π ω π

Parte 2
Sistemas oscilatorios
En esta parte del curso consideremos sistemas los osciladores mecánicos y los circuitos eléctricos, analizaremos oscilaciones armónicas
simples, amortiguadas y forzadas, lineales y no lineales e introducimos el concepto de espacio de fase.
2.1
Movimiento armónico simple
Hay muchos procesos llamados periódicos, en los cuales los parámetros físicos en función del tiempo adquieren los valores
repetitivos,
Sistemas con los parámetros cuyos valores se repiten dentro los intervalos definidos, entre dos límites sobre el mismo
camino, llamamos oscilatorios. Los ejemplos de movimiento oscilatorio que son familiares para nosotros desde nuestra experiencia
cotidiana son una cuerda de guitarra, el péndulo en un reloj de péndulo. Ejemplos menos obvios son los fenómenos microscópicos tales
como las oscilaciones de los átomos en los sólidos cristalinos.
El estudio de los conceptos importantes asociados a los fenómenos oscilatorios, comúnmente inician considerando un bloque
de masa m conectado en un extremo con un resorte. El bloque se desliza sobre una superficie sin rozamiento, horizontal. Especificamos
la posición del bloque por x y tomar x = 0 a la posición de equilibrio del bloque, es decir, la
posición cuando el resorte no está deformado. Si el bloque se mueve desde x = 0 y luego se deja
en libertad, el bloque oscila a lo largo de una línea horizontal. Si el resorte no está comprimido o
estirado demasiado lejos desde el punto x = 0, la fuerza sobre el bloque en la posición x es
proporcional a x:
F  - kx
(2.1.1)
La constante de fuerza k es una medida de la rigidez de la resorte. El signo negativo en (4.1) implica que la fuerza actúa para restablecer
el bloque a su posición de equilibrio. La ecuación de Newton del movimiento para el bloque se puede escribir como
x   02 x;  02  k m
(2.1.2)
Aquí 0 es la frecuencia angular de las oscilaciones libres. La ecuación diferencial (2.1.2) corresponde al movimiento armónico simple
y su solución general es una combinación lineal de funciones seno y coseno. Una de las formas de la presentación de esta solución es
x  t   A sin(0 t   ); v  t   x  t   A0 cos(0 t   )
(2.1.3)
Aquí el argumento del coseno esta dado en radianes, las constantes A y δ se denomina amplitud y fase inicial, respectivamente, y están
determinados por las condiciones iniciales para x  t  y la velocidad v  t  = dx / dt . Debido a que el coseno es una función periódica
con el periodo T, la coordenada x  t  y la velocidad v  t  = dx / dt también son funciones periódicas. Se define el período T como el
menor tiempo durante el cual el movimiento se repite, es decir
x  t  T   x  t  ; v  t  T  = v  t  ; T  2 0  2
k m
(2.1.4)
La frecuencia cíclica  que define el número de ciclos por segundo viene dada por   1 T . Según la formula (2.1.4) ni el período del
movimiento armónico simple ni las frecuencias, angular y cíclica no dependen de la amplitud del movimiento.
El problema de Cauchy para el oscilador armónico tiene la forma
dQ  t 
 R Q t  , t
dt


 q 1, t    x  t  
 x0 
Q  0   Q0 ;  Q  t   

 Q0   
q
2,
t
x
t
 v0 
     
 q  2, t  
R Q, t  

  2  q 1, t  
0


 
(2.1.5a)
A pesar de que la posición y la velocidad del oscilador están cambiandose continuamente, la energía total permanece constante y está
dada por
E  mv 2 2  kx 2 2  m   v 2 2   02 x 2 2   m   q 2  2, t  2   02 q 2 1, t  2 
(2.1.5b)
En un algoritmo numérico la Ley de conservación dela energía puede servir como un criterio de precisión logrado en cada paso de un
proceso iterativo mediante una discrepancia E  t   E  t  - E0 , siendo E0 la energía inicial.
Problema 2.1.1 Conservación de la energía
(A)
Escriba el programa realice el algoritmo de Euler simple para resolver las ecuaciones dinámicas de un oscilador armónico simple
utilizando como la base las fórmulas (2.1.5). Hágase que su programa grafique E  t   E  t  - E0 en función de t donde E0 es
la energía inicial y E  t  es la energía total en el momento de tiempo tn  t0  n  h - (Sugerencia: Es cómodo (porque?) calcular
la energía por unidad de masa). Calcúlese esta diferencia en función de t durante varios ciclos para un valor dado de t . Elíjese
x  0   1, v  0   0 , 02  k / m  9 iniciando cálculo con el paso t  0.05 .
¿Son las diferencias E  t  uniformemente
pequeñas a lo largo del ciclo? ¿Tiene la deriva la diferencia E  t  , es decir, se aumenta su valor con el tiempo? ¿Cuál es la
elección óptima de t ?
(B)
Para resolver el problema de Cauchy (3.1.5) aplíquese el algoritmo de Runge-Kutta y contéstese las mismas preguntas que en el
punto (A).
(C)
Describa las diferencias cualitativas entre la dependencia temporal de E  t  utilizando varios diferentes algoritmos en el mismo
programa, graficando además las diferencias E  t  en función de tiempo para mismos valores t y x  t   xnum  xexact donde
xnum son las posiciones calculadas por dos diferentes algoritmos y xexact solución analítica. ¿Cuál de los algoritmos es más
consistente con el requisito de la conservación de la energía? Para fijos valores de t , cuál de los dos algoritmos permite obtener
mejores resultados en comparación con la solución analítica (2.1.3)? ¿Son consistentes las discrepancias en la ley de conservación
de la energía con la precisión relativa de las posiciones calculadas?
D)
Elíjese el mejor algoritmo basado en sus criterios, y determínese los valores de t necesarios para conservar la energía total con
la tolerancia 0,1% durante un ciclo para 0  3 y para 0  12 . ¿Se puede utilizar el mismo valor de t para los dos casos?
Problema 2.1.2 Análisis del movimiento armónico simple
(A)
Utilícese los resultados del Problema 2.1.1 para escoger un algoritmo numérico apropiado y el valor de t para el oscilador
armónico simple, y modifique su programa para que éste grafique la dependencia temporal de las energías cinética y potencial
separadamente. Señale los puntos ¿dónde en el ciclo la energía cinética (energía potencial) tiene un máximo?
(B)
Calcúlese el valor medio de la energía cinética y la energía potencial durante un ciclo completo. ¿Cuál es la relación entre las
dos magnitudes?
(C)
¿Como esta relacionada la amplitud A de las condiciones iníciales? Calcúlese x  t  para diferentes valores A y muéstrese que la
forma de x  t  es independiente de A, es decir, demostrar que x  t  A es una función universal de t para un valor fijo de 0 ¿En
qué unidades debe ser medido el tiempo para que la relación x  t  A seria independiente de 0 ?
(D)
El comportamiento dinámico del oscilador unidimensional está completamente especificada por x  t  y p  t  , donde p es el
impulso del oscilador. Estas cantidades podrán ser interpretados como la coordenadas de un punto, en un espacio bidimensional
conocida como el espacio de fase. A medida que aumenta el tiempo, el punto (x (t), p (t)) se mueve a lo largo de una trayectoria
en el espacio de fase. Modifíquese su programa para que el momento p se representa gráficamente en función de x, es decir,
elegir p y x como los ejes vertical y horizontal, respectivamente. Elijase 0  3 y calcúlese la trayectoria en el espacio de fase
para la condición inicial x  0   0, v  0   1 . ¿Cuál es la forma de esta trayectoria? ¿Cuál es la forma para las condiciones
iníciales x  0   4, v  0   0 ? ¿Es una trayectoria en el espacio de fase diferente para cada condición inicial? ¿Qué cantidad
física caracterizan las trayectorias en el espacio de fase? ¿El movimiento de un punto (x, p) representado en el espacio de fase
siempre sucede en el mismo sentido?
2.2
El movimiento de un péndulo
Otro ejemplo común de un sistema mecánico que exhibe movimiento oscilatorio es el péndulo simple.
Un péndulo simple es un sistema idealizado que consta de una partícula de la masa m unida al extremo
inferior de una barra rígida de longitud L y masa despreciable; el extremo superior de la varilla gira
sin fricción. Si la sacuda, se tira hacia un lado desde su posición de equilibrio y se suelta, el péndulo
oscila en un plano vertical. Debido a que la patícula es obligada a moverse a lo largo del arco de un
círculo de radio L sobre el centro O, la posición de la partícula se especifica por su longitud de arco o
por el ángulo  que forma la barrilla con la línea vertical.
La ecuación diferencial que describe el movimiento de la partícula según II Ley de Newton es:
mL
d 2
d 2
g
 mg sin   2   sin 
2
L
dt
dt
(2.2.1)
La ecuación (2.2.1) es un ejemplo de una ecuación no lineal porque aparece ya que en la parte derecha en lugar de  , aparece una
función no-lineal sin  . La mayoría de las ecuaciones no lineales similares a (2.2.1) no tienen soluciones analíticas en términos de
funciones elementales y (2.2.1) no es una excepción. Sin embargo, si la amplitud de las oscilaciones del péndulo es suficientemente
pequeño, entonces sin    y (2.2.1) se reduce a
d 2
  02 
2
dt
 02 
g
; 
L
(2.2.2)
1
(¡Hay que recordar que el ángulo  se mide en radianes!). Para un estudiante de Física es importante tener en cuenta una sorprendente
similitud de las ecuaciones diferenciales que describen las oscilaciones de un bloque en (2.1.2) y de un péndulo en (2.2.2) con una solo
diferencia la variable x se reemplaza por  . Todas las oscilaciones mecánicas, eléctricas, termodinámicas, electromagnéticas,
moleculares, atómicas y nucleares se describen por las mismas ecuaciones diferenciales.
Asociando las ecuaciones (2.2.2) y (2.1.2) se puede concluir para las oscilaciones con los ángulos pequeños  el periodo de oscilación
no depende de la amplitud y es igual a:
T  2 0  2 L g
(2.2.3)
Una manera de entender el movimiento de un péndulo con los ángulos grandes es encontrar la solución de la ecuación diferencial (2.2.1)
numéricamente resolviendo el problema de Cauchy correspondiente. Si uno quiere analizar las oscilaciones no-lineales del péndulo,
entonces el problema de Cauchy se formula de la siguiente manera:
dQ  t 
 R Q t  , t
dt


 q 1, t      t  
 0 
Q  0   Q0 ;  Q  t   

 Q0   
q
2,
t

t




 0 

 


q  2, t 

R Q, t  
 ;  02  g L
2
  0  sin  q 1, t  



En el caso de oscilaciones pequeños la formulación tiene una pequeña diferencia
 
(2.2.4a)
dQ  t 
 R Q t  , t
dt


 q 1, t      t  
Q  0   Q0 ;  Q  t   


 q  2, t      t  
 
Q0   0 
 0 
 q  2, t  
R Q, t  
 ;  02  g L
  2  q 1, t  
0


 
(2.2.4b
La validez de los resultados de un cálculo numérico puede verificarse mediante la revisión del cumplimiento de la ley de la conservación
de la energía. La energía total de un péndulo es:
2
2


 d 
2  d 
2
2
2
2
2 g
E  K  V  mL2 

mgL
1

cos


mL




  0  1  cos    mL q  2, t   0  1  cos q 1, t  ;  0 
dt
dt
L







(2.2.4c)
Problema 2.2.1 Oscilaciones de un péndulo
(A)
Escriba el programa realice el algoritmo de Euler simple para resolver el problema de Cauchy para un péndulo simple utilizando
como la base las fórmulas (2.2.4). El programa debe utilizar simultáneamente dos diferentes modelos dados por problemas de
Cauchy (2.2.4a) y (2.2.4b) y calcular en cada paso de iteraciones la energía total del sistema usando las formulas (2.2.4c)
(B)
Con el programa realícese las simulaciones para las amplitudes lo suficientemente pequeñas para las cuales sin    . Elija
0  g L  3 y las condiciones iniciales   0   0.2,   0   0 . Encuéntrese el período numéricamente y compárese su
resultado con el resultado analítico esperado para pequeñas amplitudes. Explíquese su método para determinar el período.
Estímese el error para estas condiciones iniciales debido a la aproximación armónica que asume la hipótesis que oscilaciones son
pequeña ángulo.
(C)
Escriba el programa similar al punto (A), pero que realice el algoritmo de Runge-Kutta para resolver el problema de Cauchy para
un péndulo simple utilizando como la base las fórmulas (2.2.4) y repite las simulaciones al punto (B).
(D)
Considere las oscilaciones con diferentes amplitudes más grandes y grafíquese las curvas   t  versus   t  para las condiciones
iniciales   0   0.1, 0.2, 0.4, 0.8, y 1.0 y para todos casos   0   0 , las cuales que coinciden con las curvas de Poincaré (¿Por
qué?). Usando inicialmente el algoritmo de Euler y después de Runge-Kutta elija  t de modo que el algoritmo numérico genera
una solución estable; es decir, controlando la energía total procúrese que no esta se desvíe de su valor inicial. Descríbase
cualitativamente el comportamiento de las funciones   t  y   t  . ¿Cuál es el periodo T y 'la amplitud max en cada caso?
Grafíquese T frente max y descríbase cualitativamente la dependencia del período de la amplitud. ¿Cómo sus resultados para T
se comparan en los casos lineales y no lineales; por ejemplo, en que caso el período es más grande? Explíquese las diferencias
de los valores de T entre estos dos casos en términos de las diferencias de las fuerzas restauradoras en los dos casos.
2.3
Oscilaciones amortiguadas
Sabemos por experiencia que la amplitud de la mayoría de los movimientos oscilatorios en la naturaleza se disminuye gradualmente
hasta que el desplazamiento se convierte en cero. Tal movimiento se dice que está amortiguado y se dice que el sistema de ser disipativo
en lugar de conservativo (se refiere a la energía total del sistema). Como un ejemplo de un oscilador amortiguado considere el
movimiento del bloque, cuando se incluye una fuerza de resistencia horizontal. Para velocidades pequeñas, es una aproximación
razonable suponer que si la fuerza de resistencia es relativamente pequeña, entonces esta debe ser proporcional a la velocidad. En este
caso, la ecuación de movimiento se puede escribir como_
x  02  x    x; 02  k m
El coeficiente de amortiguación
(2.3.1)

es una medida de la magnitud del término de resistencia. Anótese que la fuerza de resistencia en
(2.3.1) se opone a la aceleración. El problema de Cauchy para el oscilador amortiguado correspondiente a la ecuación diferencial (2.3.1)
tiene la forma
dQ  t 
 R Q t  , t
dt


 q 1, t    x  t  
 x0 
Q  0   Q0 ;  Q  t   

 Q0   
q
2,
t
x
t




 v0 

 


q  2, t 

R Q, t  

2
   q 1, t     q  2, t  
0


 
(2.3.2)
En el problema 2.3.1 se propone simular el comportamiento del oscilador lineal amortiguado.
Problema 2.3.1 Oscilador lineal amortiguado
(A)
Incorporase los efectos de amortiguación en el programa de la simulación de oscilador armónico según las fórmulas (2.3.2) y
representar gráficamente la dependencia del tiempo de la posición y de la velocidad. Descríbase los aspectos cualitativos
comportamiento de x (t) y v (t) para 0  3;   0.5, x  0   1, v  0   0
(B)
El período del movimiento es el tiempo entre máximos sucesivos de x (t). Calcúlese el periodo y la frecuencia angular
correspondiente y compárese sus valores con el caso no amortiguado. ¿Es el período es más largo o más corto? Hágase
simulaciones adicionales para   1, 2, y 3 . ¿Se incrementó el período o se disminuyó con una mayor amortiguación? ¿Por qué?
(C)
La amplitud es el valor máximo de x durante un ciclo. Calcúlese el tiempo de relajación  , el tiempo que toma para que la
amplitud de una oscilación se disminuye en 1 / e  0, 37 veces desde su valor máximo. ¿Es el valor de  constante durante todo
el movimiento? Calcúlese para los valores de  considerados en la parte (B) y discutiese la relación cualitativa entre  y  .
(D)
Grafíquese la energía total como una función del tiempo para los valores de  considerados en la parte (B). Si la disminución
de la energía no es monótona, explíquese porque.
(E)
Calcúlese la dependencia temporal de x (t) y v (t) para   4, 5, 6, 7 y 8 . ¿El movimiento es oscilatorio para todos  ? ¿Cómo
se puede caracterizar el decaimiento de la energía, es monótona u oscilatorio? Para cada valor de 0 dado el decaimiento es
oscilatorio si  no supera un umbral  c
es decir (    c ) y en el caso contrario cuando    c el decaimiento es monótono,
oscilaciones son sobreamortiguadas- Al fin, si    c se dice que una oscilación es críticamente amortiguada. ¿Para qué valor
de  se produce la amortiguación crítica cuándo 0  4 y 0  2 ? Para cada valor de 0 , encuéntrese el valor critico de 
(F)
Grafíquese los diagramas en el espacio de fase en las coordenadas velocidad v versus coordenada para x . ¿Por qué las trayectorias
en el espacio de fase convergen al origen, x = 0, v = 0? Este punto es llamado un atractor. ¿Se puede decir que las características
de las curvas de Poincaré en este caso para diferentes valores de  en el espacio de fase son cualitativamente independientes de
 ?
Problema 2-3.2
Péndulo no lineal amortiguado
Análogamente, el problema de Cauchy para un péndulo no lineal amortiguado se puede formular de siguiente manera
 q 1, t      t  
Q  0   Q0 ; Q  t   


 q  2, t      t  

q  2, t 

R Q, t  
 ;  02  g L
2
  0  sin  q 1, t      q  2, t  




dQ  t 
 R Q t  , t
dt


 
Q0   0 
 0 
(2.3.3)
 
(A)
Incorporase los efectos de amortiguación en el programa de la simulación del péndulo no lineal según las fórmulas (2.3.3) y
representar gráficamente la dependencia del tiempo de la posición y de la velocidad. Descríbase los aspectos cualitativos
comportamiento de x (t) y v (t) para 0  3;   0.2,   0   0.2,   0   0
(B)
Considere un péndulo amortiguado con 0  g L  3 y coeficiente de amortiguamiento   1 .
Elijase las condiciones
iniciales   0   0.2,   0   0 . ¿En qué consiste la similitud del movimiento del péndulo no lineal amortiguado con del
movimiento del oscilador lineal amortiguado? ¿En qué consiste la diferencia?
(C)
¿Cuál es la forma de la trayectoria del espacio de fases para la condición inicial   0   1,   0   0 ? ¿Las trayectorias en el
espacio de fases para otras condiciones iniciales son diferentes? (¡Recuerde que el correo se limita a estar entre  y  ¡).
2.4
Oscilaciones forzadas
¿Cómo podemos determinar el período de un péndulo que ya no está en marcha? La forma más obvia es perturbar el sistema, por
ejemplo, desplazarlo desde la posición de equilibrio y observar su movimiento. Encontraremos que el carácter de la respuesta del sistema
a una pequeña perturbación nos dice algo sobre la naturaleza del sistema en ausencia de la perturbación.
Consideremos un oscilador lineal amortiguado impulsado con una fuerza externa F (t), que además está afectado por la fuerza
restauradora lineal y fuerza de resistencia lineal. La ecuación de movimiento se puede escribir como:
x   02 x    x  F  t  m ; 02  k m
(2.4.1)
La dependencia del tiempo de F (t) en (2.4.1), en general, es arbitraria. Debido a que muchas fuerzas en la naturaleza son periódicas,
consideramos en primer lugar la forma
F  t  m  f 0 sin  t
(2.4.2)
donde  es la frecuencia angular de la fuerza externa. El problema de Cauchy para el oscilador amortiguado correspondiente a la
ecuación diferencial (2.3.1) tiene la forma
dQ  t 
dt

 R Q t  , t


q  2, t 

 q 1, t    x  t  
 x0 
Q  0   Q0 ;  Q  t   


 Q0    R Q, t  
2

 v0 
 q  2, t    x  t  
  0  q 1, t     q  2, t   f 0 sin  t 
 
(2.4.3)
Problema 2.4. Respuesta de un oscilador amortiguado lineal forzado
(A)
Modifíquese el programa escrita anteriormente para simple oscilador lineal de manera que se incluye una fuerza externa de la
forma (2.4.3). La frecuencia angular de la fuerza externa debería añadirse como un parámetro de entrada adicional.
(B)
Elija 0  3,   0.5,   2 y la amplitud de la fuerza externa f 0  1 para todas los ejercicios a continuación si no se indique
lo contrario.
Para estos valores el comportamiento dinámico en ausencia de una fuerza externa corresponde a un oscilador
subamortiguado. Grafíquese x  t  versus t en presencia de la fuerza externa con la condición inicial x  0   1, v  0   0 . ¿Cómo
cualitativamente se difiere el comportamiento de x (t) del no caso perturbado? ¿Cuál es el periodo y la frecuencia angular de
x  t  después de varias oscilaciones? Repita las mismas observaciones para x  t  con x  0   0, v  0   1 . Identificar una parte
transitoria de x  t  que depende de las condiciones iniciales y del tiempo de decaimiento   1  mientras que el tiempo en que
se instituye la parte del estado estacionario es más largo y es independiente de las condiciones iniciales.
(C)
Calcúlese x  t  para varias combinaciones de 0 y  . ¿Cuál es el periodo y la frecuencia angular del movimiento de estado
estacionario en cada caso? ¿Qué parámetros determinan la frecuencia del comportamiento en estado estacionario?
(D)
Una medida del comportamiento a largo plazo del oscilador forzado es la amplitud A    de las oscilaciones en el estado
estacionario. Un estado estacionario (w), que puede ser calculado para un valor dado de w si la simulación se ejecuta hasta que
un estado estacionario ha sido conseguido. Una forma de determinar A es comprobar la posición después de cada paso de tiempo
para ver si se ha alcanzado un nuevo máximo. Escríbase el código de programa para encontrar la amplitud A    analizando la
dependencia x  t  y realícese las simulaciones para verificar que los resultados numéricos coinciden con la fórmula analítica
para A    .
(E)
Analizando el cambio de la amplitud A    y fase     verifíquese que en estado estable el comportamiento de x  t  es dado
por
x  t   A     sin   t      
(2.4.4)
La cantidad     es la diferencia de fase entre el movimiento de estado estacionario y la fuerza aplicada. Compute las
amplitudes A    y fases     de los movimientos de estados estacionarios para 0  3,   0.5 y   0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 4,
2.6, 2.8, 3.0, 3.2 y 3.4 . Elige la condición inicial x  0   0, v  0   0 . Repita la simulación para   3, 0 , y la grafíquese
A    y     versus  para los dos los valores de  . Compárese cualitativamente de A    y     ) para los dos valores
de  . Si A    tiene un máximo, determínese la frecuencia angular max en que se produce el máximo de A. ¿Es el valor de
max cerca de la 0 frecuencia angular propia del oscilador armónico? Compárese max con 0 y con la frecuencia del
oscilador lineal amortiguado en ausencia de una fuerza externa.
(F)
Calcúlese x  t  y A    de un oscilador amortiguado lineal con la amplitud de la fuerza externa f 0  4 . ¿Cómo los resultados
de estado estable para x  t  y A    comparan con el caso f 0  1 ? ¿Satisface el comportamiento transitorio de x  t  la misma
relación que el comportamiento en estado estacionario?
(G) ¿Cuál es la forma de la trayectoria en el espacio de fases para la condición inicial x  0   1, v  0   0 ? ¿Las trayectorias en el espacio
de fases es diferente para otras condiciones iniciales?
¿Por qué es A  0   A    para las pequeñas  ? ¿Por qué A     0 para cuando 
(H)
(I)
0 »CVO?
¿La energía cinética media tiene la resonancia para la misma frecuencia que la amplitud? Calcúlese la energía cinética media
durante un ciclo una vez que se han alcanzado las condiciones de estado estacionario. Elija 0  3 y   0,5 .
En el problema anterior se encontró que la respuesta del oscilador armónico amortiguado a una fuerza externa sinusoidal externa es
lineal. Por ejemplo, si se duplica la magnitud de la fuerza externa, entonces la magnitud de la amplitud del movimiento en el estado
estacionario también se duplica. Este comportamiento es una consecuencia de la naturaleza lineal de la ecuación de movimiento.
Cuando una partícula está sujeta a fuerzas no lineales, la respuesta puede ser mucho más complicado. Pero en muchos casos la fuerza
externa no es sinusoidal. Un ejemplo de una fuerza externa se puede encontrar mediante la observación de que alguien empuja a un
niño en un columpio. Debido a que la fuerza es distinto de cero para los intervalos de solamente cortos de tiempo, este tipo de fuerza
es impulsivo. En el siguiente problema, consideramos la respuesta de un oscilador lineal amortiguado a una fuerza no sinusoidal.
Problema 2.4.2
(A)
Respuesta de un oscilador amortiguado lineal a fuerza externa no sinusoidal
Asúmase que un columpio puede ser modelado por un oscilador
lineal amortiguado. El efecto de un impulso externo consiste en
un cambio de velocidad. Para simplificar el análisis, suponemos
que al columpio durante un intervalo del tiempo t se aplica. un
impulso periódico según siguiente relación:
F (t )  f0 si 0  t  T  Int  t/ T   T 2

; 0  t  t
m
 0 si T 2  t  T  Int  t/ T   T
(2.4.5)
Aquí T es el periodo del impulso en el cual la fuerza constante se aplica durante el tiempo T/2. En el programa
correspondiente utilícese como los parámetros de entrada el período del impulso externo T, una variable entera, el número
de periodos de aplicación del impulso, N  t T el período del impulso externo. La frecuencia de la fuerza externa en este
caso es igual a   2 T .
Para   1.0, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 2.5, 3.0, y 3.5 determínese la amplitud A en el estado
estacionario en la función de la frecuencia de la fuerza externa A    .
En los cálculos elija 0  3 y   0.5 . ¿Son
consistentes sus resultados con su experiencia de empujar una media vuelta y con los resultados comparables del problema
anterior?
(B)
Analícese la respuesta a una fuerza externa de media onda que consiste en la parte
positiva de una función seno.
F (t )  f 0 sin   t si sin   t  0

sin   t  0
m
 0 si
(2.4.6)
Calcúlese A    para 0 =3 y   0.5 . ¿Para qué valores de  la función A    tienen unos máximos relativos? ¿Es la
función F  t  de la fuerza externa en este caso equivalente a una combinación lineal de funciones sinoidales de diferentes
frecuencias? Por esta razón ¿la curva A    pudiera tener más de una resonancia?
(C)
Calcúlese la función x (t) para el estado estacionario bajo la fuerza externa
F (t ) 1 1
2
2
  sin   t sin 2  t 
sin 4  t
m
 2
3
15
(2.4.7)
Comparase los gráficos de las funciones (2.4.6) y (2.4.7). Use sus resultados para confirmar el principio de superposición de las
soluciones a las ecuaciones lineales.
En varios problemas anteriores, se formularon tareas de graficar las trayectorias en el espacio de fases para un solo oscilador aislado.
Estas gráficas nos proporcionan una representación conveniente de la posición x  t  y velocidad v  t  . En varias áreas de Física Teórica,
por ejemplo Física Estadística, Teoría de Caos, etc., el estudio, tales curvas serán casi indispensable. Por esta razón en dos siguientes
problemas volveremos a analizar algunas características importantes de las trayectorias en el espacio de fase para sistemas conservativos.
En ausencia de las fuerzas externas, el oscilador armónico simple sin amortiguación y el péndulo no amortiguado son ejemplos de
sistemas conservativos, es decir, sistemas en los que la energía total es una constante. En los problemas a continuación estudiaremos
dos propiedades generales de los sistemas conservativos, la naturaleza de ausencia de las intersecciones de las trayectorias en el espacio
de fase y la conservación del área encerrada dentro de las trayectorias en el espacio de fase. Estos conceptos se vuelven en más
importantes cuando se analizan las propiedades de los sistemas conservativos con más de un grado de libertad.
Problema 2.4.3
(A)
Trayectoria de un oscilador armónico simple en el espacio de fase
Analícese las trayectorias en el espacio de fase de N osciladores armónicos idénticos mediante la
simulación de N condiciones iniciales diferentes. Escríbase un programa para simular N idénticos
osciladores armónicos simples cada uno de los cuales con su coordenada x y velocidad v instantáneos está
representado en el espacio de fase por un pequeño círculo centrado en su posición y la velocidad, como se
muestra en la figura. Seleccione N = 16 y considere las posiciones iniciales y velocidades aleatorias,
localizados dentro un cuadrado unitario  0  x  1 0  v<1 . ¿Las trayectorias espaciales de fase para diferentes condiciones iniciales
nunca se cruzan? Explique su respuesta en términos de la existencia la trayectoria única un sistema con determinadas posición y
velocidad (o la existencia la solución única para el problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales).
(B)
Elegir un conjunto de condiciones iniciales que forman un rectángulo (véase la figura). ¿La forma de esta zona cambia con el
tiempo? ¿Qué ocurre con el área total en comparación con el área original?
Problema 2.4.4
(A)
Trayectoria de un péndulo en el espacio de fase
Modifíquese el programa del problema anterior de modo que éste analizaría las trayectorias en el
espacio de fase de un péndulo no-lineal (  versus  ) con N = 16 diferentes condiciones iniciales.
Realizar simulaciones y presentar las curvas para las trayectorias espaciales de fase para diferentes
valores de la energía total. ¿Las trayectorias espaciales de fase son cerradas? ¿La forma de la
trayectoria depende de la energía total?
(B)
Elegir un conjunto de condiciones iniciales que forman un rectángulo en el espacio de fase y representar gráficamente el estado
de cada péndulo como un círculo. ¿La forma de esta zona cambia con el tiempo? ¿Qué ocurre con el área total?
2.5 • Oscilaciones en circuitos eléctricos
En esta sección se discuten varios análogos eléctricos de los sistemas mecánicos oscilatorios que hemos considerado
anteriormente. Aunque las ecuaciones de movimiento son similares en forma, es conveniente analizar los circuitos eléctricos
especialmente, debido a que la interpretación de resultados de este análisis es diferente.
El punto de partida de la teoría de circuitos eléctricos es regla de las mallas de Kirchhoff, que establece que la suma de las
caídas de tensión alrededor de una trayectoria cerrada de un circuito eléctrico cerrado es cero. Esta ley es una consecuencia de la
conservación de la energía, ya que una caída de tensión representa la cantidad de energía que se pierde o gana cuando una unidad de
carga pasa a través de un elemento de circuito. Las relaciones de las caídas de voltaje a través de cada elemento de circuito se resumen
en la Tabla 1 a continuación.
Tabla 1. Caídas de tensiones en circuitos eléctricos. Q es la carga (culombios) en condensador, I es la corriente (amperios).
elemento
caída de voltaje
símbolo
Unidades
resistencia
VR = I R
resistencia R
Ohmios, (Ω)
condensador
VC = Q / C
capacitancia C
Faradios (F)
inductor
VL = - L d i/d t
inductancia L
Henrios (H)
Fig. 1
Consideremos un circuito eléctrico con una fuente de tensión alterna V f  t  unida en serie a una resistencia R, inductor L y el
condensador C. La ecuación de Kirchhoff de bucle correspondiente es
VL  VR  VC  V f  t 
(2.5.1)
En el término de la fuente de la tensión en (2.5.1) V f  t  es la FEM la cual se mide en unidades de voltios. Si sustituimos utilizaremos
las fórmulas de la Tabla 1, encontramos
L
d 2Q
dt
2
R
dQ 1
 Q  V f t 
dt C
(2.5.2)
Aquí se utilizó la definición de corriente I = dQ/dt. Vemos que la ecuación
Tabla 2 Analogías de parámetros eléctricos y mecánicos.
diferencial (2.5.2) para el circuito en serie RLC es idéntico en forma al
sistema mecánico
circuitos eléctrico
Caga Q
Desplazamiento x
Corriente I=dQ/dt
Velocidad v=dx/dt
consideremos inicialmente el comportamiento dinámico de un circuito RC
Caída de voltaje V
Fuerza F
descrito por capacitancia inversa 1/C resistencia R. Análogo mecánico en
Inductancia L
Masa m
este caso es una partícula de masa m=0, que en el mundo real es imposible.
Capacitancia inversa 1/C
Constante k
La ecuación diferencial (2.5.2) para este caso particular (L=0) adquiere la
Resistencia R
Amortiguación γ
oscilador armónico amortiguado. Las analogías entre circuitos eléctricos
y sistemas mecánicos ideales se resumen en Tabla 2.
Para mostrar la diferencia entre sistemas mecánico y eléctrico
forma:
R
dQ
1
 V f t   Q
dt
C
(2.5.3)
Dos circuitos RC correspondiente a (2.5.3) se muestran en la Fig. 2. Aunque la
ecuación de bucle (2.5.3) es idéntico sin importar el orden de la colocación del
condensador y la resistencia en dos circuitos de la Fig. 2, la tensión de salida
medida por el osciloscopio en las esquemas (a) y (b) son diferentes. En el
problema 2.5.1 a continuación veremos que estos circuitos actúan como filtros
que permiten pasar los componentes de voltaje de ciertas frecuencias mientras
Fig. 2.5.1
que discrimina otras. Una ventaja de una simulación por computador de un circuito eléctrico es que la medición computacional de una
caída de la tensión en un elemento de circuito no afecta a las propiedades del circuito en la diferencia de medición con un voltímetro.
Problema 2.5.1
(A)
Circuitos de filtros simples
Escríbase el programa que resuelve la ecuación diferencial (2.5.3) con la condición inicial Q  0   0 con el fin de simular las
tensiones en un filtro RC, usando los algoritmos de Euler y Runge-Kutta. El programa debe tener en la salida la dependencia
funcional del tiempo para los voltajes V f  t  , VR  t  , VC  t  en el circuito LC con los parámetros R  1000 y C  1.0  F (106. Encuéntrese la amplitud en estado estacionario las caídas de tensión en la resistencia y en el condensador en función de la
frecuencia angular  de la tensión de la fuente V f  t   sin   t  .
f  10,50,100,160, 200,500,1.000,5.000, y 10.000 Hz .
Realícese los cálculos para las frecuencias
Elija en los cálculos el paso no superior que t  0, 0001s para la
frecuencia f = 10 Hz. ¿Cuál es un valor razonable de t para f = 10000Hz?
(B)
La tensión de salida depende de dónde esté conectado el osciloscopio digital. ¿Cuál es la tensión de salida del osciloscopio en la
Fig. 2.5.1a? Grafíquese la amplitud de la tensión de en la función de  para V f  t   sin   t  . Utilícese una escala logarítmica
para  . ¿Qué rango de frecuencias se pasan por el filtro? ¿Este filtro actúa como un circuito de paso alto o un filtro de paso bajo?
Responder a las mismas preguntas para el osciloscopio en la Fig. 2.5.1a. Utilícese sus resultados para explicar el funcionamiento
de un filtro de paso alto y bajo. Calcúlese el valor de la frecuencia de corte para el que la amplitud de la tensión de salida se
reduce a 1
2 (media potencia) del valor de entrada. ¿Cómo es la frecuencia de corte está relacionada con el valor R  C
(¡explíquelo!)?
(C)
Grafíquese las caídas de voltaje a través del condensador y la resistencia como una función del tiempo t. La diferencia de fases
 entre cada caída de tensión VR  t  , VC  t  y la tensión de fuente V f  t  se puede encontrar por medio de la medición del tiempo
t m entre dos correspondiente máximos de las tensiones. Ya que  se expresa en radianes, tenemos la relación,  2  tm T
donde T es el período de la oscilación. ¿Cuál es la diferencia de fase C entre el condensador y la fuente de tensión y la diferencia
de fase R entre la resistencia y la fuente de tensión? ¿Estas diferencias de fase dependen de  ? ¿Está la corriente adelantando
o retardando la tensión, es decir, los máximos de VR  t  , VC  t  vendrán antes o después de los máximos de V f  t  ? ¿Cuál es la
diferencia de fase entre el condensador y la resistencia? ¿La última diferencia depende de  ?
(D)
Modifíquese el programa para encontrar la respuesta en estado estable de un circuito LR con una fuente de voltaje
V f  t   sin   t  en peso, siendo R  100 y L  2 x 103 H . Debido a que L / R  2 x 10 5 s , es conveniente medir
el tiempo y la frecuencia en unidades de   L / R .
Utilizaremos las unidades adimensionales t  t /  ,     .
Demuéstrese que para un circuito LR (cuando C=0) la ecuación diferencial (2.5.1) para la corriente adquiere la forma
I t  
dI  t 
dt

1
sin   t
R
(2.5.4)
Debido a que en adelante solo se usan unidades adimensionales notaciones t ,  en lugar de  ,  . ¿Cuál es un valor
razonable de tamaño de paso t para ecuación diferencial (2.5.4) en las unidades adimensionales y para parámetros
anunciados? Resolviendo la ecuación diferencial con la condición inicial I  0   0 calcúlese la amplitud en estado
estacionario de las caídas de voltaje a través del inductor y la resistencia para las frecuencias de la tensión de la fuente.
f   2  10, 20,30,35,50,100, y 200 Hz . Utilícese estos resultados para explicar cómo un circuito LR se puede utilizar
como un filtro de paso bajo o un filtro de paso alto. Grafíquese la caída de tensión a través del inductor y de la resistencia
como una función del tiempo y determínese las diferencias de fase  entre cada caída de tensión VR  t  , VL  t  y la tensión
de fuente V f  t  . ¿Estas diferencias de fase dependen de  w? ¿Tienen las fases adelantadas o atrasadas los voltajes
comparados con la fuente? ¿Cuál es la diferencia de fases entre el inductor y la resistencia? ¿La última diferencia depende
de  ?
Problema 2.5.2
(A)
Respuesta a una señal rectangular de un circuito RC
Modifíquese el programa anterior para analizar un circuito RC con los
parámetros C  1 F y R  3000 con una fuente de tensión que genera una
señal rectangular periódica como se muestra en la Fig. 2.5.2. . Grafíquese la
Fig. 2.5.2
curva para la caída de tensión a través del condensador calculado en función
de tiempo VC  t  . Asegúrese de que el período de la señal rectangular es lo suficientemente largo para que el condensador está
completamente cargado durante un medio ciclo. ¿Cuál es la dependencia del tiempo aproximado de mientras que el condensador
se carga (descarga)? •
Consideremos ahora el comportamiento en estado estable del circuito en serie RLC que se muestra en la Fig.2.5.1 y se describe por la
ecuación (2.5.1). La respuesta de un circuito eléctrico es la corriente en lugar de la carga en el condensador. Debido a que hemos
simulado el sistema mecánico análogo, que ya sabemos mucho sobre el comportamiento de los circuitos RLC impulsadas. No obstante,
nos encontraremos con varias características interesantes de los circuitos eléctricos de corriente alterna en los siguientes dos problemas.
Problema 2.5.3
Respuesta de un circuito RLC
(A)
Considere un circuito RLC en serie con R =100, C  3.0  F , y L =2mH . Modifíquese el programa simple para las
oscilaciones forzadas de la sección anterior para simular un circuito RLC y calcular las caídas de voltaje a través de los tres
elementos del circuito. Supongamos que una fuente de voltaje de CA de la forma V f  t   sin   t  . Grafíquese la corriente I
como una función del tiempo y determínese la máximos del estado estacionario corriente Imax para diferentes valores de  .
Obtener la curva de resonancia por graficando la curva I max   como una función de  y calcular el valor de  en el que la
curva de resonancia tiene un máximo. Este valor de  es la frecuencia de resonancia
(B)
La nitidez de la curva de resonancia de un circuito de CA está relacionado con el factor de calidad o el valor Q. (Q no debe
confundirse con la carga en el condensador). Mayor nitidez tiene la resonancia, mayor es el valor del factor de calidad Q. con
alta Q (y por tanto una resonancia aguda) son eficientes para circuitos de sintonización en una radio de modo que sólo una
estación se oye a la vez. Definimos Q  0 /  , donde el ancho  es el ancho de la línea de resonancia, es decir el intervalo
de frecuencias entre los puntos en la curva de resonancia I max   que tienen valor de 1
2 de su máximo. Calcúlese Q para
los valores de R, L y C que figuran en la parte (A). Cambiar el valor de R en un 10% y calculese el correspondiente cambio
porcentual en Q. ¿Cuál es el cambio correspondiente en Q si L o C se cambia en un 10%?
(C)
Calcúlese la dependencia del tiempo de la caída de la tensión a través de cada elemento de circuito durante aproximadamente
quince diferentes frecuencias que se encuentran entre 1/10 a 10 frecuencias de resonancia. Grafíquese la dependencia temporal
de las caídas de tensión.
(D)
La razón entre la amplitud de la tensión de la fuente sinusoidal y la amplitud de la corriente se llama la impedancia Z del
circuito, es decir Z  Vmax I max . Esta definición de Z es una generalización de la resistencia que se define por la relación V  I  R
para circuitos de corriente constante. Utilicese los gráficos de la parte (C) para determinar los valores I max y Vmax para diferentes
frecuencias y compruebe que la impedancia viene dada por
Z    R 2   L  1 C 
2
Para qué valor de  la impedancia Z tiene el mínimo? Tenga en cuenta que la relación V  I  Z es válida sólo para los valores máximos
de I y V y no para I y V en cualquier momento.
(E)
Calculese la diferencia de fases R de la caída de la tensión en la resistencia y de la fuente de tensión. Considere por separdo los
casos 
0 ,   0 y 
0 . En cada caso ¿La corriente adelanta o atrasa al voltaje; es decir, sí llegan los máximos de
la corriente antes o después de máximos de voltage? Compútese también las diferencias de fases L para L y C paa C y
describese sus dependencias de  . ¿Las diferencias de fases relativas entre VC, VR, VL dependen de  ?
(F)
Calculese la amplitud de las caídas de la tensión a través del inductor y el condensador a la frecuencia resonante. ¿ Comparese
estas caídas de tensión en con la caída de tensión en la resistencia y a la tensión de fuente? Comparese también las fases relativas
de VC y VL en la resonancia. Explica cómo un circuito RLC se puede utilizar para amplificar la voltaje de entrada.
2. 6 • Precisión y estabilidad de los algoritmos
Ahora que hemos aprendido a utilizar métodos numéricos para encontrar soluciones numéricas de los sistemas de las ecuaciones
diferenciales de primer orden, discutimos el tema ¿como se puede timar la precisión de los diferentes métodos? Debido a que en todos
los métodos aplicados hemos reemplazado una ecuación diferincial por una ecuación en diferencias finitas, nuestra solución numérica
no es idénticamente igual a la verdadera solución de la ecuación diferencial original, excepto los casos especiales. La discrepancia entre
las dos soluciones tiene dos origenes. Una de las origenes es que las computadoras no almacenan números con precisión infinita, sino
más bien a un número máximo de dígitos que es dependiente de hardware y software. La aritmética con números representados por
números enteros es exacta, pero no podemos resolver una ecuación diferencial usando la aritmetica de losnúmeros enteros. Las
operaciones aritmétias con los numéros racionales inclue ademas las partes decimales con su parte en una forma flotante y las
operaciones aritmeticas con esta parte, tales como sumación y multiplicación siempre tiene un error por redondeo. Por ejemplo si se
muñtipplica 2.1 por 3.2 en una ritmetica con un digito flotante el resulyado será 6.7 y en una aritmética con dos puntos flotantes será
6.72. La importancia de los errores por redondeo es que este error se acumulan cuando el número de operaciones matemáticos se
aumenta. Una de las posiilidades para disminuir los efectos relacianados con los erores por redondeo es elegir algoritmos que no usan
las operaciones que generan grandes errores por redondeo; por ejemplo, hay que evitar de restar los números que son de casi la misma
magnitud.
La otra fuente de la discrepancia entre la respuesta verdadera y la respuesta computada es el error asociado con la elección del
algoritmo. Este error se denomina error del método o a vses el error por truncamiento. Un error de truncamiento existiría incluso en
un equipo idealizado que sería capaz de almacenar los números de coma flotante con precisión infinita y por lo tanto no tuviera ningún
error por redondeo. Debido a que el error de truncamiento depende de la elección del algoritmo y puede ser controlado por el usuario,
esto esun motivo para aprender más sobre el análisis numérico y los métodos de estimación de errores de tlos métodos correspondientes.
Sin embargo, no hay ninguna prescripción general para el mejor algoritmo para la obtención de soluciones numéricas de las ecuaciones
diferenciales. Diversos algoritmos tienen ventajas y desventajas, y la selección apropiada depende de la naturaleza de la solución, que
usted puede no saber de antemano, y en sus objetivos.
En la práctica, por lo general, en los métodos numéricos de solución del problema de Cauchy para las funciones del tiempo t, es
posible lograr una exactitud sugerida mediante la reducción succesiva del valor de t hasta que la solución numérica ya deja de
cambiarse dentro deuna franja de acuerdo con el nivel de precisión deseado. Por supuesto, al mismo tiempo tenemos que procurar de
no hacer t demasiado pequeño, para no incrementar demasiado el número de pasos necesarios y demasiado grande el tiempo de cálculo
que pueden llevar a un aumento posible delos errores pore redondeo. (Cuando yo estoy diciendo a los estudiantes en broma que ¡un
programma que para finalizar corre mas que 10 minutos no produce nada y solo gastala energía! Esto puede ser la verdad, ya que el
número de iteraciones puede ser tan grande que en la salida todo el cálculo se unde por errores por reedondeo).
Otra característica importante en adición a la precisión, es la estabilidad de un algoritmo. Podría suceder, por ejemplo, que los
resultados numéricos son muy buenos para tiempos cortos, pero divergen de la solución exacta para tiempos más largos. Esta
divergencia podría ocurrir si los pequeños errores en el algoritmo se multiplican muchas veces, causando el crecimiento del error en la
progresión geométrica. Sobre un algoritmo de este tipo se dice que es inestable para el problema particular. Analizaremos la precisión
y la estabilidad del algoritmo de Euler en siguientes dos problemas 2.6.1 y 2.6.2.
Problema 2.6.1 La precisión del algoritmo de Euler
(A)
Utilicese el algoritmo de Euler para calcular la solución numérica de dy dx  2 x : y  0   0 con y = 0 en x = 0 y con los pasos
x  0.1, 0.05, 0, 025, 0.01, y 0.005 . Los resultados presente en la forma de una tabla donde en una de las columnas coloque
la diferencia entre la solución exacta y la solución numérica. ¿Es la diferencia entre estas soluciones una función decreciente de
x ? Es decir, si x se reduce en un factor de dos, ¿cómo cambia la diferencia? Grafíquese la diferencia como una función de!
x . Si sus puntos caen aproximadamente sobre una línea recta, entonces la diferencia es proporcional a x (para x <<1). El
método numérico se llama orden k si el diferencia entre la solución analítica y la solución numérica es proporcional a x k para
un valor fijo de x. Cuál es el orden del algoritmo de Euler?
(B)
Una forma de determinar la exactitud de una solución numérica es repetir el cálculo con un tamaño más pequeño paso y comparar
los resultados. Si en dos cálculos de lcoinciden p decimales, podemos razonablemente suponer que los resultados son correctos
con la precisión de p decimales. ¿Qué valor de x es necesario para la precisión 0,1% en el punto x = 2? ¿Qué valor de x es
necesario para la precisión 0,1% en el punto x = 4? •
Problema 2.6.2
(A)
Estabilidad del algoritmo de Euler
Considere el problema de Cauchy para la ecuación diferencial (2.5.3) con la condición inicial Q  0   0 and V f  V . La
solución de este problema describe el proceso del cargamiento del condensador en un circuito RC con una tensión constante
aplicada V. En los cálculos eligese R =2000, C =106 F , y V f  10V . ¿ Crea Ud. Que Se espera que Q(t )se acrece con el
tiempo t y por que? ¿La carga Q (t) se aumenta indefinidamente, o se alcanza un estado estacionario en un tiempo finit y cual
es el valor estacionario? Utilicese un programa para resolver (2.5.3) numéricamente utilizando el algoritmo de Euler. Qué valor
de t es necesario para lograr una precisión de tres decmales durante el tiempo t = 0,005?
(B)
¿Cuál es la naturaleza de lasa discrepancias en la solución numérica de (2.5.3) para t = 0,05 con t = 0,005, 0,0025 y 0,001?
¿Los pequeños cambios en t conducen a un gran cambio en el valor calculado de Q? Es el algoritmo de Euler estable para
valores razonables de t ?
Proyectos 1_2
Proyecto 1
Oscilaciones químicas
La cinética de las reacciones químicas se puede modelar por un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden acoplados.
Como ejemplo, consideremos la siguiente reacción:
A  2B  3B  C
(P1.1)
en la que A, B, y C representan las concentraciones de tres diferentes tipos de moléculas. Las ecuaciones de las velocidades
correspondientes para esta reacción son
dA
dB
dC
 kA  B 2 ;
 kA  B 2 ;
 kA  B 2
dt
dt
dt
(P1.2)
La velocidad con que transcurre la reacción se determina por la constante de la reacción k. Las expresiones a los lados derechas
de las ecuaciones (P1.2) entran con el signo positivos si la concentraciones de las moléculas correspondientes crecen como en los casos
de las moléculas B y C, y con el signo negativo si la concentración disminuye como en el caso de las molécula A. Obsérvese que el
término 2B en la reacción (P1.2) aparece como B2 en la ecuación de velocidad (P1.2). En (P1.2) se supone que los reactivos se agitan
bien para que no hay no homogeneidad espacial. La velocidad a la que la reacción procede se determina por la reacción términos k.
La mayoría de las reacciones químicas se desarrollan en la dirección de equilibrio, cuando las concentraciones medias de todas
las moléculas tienden ser constantes. Sin embargo, si las concentraciones de algunas moléculas se reponen, es posible observar todo el
tiempo las oscilaciones y comportamiento caótico. Para obtener oscilaciones, es esencial disponer de una serie de reacciones químicas
los productos de los cuales son los reactivos de otras reacciones. A continuación, consideremos un conjunto de reacciones que pueden
conducir a oscilaciones bajo ciertas condiciones (R. Lefever and G. Nicolis, "Chemical instabilities and sustained oscillations," J.
Theor. Biol. 30, 267 (1971)).
A  X ; B  X  Y  D; 2 X  Y  3 X ; X  C
(P1.3)
Si asumimos que las reacciones inversas son insignificantes y las concentraciones A y B se mantienen constantes por una fuente externa,
las correspondientes ecuaciones de velocidad son:
dX
 A   B  1 X  X 2Y ;
dt
dY
 BX  X 2Y
dt
(P1.4)
Para simplificar los cálculos, hemos elegido las constantes de velocidad para todas reacciones iguales a la unidad.
(A)
La solución de estado estacionario de las ecuaciones (P1.4) se puede encontrar mediante el establecimiento de las derivadas
dX dt  dY dt  0 iguales a cero. Demuéstrese que los valores de (X, Y) en el estado estacionario son (A, B / A).
(B)
Escríbase un programa para resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales dadas por (P1.4). Su programa los parámetros
de la entrada deben ser los valores de X e Y iniciales y las concentraciones fijas A y B. Los resultados de la salida deben ser
presentadas en tres columnas el tiempo t y las concentraciones X y Y para poder analizar los gráficos la curva X contra Y en el
proceso de la evolución de las reacciones químicas.
(C)
Variando sistemáticamente los valores iniciales de X e Y y manteniendo los valores de A y B fijos respóndala pregunta ¿son sus
comportamientos en el estado estacionario independiente de las condiciones iniciales?
(D)
Ponemos los valores iniciales de (X, Y) iguales a (A + 0,001, B / A) para varios diferente valores de A y B, es decir, elegiremos
los valores iniciales cercanas a los valores del estado estacionario. Clasifíquese, cuales valores iniciales dan lugar a un
comportamiento en estado estacionario (estable) y cuáles muestran comportamiento periódico (inestable). Encontrar la relación
entre A y B que separa los dos tipos de comportamiento.
Proyecto 2
Impulsos nerviosos
En 1952 Hodgkin y Huxley desarrollaron un modelo de los impulsos nerviosos para entender el potencial de la membrana del
nervio de una célula nerviosa del calamar gigante. Las ecuaciones diferenciales desarrolladas por ellos son conocidas como las
ecuaciones de Hodgkin-Huxley (L. Hodgkin and A. F. Huxley, "A quantitative description of ion currents and its applications to
conduction and excitation in nerve membranes," J. Physiol. (Lond.) 117, 500-544 (1952)).
La idea principal del modelo es que una membrana puede ser tratada como un condensador de capacitancia C en la cual se
genera la tensión V cuando se acumula la carga eléctrica q al pasar la corriente eléctrica. Como V  q C , la velocidad con la que se
cambia de cambio del potencial de membrana V es proporcional a la corriente dq dt que fluye a través de la membrana. Esta corriente
es debido al bombeo de iones sodio y potasio a través de la membrana, una corriente de fuga, y una corriente externa. El modelo es
capaz de reproducir impulsos de los nervios solitarios, trenes de impulsos nerviosos, y otros efectos. El modelo se describe por las
siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden:
En la Sección 7.8 vamos a discutir los efectos de la falta de homogeneidad espacial debido a la corriente de fuga de la difusión molecular,
y un estímulo de corriente externa. El modelo es capaz de producir impulsos solo nervio, trenes de impulsos nerviosos, y otros efectos.
El modelo se describe por las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden
dV
   g K  n 4 (V VK )  g Na  m3  h  (V VNa )  g L (V VL )  I ext (t ),
dt
dn
  n  1  n    n  n
dt
dm
  m  1  m    m  m
dt
dh
  h  1  h    h  h
dt
C
(P2.1)
Aquí V es el potencial de membrana en milivoltios (mV), n, m, y h son dependientes del tiempo funciones que describen las puertas que
bombean iones en o fuera de la célula, C es la capacitancia de la membrana por unidad de área, la gj; son las conductancias por unidad
de área para el potasio, sodio, y de la corriente de fuga, Vi son los potenciales de equilibrio para cada una de las corrientes,  j y  j son
funciones no lineales del potencial de la membrana V. Las notaciones n, m, y h se utilizan para las funciones de puerta porque la notación
en el acuerdo con las que se utilizan universalmente en la literatura. Estas funciones de puerta son intentos de la descripción empírica
del proceso en que la membrana controla el flujo de iones dentro y fuera de la célula nerviosa. Hodgkin y Huxley encontraron las
siguientes formas empíricas para  j y  j :
 n  0.01 V  10  / e 1  V /10   1


2.4

V
/10


 m  0.01 V  25  / e
 1


 h  0.07  eV
 n  0.125 eV
20
(P2.2)
80
 m  4eV 18
 h  1 e  3 V /10   1


Los valores de los parámetros son
C  1.0  F / c m2 , g K  36 mmho / cm 2 , g Na  120mmho / cm 2 , g L  0.3mmho / cm 2 , y
VK  12mV , VNa  115 mV , VL  10.6mV . El rnho unidad representa ohm-1, y la unidad de tiempo es milisegundos (ms). Estos
parámetros asumen que el potencial dela parte restante de la célula nerviosa es cero. Sin embargo, ahora se sabe que este potencial es
aproximadamente -70 mV. Podemos confeccionar un programa para resolver las ecuaciones diferenciales (P2.1) con el vector del estado
inicial {V, n, m, h, t}; las velocidades de las reacciones químicas correspondientes vienen dados por el lado derecho de (P2.1).
Realícese siguientes trabajos para analizar las propiedades de este modelo
A)
Escríbase un programa para graficar n, m, y h en función de V en el estado estacionario (para el cual dn dt = dm dt = dh dt =0 ).
Descríbase cómo estas puertas están operando.
(B)
Escríbase un programa para simular el potencial de la membrana de las células nerviosas grafíquese V(t). Se puede utilizar un
simple algoritmo de Euler con un intervalo de tiempo de 0,01 ms. Describen el comportamiento de la potencial cuando la corriente
externa es igual a 0.
(C)
Considere el caso cuando la corriente externa es igual a cero todo el tiempo excepto para un intervalo inicial de un milisegundo.
Pruebe con una amplitud pico de corriente de 7  A (es decir, la corriente externa es igual a 7 en nuestras unidades). Descríbase
el impulso nervioso que resulta V (t). ¿Hay un valor umbral para la corriente por debajo del cual no hay gran pico pero sólo un
pico ancho?
(D)
Una corriente constante debe producir un tren de espigas. Pruébese diferentes amplitudes de la corriente y determínese si hay un
corriente umbral y cómo la separación entre picos depende de la amplitud de la corriente externa.
(E)
Considere una situación en la que hay una corriente externa I1 estable durante 20 ms y luego el corriente aumenta a I 2  I1  I
Hay tres tipos de comportamiento dependiendo de los valores de I1 y I . Descríbase el comportamiento de las cuatro situaciones
siguientes: (1) I1 =2.0  A, I  1.5 A ; (2) I1 =2.0  A, I  5 A ; (3) I1 =7 A, I  1 A ; y (4) I1 =7 A, I  4  A . Pruébese
además y otros valores de I1 y I también. ¿En cuales casos se obtiene un tren de picos estacionarios? ¿En cuales casos se
produce un pico solitario? Qué otros tipos de comportamientos se encuentran?
(F)
Una vez que se activa un pico, frecuentemente es difícil poner en marcha otro pico. Considere la posibilidad de un impulso de
corriente en t = 20 ms de 7  A que tiene una duración de un milisegundo después de activar un pico solitario. A continuación,
actívese un segundo impulso de corriente de la misma amplitud y duración en el momento t = 25 ms. ¿Lo que pasa? ¿Qué ocurre
si se agrega un tercer impulso en el momento t= 30 ms?