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Álgebra Lineal Ma1010 Valores y vectores propios Departamento de Matemáticas ITESM Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 1/42 Definición de valor y vector propio Los vectores propios de una matriz son vectores invariantes bajo la multiplicación por ella. Veamos la definición matemática: Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, xo tal que: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Axo = λ xo Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 2/42 Definición de valor y vector propio Los vectores propios de una matriz son vectores invariantes bajo la multiplicación por ella. Veamos la definición matemática: Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, xo tal que: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Axo = λ xo Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 2/42 Definición de valor y vector propio Los vectores propios de una matriz son vectores invariantes bajo la multiplicación por ella. Veamos la definición matemática: Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, xo tal que: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Axo = λ xo Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector xo se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 2/42 Ejemplo Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Para la matriz A A= " 1 2 2 1 # Indique cuáles vectores son vectores propios: ! ! ! 1 2 −1 v1 = , v2 = , v3 = , v4 = 1 3 1 Valores y vectores propios 0 2 ! Álgebra Lineal - p. 3/42 Solución: Veamos si v1 es vector propio de A: Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 4/42 Solución: Veamos si v1 es vector propio de A: ! ! # " 3 1 1 2 = Av1 = 3 1 2 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 4/42 Solución: Veamos si v1 es vector propio de A: ! ! # " 3 1 1 2 = Av1 = 3 1 2 1 Ahora veamos si Av1 es un múltiplo de v1 : ! ! 3 1 Av1 = =3 = 3 v1 3 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 4/42 Solución: Veamos si v1 es vector propio de A: ! ! # " 3 1 1 2 = Av1 = 3 1 2 1 Ahora veamos si Av1 es un múltiplo de v1 : ! ! 3 1 Av1 = =3 = 3 v1 3 1 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Por tanto, v1 sí es vector propio de A y está asociado al valor propio 3. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 4/42 Veamos si v2 es vector propio de A: Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 5/42 Veamos si v2 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 2 8 Av2 = = 2 1 3 7 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 5/42 Veamos si v2 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 2 8 Av2 = = 2 1 3 7 Ahora veamos si Av2 es un múltiplo de v2 : ! ! 8 2 Av2 = 6= k 7 3 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 5/42 Veamos si v2 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 2 8 Av2 = = 2 1 3 7 Ahora veamos si Av2 es un múltiplo de v2 : ! ! 8 2 Av2 = 6= k 7 3 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Por tanto, v2 no es vector propio de A. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 5/42 Veamos si v3 es vector propio de A: Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 6/42 Veamos si v3 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 −1 1 Av3 = = 2 1 1 −1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 6/42 Veamos si v3 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 −1 1 Av3 = = 2 1 1 −1 Ahora veamos si Av3 es un múltiplo de v3 : ! ! 1 −1 Av3 = = −1 −1 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 6/42 Veamos si v3 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 −1 1 Av3 = = 2 1 1 −1 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Ahora veamos si Av3 es un múltiplo de v3 : ! ! 1 −1 Av3 = = −1 −1 1 Por tanto, v3 sí es un vector propio de A y está asociado al valor propio -1. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 6/42 Veamos si v4 es vector propio de A: Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 7/42 Veamos si v4 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 0 4 Av4 = = 2 1 2 2 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 7/42 Veamos si v4 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 0 4 Av4 = = 2 1 2 2 Ahora veamos si Av4 es un múltiplo de v4 : ! ! 4 0 Av4 = 6= k 2 2 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 7/42 Veamos si v4 es vector propio de A: " # ! ! 1 2 0 4 Av4 = = 2 1 2 2 Ahora veamos si Av4 es un múltiplo de v4 : ! ! 4 0 Av4 = 6= k 2 2 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad por tanto, v4 no es vector propio de A Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 7/42 Ejemplo Indique cuáles de los siguientes valores λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = −2, λ4 = 2 son valores propios de la matriz A: " # 5 −3 A= 6 −4 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 8/42 Solución λ1 es valor propio ssi existe un vector x diferente de cero tal que: A x = λ1 x Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 9/42 Solución λ1 es valor propio ssi existe un vector x diferente de cero tal que: A x = λ1 x Es decir, ssi (A − λ1 I) x = A x − λ1 I x = A x − λ1 x = 0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad no tiene solución única: Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 9/42 Solución λ1 es valor propio ssi existe un vector x diferente de cero tal que: A x = λ1 x Es decir, ssi (A − λ1 I) x = A x − λ1 I x = A x − λ1 x = 0 no tiene solución única: " −3 5 − (−1) [A − λ1 I|0] = 6 −4 − (−1) Valores y vectores propios 0 0 # → " Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad 1 −1/2 0 0 0 0 # Álgebra Lineal - p. 9/42 Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones: por tanto además de la solución x = 0, existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales que Ax = λ1 x. Por tanto, λ1 sí es valor propio de la matriz A. Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 10/42 Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones: por tanto además de la solución x = 0, existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales que Ax = λ1 x. Por tanto, λ1 sí es valor propio de la matriz A. De hecho, podemos encontrar la solución general al sistema anterior: " # ( 1 −1/2 0 x = 1/2 y → {x − 1/2y = 0 → 0 0 0 y = y Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 10/42 Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones: por tanto además de la solución x = 0, existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales que Ax = λ1 x. Por tanto, λ1 sí es valor propio de la matriz A. De hecho, podemos encontrar la solución general al sistema anterior: " # ( 1 −1/2 0 x = 1/2 y → {x − 1/2y = 0 → 0 0 0 y = y Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Por tanto, todos los vectores propios asociados a λ1 se obtienen: ! 1/2 , con y 6= 0 x=y 1 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 10/42 Veamos si λ2 es valor propio de A: Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 11/42 Valor y vector Veamos si λ2 es valor propio de A: propio # " #Cálculo de Valores " −3 0 5 − (1) 1 0 0 Propios Multiplicidad → [A − λ2 I|0] = 0 1 0 Algebraica 6 −4 − (1) 0 Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 11/42 Valor y vector Veamos si λ2 es valor propio de A: propio # " #Cálculo de Valores " −3 0 5 − (1) 1 0 0 Propios Multiplicidad → [A − λ2 I|0] = 0 1 0 Algebraica 6 −4 − (1) 0 Multiplicidad Como el sistema tiene solución única x = 0, por tanto no existe un vector diferente de cero x que cumpla A x = λ2 x. Por tanto, λ2 no es un vector propio de A. Valores y vectores propios geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 11/42 Valor y vector Veamos si λ2 es valor propio de A: propio # " #Cálculo de Valores " −3 0 5 − (1) 1 0 0 Propios Multiplicidad → [A − λ2 I|0] = 0 1 0 Algebraica 6 −4 − (1) 0 Multiplicidad Como el sistema tiene solución única x = 0, por tanto no existe un vector diferente de cero x que cumpla A x = λ2 x. Por tanto, λ2 no es un vector propio de A. La regla es : geométrica Resultados Teóricos Operatividad λ es valor propio de A ssi al reducir [A − λ I|0] se tiene al menos una variable libre. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 11/42 Valor y vector Veamos si λ3 es valor propio de A: propio # " " C# álculo de Valores −3 0 5 − (2) 1 −1 0 Propios Multiplicidad → [A − λ3 I|0] = 0 0 0 Algebraica 6 −4 − (2) 0 Multiplicidad Una variable libre; por tanto, λ3 sí es valor propio de A. Veamos si λ4 es valor propio de A: " 5 − (−2) −3 [A − λ4 I|0] = 6 −4 − (−2) 0 0 # → " geométrica Resultados Teóricos Operatividad 1 0 0 0 1 0 # Ninguna variable libre; por tanto, λ4 no es valor propio de A Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 12/42 Determinación de los valores propios Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, esto será cierto si y sólo si existe un vector xo (xo 6= 0) tal que: Axo = λo xo = λo In xo Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 13/42 Determinación de los valores propios Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, esto será cierto si y sólo si existe un vector xo (xo 6= 0) tal que: Axo = λo xo = λo In xo Por tanto: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Axo − λo In xo = (A − λo In ) xo = 0 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 13/42 Determinación de los valores propios Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, esto será cierto si y sólo si existe un vector xo (xo 6= 0) tal que: Axo = λo xo = λo In xo Por tanto: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Axo − λo In xo = (A − λo In ) xo = 0 Si B = A − λo In , esto será cierto si y sólo si el sistema homogéneo n × n Bx = 0 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 13/42 Determinación de los valores propios Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, esto será cierto si y sólo si existe un vector xo (xo 6= 0) tal que: Axo = λo xo = λo In xo Por tanto: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Axo − λo In xo = (A − λo In ) xo = 0 Si B = A − λo In , esto será cierto si y sólo si el sistema homogéneo n × n Bx = 0 tiene, además de la solución trivial, otra solución (x = xo 6= 0). Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 13/42 Y esto será cierto, si y sólo si el determinante de la matriz B es cero: det(B) = det (A − λo In ) = 0 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 14/42 Y esto será cierto, si y sólo si el determinante de la matriz B es cero: det(B) = det (A − λo In ) = 0 es decir, que todo escalar λo es valor propio de A si y sólo si es raíz del polinomio característico asociado a A: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad pA (λ) = det (A − λIn ) Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 14/42 Y esto será cierto, si y sólo si el determinante de la matriz B es cero: det(B) = det (A − λo In ) = 0 es decir, que todo escalar λo es valor propio de A si y sólo si es raíz del polinomio característico asociado a A: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad pA (λ) = det (A − λIn ) y un vector propio asociado a λo debe ser solución al sistema homogéneo (A − λo In ) x = 0 Note al ser pA (t) un polinomio de grado igual que n, habrá a lo más n valores propios. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 14/42 Ejemplo Determine los valores y los vectores propios correspondientes a la matriz: " # 1 2 A= 2 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 15/42 Ejemplo Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Determine los valores y los vectores propios correspondientes a la matriz: " # 1 2 A= 2 1 Solución pA (λ) = det (A − λI2 ) = det Valores y vectores propios " 1 2 2 1 # −λ " 1 0 0 1 #! Álgebra Lineal - p. 15/42 pA (λ) = det " 1 2 2 1 Valores y vectores propios # − " λ 0 0 λ #! = det " 1−λ 2 2 1−λ #! Álgebra Lineal - p. 16/42 pA (λ) = det " 1 2 2 1 # − " λ 0 0 λ #! 1−λ 2 pA (λ) = 2 1−λ Valores y vectores propios = det " 1−λ 2 2 1−λ #! 2 = (1 − λ) − 4 Álgebra Lineal - p. 16/42 pA (λ) = det " 1 2 2 1 # − " λ 0 0 λ #! 1−λ 2 pA (λ) = 2 1−λ = det " 1−λ 2 2 1−λ #! 2 = (1 − λ) − 4 pA (λ) = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1) Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 16/42 pA (λ) = det " 1 2 2 1 # − " λ 0 0 λ #! 1−λ 2 pA (λ) = 2 1−λ = det " 1−λ 2 2 1−λ #! 2 = (1 − λ) − 4 pA (λ) = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1) Por tanto, los únicos valores propios son λ1 = 3 y λ2 = −1. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 16/42 Vector propio para λ1 = 3 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 17/42 Vector propio para λ1 = 3 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 17/42 Vector propio para λ1 = 3 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 " 1 2 2 1 Valores y vectores propios # − (3) " 1 0 0 1 #! x=0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 17/42 Vector propio para λ1 = 3 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 " # " #! Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad 1 2 1 0 − (3) x=0 2 1 0 1 " # " # " # 1−3 2 −2 2 0 1 −1 0 x=0→ → 2 −2 0 0 0 0 2 1−3 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 17/42 Vector propio para λ1 = 3 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 " # " #! Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad 1 2 1 0 − (3) x=0 2 1 0 1 " # " # " # 1−3 2 −2 2 0 1 −1 0 x=0→ → 2 −2 0 0 0 0 2 1−3 ! ! x 1 x−y =0→x=y → =y , y 6= 0 y 1 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 17/42 Vector propio para λ2 = −1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 18/42 Vector propio para λ2 = −1 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 18/42 Vector propio para λ2 = −1 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 " 1 2 2 1 Valores y vectores propios # − (−1) " 1 0 0 1 #! x=0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 18/42 Vector propio para λ2 = −1 Debe ser solución al sistema homogéneo: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad (A − λI2 ) x = 0 " # " 1 2 − (−1) 2 1 " # " 1+1 2 x=0→ 2 1+1 Valores y vectores propios 1 0 0 1 #! 2 2 0 2 2 0 x=0 # → " 1 1 0 0 0 0 # Álgebra Lineal - p. 18/42 Vector propio para λ2 = −1 Debe ser solución al sistema homogéneo: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad (A − λI2 ) x = 0 " # " 1 2 − (−1) 2 1 " # " 1+1 2 x=0→ 2 1+1 x + y = 0 → x = −y → Valores y vectores propios x y 1 0 0 1 #! 2 2 0 2 2 0 ! =y x=0 # " 1 1 0 → 0 0 0 ! −1 , y 6= 0 1 # Álgebra Lineal - p. 18/42 Ejemplo Determine los valores y los vectores propios correspondientes de la matriz: " # 1 1 A= 0 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 19/42 Solución Para la matriz A: " # " #! " #! 1 1 λ 0 1−λ 1 pA (λ) = det − = det 0 1 0 λ 0 1−λ Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 20/42 Solución Para la matriz A: " # " #! " #! 1 1 λ 0 1−λ 1 pA (λ) = det − = det 0 1 0 λ 0 1−λ 1−λ 1 2 pA (λ) = = (1 − λ) 0 1−λ Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 20/42 Solución Para la matriz A: " # " #! " #! 1 1 λ 0 1−λ 1 pA (λ) = det − = det 0 1 0 λ 0 1−λ 1−λ 1 2 pA (λ) = = (1 − λ) 0 1−λ Por tanto, el único valor propio de A es λ1 = 1. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 20/42 Vector propio para λ1 = 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 21/42 Vector propio para λ1 = 1 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 21/42 Vector propio para λ1 = 1 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λI2 ) x = 0 " 1 1 0 1 Valores y vectores propios # − (1) " 1 0 0 1 #! x=0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 21/42 Vector propio para λ1 = 1 Debe ser solución al sistema homogéneo: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad (A − λI2 ) x = 0 " # " 1 1 1 − (1) 0 1 0 " # " 1−1 1 0 x=0→ 0 0 1−1 Valores y vectores propios 0 1 #! 1 0 0 0 x=0 # → " 0 1 0 0 0 0 # Álgebra Lineal - p. 21/42 Vector propio para λ1 = 1 Debe ser solución al sistema homogéneo: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad (A − λI2 ) x = 0 " # " 1 1 1 − (1) 0 1 0 " # " 1−1 1 0 x=0→ 0 0 1−1 ! x y=0→ =x y Valores y vectores propios 0 1 #! x=0 # " 1 0 0 1 0 → 0 0 0 0 0 ! 1 , x 6= 0 0 # Álgebra Lineal - p. 21/42 Ejemplo Determine los valores y los vectores propios correspondientes de la matriz: " # 1 2 A= −1 2 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 22/42 Solución pA (λ) = det " 1 2 −1 2 Valores y vectores propios # − " λ 0 0 λ #! = det " 1−λ 2 −1 2 − λ #! Álgebra Lineal - p. 23/42 Solución pA (λ) = det " 1 2 −1 2 # − " λ 0 0 λ #! = det " 1−λ 2 −1 2 − λ #! pA (t) = t2 − 3 t + 4 Como este polinomio tiene raíces complejas, A no tiene valores ni vectores propios. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 23/42 Multiplicidad algebraica de un valor propio Sea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemos visto λ debe ser raíz del polinomio característico de A pA (λ) Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 24/42 Multiplicidad algebraica de un valor propio Sea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemos visto λ debe ser raíz del polinomio característico de A pA (λ) así: (λ − λo ) | pA (λ) Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 24/42 Multiplicidad algebraica de un valor propio Sea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemos visto λ debe ser raíz del polinomio característico de A pA (λ) así: (λ − λo ) | pA (λ) Al mayor exponente m que cumple Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad pA (λ) = (λ − λo )m q(λ) le llamaremos la multiplicidad algebraica o dimensión algebraica de λo . Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 24/42 Ejemplo Determine los valores propios y sus multiplicidades algebraicas   para la matriz: 2 −3 6    A= 0 5 −6   0 3 −4 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 25/42 Ejemplo Determine los valores propios y sus multiplicidades algebraicas   para la matriz: 2 −3 6    A= 0 5 −6   0 3 −4 Solución 2−t pA (t) = det(A − t I) = 0 0 pA (t) = 5−t (2 − t) · 3 −3 5−t 3 6 −6 −4 − t Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad −6 −4 − t = (2 − t) · ((5 − t) · (−4 − t) − (3)(−6)) = −4 + 3 t2 − t3 pA (t) = −(t − (−1)) · (t − 2)2 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 25/42 Por lo tanto: ■ Los únicos valores propios de la matriz A son t = −1 y t = 2. ■ La multiplicidad algebraica de t = −1 es 1. ■ La multiplicidad algebraica de t = 2 es 2. Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 26/42 Multiplicidad geométrica de un valor propio Teorema Sea A una matriz cuadrada n × n y λ un escalar cualquiera entonces Eλ = {x ∈ Rn |Ax = λx} es un espacio lineal de Rn . Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 27/42 Multiplicidad geométrica de un valor propio Teorema Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Sea A una matriz cuadrada n × n y λ un escalar cualquiera entonces Eλ = {x ∈ Rn |Ax = λx} es un espacio lineal de Rn . Siendo λ un valor propio, el anterior conjunto que se llama el espacio invariante o espacio propio o eigenespacio asociado a λ y es un espacio lineal diferente de {0} Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 27/42 Multiplicidad geométrica de un valor propio Teorema Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Sea A una matriz cuadrada n × n y λ un escalar cualquiera entonces Eλ = {x ∈ Rn |Ax = λx} es un espacio lineal de Rn . Siendo λ un valor propio, el anterior conjunto que se llama el espacio invariante o espacio propio o eigenespacio asociado a λ y es un espacio lineal diferente de {0} así tiene dimensión mayor que cero: Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 27/42 Multiplicidad geométrica de un valor propio Teorema Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Sea A una matriz cuadrada n × n y λ un escalar cualquiera entonces Eλ = {x ∈ Rn |Ax = λx} es un espacio lineal de Rn . Siendo λ un valor propio, el anterior conjunto que se llama el espacio invariante o espacio propio o eigenespacio asociado a λ y es un espacio lineal diferente de {0} así tiene dimensión mayor que cero: la dimensión del espacio anterior se llamará multiplicidad geométrica o dimensión geométrica del valor propio λ. Note que Eλ corresponde al espacio nulo de la matriz A − λ I. Así pues la dimensión geométrica de λ es el número de columnas sin pivote en la matriz reducida que se obtiene de A − λ I. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 27/42 Ejemplo Determine los valores propios y sus multiplicidades geométricas para la matriz:   −1 1 −3 −7  0 −3  4 4   A=   0 −2 3 2  0 0 0 1 Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 28/42 Ejemplo Determine los valores propios y sus multiplicidades geométricas para la matriz:   −1 1 −3 −7  0 −3  4 4   A=   0 −2 3 2  0 0 0 1 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Solución pA (t) = det(A − t I) = 1 − 2 t2 + t4 = (t − 1)2 (t − (−1))2 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 28/42 De lo anterior concluimos que los únicos valores propios son t1 = −1 y t2 = 1 y que ambos tienen multiplicidad algebraica 2. Determinemos ahora sus multiplicidades geométricas: Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 29/42 De lo anterior concluimos que los únicos valores propios son t1 = −1 y t2 = 1 y que ambos tienen multiplicidad algebraica 2. Determinemos ahora sus multiplicidades geométricas: Para t1 = −1 Al resolver [A − t1 I|0] tenemos:   0 1 0 0 0  0 0 1 0 0    [A − t1 I|0] →    0 0 0 1 0  0 0 0 0 0 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 29/42 De lo anterior concluimos que los únicos valores propios son t1 = −1 y t2 = 1 y que ambos tienen multiplicidad algebraica 2. Determinemos ahora sus multiplicidades geométricas: Para t1 = −1 Al resolver [A − t1 I|0] tenemos:   0 1 0 0 0  0 0 1 0 0    [A − t1 I|0] →    0 0 0 1 0  0 0 0 0 0 Al haber una columna sin pivote hay una variable libre, concluimos que la dimensión geométrica de t1 = −1 es 1. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 29/42 Para t2 =1 Al resolver [A − t2 I|0] tenemos:  1 3 0 1 0  0 1 −1 −1 0  [A − t2 I|0] →   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Valores y vectores propios      Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 30/42 Para t2 =1 Al resolver [A − t2 I|0] tenemos:  1 3 0 1 0  0 1 −1 −1 0  [A − t2 I|0] →   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad      Al haber dos columnas sin pivote hay dos variables libres, concluimos que la dimensión geométrica de t2 = 1 es 2 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 30/42 Ejemplo Determine la multiplicidad algebraica y geométrica de cada uno de los valores propios de la siguiente matriz   3 −1 5 5 0 0    0 4 −5 −5 0 0       −1 −2 0 −4 0 0    A=   1 2 −1 3 0 0       2 4 −2 8 −1 0    3 6 −3 12 0 −1 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Solución El polinomio característico de A es: pA (t) = det(A − t I) = −48 − 104 t − 35 t2 + 40 t3 + 10 t4 − 8 t5 + t6 y sus raíces son t1 = 3, t2 = 4, t3 = 4, t4 = −1, t5 = −1, t6 = −1 Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 31/42 Análisis de t =3 Como t = 3 aparece como raíz una sola vez, entonces su multiplicidad algebraica es 1. Para determinar su multiplicidad geométrica analicemos   1 0 0 0 0 1/3 0    0 1 0 0 0 0 0       0 0 1 0 0 1/3 0    [A − (3) I|0] →    0 0 0 1 0 −1/3 0       0 0 0 0 1 −2/3 0    0 0 0 0 0 0 0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad de donde todos los vectores propios asociados a t = 3 son de la forma: c < −1/3, 0, −1/3, 1/3, 2/3, 1 >′ , c 6= 0 Por tanto, la multiplicidad geométrica de t = 3 es 1. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 32/42 Análisis de t =4 Como t = 4 aparece como raíz dos veces, entonces su multiplicidad algebraica es 2. Para determinar su multiplicidad geométrica analicemos   1 0 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 0 0       0 0 1 0 0 1/3 0    [A − (4) I|0] →    0 0 0 1 0 −1/3 0       0 0 0 0 1 −2/3 0    0 0 0 0 0 0 0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad de donde todos los vectores propios asociados a t = 4 son de la forma: c < 0, 0, −1/3, 1/3, 2/3, 1 >′ , c 6= 0 Por tanto, la multiplicidad geométrica de t = 4 es 1. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 33/42 Análisis de t = −1 Como t = −1 aparece como raíz tres veces, entonces su multiplicidad algebraica es 3. Para determinar su multiplicidad geométrica analicemos   1 0 1 0 0 0 0    0 1 −1 0 0 0 0       0 0 0 1 0 0 0    [A − (−1) I|0] →    0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad de donde todos los vectores propios asociados a t = −1 son de la forma: c1 < −1, 1, 1, 0, 0, 0 >′ +c2 < 0, 0, 0, 0, 1, 0 >′ +c3 < 0, 0, 0, 0, 0, 1 >′ , c1 , c2 , c3 6= 0 Por tanto, la multiplicidad geométrica de t = −1 es 3. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 34/42 Resultados teóricos Los principales resultados teóricos adicionales al hecho de que el subespacio invariante es efectivamente un subespacio vectorial son los siguientes: Teorema La dimensión geométrica de un valor propio es menor o igual que la dimensión algebraica: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad 1 ≤ dimensión geométrica λ ≤ multiplicidad algebraica de λ Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 35/42 Resultados teóricos Los principales resultados teóricos adicionales al hecho de que el subespacio invariante es efectivamente un subespacio vectorial son los siguientes: Teorema La dimensión geométrica de un valor propio es menor o igual que la dimensión algebraica: Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad 1 ≤ dimensión geométrica λ ≤ multiplicidad algebraica de λ Teorema Si los vectores x1 , x2 , . . . , xk son vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 35/42 Procesos operativos A continuación listamos los procesos de cálculos referentes a valores y vectores propios: 1.- Cómo saber si v es vector propio de A ■ Calcule vector u = A v ■ v es vector propio si y sólo si u es un múltiplo escalar de v. Esto se puede hacer formando la aumentada [u|v] y reduciendo: v es vector propio si y sólo si tal sistema es consistente. Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 36/42 2.- Cómo saber si α es valor propio de A ■ ■ Forme y reduzca el sistema [A − αI|0]. α es valor propio si y sólo el sistema tiene al menos una variable libre. Valores y vectores propios Valor y vector propio Cálculo de Valores Propios Multiplicidad Algebraica Multiplicidad geométrica Resultados Teóricos Operatividad Álgebra Lineal - p. 37/42 3.- Cómo saber si v es vector propio asociado al valor propio α de A ■ ■ Calcule vector u = A v v es vector propio asociado al valor propio α si y sólo si u = α · u. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 38/42 4.- Cómo determinar todos los valores propios de una matriz A ■ ■ Calcule el polinomio característico de A, pA (t) = det(A − t I). Obtenga todas las raíces de pA (t): Sólo las raíces reales de pA (t) son los valores propios de A. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 39/42 5.- Cómo determinar todos los vectores propios de un valor propio de A Forme y resuelva el sistema [A − αI|0]. ■ Un vector v es vector propio asociado al valor propio α de A si y sólo si no es el vector cero y es solución al sistema anterior. Alternativamente, utilice su equipo computacional y determine el espacio nulo de la matriz [A − αI]. ■ Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 40/42 6.- Cómo determinar la multiplicidad algebraica de un valor propio de A ■ ■ ■ Calcule el polinomio característico de A, pA (t) = det(A − t I). Aplique división repetidamente para determinar cuántas veces divide t − α a pA (t). El número mayor de veces es la multiplicidad algebraica de α. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 41/42 7.- Cómo determinar la multiplicidad geométrica de un valor propio de A ■ ■ Forme y reduzca el sistema [A − αI|0]. El número de variables libres es la dimensión o multiplicidad geométrica de α. Valores y vectores propios Álgebra Lineal - p. 42/42

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