LEY DE BIOT

LEY DE BIOT-SAVART
Nos podemos cuestionar cómo evaluar el campo magnético en un punto "P" del espacio debido a la presencia
de un conductor con corriente "I" de geometría cualquiera.
Para encontrar ese campo es necesario echar mano de una expresión matemática conocida como LEY DE
BIOT-SAVART.
Sin demostración, exponemos la expresión matemática de esa Ley:
Cuando se tiene un conductor de geometría cualquiera, conduciendo una corriente I, un elemento diferencial
r
r
d
B
d l de conductor produce un campo magnético diferencial
en un punto
r
elemento diferencial es dada por el vector de posición r es dada por la expresión:
r r
r µ0 I d l × r
d B=
4π
r3
P cuya posición desde el
sería importante representar gráficamente los elementos que participan en la expresión anterior:
Para encontrar el vector de inducción de campo magnético es necesario realizar la integración de la expresión:
r r
r µ I d l ×r
d B= 0
4π
r3
sobre todo el conductor, es decir es necesario resolver la integral de línea:
r r
r
µ0 I d l × r
∫C d B = ∫a 4π r 3
b
donde la integral se efectúa sobre la trayectoria "C" del conductor, y como los extremos de él son los puntos
"a" y "b", entonces la integración tiene esos límites.
Para ejemplificar las aplicaciones de esta expresión (conocida como Ley de Biot-Savart) calculemos el campo
magnético alrededor de un conductor recto infinito:
En la figura se muestran dos elementos de
r
r
conductor d l y d l ' que generan los vectores
r
I dl e
r
Idl ' colocados simétricamente
respecto al punto medio del conductor, donde se
supone está colocado el origen O del sistema
coordenado. Desde el punto medio de cada
elemento, hasta el punto P donde queremos
encontrar el campo magnético, hay los vectores
r
r
de posición respecto al conductor r y r ' .
Las coordenadas del punto P son (x, y, 0),
r
mientras que las elemento d l son (0, y, 0), en
r
consecuencia el vector r es dado por:
r
r = x iˆ − y ˆj + 0 kˆ
r
mientras que el vector d l es dado por:
r
d l = d y ˆj
los ángulos marcados θ y π−θ enfatizan que los
elementos diferenciales de conductor son
simétricos.
Si se utiliza la regla del tornillo de rosca derecha para determinar la dirección y sentido de los vectores
r r
I d l ×r
r
dB
r
d B ' tienen el mismo sentido e indicado por la
se encuentra que los vectores
y
cruz colocada en el punto P, es decir son vectores con dirección perpendicular a la hoja y entrando hacia ella.
Necesitamos ahora evaluar la integral:
r
∫d B=
C
r r
µ0 I d l × r
3
∫
4
π
r
y = −∞
y =∞
sobre el eje de las "Y" que ocupa el lugar del conductor recto que se supone infinito.
r r
×r :
d
l
Calculemos el producto vectorial
iˆ
r r
dl × r = 0
ˆj
dy
kˆ
r
0 = (0)iˆ − (0) j + (− x dy ) kˆ
x −y 0
de tal manera que se puede escribir:
r r
d l × r = − x dy kˆ
antes de proseguir, debemos encontrar
r3 :
3
r = xiˆ − yˆj =
3
[x
2
+y
2
] = [x
3
2
+y
2
]
3
2
como debemos calcular la integral:
r r
r
µ0 I d l × r
∫C d B = y =∫−∞ 4π r 3
y =∞
substituimos los resultados anteriores obteniendo la integral:
r µ0 I
∫C d B = 4π
y =∞
∫
y = −∞
r r
d l × r µ0 I
=
3
r
4π
y =∞
− x dy kˆ
∫ [x
y = −∞
2
+y
2
]
3
2
La integral anterior es de las clasificadas como integrales impropias, puede consultarse cualquier tabla de
integrales y se encuentra que la integral por resolver tiene una solución inmediata dada por:
∫
[x
dx
2
+ a2
]
3
x
=
2
a
2
x2 + y2
+C
en nuestra integral la variable de integración es "y", mientras que "x" es una constante que no cambia por ser
la distancia entre el conductor rectilíneo y el punto P.
Nuestra integral puede escribirse:
µ 0 I kˆ
µ 0 I kˆ x
µ 0 I kˆ x ⎡
− x dy
dy
y
⎢
=
−
=
−
∫
∫
4π
4π
4π ⎢ x 2 x 2 + y 2
[x 2 + y 2 ]32
[x 2 + y 2 ]32
⎣
como nuestra integral es definida e impropia, tenemos:
µ 0 I kˆ y =∞ − x dy
4π y =∫−∞ x 2 + y 2
[
]
3
2
µ I kˆ x ⎡
y
= lim 0
⎢−
y →∞
4π ⎢ x 2 x 2 + y 2
⎣
y
⎤
⎥ =
⎥⎦ − y
⎤
⎥+C
⎥⎦
⎛
µ 0 I kˆ x ⎡
(− y )
y
⎢−
−⎜−
2
2
2
2
y →∞
⎜ x x2 + y2
4π ⎢ x x + y
⎝
⎣
lim
⎞⎤
ˆ ⎡
⎟⎥ = lim µ 0 I k x ⎢−
⎟⎥ y →∞ 4π ⎢ x 2
⎠⎦
⎣
⎤
⎥
x 2 + y 2 ⎥⎦
2y
Este último límite lo podemos resolver si dividimos la función de la que se busca el límite por "y" tanto su
numerador como su denominador, obteniéndose:
⎡
⎢
µ 0 I kˆ x ⎢
lim −
y →∞
4π ⎢ 2
⎢x
⎢⎣
⎤
⎥
µ 0 I kˆ x ⎡ − 2
2
⎥
lim
=
⎥ y →∞ 4 π ⎢ x 2 0 + 1
x2
⎣
+1⎥
2
⎥⎦
y
(
⎤ µ 0 I kˆ x ⎡ − 2 ⎤
µ 0 2 I kˆ
=
−
=
⎥
⎢
⎥
4 π ⎣ x 2 (1) ⎦
4π x
⎦
)
de donde se obtiene que el campo magnético en el punto P es dado por:
r
µ0 I ˆ
B=−
k
2π x
r
El signo negativo quiere decir que el vector B tiene misma dirección que k̂ pero sentido contrario a él.
Como se puede ver en la figura, el vector
hoja del papel.
k̂
tiene su sentido hacia el lector y su dirección perpendicular a la
Si recordamos los resultados del experimento de Oersted, en la expresión del campo magnético en lugar de
aparecer "x", aparece "r", el radio de la línea de inducción circular alrededor del conductor con corriente, esto
significa que nuestro resultado es adecuado.
Además, se pone en relieve que el conductor debe ser de longitud infinita para que la expresión que ha
resultado sea cierta.
Si el conductor no es infinito, pero deseamos el campo en el punto medio de un conductor rectilíneo, y a una
distancia "x" del mismo, la integral resulta:
µ 0 I kˆ y = a − x dy
µ 0 I kˆ x ⎡
a
a
=
−
−
⎢
4π y =∫− a [x 2 + y 2 ]3 2
4π ⎢ x 2 x 2 + a 2 x 2 x 2 + a 2
⎣
⎤
⎥
⎥⎦
es decir se tiene que el campo es dado por:
r
µ 0 I kˆ x ⎡
B= −
⎢
4π ⎢ x 2
⎣
2a
x2 + a2
⎤
⎥
⎥⎦
si suponemos que a>>x entonces tendremos que la raíz en el denominador se convierte en la unidad al dividir
numerador y denominador por "a", en cuyo caso se tiene:
r
µ I
B = − 0 kˆ cuando a >> x
2π x
que es de nuevo el rango de validez que le hemos dado a la magnitud del campo magnético en el punto P para
un conductor real, esto significa que el valor anterior es cierto siempre y cuando hablemos de puntos muy
cercanos al conductor, y cuya distancia al conductor sean muy pequeñas comparados con la longitud total del
conductor.
Una conclusión interesante es que la Ley de Biot-Savart tiene como caso particular la relación que se supone
debería obtenerse del experimento de Oersted.
Recuerdese que Oersted no obtuvo esa relación sólo caracterizó los aspectos fenomenológicos de su
experimento, haciendo una descripción cualitativa no cuantitativa.
La integral
r
r b µ 0 I d l × rr
∫C d B = ∫a 4π r 3
presenta una simplicidad para arreglos de conductores con simetrías, pero se va complicando conforme se
desea calcular campos asimétricos, de tal forma que demanda para su solución, de técnicas cada vez más
poderosas y avanzadas.
Por esa razón se aplica en este curso para sólo unos cuantos casos simples, debido a que el nivel del mismo
sólo lo permite de esta manera.
FUERZA ENTRE CONDUCTORES RECTILINEOS PARALELOS
Un hecho experimental importante es la fuerza de atracción o repulsión que se presenta cuando se colocan dos
conductores rectilíneos paralelos que conducen corrientes en el mismo sentido o en sentidos opuestos.
En esta oportunidad analizaremos la esta fuerza cuando esos conductores se colocan paralelos, y la razón por
la cual aparece esa fuerza además de encontrar analíticamente cual es la dirección ,magnitud y sentido de esa
fuerza.
Este análisis es de importancia porque gracias a él es posible establecer el patrón de una de las dos cantidades
que hasta ahora no se han podido definir correctamente desde el punto de vista de un patrón,
En efecto, el lector debe recordar que la definición de las unidades de corriente y de carga en el sistema MKS
no es correcta, ya que como lo discutimos en su momento, aparece una paradoja de definiciones porque no es
claro si las unidades de carga son las unidades derivadas de las de corriente o son las de corriente las
derivadas y las de carga las unidades primitivas.
Es este análisis de dos conductores paralelos con corrientes que nos permitirá establecer un patrón para las
unidades de corriente eléctrica y entonces romper la paradoja.
En la figura aparecen dos conductores paralelos conduciendo corrientes eléctricas cada uno de ellos. En la
porción izquierda de la Figura se presentan dos conductores con corrientes paralelas y en el mismo sentido,
mientras que a la derecha se presenta el caso en que las corrientes siguen paralelas pero se mantienen con
sentidos contrarios.
Observamos que el sentido de la corriente en el conductor que podemos denominar "conductor número 1",
para ambos casos es el mismo porque no se ha variado la corriente I1.
Se han esquematizado las líneas de inducción del campo magnético generado por el "conductor 1" en ambos
casos.
Se genera en los dos casos un vector de inducción dirigido verticalmente hacia abajo sobre la región del
"conductor número 2". Se representa a la derecha de cada figura la dirección y el sentido del vector
r
I l 2 correspondiente.
La figura siguiente representa las relaciones vectoriales entre Fuerza, inducción magnética y vector
r
Il .
r r
I l 2 × B , aplicando la
Para el primer caso, el vector de fuerza se obtiene por medio del producto vectorial
regla del tornillo de rosca derecha, se tiene una fuerza cuyo sentido es hacia el conductor 1, que nos obliga a
pensar en una atracción.
En el segundo caso, la fuerza también se obtiene del producto vectorial
r r
I l 2 × B , pero como en este caso
r
I l 2 tiene sentido inverso al caso interior, la fuerza se dirige alejándo al conductor número 2 del
el vector
primero, debiendo pensar en una repulsión.
Como todos los vectores son perpendiculares entre sí, la magnitud del vector
producto de las magnitudes de los dos vectores participantes es decir:
r r
I l 2 × B , es simplemente el
r r
I l2 × B = I l2 B
pero además, la magnitud del vector de inducción es:
B=
µ 0 I1
2π r
entonces el vector fuerza magnética cumple que tiene la magnitud:
Fm =
µ 0 I 2 l I1
2π r
resulta en ambos casos la misma magnitud, pero esa magnitud es igual al producto de las corrientes que
circulan por los dos conductores multiplicadas por la longitud común entre ellos, dividida por la distancia
separando los dos conductores y multiplicado todo por el coeficiente
µ0
2π
.
El valor de este coeficiente en el sistema MKS absoluto es dado por:
µ 0 4 π ×10 −7
=
= 2 × 10 − 7
2π
2π
De ahí que la fuerza magnética de repulsión o atracción es dada por:
Fm = 2 ×10 −7
I1 I 2 l
r
Esta fuerza entre los conductores paralelos, al realizar el análisis respectivo, que recomendamos efectuar
cuidadosamente y de manera completa al lector, tiene la característica de cumplir la tercera ley de Newton, es
decir, en el caso de corrientes en el mismo sentido, la fuerza que obra sobre el primer conductor debido a la
presencia del segundo, es idéntica en magnitud pero de sentido contrario.
Lo mismo sucede para el caso de corrientes en sentidos contrarios, sólo que en este caso la fuerza es de
repulsión.
La conclusión importante es que la fuerza que el campo magnético del primer conductor impone sobre el
segundo conductor sería la "acción" desde el punto de vista de la tercera ley de Newton, mientras que la
fuerza que el campo magnético del primer conductor impone sobre el primer conductor es la respuesta a la
"acción" o sea es la "reacción" haciendo que se cumpla el enunciado de la Tercera Ley de Newton:
"a toda acción corresponda una reacción de igual magnitud pero de sentido contrario "
Debido a esto, se dice que la Fuerza entre conductores paralelos con corriente obedece la Tercera Ley de
Newton al no contradecirla.
Finalmente la expresión
Fm = 2 ×10 −7
I1 I 2 l
r
permite despejar el producto de las corrientes I1 e I2:
I1 I 2 =
Fm r
2 ×10 −7 l
Si imponemos que I1 = I2, nos encontramos que las corrientes circulando en los conductores paralelos son
iguales, por ello, la magnitud de cada una de esas corrientes puede obtenerse de:
I1 =
Fm r
2 × 10 −7 l
Expresión que permite calcular la magnitud de una corriente cuando se conoce el valor de la Fuerza
magnética entre los conductores paralelos, la distancia de separación entre sus ejes de simetría, y la longitud
que tienen paralela entre esos conductores.
Si la fuerza magnética tiene una magnitud de una dina, la separación entre los ejes de simetría de los
conductores es 20 centímetros, y la longitud de los conductores es de 10 metros, encontramos la corriente:
I1 =
(1×10
−5
)
new (0.2 m )
⎛
Tesla − m ⎞
⎟ (10 m )
⎜⎜ 2 ×10 − 7
Amp ⎟⎠
⎝
= 1 Amp
este resultado nos permite crear un experimento por medio del cual establecer un patrón para la corriente de
un ampère:
"Un Ampère es la corriente que circula en cada uno de los alambres constituyendo una pareja de
conductores paralelos cuando ellos conducen la misma corriente, están separados una distancia de veinte
centímetros y tienen una longitud común de 10 metros, y la fuerza magnética de atracción o repulsión es
de una dina"
De esta manera se construye un experimento que da la corriente patrón de un ampère, transformándose esta
unidad en una Unidad Primitiva.
Aceptándose en consecuencia, a la definición del Coulomb como una unidad Derivada que se define por:
"La carga que pasa en un segundo, por cualquier sección transversal de un conductor conduciendo una
corriente de un Ampère"
La definición del patrón de corriente y la definición anterior de la unidad de carga eléctrica rompen con la
paradoja que se había encontrado entre las definiciones de las unidades de corriente y carga eléctrica.
Este resultado remarca la importancia del estudio del fenómeno de fuerza entre conductores paralelos con
corriente.