Rodadura 5

P.R.5
Un disco de radio R y masa M se lanza, en posición vertical, sobre una superficie
horizontal con una velocidad inicial v0 sin que gire, de forma que inicialmente sólo
desliza. Debido a la fuerza de rozamiento f con el suelo, el disco pierde velocidad
traslacional y adquiere velocidad angular hasta que transcurrido un tiempo t el
disco rueda sin deslizar.
z
x
v0
y
a) Para un instante t del movimiento, antes de que el disco ruede sin deslizar,
obtener las ecuaciones del movimiento del centro de gravedad, los vectores
velocidad y aceleración angular, el tiempo t1 en que el disco comienza a rodar.
Al iniciarse el movimiento de deslizamiento, comienza a actuar la fuerza de rozamiento
de forma que el disco va perdiendo velocidad traslacional y adquiriendo velocidad
angular hasta llegar a un instante t1 en que el disco rueda sin deslizar. La velocidad del
centro de gravedad en un instante cualquiera es vG (t ) = v 0 −
en que vG (t1 ) = Rω (t1 ) = v0 −
f
t hasta llegar un instante
M
f
t1 . En un instante genérico t, antes de t1, el espacio
M
recorrido por el centro de gravedad es rG (t ) = v0 t −
f 2
t
2M
Por otra parte debido a la rotación del disco en torno al eje GZ se verifica
2f
1
MR 2ϕ ' ' = Rf , de donde ϕ ' ' =
y la velocidad angular en un instante cualquiera es
MR
2
ϕ ' (t ) =
2f
2f
t y en el instante t1 es ϕ ' (t1 ) =
t1 de donde la velocidad lineal en el
MR
MR
instante t1 es vG (t1 ) = R
Mv0
2f
f
t1 = v0 − t1 y el tiempo t1 es t1 =
3f
MR
M
b) En el instante t1 en que el disco rueda sin deslizar calcular la velocidad del
centro de gravedad, del punto en contacto con la superficie y del punto superior, el
momento cinético y la energía cinética del sistema. Desde que se lanza el disco
hasta el instante t1 ¿se conserva la energía mecánica?
En el instante t1 en que el disco rueda sin deslizar, la velocidad del centro de gravedad
es
vG (t1 ) =
2f
2 f Mv0 2
t1 =
= v0 , el punto en contacto con la superficie tiene velocidad
M
M 3f
3
nula, y el punto en la parte superior tiene v A = 2ωR =
El momento cinético del disco en el instante t1 es
LGZ =
2v
1MRv0
1
11
1
I GZ ω =
MR 2ω = MR 2 0 =
2
22
4
3R
6
4
v0
3