CAPÍTULO I: MATRICES 1.− DEFINICIÓN Y CLASES matriz aparecerá así:

CAPÍTULO I: MATRICES
1.− DEFINICIÓN Y CLASES
• Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la
matriz aparecerá así:
• El elemento
está situado en la fila i y en la columna j.
• El número de filas y columnas
recibe el nombre de dimensión de la matriz.
• Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n.
• El número total de elementos de la matriz es
.
• Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo
lugar coinciden en su valor.
Según la forma de la matriz, esta puede ser:
• Matriz fila: tiene una sola fila.
• Matriz columna: tiene una sola columna.
• Matriz cuadrada: tiene el mismo nº de filas que de columnas.
• Matriz rectangular: no es cuadrada.
• Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se designa por At, a la matriz que
se obtiene cambiando las filas por las columnas.
• Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que
(los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor).
• Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que
( los elementos de la diagonal principal son todos nulos).
Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:
• Matriz nula: todos sus elementos son cero.
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene los elementos que no pertenecen a la diagonal
principal iguales a cero.
• Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
• Matriz unidad: matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno.
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• Matriz triangular: matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la
diagonal principal son cero.
2.− OPERACIONES CON MATRICES.
2.1.− SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.
• Para sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Cada elemento de la primera matriz
se suma con su homólogo en la segunda .
• La diferencia de matrices se defina como la suma de la primera con la opuesta de la segunda.
2.2.− PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.
• Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y cada uno de
los elementos de la matriz.
3.− PRODUCTO DE MATRICES.
3.1.− PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.
3.2.− PRODUCTO DE DOS MATRICES.
• Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas
de la segunda. La matriz producto tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la
segunda matriz. Se multiplicarán las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda.
• El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
• Dos matrices A y B son inversas si los productos A"B y B"A son iguales a la matriz unidad.
• Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A se la designa por A−1
Ejercicios:
• Dadas las matrices A y B, hallar 3 A+2 B, siendo
• Calcular el siguiente producto de matrices:
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• Realizar el mismo ejercicio con las siguientes matrices:
• Calcular las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial:
CAPÍTULO II: DETERMINANTES
1.− DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN.
Dada la matriz cuadrada de orden dos
, se llama determinante de A al número real
2.− DETERMINANTES DE TERCER ORDEN.
Dada una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calculará mediante la regla de Sarrus.
3.− PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
•
• Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz cuadrada por un número real, el determinante
queda multiplicado por dicho número.
• El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes.
• Si permutamos dos filas (dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo.
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• Si una matriz tiene una fila (una columna) formada por ceros, su determinante es nulo.
• Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) iguales, su determinante es cero.
• Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.
• Si una línea es combinación lineal de otras, el determinante es cero.
• Si a una fila (una columna) se le suma otra fila, multiplicada por un número, el determinante no varía.
Ejercicios:
• Resuelve el siguiente determinante (resta la 1ª fila a la 2ª y a la 3ª)
• Haz una operación análoga para resolver el determinante siguiente:
4.− CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO.
• Dada una matriz cuadrada A, se define el adjunto del elemento aij como el determinante de la matriz
resultante de eliminar la fila i y la columna j, multiplicado por (−1)i+j. Al adjunto de aij lo
designaremos por Aij.
• Si en una línea de una matriz cuadrada A sólo hay un elemento distinto de cero (aij), se verifica que
Ejercicios:
• Aplica la anterior propiedad para resolver los siguientes determinantes:
•
•
•
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5.−RANGO DE UNA MATRIZ.
• Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si existen unos
números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:
Ejemplo: en la matriz
la fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera
columna y de la segunda.
• Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas
depende linealmente de las restantes.
• Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si ninguna de ellas
depende linealmente de las restantes.
• En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas
linealmente independientes. A este número se le llama rango de A.
5.1.− CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ.
Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos:
• Rango de la matriz
• Rango de la matriz
Ejercicio: demostrar que, cualesquiera que sean los números reales a, b, c, las filas F1=(0,1,c), F2=(1,a,b) y
F3=(0,0,1) son linealmente independientes.
6.− MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA.
• La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz A−1 tal que :
siendo I la matriz unidad.
• Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se designa por adj(A), a la matriz que
se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
Ejercicio:
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• Calcula la matriz adjunta de la matriz
• Calcula el producto
• Calcula el
• Calcula el producto
• ¿Qué puedes deducir del resultado obtenido?
• Si A es una matriz cuadrada regular, entonces su inversa es la matriz:
Ejemplo: vamos a calcular la inversa de la matriz
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
• Calcular los siguientes determinantes de orden dos:
• Calcular los siguientes determinantes de orden tres:
• Calcular los siguientes determinantes de orden cuatro:
• Calcular el rango de las matrices:
• Resolver la ecuación matricial BX=C , siendo las matrices:
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• Si A es la matriz
, calcular la matriz
• Hallar la matriz X tal que AX=B+2C, siendo las matrices:
PROBLEMAS
• Dos matrices A y B son inversas y además todos sus elementos son números enteros. ¿Cuáles son los
posibles valores de det(A) y de det(B)?
• En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 200, 150 y 400 ptas/kg, respectivamente. En
cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 570.000 ptas. Además, se sabe que la
cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo.
• Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada uno.
• Expresa matricialmente el problema.
• Calcula el determinante de la matriz asociada al problema.
• Resuelve el sistema mediante la matriz inversa.
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD
• Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?
• Dadas las matrices
explica si hay alguna matriz de 2º orden X, tal que
.
• Responde a las siguientes cuestiones:
• Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas, y C una matriz de 2 filas y 3 columnas. ¿Qué dimensión tiene la
matriz B sabiendo que existe el producto A"B"C?
• Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su traspuesta da una matriz de dimensión
, y el producto
es
. ¿Qué dimensión tiene D? ¿Tiene D matriz inversa?
• Siendo Et=(1 2 3), calcula
• Responde a las siguientes cuestiones:
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• Determina para qué valores de x no existe la inversa de la matriz
• Calcula A−1 para x=2.
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