Series Temporales Univariantes

Series Temporales Univariantes
Profesoras
• Carolina García-Martos (garcia.martos@upm.es)
• María Jesús Sánchez Naranjo (mjsan@etsii.upm.es)
Series Temporales Univariantes
María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
ÍNDICE
• Introducción
a
clasificación
de
descriptivo…).
las
los
series
temporales
(objetivos,
modelos
de
series,
análisis
• Funciones de autocorrelación simple y parcial
• Procesos estacionarios: Modelos AR, MA y ARMA
• Modelos ARIMA
• Modelos ARIMA estacionales.
• Ejemplos prácticos
• Algunas ideas sobre: modelos multivariantes y modelos de
heterocedasticidad condicional
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María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
Bibliografía
• Box, G.E.P., Jenkins, G.M. y Reinsel, G. (1994).
Analysis: Forecasting and Control. Prentice Hall.
Time Series
• Peña, D. (2010). Análisis de Series Temporales.
Alianza Editorial.
• Chatfield, C. (1989). The Analysis of Time Series. An Introduction.
Chapman & Hall.
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María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
¿Qué sé de Estadística?
¿Qué debo saber?
Inferencia (Contrastes) y modelos de regresión lineal
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María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
Objetivo del análisis de series temporales
• Explicar la evolución de una variable a lo largo del tiempo
• Prever sus valores futuros
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Gráfico temporal del precio de un componente eléctrico
Gráfico Temporal de la temperatura de un proceso químico (cada minuto)
18,8
40
18,4
Temperatura
43
Pecio
37
34
31
18
17,6
17,2
16,8
28
16,4
25
16
0
30
60
90
120
150
0
40
80
120
160
200
Gráfico Temporal para la serie de pasajeros de avión
Número de pasajeros
800
600
400
200
0
0
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30
60
90
120
150
María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
Clasificación de los modelos de series temporales
• EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE RESPUESTAS (número de variables
que evolucionan en el tiempo que se estudian):
– RESPUESTA UNIVARIANTE
– RESPUESTA MULTIVARIANTE
•
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
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Clasificación de los modelos de series temporales
• Lineales
• Estacionarios
– No estacionarios
• No lineales
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• Series estacionarias:
estacionarias Estacionarias en la media y la varianza
(frecuentes en el mundo físico, pero no en el social o económico).
• Series no estacionarias:
estacionarias Su variabilidad y/o su media cambian
en el tiempo.
– El cambio en la varianza implica que la dispersión
(variabilidad) no es constante en el tiempo.
– El cambio en la media implica tendencia (a crecer o decrecer),
la serie no oscila alrededor de un valor constante. Fenómenos
sociales.
•
Pauta que se repite: serie estacional.
– NO HISTOGRAMA, NO MEDIA, NO DESVIACIÓN TÍPICA
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¿Cómo detectamos si una serie es o no estacionaria en varianza?
Non−stationary in variance time series
100
50
0
−50
−100
0
50
100
150
time
Stationary in variance time series
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
50
100
150
time
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¿Cómo detectamos si una serie es o no estacionaria en media?
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¿Cómo detectamos si una serie es o no estacionaria en media?
Gráfico Temporal de la temperatura de un proceso químico (cada minuto)
18,8
Temperatura
18,4
18
17,6
17,2
16,8
16,4
16
0
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40
80
120
160
200
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Descomposición básica de una serie temporal
Valor observado = tendencia+ estacionalidad + comp. irregular
Zt= Tt +St+ It
• Tendencia: movimiento suave de la serie a largo plazo
• Estacionalidad: movimientos de oscilación dentro del mes, año (p. ej.)
• Irregular: variaciones aleatorias alrededor de los componentes anteriores.
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Modelos univariantes de series temporales
Objetivo:
Zt=f(Zt-1,Zt-2,…)+ at
Zt=Zt*+ at
(1)
at es independiente de su pasado
Existen dos enfoques básicos para obtener (1):
– Postular la forma de Zt* (siendo Zt* la parte predecible).
– Obtener at en la serie (at es la parte no predecible).
Los métodos clásicos buscan Zt* y el enfoque Box-Jenkins se centra en
at.
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Análisis univariante: enfoques
zt = zt * +at
zt
= Serie observada
zt * = Componente predecible
at = Componente aleatoria
Dos enfoques:
1. Método clásico: buscar zt *
2. Metodología Box-Jenkins: buscar at
zt
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FILTRO
at
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¿Cómo es at?
at debe ser un proceso de ruido blanco
• E[at]=0
t=1,2,...
• Var[at]=σ2
t=1,2,...
• Cov[at ,at-k]=0
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k=±1,± 2
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Etapas para la construcción de un modelo ARIMA(p,d,q)
Serie observada
Identificación del modelo ARIMA(p,d,q)
• Transformaciones
• Selección p,d,q
Estimación de parámetros y contrastes
• Función de verosimilitud
• Cálculo de estimadores y estadísticos
Crítica y diagnosis: validación del modelo
NO
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¿Es
el modelo
adecuado?
SI
• Predicción
• Analizar estructura
• Datos anómalos
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Herramientas a utilizar para identificar el modelo
• Gráfico de la serie: a la vista de la evolución temporal de la variable de
interés se detecta 1) La necesidad de estabilizar la varianza y 2) La
necesidad de estabilizar la media si ésta no es constante (proceso no
estacionario en media).
15
10
5
0
-5
-10
-15
0
20
40
60
80
100
120
140
Tiempo
• Función de autocorrelación simple (FAS, en inglés ACF).
• Función de autocorrelación parcial (FAP, en inglés PACF).
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ACF o FAS
• Función de autocovarianzas
γ (t , t − k ) = E[( zt − µ )( zt − k − µ )] = γ k ,
k = 0, ±1, ±2,...
• Coeficiente de autocorrelación
ρk =
AR(2)
• La FAS es la
autocorrelación
Cov ( zt , zt −k )
Var ( zt )Var ( zt −k )
representación
.
retardo-coeficiente
de
1
x = - .9 x
t
0 .8
t-1
+ .5 w
t-1
+ w
t
Autocorrelación
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
-0 . 8
-1
0
5
10
15
20
25
30
R e ta rd o
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PACF o FAP
• Herramienta fundamental
autorregresivo.
para
determinar
el
orden
de
un
• El coeficiente de correlación parcial mide la relación entre xt y xt-k
elimina el efecto de xt-1, xt-2 ,…, xt-k+1.
AR(1)
AR(2)
proceso
cuando se
xt −4 → xt −3 → xt −2 → xt −1 → xt
xt −4 → xt −3 → xt −2 → xt −1 → xt
• La ACF sólo tiene en cuenta que xt y xt-2 están relacionados en ambos casos,
si se mide la relación directa entre ellos (eliminando el efecto debido a xt-1),
para un AR(1) es nulo pero no para un AR(2).
•
El número de coeficientes distinto de cero indica el orden del proceso
autorregresivo.
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Herramientas a utilizar para identificar el modelo
• Gráfico de la serie
1
x = - .9 x
t
0 .8
t-1
+ .5 w
t-1
+ w
t
• Función de autocorrelación simple
Autocorrelación
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
-0 . 8
-1
0
5
10
15
20
25
30
R e ta rd o
1
x = 1 .5 x
t
0.8
t- 1
- .7 5 x
t- 2
+ w
t
0.6
• Función de autocorrelación parcial
Autocorrelación
0.4
0.2
0
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
-0 . 8
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
r e ta r d o
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Pasos para la identificación del modelo
• Transformaciones para conseguir proceso estacionario
– 1. Heterocedasticidad: obtención de λ
•
Gráfico de la serie y gráfico rango-media para zt y para zt (λ
•
Transformación Box-Cox
Pasajeros de avión
Pasajeros
800
600
400
200
0
0
30
60
90
120
150
(en logaritmos)
6.6
Pasajeros
6.2
5.8
5.4
5
4.6
0
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30
60
90
120
150
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Pasos para la identificación del modelo
– 2. Determinación del orden de diferenciación regular d: número de
diferencias que se deben aplicar para convertir la serie en
estacionaria.
•
Gráfico de la serie y ACF de la serie original: IBM
ACF para IBM
Autocorrelaciones
610
ibm
570
530
490
450
1
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
20
40
60
80
100
120
0
5
10
15
20
25
retardo
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Pasos para la identificación del modelo
Gráfico de la serie y ACF de la serie diferenciada d (1,2,...) veces
ACF para IBM con d=1
Autocorrelaciones
ibm con d=1
25
15
5
-5 •
-15
1
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0
20
40
60
80
100
120
0
5
10
15
20
25
retardo
• 3. Identificación de la estructura estacionaria: determinación de los
ordenes p y q del modelo.
•
Funciones de autocorrelación simple y parcial (AR(p) y MA(q)).
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Proceso estacionario (en sentido débil)
1.
µt = µ = cte,
2.
σ t2 = σ 2 = cte
3.
γ (t , t − k ) = E[( zt − µ )( zt − k − µ )] = γ k ,
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k = 0, ±1, ±2,...
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Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1).
zt = φ zt −1 + at
zt = φ zt −12 + at
at → N (0, σ a )
at →
a1 ,...,
at ,...N (0, σ
2
independientes
a
)
E[azt ],...,
t independientes
= 0,a∀,...
1
t
2
σ
E[ztz]t =] = 0,a 2∀t
var[
1−φ
σ a2
var[ zt ] =
1−φ 2
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Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1). FAS y FAP.
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
a1 ,..., at ,... independientes
k
γ = φ , k = 1,....
σ =φ
α
11
var[ z ] =
1−φ
α kk = 0, k > 1
kt
E[ zt ] = 0, ∀
2
a
t
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2
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Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1). FAS o ACF.
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
a1 ,..., at ,... independientes
E[ zt ] = 0, ∀t
σ a2
var[ zt ] =
1−φ 2
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Proceso Auto-Regresivo de orden 1, AR(1). FAP o PACF.
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
a1 ,..., at ,... independientes
E[ zt ] = 0, ∀t
σ a2
var[ zt ] =
1−φ 2
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Proceso Auto-Regresivo de orden 2, AR(2).
zt = φ zt −1 + at
2
a
→
N
(0,
σ
zt t= φ1 zt −1 +aφ)2 zt − 2
+ at
a1 ,..., at ,... independientes
2
at → N (0, σ a )
E[ zt ] = 0, ∀t
a1 ,..., at ,...σindependientes
2
var[ zt ] =
a
σ a2
var[ zt ] = (
)
1 + φ2 {(1 − φ2 ) 2 − φ12 }
Series Temporales Univariantes
1 −1φ−2 φ2
María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
Proceso Auto-Regresivo de orden 2, AR(2). FAS y FAP.
ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN
La autocorrelación simple decrece con el retardo de forma exponencial.
La autocorrelación parcial no es significativa para retardos > 2.
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Proceso Auto-Regresivo de orden p, AR(p).
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
zt a=,...,
φ1 zat −,...
φ2 zt − 2 + ... + φ p zt − p + at
1 +independientes
1
t
[ zt ]N=(0,
0, ∀σt 2 )
at E→
a
σ a2
a1 ,...,
var[ zat t],...
= independientes
1−φ 2
E[ zt ] = 0, ∀t
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Proceso Auto-Regresivo de orden p, AR(p).
Sobre la notación: El operador retardo B
Bzt = zt −1
B 2 zt = zt − 2
B p zt = zt − p
∇zt = (1 − B) zt = zt − zt −1
(1 − ϕ B) zt = at ⇔ zt = (1 + ϕ B + ϕ 2 B 2 + ...)at =
= at + ϕ at −1 + ϕ 2 at − 2 + .....
(1 − θ B)at = zt ⇔ at = (1 + θ B + θ 2 B 2 + ...) zt =
= zt + θ zt −1 + θ 2 zt − 2 + .....
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Proceso Auto-Regresivo de orden p, AR(p). FAS y FAP.
ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN
La autocorrelación simple decrece con el retardo de forma exponencial.
La autocorrelación parcial no es significativa para retardos > p.
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Modelos autorregresivos: AR(1), AR(2),..., AR(p)
Modelo AR(1)
γ ( h)
ρ ( h) =
= φ h,
γ (0)
h≥0
y 0 <φ <1
(Fácil de identificar)
Modelo AR(2)
ρ (h) = φ1ρ (h − 1) + φ 2 ρ (h − 2), h ≥ 1
Modelo AR(p)
ρ (h) = φ1ρ (h − 1) + φ2 ρ (h − 2) + ... + φ p ρ (h − p ) h ≥ 1
•Si p>1 la identificación utilizando sólo la ACF no es posible
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Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1).
zt = φ zt −1 + at
2
at z→
N
(0,
σ
)
=
−
θ
a
t
1 a t −1 + at
at → N (0, σ a )
a1 ,..., at ,... independientes
2
E[ zt ] = 0, ∀t
a1 ,..., at ,...
independientes
2
σa
var[ zt ] =
E[ zt ] 1=−0,
φ 2∀t
var[ zt ] = σ a2 (1 + θ12 )
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Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). FAS y FAP.
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
γ
=θ
1
E[ z ] = 0, ∀t
γ k σ= 0, k > 1
a1 ,..., at ,... independientes
t
var[ zt ] =
2
a
1−φ 2
α kk = θ , k = 1,...
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k
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Proceso de Media móvil de orden 1, MA(1). FAS y FAP
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
a1 ,..., at ,... independientes
E[ zt ] = 0, ∀t
σ a2
var[ zt ] =
1−φ 2
Series Temporales Univariantes
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Proceso de Media móvil de orden 2, MA(2).
zt = φ zt −1 + at
2
azt →=N−(0,
σ
θ aa )
t
1 t −1
− θ 2 at − 2 + at
a1 ,..., at ,... independientes
Ea[tzt →
t σ
] = 0,N
∀(0,
2
σ
a1 ,...,
a
zt ] =at ,...
var[
1−φ 2
2
a
)
independientes
E[ zt ] = 0, ∀t
var[ zt ] = σ (1 + θ + θ 2 )
2
a
Series Temporales Univariantes
2
1
2
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Proceso de Media móvil de orden 2, MA(2). FAS y FAP.
ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN
La autocorrelación simple no es significativa para retardos > 2.
La autocorrelación parcial decrece con el retardo de forma exponencial.
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Proceso de Media móvil de orden q, MA(q).
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
zt =a1a,...,
atθ
,...1aindependientes
t −
t −1 − θ 2 at − 2 − ... − θ q at − q
E[ zt ] = 0, ∀t
zt = (1 − θ1 B −
θ 2 B − ... − θ q B )at
2
2
q
σa
var[ zt ] =
E[ zt ] = 0, ∀
1 −tφ 2
var[ zt ] = σ (1 + θ + ... + θ )
2
a
Series Temporales Univariantes
2
1
2
q
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Proceso de Media móvil de orden q, MA(q). FAS y FAP.
ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN
La autocorrelación simple no es significativa para retardos > q.
La autocorrelación parcial decrece con el retardo de forma exponencial.
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Proceso ARMA(1,1).
zt = φ zt −1 + at
z
=
φ
z
21 − θ at −1 + at
t
t
−
a → N (0, σ )
t
a
a1a
,...,→
at ,...Nindependientes
(0, σ 2 )
t
a
E[ zt ] = 0, ∀t
a1 ,..., at 2independientes
σa
var[ zt ] =
E[ zt ] 1=− φ0,2 ∀t
1 + θ − 2θφ
var[ zt ] = σ
2
1−φ
2
2
a
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Proceso ARMA(1,1). FAS y FAP
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
a1 ,..., at ,... independientes
E[ zt ] = 0, ∀t
σ a2
var[ zt ] =
1−φ 2
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Proceso de ARMA (1,1). FAS y FAP.
ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN
FAS: decrecimiento geométrico dependiente del parámetro
autorregresivo.
FAP: Decrecimiento geométrico dependiente del parámetro de media
móvil.
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Proceso ARMA(p,q).
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
zt = φ1 zt −1 + φ2 zt − 2 + ... + φ p zt − p − θ 1 at −1 − θ 2 at − 2 − ... − θ q at − q + at
a1 ,..., at ,... independientes
(1 − φ1 B − φ2 B −E[...zt −] =φ0,
∀t ) zt = (1 − θ 1 B − θ 2 B − ... − θ q B )at
pB
2
p
2
q
2
σ
at → N (0, σ ) var[ z ] = a
t
1−φ 2
2
a
a1 ,..., at independientes
E[ zt ] = 0, ∀t
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Proceso ARMA(p,q). Estructura de la FAS y la FAP.
zt = φ zt −1 + at
at → N (0, σ a2 )
ACF
PACF
a1 ,..., at ,... independientes
AR(p)
EMuchos
[ zt ] = 0,coeficientes
∀t
0 excepto los primeros p
distintos a 0
MA(q)
ARMA(p,q)
σ a2
0var[
excepto
q
zt ] = los primeros
2
1−φ
Muchos coeficientes distintos a
0
Muchos coeficientes
distintos a 0
Muchos coeficientes distintos a
0
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Procesos integrados.
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Procesos integrados.
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Procesos integrados. Modelos ARIMA (p,d,q).
φ ( B )∇ d zt = θ ( B)at
(1 − φ1 B − φ2 B 2 − ... − φ p B p )(1 − B) d zt = (1 − θ1 B − θ 2 B 2 − ... − θ q B q )at
at → N (0, σ a2 )
a1 ,..., at ,...independientes
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Procesos ARIMA estacionales
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Algunos ejemplos...
Un tipo de falta de estacionariedad en la media muy habitual en la
práctica: el comportamiento estacional.
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Algunos ejemplos...
Un tipo de falta de estacionariedad en la media muy habitual en la
práctica: el comportamiento estacional.
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Algunos ejemplos...
Un tipo de falta de estacionariedad en la media muy habitual en la
práctica: el comportamiento estacional.
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Precios de energía eléctrica. FAS y FAP muestran también la presencia de
estacionalidad
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¿Qué es una serie estacional?
Diremos que una serie es estacional cuando su media no es constante
en el tiempo pero varía de forma periódica, cíclica.
Si Ez t  = Ezt+s  entonces diremos que la estacionalidad es de periodo s.
– En series diarias, en las que suele haber estacionalidad semanal:
s=7.
– En series mensuales s=12.
– En series horarias, estacionalidad diaria: s=24.
– En series bimensuales, la estacionalidad anual hace que s=6, y
análogamente con las cuatrimestrales (s=3) y trimestrales
(s=4).
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Tipos de estacionalidad
MODELADO DE LA ESTACIONALIDAD DE FORMA ADITIVA
Consiste en escribir la serie como suma de un proceso estacionario y
un componente estacional:
zt =
s
St
+ nt
La serie no es estacionaria, pues el componente estacional no toma
mismo valor en todos los periodos.
Series Temporales Univariantes
María Jesús Sánchez Naranjo y Carolina García-Martos
Representación del IPI en España para los distintos meses. Efecto
estacional.
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Demanda. Efecto estacional.
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Formas de modelar la estacionalidad
• Que sea determinista, es decir constante para el mismo mes de
distinto año.
• Senos y cosenos.
• Introducir s-1 variables ficticias
• Que la estacionalidad evoluciona en el tiempo pero oscilando
alrededor de un valor fijo
• Permitir que sea cambiante en el tiempo sin ningún valor medio fijo,
en este caso diremos que la estacionalidad es no estacionaria.
Primera forma sencilla de modelar la estacionalidad:
z t = zt−s + a t
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Diferencia estacional
z t = zt−s + a t , a t : Proceso estacionario
En el caso más sencillo, si at es ruido blanco diremos que la serie zt
sigue un proceso I(1)s
zt − zt−s = a t → ∇ s zt = a t , a t ∼ N0, σ2a 
∇ s = 1 − B s
Operador diferencia estacional
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Diferencias regulares y estacionales
Si al aplicar a la serie zt: D diferencias estacionales y d diferencias
regulares tenemos un proceso de ruido blanco, diremos que dicha
serie sigue un modelo I(d)xI(D)s.
D: número de diferencias estacionales
s: orden de la estacionalidad
d: número de diferencias regulares
1 − B s D1 − B d zt = a t , a t ∼ N0, σ2a 
Podemos tener que aplicar más de una diferencia regular, pero es muy
infrecuente tener que hacer más de una diferencia éstacional. En
cualquier caso d≤3.
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Procesos ARIMA estacionales
Si al aplicar a la serie zt: D diferencias estacionales y d diferencias
regulares tenemos un proceso estacionario, pero no ruido blanco:
D: número de diferencias estacionales
s: orden de la estacionalidad
d: número de diferencias regulares
1 − B s D1 − Bd zt = y t , y t ∼ estacionario, pero con estructura de dependencia...
Generalizar el modelo ARMA incluyendo además de la dependencia
regular, también la estacional.
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Procesos ARIMA estacionales
La ecuación de un modelo multiplicativo estacional ARMA (p,q)x(P,Q)s:
1 − φ 1 B −. . . −φ p B p 1 − Φ 1 B s −. . . −Φ p B psy t = 1 − θ1 B −. . . −θ q B q 1 − Θ 1 B s −. . . −Θ Q B Qs a t
con a t ∼ N0, σ2a 
Lo podemos escribir de forma compacta:
φ p BΦ p B sy t = θq BΘ QB sa t
Y la fórmulación completa del modelo ARIMA(p.d.q)x(P,D,Q)s para zt:
φ p BΦ p B s∇ d ∇ s Dz t = θq BΘ QB sa t
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Procesos ARIMA estacionales
Para la fórmulación completa del modelo ARIMA(p.d.q)x(P,D,Q)s para zt:
φ p BΦ p B s∇ d ∇ s Dz t = θq BΘ QB sa t
con a t ∼ N0, σ2a 
φ p B = 1 − φ 1 B −. . . −φ p B p , operador AR regular de orden p
Φ p B s = 1 − Φ 1 B s −. . . −Φ p B ps , operador AR estacional de orden P
∇d = 1 − Bd , d diferencias regulares
∇ s D = 1 − B s D, D diferencias estacionales
θ q B = 1 − θ1 B −. . . −θq B q , operador MA regular de orden q
Θ QB s = 1 − Θ 1 B s −. . . −Θ QB Qs , operador MA estacional de orden Q
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Identificación del modelo ARIMA estacional
PASOS A SEGUIR
• ¿Cuál es el orden de la estacionalidad? ¿s=? Para ello es importante
conocer de qué datos se trata.
• Comprobar si la serie es estacionaria en varianza, y si no lo es tomar
logaritmos.
• Comprobar si la serie es estacionaria en media, ¿es necesaria una
diferencia estacional? Es muy infrecuente que sea necesaria más de
una diferencia estacional, ¿es necesaria alguna diferencia regular?
Usualmente p<4.
• Seleccionar el modelo ARMA multiplicativo
Seleccionando paso a paso, p, P, q y Q.
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más
adecuado.
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Identificación del modelo ARIMA estacional
La función de autocorrelación simple (FAS) de un ARMA(p,d)x(P,D)
• En los retardos bajos observamos únicamente lo correspondiente a la
parte regular,
• En los retardos estacionales (s, 2s, 3s,...) observamos únicamente lo
correspondiente a la parte estacional.
• Alrededor de los retardos estacionales (s-2, s-1, s+1, s+2, 2s-2, 2s-1,
2s+1, 2s+2,...) observamos lo correspondiente a la interacción entre
la parte estacional y regular. En concreto lo que se observa es la
repetición de la FAS de la parte regular a ambos lados de los retardos
estacionales: Si la parte regular es MA, a cada lado de los retardos
estacionales tendré q coeficientes significativos. Si la parte regular es
AR, a cada lado de los retardos estacionales tendré el decaimiento
exponencial propio de los AR.
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Pasos para la construcción de un modelo ARIMA
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Etapas para la construcción de un modelo ARIMA(p,d,q)
Serie observada
Identificación del modelo ARIMA(p,d,q)
• Transformaciones
• Selección p,d,q
Estimación de parámetros y contrastes
• Función de verosimilitud
• Cálculo de estimadores y estadísticos
Crítica y diagnosis: validación del modelo
NO
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¿Es
el modelo
adecuado?
SI
• Predicción
• Analizar estructura
• Datos anómalos
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Etapas para la construcción de un modelo ARIMA(p,d,q)
Reglas prácticas
1. En primer lugar ha de estabilizarse la varianza si es necesario. Una vez
estabilizada la varianza, y sólo si el proceso no es estacionario en media, se
debe estabilizar la media (Tomando diferencias regulares (d), y/o
estacionales, D).
Una vez se tiene una serie estacionaria y en desviaciones a la media...
2. Evitar la identificación inicial de modelos mixtos ARMA y comenzar con
modelos AR y MA, preferiblemente de orden bajo.
3. Buscar modelos simples que expliquen los rasgos más obvios de la ACF.
Coeficientes claramente significativos, pautas de decrecimiento geométricas
o sinusoidales, etc.
4. Luego se utilizará la PACF para completar y confirmar los rasgos de la ACF.
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ESTIMACIÓN DEL MODELO (detalles en Peña (2010)).
OBJETIVO: Obtener las estimaciones de los parámetros que definen el modelo
Parámetros: φ1, φ2,..., φp, θ1, θ2, θq, µx y σw2
Xt es estacionaria e invertible
β =[φ1, φ2,..., φp, θ1, θ2, θq ]T
wt ~ N(0, σw2) (i.i.d.)
Diferentes enfoques:
Condicionado
No condicionado (estimación exacta)
Independientemente del criterio que se elige hay dos problemas:
Determinación de condiciones iniciales
Modelos no lineales
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ESTIMACIÓN DEL MODELO. Contrastes sobre los parámetros.
Se obtienen los valores de los parámetros estimados.
Se obtienen las desviaciones típicas estimadas
¿Son nulos los parámetros?
H 0 : βi = 0
H1 : β i ≠ 0
βˆ1 = φˆ1, βˆ2 = φˆ2 ,..., βˆh −1 = ϑˆq −1, βˆh = ϑˆq
βˆi → N ( βi , σ ( βˆi ))
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ESTIMACIÓN DEL MODELO. Contrastes sobre los parámetros.
Se obtienen los valores de los parámetros estimados.
Se obtienen las desviaciones típicas estimadas
¿Son nulos los parámetros?
βˆi − 0
→ N (0,1);
ˆ
σ ( β1 )
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βˆi − 0
→t
ˆ
σˆ ( β1 )
Si n ↑↑↑
βˆi − 0
Zi =
σˆ ( βˆ1 )
Si Z i ∈ (−2,2) no se rechaza H 0 y βi = 0.
Si Z i ∉ (−2,2) se rechaza H 0 y βi ≠ 0.
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DIAGNOSIS DEL MODELO. ¿Se cumplen las hipótesis asumidas?
1.
Análisis sobre los coeficientes
2.
Los coeficientes del modelo son suficientes para representar
la serie
3.
El modelo seleccionado debe tener un grado de ajuste
elevado (en comparación con otros)
4.
Análisis de residuos
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DIAGNOSIS DEL MODELO. (1. Análisis sobre los coeficientes)
•
Los coeficientes estimados
estacionariedad e invertibilidad.
•
Cálculo de raíces de los polinomios
deben
cumplir
condiciones
de
•
Si alguna raíz está muy cerca de la unidad hay que tener cierta
precaución. Si es la correspondiente a la parte autorregresiva puede
suceder que la serie esté subdiferenciada.
•
Si existen raíces comunes se podría utilizar un modelo con dos
parámetros menos.
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DIAGNOSIS DEL MODELO. (2. ¿Son suficientes los parámetros
para representar la serie? )
• Consiste en introducir parámetros adicionales para estudiar si el
modelo está infradimensionado.
ARMA (p,q)
ARMA(p+1,q)
ARMA (p,q)
ARMA(p,q+1)
• Problema: redundancia paramétrica.
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DIAGNOSIS DEL MODELO. (3. Selección del modelo más adecuado )
Fase de identificación: varios modelos alternativos.
¿Cuál es el más adecuado?
AIC
BIC
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DIAGNOSIS DEL MODELO. (4. Análisis de los residuos)
Comprobar las hipótesis realizadas:
•
Los residuos tienen media cero,
•
La varianza de los residuos es constante: homocedasticidad,
•
Los residuos son independientes,
•
Los residuos se distribuyen normalmente.
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Predicción con modelos ARIMA
Dos fuentes de incertidumbre: Media condicional y varianza
condicional
∞
zT +k = ∑ ψjaT +k − j
zt = ψ(B)at
j=0
eT (k) = zT +k − zˆT (k) = aT +k + ψ1aT +k −1 + ... + ψk −1aT +1
Var (eT (k)) = σ (1 + ψ + ... + ψ )
2
2
1
2
k −1
zˆT (k) ± 1.96σˆ (1 + ψ12 + ... + ψk2−1 )1/ 2
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Un ejemplo práctico
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Un ejemplo práctico
Datos de pasajeros de avión: Datos mensuales en miles de pasajeros,
desde Enero de 1949 hasta Diciembre de 1960.
Time Series Plot for Col_1
800
Col_1
600
400
200
0
0
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30
60
90
120
150
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Un ejemplo práctico
Proceso no estacionario. Además son necesarias una diferencia estacional
y una diferencia regular (para que el proceso sea estacionario en media).
Time Series Plot for log(Col_1)
log(Col_1)
6.6
6.2
5.8
5.4
5
4.6
0
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30
60
90
120
150
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Un ejemplo práctico
Tras una diferencia estacional y otra regular…
Residual Autocorrelations for adjusted log(Col_1)
ARIMA(0,1,0)x(0,1,0)12 with constant
Autocorrelations
1
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
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Un ejemplo práctico
Modelo ARIMA (0,1,1) x (0,1,1)12
DIAGNOSIS DEL MODELO
ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 with constant
Autocorrelations
1
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1
0
5
10
15
lag
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20
25
Residual Partial Autocorrelations for adjusted log(Col_1)
Partial Autocorrelations
Residual Autocorrelations for adjusted log(Col_1)
ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 with constant
1
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1
0
5
10
15
20
25
lag
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Un ejemplo práctico
Modelo ARIMA (0,1,1) x (0,1,1)12. Predicción para los tres años siguientes.
Time Sequence Plot for log(Col_1)
ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 with constant
log(Col_1)
7
actual
forecast
95.0% limits
6.6
6.2
5.8
5.4
5
4.6
0
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40
80
120
160
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Algunos temas avanzados en series temporales: Modelos
multivariantes (VARMA) y modelos de heterocedasticidad
condicional (GARCH)
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Ejemplo de serie temporal multivariante
Fuente: Course on Time Series Analysis (Prof. Andrés M. Alonso) y Peña (2010).
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Modelos de heterocedasticidad condicional (Ver documento
adjunto)
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Ejemplo de serie con heterocedasticidad condicional.
Series financieras: No predecimos la media condicional sino la volatilidad
o varianza condicional.
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Ejemplo de serie con heterocedasticidad condicional.
Series financieras: No predecimos la media condicional sino la volatilidad
o varianza condicional.
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