Análisis en el dominio frecuencia. Análisis espectral.

Convolución y Convolución Discreta
Definición de convolución
Cuando hemos aplicado, en el apartado anterior, una función ventana o hemos
muestreado una función dada, implícitamente hemos estado efectuando una operación
de convolución que ha sido denotada con un símbolo (*) en las figuras 4.3, 4.4 y 4.5.
Esta operación se produce de forma inevitable en el dominio tiempo, cuando tenemos
un producto de espectros en el dominio frecuencia, o viceversa, cuando tenemos un
producto de funciones en el dominio tiempo, ocurriendo una convolución en el
dominio frecuencia. Por eso, llegados a este punto es necesario definir la operación
convolución y conocer cuáles son sus principales propiedades.
En consecuencia, definimos la convolución de dos funciones temporales
como (Brigham, 1988)
h ( t ) = f1( t ) * f 2 ( t ) =
∞
∫ f (τ)f (t − τ)dτ
1
−∞
2
esta operación puede llevarse a cabo mediante la transformada de Fourier, cuando
notamos que (Bath, 1974)
f1 ( t ) ↔ F1(ω)
f 2 ( t ) ↔ F2 (ω)
⇒ f1 ( t ) * f 2 ( t ) ↔ F1 (ω)F2 (ω) = H(ω) ↔ h ( t )
donde H(ω) es el espectro de Fourier de la función h(t) resultante de la convolución.
Entonces si quiero conocer la convolución de dos funciones, en lugar de resolver la
integral correspondiente, es más rápido obtener los espectros de Fourier de cada una
de ellas y luego multiplicarlos.
Análogamente hubiéramos podido definir la convolución en el dominio
frecuencia, pues esta propiedad es igualmente cierta para dicha operación (Bath,
1974; Brigham, 1988). Así, notamos que la transformada de Fourier es una
herramienta muy útil, para realizar multitud de operaciones habituales en el análisis
de datos.
Teorema de Parseval
Este importante teorema nos permite relacionar lo que se llama energía total
de una función f(t), definida como
∫
∞
−∞
2
f ( t ) dt
con el espectro de potencia de dicha función f(t) definido como
F(ω)
2
mediante la expresión (Bath, 1974)
∫
∞
1 ∞
1 ∞
2
2
f ( t ) dt =
F(ω) dω =
F(ω) dω
2π − ∞
π 0
−∞
2
∫
∫
donde debemos notar que el espectro de fase no juega ningún papel, para obtener la
energía total de una función, pues ella se obtiene a través del espectro de potencia,
que se escribe únicamente en función del espectro de amplitud. Esta propiedad será
importante en el análisis de señales digitales, pues en muchas aplicaciones nos
interesa determinar y conocer la potencia o energía asociada con una señal, más que
esa señal propiamente dicha.
Convolución discreta
Dado que las funciones empleadas en la operación de convolución deben ser
discretizadas, como se indicó en el apartado anterior, puesto que para computar esta
operación con un ordenador no tenemos otra forma de actuar, es necesario saber
cómo actúa la transformada de Fourier, cuando realiza una convolución discreta. Para
ello, vamos a considerar como ejemplo las funciones x(t) y h(t), representadas en la
figura 5.1(a). El resultado teórico de realizar la convolución de dichas funciones es la
función y(t), representada también en la figura 5.1(a).
En primer, lugar muestreamos las funciones x(t) y h(t), tal como indica la
figura 5.1(b), considerando un valor N (= 9) de muestreo total menor que la suma de
P (= 6) y Q (= 6), siendo éstos últimos valores el número de muestras de la forma de
onda de las funciones consideradas. Vemos entonces que se produce una distorsión
del resultado, en comparación con el resultado que tendría que producirse
teóricamente (figura 5.1(a)), si la convolución discreta estuviera bien realizada.
Vemos que la función y(t) producida por la convolución discreta está truncada al final
(figura 5.1(b)), parece que ha faltado espacio de muestreo para que se reproduzca el
resultado completo esperado, a la vista de la figura 5.1(a). Puede comprobarse que
este problema sucederá siempre que N < P + Q − 1 (Brigham, 1988).
Fig. 5.1. Convolución continua y discreta: forma correcta de muestrear las funciones.
En consecuencia, la regla de oro que debe respetarse en cualquier operación
de convolución discreta, es que el muestreo total N de las funciones a considerar en la
convolución, debe ser como mínimo N = P + Q − 1, pues con valores de N más
pequeños tenemos un problema como el mostrado en la figura 5.1(b). Esto puede
comprobarse en la figura 5.1(c), en la cual se ha considerado N = 6 + 6 − 1 = 11,
obteniéndose buenos resultados.
En la figura 5.1(d) podemos ver que valores de N mayores que P + Q − 1,
también son posibles y dan buenos resultados, pero la realidad es que no mejoran en
nada el resultado obtenido en la figura 5.1(c), siendo estos procedimientos más
costosos en tiempo de computación, pues el ordenador debe calcular los valores de
puntos que realmente no tienen ninguna información. Por ello, debemos quedarnos
con el número mínimo de puntos N, que sea necesario para realizar bien la
computación (N = P + Q − 1), ya que, en caso contrario estamos desperdiciando
recursos de computación.
En este sentido, si queremos utilizar un gran número de puntos N, como en la
convolución ilustrada en la figura 5.1(e), debemos disminuir la razón de muestreo de
tal forma que incrementemos también los valores de P y Q, para que siempre se
mantenga que Ν = P + Q − 1. Observando ahora que los resultados de la convolución
mostrados en la figura 5.1(e), son más parecidos al resultado teórico mostrado en la
figura 5.1(a), que el resultado mostrado en la figura 5.1(c).
Correlación y Correlación Discreta
Definición de correlación
Otra importante aplicación de usar el análisis espectral, es la posibilidad de
calcular la correlación de dos funciones, definida como la integral (Brigham, 1988)
z( t ) = x( t ) ⊗ h ( t ) =
∞
∫ x(τ)h(t + τ)dτ
−∞
esta operación puede llevarse a cabo mediante la transformada de Fourier, cuando
notamos que (Bath, 1974)
x ( t ) ↔ X (ω)
⇒ x( t ) ⊗ h ( t ) ↔ H(ω) X * (ω) = Z(ω) ↔ z( t )
h ( t ) ↔ H(ω)
donde Z(ω) es el espectro de Fourier de la función z(t) resultante de la correlación.
Entonces si quiero conocer la correlación de dos funciones, en lugar de resolver la
integral correspondiente, es más rápido obtener los espectros de Fourier de cada una
de ellas y luego multiplicarlos, teniendo en cuenta que el segundo espectro es el
complejo conjugado del original.
Correlación discreta
Dado que las funciones empleadas en la operación de correlación deben ser
discretizadas, como se indicó en el apartado anterior, puesto que para computar esta
operación con un ordenador no tenemos otra forma de actuar, es necesario saber
cómo actúa la transformada de Fourier, cuando realiza una correlación discreta. Para
ello, vamos a considerar como ejemplo las funciones x(t) y h(t), representadas en la
figura 5.1(a), discretizadas en la forma en la que aparecen en la figura 6.1(a). En esta
operación tendremos también en cuenta la regla de oro descubierta en el apartado
anterior, cuando estudiábamos los resultados de la convolución discreta. Esta regla
nos dice que N = P + Q − 1. No obstante, en la correlación vemos que el orden en el
que llevemos a cabo esta operación afecta al resultado final (Brigham, 1988), tal y
como puede verse en las figuras 6.1(b) y 6.1(c). Por otra parte, el poner un gran
número de ceros nos obliga a consumir recursos de computación, para calcular
valores de puntos que no tienen ninguna información.
Fig. 6.1. Correlación discreta: efecto del cambio de orden en la correlación.
Fig. 6.2. Correlación discreta con reestructuración de datos.
En consecuencia, debemos encontrar una forma más adecuada para realizar
esta operación, sin desperdiciar recursos de computación en calcular valores para
puntos que no tienen ninguna información. En este sentido, si volvemos a muestrear
las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a), en la forma en la que
aparecen en la figura 6.2(a). Notamos que el resultado no sale como esperábamos
(figura 6.1(b) o 6.1(c)). En la figura 6.2(b) el resultado aparece partido en dos trozos.
Para evitar este problema, sin tener que incorporar muchos puntos adicionales sin
información, podemos reestructurar los datos de la función x(t), muestreándola como
indica la figura 6.2(c). Obteniendo ahora el resultado correcto, mostrado en la figura
6.2(d), en la que vemos que se han considerado el menor número posible de espacio
vacío, para utilizar del modo más eficiente los recursos de computación.
Prof. Dr. Víctor Corchete
Department of Applied Physics
Higher Polytechnic School - CITE II(A)
UNIVERSITY OF ALMERIA
04120-ALMERIA. SPAIN
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