Tarea 2. Mecánica Cuántica II. A entregar: Miércoles 4 de septiembre de 2013. Matriz de Densidad 1.Estados puros Considera un estado puro ρ = |φihφ| en un espacio de Hilbert. • a)Demuestra que ρ permanece puro bajo transformaciones unitarias. En particular, se mantiene puro bajo el operador de evolución temporal. • Supón ahora por simplicidad que el espacio de Hilbert tiene dimensión N . b) Demuestra que para un operador de densidad, es necesario y suficiente que T r(ρ2 ) = 1 para que ρ describa un estado puro. • c) Considera |1i, |2i, |3i, ...|M i, una serie de vectores de norma 1 no neP cesariamente ortonormales. Dado el operador de densidad ρ = M i=1 |iihi|, muestra que es necesario y suficiente que todos los vectores sean iguales hasta una fase para que ρ describa un estado puro. 2.Sistemas de dos niveles • a)Muestra que en el caso N = 2, la matriz de densidad más general (no necesariamente estado puro) tiene la forma a b exp(ic) b exp(−ic) 1−a e indica los requisitos que tienen que satisfacer los coeficientes de dicha matriz. ¿Bajo qué condiciones el estado descrito es un estado puro? • b)Del inciso anterior muestra que tambien es posible escribir a la matriz de densidad 1 ρ = (I + P~ · σ), 2 donde P~ = hσi. Establece bajo que condiciones el estado es puro. • c) El Hamiltoniano para una partı́cula de masa m, carga q y espı́n 1 mo~ está dado por viéndose en un campo magnético B Ĥ = −µ̂ · σ, donde µ̂ = g Ŝ con g la razón giromagnética. Muestra que el vector de polarización satisface la ecuación de movimiento dP~ e ~ =− B × P~ . dt mc ~ es uniforme es posible resolver dicha ecuación. Muestra que cuando B • d) Considera un haz de electrones polarizados 50 % en la dirección del eje X, 30 % en la dirección del eje Y y el resto no sin polarizar. Determina la matriz de densidad del sistema y escribela como en el inciso b) identificando P~ . ~ = B ẑ, Si se coloca al sistema en un campo magnético externo uniforme B determina ρ(t). • e)Muestra que si dos estados puros son ortogonales, sus vectores de polarización son de la misma magnitud y antiparalelos. • f) Considera un sistema descrito por la matriz de densidad 1/2 1/2 ρ= 1/2 1/2 ¿Corresponde esta matriz a un estado puro o mixto? . Dada la observable 6 −2 M= . −2 9 ¿Qué valores se obtienen al realizar una medición de M y con qué probabilidades?. • g) Muestra que no existe ninguna transformación unitaria que transforme la matriz a 0 ρ= 0 1−a en una matriz de la forma ρ= 1 0 0 0 correspondiente a un estado puro. 0 < a < 1. 3. Sistemas Compuestos. • a) Sea un sistema de dos partı́culas indistinguibles de espı́n 1/2. Considera que el sistema se encuentra descrito por un estado puro, cuyo vector de estado es 1 |φi = √ (|+i1 |−i2 + |−i1 |+i2 ) . 2 Construye la matriz de densidad de dicho sistema y muestra que satisface las propiedades de un estado puro. Muestra que el estado de la partı́cula 1 es un estado mixto (realiza la traza parcial). Haz lo mismo si el estado inicial es |φi = |+i1 |−i2 y compara con el primer caso. • b) Considera ahora que el sistema en la base acoplada esta descrito por la matriz de densidad 0 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 1/3 ¿Corresponde a un estado puro o una mezcla?. Si se hace una medición de S 2 , ¿qué valores se pueden medir?. Ahora se mide Sˆz , ¿cuál es la probabilidad de que se mida Sz = ~, 0 ó -~(No te debe tomar más de una lı́nea responder estas tres preguntas). Si medimos Sx , ¿siguen siendo inmediato las probabilidades de medir cualquiera de los valores propios? Punto extra. Supón que las partı́culas son distinguibles y que se mide el espı́n de la partı́cula 1 y se encuentra que la partı́cula 1 estaba en el estado |+iz . ¿Cuál es el estado final del sistema después de hacer la medición?. Discute ahora que valores se pueden medir al observar S 2 , Sz con probabilidad distinta de cero. ¿Cómo se modifica el Postulado No.5 de la Mecánica Cuántica (Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë) cuando el estado del sistema es una operador de densidad? (Sugerencia: Ver Quantum Mechanics, Albert Messiah, Vol I, pag 333. 1ra Edición)