Problemas de flujos viscosos y no viscosos (30-11-2004) Flujos viscosos 1. El flujo alrededor de una esfera se puede calcular a bajo número de Reynolds resolviendo la siguiente ecuación ∇p = µ∇2 u. con condiciones de contorno ur = uθ = 0 para r = a. La soulución es 3a a3 ur = u0 cos θ 1 − + 3 2r 2r ! 3a a3 uθ = −u0 sin θ 1 − − 3 4r 4r ! Calcúlese la presión sobre la superficie de la esfera y la fuerza de rozamiento. 2. Calcúlese el rozamiento viscoso por unidad de longitud en un tubo cilı́ndrico. 3. Calcúlese el rozamiento viscoso por de superficie en un flujo de Couette-Poiseuille plano. 4. Calcúlese la fuerza de rozamiento sobre un plano que se pone en movimiento de repente. 5. Un fluido fluye a lo largo de un plano inclinado un ángulo α. La superficie superior está sometida a la presión atmosférica p0 , y su distancia al plano es uniforme. No hay tensiones de cizalla en la superficie. Calcúlese la velocidad. (Hay que tener en cuenta la gravedad. Se considera que la velocidad no varı́a a lo largo del plano.) Flujos no viscosos 6. Un vórtice lineal se caracteriza por el siguiente campo de velocidades (en coordenadas cilı́ndricas) 1 ur = 0, uθ = . r Escrı́base el potencial de velocidades correspondiente en coordenadas cilı́ndricas. 7. Escrı́base el potencial de velocidades para dos vórtices lineales de igual magnitud colocados en x = −a y x = +a. Considérense vórtices de igual signo y de distinto signo. Calcúlese la velocidad y la presión en el plano x = 0, en ambos casos. ¿ Dos vórtices opuestos se atraerán o se repelerán? 8. Demuéstrese que el potencial 1 +q (x − x0 )2 + y 2 + z 2 (x + x0 )2 + y 2 + z 2 φ= q 1 representa una fuente enfrentada a un plano. Hállense velocidad y presión máximas y mı́nimas en el plano x = 0. 9. Hacer un esquema del flujo resultante del potencial 2 φ = 3r cos θ − . r ¿ En qué punto se anula la velocidad? 10. Demuéstrese que la transformación ζ = ez convierte la tira 0 < y < 2π en un cı́rculo. 11. Demuéstrese que la transformación ζ = sin z = eiz − e−iz 2i convierte la tira −π/2 < x < π/2 en el plano completo pero con cortes en y = 0, 1 < x < ∞, −∞ < x < −1. 12. Escrı́base el potencial complejo para 2 vórtices de igual magnitud situados en x = −a, x = a. Escrı́base el potencial de velocidad Φ y la función de corriente Ψ. Calcular el campo de velocidades. 13. El potencial 1 − 3i log z z representa el flujo alrededor de un cilindro con vorticidad. Calcúlese la velocidad y la presión sobre la superficie del cilindro. Hállense los puntos de velocidad cero sobre el cilindro. W (z) = 5z + 14. Calcúlese la fuerza que un vórtice situado en x = a, y = 0 ejerce sobre una pared en x = 0. 15. Calcúlese la fuerza que una fuente situada en x = a, y = 0 ejerce sobre una pared en x = 0.