τmedio = 0 ) se realiza el siguiente procedimiento:
¾ Se calcula el Se del material excluyendo los factores de concentración de esfuerzo Kf.
¾ Aplíquense los concentradores de concentración de esfuerzo adecuados a las componentes alternantes
del esfuerzo torsional, el esfuerzo por flexión y las componentes del esfuerzo axial.
¾ Multiplíquese cualquier componente del esfuerzo axial alternante por 1.083.
¾ Inclúyanse los esfuerzos resultantes en un análisis por círculo de Mohr y halle los esfuerzos
principales.
¾ Con los datos del paso anterior, halle el esfuerzo resultante alternante de Von Mises σa`
σa` = [ σA2 - 2σAσB + σB2 ]0.5
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¾ Compárese σa` Se y el factor de seguridad η mediante: η = Se / σa`
En caso que existan esfuerzos medios, se realiza el siguiente procedimiento:
¾ Se calcula el Se del material excluyendo los factores de concentración de esfuerzo Kf.
¾ Aplíquense los concentradores de concentración de esfuerzo adecuados a las componentes alternantes
del esfuerzo torsional, el esfuerzo por flexión y las componentes del esfuerzo axial.
¾ Multiplíquese cualquier componente del esfuerzo axial alternante por 1,083.
¾ Calcúlese los esfuerzos medios cortantes , esfuerzos medios por flexión y axiales ( a todos estos no se
le aplican los factores de concentración de esfuerzo Kf o Kfs )
¾ Con los datos del paso anterior, halle el esfuerzo resultante alternante y medio de Von Mises σa` y σm`
σa` = [ 3 * ( τa ) ]0.5
σm` = [ (σmedio )2 + 3 * ( τa ) ]0.5
0.5
σa` = [ 3 * ( Kfs τo ) ]
σm` = [ (σmedio )2 + 3 * ( Kfs τo ) ]0.5
¾ Aplicamos la ecuación de Soderberg o la de Goodman para finalizar nuestro calculo:
( σa` / Se ) + ( σm` / Sy ) = ( 1/η )