Ejemplo Tema 10

Tema 10
10.1. Variable aleatoria.
A veces es muy complicado el tratamiento de los sucesos que forman parte del espacio
muestral E, para resolver este problema se recurre a la asignación de números a los elementos
de E, para lo cual se introduce el concepto variable aleatoria..
Es una función que relaciona al conjunto de los sucesos resultado de un experimento aleatorio
con el conjunto de los números reales.
E-- ξ --> 
A través de la función  hemos transformado E en  , sin embargo el espacio aleatorio
probabilizable o medible consta de dos elementos (E,) y se plantea la necesidad de
preservar en la transformación la estructura de una -álgebra, y para que ello ocurra se
impone la condición: “si e es un elemento del espacio muestral E, y b un conjunto de Borel
de  que llamaremos B, se ha de verificar que la imagen inversa de ( e ) pertenece a .
-1 (b) = { e,  (e )  B }  
Entonces x los subconjuntos de la recta  cuyas imágenes inversas pertenecen a B, tiene
una estructura de una -álgebra de Borel con lo cual pasamos del espacio probabilizable
(E,) al (x,B) en la recta real.
Ejemplo: definir y construir la variable aleatoria, número de puntos, en el lanzamiento de un
dado.
Solución:
E-- ξ -->R
. -----> 1
: -----> 2
........
........
::: ----> 6
Si P es la función de conjunto que asigna probabilidades en E, Px sera la función que asigna
probabilidades en ,a los sucesos que integran B.
Px(b) = P {-1 (b) } = P{ e , ( e ) = b }
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En estas circunstancias podemos decir que la variable aleatoria  induce a partir de (E,,P) el
nuevo espacio probabilístico (x, Bx, Px ), comprobándose fácilmente que Px es una
probabilidad.
Para poder decir, que hemos definido una variable aleatoria, habremos de especificar los
distintos valores que la variable puede tomar, con sus probabilidades.
Ejemplo:
Construir la variable aleatoria número de caras al lanzar tres monedas.
Solución:
E --ξ--> R -----> Prob
(c,c,c) ----> 3 ----> 1/8
(c,c,c) ----> 2 ----> |
(c,+,c) ----> 2 ----> |3/8
(+,c,c) ----> 2 ----> |
(+,+,c) ----> 1 ----> |
(+,c,+) ----> 1 ----> |3/8
(c,+,+) ----> 1 ----> |
(+,+,+) ----> 0 ----> 1/8
Como resumen, definimos el concepto de variable aleatoria de la siguiente forma: Sea
(E,P,) un espacio probabilistico y (,B) el espacio probabilizable formado por la recta
real  y la - álgebra de los conjuntos de Borel B. Una aplicación :  -> es una
variable aleatoria si y solo si -1 (b)   para todo b B.
Una definición más intuitiva es la siguiente: “una variable aleatoria es una cantidad variable
cuyos valores dependen del azar y para la cual existe una distribución de probabilidad”.
Hemos además de tener en cuenta que una función de una o varias variables aleatorias es otra
variable aleatoria.
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10.8.5 Gráficas de N(μ,σ).
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