ALGEBRA MODERNA Tarea No. 5 Grupos actuando sobre

ALGEBRA MODERNA
Tarea No. 5
Grupos actuando sobre conjuntos y Sylow
1. Demuestra el siguiente resultado. Sea G un grupo y sea H un subgrupo
de G tal que [G : H] = n. Entonces existe un homomorfismo de grupos
F : G → Sn tal que NF = Ker(F ) es un subgrupo normal de H.
Sugerencia: Es análogo a la demostración del Teorema de Cayley.
2. Si G actúa sobre un conjunto X y g ∈ G. Demuestra que, cada función
αg es biyectiva.
3. Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X y x ∈ X. Demuestra
que el estabilizador de x, Gx , es un subgrupo de G.
4. Considera el conjunto X = {1, 2, 3} y G = hψi.
(a) Describe la órbita del 2, O (2);
(b) Describe el estabilizador del 2, G2 .
5. Considera el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, α ∈ Sn y G = hαi actuando
sobre X.
(a) Describe O (i), para i ∈ X;
(b) Demuestra que Gl = G si α fija a l;
6. Sea G un grupo. Considera a G actuando sobre sı́ mismo por conjugación . En este caso a la órbita de x ∈ G:
O(x) = {y ∈ G : y = axa−1 para algun a ∈ G}.
se le conoce como la clase de conjugación de x y se denota por xG .
(a) Demuestra que, z ∈ Z(G) (centro de G), si y solamente si, z G =
{z}. Esto es, z es el único conjugado de z.
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(b) Dada x ∈ G. Demuestra que Gx = {g ∈ G : gx = xg}.
Por ejercicio anterior, sabemos que Gx es un subgrupo de G. A
este subgrupo se le conoce como el centralizador de x en G y
se denota por CG (x).
7. Sea G un grupo finito que actúa sobre un conjunto X. Demuestra que
el número de elementos en cualquiera de las órbitas es un divisor de
| G |.
8. Sea G un grupo finito. Demuestra que si x ∈ G, entonces el número de
conjugados de x es el ı́ndice de su centralizador. Esto es:
| xG |= [G : CG (x)]
y por tanto | xG | divide a G.
9. Sea G un grupo que actúa transitivamente sobre un conjunto X y sea
xi ∈ X tal que X = O(xi ) . Demuestra que X = O(x) para todo
x ∈ X.
10. Sea G un grupo abeliano finito. Demuestra que G tiene un subgrupo
de orden d para cada divisor d de | G |.
p-grupos y Teoremas de Sylow
11. Demuestra el siguiente resultado. Un grupo finito G es un p-grupo, si
y solamente si, | G | es una potencia de p.
12. Demuestra el siguiente resultado. Si G es un p-grupo finito (con más de
un elemento) entonces el centro de G, Z(G), tiene más de un elemento.
13. Demuestra el siguiente resultado. Sea G un grupo finito y sea H normal
en G. Si H y G/H son p-grupos, entonces G es un p-grupo.
14. Sea G un grupo finito que actúa sobre sı́ mismo por conjugación. Deduce que en este caso, la ecuación (2) vista en clase, es la ecuación de
clases de el grupo G.
15. Demuestra el siguiente resultado. Sea H un p-subgrupo de un grupo
finito G. Entonces [N (H) : H] ≡ [G : H] (mod p).
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16. Para todo primo p, encuentra los p-subgrupos de Sylow de S3 y verifica
que se cumplen las conclusiones de los tres Teoremas de Sylow.
17. Demuestra que S4 tiene más de un 2-subgrupo de Sylow.
18. Sea Q un p-subgrupo normal de un grupo finito G. Demuestra que
Q ≤ P para todo p-subgrupo de Sylow de G.
19. Si para cada divisor primo p de un grupo finito G se tiene que cada
p-subgrupo de Sylow de G es normal. Demuestra que G es el producto
directo de sus subgrupos de Sylow.
20. Sea G un grupo de orden pr , con p primo y r > 1.
(a) Demuestra que G no es un grupo simple.
(b) Si G es un grupo de orden 16. Determina el orden de uno de sus
subgrupos normales.
21. Sea G un grupo de orden 15.
(a) Demuestra que G no es un grupo simple.
(b) Demuestra que G es cı́clico.
22. Sea G un grupo de orden 20. Demuestra que G no es un grupo simple.
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