Números reales y proporcionalidad. Informática básica

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1 · Números reales
y proporcionalidad.
Informática básica
SUMARIO
1. Los números reales
2. Notación científica
3. Proporcionalidad
4. Porcentajes
5. Radicales
6. Hardware y software
7. Redes informáticas
CIENCIA RECREATIVA
• Ese trascendente pi
• Otro número trascendente
• Truco de magia
• La hoja de cálculo
AULA DE INTERNET
• Internet
INVESTIGACIÓN DIGITAL
• Pitágoras
¿QUÉ SABES DE ESTO?
1. ¿Sabes qué es un número irracional?
2. ¿Podrías calcular el 25 % de 2.300 €?
3. Cuando decimos que dos magnitudes son proporcionales, ¿qué pretendemos decir?
4. La masa del Sol es:
1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg
¿Sabes cómo expresarla de una manera más cómoda?
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
matemáticas
ciencias de la naturaleza
tecnologías
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Con esta unidad comenzamos el curso repasando las propiedades y las operaciones de los números reales.
Aprenderemos a utilizar los porcentajes, la proporcionalidad, la notación científica y los radicales.
Es muy importante que manejes adecuadamente estos números ya que constituyen la base sobre la que
se desarrolla el resto de los contenidos del ámbito científico-tecnológico.
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1. Los números reales
1.1. Distintos conjuntos de números
Números irracionales
Los números irracionales se caracterizan porque no pueden representarse como el cociente de dos números enteros y escritos en forma
decimal tienen infinitas cifras decimales pero no son periódicos.
El más conocido es el número π =
3,141592…, aunque hay otros que
también se utilizan frecuentemente,
como e = 2,718281… o φ =
1,618033… A este último se le
conoce con el nombre de razón
áurea.
Los números racionales junto con los
números irracionales forman el conjunto de los números reales. Este
conjunto incluye todos los números
que has estudiado. Se representa
con la letra #.
Los primeros números que conociste, los más sencillos, son los números que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4… Este conjunto de números
se denomina números naturales y se representa como !.
Otro conjunto de números que ya debes conocer es el de los números
negativos. Son números que utilizamos para representar infinidad de
situaciones: temperaturas inferiores a 0 ºC, deudas, disminuciones, etc.,
y se obtienen cuando a un número natural se le resta otro más grande
que él.
El conjunto que forman los números naturales junto con los negativos
se denomina números enteros ya que solo nos permiten realizar divisiones exactas. Para representar este conjunto utilizamos la letra ".
Para poder resolver divisiones que no sean exactas necesitamos un
nuevo tipo de números: los números racionales. Estos números se obtienen al dividir dos números enteros y también reciben el nombre de fracciones.
Algunos ejemplos de fracciones serían:
11 10
2
,–
,
3 2
5
Observa que las fracciones también pueden ser negativas.
Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar
2
cifras decimales. Por ejemplo, se puede escribir 0,4.
5
Números decimales
Decimales exactos: sus cifras decimales son finitas, es decir, acaban en
algún momento. Ejemplo: 4,25.
Decimales periódicos puros: tienen infinitas cifras decimales que se
repiten de manera regular. Ejemplo:
12,63636363… Su periodo es 63.
Decimales periódicos mixtos: tienen infinitas cifras decimales pero
no todas se repiten. Ejemplo:
5,1788888… Su periodo es 8.
Se llama fracción generatriz de un número decimal a la fracción irreducible que da como resultado ese número decimal.
• Fracción generatriz de un decimal exacto.
En el numerador se escribe el número decimal sin coma y, en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Ejemplo: 0,125 =
125
1
=
1.000 8
• Fracción generatriz de un decimal periódico puro.
En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del
periodo y se le resta la parte entera; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo.
! = 13 – 1 = 12 = 4
Ejemplo: 1,3
9
9
3
• Fracción generatriz de un decimal periódico mixto.
En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del
periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos
ceros como cifras tenga el anteperiodo.
! = 216 – 21 = 195 = 13
Ejemplo: 2, 16
90
90
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1.2. Operaciones con números reales
Vamos a repasar brevemente las operaciones básicas con los distintos
tipos de números reales.
! Operaciones con números enteros
La suma de dos números enteros se resuelve siguiendo las siguientes
reglas:
• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor
absoluto de dichos números y se añade al resultado el signo de los
sumandos.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número es el
valor de dicho número sin tener en
cuenta su signo.
Se representa con dos barras verticales.
Por ejemplo:
!+5! = 5
!–12! = 12
Ejemplo: (+4) + (+7) = +11
(–1) + (–6) = –7
• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al resultado el
signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo: (+5) + (–2) = +3
(–10) + (+4) = –6
Para restar dos números enteros solo tienes que sumar al primero el
inverso del segundo. Para obtener el inverso de un número entero simplemente debes cambiarle el signo.
Ejemplo: (+4) – (+5) = (+4) + (–5) = –1
(–11) – (–3) = (–11) + (+3)= –8
Para multiplicar o dividir dos números enteros, basta con que multipliques o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el
signo en función de las tablas del margen.
! Operaciones con números racionales
Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones
tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción equivalente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo
común múltiplo de todos los denominadores.
Observa estos ejemplos: 2 + 5 = 8 + 15 = 23
3 4 12 12 12
4
3
8
3
5
1
–
=
–
=
=
5 10 10 10 10 2
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores de
dichas fracciones respectivamente.
Ejemplo: 7 · 4 = 7 · 4 = 28
3 5 3 · 5 15
Reglas de los signos
para la multiplicación
Positivo · Positivo = Positivo
Positivo · Negativo = Negativo
Negativo · Positivo = Negativo
Negativo · Negativo = Positivo
Reglas de los signos
para la división
Positivo : Positivo = Positivo
Positivo : Negativo = Negativo
Negativo : Positivo = Negativo
Negativo : Negativo = Positivo
Brahmagupta
Brahmagupta, un matemático hindú
del siglo VII, fue el primero en estudiar las operaciones de los números
enteros. Escribió reglas como esta:
«El producto de un negativo y un positivo es negativo, de dos negativos,
positivo, y de positivos, positivo; el
producto de cero y un negativo, y de
cero y un positivo, o de dos ceros, es
cero».
6
6 2
6·2
12
·2= · =
=
5
5 1
5·1
5
Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera
por la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar
el numerador por el denominador, y viceversa.
Ejemplo: 5 : 1 = 5 · 4 = 20 = 10
3
6 4 6·1
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1. Indica escribiendo SÍ o NO en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de números:
Naturales (N)
Enteros (Z)
Racionales (Q)
Reales (R)
2,45151515151…
–6
π
13
1
3
–0,5
0,333333…
0
12,41411411141111…
–
3
4
2. Identifica los siguientes números decimales como decimales exactos, decimales periódicos puros, decimales
periódicos mixtos o irracionales:
a) 0,3
c) 8,1457124…
e) –4,6717171…
g) –7,2
b) 12,55555…
d) 7,2232323…
f) 31,621622162221…
h) 4,45454545…
3. Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros:
a) !+3!
c) !0!
e) !–1,5!
b) !–11!
d) !–25!
f) !+4,66!
4. Resuelve las siguientes sumas y restas de números enteros:
a) (+7) + (+5)
f) (+4) – (+2)
k) (–5) + (+7) – (–1)
b) (+4) + (–3)
g) (+5) – (–6)
l)
c) (–7) + (+1)
h) (–1) – (+12)
m) (+12) – (–1) – (+12)
d) (–11) + (–3)
i)
(–10) – (–4)
n) (–4) + (–1) – (–10)
e) (–2) + (+10)
j)
(+6) – (+15)
ñ) (–3) + (–17) + (+21)
(+4) – (+14) + (–3)
5. Resuelve:
a) 8 – 16
d) –9 – 11 + 5
g) –10 + 11 – 3
b) 5 + 1 – 7
e) 1 – 6 – 12
h) –5 + (–4) – (–1)
c) 2 + (–4) – 12
f) –7 + 8 – (–3)
i)
1 + (–15) – 20 + (–3)
6. Resuelve los siguientes productos y divisiones de números enteros:
a) (+5) · (–2)
c) (+11) · (+3)
e) (–24) : (–4)
g) 35 : (–7)
b) (–5) · (–4)
d) (–6) · (+2)
f) (–15) : (+3)
h) 40 · 5 : (–8)
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7. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números enteros:
a) 7 – (–3) · (–6)
e) 11 – (1 – 9) : (–4) + 5
b) (–4) + (–12) : (+3)
f) 12 – [(–3) · 2 –7] + 2
c) –15 · 2 – (–1) · 5
g) [10 + (–2)] : (–4) + 1
d) 8 + (10 – 6) : (–2)
h) 3 – (–3) · (–1) + [(–3 + 1) : (–2)]
Para resolver operaciones combinadas en las que aparezcan multiplicaciones, divisiones, sumas y restas
debes recordar la siguiente jerarquía
de operaciones:
1. Paréntesis y corchetes.
2. Multiplicaciones y divisiones.
8. Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales:
a)
2 5
+
3 4
e)
2
1
5
+ +
5
4
7
b)
1 5
–
4 8
f)
1
3 5
+ –
3
4 6
c)
1
3
+ –
5
2
g)
4
2
1
+ –
–
3
5
10
d)
5
–2
6
h) –
" #
Recuerda
3. Sumas y restas.
" #
" #
3
4
+1
– –
4
7
9. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales simplificando el resultado siempre que
sea posible:
a)
3 1
·
4 5
c)
1 10
:
5 3
e)
"+ 23 # · "– 15 #
g)
"+ 94 # : "+ 21 #
b)
7 3
·
6 2
d)
4
:3
3
f)
"– 117 # · "– 27 #
h) 2 :
" 51 #
10. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números racionales:
a)
" #
3
2
1
– +
·
2
5
5
g) –
$ 23 – "– 75 #% + 1
1
4
+2· –
5
3
h)
$3 – "– 32 #% : 54 + 12
c)
2 1 5 1
·
–
:
3 4 6 10
i)
–
d)
1
1 3
·
+ –
4
2 2
" #
j)
$ 45 – 1 + "– 34 #% – 151
" 34 # · "+ 12 # – "– 35 # : "– 45 #
k) 3 –
$"23 – 1# + 54 % + 53
l)
b) –
" #
2
+
5
e) +
f)
–
5
3 7
+
·
–2
4
2 5
$"52 – 16 # + 1% : "– 54 #
"
#
6 11
3
4
· + –1 +
:
5 2
5
7
11. Halla las fracciones generatrices de los siguientes decimales:
!
a) 4,3
!
d) 3,23
!
g) 4,316
!
j) 7,5
!
b) 3,14
!
e) 1,12
!
h) 6,18
!
k) 1,6
c) 5,2
f) 2,57
i) 8,521
l) 2,82
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2. Notación científica
Potencias de base 10
La notación científica se basa en
las propiedades de las potencias
de base 10 y exponente entero.
Observa los valores que obtenemos
cuando elevamos a 10 números
positivos y negativos:
106 = 1.000.000
10 = 100.000
5
104 = 10.000
103 = 1.000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
La notación científica es una de las principales aplicaciones de las
potencias de exponente entero. Se trata de una forma de escribir números especialmente útil cuando trabajamos con cantidades muy grandes
o muy pequeñas.
De forma general, un número está expresado en notación científica si
está escrito de la siguiente forma:
a,bc… · 10n
donde a es una cifra del 1 al 9 que va seguida de los decimales necesarios
(bc…) y multiplicada por una potencia de base diez y exponente entero (es
decir, n puede ser positivo o negativo).
Veamos algunos ejemplos:
• La masa de un electrón, que como recordarás es una de las partículas
que componen el átomo, es evidentemente muy pequeña. Si la
expresamos utilizando la notación normal tenemos que:
10–1 = 0,1
10–2 = 0,01
melectrón = 0,00000000000000000000000000167 kg
10–3 = 0,001
10–4 = 0,0001
10–5 = 0,00001
Usando las propiedades de las potencias de base 10 podemos expresar esta cantidad utilizando la notación científica:
10–6 = 0,000001
melectrón = 1,67 · 0,000000000000000000000000001 kg = 1,67 · 10–27 kg
• La distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 km.
Utilizando la notación científica podemos expresarla como 1,5 · 108 km.
Notación científica en tu calculadora
3
En la mayor parte de las
calculadoras científicas los
números escritos en notación científica se emplean
usando la tecla EXP.
Por ejemplo, para introducir el número 3,4 · 108
usaríamos la siguiente
combinación de teclas:
a
La distancia de la Tierra al Sol es de
150 millones de km, que en el Sistema Internacional (SI) y notación científica serían 1,50 · 1011 m.
.
4
EXP
8
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1. Expresa las siguientes cantidades en notación científica:
a) 0,0000000005
b) 12.000.000.000
c) 0,002
d) 13.400
e) 45.000
f) 0,5
g) 57,001
h) 0,0000007
i)
450 · 103
j)
0,006 · 10–4
k) 12,5 · 10–19
l)
0,0055 · 1010
2. La masa del Sol, utilizando la notación científica, es de 1,9891 · 1030
kg. Si no utilizásemos este tipo de notación deberíamos escribir
1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg. ¿Cómo tendríamos que escribir las siguientes cantidades si no utilizásemos la notación científica?
a) El diámetro de la Luna:
3,47 · 106 m
b) La masa de un protón:
1,67 · 10–27 kg
c) El número aproximado de estrellas de la Vía Láctea:
3 · 1011 estrellas
d) La población total de la Tierra:
6,6 · 109 personas
e) El diámetro de un glóbulo rojo:
7 · 10–6 m
f) La frecuencia de un horno microondas:
2,5 · 109 Hz
3. Resuelve las siguientes operaciones según los siguientes ejemplos, expresando el resultado en notación científica:
(3,5 · 104) · (6 · 107) = (3,5 · 6) · (104 · 107) = 21 · 1011 = 2,1 · 1012
(8,4 · 106) : (4 · 103) = (8,4 : 4) · (106 : 103) = 2,1 · 103
a) (5,1 · 106) · (2,5 · 102)
b) (1,02 · 109) · (1,6 · 10–4)
c) (1,235 · 1011) : (5 · 102)
d) (9,6 · 10–6) : (2,4 · 1015)
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3. Proporcionalidad
La proporcionalidad es una de las aplicaciones más interesantes y de
mayor uso de los números racionales. Vamos a estudiar ahora las diferentes relaciones de proporcionalidad que pueden existir entre distintas
magnitudes.
3.1. Proporcionalidad directa
Existen muchos casos de dos magnitudes relacionadas de forma que al
aumentar una, la otra lo hace en la misma proporción. Veamos un ejemplo: cuatro amigos que van al cine deben pagar entre todos 28 € para
adquirir las entradas. Si en lugar de 4 amigos fueran solo la mitad, es decir,
2, deberían pagar solo la mitad (14 €). Si por el contrario fueran al cine el
triple de personas (12), el precio total de las entradas sería también el triple (84 €). Podríamos resumir esta relación con la siguiente tabla:
Personas
Precio de las entradas
4
2
12
28 €
14 €
84 €
Este es un ejemplo de dos magnitudes, las personas que van al cine y el
precio total de las entradas, que son directamente proporcionales.
Como se puede apreciar en la tabla, si dividimos el precio de las entradas entre las personas que van al cine obtenemos siempre una misma
cantidad:
84
28 14
=
=
=7
4
2
12
Se trata, en este caso, del precio de una sola entrada (7 € por entrada).
En general, diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un cierto número
la otra resulta multiplicada (o dividida) por el mismo número.
Siempre que dividamos dos magnitudes directamente proporcionales
obtendremos un mismo número que denominamos constante de proporcionalidad.
3.2. Regla de tres simple y proporciones
Otra forma de resolver problemas relacionados con magnitudes directamente proporcionales es la denominada regla de tres simple. Se trata de
un procedimiento de cálculo utilizado para determinar el valor de una
de las magnitudes proporcionales cuando conocemos la otra.
Siguiendo con el ejemplo del cine, si sabemos que 4 personas pagan
28 €, podríamos calcular cuánto pagarían 7 personas mediante una
regla de tres:
Se
multiplican
Divide
4 personas
28 €
7 personas
x€
Para calcular la incógnita, multiplicamos los números que la «rodean» y
dividimos por la cantidad situada «en frente», es decir:
4 personas
28 €
7 personas
x€
a Proceso para calcular una regla de tres
simple.
x = 7 · 28 = 49 €
4
También podría haberse calculado utilizando una proporción, que es
x
28
7 · 28
una igualdad entre fracciones:
⇒ x=
= 49 €
=
7
4
4
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
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3.3. Proporcionalidad inversa
Otra posible relación que podemos encontrar entre dos magnitudes es
la proporcionalidad inversa.
En este caso la relación entre las dos magnitudes es tal que cuando una
de ellas aumenta un cierto número de veces, la otra disminuye ese
mismo número de veces.
Vamos a considerar, por ejemplo, la relación existente entre el tiempo
empleado en pintar una habitación y el número de pintores dedicados
a esa tarea.
Supongamos que 6 pintores completan el trabajo en 4 horas. Si el
número de pintores se duplica (12 pintores), el tiempo necesario sería
la mitad (2 horas). Si, por el contrario, el número de pintores se reduce
a una sexta parte (1 pintor), el tiempo que emplearía sería seis veces el
original (24 horas).
Veamos una tabla que resume esta relación:
Pintores
6
12
1
Tiempo empleado
4
2
24
Analizando los valores que adoptan ambas magnitudes en cada
columna, podemos descubrir que en el caso de la proporcionalidad
inversa la cantidad que se mantiene constante en todos los casos es el
producto de dichos valores:
6 · 4 = 12 · 2 = 1 · 24 = 24
Si te fijas, esta cantidad se corresponde en este caso con el tiempo que
emplearía un solo pintor en realizar el trabajo completo.
De manera general podemos establecer que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas
por un determinado número la otra resulta dividida (o multiplicada) por
ese mismo número.
Siempre que multipliquemos los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales obtendremos una cantidad fija que
denominamos constante de proporcionalidad inversa.
3.4. Regla de tres inversa
Para calcular el valor de magnitudes directamente proporcionales contamos con la regla de tres inversa.
Se trata de un procedimiento de cálculo, muy similar a la regla de tres
simple, en el que debemos colocar los valores conocidos y la incógnita
de forma similar. La diferencia está en la forma de calcular esta incógnita. Veamos un ejemplo: sabemos que 6 pintores tardarían 4 horas en
terminar un determinado trabajo. ¿Cuánto tardarían 8 pintores en realizar ese mismo trabajo?
6 pintores
4 horas
8 pintores
x horas
En este caso multiplicamos los números que están en distinta fila que la
incógnita y dividimos por el que está en su misma fila:
x = 6 · 4 = 3 horas
8
Se
multiplican
Divide
6 pintores
4h
8 pintores
xh
a Proceso para calcular una regla de tres
inversa.
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1. Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales:
a)
b)
c)
Magnitud 1
6
Magnitud 2
30
Magnitud 1
8
Magnitud 2
10
30
12,5
Magnitud 1
12
1,5
0,5
Magnitud 2
12
9
150
2
15
11,2
6
60
30
2. Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las tablas anteriores.
3. En el primer día de una campaña de donación se consiguen 28.000 mL de sangre gracias a la colaboración de
70 personas. Contesta las siguientes preguntas:
a) Si el segundo día colaboran 85 donantes, ¿cuánta sangre se conseguirá reunir?
b) Si el tercer día se consiguen 22.000 mL de sangre, ¿cuántas personas han colaborado?
c) Representa todos los resultados en una tabla.
d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?
4. Una empresa de reparto de mercancías entrega cada día 48.000 kg
de alimentos utilizando sus 4 camiones.
a) El número de camiones y los kilogramos de comida, ¿son directamente proporcionales?
b) ¿Cuántos kilogramos podrán repartir si se avería uno de los
camiones y solo pueden utilizar tres?
c) Si en la empresa deciden comprar dos camiones más, ¿cuántos
kilogramos de comida podrían repartir?
d) Si quieren ampliar su capacidad de reparto a 120.000 kg, ¿cuántos camiones necesitarán?
e) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué
significado tiene?
5. A Javier y a Celia les han regalado dos reproductores de mp3. Celia almacena 240 canciones que ocupan un total
de 750 Mb.
a) ¿Cuántas canciones podrá guardar Javier si utiliza los 2 Gb de que dispone su reproductor?
b) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación.
c) ¿Qué significado tiene esta constante?
6. Calcula la incógnita en cada una de las siguientes proporciones:
a)
5
3
=
x
12
d)
x
28
=
5
4
g)
16
40
=
x
15
b)
6
8
=
x
16
e)
10 20
=
x
3
h)
3
x
=
24
72
c)
5
= x
35 21
f)
36
= x
9
1
i)
3
15
=
70
x
Y
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7. Los siguientes ejemplos pueden ser:
Recuerda
• Relaciones de proporcionalidad directa.
• Relaciones de proporcionalidad inversa.
• Otro tipo de relación no proporcional o ninguna relación.
Recuerda que para que dos magnitudes sean proporcionales no solo
deben estar relacionadas sino que deben variar del mismo modo, es decir,
que si una aumenta el doble la otra
debe aumentar el doble también.
Indica en cada caso de qué se trata y justifica tu respuesta.
a) El tiempo que estudias y la nota que obtienes en un examen.
b) El ancho de una estantería y los libros (del mismo tipo) que puedes colocar en
ella.
c) La capacidad de un depósito de gasolina y el tiempo que necesitamos para llenarlo utilizando el mismo
surtidor.
d) La velocidad a la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer un trayecto determinado.
e) Los megabytes de una tarjeta de memoria y las fotos que puedes almacenar en ella.
f) Las personas que montan en un ascensor y la velocidad a la que este asciende.
g) Las personas que levantan un objeto y la fuerza que debe hacer cada una de ellas.
h) La velocidad a la que se mueve un coche y la cantidad de combustible que consume.
8. Completa los siguientes cuadros de magnitudes inversamente proporcionales:
a)
b)
c)
Magnitud 1
8
Magnitud 2
5
10
Magnitud 1
12
24
Magnitud 2
10
16
20
2,4
30
7
Magnitud 1
Magnitud 2
4
15
3,5
2,5
0,5
30
7,5
9. Un proyecto de ayuda a países subdesarrollados se ha financiado gracias a la colaboración de 5.000 personas.
El promedio de la cantidad que ha aportado cada una de estas personas ha sido de 140 €.
a) Si hubiesen colaborado 7.500 personas, ¿cuánto dinero tendría que aportar cada una de promedio para
desarrollar el mismo proyecto?
b) Si el promedio de la aportación personal para el mismo proyecto fuese de 350 €,
¿cuántas personas habrían colaborado?
c) Representa todos los resultados en una tabla.
d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?
10. Varios amigos de Fouad le compran como regalo de cumpleaños una sudadera
que cuesta 30 €.
a) Si quieren participar en el regalo 5 amigos, ¿cuánto pagará cada uno de ellos?
b) Y si fuesen 6 amigos, ¿cuánto pagaría cada uno de ellos?
c) ¿Qué tipo de relación existe entre el número de amigos y el dinero que tiene
que poner cada uno de ellos?
d) En una situación similar, seis amigos de Cristina le compran un regalo de cumpleaños poniendo cada una de ellas 4 €. ¿Cuánto tendrían que poner si ese
mismo regalo lo hubiesen comprado entre 8 amigos?
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4. Porcentajes
Es muy habitual oír a nuestro alrededor expresiones como las siguientes:
Recuerda
En una fracción el denominador nos
indica las partes en las que dividimos
la unidad, y el numerador, las que
tomamos.
• Me compré una camisa que estaba rebajada un 15 %.
• La mejor audiencia de la noche del martes fue del 24,5 %.
• Hay que sumarle el 16 % de IVA.
• El riesgo de precipitaciones para el domingo es del 46 %.
Todas estas expresiones tienen algo en común: los porcentajes. Vamos
a conocer qué es un porcentaje y cómo se realizan cálculos elementales
con ellos.
4.1. ¿Qué es un porcentaje?
Un porcentaje es una fracción de denominador 100. Como recordarás,
en una fracción, el denominador nos señala las partes en las que dividimos y el numerador las partes que cogemos. En el caso de un porcentaje, el denominador siempre es 100, de manera que cuando hablamos,
por ejemplo, del 25 %, estamos refiriéndonos a 25 .
100
Además, hay que entender que con un porcentaje expresamos una proporción. Si decimos que en una clase ha aprobado el 75 % de los alumnos
no estamos diciendo que hay 100 alumnos de los cuales han aprobado
75, sino que esa es la proporción de aprobados: si hubiese 100 alumnos
habrían aprobado 75. Si por ejemplo estamos hablando de una clase de
24 alumnos, habrían aprobado 18 alumnos ya que:
18
75
=
100 24
4.2. Cálculo de porcentajes
Otras formas de calcular
porcentajes
Vamos a ver algunos ejemplos de
cómo se calculan porcentajes utilizando regla de tres o proporciones:
• Calcula el 20 % de 760:
20
100
x
760
20 . 760
x=
= 152
100
• Calcula el 15 % de 330:
15
x
100
330
15 . 330
x=
= 49,5
100
Los porcentajes, al ser fracciones, también pueden expresarse en forma
de número decimal. Para calcularlos bastará entonces con multiplicar la
cantidad total por el número decimal asociado al porcentaje.
Ejemplos: 45 % de 1.200 = 0,45 · 1.200 = 540
50 % de 32 = 0,5 · 32 = 16
3 % de 700 = 0,03 · 700 = 21
De la misma forma, si queremos calcular qué porcentaje supone una
determinada cantidad respecto de un total, bastará con dividir esa cantidad entre el total y luego multiplicar por 100.
57
Ejemplo: 57 alumnos de un total de 380:
= 0,15 ⇒ 0,15 · 100 = 15 %
380
4.3. Porcentajes encadenados
Los porcentajes encadenados aparecen cuando calculamos varios
porcentajes de manera sucesiva sobre una misma cantidad. Utilizando
los números decimales estos cálculos son muy sencillos.
Ejemplos: Calcula el 15 % del 40 % de 240: 0,15 · 0,4 · 240 = 14,4
Calcula el 5 % del 20 % de 1.350: 0,05 · 0,2 · 1.350 = 13,5
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4.4. Aumentos y disminuciones
Otra aplicación muy útil de los porcentajes son los aumentos y disminuciones porcentuales. Para calcularlos de una manera cómoda recurrimos de nuevo a los números decimales. Observa los siguientes
ejemplos:
• Un ordenador costaba 850 € y se le aplica una rebaja del 20 %.
¿Cuánto cuesta ahora?
Como se ha rebajado un 20 %, ahora debemos pagar el 80 % del precio original (100 – 20 = 80). Lo calculamos:
0,8 · 850 = 680 € es el nuevo precio del ordenador.
• El número de suspensos de una clase, que era 8, se ha incrementado
en un 25 %. ¿Cuántos suspensos hay ahora?
Si se ha incrementado un 25 %, los suspensos ahora son el 125 % de
los que había antes (100 + 25 = 125). Lo calculamos:
1,25 · 8 = 10 suspensos hay ahora.
4.5. Interés simple y compuesto
Cuando depositamos nuestro dinero en un banco, este nos paga a cambio un determinado porcentaje de ese dinero. De la misma forma,
cuando un banco nos presta dinero, debemos pagarle un porcentaje del
dinero que nos ha prestado. A ese porcentaje se le denomina interés.
Si el interés se calcula siempre respecto a la cantidad original, se denomina interés simple. Por ejemplo, si ingreso 1.000 € en una cuenta bancaria con un interés simple del 2 % anual (que se abona cada año), el
cálculo del dinero que me debe pagar el banco se hará siempre respecto a esos 1.000 €. De esta forma, cada año tendrán que abonarme
el 2 % de 1.000 €:
0,02 · 1.000 = 20 € debe pagarnos el banco cada año.
Si, por el contrario, el interés se calcula cada año respecto al dinero que
resulta al ir acumulando los intereses de otros años, se denomina interés compuesto. En el caso de los 1.000 €, si el interés es compuesto, la
situación sería:
• El primer año: mi dinero se incrementa un 2 %, es decir, es el 102 %
de lo que tenía. Lo calculamos:
1,02 · 1.000 = 1.020 €
• Segundo año: ahora calculamos el interés sobre los 1.020 € que
hemos acumulado al sumar los intereses del primer año. De esta
forma nuestro dinero será ahora el 102 % de 1.020 €:
1,02 · 1.020 = 1.040,40 €
De esta forma, cada año que pase debemos multiplicar de nuevo por
1,02 para obtener el dinero que vamos acumulando. Si consideramos,
por ejemplo, 10 años, tendríamos que multiplicar los 1.000 € iniciales por 1,02 diez veces, o lo que es lo mismo:
1,0210 · 1.000 = 1.218,99 €
De esta forma podemos calcular directamente el dinero que tendremos al cabo de cualquier número de años.
Interés compuesto
Podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular el interés compuesto:
Cf = Ci · (1 + r)n
Donde:
Cf es el denominado capital final,
que es el dinero que tendremos
transcurrido un determinado número
de años.
Ci es el capital inicial, es decir, el
dinero que inicialmente ingresamos.
r es el interés que nos abonan cada
año escrito en forma decimal.
n es el número de años que estamos
considerando.
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1. Escribe los siguientes porcentajes en forma de fracción con denominador 100 y simplifica dicha fracción siempre
que sea posible:
a) 25 %
b) 30 %
c) 12 %
d) 75 %
2. Completa las siguientes expresiones de forma que queden expresadas como fracciones de denominador 100
y por lo tanto como porcentajes.
a)
1
=
=
5 100
%
c)
2
=
=
25 100
%
e)
1
=
=
100
20
%
b)
3
=
=
5 100
%
d)
4
=
=
25 100
%
f)
3
=
=
100
20
%
3. Calcula los siguientes porcentajes:
a) El 10 % de 360
c) El 25 % de 48
e) El 5 % de 845
g) El 1,5 % de 70
b) El 80 % de 170
d) El 2 % de 600
f) El 32 % de 15
h) El 24,7 % de 471
4. Describe las siguientes situaciones utilizando porcentajes:
a) En una clase de 24 alumnos, 6 de ellos han suspendido Educación Física.
b) En una ciudad de 180.000 habitantes, 9.000 personas no reciclan correctamente la basura.
c) En un edificio de 60 viviendas, 15 están deshabitadas.
d) En una empresa en la que trabajan 2.600 empleados, 923 tienen menos de 35 años.
e) David ha sido el autor de 12 de los 50 goles que ha marcado su equipo de fútbol esta temporada.
f) Alicia ha gastado 26,65 € de los 130 que tenía ahorrados.
5. Daniel tiene 12 de los 20 CD que componen la discografía de su grupo favorito:
a) ¿Qué porcentaje suponen los discos que tiene?
b) ¿Qué porcentaje de discos le faltan para completar la discografía de ese grupo?
6. Rubén ha ganado el 75 % de los 12 partidos de ping-pong que ha jugado en un campeonato de su instituto.
¿Cuántos partidos ha perdido?
7. Calcula los siguientes porcentajes encadenados utilizando números decimales:
a) El 20 % del 50 % de 490
c) El 40 % del 2 % de 120
e) El 30 % del 80 % de 3.000
b) El 15 % del 10 % de 1.300
d) El 18 % del 4,5% de 900
f) El 80 % del 30 % de 3.000
8. Calcula el total de alumnos de cada una de las clases de 4.º de ESO de un instituto utilizando los siguientes datos:
a) En 4.º A hay 12 chicas que representan el 50 % del total de alumnos.
b) En 4.º B, 21 alumnos aprobaron el último examen de Matemáticas. Son el 75 % del total.
c) En 4.º C, 8 alumnos no participan en el viaje de fin de curso al que sí van el 60 % de la clase.
9. En una tienda de informática, el 40 % de los ordenadores que se vendieron el último mes eran portátiles.
De estos, el 15 % se ofertaban con una impresora de regalo. Sabiendo que en total se vendieron 250 ordenadores, ¿cuántas impresoras se regalaron ese mes?
10. Jesús ha conseguido incrementar su nota media en un 15 %. Si su nota media era 6,3, ¿cuál es su nota actual?
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11. En un concesionario de coches ofrecen un determinado modelo con una rebaja
del 10 %. El precio de ese automóvil es de 17.000 € + IVA.
a) Calcula primero el precio del coche sin rebaja cuando le sumamos el IVA (16 %).
b) Si a ese precio le aplicamos ahora la rebaja del 10 %, ¿cuánto cuesta finalmente el vehículo?
c) Repite el cálculo pero ahora aplica primero la rebaja y añade a ese precio rebajado el 16 % de IVA. ¿Ha influido el orden en el resultado?
12. Calcula el resultado de los siguientes aumentos y disminuciones:
a) El número de aprobados en Ámbito Científico-Tecnológico, que en la evaluación pasada fue de 8 alumnos, ha disminuido en un 25 %. ¿Cuántos alumnos
han aprobado esta evaluación?
b) En un folleto de publicidad, el precio de un ordenador es de 700 € + IVA.
¿Cuál es el precio real?
IVA: Impuesto sobre el
Valor Añadido
El IVA es un impuesto indirecto que
se aplica, salvo algunas excepciones,
siempre que se compra algún bien
o servicio.
Esto quiere decir que siempre que
alguien compra algo o contrata algún
servicio, hay que añadirle al precio
inicial un determinado porcentaje
que en España puede ser: 16 % (es
el tipo general), 7 % (la mayoría
de los alimentos, hostelería, transportes…) o 4 % (alimentos básicos
como el pan, la leche, fruta, etc.,
libros, material escolar…).
c) Una camisa que cuesta 20 € ahora se encuentra rebajada en un 20 %. ¿Cuál
es su precio actual?
d) A Patricia le suben el sueldo un 15 %. Si antes cobraba 1.200 €, ¿cuánto cobra
ahora?
13. Fran ha conseguido reducir en un 7 % el tiempo que empleaba en correr 100 m.
Sabiendo que antes tardaba 14,6 s:
a) ¿Cuál es su marca actual?
b) ¿En cuántos segundos ha logrado reducir su récord personal?
14. Lidia ingresa 200 € en una cuenta bancaria que le genera un interés simple del 2 %.
Completa la siguiente tabla calculando el dinero que tendrá al cabo de los años:
Tiempo
1 año
2 años
3 años
4 años
5 años
10 años
Dinero
15. Completa ahora la siguiente tabla suponiendo que las condiciones en las que Lidia
ingresa su dinero son de un 2 % de interés compuesto:
Tiempo
1 año
2 años
3 años
4 años
5 años
10 años
Dinero
16. Álvaro decide ingresar 560 € en un fondo de inversión que le proporciona un interés compuesto del 5,5 %.
a) ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de un año?
b) ¿Y cuando pasen 5 años?
17. Javier ingresa 200 € en una cuenta con un interés compuesto del 1,5 %. Cuatro años después, ingresa en la
misma cuenta 100 € más. Completa la siguiente tabla indicando el dinero que tiene en la cuenta cada año:
Tiempo
Dinero
1 año
2 años
3 años
4 años
5 años
10 años
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tecnologías
Y
5. Radicales
RADICAL
ÍNDICE
n
Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un
número a, el número que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos
que b es la raíz n-ésima de a siempre que bn = a:
n'
&a = b siempre que bn = a
a
Veamos varios ejemplos:
' = !3, ya que "+3#2 = 9 y "–3#2 = 9
&9 = &9
2'
3
3'
&–8 = –2, ya que "–2# = –8
RADICANDO
a
Partes de un radical.
5.1. Producto y división de radicales
A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes
expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice fraccionario:
1
n'
m
''
&a = a n y n&a
= an
1
m
1+5
5
17
' · &11
'
'5 = 11 3 · 11 2 = 11 3 2 = 11 6
Ejemplo: 3&11
5.2. Extracción de factores de un radical
Posibles resultados…
Siempre que podemos calcular una
raíz de índice par, obtenemos dos
soluciones, ya que el resultado
puede ser positivo o negativo. Por
otra parte, las raíces de índice par de
números negativos no tienen solución dentro de los números reales ya
que no existen números reales que
multiplicados por sí mismos un número par de veces den un resultado
negativo.
Esto no sucede con las raíces de
índice impar, ya que sí es posible
encontrar números reales que elevados a un exponente impar den resultados negativos.
Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una
raíz.
5
3+2
3
2
'2
'5 = 11 3 = 11 3 3 = 11 3 · 11 3 = 11 · 3&11
Ejemplo: 3&11
En resumen, cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una
raíz n-ésima, podemos sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz. Veamos algunos ejemplos:
4
'
'
Ejemplos: 3&5
= 5 3&5
&7
'9 = 7 5&7
'4
5
3 '
''
''
'
&2
· 5 = 2 · &2
·'
5 = 2 &10
&3
'10 = 3 · 3 · 4&3
'2 = 9 4&3
'2
4
5.3. Suma y resta de radicales
Para sumar y restar radicales seguimos los siguientes pasos:
a) Descomponemos en factores los radicandos.
b) Extraemos los factores que sea posible.
c) Sumamos o restamos solo los radicales que tengan el mismo índice
y el mismo radicando.
Observa los siguientes ejemplos:
2 '
' + 10 · 2&3
' = 3&3
' + 20&3
' = 23&3
'
' + 10&12
' = &3
''
• &27
'3 + 10&2
· 3 = 3&3
2 '
2 '
2 '
' + 3&20
' – 2&63
''
''
''
• &45
' = &3
· 5 + 3&2
· 5 – 2&3
· 7=
' + 3 · 2&5
' – 2 · 3&7
' = 3&5
' + 6&5
' – 6&7
' = 9&5
' – 6&7
'
= 3&5
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A C T I V I D A D E S
1. Calcula las siguientes raíces cuadradas:
a) &'
64
'0
d) &'
10'
.00
g) &'
256
j) &'
– 64
'
b) &'
1.600
e) &'
121
'
1
h) '
25
'
'
k) &'
810
.000
'
4
c) '
9
f) &'
–4
i) &''
–100
l)
''
j)
&
&
'
'
& 16
81
2. Calcula las siguientes raíces:
a) 3&'
27
d) 3&''
–216
b) 4&'
16
e)
c)
''
& 125
8
3
g)
''
32
& 243
5
& 625
16
4
h) 5&''
–243
'
f) 4&'
–81
i)
&'
–1
11
k) &'
1
&''
–216
l)
8
'
&0
6
3. Efectúa y simplifica:
&'4
a)
"& #
b)
3
3
6
'
32
'
&''
2&3
c)
'
&'3'
&4
d)
4
'
e) &''
3&8
4
'
&'5&'
64
f)
'
'#
"&'&5
4. Efectúa y simplifica:
2
a) 2&'
5 · "7&'5 #
b)
"& #
5
'
3
2
2
2
2
c) "4&'3 #
e) "2 + &'3 #
"& #
2
d) 1 '
5 x
2
2
f) "&'
5 – &'
2#
5. Resuelve las siguientes operaciones con radicales:
a) 3&'
52 · 11&'
53
2
4
5 · 5 ''
c) 3 '
4
5
e) 7 · 3&'
72
b) 3&'
35 : 4&'
33
d) 5&'
2 : 4&'
23
f) 4&'
117 : "3&''
112 #
&
&" #
4
g) "5&'
6 · &'
6#
5
h) ''
&3'
2:2
&
6. Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales:
a) &'
20 + &'
45
c) 5&'
54 – 10&'
600
e) 10&'
3 – 2&'
405 + 7&'
108
b) 2&'
28 – &'
175
d) 7 3&'
243 + 2 3&'
72
f) 11&'
50 – 2 &'
18 + 6&'
72
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matemáticas
24
ciencias de la naturaleza
tecnologías
Unidad 1
Y
6. Hardware y software
Hardware:
principales componentes
de un ordenador
3
4
2
5
6
La relación entre ordenadores y matemáticas ha sido siempre muy
estrecha. Las primeras computadoras, que se construyeron durante la
década de 1940, se utilizaban principalmente para realizar cálculos
matemáticos.
Hoy en día los ordenadores están presentes en casi todas nuestras
actividades y por supuesto siguen teniendo una gran utilidad a la hora
de resolver problemas matemáticos. Por ello vamos a aprender algo
sobre los elementos básicos que determinan el funcionamiento de un
ordenador.
1
6.1. Sistema operativo
7
11
8
9
10
Es el software que nos permite comunicarnos con nuestro ordenador.
Mediante el sistema operativo podemos, entre otras cosas, controlar
los recursos de nuestro ordenador (CPU, memoria, periféricos…),
crear, manejar y borrar archivos y carpetas y ejecutar y utilizar otros
programas.
Los sistemas operativos más habituales son Windows, Linux y MacOS.
En los tres casos podemos encontrar distintas versiones que continuamente van evolucionando y mejorando sus prestaciones.
1. Monitor
2. Placa base
3. Procesador
4. Puertos ATA
5. Memoria RAM
6. Ranuras de expansión
7. Fuente de alimentación
8. CD/DVD
9. Disco duro
10. Teclado
11. Ratón
6.2. Instalación de programas informáticos
El sistema operativo nos permite instalar y utilizar otros programas o
aplicaciones en nuestro ordenador. En algunos casos debemos adquirir
una licencia para poder utilizarlos legalmente (software de pago), y en
otros, sus autores permiten su uso gratuito (software gratuito).
La mayor parte de las aplicaciones que podemos instalar en nuestro
equipo cuentan con un denominado «asistente de instalación». Se trata
de un pequeño programa que nos ayuda a instalar correctamente la
aplicación indicándonos los pasos que debemos seguir e incluso analizando si nuestro equipo cumple los requisitos necesarios para que el
programa funcione correctamente una vez instalado. Generalmente,
para completar la instalación de un programa será necesario reiniciar
nuestro ordenador.
6.3. Mantenimiento básico del sistema
Software libre
El software libre es aquel que se
encuentra disponible para que cualquier usuario pueda utilizarlo,
copiarlo, modificarlo y distribuirlo.
Esto implica que el autor debe permitir el acceso al código fuente de
su programa, lo que le diferencia de
las compañías informáticas que no
elaboran software libre.
No hay que confundir software libre
con software gratuito. Aunque
muchas veces el software libre se
distribuye sin cobrar ningún precio,
no siempre es así.
Existen algunos conceptos que debemos conocer para mantener nuestro equipo en condiciones óptimas de funcionamiento:
• Actualizaciones: todos los sistemas operativos y muchas aplicaciones
informáticas son continuamente mejorados por sus autores. Hoy en
día es habitual que estos programas se actualicen de forma automática a través de la conexión a internet de nuestro equipo. En algunas
ocasiones es necesario activar esta posibilidad.
• Utilidades de disco: existen algunas herramientas que nos ayudan a
mantener nuestro disco duro bien organizado, lo que agiliza el funcionamiento de nuestro equipo. Las más importantes son las que nos
permiten desfragmentar nuestro disco duro y las que eliminan archivos temporales que ya no se utilizan.
• Antivirus y software de protección: son programas que defienden
nuestro ordenador del ataque de virus informáticos y otros programas
maliciosos como los denominados troyanos, gusanos, etc.
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
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A C T I V I D A D E S
1. Todos los personajes de la lista de la izquierda han tenido una relación importante con la historia de la informática. Busca la información necesaria y une mediante flechas cada uno de ellos con uno de los elementos de la
lista de la izquierda:
1. Tim Berners-Lee
a. Computadora Z3
2. Gary Kildall y Tim Paterson
b. World Wide Web (WWW)
3. Ada Lovelace
c. Primer lenguaje de programación
4. Konrad Zuse
d. Sistema operativo MS-DOS
2. Completa la tabla ordenando cronológicamente los siguientes sistemas operativos e indicando la fecha de su
aparición en cada caso. Para ello puedes consultar el siguiente enlace:
http://es.wikipedia.org/wiki/Cronolog%C3%ADa_de_los_Sistemas_Operativos
Apple DOS 3.1
MS-DOS
Windows Vista
Linux
OS/2
Windows XP
MacOS 7.6
Microsoft Windows 1.0
Windows 3.1
Unix
Sist. operativo
Fecha
1969
Sist. operativo
Fecha
2007
3. Busca información sobre los siguientes sistemas operativos y aplicaciones informáticas y completa la información
de la tabla, indicando para qué se utilizan y si son programas comerciales o software libre:
Aplicación informática
OpenOffice Writer
Comercial
Libre
X
Tipo de programa
Procesador de textos
Microsoft Messenger
Microsoft Word
Mozilla Firefox
Windows Vista
Adobe Photoshop
Linux
Pidgin
MacOS X
OpenOffice Calc
Microsoft Explorer
Gimp
Microsoft Excel
4. Busca información en internet y explica con tus propias palabras en qué consiste desfragmentar un disco duro y
cuál es su utilidad.
Y
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tecnologías
Unidad 1
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7. Redes informáticas
WAN
En la actualidad, la mayor parte de los ordenadores con los que trabajamos comparten recursos con alguna red informática. Los ordenadores del aula de Informática de tu instituto seguramente estarán
conectados entre sí formando una red. Además, la mayor parte de los
ordenadores cuentan ya con una conexión a internet, que no es sino
otro tipo de red.
Una red informática es un sistema de ordenadores conectados entre sí
de forma que puedan compartir recursos, ya sean de hardware (por
ejemplo, una impresora) o de software (archivos, aplicaciones…).
La conexión entre los ordenadores o dispositivos que conforman la red
puede establecerse con diversos medios. Los más habituales son: cable,
infrarrojos, WiFi y Bluetooth.
7.1. Tipos de red
LAN
Aunque hay numerosas formas de clasificar las redes, nosotros vamos a
estudiar los tipos de redes más habituales de acuerdo a su alcance:
LAN (Local Area Network): son redes de tamaño reducido, como la que
podemos encontrar en un aula de Informática o entre los equipos de
una casa particular. También sería una red de este tipo la que se establece entre todos los ordenadores de un edificio de oficinas o incluso
entre varios edificios.
MAN (Metropolitan Area Network) y WAN (Wide Area Network): son redes de
amplio alcance que se establecen en áreas geográficas bastante extensas permitiendo la comunicación entre ordenadores situados en una
misma ciudad (MAN) o en distintas ciudades (WAN).
Internet: es una enorme red informática formada por la conexión de
redes más pequeñas que conecta millones de ordenadores de todo
el mundo. Esta red pone a nuestra disposición numerosos servicios,
entre los que destacan la World Wide Web (WWW, un servicio de información basado en documentos que incluye elementos multimedia
como imágenes, animaciones, vídeos, etc.), el correo electrónico (email) y la mensajería instantánea con programas como Windows Live
Messenger, Google Talk, Yahoo Messenger, Pidgin (antiguo Gaim)...
7.2. Recursos compartidos en una red local
Recursos compartidos
En Windows los recursos compartidos de cada equipo muestran su
icono con una mano debajo que los
sujeta,
A la hora de compartir y utilizar recursos de una red local vamos a
encontrarnos con diferentes opciones de seguridad:
• Restricciones de acceso. El acceso puede estar limitado a una lista
determinada de usuarios o puede requerir una contraseña.
• Tipo de acceso. De solo lectura o que permita la modificación de
archivos y carpetas.
Siempre que compartas recursos de tu equipo en una red local tendrás
que elegir en qué condiciones lo vas a hacer. Los sistemas operativos
más habituales (Windows XP, Vista, MacOS o Linux) nos permiten establecer estas condiciones para cada uno de los recursos que compartimos (incluidos los recursos de hardware) simplemente modificando sus
propiedades.
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
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tecnologías
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A C T I V I D A D E S
1. Busca información sobre los distintos tipos de conexiones inalámbricas entre ordenadores y dispositivos (infrarrojos, WiFi y Bluetooth) y contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué significan las siglas WiFi?
b) ¿Cuál es el origen del término Bluetooth?
c) ¿Qué tipo de conexión tiene más alcance: WiFi o Bluetooth?
d) ¿Cuál de ellas requiere que los equipos tengan comunicación visual entre sí?
e) ¿Cuál es el método más utilizado para establecer conexiones en internet?
2. Dada la innumerable cantidad de recursos que nos ofrece internet, se hace imprescindible disponer de una
manera eficiente de buscar los documentos y la información que nos interesa. Para ello contamos con la ayuda
de los buscadores. Busca información sobre estas aplicaciones y contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es exactamente un buscador de internet?
b)
Cita el nombre de tres buscadores. ¿Cuál es el más utilizado actualmente?
c) Enumera alguno de los servicios que podemos encontrar en «búsqueda avanzada» de cualquier buscador.
3. Pregunta o investiga si el ordenador que usas en tu aula forma parte de una LAN. De ser así, realiza las siguientes
tareas:
a) Crea una carpeta en el disco duro de tu ordenador. Llámala Ejemplo 1.
b) Dentro de esta carpeta crea una subcarpeta y llámala
Ejemplo 2. Dentro de esta carpeta coloca un documento de texto cualquiera.
c) Utilizando las propiedades de la carpeta Ejemplo 1,
permite que otros usuarios de la red LAN puedan
acceder a ella pero no habilites la opción de modificar los archivos. Si el sistema operativo con el que
estás trabajando es Windows XP deberás acceder a
la ventana de Propiedades de la carpeta pulsando
con el botón derecho del ratón sobre ella. Dentro de
esta ventana encontrarás la casilla que habilita esta
opción en la pestaña de Compartir, dentro de las
opciones de Uso compartido y seguridad de red.
d) Si el sistema operativo que utilizas te lo permite, cambia el nombre con el que los demás usuarios verán la
carpeta Ejemplo 1. En Windows XP puedes cambiar
este nombre en la casilla Recurso compartido.
e) Con ayuda de un compañero situado en otro ordenador contesta las siguientes preguntas:
• ¿Tiene acceso tu compañero a la carpeta Ejemplo 1? ¿Con qué nombre aparece en su equipo?
• Y la carpeta Ejemplo 2, ¿puede acceder a ella desde su ordenador?
• ¿Puede abrir el documento de texto que has colocado dentro de la carpeta Ejemplo 2?
• ¿Puede tu compañero modificar este archivo desde su ordenador?
4. Utilizando las mismas opciones que has usado en la actividad 2, crea en tu disco duro una carpeta, denominada
Para compartir, dentro de la cual haya dos subcarpetas. La primera, llamada Solo lectura en la que los documentos que incluya no se puedan modificar en red. La segunda, llamada Para modificar, en la que se puedan
modificar los archivos que contenga.
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matemáticas
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Unidad 1
tecnologías
ACTIVIDADES FINALES
1. Efectúa los siguientes cálculos:
a) 7 · (–3) + 2 + 4 : (–2) + (–9)
e) (–72 : 12) – 3 + (–5) –1
b) 5 + (–5) · (–3) – [4 · (–6) + (8 + 9 : 32)]
f) 6 + 4 · (–2) + (16 : 22) + (–3)
c) [(4 · 7) : (–2)] – 10
g) [(5 · 2) : (8 : 4) ] · (–7) – (+2)
d) 15 : (–7 + 4) +3 – 16 : 22
h) 20 : (–5 + 3) · (–2)2 + (–1)
2. Realiza las siguientes operaciones:
a)
2
4 6
–
+
7 5
3
c) 1
b)
" –43 : 2# · –25
d)
2
1
5
+2
+
4
2
9
" 10–5 #
2
e)
6 15
1
+
·
8 3
–2
f)
" –37 #
–3
3. Resuelve las siguientes operaciones con potencias:
a) 28 · 2
c)
" # " #
b) 116 · 115
d)
" # " #
7
3
5
–
4
3
–2
3
5
·
–10
: –
e) "–13# 4 · "–13# 4
4
3
7
f)
" # " #
11
2
5
:
11
2
g)
–5
$" # " # %
5
12
3
·
'2 · 10&3
'
&3
5
14
b) 142 : &'
c)
'2
'
3 · 3 3
2
2
&
5
&" #
2
' : 6&5
'5 #
d) "11&5
e)
3
f)
3
'
'
&'
&'
52'
· 4&'
53
'2
1
2
:
g) 2&'
63 + 10&'
28
h) 7 3&'
80 – 2 3&'
270
&" # &'
1
2
i)
5&'
8 + 33&'
98 – 5&'
12
5. Expresa los siguientes números utilizando la notación científica:
a) La velocidad de la luz: 300.000.000 m/s.
b) La distancia media entre la Tierra y el Sol: 150.000.000.000 m.
c) Tamaño de una célula: 0,00002 m.
d) Los espectadores de un estadio de fútbol: 80.000 espectadores.
e) La edad aproximada del Sol: 4.500.000.000 años.
6. Utilizando la calculadora resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:
a) (2 . 103 ) . (4 . 107) =
b) (3 . 106) . (8 . 109) =
c) (7 . 107) . (6 . 103) =
d) (9 . 102) . (5 . 102) =
e) (6 . 104) . (6 . 108) =
7
h) $"–4# –1 : "–4# –11%
4. Resuelve las siguientes operaciones con raíces:
a)
5
12
8 2
Y
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
matemáticas
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tecnologías
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7. Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales:
a)
b)
Magnitud 1
45
Magnitud 2
9
27
12
Magnitud 1
8
2
9
Magnitud 2
90
22
15
11
16,5
8. Completa las siguientes tablas de magnitudes inversamente proporcionales:
a)
b)
Magnitud 1
3
Magnitud 2
20
Magnitud 1
2
Magnitud 2
6
12
2
10
35
60
4
7
52,5
9. Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las relaciones de las actividades 7 y 8.
10. Una bombilla encendida durante 4 horas consume 0,24 kWh de energía:
a) ¿Cuánto consumirá esa misma bombilla encendida durante seis horas?
b) Si sabemos que ha consumido 0,6 kWh, ¿cuánto tiempo ha estado encendida?
c) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Cuál es su significado?
11. Francisco compra habitualmente botes de champú con 500 mL de capacidad que le duran un mes y medio.
Si debido a una promoción compra un bote de champú que incluye un 15 % más gratis:
a) ¿Qué capacidad tiene el bote de champú de esa promoción?
b) ¿Cuánto le durará?
c) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Cuál es su significado?
12. Si para decorar el gimnasio de su instituto 15 alumnos han tardado 2 horas y media.
a) ¿Cuánto habrían tardado 20 alumnos?
b) ¿Cuántos alumnos tendrían que haber colaborado para decorar el gimnasio en tan solo 1 hora y media?
13. Halla los 3/5 del número 7.430 y escríbelo en notación científica.
14. Tengo que pagar una factura de 600 euros. Si me rebajan el 5%, ¿qué cantidad debo pagar?
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matemáticas
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CIENCIA RECREATIVA
«Ese trascendente pi»
Pero, ¿qué es pi? En la escuela aprendemos que la longitud de la curva más primitiva y regular que existe, la circunferencia, es la longitud de su diámetro
multiplicado por pi; o que la superficie de un terreno circular contiene
pi veces el cuadrado del radio.Y todo esto, ¿qué significa? Sencillamente, que si trazas una circunferencia con radio 1 m, el área limitada mide pi m2. Semejante y poco intuitivo número ha sido
conocido desde siempre, ya que la circunferencia interesó y ha
sido objeto de «persecución» a lo largo de los siglos. Y es que
pi, para ser tan común, goza de atributos muy particulares: es irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras
decimales no periódicas, o dicho de otro modo,
siempre será un desconocido; y además es trascendente, es decir, no es la solución de ninguna ecuación con fracciones.
Con la llegada de los ordenadores fue posible calcular un número anteriormente inimaginable de cifras
de pi.
William Shanks pasará a la historia como el más
perseverante calculador de cifras de pi. Pasó 20
años calculando sus primeros 707 decimales. Pero
en 1945, la computadora ENIAC descubrió que
había cometido un error en el dígito 528 y... en
todos los siguientes. En 1949, ENIAC invirtió 70
horas de procesamiento para calcular las primeras
2.000 cifras del número pi.
El siempre inteligentísimo y brillante Mr. Spock, de la serie futurista
Star Trek, consiguió salvar a la tripulación de la maldad de una diabólica computadora. Le ordenó que calculara el valor de pi, y como este es irracional, la computadora se quedó presa del proceso y... ellos escaparon.
Otro número trascendente
El número e es uno de los llamados números trascendentes, como pi, así que es
infinito, no periódico y no se puede expresar como la raíz de una fracción. Sus
primeras cifras son 2,718281...y se le puede encontrar en muchos fenómenos naturales.
Truco de magia
Si sabemos un poco de matemáticas, no nos costará hacer trucos de magia. Así
podéis pedir a un amigo que piense un número cualquiera, luego que lo multiplique por 2. A continuación, pedidle que sume 8 a ese resultado y luego que lo
divida entre 2; por último, que sume 6 al total y que diga el número que ha obtenido. Inmediatamente podrás decir a tu amigo el número que había pensado
al principio.
Esto no es magia, sino matemáticas.
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
matemáticas
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tecnologías
31
La hoja de cálculo
Las hojas de cálculo son herramientas informáticas que nos permiten realizar, entre
otras muchas cosas, operaciones aritméticas, estudios estadísticos y representaciones
gráficas.
Las más utilizadas son Excel, incluida en el paquete Office de Microsoft (programa de
pago), y Calc, que se incluye en la suite OpenOffice (de libre distribución). Ambas tienen características muy parecidas.
Conceptos básicos:
Los documentos en una hoja de cálculo reciben el nombre de libros ya que están formados por distintas hojas que nos permiten trabajar de forma ordenada. En cada hoja
disponemos de un gran número de celdas en las que podremos escribir números, operaciones, funciones, etc.
Las celdas reciben un nombre compuesto de un número (fila) y una letra (columna) de
forma que cada celda tiene un número distinto de las demás.
Las opciones de formato nos permiten unir varias celdas, establecer bordes, o no,
según nos interese, colorearlas, etc. Además, podemos establecer el tipo de información que va a contener la celda (números, texto, euros…) para que el programa se
adapte a las condiciones de formato.
Ejemplo:
El uso más elemental de una hoja de cálculo consiste en introducir datos en algunas
celdas y obtener el resultado de diversas operaciones con esos datos en otras celdas.
Observa el siguiente ejemplo en el que hemos empleado una hoja de cálculo para
hallar algunos porcentajes:
En las celdas de esta
columna hemos escrito
el número de alumnos
que hay en cada curso.
Para calcular el porcentaje
de alumnos de 1.º de ESO
hemos escrito la siguiente
operación en esta celda:
= (B4/B10)*100
Si copiamos el contenido de la
celda B10 y lo pegamos en
la C10, el programa ajusta
automáticamente los cálculos
para realizar la misma operación pero con los datos correspondientes a esta celda.
En esta celda hemos calculado la suma de las celdas superiores escribiendo:
B4 + B5 + B6 + B7 + B8 + B9
A CTIVIDADES
1. Pregunta en tu centro por los datos de alumnos matriculados en cada curso y utiliza una hoja de cálculo para calcular qué porcentaje de alumnos estudia en cada nivel educativo. Explora las opciones de formato que te permite tu programa y presenta correctamente el ejercicio, recuadrando y coloreando las
celdas que consideres oportuno.
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matemáticas
ciencias de la naturaleza
tecnologías
Unidad 1
Y
AULA DE INTERNET
Internet
Mensajería instantánea
Otro de los servicios que nos facilita
internet es el de enviar y recibir mensajes de forma instantánea.
Instalando en nuestro ordenador el
programa adecuado podremos intercambiar mensajes en tiempo real
con nuestros contactos, que son
otros usuarios del mismo programa
a los que hemos permitido comunicarse con nosotros (agregados).
Las aplicaciones de mensajería instantánea nos permiten añadir sonido
o imágenes captadas por una cámara
web a nuestras conversaciones, además de poder compartir fotos y otros
archivos con nuestros contactos.
Los servicios de mensajería instantánea más habituales son: Windows
Live Messenger, Yahoo Messenger,
ICQ y Google Talk.
Internet es una enorme red informática compuesta por la conexión de redes
más pequeñas que conectan a millones de ordenadores de todo el mundo. La
utilidad de esta red se basa en los numerosos servicios que en ella encontramos. Su origen se remonta al año 1969, cuando se creó ARPANET al conectar
los ordenadores de tres universidades estadounidenses, pero no fue hasta la
década de 1990 cuando comenzó a convertirse en algo habitual en muchos
hogares.
Recursos en internet
De los numerosos recursos que internet pone a nuestra disposición destacan:
• World Wide Web (WWW): es un servicio de información basado en documentos que incluyen elementos multimedia como imágenes, animaciones, vídeos, etc. Estos documentos utilizan un lenguaje de programación
denominado HTML.
Para acceder a estos documentos el usuario debe utilizar un navegador, que
es un programa que le permitirá acceder a todos los datos y servicios de internet. Los más habituales son: Microsoft Explorer, Mozilla Firefox, Netscape Navigator y Safari.
• Buscadores: además de un navegador, para poder gestionar la cantidad de
información tan abrumadora que encontramos en internet, resulta casi imprescindible la utilización de una aplicación denominada buscador.
Son aplicaciones que buscan y seleccionan páginas web cuyos contenidos
se relacionan con una o varias palabras que introducimos como criterio de
búsqueda. Aunque son muy numerosos, algunos de los más utilizados son
Google, Windows Live y Yahoo.
Estos programas no se instalan en nuestro equipo; se accede a ellos mediante internet. Suelen ofrecer numerosas opciones de búsqueda que nos
permiten, por ejemplo, buscar imágenes o vídeos en lugar de páginas
web.
La mensajería instantánea es uno de
los servicios más utilizados hoy en
día en internet.
• Correo electrónico: también denominado email, nos permite enviar y recibir mensajes en los que además de texto podemos incluir imágenes, sonidos o cualquier otro tipo de archivo.
Existen dos modalidades:
– Correo POP: requiere un programa de gestión de correo para enviar y
recibir mensajes. Los proveedores más habituales son las compañías que
facilitan el acceso a internet (Telefónica, Orange, Jazztel…).
– Correo web: se maneja desde una página web y permite acceder a todos tus mensajes desde cualquier ordenador ya que no se descargan en
tu equipo cuando los lees sino que permanecen en el servidor. Esto hace
que este sistema sea más seguro (es más difícil que se instale un virus)
pero algo más lento. Los distribuidores más habituales son Hotmail,
Google y Yahoo.
• Comunidades y aulas virtuales, foros, blogs y wikis: son las principales
formas de compartir conocimientos e intereses en internet.
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
matemáticas
ciencias de la naturaleza
tecnologías
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ACTIVIDADES
1. Completa la siguiente tabla con la dirección de los sitios indicados en la columna de la izquierda:
Sitio web
Dirección
Un buscador
Una página en la que puedas abrirte una cuenta de correo
web
Una página en la que puedas encontrar curiosidades
matemáticas
Una página sobre actualidad científica
Página de recursos educativos de la Comunidad de Madrid
Página de acceso al Proyecto Descartes, del Ministerio de
Educación y Ciencia
Una página para consultar la agenda cultural de tu ciudad
(cines, teatros, etc.)
Un periódico
La página de tu instituto
2. La mayoría de los buscadores nos permiten emplear distintos modos de
búsqueda, tal y como está explicado en el cuadro del margen. Utilízalos
para realizar las siguientes actividades:
a) Encuentra alguna página web con información sobre las cifras decimales
del número pi.
b) Busca ahora una página web en la que aparezca exactamente la frase:
«cifras decimales del número pi» y que esté ubicada en un servidor español.
(Para ello puedes utilizar, por ejemplo, las opciones que encontrarás en
búsqueda avanzada del buscador Google).
c) Encuentra una imagen del «Hombre de Vitruvio» de Leonardo Da Vinci.
d) Busca ahora una imagen de esa misma obra pero asegúrate de que la imagen tiene al menos un tamaño de 800 x 1.200 y está en formato .jpg.
(Puedes utilizar la opción de Imágenes en el buscador Google. En él
encontrarás un menú que te permite filtrar los resultados en función de
su tamaño y del tipo de archivo, entre otras propiedades).
Otras formas de buscar
A parte de buscar simplemente páginas relacionadas con las palabras
que introducimos, un buscador nos
permite, entre otras cosas:
• Búsqueda de imágenes: nos da la
posibilidad de buscar directamente
una imagen relacionada con la
palabra o las palabras clave que
introducimos. Puedes encontrar
opciones para filtrar los resultados
y obtener solo imágenes de mayor
o menor tamaño, las de un determinado formato de archivo, etc.
• Búsqueda avanzada: nos ofrecen
numerosas opciones que incrementan la posibilidad de que nuestra
búsqueda se ajuste exactamente a
lo que queremos.
3. Introduce en tu buscador las siguientes palabras: la maravillosa historia de
los números. ¿Cuántos resultados obtienes? Repite la búsqueda pero ahora
introduce la frase anterior entrecomillada: «la maravillosa historia de los números», ¿cuántos resultados aparecen ahora? Justifica la diferencia entre ambas situaciones.
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matemáticas
ciencias de la naturaleza
Unidad 1
tecnologías
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INVESTIGACIÓN DIGITAL
RECURSOS
Entra en estas direcciones para resolver el reto:
Pitágoras
• es.wikipedia.org/wiki/Pitágoras
El reto
• http://es.wikipedia.org/wiki/
Teorema_de_Pit%C3%A1goras
En este reto vamos a conocer a un hombre conocido por un importante teorema. Hablamos de Pitágoras.
• http://roble.pntic.mec.es/
jarran2/cabriweb/1triangulos/
teoremapitagoras.htm
Manos a la obra
1. Averigua los datos más relevantes de Pitágoras ayudándote de las direcciones de internet que te recomendamos.
a) ¿En qué lugar nació Pitágoras?
b) ¿En qué año nació? ¿Y cuándo murió?
c) ¿Dónde estudió en su juventud?
2. Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Era muy instruido y le gustaba la
música y la poesía. ¿Sabes qué instrumento tocaba?
3. Para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el
que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. La santidad predicada por
Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas.
a) ¿Por qué prohibió consumir animales?
b) Sus discípulos lo consideraban la encarnación de un Dios. ¿De qué Dios?
c) ¿Con qué nombre se conoció a su escuela de pensamiento?
4. ¿Cómo interpretaba Pitágoras el mundo y el Universo? ¿Cómo pensaban los
pitagóricos que era la Tierra?
a Pitágoras.
5. ¿Qué es una terna pitagórica? ¿Qué son números amigables? ¿Y los números perfectos?
6. Los pitagóricos tuvieron mucho poder hasta el siglo V en el que fueron perseguidos. ¿En qué dos ramas se dividieron?
7. Escribe en tu cuaderno el teorema de Pitágoras.
8. Realiza un pequeño trabajo en Power Point explicando la importancia de las
aportaciones de Pitágoras a la ciencia.
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Números reales y proporcionalidad. Informática básica
matemáticas
ciencias de la naturaleza
tecnologías
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AUTOEVALUACIÓN
1. Resuelve la siguiente operación: 8 + (2 – 7) · 3 – 1 · 4
a) 5
b) 32
c) –11
2. Resuelve la siguiente operación: 2 –
a)
11
6
b) –
11
6
c)
d) 13
"
2
1
1
·
+
3
5
6
#
5
6
d) –
5
6
3. Resuelve: [(–2)5 · (–2)–3 ]10
a) (–2)–80
b) (–2)–20
c) (–2)80
d) (–2)20
4. Escribe 0,0067 utilizando la notación científica:
a)
67 ·10–3 b) 67 ·10–2
c) 6,7 ·10–2
d) 6,7 ·10–3
5. Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes 1 y 2 son directamente proporcionales
a) 8
Magnitud 1
4
Magnitud 2
14
b) 6
21
c) 2
d) 12
6. Para almacenar la producción de un día en una fábrica de conservas necesitan 3.000 botes de 250 mL de capacidad. ¿Cuántos botes de 150 mL necesitarán para almacenar esa misma producción?
a) 5.000
b) 4.000
c) 3.000
d) 1.800
7. María José dedica el 20 % de su tiempo de estudio a estudiar Lengua. Sabiendo que ha estudiado Lengua durante
media hora, ¿cuánto tiempo ha estado estudiando?
a) Una hora
b) Una hora y media
c) Dos horas
d) Dos horas y media
8. La audiencia de un programa de televisión, que era de 1.600.000 espectadores, ha bajado durante el último mes
un 12 %. ¿Cuántos espectadores han visto el programa este mes?
a) 1.408.000
b) 192.000
c) 1.792.000
d) 1.568.000
' – 3&80
' + &20
'
9. Resuelve la siguiente operación con radicales: &500
'
a) 3&5
'
b) 12&5
'
c) 5&5
'
d) 10&5
10. ¿Qué ganancia producirán en un año 7.000 euros invertidos al 6%?
a) 472,35 euros
b) 452,88 euros
c) 462,24 euros
Y