Matemáticas y Juegos de Azar

El autor de este libro es profesor de matemáticas y estadística de la Universidad de
Sussex. Su interés por la probabilidad nació a raíz de algunos juegos de naipes, y
desde entonces ha realizado diversos estudios sobre loterías, cartas y dados.
Miembro de la Royal Statistical Society, Haigh actúa como portavoz en asuntos de
probabilidad, temas combinatorios y loterías. Es autor también de Probability
Models, que acaba de aparecer en Estados Unidos
Como ocurre con la gran mayoría de matemáticos, su interés por la ruleta y sus
sistemas de apuestas es casi nulo, el autor se entretiene muchísimo en temas
relacionados con las apuestas deportivas, las quinielas y loterías, lo poco que hay
sobre la ruleta es lo que escribiré en este archivo de Word.
La perspectiva de este juego de la ruleta para los matemáticos es siempre negativa,
pero en esta serie de archivos que estoy transcribiendo, no solo es bueno ver la parte
positiva o esperanzadora, no está de más que también escuchemos la opinión de los
matemáticos profesionales, para después poder seguir opinando lo que nos venga en
gana.
Dado que ya comenté que no era mucho lo que el autor dedicaba a la ruleta,
complementaré la opinión de este autor con otros autores y libros sobre
probabilidades y juegos, también publicados por expertos en matemáticas y
probabilidades, entre ellos, Martín Gardner, un autor bastante conocido por sus
muchos libros de entretenimientos matemáticos.
Como suele ser inevitable, uno no puede resistir a veces la tentación de opinar o
añadir algún comentario que ofrece el autor del libro, por ello, en la siguiente
colección de archivos de Word sobre ruleta, todo lo que yo añada como opinión o
comentario personal estará escrito en letra azul, mientras que el texto original del
libro se mantendrá en negro.
Espero que la colección de textos que les voy a ofrecer les guste y entretenga.
Atentamente:
Namor.
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Este tercer volumen de Word corresponde al siguiente libro:
MATEMÁTICAS Y JUEGOS DE AZAR
John Haigh
Título original: Taking chances. Winning with probability
Edita: Tusquets Editores, S.A.
¿Qué es la probabilidad?
Sea lo que sea, no es algo que se pueda ignorar. Un seguro de vida, de vivienda o de
automóvil dependen de una probabilidad que los asegurados tendrán que asumir, y
pagar. ¿Tiene usted que vacunarse contra la gripe este invierno? Deberá empezar
contraponiendo el riesgo de efectos secundarios o de una posible reacción a las
consecuencias derivadas de no vacunarse. Los miembros de un jurado sólo pueden
condenar a un acusado cuando “no hay ninguna duda razonable” de su culpabilidad.
En el sistema judicial, uno de los criterios más adecuados puede basarse en un
“balance de probabilidades”. Una persona decide comprar, o no, participaciones de
lotería por un impulso o por diversión, pero también pueden entrar en juego factores
como creer, aunque sea vagamente, en la posibilidad de ganar una suma considerable.
En los juegos de naipes, como el póquer o el bridge, se espera jugar mejor si se logra
tener una idea realista de la posibilidad de que otro jugador tenga una determinada
mano de cartas. Muchos problemas de decisión, ya sean serios o frívolos, pueden
afrontarse en mejores condiciones si se comprende el concepto de probabilidad. En
mi opinión, siempre es preferible conocer que ignorar, y una buena manera de llegar
a conocer la probabilidad consiste en familiarizarse con una serie de juegos en los
que ésta desempeña un papel relevante. El objetivo de este libro es proporcionar
formas de evaluar y, en ocasiones, incrementar la probabilidad de éxito.
Ser un experto en probabilidad puede no bastar para tomar decisiones acertadas. A
veces, lo único que se consigue saber es en qué nos hemos equivocado. No obstante,
por término medio, tanto en el juego como en la vida real, el proceso de toma de
decisiones mejora si somos capaces de evaluar la probabilidad de los distintos
resultados posibles. Este libro no es un tratado sobre la teoría de la probabilidad, sino
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un conjunto de planteamientos en cuya resolución intervienen argumentos
probabilísticos.
Las lenguas poseen una capacidad considerable de decir la misma cosa de distintas
formas. Después de mezclar bien las cartas de una baraja y escoger la primera, por
ejemplo, se puede afirmar “La probabilidad de que sea una pica es un cuarto”.
Las siguientes frases tienen exactamente el mismo significado que la anterior:
La probabilidad de que no sea una pica es de tres a uno.
Es tres veces más probable que salga una carta que no sea una pica.
Existen formas más elípticas de decir lo mismo: se puede recurrir a las palabras
“riesgo” o “posibilidad”, pero al margen de su formulación, ¿qué significa esa
premisa? ¿Qué nos induce a hablar de un cuarto y no de cualquier otro valor?
Sólo en un modelo ideal se puede afirmar que la probabilidad es “un cuarto”. Mi
modelo ideal es una baraja de 52 cartas de composición idéntica, 13 de ellas picas, y
tal que todas las combinaciones posibles que se pueden dar después de barajar las
cartas son igualmente probables. Si se cumpliesen estas condiciones, entonces la
primera carta sería una pica en una de cada cuatro de esas combinaciones igualmente
probables, lo cual explica la elección de “un cuarto”. Me consta que mi modelo no
puede ser exactamente correcto a todos los efectos, pero espero que se acerque lo
suficiente a la realidad como para no dar una respuesta equivocada. Tampoco se
necesitó un modelo perfecto del mundo físico para depositar vehículos espaciales
sobre las superficies de la Luna y Marte.
El experimento con las cartas puede repetirse tantas veces como se quiera. En este
caso, se puede comprobar la validez de una afirmación acerca de la probabilidad
recurriendo a un gran número de experimentos del mismo tipo. Si la probabilidad de
un suceso es un cuarto, entonces es de esperar que se produzca, por término medio,
una vez de cada cuatro. De hecho, eso no significa que tiene que producirse
exactamente una vez en cada bloque de cuatro repeticiones: puede ocurrir varias
veces seguidas y puede que no se produzca en una docena de experimentos. El
problema de este enfoque reside en saber qué entendemos por término medio y gran
número. ¿Bastan 100 experimentos? ¿Tal vez 10.000? Desgraciadamente, no hay
forma de saber hasta qué punto es grande un gran número.
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También se suele hablar de probabilidad cuando nos referimos a acontecimientos
únicos, irrepetibles, como el hecho de que el índice bursátil aumente por lo menos un
10% en el próximo año o que Brasil gane el próximo campeonato mundial de fútbol.
La idea de una frecuencia media a largo plazo carece de importancia cuando es
imposible reconstruir las circunstancias reales. Tampoco estamos limitados a
ocuparnos del futuro: una afirmación del tipo “La probabilidad de que Shakespeare
escribiese Macbeth es del 80%” tiene sentido, pues expresa la opinión de un
especialista.
Considerar la “probabilidad” como un nivel de certeza permite reconciliar ambos
enfoques. Cuanto mayor sea el nivel de certeza de un acontecimiento, mayor será la
probabilidad que se le asocia. Si deseo evaluar mi nivel de certeza de que el índice
bursátil aumentará cierta cantidad, puedo preguntar a un experto en bolsa. Tal vez me
diga que puedo apostar dos a uno, es decir, que si apuesto una libra y gano, recibiré
tres libras (la libra que he apostado y otras dos que habré ganado). Mi reacción a su
oferta me da una idea de la probabilidad que puedo asignar al acontecimiento en
cuestión. Si tengo la impresión de que apostar en esas condiciones es favorable, estoy
asignando una probabilidad superior a un tercio. Si, en cambio, considero que no es
una buena apuesta, entonces mi nivel de certeza es inferior a un tercio. Todo el
mundo puede hacer este tipo de consideraciones, pero es fácil que las opiniones
difieran. La probabilidad es algo muy personal. En el ejemplo de la pica es una baraja
de cartas, posiblemente coincidamos en evaluar nuestras probabilidades en un cuarto,
porque los modelos de nuestro experimento son prácticamente idénticos. En otras
circunstancias, especialmente cuando disponemos de informaciones muy distintas, la
evaluación de la probabilidad puede variar enormemente. El propietario de un caballo
de carreras tendrá una opinión de las posibilidades de su caballo muy distinta a la de
un lector de periódicos o a la del simple aficionado a las carreras de caballos.
En los ejemplos en los que intervienen los dados, monedas, cartas, etc., se da un
consenso generalizado en cuanto al modelo adecuado y, por tanto, el desacuerdo en
las probabilidades es mucho menor. La gente puede tener razones muy distintas para
creer que la rueda de una ruleta determinada funciona adecuadamente, pero todos
aquellos que coincidan en considerar que sus 37 números son igualmente probables
utilizarán el mismo modelo para analizar las posibles apuestas. A lo largo de este
libro, mantendremos esta posición en lo esencial. Sin embargo, en algunos casos, los
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expertos pueden manifestar opiniones diferentes. Descubrir si estas diferencias tienen
grandes repercusiones en las decisiones que tomamos o las conclusiones que sacamos
es una parte crucial de cualquier análisis.
Reflexionar con lógica.
Debemos al erudito victoriano Francis Galton un magnífico ejemplo de los peligros
de no reflexionar cuidadosamente. Si se lanzan tres monedas iguales al aire, ¿cuál es
la probabilidad de obtener tres caras o tres cruces? Consideremos un razonamiento
carente de sentido como el siguiente:
Por lo menos dos de las tres monedas han de dar el mismo resultado, ya sea dos caras
o dos cruces. La tercera moneda tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz, con
lo cual la mitad de las veces saldrá como las otras dos y la otra mitad saldrá distinta.
Por consiguiente, la probabilidad de que las tres sean iguales es de la mitad.
Para detectar el error de este razonamiento, se requiere un enfoque lógico. Una forma
consiste en colorear las monedas de rojo, azul y verde, y hacer un listado de todos los
resultados posibles lanzando las monedas en ese orden. Al distinguir las monedas, se
evita el error que Galton nos presenta de forma provocadora. Los ocho posibles
resultados son {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, + + +}, de los que sólo dos
son iguales. Por tanto, la respuesta es muy distinta. La probabilidad de que las tres
monedas caigan del mismo lado es de dos de ocho o, lo que es lo mismo, un cuarto.
El error en este razonamiento se encuentra en la expresión “la tercera moneda”, al
comienzo de la segunda frase. Si no estamos distinguiendo las monedas entre sí,
¿cómo podemos saber cuál de ellas es la tercera? Si en dos de las monedas han salido
cara, entonces está claro que la otra es la tercera, pero también se deduce que en esa
moneda ha salido cruz; no es cierto, por tanto, que tenga “la misma probabilidad de
salir cara o cruz”. Y si las tres monedas salen cara, cualquiera de ellas a la que se
considere la tercera tendrá que haber salido cara. Por tanto, la probabilidad de salir
cara o cruz no es exactamente la misma.
Este tipo de pensamiento poco lógico puede costar dinero. Supongamos que Andrés
considera que la probabilidad es de un cuarto y que está dispuesto (siendo muy poco
generoso) a pagar la apuesta a dos a uno si las tres monedas salen cara o cruz. Espera
ganar dinero en la operación. Si apuesta una libra, supone que ganará en tres de cada
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cuatro juegos y perderá dos libras en el juego restante. Por término medio, obtendrá
un beneficio de una libra después de cuatro juegos. En cambio, Bernardo, que se cree
el falaz argumento anterior, aceptará gustosamente la apuesta. Creerá que la mitad de
las veces perderá una libra, pero que ganará dos libras las veces restantes y que, por
tanto, obtendrá un beneficio. Ambos están dispuestos a jugar de buen grado, pero el
análisis de Bernardo es erróneo. Cuanto más juegue, más perderá y, tarde o temprano,
deberá reconsiderar la situación.
La regla inviolable.
En el vocabulario de la probabilidad aparecen palabras y expresiones como
“posible”, “probable”, “con casi toda seguridad”, etc., pero lo que se entiende por
“muy probable” puede variar de un día a otro, y puede diferir de lo que pueda pensar
otra persona. Para entendernos, usaremos los números.
Las probabilidades se miden en una escala del cero al uno. Las palabras “imposible”
y “probabilidad nula” significan lo mismo. Por mi parte, asigno probabilidad nula a
un viaje atrás en el tiempo hasta la época de Mozart, pero cada uno puede tener su
opinión. Por otra parte, “probabilidad uno” equivale a “seguridad”. Considero que es
seguro que Elvis Presley está muerto. Tal vez haya quien esté dispuesto a apostar que
resucitará dentro de diez años (seguramente haciendo esquí náutico en el lago Ness,
perseguido por el monstruo). Sean cuales sean las opiniones de cada cual sobre los
acontecimientos reales o hipotéticos, carece de sentido hablar de probabilidad fuera
del intervalo entre cero y uno. Es una regla inviolable.
Sin embargo, debo confesar que algo me ha incomodado en todo esto. En mi primera
época de profesor universitario, propuse en un examen una pregunta “inteligente”
sobre la relación entre dos probabilidades. Se podía resolver con facilidad, y las
respuestas parecían sensatas. Desgraciadamente, una consecuencia de mi solución era
que ¡otras dos probabilidades violaban esa regla! La situación se aclaró gracias a la
intervención de un colega con más experiencia que yo, que consiguió que la pregunta
no saliera de su despacho.
Las probabilidades se pueden expresar en forma de cocientes, fracciones, decimales o
porcentajes comprendidos entre 0% y 100%. Depende de cada cual. Las fracciones
aparecen de forma natural si todos los resultados son igualmente probables, como
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ocurre cuando se lanza un dado o en los juegos de cartas o al hacer girar una ruleta.
En esos casos, los cálculos suelen ser más fáciles si se representan las probabilidades
en forma de fracciones; en general, es poco conveniente, en una primera fase,
transformar las probabilidades en decimales. Si se desea comparar diversas
probabilidades, se pueden utilizar tanto los porcentajes como los decimales o las
fracciones con un denominador común.
Algunos métodos de trabajo.
Conviene tener siempre presente dos ideas básicas. La primera se refiere a los
llamados sucesos excluyentes: si es imposible que dos cosas sucedan al mismo
tiempo, entonces son excluyentes. Por ejemplo, si se extrae una carta de una baraja,
se puede sacar un corazón o un diamante, pero no ambas cosas al mismo tiempo: los
sucesos son excluyentes. Puede ser un trébol o un rey: no son excluyentes, pues
puede tratarse del rey de tréboles. Cuando los sucesos son excluyentes, para obtener
la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos basta con sumar las
probabilidades individuales. Si la probabilidad de que salga un corazón es un cuarto y
la de un diamante es un cuarto, entonces la probabilidad de que salga una carta roja es
un medio.
La otra idea básica es la de independencia. Dos sucesos son independientes cuando el
conocimiento de que uno se produzca o no se produzca no influye sobre la
probabilidad del otro. Por ejemplo, si lanzo al aire una moneda mientras usted lanza
otra, los posibles resultados pueden considerarse independientes. Pero si extraigo una
carta de una baraja y usted saca una carta de las restantes, los resultados no serán
independientes. Por ejemplo, saber que mi carta es un as reduce la proporción de ases
de la baraja y, por tanto, afecta a la probabilidad de sacar un segundo as.
Normalmente, resulta evidente cuándo dos sucesos pueden considerarse
independientes. Según la definición más habitual, cuando dos sucesos son
independientes, la probabilidad de que se produzcan ambos es el producto de sus
probabilidades individuales.
La probabilidad de sacar un seis en el lanzamiento de un dado es 1/6. Si a
continuación hacemos otro lanzamiento independiente, la probabilidad de sacar dos
seises es (1/6) x (1/6) = 1/36. Supongamos que cada tres años algún petrolero vierte
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al mar una cantidad considerable de petróleo y que cada cuatro años un determinado
equipo gana la copa de fútbol. Es difícil pensar que ambos sucesos interfieran entre
sí, por lo que parece razonable pensar que son independientes entre sí. Por tanto, para
un año cualquiera, la probabilidad de que se produzca un vertido y que aquel equipo
concreto gane la copa es (1/3) x (1/4) = 1/12.
A veces, puede parecer sorprendente que algunos sucesos sean independientes.
Consideremos los dos sucesos siguientes, en los que interviene un dado corriente.
Obtener un número par, es decir, 2, 4 o 6.
Obtener un múltiplo de tres, es decir, 3 o 6.
Los sucesos son independientes, ¡incluso en la misma tirada! Por tanto, el hecho de
que el resultado sea un número par no influye en la probabilidad de que sea un
múltiplo de tres, o viceversa. Cada una de las seis caras distintas del dado tiene una
probabilidad de 1/6 y, dado que hay tres números pares, la probabilidad total de que
salga un número par (sumando las tres probabilidades individuales) es 3/6 = 1/2. Del
mismo modo, la probabilidad de que salga un múltiplo de tres es 2/6 = 1/3. Al
multiplicar ambas probabilidades se obtiene 1/6. Pero la única manera de que se
produzcan ambos sucesos es que salga un seis, cuya probabilidad también es 1/6. Por
tanto, los sucesos son independientes, ya que la probabilidad de que se produzcan
ambos es igual al producto de ambas probabilidades.
Consideremos ahora un dado que no sea de seis caras, por ejemplo un tetraedro,
cuyos cuatro lados, designados por {1, 2, 3, 4}, tengan la misma probabilidad de
salir. En este caso, los dos sucesos no son independientes. Si el resultado es un
número par, entonces es imposible que sea también un múltiplo de tres (y viceversa).
Formalmente, si se utiliza la definición de independencia anterior, la probabilidad de
que salga un número par sigue siendo 1/2 (dos números pares de los cuatro posibles),
pero la probabilidad de obtener un múltiplo de tres pasa a ser ¼, ya que sólo uno de
los cuatro posibles resultados es múltiplo de tres. Al multiplicar ambas
probabilidades se obtiene (1/2) x (1/4) = 1/8. Pero en este dado no es posible que el
resultado sea a la vez par y múltiplo de tres, ya que el dado no tiene ningún múltiplo
de seis. Por tanto, la probabilidad de que se produzcan ambos es cero y no 1/8.
Si utilizamos un dado en forma de diamante de ocho caras, ¡los dos sucesos vuelven a
ser independientes! En esta ocasión, los números pares aparecen una de cada dos
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veces, y los múltiplos de tres una vez de cada cuatro. Para obtener al mismo tiempo
un número par y un múltiplo de tres, se necesita un múltiplo de seis. En este dado de
ocho caras, sólo hay un múltiplo de seis, el propio seis, por lo cual la probabilidad de
que salga un múltiplo de seis es 1/8. Y dado que (1/2) x (1/4) = 1/8, los sucesos son
independientes, de acuerdo con la definición que hemos adoptado.
En este dado octaédrico, si el resultado es un múltiplo de tres, ello significa que sólo
puede haber salido el tres o el seis. Así, el resultado será un número par, seis, la mitad
de las veces. La probabilidad de obtener un número par es un medio, al margen de
que el resultado sea un múltiplo de tres. Igualmente, si se nos dice que el resultado es
un número par, entonces hay cuatro posibilidades {2, 4, 6, 8}, entre las que sólo se
encuentra un múltiplo de tres. Así pues, que el resultado sea un número par no influye
en la probabilidad de que salga un múltiplo de tres; ésta es 1/4, con o sin dicha
información.
En estos ejemplos se han considerado dos sucesos (obtener un número par y obtener
un múltiplo de tres) que pueden ser o no independientes en función del número de
caras del dado. Cuando se trabaja con probabilidades, es necesario especificar el
modelo en su totalidad. Para decidir intuitivamente si dos sucesos son independientes,
hay que plantearse la siguiente pregunta: si se sabe con certeza que uno de ellos ha
ocurrido, ¿modifica esta situación la probabilidad de que se produzca el otro? Si la
respuesta es negativa, entonces los sucesos son independientes.
Grandes números.
Aunque he afirmado que la probabilidad sólo expresa el grado de certeza que uno
puede tener sobre algo, es útil saber qué puede suceder cuando el número de
repeticiones es muy grande. Veamos el caso del lanzamiento de una moneda: la
probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2, pero ¿qué cabe esperar
cuando se lanza la moneda miles o millones de veces? ¿Se acercará la proporción de
caras a un medio? En principio, la respuesta es afirmativa, pero vale la pena
plantearse el caso con más detenimiento.
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Esperar que en un millón de lanzamientos se produzcan 500.000 caras y 500.000
cruces parece poco razonable. Todo cambia, sin embargo, cuando hablamos más bien
de un porcentaje fijo alrededor del valor central. Supongamos que queremos que el
número de caras esté comprendido entre el 49% y el 51% del total. En un
experimento consistente en 100 lanzamientos, se trata, por tanto, de que salgan 49, 50
o 51 caras. Si se repite este experimento un gran número de veces, se obtendrá que la
proporción de caras se sitúa en ese intervalo estrecho alrededor del 24% de las veces.
Vamos a aumentar el tamaño del experimento hasta 1.000 lanzamientos. Se trata
ahora de que salgan entre 490 y 510 caras, lo cual sucede en un 50% de los casos,
Con 10.000 lanzamientos, el intervalo aceptable se sitúa entre 4.900 y 5.100, y el
éxito nos acompaña en más del 95% de los casos. Con un millón de lanzamientos, la
familia Romanov recuperará su poder absoluto en Rusia antes de que la proporción
de caras caiga fuera del intervalo entre el 49% y el 51%.
El mismo principio es válido cuando se endurecen las condiciones. Tal vez sea
excesivo pedir que la proporción de caras se sitúe entre el 49,9% y el 50,1% cuando
se hacen 1.000 lanzamientos (los únicos resultados posibles son 499, 500 o 501
caras), pero nos quedaríamos muy sorprendidos si no tuviésemos éxito al hacer 10
millones de lanzamientos. La proporción de caras puede llegar a ser tan próxima a 1/2
como se quiera. Lo que no cabe esperar es que el número de caras sea exactamente
igual al de cruces, o que el número de caras se encuentre siempre dentro de un
intervalo definido por un número fijo, por ejemplo 20, alrededor de su media, cuando
se lanza al aire una moneda millones de veces. De hecho, se cumplo lo contrario: si
se lanza al aire una moneda un gran número de veces, la diferencia absoluta entre los
números de caras y cruces tenderá a superar cualquier número que se pueda pensar.
Lo que se estabiliza es la proporción de caras.
Lo mismo ocurre con probabilidades distintas de 1/2. Al extraer una carta de la baraja
bien mezclada, la probabilidad de sacar una pica es un cuarto, es decir, el 25%. Si se
repite el experimento un gran número de veces, ¿con qué frecuencia saldrá una pica
entre el 24% y el 26% de las veces? Como ocurre con las monedas, la respuesta
depende del número de veces que se seleccione una carta. Si sólo se realiza diez
veces el experimento, nunca tendrá una pica entre el 24% y el 26% de las veces
(¡tendrían que salir entre 2,4 y 2,6 picas!). Con 100 extracciones, una vez de cada
cuatro se sacarán 24, 25 o 26 picas. Con un millón de experimentos, el intervalo es
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tan grande (de 240.000 a 260.000) que la probabilidad de quedar fuera de él es
comparable con la de que un poni de las Shetland gane la carrera del Grand National.
En resumen, supongamos que un experimento se puede repetir independientemente
tantas veces como se quiera, y en condiciones idénticas, y que la probabilidad de un
determinado suceso sea x. Repitamos el experimento, anotando cada vez la
proporción de casos en que se produce dicho suceso. Dicha proporción puede oscilar
ampliamente al principio, pero lo que interesa es su comportamiento a largo plazo.
Consideremos un intervalo fijo, tan pequeño como se quiera, en el que se encuentre la
probabilidad x, y observemos si la proporción en cada caso cae dentro o fuera del
intervalo. Sea cual sea el comportamiento inicial, llegará un momento en que la
proporción no sólo caerá dentro del intervalo, sino que permanecerá en él a partir de
entonces. Si existe una “ley de las medias”, acabo de describirla. Se refiere a algo que
sucederá en el futuro lejano y que no puede inferirse de los sucesos a corto plazo.
Algunas veces se utiliza la expresión “por la ley de las medias”, normalmente con
muy poca precisión, para indicar que si los números de caras y cruces terminarán
siendo iguales a largo plazo, podrían empezar a serlo en el siguiente lanzamiento.
Falso. Esta “ley” no dice nada sobre el siguiente lanzamiento, ni siquiera sobre los
cien lanzamientos siguientes. Las frecuencias de caras y cruces se acercarán a sus
medias, pero sólo a su debido tiempo.
Si se puede repetir un experimento de este tipo tantas veces como se desee, conocer
el comportamiento a largo plazo nos ayudará a evaluar las probabilidades. Basta con
hacer un seguimiento de la proporción de casos en que se produce un suceso en tantas
repeticiones como sea posible. Dicha proporción puede considerarse como una
estimación de la probabilidad subyacente. En ocasiones, la estimación será excesiva o
insuficiente, pero será correcta en media. Sin embargo, cuantas más repeticiones se
hagan, mejor será la estimación.
Algunos experimentos sólo pueden hacerse una vez. La meteoróloga puede señalar
que la probabilidad de que mañana llueva es del 50%. Seguramente se ha basado en
el estudio de mapas del tiempo, datos enviados por satélites y otras situaciones
meteorológicas en la misma época del año, entre otros elementos. Dispone de algún
modelo que le permite hacer predicciones, pero no puede verificar su afirmación de la
misma manera que lo haría para comprobar su presentimiento de que una moneda
saldrá cara. Mañana es un día concreto, en el que lloverá o no, nunca podrá saber si
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su estimación era precisa. Lo que sí puede es llevar un registro acumulativo de sus
predicciones durante varios años. Tal vez de él se desprenda que de 100 ocasiones
creyó que la probabilidad de lluvia era del 50%, que en otras 80 ocasiones la
probabilidad era del 25%, y así sucesivamente. Contrastar el tiempo atmosférico real
con sus predicciones agrupadas de esta forma no varía finalmente de repetir el
experimento un buen número de veces (siempre y cuando su capacidad de hacer
previsiones mantenga su coherencia). Aun cuando no es posible analizar su
pretensión sobre la probabilidad de que llueva de la misma manera como lo haríamos
en el caso de experimentos repetibles, siempre es posible emitir juicios sobre la
precisión global del conjunto de sus predicciones.
Promedios y variabilidad.
En la mayoría de las ciencias, las ideas más útiles son también las más sencillas. Así
ocurre también con la probabilidad en el ámbito de la estadística. En un juego, resulta
importante conocer las cantidades que se pueden ganar y la probabilidad de hacerlo,
pero la cruda realidad de si el juego favorece a uno o a su oponente tiene
normalmente más que ver con un promedio. En muchas situaciones en el campo de la
estadística, es mucho más útil disponer de un promedio que de cualquier otra
cantidad.
Si sólo juega una vez, aunque sea en pocas ocasiones, la variabilidad de los
resultados puede desempeñar un papel mucho más importante. Pero si el número de
veces que juega es muy elevado, el promedio se impone. Cuanto más variable es el
resultado, mayor es el número de veces que hay que jugar en más ocasiones para que
se imponga el promedio.
Comentario: de lo dicho por el autor se desprende el hecho de que precisamente la
mayoría de sistemas fueron realizados según las opiniones de quienes los crearon
basándose en datos estadísticos, el problema de manejar datos estadísticos con la
“esperanza” de encontrar algo en particular puede fácilmente caer en resultados
inexactos o en lo que se suele llamar “la falacia del jugador”, del cual veremos más
adelante algunos ejemplos.
Aprovecho la ocasión del autor al hablar sobre lo que es la probabilidad para indicar
que los resultados que pueden dar las estadísticas, sus probabilidades o porcentajes de
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acierto, se basan siempre en situaciones teóricas, teniendo siempre presente lo que
suele suceder cuando se produce una enorme cantidad de jugadas, en ningún
momento el cálculo de probabilidades nos dará nunca la seguridad de lo que se
producirá en una sola jugada.
Y esto es lo que hacen los sistemistas generalmente, creen que a través de varios
sucesos analizados suponen la “probabilidad” de acertar la siguiente jugada, ya que
“según ellos” debería producirse tal o cual condición.
Estas “condiciones” suelen producirse acertadamente después de muchas,
muchísimas jugadas o intentos (promedios), y nunca, en un tramo corto del juego
(variabilidad), y eso es lo malo, porque cuando apostamos lo hacemos siempre sobre
un tramo corto de tiempo, los sucesos de probabilidades se cumplen, pero siempre a
la larga, ningún sistemista o jugador puede estar constantemente apostando durante
diez mil o más jugadas. En un tramo corto de juego, puede pasar absolutamente
cualquier cosa.
Y en una jugada única, el cálculo de probabilidades nos indica las opciones posibles,
pero en ningún caso puede predecir, cuál de esas opciones probables va a tener lugar.
Las estadísticas son una aproximación, pero nunca son una certeza, y en las apuestas
dependemos más de las certezas que de las aproximaciones. Certeza imposible de
descubrir “a priori”, es la ley del azar.
Ruleta
La ruleta es, con gran diferencia, el pasatiempo más popular de los casinos, y supone
alrededor del 60% de las apuestas totales. La ruleta estándar del Reino Unido tiene 37
números, del 0 al 36. El cero es de color verde y los demás números son rojos o
negros. Cada jugador adquiere la cantidad de fichas de colores que desea. No es
posible equivocarse sobre la identidad del ganador, ya que, en una misma mesa, los
colores de las fichas de cada participante son distintos. En un mismo casino, en
algunas mesas se admiten apuestas bajas y en otras pueden ser más elevadas. La
apuesta máxima permitida suele ser 100 veces la apuesta mínima. ¿cien veces?. Los
casinos en el Reino Unido funcionan de forma muy diferente a los del resto del
mundo. Todos los casinos ingleses funcionan como club privado. Son círculos muy
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cerrados donde sólo pueden jugar los socios y sus invitados. Para ser socio hay que
tener un mínimo de 18 años; los aspirantes, deben cursar una solicitud y firmar una
declaración comprometiéndose a observar en el juego las reglas establecidas por el
club, al cabo de 48 horas les es concedido el carné de socio (de 2 a 25 libras). En las
posturas, cada club establece sus propios límites (con permiso de la Junta del Juego),
por lo que algunos dejan un amplio margen de juego, que pueden ir desde los 50
Peniques a las 50 Libras (para los plenos), por ejemplo, en los casinos de Triangle
(Bristol) o Westcliff (Essex) de 50 Peniques a 100 Libras, y en el casino Rendezvous
de Londres, donde puede apostarse desde 2 Libras y hasta 1.000 Libras, con lo cual,
en una martingala simple, se puede progresionar hasta 14 veces la apuesta inicial, en
lugar de las 9 o 10 veces como aquí en España. Las bebidas alcohólicas están
prohibidas en la sala de juego y no hay espectáculo en directo. Cada casino,
independientemente de su categoría, no puede tener más de dos máquinas tragaperras,
la ruleta es el juego más popular, estilo americano con un solo cero (como en
España), le siguen el blackjack, el baccarat (punto banco) y el craps, [información
proporcionada por Joker y de la Guía del Juego de David Spanier], y después de esta
información complementaria, seguimos con John Haigh:
Supondremos que los 37 resultados posibles son igualmente probables: los casinos
tienen mucho interés en que así sea, pues su margen de beneficios es tan pequeño que
cualquier sesgo apreciable puede desviar la ventaja en favor de algún jugador que
tenga conocimiento del mismo.
En cualquier apuesta que no sea aquellas en que se paga tanto como se ha apostado,
lo que por término medio recuperan los jugadores son 36 unidades de cada 37
apostadas. Los jugadores pueden hacer apuestas múltiples, dejar pasar su turno,
modificar el volumen de sus apuestas o variar su juego de muy diversas formas, pero
el promedio permanece constante. De cada 37 unidades apostadas, se pierde una: una
ventaja para la casa del 2,7%.
En las apuestas a “rojo” y “negro”, etc. en las que el premio es igual a la apuesta, el
margen de la casa es la mitad de esa cantidad. La razón es la regla según la cual,
cuando sale el cero, la mesa se queda la mitad de la apuesta, y la otra mitad se
devuelve al jugador. En ese tipo de apuestas, el margen de la casa se reduce al 1,35%.
Para simplificar, con la expresión “apostar al rojo” nos referiremos a cualquiera de
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las seis apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada (las chances
simples).
Esta regla significa que cuando un jugador apuesta dos unidades al rojo, lo normal
será que pierda su apuesta o disponga de cuatro unidades. Pero en una de cada 37
veces, cuando salga el cero, se le devolverá sólo una unidad. Por tanto, hay tres
resultados posibles: el jugador recibe cero, una o cuatro unidades. Pero supongamos
que se modifica la regla del cero, de forma que cuando salga éste, el jugador que ha
apostado al rojo tiene la posibilidad, una de cada cuatro veces, de doblar la apuesta o
perderlo todo. Esto se podría lograr fácilmente lanzando al aire dos monedas para ver
si salen dos caras o haciendo girar de nuevo la ruleta. La devolución media que recibe
cuando sale el cero es una unidad (tiene una probabilidad de un cuarto de recibir
cuatro unidades y de tres cuartos de no recibir nada), de forma que el margen del
casino sigue siendo el mismo. Pero en este caso, toda apuesta de dos unidades sólo
daría lugar a dos resultados posibles: cuatro unidades o nada. Teniendo en cuenta la
frecuencia de aparición del cero, este cambio equivale a que si se apuesta al rojo se
gane con una probabilidad de 73/148 y se pierda con una probabilidad de 75/148.
Cuando analicemos este tipo de apuestas, actuaremos como si los casinos utilizasen
este sistema modificado. De este modo se simplifica considerablemente el análisis,
sin introducir ninguna modificación sustancial en las conclusiones.
Objetivos
Pablo necesita 216 libras para comprar un billete de avión que le permita asistir a la
final de la Copa de Europa de fútbol. Sólo dispone de la mitad de esa cantidad, 108
libras, pero está dispuesto a quedarse sin nada. Para él, 216 libras representa el
nirvana, mientras que 215 libras sirven tan poco como una tarjeta caducada. ¿Le
puede ser de alguna utilidad el casino?
Ante este tipo de problemas, sólo cabe un consejo: en los juegos desfavorables, jugar
con audacia es bueno, jugar con timidez, malo. Para ayudar realmente a Pablo,
empecemos simplificando un poco la situación y supongamos que, cuando sale el
cero, también pierden las apuestas en las que el premio es igual a la cantidad
apostada. En ese caso, el margen de la casa no varía sea cual sea la apuesta realizada.
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Una apuesta atrevida es jugárselo todo al rojo. En 18 de cada 37 ocasiones, el 48,6%
de las veces, Pablo dispondrá inmediatamente de 216 libras y podrá ver el partido de
su equipo en directo. En el caso contrario, perderá todo su dinero y tendrá que ver el
partido por televisión.
Existen otros enfoques audaces. Podría dividir su dinero en 18 partes iguales de seis
libras y apostar sucesivamente a un único número hasta que se quede sin dinero o
acierte. Las apuestas a un solo número se pagan a 35:1, con lo que basta ganar una
vez. Para determinar su probabilidad de éxito calculemos primero la probabilidad de
perder en todas las apuestas. Con cualquier apuesta, Pablo pierde 36 veces de cada
37; por tanto, la probabilidad de perder en todas las apuestas es (36/37)18 = 0,61. Con
esta estrategia, la probabilidad de que gane por lo menos una de las apuestas es del
39%, una cantidad inferior a la correspondiente a una única apuesta al rojo.
Pablo puede utilizar las apuestas a 35:1 de una manera alternativa. Ya dispone de 108
libras y, si consigue ganar con una apuesta de cuatro libras en su primera apuesta
(tres libras no bastan), habrá alcanzado su objetivo. De hecho, mientras disponga de
76 libras, una apuesta de cuatro libras puede proporcionarle el dinero que necesita; si
dispone de menos, necesitará apostar cinco libras, y con menos de 41 libras, tendrá
que subir la apuesta hasta seis libras. De esta forma, puede planificar hasta un total de
22 apuestas si es necesario (nueve de cuatro libras, siete de cinco y seis de seis
libras); si gana con alguna de ellas, habrá logrado su objetivo, pero en el caso
contrario su fortuna se habrá reducido a una libra. Su última oportunidad es apostar
esa libra a 5:1 y luego las seis libras a 35:1. Su probabilidad total se eleva sólo al
45,7%. En conjunto, esta estrategia es mejor que la de intentar 18 apuestas de seis
libras, pero no tan buena como apostar todo de golpe al rojo.
Un último intento: colocar toda su fortuna en una apuesta a doble columna. Si gana,
dispondrá de 162 libras, de las que podrá apostar 54 al rojo; si gana entonces,
objetivo logrado; si pierde, vuelve a encontrarse con 108 libras y puede volver a
empezar de nuevo. Esta estrategia sólo permite ganar el 47,3% de las veces. Todas
estas alternativas tienen probabilidades inferiores a la inicial, consistente en una
única apuesta cuyo premio sea igual a la cantidad apostada. En realidad, esa apuesta
es más favorable de lo que hemos dicho, debido a la regla del cero en las apuestas al
rojo. Teniendo todo en cuenta, Pablo tiene una probabilidad del 49,3% de ver el
partido en vivo. Su paso por el casino será muy breve, pero tampoco tiene interés
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alguno en ver cómo fluctúa su fortuna; su planteamiento sólo está pendiente en salir
volando a presenciar la final.
Hemos elegido unos números que facilitasen los cálculos, pero un juego audaz
implica que se hacen pocas apuestas, las menos posibles. Fijémonos en el caso en
que Pablo disponga de 24 libras, en lugar de 108, pero siga deseando tener 216 libras.
Su esperanza es pequeña, pero tiene alguna posibilidad. Una apuesta audaz consiste
en jugárselo todo a un cuadrado; ganará si sale cualquiera de los cuatro números. Su
probabilidad es de 4/37, aproximadamente un 11%. Una alternativa consiste en
dividir el dinero en dos partes iguales y hacer dos apuestas a caballo a 17:1 en tiradas
sucesivas. En esta ocasión, tendrá éxito el 10,5% de las veces. Ninguna otra apuesta
que no sea al rojo supera la apuesta al cuadrado.
Si Pablo dispone de 24 libras en un principio, una forma audaz de utilizar la apuesta
al rojo es apostarlo todo, cuando ya ha acumulado 108 libras, con la esperanza de
doblar la cantidad, o utilizar lo justo para conseguirla cuando ha acumulado más de
108 libras. Como el margen de la casa es menor en las apuestas al rojo, los resultados
de la comparación con la apuesta al cuadrado son algo ambiguos. Con un capital
inicial de 24 libras, Pablo tiene que hacer tantas apuestas que irá perdiendo esa
ventaja y la apuesta al cuadrado seguirá siendo mejor. Si tuviese 54 libras, estaría
más cerca de su objetivo y no existiría prácticamente diferencia entre hacer dos
apuestas al rojo en dos partidas sucesivas y cubrir nueve veces seguidas un único
número con seis libras en cada ocasión. En ambos casos, la probabilidad de
cuadruplicar su dinero es algo superior al 24%.
¿Estará ganando cuando deje de jugar?
El hermano de Pablo, Miguel, también dispone de 108 libras, pero quiere ver el
partido por televisión. Si le llega el dinero hasta entonces, se marchará del casino a
las seis. El objetivo de su visita es la pura diversión. ¿Cuál es la probabilidad de que
vaya ganando cuando acabe su visita?.
La respuesta depende el número y la naturaleza de las apuestas que haga.
Supongamos que Miguel se limita a un tipo de apuesta, de una libra cada vez. A
modo de comparación, no utilizará las apuestas al rojo, que son marginalmente más
favorables, sino que apostará por cualquier conjunto de m números, siendo m = 1, 2,
3, 4, 6, 12 o 24 (pleno, caballo, línea, cuadro, seisena, etc). Sea cual sea su decisión,
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la pérdida media resultante es de 1/37 libras en cada tirada y, si tuviera tiempo de
hacer 370 apuesta, su pérdida media sería de 10 libras.
Si sus apuestas son siempre a un solo número, la variabilidad con respecto a este
promedio será mayor que si se decanta por cualquier otra apuesta. La variabilidad
será menor si apuesta a la doble columna de 24 números. Cuanto mayor sea la
variabilidad de los resultados, mayor será la probabilidad de que el resultado real se
aleje de la media, ya sea por exceso o por defecto. Como, por término medio, pierde
en cada jugada, para conseguir ganar al final de su visita es necesario que la
variabilidad sea grande. Debería hacer apuestas a 35:1 a un solo número. Esta
decisión también hace aumentar la probabilidad de que sus pérdidas sean muy
superiores a la media, pero aquí el planteamiento es otro. El objetivo de Miguel es
aumentar la probabilidad de ir ganando cuando el reloj marque las seis.
Vamos a seguir paso a paso las apuestas de Miguel y a calcular las probabilidades de
que vaya ganando a medida que avanza la sesión. Es muy probable que empiece con
una serie de pérdidas, pero cuando gane, su fortuna aumentará en 35 libras. Así pues,
de golpe estará ganando, siempre que haya tenido suerte en cualquiera de las 35
primeras tiradas, solo irá perdiendo si en todas ellas ha perdido. Desde una
probabilidad de 1/37 después de la primera tirada, su probabilidad de ir ganando
aumenta continuamente hasta la 35ª tirada. La probabilidad de que pierda en las 35
35
primeras tiradas es (36/37) = 0,3833, es decir, Miguel tiene una probabilidad del
62% de ir ganando después de la 35ª tirada.
Pero para ir ganando después de 37 tiradas, tendrá que haber ganado por lo menos
dos veces en ese período. En 37 tiradas, la probabilidad de no haber ganado nada es
(36/37)37, y la probabilidad de ganar exactamente una vez es (36/37)36. Por tanto, la
probabilidad de haber ganado por lo menos dos veces después de la 37ª tirada es 1(36/37)37-(36/37)36, lo cual equivale a una disminución considerable, hasta el 27%.
Pero a parte de ese momento, hasta la 71ª tirada, irá ganando si ha ganado por lo
menos dos partidas en total, y su probabilidad irá en aumento. Tras exactamente 71
tiradas, su probabilidad se ha situado alrededor del 58%.
Como es evidente, necesita haber ganado por lo menos tres veces para ir ganando
después de 73 tiradas. En ese momento, su probabilidad de ir ganando ha vuelto a
disminuir, hasta menos del 32%. Desde entonces hasta la 107ª tirada, basta con haber
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ganado tres veces; la probabilidad aumenta, pero vuelve a disminuir en la 109ª tirada.
(He tenido mucho cuidado en no mencionar las tiradas números 36, 72, 108, etc, pues
en esos casos es posible que Miguel se encuentre exactamente en la misma situación
que el comienzo; entonces la discusión puede centrarse en si ir ganando incluye o no
estar a la par. Para evitar esa cuestión semántica, nos limitaremos a números de
tiradas que no son múltiplos de 36).
La situación es clara. La probabilidad que tiene Miguel de ir ganando en distintos
momentos de la sesión responde a una gráfica en dientes de sierra. Tras un continuo
aumento, se produce una caída abrupta hacia las 36 tiradas. Vuelve a aumentar de
nuevo, pero no exactamente hasta el mismo nivel, con otra caída alrededor de las 72
tiradas, seguida de un aumento análogo durante otras 35 tiradas, con una nueva caída
a ambos lados de la 108ª tirada, y así sucesivamente. Si se construyese una sierra
según ese modelo, resultaría muy poco eficaz, pues cada máximo sucesivo, justo
antes de la caída abrupta, es algo menor que el anterior.
Cuando dan las seis, la probabilidad de que Miguel vaya ganando depende en gran
medida del lugar en el ciclo de 36 tiradas en que el destino le haya colocado. Si el
número total de tiradas es algo menor que un múltiplo de 36, la probabilidad de que
vaya ganando cuando termine la sesión es bastante elevada, pero si ese número es
algo mayor que un múltiplo de 36, la probabilidad será bastante pequeña. A un ritmo
de 90 tiradas por hora (¡toma castaña, menudo crupier!), Miguel puede haber hecho
unas 180 apuestas en dos horas. Para ir ganando después de 179 tiradas, basta haber
ganado cinco veces, por lo menos, siendo la probabilidad de ese suceso del 53%. Pero
para ir ganando después de 181 tiradas, se necesita haber ganado por lo menos seis
veces, siendo la probabilidad correspondiente de sólo el 37%.
Si su único objetivo fuese tener la probabilidad más alta de terminar la sesión con
ganancias después de una serie de apuestas a un solo número, Miguel debería
olvidarse del reloj y prever una sesión de 35 tiradas como máximo (basta con ganar
una partida), con una probabilidad del 62%. Sin embargo, es muy posible que quiera
quedarse más tiempo, tal vez para poder completar 180 tiradas. En este caso, para que
su probabilidad sea máxima, debería pensar en 179 apuestas.
En realidad, estos cálculos contienen una pequeña inconsistencia, ya que inicialmente
dijimos que el capital con que contaba Miguel era de 108 libras. Supusimos que era
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capaz de hacer 180 apuestas, pero puede darse la situación de que sus pérdidas
iniciales sean tan cuantiosas que agote su capital antes del instante en que ha decidido
poner fin a la sesión. La limitación de su capital reduce las probabilidades citadas en
unos 0,5 puntos porcentuales. Pero se mantiene la diferencia entre finalizar la sesión
después de 179 o de 181 tiradas, y si Miguel dispone de 181 libras, todo encaja. Por
otra parte, si Miguel sólo tuviese 54 libras al inicio de la sesión, tendría una
probabilidad de casi un cuarto de perderlo todo antes de ganar algo... y los casinos
(todavía) no prestan dinero.
En lugar de apostar a un solo número, Miguel podría tentar la suerte y apostar a
bloques de 2, 3, 4, 6 o 12 números. Vuelve a producirse una gráfica de dientes de
sierra, pero en este caso las caídas se producen alrededor de los múltiplos de 18, 12,
9, 6 o 3 tiradas, y no alrededor de los múltiplos de 36. Los resultados son menos
contrastados y las caídas menos pronunciadas. Supongamos que se concentra
apostando 11:1 a una transversal, una fila de tres números. Después de 179 o 181
tiradas, las probabilidades de ir ganando son del 49% y del 40%, respectivamente. Si
apuesta a 2:1 a una columna de 12 números, las cifras serían del 40,5% y del 38,5%.
¿Podría Miguel utilizar las apuestas al rojo, al tener un margen de la casa menor, para
incrementar la probabilidad de terminar la sesión siendo aún más rico? No, excepto si
está dispuesto a apostar en miles de tiradas. En una única sesión, en la que como
mucho podrá hacer varios centenares de apuestas, es más probable que vaya ganando
si se limita a apostar a 35:1. Después de 179 apuestas, irá ganando el 53% de las
veces; con cualquier número de apuestas al rojo, su probabilidad de ir ganando nunca
superará el 50%. Si sólo apuesta al rojo, su probabilidad después de 35 tiradas es del
47%, y después de 179 apuestas del 44%. Por término medio, Miguel mejorará
apostando al rojo, pero los resultados no son lo suficientemente variables como para
proporcionarle una buena posibilidad de terminar la sesión siendo más rico.
Ilusiones
Si los casinos admitiesen apuestas ilimitadas y prestasen dinero, existiría una forma
segura de obtener algún tipo de beneficio. Todo lo que uno tiene que hacer es apostar
repetidas veces al rojo y doblar la apuesta cada vez. Cuando salga rojo y gane, vuelva
a empezar. Puede repetir la secuencia varias veces. Independientemente de las
pérdidas al comienzo, la cantidad que recibirá la primera vez que gane siempre será
una unidad mayor que la que tenía al comienzo.
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Sin embargo, este “sistema” tiene dos fallos que lo hacen inviable:
Los casinos no conceden crédito, y si usted se embarca en esa línea, tendrá que
disponer de suficiente capacidad económica para apostar lo que haga falta para poder
seguir.
Incluso el más rico de los jugadores puede alcanzar el límite fijado por el
casino antes de que le sonría la fortuna.
Supongamos que el límite es de 100 unidades y que Jorge se embarca en el “sistema”.
Su objetivo es ganar una unidad y marcharse. Su probabilidad de éxito es
considerable: ganará una unidad si en cualquiera de las siete primeras partidas sale
rojo. El límite fijado por el casino sólo interviene cuando en ninguna de ellas sale
rojo, siendo la probabilidad de ese suceso (19/37)7, una cantidad inferior a una
centésima. Como el cero también puede haber salido en una de esas siete apuestas,
sus posibilidades mejoran y la probabilidad de ganar supera el 99%.
Pero para mitigar el posible entusiasmo ante una estrategia tan favorable, conviene
comparar ese beneficio de una unidad con la pérdida de 127 unidades en apuestas de
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 cuando todas las apuestas pierden. De promedio, usted pierde. La
combinación de un margen de la casa en cualquier apuesta y un límite impuesto por
la casa garantiza que cualquier secuencia de apuestas, ya sea una única tirada o en
varias, supone una desventaja para el apostante. No puede existir un “sistema” en el
que el apostante tenga ventaja, a menos que la ruleta presente algún desperfecto.
Lo siento. Después de leer la historia de Graham Greene El que pierde gana, se
puede tener la idea de que un matemático con suficiente experiencia es capaz de
construir un sistema que permita ganar siempre, pero no es cierto. Las matemáticas
demuestran precisamente lo contrario: ese sistema no existe. (En realidad el
“matemático” de Greene no era sino un ayudante de contable que se presentaba como
matemático, pero incluso los contables saben que es imposible).
Sobre lo anterior, todos los matemáticos (y contables) tienen la misma opinión, por lo
que extraigo aquí también la opinión de Richard A. Epstein: “El número de ‘sistemas
garantizados de apuesta’, la proliferación de mitos y falacias envueltas en esos
sistemas y la innumerable cantidad de personas que propagan, veneran, protegen, y
juran por esos sistemas conforman una legión. Los sistemas de apuestas tienen en el
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fondo un paralelismo con los que proponen las ‘máquinas de movimiento perpetuo’
que constantemente se dan golpes en la cabeza contra la segunda ley de la
termodinámica”.
Cómo perder.
La mayoría de los jugadores de un casino consiguen perder con facilidad y no
necesitan mis consejos. De hecho, es poco frecuente interesarse por los trucos que
ayudan a perder. Cualquiera que empiece su sesión de juego con la equivocada idea
de abandonar cuando vaya ganando o haya alcanzado algún objetivo positivo, tendrá
que afrontar el dilema planteado en la sección anterior. En este sentido, las
experiencias de Dostoievski (véase más adelante) pueden servir de advertencia. Para
garantizar el éxito, tal vez se necesite más dinero del que se dispone o una apuesta
más elevada de lo que permite la casa. Sea pesimista: decida desde el comienzo que
abandonará el juego cuando haya logrado perder una cantidad previamente
estipulada. De vez en cuando, la suerte puede no ayudarle a lograr su objetivo.
Ninguna ley le impide cambiar de opinión si encuentra que perder es demasiado
difícil. La ventaja de jugar hasta perder una cantidad determinada es que las pérdidas
tienen un límite y queda descartada la posibilidad de arruinarse.
Una forma muy conveniente de seguir esa estrategia es el llamado sistema (inverso)
de Labouchere. Para perder, por ejemplo, 45 unidades, escriba los números del 1 al 9
en una columna (suman 45). Sume entonces el primero y el último (el 1 y el 9) para
saber cuánto tiene que apostar la primera vez; las diez unidades se apuestan al rojo. Si
no gana, elimine los dos números de la lista y vuelva a sumar el primero y el último
(el 2 y el 8). Pero si gana en la primera apuesta, no elimine ningún número y escriba
sus ganancias, diez, en la parte inferior. Los nuevos números situados en primer y
último lugar son 1 y 10; su siguiente apuesta será de 11 unidades al rojo (o al negro,
por supuesto).
Continúe de esta guisa, eliminando un número cuando pierda y escribiendo un
número cuando gane. Apueste una cantidad igual a la suma de los números situados
en primera y última posición. Si se queda con un solo número, ésa es su apuesta. Una
vez eliminados todos los números, los iniciales y los que ha ido añadiendo, ya se le
puede felicitar. Ha conseguido su propósito: ha perdido 45 unidades.
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Pero en sus esfuerzos por perder su capital es posible, sólo posible, que encuentre que
no tiene demasiado éxito y que no pierde demasiado a menudo. ¡Tal vez su sistema
requiera una apuesta más elevada de lo que la casa permite! La única forma de que
pase esto es cuando ya ha ganado mucho dinero. De todos modos, nadie ha firmado
un compromiso para seguir jugando eternamente, y puede dejar de jugar en cualquier
momento. El sistema garantiza una pérdida eventual de 45, pero no más. Controle su
montón de fichas, predispóngase a cambiar de opinión y deje de jugar mientras vaya
ganando, o cuando llegue la hora de cenar. Como es evidente, no es necesario utilizar
los números del 1 al 9, y su suma, 45, sino cualquier cantidad (positiva) que se ajuste
a su bolsillo.
Resultaría temerario utilizar este sistema en sentido contrario: pretender dejar de
jugar cuando haya alcanzado su objetivo, a base de modificar las reglas de escribir y
eliminar números. Tendría mucha suerte si le saliese bien, pero lo más frecuente es
que fuese un fracaso total.
El recorrido del borracho o la conservación de la fortuna.
Seguir los avatares de la fortuna de un jugador en un casino guarda cierto paralelismo
con observar la marcha de un borracho por una calle estrecha. Nuestro protagonista
está tan ebrio que el camino que va a seguir no depende de los pasos que ya haya
dado. Su recorrido finalizará o bien desastrosamente en un canal al cabo de la calle o
bien en la seguridad del hogar. El desastre o la seguridad dependen del azar.
CANAL
BAR
HOGAR
Consideremos el caso de que es igualmente probable que vaya a la izquierda o a la
derecha al dar un paso cualquiera, y que el bar se encuentra a 50 pasos del canal y
150 de su hogar.
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El recorrido del borracho:
Consideremos que todos los pasos tienen la misma longitud y que es igualmente probable que
vaya a la izquierda o a la derecha. La calle mide L pasos; el canal se encuentra en la posición
0 y la casa en la posición L. El borracho inicia su recorrido en el bar, a N pasos del canal y L
–n pasos de su casa.
Cuando se encuentra a k pasos del canal, sea p(k) la probabilidad de que llegue a casa antes
que al canal. Si se encuentra en el canal, donde k = 0, es imposible que llegue antes a su casa,
con lo cual p(0) = 0. Si se encuentra en casa, donde k = L, es seguro que llega primero a casa,
con lo cual p(L) = l. Consideremos ahora un punto intermedio, k, desde el que el borracho da
un paso; la mitad de las veces se desplazará hasta k + 1 y la otra mitad hasta k –1. Por tanto,
(*)
Esta expresión es válida para todo valor de k intermedio, y da lugar al mismo número de
ecuaciones que de incógnitas. Una expresión del tipo (*) se llama ecuación diferencial y
existen métodos harto conocidos para resolverlas. Prescindiendo de los detalles, la respuesta
es p(k) = k/L (puede comprobarse muy fácilmente). Así pues, si empieza en una posición n, la
probabilidad de alcanzar la seguridad es n/L.
El razonamiento para determinar el número medio de pasos en todo el recorrido es muy
similar. Sea T(k) dicho número medio, empezando en el punto k. Si se empieza en cualquiera
de los extremos, el recorrido ya ha finalizado y, por tanto, T(0) y T(L) son ambos nulos. La
expresión análoga a (*), que se obtiene haciendo un paso desde la posición intermedia K, es
El recuadro anterior nos lleva a dos conclusiones:
(**)
• Las probabilidades de llegar primero al canal o primero a casa son 3/4 y 1/4,
respectivamente. Dado que su casa está tres veces más lejos, la probabilidad
asociada es tres veces más pequeña.
• Por término medio, da 50 x 150 = 7.500 pasos antes de finalizar el recorrido.
Para este tipo de cálculo, basta con multiplicar las respectivas distancias entre
sí.
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Si en la ruleta no existiese margen para la casa, entonces las apuestas de una unidad
como la que hemos analizado se ajustarían exactamente a este análisis. La posición
del bar es el capital inicial, el canal es la bancarrota y el hogar es el momento de dejar
de jugar. Sin el margen que se lleva la casa, usted ganará la mitad de sus apuesta y
perderá la otra mitad. La longitud media del recorrido es el número medio de
apuestas hasta que se decide su suerte.
Cuanto más ambicioso sea el objetivo, menor será la probabilidad de alcanzarlo antes
de arruinarse. Ésta no sólo disminuye, sino que se reduce hasta anularse. Por tanto, si
no fija ningún límite superior para abandonar el juego, con toda seguridad llegará un
momento en que se arruinará, aun cuando no exista un margen de la casa.
¿Qué sucede si se dobla la cantidad apostada? En esta situación, su capital inicial
queda reducido a la mitad, pero también el objetivo, y el cociente entre ambos sigue
siendo el mismo. Es decir, doblar la apuesta no modifica en absoluto el proyecto de
alcanzar un objetivo determinado. Evidentemente, el juego tendrá tendencia a ser
mucho más corto. En esta situación, tanto el capital inicial como la cantidad que se
desea ganar son la mitad que antes y, por consiguiente, el juego durará, de media, una
cuarta parte del anterior.
Los casinos no ofrecen apuestas justas, pero usted y un amigo podrían elaborar un
juego justo a base de lanzar unas monedas al aire. Supongamos que usted dispone de
una libra y su amigo de 1.000 libras. Supongamos también que en cada lanzamiento
se apuesta una libra y que el juego finaliza cuando uno de los dos se arruina. Usted
desea incrementar su fortuna de una libra a 1.001 libras; la probabilidad de
conseguirlo es algo reducida, a/1.001. La duración media del juego se obtiene
multiplicando las apuestas iniciales. Es decir, el juego dura, por término medio: 1 x
1.000 = 1.000 lanzamientos, un número sorprendentemente elevado. Como la mitad
de los juegos finalizan después del primer lanzamiento, ese promedio sólo puede ser
de 1.000 si existiese una posibilidad real a muy largo plazo de incrementar su fortuna.
Este ejemplo indica que la duración media de un juego puede no ser un buen
indicador de su duración típica.
A pesar de que los cálculos anteriores se basan en un juego poco realista, pueden
darnos una buena idea de qué ocurre en un casino real. En un juego justo, la
probabilidad de aumentar el capital en un factor diez antes de arruinarse es un
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décimo, independientemente de cómo se apueste. Cuando hay un margen de la casa,
la probabilidad será inferior a un décimo, independientemente de lo que haga el
jugador.
Volvamos al prudente jugador que apuesta una unidad al rojo, con la esperanza de
alcanzar algún objetivo antes de arruinarse. Esta situación corresponde a la de un
borracho que se escora un poco a la izquierda, con la esperanza de llegar primero a su
casa, a pesar de su sesgo hacia el canal. El razonamiento del recuadro anterior puede
modificarse sustituyendo las probabilidades iguales de desplazarse hacia la izquierda
Un casino real:
Antes dijimos que al apostar al rojo era útil modificar la regla del cero, de tal forma que las
probabilidades de ganar o perder la apuesta eran 73/148 y 75/148. En algunos países, cero es
simplemente una apuesta perdida y, por tanto, estas probabilidades se convierten en 18/37 y
y hacia la derecha por cantidades que reflejen ese sesgo. Las dos ecuaciones que
corresponden a (*) y (**) se resuelven de la misma manera y las respuestas finales
son las del siguiente recuadro.
Un análisis válido para cualquier casino se basaría en lo siguiente: sea p la probabilidad de
ganar la apuesta y, por tanto, sea 1 –p = q la probabilidad de perderla. Las cantidades clave
son la razón y la diferencia de estos dos valores. Sean ahora x = q/p e y = q –p. Como las
apuestas siempre favorecen a la casa, q es mayor que p y, por tanto, x es mayor que 1 e y es
mayor que cero. Con la misma notación que en el recuadro anterior, y modificando (*) y (**)
como corresponde, las dos respuestas pueden escribirse:
La probabilidad de alcanzar la seguridad es
y
n
x –1
L
x –1
el número medio de partida es
La mejor manera de comprender estas expresiones es asignándoles algunos valores
determinados. Para los casinos del Reino Unido, tomaremos p = 73/148 y q = 75/148,
de forma que x = 75/73 e y = 1/74. Si a nuestro aficionado al fútbol, Pablo, se le
hubiese aconsejado mal y se le hubiera recomendado apostar una unidad al rojo en
partidas sucesivas hasta convertir su capital inicial en 216 libras, la tabla siguiente
mostraría sus escasas probabilidades de éxito. En esta tabla, donde L = 216, se dan
los resultados para distintos valores del capital inicial.
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Probabilidad de alcanzar el objetivo de 216 unidades y duración media
correspondiente del juego, cuando se hacen apuestas sucesivas de una unidad al
rojo para distintos valores del capital inicial.
Capital inicial
Probabilidad de éxito (%)
Duración media (partidas)
54
90
108
144
162
180
198
1
3
5
14
23
38
61
3.800 6.200 7.200 8.400 8.300 7.300 4.850
La tabla muestra los resultados de un juego timorato, incluso en las apuestas al rojo,
en las que la probabilidad del jugador es mayor. Pablo reduciría su probabilidad de
doblar sus 108 libras iniciales del 49% (juego audaz) al 5%. El único consuelo es que
obliga al casino a emplearse a fondo para sacar beneficios, pues tendría que trabajar,
por término medio, durante 7.200 tiradas. El juego timorato le permite a un jugador
pasar más tiempo jugando a la ruleta, pero el margen de la casa devora el capital de
los jugadores con la misma certeza que las mareas frenan la rotación de la Tierra... y
mucho más deprisa.
Un poco de física.
Cuando va girando la ruleta y el crupier ha lanzado ya la bola de marfil en la
dirección opuesta, las leyes de la física determinan dónde se parará la bola. Algunos
jugadores han intentado utilizar estas observaciones para calcular, con la ayuda de
ordenadores ocultos, las velocidades de la bola y la ruleta e intentar determinar en
qué punto se parará la bola sobre la ruleta. Su enfoque consiste en dividir la ruleta en
segmentos, utilizar los cálculos para predecir el segmento más probable y cubrir
todos los números correspondientes con apuestas a un solo número. Por ejemplo, si el
ordenador indica que el 10 es el destino más probable, habría que apostar las mismas
cantidades a los números 24, 5, 10, 23 y 8, por ejemplo. Esa apuesta podría llamarse
“diez y sus cuatro vecinos”.
Los casinos no permiten que los jugadores dispongan de ordenadores, y el crupier
grita “No va más” antes de que la bola haya disminuido en exceso su velocidad. El
margen de la casa es tan reducido que quedaría fácilmente contrarrestado si algún
jugador fuese capaz de identificar algunos números con mayor probabilidad que
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otros. Supongamos, por ejemplo, que un segmento de cuatro números como {0, 32,
15, 19} tuviese sólo la mitad de su probabilidad habitual. Este hecho ya basta para
que un conjunto de apuestas de un solo número a cada uno de los otros 33 números
suponga un margen del 3,1% para el apostante.
No hay que subestimar la complejidad de los cálculos que intervienen en estos
problemas de física. La obra de Thomas Bass The Newtonian Casino marca el
camino en estos temas. Se necesitaría una secuencia de lecturas para poder
determinar las velocidades de rotación de la ruleta y de la bola. Hay que tener en
cuenta los pequeños obstáculos que encuentra la bola mientras se desliza por el
cilindro interno. La teoría del caos indica que incluso unas modificaciones muy
pequeñas de las velocidades iniciales de la ruleta y la bola pueden tener grandes
repercusiones en el resultado. Pero el jugador no necesita una respuesta precisa. Le
basta con una indicación general sobre el lugar más o menos probable, y modificar
así el juego en su favor. Los demás requisitos necesarios son disponer del capital
suficiente para hacer frente a una mala racha y tener grandes dosis de paciencia.
No obstante, si desea seguir siendo aceptado en el casino, hay que atenerse a las
reglas y no intentar ocultar nada. Los estudiantes de The Newtonian Casino escondían
sus ordenadores en zapatos especiales, y lograban calcular las velocidades de la ruleta
y las bolas tecleando los datos con los dedos de los pies. Tuvieron algún éxito, pero
no se hicieron ricos. Sus métodos fueron prohibidos, pero se divirtieron mucho.
Parece increíble la técnica y la inventiva humana, pues parece un texto más propio de
las películas de James Bond que de la realidad, pero la realidad misma a veces supera
a la ficción, este método descrito y actualmente poco empleado, tiene todavía algunos
practicantes, seguramente heredado de la tecnología de los U.S.A., precisamente en el
2005 se capturó a un grupo de rumanos en el casino de Madrid, los cuales aplicaban
precisamente la técnica descrita por el autor, con zapatos especiales que enviaban la
información a un portátil, que es como mas o menos fue descrito en la noticia
publicada en los periódicos después de desmantelar a dicha organización.
Desde el otro lado.
Los casinos comerciales son angelitos si se les compara con el juego practicado en
Adén en 1930 y descrito por Evelyn Waugh en Remote People. La banca disponía
sobre una mesa cinco cartas boca abajo y los jugadores apostaban un ana a alguna de
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las cartas. Cuando había apuestas sobre todas las cartas, la banca anunciaba el
vecedor ¡y le pagaba la misma cantidad que había apostado! Todos los premios
garantizaban a la banca un margen del 60%.
El sueño de un propietario de casino consiste en que varios jugadores distribuyan
uniformemente sus apuestas sobre el tapete y apuesten las mismas cantidades a todos
los números. La casa se queda el 2,7% de todas las apuestas y redistribuye el resto a
los apostantes, con la esperanza de que vuelvan a jugar. Su pesadilla es aquel jugador
que apuesta mucho a unos pocos números y que puede hacer perder los beneficios de
un mes en unas pocas tiradas afortunadas. Los promedios se imponen, a la larga, pero
un casino necesita disponer de suficiente dinero para poder hacer frente a algún revés
momentáneo. El Consejo del Juego insiste en que los casinos depositen cantidades
importantes en una reserva, en función de la apuesta máxima aceptada. Este fondo de
salvaguardia sólo se utiliza en caso de emergencia, ya que se supone que los casinos
pagan de inmediato a los jugadores.
El establecimiento de una apuesta máxima impone un límite a las posibles pérdidas
del casino. En algunas ocasiones se han confabulado diversos jugadores y cada uno
de ellos ha apostado el máximo permitido al mismo número, pero las normas de los
casinos prohíben explícitamente actuar de este modo. De la misma manera que las
compañías de seguros se reservan el derecho de retener el pago de una posible
indemnización a aquellos clientes que ocultan información relevante, los casinos
esperan que los jugadores actúen con honestidad. No se permiten las situaciones de
connivencia ni los juegos malabares consistentes en “ajustar” la apuesta después de
conocer el número ganador.
Un casino poco cuidadoso, con una ruleta que no estuviese en perfectas condiciones,
correría el riesgo de generar un sesgo de resultados que alguien podría explotar. Las
ruedas de las ruletas están sujetas a unas especificaciones muy estrictas, se engrasan
periódicamente y se trasladan a menudo a otras mesas para que los resultados de
cualquier mesa sean completamente imposibles de predecir. Los casinos no llevan un
registro de las secuencias de los números que salen, de forma que si considera dicha
información le puede ayudar a mejorar su juego, tendrá que hacer sus propias
observaciones o comprar una de las listas no oficiales.
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Los crupiers son unos expertos en aritmética. Cuando aparece el número ganador,
agrupan todas las apuestas que han perdido y las empujan hacia una rampa donde se
seleccionan automáticamente las fichas por colores. Supongamos que el número
ganador es el 15 y que un jugador ha colocado apuestas de una unidad en dicho
número, la transversal adecuada y dos cuadrados también adecuados; el crupier sabe
que el total que hay que pagar son 62 fichas, además de las apuestas, pero suma 35,
11, 8 y 8 para cerciorarse de su instinto. De la misma manera que los jugadores de
dados no necesitan detenerse para identificar los dobles, los crupieres ven tan a
menudo las mismas situaciones que el número de fichas les viene a la cabeza
inmediatamente.
A pesar de que las apuestas al rojo ofrecen mejor rendimiento económico que las
demás, no son especialmente populares. Desde un punto de vista puramente
aritmético, la regla del cero hace que una apuesta de 18 unidades al rojo sea mejor
que 18 apuestas a un solo número. Pero fijémonos en la psicología: si gana una
apuesta de 18 al rojo, usted conserva esa pila de fichas –tal vez dejándola en el
mismo sitio para la siguiente tirada- y la banca le acerca una pila del mismo tamaño.
Pero cuando gana una de las apuestas a un solo número, la banca le acerca una pila de
35 fichas (mientras que otras 17 fichas perdidas se van, sin darnos casi cuenta, por la
rampa).
Si los casinos tuviesen más posibilidades de hacer publicidad, podrían basarla en una
información como la siguiente. Un jugador podría empezar su recorrido en un casino
que admite apuestas de una libra, para pasar a otros más salubres, dispuestos a pagar
premios de hasta dos millones de libras. Si coloca las apuestas acumuladas en el
número siguiente, cuatro apuestas ganadoras a un solo número transformarían una
libra en 1,7 millones de libras. La probabilidad es pequeña, una entre 1,9 millones,
pero es siete veces más favorable que la que se tiene al compartir un premio gordo de
la Lotería Nacional que haya sido agraciado con dos millones de libras.
Fiódor Dostoievski.
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Dostoievski era un jugador compulsivo, habitual de la ruleta en las ciudades de
veraneo alemanas entre 1863 y 1871. En 1866 escribió El jugador, basándose en gran
parte en su propia experiencia. En sus cartas de ese período explicó que el secreto
para ganar no cosiste en entusiasmarse, sino en mantener fría la cabeza. “Eso es, y si
se sigue esa regla es imposible perder, sólo se puede ganar.” Repitió esa idea en
diversas ocasiones; en mayo de 1867, en una carta escrita desde Hamburgo, su
convicción era total: “Si uno es prudente, es decir, si uno actúa fríamente, como si
fuese de mármol y dispusiera de una cautela inhumana, entonces es seguro que puede
ganar tanto como desee. Pero es necesario jugar durante mucho tiempo, durante
muchos días, y contentarse con poco si la suerte no le acompaña (...). Todo aquel que
juega sin calcular, confiando en la suerte, es un loco (...). Si uno apuesta poco cada
vez, cada día, es imposible no ganar. Es seguro, seguro”.
Con ese convencimiento, consiguió arruinarse muchas veces, pero era capaz de
racionalizar sus pérdidas y achacarlas a un exceso de entusiasmo. En una visita a
Wiesbaden, jugó a la ruleta con el propósito de ganar mil francos que le permitiesen
resistir durante los tres meses siguientes: no sorprenderá saber que perdió todo su
capital en cinco días. Al final de su época de jugador, en abril de 1871, ya no estaba
tan seguro de ganar inevitablemente si seguía un sistema. Parece ser que finalmente
comprendió que si lo que buscaba era ganar determinadas cantidades de dinero para
pagar sus deudas o garantizar su supervivencia, era mucho más probable que
encontrase la ruina. Nunca se sabrá hasta qué punto su renuncia al juego se debió a su
propia voluntad o al hecho de que un decreto oficial clausuró todos los casinos
alemanes, obligando al escritor a regresar a San Petersburgo.
En El jugador, Dostoievski describe con acierto el funcionamiento de la ruleta, pero
contiene un pequeño error en el capítulo 14. El álter ego del autor, Alexis, describe
una apuesta a la docena de números centrales, pero curiosamente sostiene que esa
apuesta “se paga a tres a uno, pero la probabilidad es de dos a uno”. ¡Todavía está por
construirse el casino que pague tres a uno una apuesta que gana 12 veces de cada 37!
Alexis continúa diciendo que la apuesta que acaba de ganar ha transformado sus 80
friedrichs d’or en 200, lo cual es coherente con un pago de tres por cada dos. Se
desconoce la explicación de dicho error, pues el pago de 12 números, o la columna
central, en cualquier casino es de 2 a 1.
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Aquí termina el tema de la ruleta, a partir de este punto el autor sigue con el póquer y
el bacará, para seguir en los siguientes capítulos con loterías y apuestas deportivas. El
autor presenta también el siguiente problema para que el lector lo resuelva:
Supongamos que dispone de 20 libras para jugar en el casino y desea transformarlas
en 100 libras con la máxima probabilidad. Describa exactamente en qué consistirá su
“jugada atrevida”, si se limita a apostar a rojo. ¿qué probabilidad tiene de ganar?.
Compare esta estrategia con la consistente en apostar 16 libras a un bloque de seis
números (que se pagan 5 a 1) y, en caso de perder, apostar las 4 libras restantes al
cero.
En el apartado de las soluciones, encontramos la siguiente respuesta:
La “jugada atrevida” consiste en lo siguiente: cuando se dispone de 50 libras o
menos, hay que apostarlo todo; con más de 50 libras, apueste lo suficiente para
conseguir 100 libras. Si empieza con 20 libras, sea p = 73/148 la probabilidad de
ganar apostando al rojo. La probabilidad de ganar dos veces seguidas y conseguir 80
2
libras es p ; entonces puede ganar, o perder y luego ganar, o perder dos veces y
volver a encontrarse en la situación inicial. Sea x la probabilidad de conseguir el
objetivo. Entonces,
x = p2 [ p + (1 –p ) p + (1 –p )2 X ]
y, por tanto,
x [ 1 –p2 (1 –p )2 ] = p3 (2 –p )
con lo cual x = 0,19286..., una cantidad muy parecida a x = 0,2 que es la probabilidad
de ganar en un juego justo.
Si apuesta 16 libras a 5:1, ganará exactamente 100 libras. La probabilidad de ganar es
6/37. Si pierde (probabilidad 31/37), la apuesta de cuatro libras al cero tiene una
probabilidad de 1/37 de hacer que usted consiga 144 libras. Por consiguiente, la
probabilidad global es 0,1848.
Sí, se puede mejorar. Se podrían apostar tres libras al cero, si se pierde la primera
apuesta, lo cual permite alcanzar el objetivo cuando se gana, y queda una libra
cuando se pierde. Con esta última libra, apueste a tres números (apuesta a 11:1) y
luego a cuatro números (8:1) si ha ganado en la primera apuesta. Con esto, consigue
otros (3/37) x (4/37) = 0,0088, y la probabilidad total se eleva a 0,1936, algo mejor
que apostar al rojo.
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Aquí finaliza todo lo referente a la ruleta que cuenta el autor John Haigh, incluyo en
este momento, como cierre, lo que la Enciclopedia Británica define en la palabra
“gambling”:
Un mito común de jugadores llamado “la doctrina de la madurez de las posibilidades”
(o la Falacia de Monte Carlo) asume erróneamente que cada jugada en un juego de
azar no es independiente de las otras posibilidades. Un gran número de “sistemas”
han sido inventados basados mayormente en esta falacia; los operadores de casinos
son muy felices cuando se promueven estos sistemas y explotan cualquier resistencia
de los jugadores a entender la realidad de las leyes de probabilidad y las posibilidades
independientes.
Con este autor hemos descubierto las leyes de la “probabilidad dura”, veremos a
continuación las leyes de la “probabilidad blanda”, me explico, veremos lo mismo,
pero desde un punto de vista menos serio y más divertido, con lo cual se aprende y se
entretiene al mismo tiempo.
Los siguientes textos están extraídos del libro:
¡ajá!
PARADOJAS
Del matemático: Martín Gardner.
Título original: Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight.
Edición española: Editorial Labor, S. A.
1983
Paradojas acerca del azar, las apuestas y las creencias:
La teoría de probabilidad ha llegado a ser tan esencial en todas las ramas de la ciencia
–no sólo en las ciencias físicas, sino también en las biológicas y sociales-, que a buen
seguro los años venideros pondrán en ella cada vez más fuerte acento en la enseñanza
de matemáticas de nivel elemental. El obispo Joseph Butler, y otros antes que él
(Cicerón, por dar un nombre), han dicho que la probabilidad es guía de la vida
misma. De la mañana a la noche vivimos a base de hacer inconscientemente miles de
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pequeñas apuestas sobre resultados probables. Y si la mecánica cuántica resulta ser
en física la palabra definitiva, el sustrato de las leyes fundamentales de la naturaleza
será el azar puro.
Más que en la mayoría de las ramas de la matemática, en teoría de probabilidad bulle
y pulula un enjambre de resultados fuertemente contrarios a la intuición, de
problemas cuyos resultados parecen absolutamente contrarios al sentido común. En
una planta de un edificio podríamos confiar en que las probabilidades de que la
primera vez que el ascensor se detiene en ella son iguales para subir y bajar.
Paradójicamente, por lo común, esto es falso. En una familia con cuatro hijos
podríamos esperar como lo más verosímil que en ella hubiera dos niños de cada sexo,
pero también esto es falso.
Las ideas sencillas que sobre probabilidad presentamos aquí le ayudarán a
comprender por qué apuestas que parecen favorables en el juego de dados son en
realidad desfavorables. Las paradojas de este capítulo han sido seleccionadas por ser
fáciles de comprender, y porque muchas de ellas admiten modelos con materiales tan
fácilmente disponibles como barajas y monedas. Siempre que ha sido posible, la
paradoja es explicada enumerando todos los casos equiprobables, aun cuando el
problema pudiera resolverse más rápidamente con auxilio de teoría de probabilidad.
Aunque esta resolución directa sea más larga, se adquiere con ella una comprensión
más profunda de la estructura del problema, que no podría conseguirse de otras
formas.
Aunque en último extremo tal vez haya solamente una clase de probabilidad, es
costumbre por ahora distinguir al menos tres tipos principales:
1. La probabilidad clásica, o probabilidad a priori. Suponemos aquí que todos los
resultados del experimento son igualmente probables. Sabiendo que cierto
fenómeno de azar puede admitir n resultados con igual posibilidad, para
conocer la probabilidad de que se presente alguno de los k casos de un
subconjunto dado basta calcular el cociente k/n. Por ejemplo, al lanzar un dado,
si el dado está correctamente construido, puede mostrar con iguales
posibilidades cualquiera de sus seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que
salga un número par? De los seis resultados equiprobables (1, 2, 3, 4, 5, 6), hay
tres que son pares (2, 4, 6), y, por tanto, la probabilidad de sacar puntuación
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par al lanzar un dado es 3/6 = 1/2. Dicho de otra forma, pares e impares están a
la par. La apuesta es justa.
2. La frecuencia relativa, o probabilidad estadística. Esta probabilidad se aplica a
fenómenos cuyos resultados no parecen, en principio, equiprobables. Lo mejor
que podemos hacer es repetir el experimento el mayor número posible de
veces, e ir anotando la frecuencia de aparición de ciertos resultados.
Tendremos un ejemplo cargando un dado de manera que no pueda
determinarse fácilmente por inspección. Lo lanzamos cientos de veces.
Llevando el registro de las puntuaciones podríamos concluir, pongamos por
caso, que la probabilidad de sacar un 6 es 7/10, en lugar del familiar 1/6 del
dado equilibrado.
3. La probabilidad inductiva. Tenemos aquí el grado de verosimilitud y
credibilidad que los científicos atribuyen a leyes y teorías. A causa del
conocimiento insuficiente de la naturaleza puede ser imposible dar una
solución clásica; por otra parte, los experimentos y observaciones pueden ser
demasiado infrecuentes y ambiguos como para impedir el cálculo preciso de
las frecuencias. Por ejemplo, un astrónomo, al examinar todas las pruebas
importantes fundadas en los conocimientos científicos de su tiempo, puede
llegar a concluir que la existencia de agujeros negros es más verosímil que su
inexistencia. Semejantes estimaciones de probabilidad, necesariamente
imprecisas, van constantemente cambiando conforme se van descubriendo
nuevas evidencias relacionadas con la hipótesis.
La falacia del jugador.
Los señores Buenafé tienen cinco niñas y ningún niño.
Señora Buenafé: ¡Cuánto espero que nuestro próximo bebé no sea otra niña!
Señor Buenafé: Querida, después de cinco niñas, forzosamente tiene que ser un niño.
¿Tendrá razón el buen señor?
Hay muchos jugadores convencidos de que podrán ganar a la ruleta esperando a que
se produzca una larga racha de rojos y apostando entonces al negro.
¿Servirá de algo este sistema?
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Edgar Allan Poe argumentaba que si al lanzar un dado se sacan cinco doses seguidos,
la probabilidad de sacar otro dos en la siguiente tirada es menor que un sexto.
¿Tenía razón Poe?
Si ha contestado usted afirmativamente a cualquiera de estas preguntas, ha caído
usted en la trampa conocida como “falacia del jugador”. En todos los casos anteriores
el resultado del siguiente acontecimiento no depende de los precedentes.
La probabilidad de que los Buenafé tengan otra niña es la misma que la de que su
primer hijo ya lo fuera. La probabilidad de que el siguiente número de la ruleta sea
rojo es idéntica a la de que lo fuera el precedente. Y la probabilidad de sacar todavía
un dos en el sexto lanzamiento sigue siendo un sexto.
Para mejor aclararlo, supongamos que el señor Buenafé va lanzando una moneda
equilibrada, y saca cinco caras seguidas. La probabilidad de que en un nuevo
lanzamiento la moneda salga otra vez cara es idéntica a la de antes: un cincuenta por
ciento. La moneda no tiene memoria de lo que hizo en lanzamientos anteriores.
Cuando el resultado del acontecimiento A tiene influencia sobre el acontecimiento B,
se dice que B es “dependiente” de A. Por ejemplo, la probabilidad de que el lector
salga mañana con gabardina depende claramente de la probabilidad de que mañana
llueva, o (más directamente) de cómo y en cuánto estima el lector tal probabilidad.
Los sucesos que en lenguaje ordinario decimos “no tienen nada que ver uno con otro”
se llaman sucesos “independientes”. La probabilidad de que mañana salgamos con
gabardina es independiente de la probabilidad de que el presidente del Gobierno
desayune tostadas con mantequilla.
A casi todo el mundo le cuesta creer que la probabilidad de sucesos independientes
no se vea influida en forma alguna por su proximidad a otros sucesos independientes
de la misma naturaleza. Durante la primera guerra mundial, los soldados del frente
buscaban para guarecerse embudos de artillería recién formados, convencidos de que
los antiguos eran más peligrosos, al ser ya hora de que nuevos proyectiles cayeran por
segunda vez en ellos. Como parece inverosímil que dos granadas caigan una tras otra
en el mismo punto, los soldados razonaban que los cráteres recién formados serían
seguros por algún tiempo.
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Hace muchos años se contaba una historieta acerca de un tipo que viajaba mucho en
avión. Temeroso de que algún día un pasajero pudiera traer a bordo una bomba
escondida, él llevaba siempre en un maletín, desactivada, su propia bomba. Como
sabía que era muy improbable que el avión transportase un pasajero bombista, sería
mucho más improbable –razonaba él- que llevase dos. Evidentemente, no por llevar
su propia bomba modificaba en lo más mínimo la probabilidad de que otro pasajero
la llevase también, como tampoco el lanzamiento de una moneda puede ser influido
lanzando otra.
El más popular de todos los sistemas de jugar a la ruleta, conocido como “sistema de
D’Alembert”, cae de lleno en la “falacia del jugador”: no reconocer la independencia
de sucesos independientes. El jugador apuesta al rojo o al negro (o hace cualquier
otra apuesta que pueda reportarle la misma cantidad que arriesga), incrementando las
cantidades tras cada pérdida, y reduciéndolas tras cada ganancia. El sistema presume
que si la bolita de marfil acaba de otorgarle una ganancia al jugador, de alguna forma
“se acordará” de ello y estará menos dispuesta a dejarle ganar la siguiente vez.
Mientras que si la bolita le hace perder, sentirá compasión del pobre jugador y se
mostrará más complaciente en las próximas vueltas de la rueda.
Está claro que el autor no tiene la mas mínima idea de cómo opera el sistema
D’Alambert, pues este sistema para nada modifica la independencia de los sucesos o
de los resultados, simplemente se trata de una estrategia en el manejo de la caja (las
fichas), si perdemos cuatro veces seguidas, estamos apostando 1, 2, 3, 4 fichas (en
total 10 fichas gastadas), ahora apostamos 5 fichas en la siguiente apuesta y ganamos,
en la siguiente apuesta son 4 fichas (una menos) sobre el tapete, si ganamos
obtenemos 4 fichas más, por último, realizamos otra apuesta de 3 fichas (vamos
decreciendo la apuesta en una ficha cada vez que ganamos), si volvemos a ganar la
apuesta, habremos obtenido en total 5+4+3 = 12 fichas. Resumiendo: antes perdimos
4 apuestas, sin embargo con solo 3 apuestas ganadas recuperamos las diez fichas
perdidas y todavía ganamos dos de beneficio, incluso antes de llegar a retroceder
hasta la apuesta inicial de 1 ficha, lo que correspondería a la igualdad de aciertos y
fallos.
El problema que tiene este sistema tan conocido es que las rachas negativas siempre
tienen tendencia a prolongarse bastante, hay que tener en cuenta, que en cada apuesta
individual, tenemos siempre una mayor cantidad de números en contra que a favor,
18 contra 19 y en las ruletas con doble cero 18 contra 20, por lo que la tendencia o el
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promedio del total de las apuestas siempre tenderá hacia el lado de los fallos, al final,
ocurre que la secuencia se vuelve demasiado larga como para que pueda recuperarse,
ya que para ello se precisaría una gran cantidad de aciertos en un juego donde las
mayores probabilidades se acercan más al lado contrario. Este sistema lleva al que lo
aplica hasta un punto en donde termina por perder todas las fichas.
Precisamente porque cada una de las puntuaciones de una ruleta bien equilibrada es
independiente de todas las puntuaciones anteriores tendremos una demostración muy
sencilla de que ningún sistema de juego podrá dar al apostante ventaja sobre el
casino. La palabra ventaja, en sus acepciones de “a favor” y “en contra”, tiene que
usarse con cuidado. Al lanzar una moneda bien equilibrada hay un caso a favor de
que salga “cara” por cada caso en contra; es un juego justo, o matemáticamente
equilibrado. Empero, un apostador profesional, buscando su beneficio, podría
ofrecernos pagos de 4 pesetas contra apuestas nuestras de 5 al jugar a cara o cruz,
diciéndonos como explicación “que las apuestas están 4 contra 5”. El pago que nos
ofrece es inferior al justo. En su Complete Guide to Gambling (Guía completa del
jugador), John Scarne nos dice:
Siempre que apostamos por menos de nuestra suerte a favor, lo que sucede
sin excepción en toda forma de juego organizado, estamos abonando al
operador un porcentaje de recargo a cambio del privilegio de dejarnos
apostar. Nuestra oportunidad de ganancia tiene “esperanza negativa”,
como dicen los matemáticos. Cuando usamos un sistema, lo que hacemos
es una serie de apuestas, todas con esperanza negativa. No hay forma de
que sumando “signos menos” nos salga al final un “signo más”...
El gazapo de Edgar Allan Poe al hablar de dados aparece en el epílogo de una de sus
narraciones detectivescas, El misterio de Marie Roget. Un dado, lo mismo que una
moneda, una ruleta o cualquier otro dispositivo de generación del azar, engendra una
sucesión de acontecimientos independientes, no influidos en modo alguno por el
comportamiento pasado del dispositivo.
Si el lector se siente inclinado hacia alguna forma de la “falacia del jugador”, ponga a
prueba su creencia simulando una verdadera partida, donde se juegue con algún
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sistema inspirado en la falacia. Por ejemplo, lancemos repetidamente una moneda,
apostando una ficha de póquer (con pagos iguales) solamente si acaba de producirse
una tanda de tres resultados iguales. Apueste siempre a favor del cambio de resultado.
Concretamente, por ejemplo, después de tres caras seguidas, apueste por cruz, y
después de tres cruces, apueste por cara. Al cabo de, pongamos por caso, 50 de estas
apuestas será muy improbable que tengamos exactamente el mismo número de fichas
que al empezar, pero sí debería ser un número cercano. Las probabilidades de ir con
ventaja o con desventaja, esto es, ir perdiendo o ganando, son, por supuesto, iguales.
Cuatro gatitos
Al calcular probabilidades es fácil despistarse. Veamos aquí a un gato y una gata que
se fueron de picos pardos.
Señor Gatos: Oye, salada, ¿cuántos gatitos hemos tenido de la última lechigada?
Señora de Gatos: ¡Pero qué zángano eres! ¿No sabes contar? ¡Pues cuatro!
Señor Gatos: ¿Cuántos han sido machos?
Señora de Gatos: Es difícil de saber. Todavía no te lo puedo decir.
Señor Gatos: No es muy probable que los cuatro hayan sido machos.
Señora de Gatos: Y tampoco lo es que las cuatro sean gatas.
Señor Gatos: A lo mejor sólo hay un gatito macho.
Señora de Gatos: Y tal vez haya solamente una hembra.
Señor Gatos: Calculando no es muy difícil. El que un gatito sea macho o hembra es
cosa de cara o cruz. Así pues, es evidente que lo más verosímil es que haya dos
machos y dos hembras.
¿Ha razonado correctamente el señor Gatos? Comprobemos su teoría. Denotando H a
las hembras y M a los machos, podemos dar la lista de todos los casos igualmente
posibles, que son 16.
MMMM
MHMH
HHHH
HMHM
MHHM
MMMH
HHHM
MMHH
HHMM
MHMM
HMHH
MMHM
HHMH
HMMH
MHHH
HMMM
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Solamente en dos de los 16 casos son todas las crías del mismo sexo. Por tanto, la
probabilidad de que así ocurra es de 2/16, o sea, de 1/8. El señor Gatos estaba en lo
cierto al pensar que este resultado tenía una probabilidad pequeña.
MMMM
MHMH
HHHH
HMHM
MHHM
MMMH
HHHM
MMHH
HHMM
MHMM
HMHH
MMHM
HHMH
HMMH
MHHH
HMMM
Analicemos ahora la descomposición 2 machos – 2 hembras que el señor Gatos había
considerado como más probable. Esta descomposición se presenta 6 veces. Su
probabilidad es, por tanto, 6/16, o sea, 3/8 es más que 1/8. Tal vez el señor Gatos esté
en lo cierto.
MMMM
MHMH
HHHH
HMHM
MHHM
MMMH
HHHM
MMHH
HHMM
MHMM
HMHH
MMHM
HHMH
HMMH
MHHH
HMMM
Pero nos queda otra descomposición más por considerar, a saber, 3 de un sexo y 1 del
otro. Así sucede en ocho casos, y su probabilidad es mayor que la del caso 2-2. ¿No
podrás ser que nos hayamos equivocado?
Si nuestras probabilidades fuesen correctas deberían sumar 1. Así sucede (2+6+8=
16/16), lo que nos dice que con certeza tendrá que darse uno de estos tres casos (4-0,
2-2, 3-1). La estimación del señor Gatos fue errónea. El caso más verosímil no es el
2-2, sino el de 3 de un sexo y 1 del otro.
A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos lo más probable es
que haya tres de un sexo y uno del otro. Experimentalmente podemos corroborarlo
lanzando repetidas veces cuatro monedas. Llevemos registro de cada lanzamiento.
Después de cien lanzamientos, aproximadamente 50 deberían mostrar la partición 31, y alrededor de 33 la partición 2-2.
Tal vez sienta usted curiosidad por las probabilidades de las diferentes reparticiones
de sexos de 5 o 6 hijos. Podemos hallarlas enumerando todas las combinaciones, pero
ello es tedioso. Pudiera convenirle más valerse de los métodos abreviados que
explican los libros de probabilidad.
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Otro problema parecido, cuya solución también contraria a la intuición se refiere a la
forma más probable de distribuirse los palos de la baraja en una mano de bridge. La
menos probable, desde luego, es que la mano contenga las 13 cartas de un mismo
palo. (La probabilidad de que tal ocurra al repartir una baraja bien mezclada es de
158.753.389.899 contra 1) ¿Cuál es, en cambio, la distribución de palos más
probable?.
Incluso jugadores de bridge avezados suelen conjeturar que es la 4.3.3.3. Esto es
erróneo. La mano más probable tiene la distribución 4.4.3.2. Puede esperarse obtener
una distribución de estas características aproximadamente una de cada cinco manos,
frente a las nueve o diez que por término medio requiere la 4.3.3.3. Incluso es de
esperar que salga una 5.3.3.2 cada seis repartos. Puede verse una tabla que da todas
las probabilidades en How to Figure the Odds, de Oswald Jacobi.
De vez en cuando leemos en la prensa que en una partida de bridge algún jugador
recibió una mano perfecta. Las probabilidades en contra son tan astronómicas, que
con casi absoluta certeza la historia es una bola, o bien alguno de los jugadores quiso
gastar una broma pesada y secretamente preparó las cartas, o tal vez lo que pasó es
que se abrió una baraja nueva y el repartidor le dio casualmente dos “peinados”
perfectos. Un peinado perfecto es el que divide la baraja en dos partes exactamente
iguales y después intercala alternativamente una de cada mitad con otra de la otra. En
las barajas nuevas los palos vienen separados. Al darles dos peinados perfectos más
un corte cualquiera el mazo queda preparado para que al repartir se produzcan cuatro
manos perfectas de bridge.
El timo de las tres cartas
En muchos juegos de azar puede resultar desastroso fiar en la intuición para estimar
las probabilidades de éxito. Un sencillo juego de apuestas con tres naipes y un
sombrero así nos lo demuestra.
Gracias a un espejo es fácil comprender cómo son los naipes. El
primero tiene una pica por ambos lados. El último, diamantes por
ambas caras. La carta central muestra una pica en el anverso y un
diamante en el reverso.
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El banquero echa las cartas en su sombrero, las agita, y deja que usted tome una y la
coloque sobre la mesa. El banquero le apuesta peseta por peseta a que el palo de la
cara oculta es igual que el visible. Supongamos que la carta elegida presente a la vista
un diamante.
Para hacerle picar y convencerle de que el juego es justo, el banquero argumenta que
el naipe extraído no puede ser el doble pica-pica. Por tanto, o bien es diamante-pica,
o bien, diamante-diamante. En un caso, la cara oculta es un diamante, en el otro, una
pica. Las posibilidades de ganar son, pues, iguales para ambos.
Si el juego es justo, ¿cómo es que el banquero está desplumándonos
tan rápidamente? Su razonamiento es falaz. En realidad, él lleva
ventaja de dos contra uno.
El truco está en que hay tres, y no sólo dos, casos igualmente
probables. La carta extraída puede ser una pica-diamante, o diamantediamante, con la cara A hacia arriba. O bien puede ser el diamante-diamante, con la
cara B a la vista. En estos dos últimos casos ambas caras son iguales. Por
consiguiente, el banquero gana dos de cada tres juegos.
Este juego de apuestas fue ideado por Warren Weaver, distinguido matemático, y uno
de los cofundadores de la teoría de la información. Weaver presentó este juego en su
artículo “Probabilidad”, en Scientific American, octubre de 1950.
Antes dimos una explicación de las verdaderas probabilidades de este juego. He aquí
otra. Hay dos cartas que tengan igual color por ambos lados. Tomando al azar una
carta del sombrero, hay una probabilidad 2/3 –es decir, dos casos de cada tres- de que
se saque una de estas dos cartas. Por consiguiente, hay probabilidad 2/3 de que la cara
oculta de la carta extraída se igual que la visible.
Este juego es variante de la paradoja conocida por “cajas de Bertrand”, así llamada en
recuerdo de J. Bertrand, matemático francés que la presentó en un libro sobre
probabilidad, escrito en 1889. Bertrand imaginaba tres cajas. Una contenía dos
monedas de oro; otra, dos de plata, y una tercera, una moneda de oro y otra de plata.
Se elige al azar una de las cajas. Como es obvio, hay probabilidad 2/3 de que las dos
monedas de esa caja sean iguales.
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Supongamos, empero, que de la caja elegida sacamos una moneda, observándose que
es de oro. Ello nos dice que la caja no puede ser la que contiene “plata-plata”. Por
consiguiente, tiene que ser, bien la “oro-oro”, bien la “oro-plata”. Siendo igualmente
probable que la elegida haya sido una cualquiera de estas dos, parece como si la
probabilidad de elegir una caja con monedas iguales hubiera bajado a 1/2. El mismo
razonamiento serviría si la moneda extraída hubiese sido de plata.
¿De qué forma puede alterarse la probabilidad de que la caja contenga monedas
iguales por la observación de una de sus monedas? Como es obvio, de ninguna.
He aquí otra paradoja del mismo estilo. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres
monedas muestren las tres la misma cara? Es seguro que al menos dos tendrán que
salir iguales. La tercera podrá mostrar bien la misma cara que las otras, bien cara
distinta. Como “cara” (C) y “cruz” (X) tienen iguales probabilidades de aparición,
habrá el cincuenta por ciento de probabilidades de que al caer muestre igual cara que
las otras dos. Por consiguiente, la probabilidad de que las tres monedas presenten la
misma cara parece ser de 1/2.
Podemos hacer ver la falacia de tal razonamiento enumerando los ocho casos
posibles:
CCC
XCC
CCX
XCX
CXC
XXC
CXX
XXX
Observemos que sólo en dos de los ocho casos muestran iguales caras las tres
monedas. Las ocho ordenaciones son equiprobables; por consiguiente, la probabilidad
correcta es 2/8 = 1/4.
Tragasuertes
La próxima vez que vaya usted al parque de atracciones, ¡no se acerque al
tragasuertes! Muchos son los engatusados que juegan a él, imaginando que nunca
podrán perder. El bombo del tragasuertes tiene en su interior tres dados, que son
agitados volteando repetidamente la jaula. Los jugadores apuestan por cualquier
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número del 1 al 6, y reciben de premio la misma cantidad que apuesten por cada dado
que salga con su número. Los jugadores suelen razonar así:
Señor Pánfilo: Si el juego tuviera un solo dado, mi número saldría una vez de cada
seis juegos. Si el bombo tuviera dos dados, saldría dos veces de cada seis. Como tiene
tres, habrá de salir tres veces de cada seis. Así estaríamos a la par.
Señor Pánfilo: Pero en realidad, soy yo quien lleva ventaja, porque si apuesto, por
ejemplo, 100 pesetas al 5, y el 5 sale en dos dados, ganaré 200 pesetas. Y si saliera en
los tres, ¡entonces serían 300! ¡Seguro que el juego va a mi favor!.
Con linces así, no es milagro que los dueños de casinos sean millonarios. ¿Por qué el
tragasuertes le da, en realidad, un fuerte porcentaje a la casa?.
El tragasuertes, que en Estados Unidos llaman chuck-a-luck, se juega allí en muchos
casinos. En Inglaterra, a principios del siglo pasado se hizo popular con el nombre de
sweat-cloth. Más recientemente ha sido conocido como bird cage. En los pubs
ingleses y australianos suele jugarse con tres dados, cuyas caras llevan una pica, un
diamante, un corazón, un trébol, una corona y un áncora, y por eso es llamado
“corona y áncora” [crown and anchor].
En las ferias, para atraer parroquia, el operador suele gritar: “¡Tres ganan y tres
pierden en cada partida!”, dando así la impresión de que el juego es justo. El juego
sería verdaderamente justo si los dados mostrasen siempre tres números distintos.
Tras cada vuelta del bombo, el feriante recaudaría 300 pesetas (admitiendo que las
apuestas sean a 100 pesetas) de los tres perdedores y pagaría 300 pesetas a los tres
ganadores. Por fortuna para el operador, con mucha frecuencia se repite un número
en dos o tres dados. Si la repetición se produce en dos, ingresa 400 y paga 300,
embolsándose 100 pesetas. Y si la repetición fuese triple, por cada 500 pesetas que
cobre pagará 300, logrando una ganancia de 200. Gracias a estos dobletes y tripletes
gana la casa su porcentaje.
La paradoja del ascensor
Quienes hacen uso frecuente de ascensores quedan perplejos a menudo ante otra
extraña paradoja de la teoría de probabilidad. Vamos a suponer que en un edificio
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alto, los ascensores se mueven independientemente unos de otros, y que por término
medio, su tiempo de parada en cada planta sea el mismo.
El señor Arribas tiene su oficina en uno de los pisos más altos. Y está muy molesto.
Señor Arribas: ¡Condenación! ¡El primer ascensor que se detiene aquí está
subiendo! ¡Siempre pasa lo mismo! ¡Claro! ¡A lo mejor en la planta baja fabrican
ascensores, y para sacarlos, se los llevan por helicóptero desde el terrado!.
La señora Ayuso trabaja en una de las primeras plantas. Para almorzar tiene que subir
hasta el ático, donde está la cafetería. Y también está que trina. Señorita Ayuso: ¡Es
que no lo entiendo! ¡Siempre que necesito ascensor, el
primero en llegar está bajando! ¡Vamos, ni que los trajeran
por el tejado para almacenarlos en el sótano!
Un sencillo diagrama aclara el misterio. Para el señor Arribas
sólo descienden los ascensores de la zona oscura del pozo
correspondiente. Esta región es pequeña comparada con la de color claro, así que la
probabilidad de que se encuentre el ascensor debajo de él es muy grande. El mismo
razonamiento, a la inversa, vale para la señora Ayuso.
Romeo indeciso
¿Conoce usted el caso del donjuán irresoluto? Romeo
no lograba nunca decidir a cuál de sus chicas quería
visitar. Una vivía al este; la otra, al oeste. Cada día, a
horas elegidas al azar, el muchacho iba a su estación
de metro y tomaba el tren que antes llegara. Los trenes,
tanto los de dirección este como los del oeste, pasaban a
intervalos de diez minutos.
Tren próximo
hacia el este hacia el oeste
12:00
12:01
12:10
12:11
12:20
12:21
Una tarde, la chica “este” le dijo: Esther: ¡Qué contenta
estoy! ¡Por término medio vienes a verme nueve de cada diez
días!.
Pero otra tarde, la chica “oeste” le sacó las uñas. Westy: ¡Ya
está bien! ¡Sólo se te ve el pelo cada diez días!.
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Esta curiosa situación recuerda el problema de los ascensores. Aunque los trenes
pasan a intervalos regulares de 10 minutos, los trenes de dirección oeste llegan
siempre un minuto después de haber salido de la estación uno de dirección este. El
muchacho sólo tomará el tren de dirección oeste si llega en alguno de los intervalos
de 1 minuto sombreados en el reloj. Para tomar un tren hacia el este, le basta llegar en
alguno de los intervalos de 9 minutos que vemos en blanco. La probabilidad de ir
hacia el oeste es una décima, mientras la de ir hacia el este es de nueve décimas.
En esta paradoja, los tiempos de espera entre dos trenes están fijados por el horario.
En una sucesión de acontecimientos aleatorios, el “tiempo medio de espera” entre
acontecimientos se calcula sumando n tiempos de espera consecutivos, y dividiendo
por n. Por ejemplo, el tiempo medio de espera del joven para tomar trenes de
dirección este es de 4 ½ minutos, mientras su tiempo de espera para trenes de
dirección este es de medio minuto.
Hay otras muchas paradojas sobre el tiempo de espera. Tal vez le agrade vérselas con
ésta. Al lanzar una moneda, el tiempo medio de espera de “cara” (o de “cruz”) es de
dos lanzamientos. Esto significa que al tomar una larga lista de resultados de
lanzamientos y contar cuántos lanzamientos separan una cara de la siguiente, el
“tramo” medio (sin contar la primera, pero sí la segunda) es de dos lanzamientos.
Imaginemos una larga columna de resultados de lanzamientos. Seleccionemos al azar
un espacio entre dos anotaciones consecutivas (por ejemplo, cerrando los ojos y
trazando a través de la lista una raya horizontal). Buscamos las caras más cercanas
por arriba y debajo de la traza, y contamos la separación entre ambas, incluyendo
como antes la de abajo, pero no la de arriba. ¿Cuál será el intervalo medio entre
caras?.
Intuitivamente parece que la respuesta debería ser: dos lanzamientos. En realidad son
tres. La razón es la misma por la cual el joven toma normalmente el tren de dirección
este. Algunas rachas entre caras son cortas; otras, largas. La línea trazada al azar
viene a ser como la llegada del mozo al andén, que se produce en momentos al azar.
Es más probable que nuestra raya atraviese una racha larga que una corta.
He aquí una demostración sencilla de que la solución es tres lanzamientos. Las
monedas no tienen recuerdo de su conducta pasada, así que doquiera demos el corte,
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el tiempo medio de espera hasta la primera cara habrá de ser dos lanzamientos. Otro
tanto es cierto si “damos marcha atrás” al tiempo, y contamos “hacia atrás”; el tramo
medio entre caras es dos veces 2, o sea 4, contadas ambas caras. Puesto que al definir
el tramo hemos convenido en incluir una de las caras, pero no la otra, la longitud del
intervalo es 4 – 1 = 3.
Con la ruleta, el problema correspondiente nos deja más perplejos todavía. Una rueda
de ruleta suele tener 38 números, pues incluye un 0 y un 00. Por tanto, el número
medio de lanzamientos de espera para un número dado, el 7 por ejemplo, es de 38.
Sin embargo, al tomar una larga lista de resultados de la ruleta y elegir en ella al azar
un espacio de separación, el intervalo medio que selecciona, desde un 7 hasta el
siguiente, no mide 38, sino (2 x 38) – 1 = 75.
Y hasta aquí, tenemos todo lo que Martin Gardner nos cuenta sobre azar,
probabilidades y juegos.
Debido al uso constante de los términos de “probabilidad” vamos a ver unas
definiciones similares.
Las siguientes definiciones están extraídas del siguiente libro:
MATEMÁGICAS
Ignacio Soret los Santos
Editorial ESIC, Madrid 2003
Ciertos conceptos, digamos, resbaladizos:
POSIBLE
PUEDE OCURRIR O HABER OCURRIDO
Algo puede o no puede ocurrir
No me parece posible que pueda ser poco o muy posible.
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Nuestra capacidad de asombro disminuye con el tiempo; casi todo nos parece posible.
¿Habrá vida extraterrestre?: es posible en el sentido, al menos, de que creo que nadie
puede decir que no con cierta rotundidad. Esto hace que, por el momento, no pueda
demostrarse pero tampoco refutarse. O era posible o no era posible llegar a la luna; en
todo caso, ente la duda, era poco probable o muy probable. ¿Quién puede decir si es
posible o no que haya vida en Júpiter? Aún más: ¿quién puede cuantificar la
probabilidad de que eso ocurra?
PROBABLE
En principio, sugiere que algo se puede probar.
El probabilismo es la doctrina por la que cualquier opinión tiene cierto grado
de probabilidad (de que suceda o no) y no es nunca totalmente verdadera ni
totalmente falsa.
Si admitimos la acepción de susceptible de ser probado, tenemos un pequeño
problema. Se suele asignar un grado de probabilidad a que un partido político gane
las elecciones o no, y, además, admitimos que es posible que las gane; si no tenemos
datos para intuir una cosa u otra, decimos que la probabilidad es del 50% (o gana o
no gana); pero no podemos probar un suceso que está por ocurrir. ¿es probable?
Desde luego, es posible ya que puede ganar o perder; es más, seguro que gana o
pierde en el supuesto de no retirarse.
PROBABILIDAD A PRIORI
(Concepto matemático)
Cuando conozco todos los casos posibles de un fenómeno, se puede establecer la
probabilidad de que suceda un caso u otro. Lamentablemente, salvo en juegos, pocos
fenómenos sociales cumplen con esta circunstancia. Del fenómeno lanzar una
moneda o un dado conozco todos los casos posibles de ocurrencia. Sea el dado: es
posible que salga 1, 2, 3, 4, 5 ó 6: seis casos posibles. Si deseo saber con qué
probabilidad saldría el 5 (caso favorable) puedo repetir el experimento lanzar el dado
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hasta la saciedad (hasta el infinito). Veremos entonces que cada número ocurre el
mismo número de veces, y formulamos:
Casos favorables
Probabilidad = -------------------Casos posibles
1
p = --- = 0’1666...
6
El 16’66...% de las veces que tiremos el dado saldrá un 5 (y cualquier otro número,
ya que todos tienen la misma probabilidad de salir). No olvidemos que esto es
rigurosamente cierto si lanzamos el dado un número infinito de veces (cosa que
nunca se ha hecho todavía y que, además, es imposible).
La probabilidad no nos asegura pero nos orienta.
¿Qué prefiere, jugarse 1.000 euros a que al lanzar dos dados la suma sea 6 o
que sea 2 ó 10?
Un ejercicio mental para conocer todos los casos posibles puede ser difícil. Hagamos,
entonces, una tabla con todas las posibilidades. Las sumas correspondientes a los dos
dados pueden verse así cómodamente. Se obtiene un 2 si salen (1, 1) y un 10 si sale
(4, 6) ó (6, 4) ó (5, 5), siendo (resultado de dado 1º, resultado de dado 2º). La tabla de
posibilidades se construye así:
1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6
2+1, 2+2, 2+3, 2+4, 2+5, 2+6
3+1, 3+2, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6
4+1, 4+2, 4+3, 4+4, 4+5, 4+6
5+1, 5+2, 5+3, 5+4, 5+5, 5+6
6+1, 6+2, 6+3, 6+4, 6+5, 6+6
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
7
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6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
Casos posibles = 36
Casos favorables (favorables a nosotros por los que apostamos):
De salir un 6 = 5
De salir un 2 ó 10 = 4
Probabilidad a priori:
5
P (6) = ---- = 0’1388 == 13’88%
36
4
P (2 ó 10) = ------ = 0’1111 == 11’11%
36
Yo apostaría (si no tengo más remedio que hacerlo) por “salir 6”, aun a sabiendas de
que es poco probable (13’88%). Lo cierto es aunque la probabilidad de ocurrencia de
un suceso sea alta (por ejemplo, salir una suma superior o igual a 6, P ( ) = 26/36 =
0’7222 72’22%) puede no suceder. Cualquier apuesta probabilística implica riesgo.
Precisamente, viene a cuento un párrafo del libro de José María Silleras “El juego
y...”, con referencia al Mus, pero que se puede aplicar a cualquier tema de
probabilidad:
“Curiosamente hay mucha gente que no cree en los cálculos de probabilidades porque
una vez les dijeron que con una determinada jugada tenían el 80% de probabilidades
de ganar, y sin embargo perdieron. Claro, ¡y lo mismo podía haber ocurrido con una
cifra del 99%! Como venimos diciendo en numerosas ocasiones, la probabilidad sólo
se convierte en certeza con un número infinito de sucesos pero, aunque eso no pueda
darse, por definición, no invalida que intentemos aprovechar al máximo las
probabilidades cuando juegan a nuestro favor. A lo largo de nuestra vida, si somos
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jugadores, habrá infinidad de ocasiones de aplicarlo, y, si así hacemos, podremos
estar seguros de haber sacado la máxima ventaja de un azar, siempre impredecible.”
Y sigamos con las Matemágicas:
PROBABILIDAD PUÑETERA
La probabilidad de que le toque la lotería primitiva es muy pequeña; concretamente
de 1 sobre casi 14 millones si juega una sola combinación, lo que da un uno seguido
de muchos ceros (0’00000007). La probabilidad es “casi cero”, suceso casi imposible
(diríamos los matemáticos).
Casi imposible, sí; se preguntará por qué juega ya que “casi seguro que no me toca”.
Pero ¿se ha dado cuenta de que “casi siempre” le toca a alguien que tiene esa misma
probabilidad birriosa que usted?.
Lo mismo sucede con otros fenómenos. La probabilidad de que usted tenga un
accidente hoy es pequeña; y quizá más pequeña de que se le queme la casa (con las
pocas que se queman...). Pero alguien tendrá hoy un accidente o se le quemará su
casa, se lo aseguro, ya que así lo dice la experiencia (todos los días hay accidentes).
La probabilidad de que hoy se queme una casa es elevadísima; pero no apostaría por
que fuese la suya. No obstante, no tiente al azar y no cometa imprudencias.
PLAUSIBLE
Admisible.
Admisible es el mejor sinónimo que he encontrado para plausible. Le pondré un
ejemplo: ya sabemos que la probabilidad de que al lanzar una moneda no trucada
salga cara o salga cruz es 0’5, al 50%; también sabemos usted y yo que puede ocurrir
que salgan ocho caras seguidas en los primeros ocho lanzamientos; es decir, esto es
posible (aunque a alguien le parezca raro, entendiendo matemáticamente “raro” como
el suceso de muy poca frecuencia); ¿cuál es, en esta última situación, la probabilidad
de sacar nuevamente cara en el noveno lanzamiento?: no nos equivoquemos, sigue
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siendo 0’5; es más, es posible que vuelva a salir cara. Y no olvidemos que la
probabilidad de salir cruz también es 0’5.
Ahora bien, muchas personas con las que he hablado del tema, apostarían
fuertemente a “cruz en el noveno lanzamiento” después de haber salido ya ocho caras
seguidas. ¿Por qué? Sigue siendo un misterio. No es un misterio, tiene su
razonamiento en el juego, cosa que explicaré en breve.
Lo más cercano a esclarecer este misterio es la plausibilidad, ya que muchas personas
admiten un suceso venidero aun en contra de la probabilidad. Si alguna vez ha estado
ante la ruleta de un casino, siempre encontrará a alguien apostando con “seguridad”
(probabilidad 100%) a rojo después de una racha de varios negros.
Creemos que en infinitas tiradas saldrá el mismo número de veces el rojo y el negro
(supongámoslos equiprobables) pero no sabemos en qué orden. ¿Quién apostaría a
que en infinitas tiradas saldrá la secuencia c+c+c+c+c+c+c+c+c+c............? En esta
secuencia hay el mismo número de caras que de cruces (+) pero una cierta intuición
nos dice al oído que no parece “probable” que lo haga en ese orden.
De otro modo, por resumir: es posible cualquier secuencia con cierto grado de
probable pero ciertas secuencias no son plausibles (plausibilidad = probabilidad
práctica, según el estadístico John G. Kemeny).
Y aquí terminan las matemágicas.
Hora de explicar el porqué se suele apostar a cruz después de ocho caras, o lo que es
lo mismo, porque apostar a rojo después de 12 negros seguidos en la ruleta (o a la
inversa):
La probabilidad de que después de 12 negros salga otro negro o se rompa el color,
sigue siendo del 50%, tanto puede salir uno como el otro. Pero por otra parte, el ser
humano es observador y si algo “no sucede muy a menudo” es precisamente ver
series muy largas del mismo color, por tanto, ante una probabilidad tan grande 50%
de las opciones posibles, sabemos que de un momento a otro se romperá esa serie
consecutiva de dicho color.
Evidentemente, no somos adivinos y no podemos precisar el punto exacto en que se
va a romper, por ello, lo usual no es precisamente apostar fuerte después de 12 negros
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(puede que haya quien lo haga, pero no es la opción correcta, es un error), lo más
sensato es realizar 3 apuestas a ruptura, de forma que esperamos que esa serie se
rompa en 12, 13 o 14 jugadas, por ejemplo apostando 3 fichas a que rompe el color,
si fallamos apostamos 6 y si volvemos a fallar, apostamos por última vez 12 fichas, si
ganamos en cualquier punto (se rompe la serie), terminamos ganando 3 fichas, si la
serie se prolonga más de 14 negros perdemos en total 21 fichas (no es demasiado), se
trata de equilibrar el riesgo con el beneficio, apostar demasiado puede resultar
contraproducente, ya que una serie se puede alargar e incluso superar los 20 giros del
mismo color.
En general, como estas series las veremos muy pocas veces, es por eso, que la
mayoría de jugadores aprovechan la ocasión, y generalmente sale bien, por ello
mismo, insisten en el mismo tipo de apuesta para la próxima ocasión que ocurra. El
problema real surge si intentamos aplicar “este sistema” de forma fija y
prolongadamente, si se juega ocasionalmente podemos acertar tres o cuatro
ocasiones, pero si buscamos repetidamente estas secuencias por todas las mesas y
todos los días, ocurrirá que lo que prevalecerá a la larga serán siempre los promedios,
es decir, que ganaremos 3 fichas en seis ocasiones y perderemos 21 fichas en la
séptima ocasión, de forma que a la larga terminaríamos perdiendo poco a poco, sería
un método que por sí mismo se iría equilibrando con varias series ganadas y algunas
perdidas.
Resumiendo, si se juega ocasionalmente, puede ocurrir dos cosas; o tenemos suerte y
en las pocas ocasiones que lo aplicamos nos sale estupendamente, o bien, fallamos en
casi todos los intentos, sería un ejemplo real de “mala suerte”, cosa que es posible en
el azar. Lo que sí es seguro, es que si en lugar de hacerlo ocasionalmente lo
realizamos habitualmente, la ventaja será para el casino, en un porcentaje aproximado
al famoso 2,7%.
Por este motivo no es de extrañar que la mayoría de jugadores realicen este tipo de
apuestas, pero no porque tengan “la seguridad absoluta” de que se romperá justo en
ese punto en que realizan su apuesta. Se puede romper en cualquier punto “futuro”,
por ello no es conveniente apostar demasiado, ya que el riesgo a asumir es alto, pues
no tenemos ninguna certeza de que se va a romper muy en breve, posibilidades sí las
tenemos, pero certezas, ninguna.
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Otro libro donde podemos encontrar algunas recomendaciones o consejos sobre el
juego y las apuestas, desde el punto de vista de los matemáticos, es la selección de
textos que muestro a continuación y que pertenecen al siguiente libro:
CONTAR BIEN PARA VIVIR MEJOR
Autor: CLAUDI ALSINA
Edición: Junio 1998, Rubes Editorial, S.L.
Consejos matemáticos para dejar de apostar
La mayoría de personas tienen unas determinadas posibilidades económicas y saben
adecuar su ritmo de vida (es decir, sus gastos) a dichas posibilidades. Otras personas
están en prisión por haber ido demasiado lejos en este asunto. Pero hay un dichoso
grupito, infinitamente más pequeño que la mayoría y mucho más pequeño que la
población penitenciaria que logra, mediante el azar, dar un salto cuantitativo en
alguna ocasión (una quiniela al 15, un bote de bonoloto, diez décimos de Navidad,
entre otras). Por culpa de este dichoso grupito, que actúa de reclamo, son legión las
personas que periódicamente juegan a algún juego de azar con la esperanza, siempre
renovada, de perder poco, pero en alguna ocasión “ganar mucho”.
El azar como compañero de juego en tediosas tardes es, evidentemente, divertido. Es
el aliciente de la incertidumbre cuando no sucede nada. Su solitario, su parchís o su
dominó tienen una pequeña intriga de azar y lo único que apuesta usted es un rato de
su vida.
Desde hace siglos, sin embargo, los Estados han estudiado concienzudamente los
juegos involucrando azar y dinero y se han otorgado el papel de banca. Saben muy
bien que la banca no arriesga nada y tiene ganancias seguras. A usted no le dejarán
montar un casino o vender “su lotería”. Ellos lo montan, lo vigilan y lo recaudan.
Este negocio nunca es motivo de privatización. Es un atraco a sus bolsillos realizado
con los agravantes de publicidad, diurnidad, premeditación y periodicidad.
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Los apartados que siguen tienen como único objetivo intentar convencerle de que no
apueste absolutamente nada a juego oficial alguno, superando este demonio del color
de billete de lotería que nos guiña el ojo y nos repite que nosotros podemos ser los
afortunados ganadores.
La siguiente vez será favorable.
“Una tirada más y basta”.
En muchas situaciones relacionadas con juegos de apuestas habrá observado la
irresistible tentación que tienen muchos jugadores de “esperar un momento
favorable” y retirarse. En las primeras jugadas, a las cartas o frente a una máquina
tragaperras, el jugador puede vivir momentos de euforia o contrariedad. Pero, cuando
ya se ha jugado mucho, pueden ocurrir dos cosas. Si la ganancia ha sido notable,
puede surgir una autoanimación (“hoy es mi día”) que desencadena un ataque de
ambición (“a ver si doblo”) y una decisión extrema (“venga, me lo juego todo”). El
final lo puede suponer: la velada acaba con las manos en los bolsillos vacíos. La otra
alternativa es que, ante la debacle, el jugador arriesgue un poco más para ver si en “la
siguiente” al menos recupera algo. El final también está cantado.
En juegos de azar debe tener en cuenta la probabilidad de lo que puede ocurrir. Si tira
un dado, la probabilidad de sacar un tres es 1/6 = 0,1666, si extrae una carta de una
baraja de 48 cartas la probabilidad de que el as de corazones llegue a sus manos es
1/48 = 0,020833. La teoría de la probabilidad dice que, si usted tira el dado muchas
veces consecutivamente y anota las frecuencias con que sale, pongamos por caso, un
tres (28 veces en 100 tiradas; 170 en 1000, etc.), estas frecuencias tenderán siempre a
la probabilidad 0,166..., es decir, de cada 100 tiradas unas 16-17 veces saldrá un tres.
Así, la práctica (las frecuencias) se aproximará siempre a la previsión teórica (la
probabilidad).
Como los juegos de apuestas ya han sido inventados para que gane la banca, cuanto
más juegue, cuantas más “siguientes jugadas” encadene, más segura estará la banca
de ganar y más seguro será que usted pierde. En juegos con sólo apariencia de azar,
como las máquinas tragaperras, la ganancia incluso está programada en función de
los ingresos de la misma. Una vez más, la banca nunca pierde. Por tanto, ante una
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máquina de un bar lo inteligente es no jugar. Pero si no puede resistir la tentación, lo
mejor es aplicar el principio del “barman deshonesto”: sólo empezar a jugar cuando
ya haya visto a muchos otros perder.
Consejo: La “siguiente vez” únicamente empeorará su situación. Reténgase. Y si
puede, intente que no haya ni tan sólo una primera vez. Las frecuencias con que las
cosas ocurren no son números locos e imprevisibles, sino que siempre tenderán a los
valores esperados: la pérdida por su parte y la ganancia de la banca.
Yo puedo ser el ganador.
“¿Verdad que le tocará a alguien? Pues este alguien puedo ser yo”
Claro que le tocará a alguien. Sin este “alguien” no lograría exaltarse la codicia y la
participación de muchos “otros”. Usted no debe pensar en que será ese “alguien”,
sino que será de los “otros”. Simplemente medite lo siguiente: en todas las acciones
de su vida usted da gracias por ser de los “otros” y no el “alguien”. Usted sale a la
calle, y va al trabajo, y a pasear, con la certeza personal de que no será la víctima de
un asesino suelto, que no le caerá un balcón en la cabeza, que no será secuestrado por
unos atracadores que huyen, entre otros sucesos posibles. Su experiencia ciudadana le
dice que a la mayoría de transeúntes, trabajadores y visitantes todo esto no les pasa,
aunque los periódicos siempre le recuerdan que hay “alguien” a quien sí le ocurre. Y
esto le permite hacer su vida. Si usted creyera firmemente en que es una de esas
víctimas, vivirá encerrado en su casa, alejándose del mundanal ruido. Pues, bien, si
cree que no le va a pasar lo que es negativo, ¿por qué piensa que puede ser el ganador
de algo excepcional?.
Consejo: Lo excepcionalmente bueno o malo sólo afecta, afortunadamente, a unas
pocas personas. No quiera estar en este grupo porque el estar en él no depende de
usted. No dé a ganar dinero a los organizadores alineándose con el numerosísimo
grupo de los perdedores. Asegúrese de ser el ganador: no juegue. Habrá ganado
(¡seguro!) lo que no ha perdido.
La esperanza, lo último que se pierde.
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“Al final... algo ganaré”
La esperanza es una virtud humana totalmente necesaria para vivir. Pero aquí nos
referimos a la esperanza matemática que consiste en evaluar aquello que es esperable
ganar en un juego.
Imagine que jugando a tirar un dado, si sale seis, usted gana 1000 pesetas y, en caso
contrario, usted paga 100 (o si lo quiere en forma más sofisticada, gana –100
pesetas). Como la probabilidad de salir seis es 1/6 y de que no salga seis es 5/6 la
esperanza de este juego sería:
Lo que indica qué cantidad es esperable ganar en promedio por jugada. Nadie le
ofrecerá un juego así.
Suponga ahora otro juego. Se tiran dos dados. Si sale un seis en cada uno, gana 200
pesetas, si sale sólo uno, gana 100 pesetas y, si no sale ningún seis, paga 100 pesetas.
La probabilidad de que salgan los dos dados con seis será
O sea, que una de cada 36 veces se ganan 200 pesetas. Que salga un solo seis, es
decir, que salga en un dado y no en el otro, tiene la probabilidad
Lo que significa que en diez ocasiones de cada 36 gana 100 pesetas. Finalmente, que
no salga ningún seis tiene la probabilidad
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Es decir, en 25 ocasiones de cada 36 pagará 100 pesetas. La esperanza de este juego
será pues:
Lo que indica la necesidad de no jugar pues, en promedio, tendrá su cuenta en
números rojos.
En los ejemplos anteriores, “la esperanza” era calculable haciendo la suma de los
productos de ganancias o pérdidas por sus respectivas probabilidades. ¿Qué ocurre en
la práctica? La ley de los grandes números asegura que, si usted realiza experiencias
aleatorias y va calculando los resultados medios globales, de acuerdo con las
frecuencias en que dichos resultados salen, a la larga, estos promedios reales tenderán
a la esperanza matemática. En el juego con los dos dados que hemos expuesto antes,
usted inicia el juego, salen dos seis, gana 200 pesetas y se va. Pero después vendrá
otro y hará varias apuestas, y otro, y otro... En promedio, “la banca” tenderá a una
ganancia media de 36,11 pesetas por jugada realizada.
Consejo: Evalúe la esperanza teórica de un juego-apuesta. Si es negativa, no juegue.
La ley de los grandes números asegura que los promedios de las jugadas tenderán
siempre a la esperanza teórica. Para la banca, esta esperanza es siempre positiva.
No lo piense más, sea usted la banca.
“¿No será muy arriesgado?”
Después de todo lo dicho usted ya debería haber llegado a la conclusión de que no le
conviene jugar su dinero a nada. Si algo debería interesarle es ser usted “la banca”, el
organizador de una lotería, el dueño de un casino, el promotor de un sorteo, etc. No le
dejarán. El negocio es demasiado apetitoso para dejarlo en manos privadas. Deberá
conformarse, a lo sumo, con montar un bar y poner una máquina tragaperras o sortear
una cesta de Navidad con alguna excusa creíble.
Para acabar este análisis del juego, piense por un momento en la banca. Un primer
pensamiento totalmente ingenuo podría ser del tipo “¡oh! la banca también se la
juega”. Absolutamente falso. La banca, es decir, el casino, las loterías, etc., de lo
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único que deben preocuparse es de que sus clientes jueguen mucho rato o compren
muchos boletos o décimos. Abrir muchas sucursales o puntos de venta, hacer
anuncios, regalar copas o puros, emitir nuevos sorteos que capten la atención (con
sólo tres dígitos, con 49, rascando, cortando o lo que sea); éstas deben ser las grandes
preocupaciones e inversiones para difundir el juego y mantener el interés por él. La
teoría de la probabilidad es la que asegura a la banca la tranquilidad más absoluta.
El teorema del límite central asegura que para un gran número de repeticiones de un
fenómeno aleatorio, las medias de las distribuciones de valores que van saliendo
siempre tenderán a una “distribución normal”, es decir, la inmensa mayoría de
resultados se acumulará en valores próximos a uno central. Si juega a la ruleta
americana (¡Dios no lo quiera!), imaginemos que hace 50 apuestas a rojo o negro, de
las cuales gana en 30 y pierde en 20. Si en cada apuesta invierte 1.000 pesetas, su
ganancia media habrá sido
¡Ha sido una buena noche! Si repite estos resultados muchas noches, la distribución
(normal) de las ganancias medias se concentrará entre + 3670 y – 4730. ¿Qué le
ocurrirá al casino? El casino está apostando contra “todos los jugadores a la vez” y su
ganancia media en 1000 apuestas de 1.000 pesetas cada una tenderá a oscilar entre el
4,4% y el 6,2%, es decir, de 1.000.000 de pesetas apostadas, una vez pagadas las
ganancias, el casino tendrá limpias entre 44.000 y 62.000. Muchos pierden, otros
ganan algo, pero el casino siempre ingresa. Cuantas más apuestas se hagan, mejor. El
casino puede predecir sus ganancias.
Consejo: Los apostantes, colectivamente, pierden. Su pérdida global es la ganancia
segura de los organizadores. Si tiene oportunidad, monte un casino o venda lotería
emitida por usted: ganará dinero. Si por casualidad juega y gana algo, retírese
inmediatamente; tendrá un buen recuerdo y lo podrá explicar. Si persiste, sólo
conseguirá perder.
Y esto es todo. Cerramos este tema con el comentario de Patrick Billingsley:
“Ningún sistema puede convertir un juego desfavorable en un negocio rentable”.
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