inducción electromagnética

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Septiembre 2016. Pregunta 3A.- La figura de la derecha
representa el flujo magnético a través de un circuito formado por
dos raíles conductores paralelos separados 10 cm que descansan
sobre el plano XY. Los raíles están unidos, en uno de sus
extremos, por un hilo conductor fijo de 10 cm de longitud. El
circuito se completa mediante una barra conductora que se
desplaza sobre los raíles, acercándose al hilo conductor fijo, con
velocidad constante. Determine:
a) La fuerza electromotriz inducida en el circuito.
b) La velocidad de la barra conductora si el circuito se
encuentra inmerso en el seno de un campo magnético
r
r
constante B = 200 k µT .
Solución.
a.
Según la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida en un espira viene expresada por:
dΦ
ε=−
dt
Si la variación de flujo a través de la superficie es uniforme, como en este caso, los diferenciales
se transforman en incrementos y la expresión se simplifica a:
∆Φ
ε=−
∆t
Donde ∆Φ es la variación de flujo y ∆t es el intervalo de tiempo en que ocurre la variación.
Tomando los datos de la gráfica:
ε=−
Φ final − Φ inicial
0 − 12 ⋅ 10−6
=−
= 2 ⋅ 10 − 7 v
∆t
60
b.
Teniendo en cuenta que el campo magnético que atraviesa la
espira es constante, la variación de flujo magnético a través de la
esta se debe a la variación de la superficie de la misma debido al
movimiento de la varilla, como muestra la figura
r r
r r
∆Φ ∆ B o S ∆ B ⋅ S ⋅ cos α α = 0 ∆ (B ⋅ S) B = cte B ⋅ ∆S
=
=
=
=
∆t
∆t
∆t
∆t
cos α =1 ∆t
(
) (
)
Siendo la espira rectangular:
∆Φ B ⋅ ∆ (L ⋅ x )
∆x  ∆x
 ∆Φ
=
= B⋅L⋅
; 
= v ;
= B⋅L⋅ v
∆t
∆t
∆t  ∆t
 ∆t
v=
(
)
∆Φ ∆t
0 − 12 × 10−6 60
=
= −10 − 2 m = −1 cm
−6
−2
s
s
B⋅L
200 × 10 ⋅ 10 × 10
El sentido del signo negativo es que el desplazamiento de la varilla disminuye la superficie de la
espira lo cual provoca una disminución de flujo magnético.
Junio 2016. Pregunta 3B.- Un campo magnético variable en el tiempo de módulo
π

B = 2 cos 3π t −  T, forma un ángulo de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10
4

espiras de radio r = 5 cm. La resistencia total de la bobina es R = 100 Ω. Determine:
a) El flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducidas en la bobina en el instante t = 2 s.
Solución.
r r
r r
r
a.
Φ = N B o S = N B ⋅ S ⋅ cos α = N B ⋅ π r 2 ⋅ cos α
π

Φ = 10 ⋅ 2 cos 3π t −  ⋅ π 0,052 ⋅ cos 30º
4

1
π

Φ = 0,136 cos 3π t −  wb
4

b.
dΦ
dx


d 
π 
π
π



ε (t ) = −  0,136 cos  3π t −   = − − 0,136 sen  3π t −  ⋅ 3π  = 1,282 sen  3π t −  v
dx 
4
4
4







Según la Ley de Faraday: ε = −
π

ε(t = 2) = 1,282 sen  3π ⋅ 2 −  = − 0,906 = 0,906 v
4

Aplicando la Ley de Ohm
V = I⋅R
I=
V 0,906 v
=
= 9,06 ⋅ 10 − 3 A
R 100 Ω
Junio 2015. Pregunta 3A.- Una varilla conductora desliza sin rozamiento con una velocidad de 0,2
m s‒1 sobre unos raíles también conductores separados 2 cm, tal y como se indica en la figura. El sistema
se encuentra en el seno de un campo magnético constante de 5
mT, perpendicular y entrante al plano definido por la varilla y
los raíles. Sabiendo que la resistencia del sistema es de 4Ω
determine:
a) El flujo magnético en función del tiempo a través del
circuito formado por la varilla y los raíles, y el valor de
la fuerza electromotriz inducida en la varilla.
b) La intensidad y el sentido de la corriente eléctrica
inducida.
Solución.
r r r r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B S cos α
a.
La variación de flujo a través de la superficie se debe al movimiento de la varilla, el cual
modifica el área de la espira.
( )
S = base × altura = v ⋅ t × altura = 0,2 ⋅ t ⋅ 2 × 10−2 = 4 × 10−3 ⋅ t m 2
r
El campo magnético B y el vector superficie forman un ángulo de 180º.
()
Φ = B S cos α = 5 × 10−3 ⋅ 4 × 10−3 t ⋅ cos180º = −2 × 10 −5 t (Wb )
La fuerza electromotriz inducida se obtiene aplicando la ley de Lenz-Faraday.
dΦ
d
ε=−
= − − 2 × 10−5 t = 2 × 10− 5 v
dt
dt
(
b.
)
La intensidad que recorre la espira se obtiene mediante la ley de Ohm:
I=
ε 2 × 10−5 v
=
= 5 × 10− 6 A
R
4Ω
El sentido de la corriente se obtiene mediante la ley de Lenz: “La
fuerza electromotriz inducida en un conductor se opone a la variación de
flujo magnético que la induce”
El flujo inductor aumenta hacia dentro del papel debido al aumento
del número de líneas de campo que atraviesan la superficie al desplazarse la
varilla hacia la izquierda, según la ley de Lenz, el flujo inducido tiende a
compensar al flujo inductor y por tanto la fuerza electromotriz inducida en
la espira genera un campo magnético saliente, y según la regla de la mano
derecha deberá girar en el sentido antihorario.
Junio 2014. Pregunta 3A.- Una espira circular de 2 cm de radio se encuentra en el seno de un
campo magnético uniforme B = 3,6 T paralelo al eje Z. Inicialmente la espira se encuentra contenida en el
2
plano XY. En el instante t = 0 la espira empieza a rotar en torno a un eje diametral con una velocidad
angular constante ω = 6 rad s‒1.
a) Si la resistencia total de la espira es de 3 Ω, determine la máxima corriente eléctrica inducida en
la espira e indique para qué orientación de la espira se alcanza.
b) Obtenga el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante t = 3 s.
Solución.
a.
La intensidad inducida en la espira se expresa según la Ley de Ohm en función de la fuerza
electromotriz inducida y de la resistencia según:
ε
I=
R
La fuerza electromotriz inducida en una espira inmersa en un campo magnético viene expresada
por la ley de Lenz-Faraday:
dΦ
ε=−
Donde Φ ≡ Flujo que atraviesa la espira
dt
r r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α
Como la espira rota en torno a un eje diametral la superficie que ofrece la espira a ser atravesada
por las líneas de campo es función del ángulo que forma la superficie de la espira con el campo magnético
(α), el cuál a su vez es función de la velocidad de rotación de la espira.
Φ = B ⋅ S ⋅ cos(ω t + φ o )
Teniendo en cuenta que inicialmente la espira esta paralela al plano XY y que el campo
r
magnético esta en la dirección + k , φ o = 0 .
dΦ

d

 : ε = − (B ⋅ S ⋅ cos(ω t )) = −(B ⋅ S ⋅ (− sen (ω t )) ⋅ ω) = B ⋅ S ⋅ ω sen (ω t )
dt
dt
Φ = B ⋅ S ⋅ cos(ω t )
ε=−
El máximo se alcanzará cuando la parte trigonométrica de la expresión valga 1 (sen (ω t ) = 1)
ε máx = B ⋅ S ⋅ ω
Conocida la fuerza electromotriz inducida máxima, se calcula la intensidad máxima.
I max
(
ε
B ⋅ S ⋅ ω B ⋅ π r 2 ⋅ ω 3,6 ⋅ π 2 ⋅10 −2
= max =
=
=
R
R
R
3
2
) ⋅ 6 = 9 ×10
−3
A
La orientación de la espira deberá ser tal que sen ϕ = 1 ⇒ ϕ = π/2 rad, la intensidad máxima se
alcanza cuando la espira está en perpendicular con el plano XY.
b.
La fuerza electromotriz inducida viene dad por la expresión:
(
2
)
ε(t ) = B ⋅ S ⋅ ω sen (ω t ) = 3,6 ⋅ π 2 ⋅10 −2 ⋅ 6 sen (6 t ) = 2,7 ×10 −2 sen (6 t ) (v )
ε(t = 3) = 2,7 × 10 −2 sen (6 ⋅ 3) = −0,02 (v )
Junio 2013. Pregunta 2A.- Una bobina circular de 20 cm de radio y 10 espiras se encuentra, en el
instante inicial, en el interior de un campo magnético uniforme de 0,04 T, que es perpendicular al plano
de su superficie. Si la bobina empieza a girar alrededor de uno de sus diámetros, determine:
a) El flujo magnético máximo que atraviesa la bobina.
b) La fuerza electromotriz inducida (fem) en la bobina en el instante t = 0,1 s, si gira con una
velocidad angular de 120 rpm.
Solución.
a.
El flujo a través de la bobina viene expresado por:
r r
Φ = N ⋅ B o S = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos α
Para que el flujo sea máximo, tal como indica la figura, el ángulo que
forma la superficie de las espiras y el campo magnético debe ser de cero grados
(α = 0º).
Φ = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos 0 = N ⋅ B ⋅ S = N ⋅ B ⋅ π r 2 = 10 ⋅ 0,04 ⋅ π 0,2 2 = 0,05 Wb
3
dΦ
dt
Teniendo en cuenta que el campo magnético es uniforme y constante, y que las superficies de las
espiras es constante, el flujo depende del ángulo que forman las superficies de las espiras con el campo
magnético, el cuál depende de la velocidad angular de la bobina respecto a su diámetro.
120 ⋅ 2 π
α = ω ⋅ t + φo
ω=
= 4 π rad s −1
60
b.
Según la ley de Faraday: ε = − N
Para t = 0, α = 0 ⇒ ϕo = 0 ⇒ α = 4π ⋅ t
Sustituyendo en la expresión de la fuerza electromotriz inducida:
dΦ
d
ε = −N
= − N (B ⋅ S ⋅ cos(ω ⋅ t )) = + N ⋅ B ⋅ S ⋅ ω ⋅ sen (ω ⋅ t )
dt
dt
ε = 10 ⋅ 0,04 ⋅ π ⋅ 0,2 2 ⋅ 4π ⋅ sen (4π ⋅ 0,1) = 0,6 v
Modelo 2013. Pregunta 3A. Considérese, tal y como se indica en la
figura, una espira circular, contenida en el plano X-Y, con centro en el
origen de coordenadas. Un imán se mueve a lo largo del eje Z, tal y
como también se ilustra en la figura. Justifíquese razonadamente el
sentido que llevará la corriente inducida en la espira si:
a) El imán se acerca a la espira, como se indica en la parte a) de
la figura.
b) El imán se aleja a la espira, como se indica en la parte b) de la
figura.
Solución.
a.
Al aproximarse el imán a la espira, aumenta el número de líneas de campo que atraviesan la
r
espira, aumentando el campo inductor en la dirección − k , según la ley de Lenz, la corriente se induce en
un sentido tal que los efectos que genera tienden a oponerse al cambio de flujo que la origina, en
definitiva, el flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor, por lo
r
tanto la corriente inducida deberá generar un campo magnético inducido dirigido hacia + k , para lo cual
siguiendo la regla del sacacorchos, la corriente girará en el sentido positivo (antihorario).
b.
Al alejarse el imán de la espira, disminuye el número de líneas que la atraviesan, la corriente
inducida deberá compensar esta disminución girando en el sentido negativo (horario) generando un
campo inducido que compense la disminución de líneas de campo que atraviesan la espira.
Junio 2012. Pregunta 3B.- Una espira circular de 10 cm de radio, situada inicialmente en el planor
r
XY, gira a 50 rpm en tomo a uno de sus diámetros bajo la presencia de un campo magnético B = 0,3k T.
Determine:
a) EI flujo magnético que atraviesa la espira en el instante t = 2 s.
b) La expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo
Solución.
a.
El flujo a través de una espira inmersa en un campo magnético es:
r r
Φ = B o S = B ⋅ S cos α
Si se tiene en cuenta que la espira gira alrededor de uno de sus diámetros, la expresión se
transforma expresando el ángulo que forma el campo con la superficie en función de la velocidad angular.
50 ⋅ 2π 5 rad 

5 
5 
2
−3
Φ(t ) = B ⋅ S cos(ω t ) =  ω =
= π
 = 0,3 ⋅ π 0,1 cos π t  = 3 × 10 π cos π t 
s
60
3


3 
3 
5

Φ(t = 2s ) = 3 × 10 − 3 π cos π ⋅ 2  = −4,71 × 10 − 3 Wb
3


b.
Según Faraday, la fuerza electromotriz inducida en una espira inmersa en un campo magnético
d
dΦ
= − [B ⋅ s cos(ω t )] = Bsω sen (ω t )
viene expresada por: ε = −
dt
dt
4
ε = 0,3 ⋅ π ⋅ 0,12 ⋅
5π
 5π 
 5π 
sen 
t  = 0,049 sen 
t
3
 3 
 3 
Modelo 2012. Pregunta 5B.- Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo rectángulo,
formado por una barra conductora vertical que se desliza horizontalmente hacia la derecha con velocidad
constante v = 2,3 m/s sobre dos barras conductoras fijas que forman un
ángulo
= 45º. Perpendicular al plano del circuito hay un campo
magnético uniforme y constante B = 0,5 T cuyo sentido es entrante en
el plano del papel. Si en el instante inicial t = 0 la barra se encuentra en
el vértice izquierdo del circuito:
a) Calcule la fuerza electromotriz inducida en el circuito en el
instante de tiempo t = 15 s.
b) Calcule la corriente eléctrica que circula por el circuito en el
instante t = 15 s, si la resistencia eléctrica total del circuito en
ese instante es 5 . Indique el sentido en el que circula la
corriente eléctrica.
α
Ω
Solución.
a.
Según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (ε) en un circuito en presencia de un
campo magnético es:
dΦ
ε=−
dt
Φ ≡ Flujo de campo magnético que atraviesa la superficie del circuito.
r r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α
•
B = 0,5 T (constante )
Por ser un triángulo rectángulo isósceles (α = 45º), los catetos son de igual longitud y esta es
función del tiempo (l = v·t).
1
1
1
1
• S = L ⋅ L = L2 = (v ⋅ t )2 = v 2 t 2
2
2
2
2
r
•
b.
r
r
α = 180º B y S tienen igual dirección y sentidos opuestos. El sentido de S es saliente y el de
r
B es entrante.
1
1
Φ = B ⋅ S ⋅ cos α = 0,5 ⋅ v 2 t 2 cos180º = − v 2 t 2
2
4
dΦ
d  1 2 2 1 2 1
2
ε=−
= −  − v t  = v t = ⋅ 2,3 ⋅15 = 39,7 v
dt
dt  4
2
 2
Según la ley de Ohm:
V 39,7 v
I= =
= 7,9 A
R
5Ω
El sentido de la corriente lo determina la ley de Lenz “El sentido de la corriente inducida sería
tal que su flujo se opone a la causa que la produce”. Si la barra conductora se desplaza en el sentido
positivo de x, la intensidad de la corriente inducida I, ha de tener un sentido tal que la fuerza que actúe
r
r
sobre el conductor debida a esta corriente, por estar en presencia de B , ha de ser opuesta a v .
La regla de la mano derecha, indica que el sentido de I
en el conductor que se desplaza debe ser en la dirección positiva
r
de y + j , por lo tanto el sentido de la corriente en el circuito
será en el sentido horario.
( )
A la misma conclusión se puede llegar teniendo en
cuenta que la fuerza es el producto vectorial de la velocidad (I)
por el campo (B). Si la fuerza debe tener el sentido negativo de x
r
r
− i , el campo magnético tiene el sentido negativo de z − k , la
r
intensidad deberá tener la dirección positiva de y + j .
( )
( )
( )
5
Septiembre 2011. Cuestión 2B.a) Defina la magnitud flujo magnético. ¿Cuál es su unidad en el S.I.?
b) Una espira conductora plana se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme de inducción
magnética B ¿Para qué orientación de la espira el flujo magnético a través de ella es máximo?
¿Para qué orientación es cero el flujo? Razone la respuesta.
Solución.
r
r
a.
El flujo del vector B a través de la superficie S representa el número de líneas de fuerza que
r
r
r
atraviesa la superficie S y es igual al producto escalar de B por S :
r r
Φ = BoS
La unidad de flujo magnético en el sistema internacional es el weber (Wb). El weber es el flujo
magnético que atraviesa una superficie de 1 m2 situada perpendicularmente a un campo magnético de 1 T.
b.
El flujo será máximo si la espira es
perpendicular a la dirección de líneas de
fuerza del campo magnético, y será mínima
(nulo) cuando este en paralelo a la dirección
de las líneas del campo.
Modelo 2011. Problema 2B.
Se hace girar una espira conductora circular de 5 cm de
radio respecto a uno de sus diámetros en una región con
un campo magnético uniforme de módulo B y dirección
perpendicular a dicho diámetro. La fuerza electromotriz
inducida (ε) en la espira depende del tiempo (t) como se
muestra en la figura. Teniendo en cuenta los datos de esta
figura, determine:
a) La frecuencia de giro de la espira y el valor de B.
b) La expresión del flujo de campo magnético a
través de la espira en función del tiempo.
a.
En el diagrama adjunto se observa que la fuerza electromotriz inducida en la espira es periódica
con T = 0,02 s y un valor máximo de 0,5 v.
1
1
f= =
= 50 Hz
T 0,02 s
La fuerza electromotriz inducida en la espira se produce por una variación del flujo de campo
magnético que a través de ella debido a su giro alrededor de uno de sus diámetros.
dΦ

ε=−

dt
r r
d

Φ = B o S = B ⋅ S cos α  : ε = − [B ⋅ S cos(ω t + φ o )] = B ⋅ S ⋅ ω sen (ω t + φ o )
dt

α = ω t + φo


El valor máximo de la fuerza electromotriz se alcanza cuando la parte trigonométrica de la
expresión vale 1.
ε max = BSω
Esta expresión nos permite calcular la intensidad del campo magnético.
 S = πr 2 
ε
ε max
0,5
B = max = 
=
= 0,203 T
=
S ω ω = 2πf  πr 2 ⋅ 2 πf
π ⋅ 0,052 ⋅ 2π ⋅ 50
b.
Teniendo en cuenta que la espira gira en torno a uno de sus diámetros, la expresión del flujo será:
r r r r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α ; α = ω t + φ o
Φ = B ⋅ πR 2 ⋅ cos (ω t + φ o )
ω = 2π ⋅ f = 2π ⋅ 50 = 100π rad s
6
Para calcular el desfase inicial se tiene en cuenta que para t = 0, la variación de ε respecto de t
(pendiente de la recta tangente a la gráfica de ε(t) en t = 0), es positiva.
dε
d
=−
πR 2 Bω sen (ω t + φ o ) = πR 2 Bω 2 cos (ω t + φ o )
dt
dt

 dε 
= πR 2 Bω 2 cos 0 > 0
φ o = 0  dt 
 dε 

  t =0
= πR 2 Bω 2 cos φ o : 
 

 dt  t = 0
φ o = π  dε 
= πR 2 Bω 2 cos π < 0

dt
  t =0
(
)
El desfase inicial es 0 rad.
Con los datos calculados anteriormente, la expresión del flujo queda:
Φ == B ⋅ πR 2 ⋅ cos(ωt ) = 0,203 ⋅ π ⋅ 0,052 cos(100πt ) = 1,59 × 10 −3 ⋅ cos(100πt ) Wb
Modelo 2010. Problema 2B.- Una espira circular de sección 40 cm2 está situada en un campo
magnético uniforme de módulo B = 0,1 T, siendo el eje de la espira paralelo a las líneas del campo
magnético:
a) Si la espira gira alrededor de uno de sus diámetros con una frecuencia de 50 Hz, determine la
fuerza electromotriz máxima inducida en la espira, así como el valor de la fuerza electromotriz
0,1 s después de comenzar a girar.
b) Si la espira está inmóvil y el módulo del campo magnético disminuye de manera uniforme hasta
hacerse nulo en 0,01 s, determine la fuerza electromotriz inducida en la espira en ese intervalo de
tiempo.
Solución.
a.
Según la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en una espira que se encuentra en un
campo magnético viene dada por la expresión:
dΦ
ε=−
dt
Φ ≡ Flujo a través de la espira, se define como el producto escalar del vector campo magnético por el
vector superficie.
r r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α
Si la espira gira en torno a uno de sus diámetros, el ángulo que forman el vector superficie y el
campo magnético (α) es función del tiempo y varia según:
α = ω ⋅ t = 2π ⋅ f ⋅ t = 2π ⋅ 50 ⋅ t = 100π ⋅ t
Conocido el ángulo, se calcula la expresión del flujo en función del tiempo.
Φ = 0,1 ⋅ 40 × 10 −4 ⋅ cos(100π t ) = 4 × 10 −4 ⋅ cos(100π t )
Sustituyendo en la expresión de la fuerza electromotriz la expresión del flujo y derivando se
obtiene la f.e.m. inducida en la espira.
dΦ
d
ε (t ) = −
=−
4 × 10− 4 ⋅ cos(100π t ) = −4 × 10− 4 ⋅ (− sen (100π t )) ⋅ 100π = 4π ⋅ 10 − 2 sen (100π t )
dt
dt
(
)
El valor de la fuerza electromotriz máxima se obtiene cundo la expresión trigonométrica vale 1.
ε máx = 4π ⋅ 10−2 ⋅ 1 = 4π ⋅ 10 −2 v
Para t = 0,1 s:
ε (0,1 s ) = 4π ⋅ 10−2 sen (100π ⋅ 0,1) = 4π ⋅ 10−2 sen 10π = 4π ⋅ 10 −2 ⋅ 0 = 0
b.
Si la espira permanece inmóvil, y el campo magnético disminuye desde su valor inicial hasta
desaparecer de forma uniforme, el flujo también variará de forma uniforme, induciendo una f.e.m. en la
espira.
Φ − Φo
∆Φ
dΦ
=−
=− f
ε=−
dt
∆t
∆t
Φ f = Bf ⋅ S ⋅ cos 0 = 0 ⋅ S ⋅ cos 0 = 0
7
Φ o = Bo ⋅ S ⋅ cos 0 = 0,1 ⋅ 40 × 10 −4 ⋅ cos 0 = 4 × 10 −4
Sustituyendo en la expresión de la f.e.m.
ε=−
Φf − Φo
0 − 4 × 10 −4
=−
= 0,04 v
∆t
0,01
Junio 2009. Problema 2B.- Sea un campo magnético uniforme B dirigido en el sentido positivo del
eje Z. El campo sólo es distinto de cero en una región cilíndrica de radio 10 cm cuyo eje es el eje Z y
aumenta en los puntos de esta región a un ritmo de 10−3 T/s. Calcule la fuerza electromotriz inducida en
una espira situada en el plano XY y efectúe un esquema gráfico indicando el sentido de la corriente
inducida en los dos casos siguientes:
a) Espira circular de 5 cm de radio centrada en el origen de coordenadas.
b) Espira cuadrada de 30 cm de lado centrada en el origen de coordenadas.
Solución.
El módulo del campo magnético, teniendo en cuenta que aumenta a un ritmo 10−3 T/s, vendrá
dado por la expresión:
B = Bo + 10−3 t
a.
En este primer caso se pide calcular f.e.m inducida en una espira circular inmersa totalmente en
el campo magnético, tal y como muestra la figura.
dΦ
E=−
dt
El flujo a través de la espira se calcula por su definición:
(
)
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S cos 0 = B ⋅ S = Bo + 10 −3 t ⋅ πr 2
Sustituyendo en la expresión de la f.e.m. y derivando respecto de t:
dΦ
d
E=−
=−
Bo + 10− 3 t ⋅ πr 2 = −10− 3 πr 2
dt
dt
(
)
Para r = 0,05 m: E = −10 −3 π ⋅ 0,052 = −7,85 ⋅ 10 −6 Voltios
El flujo inducido por las cargas que recorren la espira (flujo inducido) se
opone al aumento de flujo producido por el campo magnético (flujo inductor). Si
el campo magnético está dirigido en el sentido positivo de z, el giro de las cargas
buscara que su efecto este dirigido hacia z negativo, según el criterio de la mano
derecha el pulgar deberá dirigirse hacia z negativo, los demás dedos rodearán al
eje en el sentido horario que será el sentido de la corriente.
b.
En este segundo caso, la espira rectangular abarca mucho más
región que el campo magnético, para calcular el flujo, solo se considera la
región donde existe campo.
(
)
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S cos 0 = B ⋅ S = Bo + 10 −3 t ⋅ πr 2
dΦ
d
E=−
=−
Bo + 10− 3 t ⋅ πr 2 = −10− 3 πr 2
dt
dt
(
)
Para r = 0,1 m: E = −10 −3 π ⋅ 0,12 = −3,14 ⋅ 10 −5 Voltios
El sentido de la corriente, al igual que en el apartado anterior es
el horario y el razonamiento es el mismo, el flujo inducido se opone al
aumento del flujo inductor.
8
Modelo 2009. Cuestión 4.- Una espira cuadrada de 10 cm de lado está recorrida por una corriente
eléctrica constante de 30 mA.
a) Determine el momento magnético de la espira.
b) Si esta espira está inmersa en un campo magnético uniforme B = 0,5 T paralelo a dos de sus
lados, determine las fuerzas que actúan sobre cada uno de sus lados. Analice si la espira girará o
no hasta alcanzar la posición de equilibrio en el campo.
Solución.
El momento magnético de una espira por la que circula una corriente
a.
r
eléctrica de intensidad I situada en un campo magnético B , es un vector
perpendicular al plano que contiene a la espira, que se obtiene como producto
r
r
del escalar I (intensidad) por el vector área ( µ = I ⋅ A ). Su módulo es:
I ≡ Intensidad = 30 × 10 −3 A
µ = I⋅A : 
− 2
= 10 − 2 m 2
 A ≡ Área de la espira = 10
( )

−3
−2
−4
2
 = 30 ×10 ⋅10 = 3 × 10 Am

b.
Un conductor por el que circula una corriente eléctrica experimenta una fuerza cuando está
situado en un campo magnético. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de Lorentz que el campo
magnético ejerce sobre las cargas que forman la corriente eléctrica. En el caso de un conductor rectilíneo,
la fuerza la fuerza viene expresada por:
r r
r
F = I ⋅ l × B ; F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sen α
( )
Aplicando la definición para cada lado de la espira y teniendo en cuenta la regla de la mano derecha:
Fab = I ⋅ l ab ⋅ B ⋅ sen α = 3 × 10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 90 = 1,5 ×10 -3 N
Fcd = I ⋅ l cd ⋅ B ⋅ sen α = 3 ×10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 90 = 1,5 ×10 -3 N
Fbc = I ⋅ l bc ⋅ B ⋅ sen α = 3 × 10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 0 = 0
Fda = I ⋅ l da ⋅ B ⋅ sen α = 3 ×10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 0 = 0
r
r
La dirección de la fuerza será perpendicular al plano que contiene l y a B . El sentido será
r r
opuesto al que determina el producto vectorial l × B , debido al signo negativo de la carga que circula por
el conductor (electrones).
Las fuerzas que se generan sobre los lados ab y cd, producen un par de fuerzas que tiende a
producir una rotación en la espira hasta dejarla en su posición de equilibrio (perpendicular al campo
magnético), tal como muestra la figura.
9
Junio 2008. Problema 2B. Una espira circular de radio r = 5rcm y resistencia 0,5 Ω
se encuentra en
r
r
reposo en una región del espacio con campo magnético B = Bo k , siendo Bo = 2 T y k el vector unitario
en la dirección Z. El eje normal a la espira en su centro forma 0° con el eje Z. A partir de un instante t = 0
la espira comienza a girar con velocidad angular constante ω = π rad en torno a un eje diametral. Se
s
pide:
a) La expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo t, para t ≥ 0.
b) La expresión de la corriente inducida en la espira en función de t.
Solución.
a.
( )
r
r
r
B = B o k = 2 k ; r = 0’05 m; R = 0’5 Ω
S = π r2 = 7’85×10−3 m2
φ = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos ωt = 0'016 cos πt
b.
ε=−
dφ
d
= − (0'016 cos π t ) = +0'016π sen ω t ≈ 0'05 sen π t
dt
dt
ε 0'05 sen π t
I= =
= 0'1 sen π t
R
0'5
Modelo 2008. Problema 1A.- Una espira cuadrada de lado 1=5 cm situada en el plano XY se desplaza
con velocidad constante v en la dirección del eje X como se muestra en la figura. En el instante t = 0 la
espira encuentra una región del espacio en donde hay un campo magnético
uniforme B = 0,1 T, perpendicular al plano XY con sentido hacia dentro del
papel (ver figura).
a) Sabiendo que al penetrar la espira en el campo se induce una corriente
eléctrica de 5×10−5 A durante 2 segundos, calcule la velocidad v y la
resistencia de la espira.
b) Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en función
del tiempo desde el instante t = 0 e indique el sentido de la corriente inducida en la espira.
Solución.
a.
Se inducirá una corriente eléctrica en la espira mientras este variando el flujo de líneas de campo
en ella, lo cual sucederá en el trascurso de tiempo que va desde que la espira empieza a entra la espira en
el campo hasta el momento que este totalmente inmersa en el campo.
La espira tarda 2 s en entrar el totalmente en el campo, lo cual significa que tarda 2 s en recorrer
la longitud de su lado.
La velocidad con la que la espira entra en el campo magnético es:
v=
s 5 × 10 −2 m
=
= 2,5 × 10 − 2 m
s
t
2s
r
r r
r
El flujo (Φ) que atraviesa la espira viene dado por la expresión: Φ = B o dS , donde B y dS
∫
son paralelos y de sentidos contrarios en todo momento.
Para t = 0, el Φ = 0
∫
Entre 0 < t < 2, Φ = B ⋅ dS ⋅ cos 180º = −B ⋅ S
10
Teniendo en cuenta que la espira se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, la superficie
de la espira inmersa en el campo magnético variará de forma uniforme según la expresión:
M.R .U.
S = l ⋅ x (t )  
→ S = l ⋅ v ⋅ t = 5 × 10 −2 ⋅ 2,5 × 10 −2 ⋅ t = 1,25 × 10−3 t
Sustituyendo en la expresión del flujo:
Φ = −B ⋅ S = −0,1 ⋅ 1,25 × 10 −3 t = −1,25 × 10 −4 t (Wb )
Conocido el flujo que atraviesa la espira, se calcula la fuerza electromotriz inducida.
dΦ
d
ε=−
=−
− 1,25 × 10− 4 t = 1,25 × 10− 4 v
dt
dt
(
)
Conocida la fuerza electromotriz inducida y la intensidad, mediante la ley Ohm (ε = I · R) se
calcula la resistencia.
ε 1,25 × 10 −4 v
=
= 2,5 Ω
I
5 × 10 − 5 A
b.
La intensidad de la corriente, según la ley de Lenz, lleva un sentido tal que se opone a la causa
que la produce. El campo magnético inductor de la corriente en la espira aumenta a medida que la espira
se va introduciendo en la región donde existe el campo magnético, según la ley de Lenz, el campo
inducido por el movimiento de los electrones en la espira debe
contrarrestar el aumento del campo inductor, por lo tanto estará
dirigido hacia fuera del papel, según la regla de la mano derecha, el
giro de los electrones deberá seguir el sentido antihorario.
R=
La fuerza electromotriz inducida será constante en todo el
intervalo de tiempo debido a que el campo es constante y a que la
variación de la superficie con el tiempo también es constante en toda
la experiencia, por realizarse está a velocidad constante.
Modelo 2007. Problema 2A.- En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con una velocidad
constante de valor v = 2 m/s en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0,4 T.
Sabiendo que el valor de la resistencia R es 60 Ω y que la longitud de la varilla es 1,2 m:
a) Determine la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de la
corriente que circula en el circuito.
b) Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se frena con
aceleración constante hasta pararse en 2 s, determine la expresión
matemática de la fuerza electromotriz inducida en función del
tiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos.
Solución.
a.
La corriente se induce en un sentido tal que los efectos que genera tienden a oponerse al cambio
de flujo que la origina, en definitiva, el flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación
del flujo inductor.
Al desplazarse la varilla hacia la izquierda,
aumenta el número de líneas de fuerza que
atraviesan la superficie cerrada, produciendo un
aumento del campo inductor, según la ley de Lenz,
la corriente inducida, deberá producir un campo
magnético que se oponga al aumento del campo
inductor, por lo que el campo inducido deberá
dirigirse hacia dentro del papel, y para que eso
ocurra la corriente inducida deberá girar en el
sentido horario, tal y como puede observarse en la figura.
La fuerza electromotriz inducida es:
dΦ
d r r
d
d
d
ε=−
=−
B o S = − (B ⋅ S ⋅ cos α ) = − (B ⋅ S ⋅ cos 0º ) = − (B ⋅ S)
dt
dt
dt
dt
dt
La magnitud variable en este caso es la superficie (s(t)) atravesada por el campo magnético.
(
)
11
s(t ) = (s o + v ⋅ t ) ⋅ l Donde l representa la longitud de la varilla MN
Sustituyendo en la expresión de ε
d
d
ε = − (B ⋅ S) = − (B ⋅ (s o + vt ) ⋅ l ) = −B ⋅ v ⋅ l = −0,4T ⋅ 1,2m ⋅ 2 m = −0,96v
s
dt
dt
Aplicando la ley de Ohm se calcula la intensidad.
ε 0,96v
V = ε = I⋅R ⇒ I = =
= 0,016A
R
60Ω
b.
Si a partir de t = 0, la varilla se ve sometida a una aceleración que la frena en 2 segundos
m


 a = ∆v = − 2 s = −1 m  , la superficie atravesada por el campo magnético también se vera afectada
2

∆t
2s
s 


por esta aceleración.
1


s(t ) =  s o + v o t + at 2  ⋅ l
2


d
d 
1
 
ε = − (B ⋅ S) = −  B ⋅  s o + v o t + at 2  ⋅ l  = −B ⋅ l ⋅ (v o + at )
dt
dt  
2
 
Sustituyendo los valores
ε = −B ⋅ l ⋅ (v o + at ) = −0,4 ⋅ 1,2 ⋅ (2 − 1 ⋅ t ) = −0,48 ⋅ (2 − t )
Septiembre 2006. Problema 1A.- Un campo magnético uniforme forma un ángulo de 30° con el eje
de una bobina de 200 vueltas y radio 5 cm. Si el campo magnético aumenta a razón de 60 T/s,
permaneciendo constante la dirección, determine:
a) La variación del flujo magnético a través de la bobina por unidad de tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina.
c) La intensidad de la corriente inducida, si la resistencia de la bobina es 150Ω.
d) ¿Cuál sería la fuerza electromotriz inducida en la bobina, si en las condiciones del enunciado
el campo magnético disminuyera a razón de 60 T/s en lugar de aumentar?
Solución.
Los datos del enunciado permiten plantear las expresiones correspondientes
dB d
al campo magnético y su variación: B = Bo + 60t ;
= (Bo + 60t ) = 60 T
s
dt dt
Conocido el número de espiras que forman la bobina y su radio, se calcula su
área o superficie.
N = 200
R = 0,05 m
S = πR 2 = π ⋅ (0,05)2
Se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector
superficie.
r r
Φ = BoS
Φ = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos α
a.
dΦ d
dB
= (N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos α ) = {N, S, α = cte} = N ⋅ S ⋅ cos α ⋅
= N ⋅ π ⋅ 0,052 ⋅ cos 30º⋅60 =
dt
dt
dt
= 0,408 ⋅ N Wb
= 81,6 Wb
s N = 200
s
b.
Si el flujo Φ a través de la superficie de la espira varia con el tiempo, se observa una corriente
inducida en el circuito (mientras que el flujo este variando). Según la Ley de Faraday, la fuerza
electromotriz inducida (fem) depende de la variación del flujo de campo magnético con el tiempo.
dΦ
ε = −N ⋅
= −0,408N v = − 81,6 v
dt
N = 200
c.
Aplicando la Ley Ohm:
12
V ε 81,6 v
= =
= 0,54 A
R R 150 Ω
El sentido de la corriente lo determina la ley de Lenz “La corriente se induce en un sentido tal
que los efectos que genera tienden a oponerse al cambio de flujo que la origina”. Teniendo en cuenta que
la variación del flujo se produce por un aumento de campo magnético, la corriente inducida deberá
generar un campo magnético en sentido opuesto, hacia abajo, por lo tanto la corriente inducida deberá
tener sentido negativo (horario), tal y como se indica en la figura.
V = I⋅R
d.
I=
Si la intensidad del campo magnético disminuye según la expresión: B = Bo − 60t
dB d
= (Bo − 60t ) = −60 T
s
dt dt
dΦ
dB
== N ⋅ S ⋅ cos α ⋅
= 200 ⋅ π ⋅ 0,052 ⋅ cos 30º⋅(− 60) = −81,6 Wb
s
dt
dt
En este caso la fem es:
dΦ
= −(− 81,6v ) = 81,6 v
dt
Se produce una intensidad I en sentido contrario a las agujas del reloj, para compensar de esta
forma la pérdida de flujo, por disminución de la intensidad del campo magnético (B).
ε=−
Junio 2006. Problema 1B.Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está
inmersa en un campo magnético uniforme B = 0,03 T dirigido
según el sentido positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado
y forma un ángulo α variable con el plano YZ como se
muestra en la figura.
a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una
frecuencia de rotación de 60 Hz siendo α = π / 2 en el
instante t = 0 , obtenga la expresión de la fuerza
electromotriz inducida en la espira en función del tiempo.
b) ¿Cuál debe ser la velocidad angular de la espira para que la
corriente máxima que circule por ella sea de 2 mA?
Solución.
a)
()
El vector característico de la superficie de la aspira S forma un ángulo α con el campo
()
magnético B . Este ángulo α depende del tiempo según:
α(t ) = ω ⋅ t + α o
π

α o = rad
2
siendo: 
 ω = 2π ⋅ f = 2π rad ⋅ 60 s −1 = 120π rad
s

Por lo tanto
π
α(t ) = 120π ⋅ t +
2
Según la ley de Faraday, la f.e.m. inducida en la espira será:
dφ
f .e.m. = − B
dt
donde φ B es el flujo de campo magnético a través de la superficie S que se calcula como:
φ B = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α
Si la espira es rectangular de lado (L), su área es L2, y la expresión del flujo queda:
φ B = B ⋅ L2 cos(ω ⋅ t + α o )
y la variación del flujo respecto al tiempo será
13
dΦ B d
=
B ⋅ L2 cos(ω ⋅ t + α o ) = −B ⋅ L2 ⋅ ω ⋅ sen (ω ⋅ t + α o )
dt
dt
por lo tanto la fuerza electromotriz inducida será:
dφ
ε (t ) = − B = B ⋅ L2 ⋅ ω ⋅ sen (ωt + α o )
dt
Sustituyendo por los datos
[
]
ε (t ) = 0,03 ⋅ 0,02 2 ⋅ 120π ⋅ sen (120πt + α o )
π

ε (t ) = 4,5 × 10 − 3 sen 120π t +  (V )
2

b)
La corriente que circula por la espira tiene una intensidad que está dada por la expresión:
f .e.m.
I=
R
e max
La intensidad máxima será I max =
, y la emax será cuando la componente trigonométrica valga 1,
R
quedando su expresión de la forma:
BL2 ω
R
Despejando se obtiene la velocidad angular, y de esta la frecuencia.
R I max
1'5Ω ⋅ 2 ×10 −3 A
=
= 250 rad
Por tanto ω =
2
2
s
BL
0'03 T ⋅ 2 × 10 - 2 m 2
ω
250
f=
⇒f =
= 40 Hz
2π
2π
e max = BL2 ω ⇒ I max =
(
)
Septiembre 2005. Problema 2B. Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo
magnético uniforme de 0,2 T con su eje paralelo a la dirección del campo. Determine la fuerza
electromotriz inducida en la espira si en 0,1 s y de manera uniforme:
a) Se duplica el valor del campo.
b) Se reduce el valor del campo a cero.
c) Se invierte el sentido del campo.
d) Se gira la espira un ángulo de 90° en tomo a un eje diametral perpendicular a la dirección del
campo magnético.
Solución.
Tenemos la siguiente situación inicial:
r
r
Donde B es el campo magnético y s es el vector característico de la superficie
interior de la espira.
r
s = πR 2
El flujo de campo magnético a través de la superficie interior a la espira es:
r r
Φ = Bo s
Según la Ley de Faraday en todo campo magnético variable se induce una f.e.m. (ε) en cualquier
circuito cerrado, la cual es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético a través
del circuito.
dΦ
ε=−
dt
Si la variación de flujo a través de la superficie es uniforme, los diferenciales se transforman en
incrementos y la expresión de la ley de Faraday se simplifica a:
∆Φ
f .e.m. = −
∆t
donde ∆Φ es la variación de flujo y ∆t es el intervalo de tiempo en que ocurre la variación.
14
f .e.m. = −
a.
Φf − Φi
∆t
Se duplica el valor campo. Bf = 2·Bi
α =0º
r r r r
Φ = B o s = B ⋅ s ⋅ cos α = B ⋅ s
f .e.m. = −
(B − B i ) ⋅ s (B f − B i ) ⋅ πR 2
Φf − Φi
B ⋅ s − Bi ⋅ s
=− f
=− f
=−
∆t
∆t
∆t
∆t
f .e.m. = −
(B f
− B i ) ⋅ πR 2
(2 ⋅ 0'2T − 0'2T )⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2 = −0'08π V
=−
∆t
0'1 s
b.
Se reduce el valor del campo a cero. Bf = 0 T
Φ − Φi
B ⋅ s − Bi ⋅ s
(B − B i ) ⋅ s − B i ⋅ πR 2
− 0'2T ⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2
f .e.m. = − f
=− f
=− f
=−
=−
= 0'08π V
∆t
∆t
∆t
∆t
0'1 s
c.
Se invierte el sentido del campo. Bf = −Bi
Φ − Φi
B ⋅ s − Bi ⋅ s
(B − B i ) ⋅ s (− B i − B i ) ⋅ πR 2 2B i ⋅ πR 2
f .e.m. = − f
=− f
=− f
=−
=
∆t
∆t
∆t
∆t
∆t
f .e.m. =
2 ⋅ 0'2T ⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2
= 0'16π V
0'1 s
d.
Se gira la espira un ángulo de 90° en tomo a un eje diametral perpendicular a la dirección del
campo magnético
ε=−
ε=−
dΦ
d
= − (B ⋅ S cos α )
dt
dt
α =ωt
dΦ
d
= − (B ⋅ S cos(ω t )) = B ⋅ S ⋅ ω sen (ω t )
dt
dt
π
−0
∆α 2
ω=
=
= 5π rad / s
∆t
0,1
ε = B ⋅ πR 2 ⋅ ω cos(ω t ) = 0,2 ⋅ π ⋅ 0,2 2 ⋅ 5π ⋅ sen (5π ⋅ 0,1) = 0,395 v
Modelo 2005. Cuestión 4.- Un solenoide de resistencia 3,4 × 10−3 Ω está formado por 100 espiras de
hilo de cobre y se encuentra situado en un campo magnético de expresión B = 0,01 cos (100 m) en
unidades SI. El eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético y la sección transversal
del solenoide es de 25 cm2. Determine:
a) La expresión de la fuerza electromotriz inducida y su valor máximo.
b) La expresión de la intensidad de la corriente que recorre el solenoide y su valor máximo.
Solución.
a.
Establecer en primer lugar, un sistema de referencia, para poder referir a él las coordenadas de
cualquier vector.
15
La fuerza electromotriz, o voltaje inducido, se produce cuando varía el flujo electromagnético
que atraviesa la sección trasversal de la espira, que en este caso, se produce porque B = B(t )


:φ = N⋅ B ⋅ S
φ = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos 0º 

φ = N⋅BoS
Sustituyendo valores:
φ = 100 ⋅ 0'01 ⋅ cos(100πt ) ⋅ 25 ×10 −4 = 25 ×10 −4 cos(100πt ) (Wb)
Para obtener la fuerza electromotriz se deriva el flujo respecto del tiempo:
dφ
d
E=−
=−
25 ×10 − 4 cos(100πt ) = − 25 × 10 − 4 (− sen (100πt )) ⋅100π
dt
dt
E = 100π ⋅ 25 ×10 − 4 sen (100πt )
[
] [
]
El valor máximo se obtiene de la fuerza electromotriz se obtiene cuando la parte trigonométrica
vale 1.
E max = 25 ×10 −2 π V
b.
Si aplicamos la ley de Ohm, tenemos para intensidad:
E (t )
100π ⋅ 25 × 10 −4 sen (100πt )
E = I⋅R
I (t ) =
I (t ) =
R
3'4 × 10− 3 Ω
250π
I (t ) =
·sen (100πt )
3'4
Los valores máximos se obtienen cuando sen (100πt ) = 1; por tanto:
I max = 73'5π A
Septiembre 2004. Problema 2A. Una espira conductora circular de 4 cm de radio y de 0,5 Ω de
resistencia está situada inicialmente en el plano XY. La espira se encuentra sometida a la acción de un
campo magnético uniforme B, perpendicular al plano de la espira y en el sentido positivo del eje Z.
a) Si el campo magnético aumenta a razón de 0,6 T/s, determine la fuerza electromotriz y la
intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el sentido de la misma .
b) Si el campo magnético se estabiliza en un valor constante de 0,8 T, y la espira gira alrededor de
uno de sus diámetros con velocidad angular constante de 10π rad/s, determine en estas
condiciones el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida.
Solución.
a.
El campo magnético varía con el tiempo según la expresión:
B(t ) = B o + 0,6t
El flujo inicial será viene expresado por:
r r
Φ = Bo o S = B ⋅ S ⋅ cos 0 = Bo πR 2
a medida que aumenta el campo, aumenta el flujo:
Φ(t ) = B(t )·πR 2
dΦ
d
ε=−
= − (Bo + 0'6t ) ⋅ πR 2 = −0'6 ⋅ πR 2 = − 0'6 ⋅ π ⋅ 0,04 2 = −3,02 × 10 − 3 v
dt
dt
16
y la corriente:
ε = I·R :
I=
ε
3,02 × 10 −3 v
=−
= −6'031 × 10 − 3 A
R
0,5 Ω
El sentido de la corriente lo da el signo (−), en el mismo sentido que las agujas del reloj.
b.
Ahora B es constante. Sea θ el ángulo que forma el eje z y la normal a la
espira, el flujo en este caso vendrá expresado por:
Φ = B ⋅ S ⋅ cos θ
Teniendo en cuenta que el ángulo varia con el tiempo según:
θ = ω⋅ t
y siendo ω = 10 π rad , la expresión del flujo queda de la forma
s
Φ = B ⋅ A ⋅ cos(10π ⋅ t )
Con está expresión del flujo, la fuerza electromotriz queda:
dΦ
d
ε=−
= − (B ⋅ S ⋅ cos(10π ⋅ t )) = + B ⋅ S ⋅ sen (10π ⋅ t ) ⋅ 10π
dt
dt
será máxima cuando sen θ = 1
2

ε = 10π ⋅ B ⋅ S = 10π ⋅ 0'8 ⋅  π ⋅ 4 ⋅ 10− 2  = 128π 2 ⋅ 10− 4 = 0'126 v


(
)
Junio 2004. Cuestión 3.-
a) Enuncie las leyes de Faraday y de Lenz de la inducción electromagnética.
b) La espira circular de la figura adjunta está situada en el seno de un campo magnético uniforme.
Explique si existe fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos:
b.1. la espira se desplaza hacia la derecha
b.2. el valor del campo magnético aumenta linealmente con el tiempo.
Solución.
a.
Ley Faraday: La fuerza electromotriz es directamente proporcional a la variación de flujo
magnético.
Ley de Lenz: La fuerza electromotriz y la corriente inducida poseen una dirección y sentido tal que
tienden a oponerse a la variación que las produce.
dφ
∈= −
dt
b.1.
No se produce fuerza electromotriz, ya que el campo B es uniforme y dado que no cambia ni este
ni el área de la espira el flujo permanece constante.
b.2.
Si B aumenta linealmente con el tiempo si hay fuerza electromotriz inducida en la espira ya que
se produce una variación de flujo a través de su superficie:
φ = B·A = B 0 ·t·A
∈= −
dφ
= − B 0 ·A
dt
Septiembre 2003. Problema 1B. Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras
de 2’5 cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0’3 T, siendo
el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente
hasta anularse en 0’1s, determine:
17
a) El flujo que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida.
b) La intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo de tiempo.
Solución.
a.
El flujo inicial que atraviesa el solenoide tiene la expresión
r r r r
Φ = N ⋅ B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos α
r
r
el ángulo que forman S y B es constante y vale 0º, con lo que la expresión
anterior queda
Φ = B⋅S
El área de una espira viene dada por la expresión
S = π⋅R 2
donde R es el radio de la espira circular.
R=
d 2'5 ×10 −2
=
= 1'25 × 10 − 2 m
2
2
2
(
)
S = π ⋅ R 2 = π ⋅ 1'25 × 10 −2 = 4'91× 10 −4 m 2
con el valor del área de la espira y el del campo magnético inicial, se calcula el flujo inicial
Φ = N ⋅ B ⋅ S = 500 ⋅ 4'91 × 10−4 ⋅ B = 0,245 B Wb
La fuerza electromotriz inducida es función de la variación del flujo a través de la superficie
respecto del tiempo según la expresión:
dφ
ε=−
Φ
dt
En el caso propuesto, la variación del flujo a través de la espira es debido a la variación del
campo magnético. Puesto que la variación del campo magnético se produce uniformemente, se puede
sustituir la derivada por un incremento:
∆Φ
Φ − Φi
ε=−
=− f
∆t
∆t
por tanto, y puesto que esta variación se produce en un ∆t = 0’1 s, la fuerza electromotriz es:
0 − 0,245 ⋅ 0,3
ε=−
= 0'736 V
0'1
b.
La intensidad se puede hallar mediante la ley de Ohm:
V = I⋅R : ε = V⋅I
dado que R = 20Ω, se despeja I:
ε 0'735 V
I= =
= 0'037 A
R
20 Ω
La relación entre la intensidad y la carga eléctrica es:
∆Q
I=
∆t
de donde
∆Q = I ⋅ ∆t = 0'037 A ⋅ 0'1 s = 3'7 × 10 −3 C
Modelo 2003. Cuestión 4.- Para transformar el voltaje de 220 V de la red eléctrica a un voltaje de 12
V que necesita una lámpara halógena se utiliza un transformador:
a) ¿Qué tipo de transformador debemos utilizar? Si la bobina del primario tiene 2200 espiras
¿cuántas espiras debe tener la bobina del secundario?
b) Si la lámpara funciona con una intensidad de corriente de 5 A ¿cuál es el valor de la intensidad
de la corriente que debe circular por la bobina del primario?
Junio 2002. Cuestión 3. Una bobina de sección circular gira alrededor de uno de sus diámetros en un
campo magnético uniforme de dirección perpendicular al eje de giro. Sabiendo que el valor máximo de la
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fuerza electromotriz inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60 Hz, determine el valor máximo de
la fuerza electromotriz inducida:
a) Si la frecuencia es 180 Hz, en presencia del mismo campo magnético.
b) Si la frecuencia es 120 Hz y el valor del campo magnético se duplica.
Modelo 2001. Problema 2.- Sobre un hilo conductor de resistencia despreciable, que tiene la forma
que se indica en la figura, se puede deslizar una varilla MN de resistencia R=10 Ω en presencia de un
campo magnético uniforme B, de valor 50 mT, perpendicular al plano del circuito. La varilla oscila en la
dirección del eje X de acuerdo con la expresión x = xo + A·sen ωt, siendo xo = 10 cm, A = 5 cm, y el
periodo de oscilación 10 s.
a) Calcule y represente gráficamente, en función
del tiempo, el flujo magnético que atraviesa el
circuito.
b) Calcule y represente gráficamente, en función
del tiempo, la corriente en el circuito.
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