Derivadas - Calixto.com.mx

LA DERIVADA
DERIVACIÓN CON FÓRMULAS 1
Para encontrar la derivada de una función con fórmulas utiliza tu formulario de matemáticas VI, y recuerda que
las primeras letras del abecedario como son a, b, c y d representan a constantes es decir números fijos.
Dada una función “f(x)” ó “y”, su derivada la denotaremos por el símbolo dxd si la variable en cuestión es “x” o
d
dt
.m
x
si la variable es “t”, además el símbolo antes mencionado no es una fracción donde “d” sea el numerador y
“dx” el denominador, sino todo junto representa la derivada de la función con respecto de la variable
considerada ( d f (x) “derivada con respecto de x de f de x”, d y “derivada con respecto de x de y”, d f (t )
dx
dx
“derivada con respecto de t de f de t)
Empecemos con la siguiente función:
dt
d f (x)  d (4 x 3  3x 2  5)  d 4 x 3  d 3x 2  d 5
dx
dx
dx
dx
dx
d 4 x 3  4 d x 3  (4)(3)x 31  12 x 2
dx
dx
F4
F7
d 3x 2  3 d x 2  (3)(2)x 21  6 x
dx
dx
F4
F7
to
.c
Cada uno de los 3 términos se derivan de la siguiente forma:
om
Ejemplo 1.- f  x   4 x 3  3x 2  5 , ésta función está compuesta por tres términos y según la fórmula 3 (F3) al
derivarla se derivará cada término de la función:
F1
al
ix
d 5  0 , entonces tenemos d 4 x 3  d 3x 2  d 5  12x 2  6 x  0 , es decir
dx
dx
dx
dx
d f (x)  d (4 x 3  3x 2  5)  12x 2  6 x
dx
dx
.c
d f (x)  12x 2  6 x
dx
1
w
Ejemplo 2.- f (x)  3x 5  7x 3  8 x 2  2 , ahora derivemos sin explicar paso a paso sino un poco más directo:
3
1
d f (x)  d  3x 5  7x 3  8 x 2  2  (F3)
dx
dx 
3 
1
w
w
d f ( x )  d 3x 5  d 7 x 3  d 8 x 2  d 2
dx
dx
dx
dx
dx 3
1
d f (x)  3 d x 5  7 d x 3  8 d x 2  d 2 (3 veces F4)
dx
dx
dx
dx
dx 3
1 1
d f (x)  (3)(5)x 4  (7)(3)x 2  (8) 1 x 2  0 (3 veces F7 y una vez F1)
dx
2

1
d f (x)  15x 4  21x 2  4 x  2
dx
1
Encuentra tu formulario en el Anexo 1
31
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
Ejemplo 3.- y  x
x 1
, como puedes ver, ésta función es una fracción, encontremos su derivada:
  (F8)
d y d
x
dx
dx x 1
d x 1 d y 
dx
dx
“u = x; v = x+1”
(x  1) d (x)  (x) d (x  1)
dx
dx
2
(x  1)
.m
x
F2
d (x  1)  d x  d 1  1  0  1
dx
dx
dx
F2
F1
F3
d y  (x  1)(1)  (x)(1)
dx
(x  1)2
om
d y  x 1 x  1
dx
(x  1)2 (x  1)2
d y 1
dx
(x  1)2
to
.c
dy
Las notaciones anteriores d f (x) y
las podemos cambiar por f´(x) y y´ respectivamente, y se leen “f
dx
dx
prima de x” y “y prima”.
Ejemplo 4.- f (x)  2x 4  1 , encontremos su derivada f '  x  .
al
ix
d (2 x 4  1)
d f (x)  d 2 x 4  1  dx
dx
dx
2 2x 4  1
F 27
d (2 x 4 )  d 1
dx
dx
f '(x) 
F3
2 2x 4  1
.c
d f ( x) 
dx
(2)(4)x 3
2 2x 4  1
w
d 2x 4  2 d x 4  (2)(4)x 4 1 ;
dx
dx
F4
F7
d 10
dx
F1
w
4x3
2x 4  1
w
f '(x) 
32
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Funciones Explícitas: Son aquellas funciones donde la y (y=f(x)), aparece despejada.
.m
x
f (x)  x 2  5x  1 

y  x2  4 x  1


y  x 1
 Funciones donde está despejada “y”
x 1

sen  x  1  

f x 
x2

x2  y2  4 

2 x 2  3xy  1

x 3  4 x 2  y  Funciones donde NO está despejada “y”

2
x2  y  1 
3 2

om
Funciones Implícitas: Son aquellas en donde la “y” no aparece despejada
Recordemos que el símbolo que representa la derivada de una función es d , y que d  1 , ahora para derivar
dx
to
.c
dx
una función implícita lo que debemos de tener en cuenta es lo siguiente:
Pero
“y prima o derivada de y”
Por ejemplo, encontrar la derivada de y si: 2x 2  xy  y  4
al
ix

(Ojo esto es una multiplicación)
Derivamos en ambos lados de la ecuación, y procediendo como hasta ahora se había hecho para una función
explícita:
.c
d (2x 2  xy  y)  d 4
dx
dx
w
 dxd 2x  dxd x  y  dxd y   dxd 4
2
w

Hay que aplicar la fórmula de multiplicación
w
4 x  (x  d y  y  d )  d  0
dx
dx dx
Recuerda
4 x  (xy ' y)  y '  0
Quitamos paréntesis simplificando
4 x  xy ' y  y '  0
33
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
Finalmente hay que despejar a y ' , y recuerda si quieres despejar una variable y aparece varias veces, hay que
pasar todos los términos que contienen a dicha variable de un solo lado de la igualdad (puede ser el derecho o
izquierdo)
4 x  xy ' y  y '  0
xy ' y '  4 x  y
.m
x
Ahora se factoriza (siempre) a y '
Ejemplo 2.- Encontrar y ' si 6y  2xy  x  2
Derivando ambos lados
d 6y  d 2xy d x  d 2
dx
dx
dx
dx
to
.c
d (6y  2xy  x)  d 2
dx
dx
om
y '(x  1)  4 x  y
4 x  y
y' 
x 1

Producto (al derivar se generan dos términos)
6y ' 2(xy ' y)  1  0 los paréntesis son necesarios ya que –2 afectará a los dos términos
al
ix
Quitando paréntesis
6y ' 2xy ' 2y  1  0
Para despejar a y’ hay que dejarla de un solo lado de la igualdad (derecho o izquierdo) para posteriormente
factorizarla.
w
w
w
.c
6y ' 2 xy '  2y  1
y '(6  2 x)  2y  1
2y  1
y' 
6  2x
34
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
EJERCICIOS
Encontrar y ' si:
xy  x  3
x3  y3  2
b)
d)
x2  y2  9
e) 2x 2  3y 3  5
c)
2x  3y 2  x
om
.m
x
a)
x  y 2
w
w
w
.c
al
ix
to
.c
f)
35
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
DERIVADAS SUCESIVAS Y TRANSCENDENTE
Al tener una función en general, por ejemplo f  x   3x 4  5x 3  4 x 2  6 y obtener su derivada, tenemos
f ´ x   12x 3  15x 2  8x , la cual vuelve a ser una función de “x” y por tanto podemos hablar de su derivada.
f  x   3x 4  5x 3  4 x 2  6
f (x)  12x 3  15x 2  8x
.m
x
d f (x)  12x 3  15x 2  8 x ó
dx
Ahora, derivando a la derivada.


om
d d f (x)  d 2  36 x 2  30 x  8 ó f (x)  36 x2  30 x  8
dx dx
dx 2
La derivada de la derivada o mejor dicho la segunda derivada (derivada de segundo orden) vuelve a ser una
función de “x”, de la cual por tercera vez podemos encontrar su derivada.
d  d 2 f (x)   d 3  72x  30 ó f (x)  72x  30

dx  dx 2
 dx 3
Y así sucesivamente.
Primer derivada:
to
.c
Notemos que la notación para las derivadas sucesivas o de
orden mayor queda para
:
“y prima” ó “f prima de x”
al
ix
Segunda derivada:
“y biprima” ó “f biprima de x”
Tercer derivada:
.c
“y triprima” ó “f triprima de x”
y así sucesivamente.
w
w
w
Ejemplos.- Encontrar la segunda derivada de las siguientes funciones
a) y  x
x 1
d y d
x
dx
dx x 1
 
(x  1) d (x)  (x) d (x  1)
dx
dx
y 
(x  1)2
y 
(x  1)(1)  (x)(1)
(x  1)2
36
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
y   x  1 2x  1 2
(x  1)
(x  1)
y 
1
(x  1)2
Ahora, encontremos la segunda derivada.
y  
.m
x
(x  1)2 d (1)  (1) d (x  1)2
x
dx
y  
((x  1)2 )2
(x  1)2 (0)  (1)(2)(x  1)1
(x  1)4
Finalmente.
(1)(2)(x  1)1
 2 3
(x  1)4
(x  1)
EJERCICIOS
Encontrar y ''
y  x 8  7x 6  5x  4
c)
y  sen2 x
b) y  e x
2
d) y  22
x5
w
.c
al
ix
a)
2
(x  1)3
to
.c
y  
om
y  
x
f)
y  x ln x
w
w
e) y  e
37
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
i)
y  sen3x
h) y  ln(1  x 2 )
j)
x
y  ln e x
1e
.m
x
y  tan x
om
g)
w
w
w
.c
al
ix
to
.c
NOTA: Una función se dice que es trascendente si contiene expresiones con logaritmos, exponenciales,
trigonométricas e inversas de las trigonométricas
38
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
to
.c
om
.m
x
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Dada una función f (x) , su derivada ésta definida formalmente como el límite de la razón entre el cambio de la
f (x  h)  f (x)
es decir,
función y el cambio de la variable independiente, es decir: d f (x)  lím
h 0
dx
h
geométricamente significa:
mT : Pendiente de la recta tangente en el punto x  a
al
ix
Cuando tú encuentras la derivada de una función, lo que obtienes es una expresión que representa la
pendiente de cualquier recta tangente a la curva f (x)
w
w
.c
Recta tangente: recta que corta en un
solo punto a una curva.
w
Si evalúas la derivada de f (x) en el punto x  a , el valor encontrado es la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto x  a .
39
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
Ahora hay que resolver la ecuación de segundo grado que resultó
FACTORIZANDO
FACTORIZANDO
2x 2  8 x  6  0 
2  x 2  4 x  3  0 
2  x  1 x  3  0
x 1  0 ó x  3  0
x 1
x  3  puntos críticos
Encontrando la segunda derivada
DERIVANDO
f '  x   2x 2  8 x  6 
 f ''  x   4 x  8
Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos
Entonces la función alcanza su valor máximo cuando x  1
om
f '' 1  4 1  8  4  8  4  4  0 (negativo)
.m
x
Para que un producto de cómo resultado cero, uno de los factores (cualquiera) debe ser cero
to
.c
f ''  3  4  3  8  12  8  4  4  0 (positivo)
Entonces la función alcanza su valor mínimo cuando x  3
Finalmente encontremos el valor mínimo y máximo de la función
3
2
f  1   2  1   4 1   6 1   2  4  6  2  2  2  6  8
3
3
3
3
3
3
1, 83  Máximo
Que es 2
 
f  3  2  3  4  3  6  3  2 3  3 3  36  18  18  18  0
3
3
2
3,0  Mínimo
w
w
w
.c
al
ix
3
48
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
Ejemplo 2: Si y  2x 2  x 4 encontrar el mínimo y máximo valor de y.
3
DERIVANDO
IGUALANDO
y  2x2  x 4 
 y '  4 x  4 x 3 
A CERO  4 x  4 x  0
Para resolver la ecuación resultante se factoriza
Un producto resulta cero cuando alguno de sus factores es cero, entonces
.m
x
FACTOR COMÚN
DIFERENCIA
4 x  4 x 3  0 
 4 x 1  x 2   0 
4x
DE CUADRADOS 4 x 1  x 1  x   0
4x  0 ó 1  x  0 ó 1  x  0
x 0
x  1
1  x  Puntos círticos
om
Ahora evaluamos en la segunda derivada los puntos que encontramos
DERIVANDO
y '  4 x  4 x 3 
 y ''  4  12x 2
y ''  0   4  12  0   4 como 4  0 (es positivo) en x  0 hay un mínimo.
2
y ''  1  4  12  1  4  12  8 como  8  0 (es negativo) en x  1 hay un máximo.
2
y '' 1  4  12 1  4  12  8 como  8  0 (es negativo) en x  1 hay un máximo.
to
.c
2
finalmente encontremos los valores mínimos y máximos.
2
4
y 0  20  0  0
y 1  2 1  1   2  1  1
2
4
y  1  2  1   1  2  1  1
2
4
(0,0) mínimo
1,1 máximo
 1,1 máximo
w
.c
al
ix
EJERCICIOS
Encontrar los valores mínimos y máximos para las siguientes funciones:
a) f  x   x 3  6 x 2  9x
f  x   x 3  3x  4
w
w
b)
49
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
e)
f  x   22x
x 4
f)
f  x   2 x
x 1
.m
x
f  x   x 3  3x 2  2
om
d)
to
.c
f  x   4 x 2  3x  8
w
w
w
.c
al
ix
c)
50
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
Ahora hay que resolver la ecuación de segundo grado que resultó
FACTORIZANDO
FACTORIZANDO
2x 2  8 x  6  0 
2  x 2  4 x  3  0 
2  x  1 x  3  0
x 1  0 ó x  3  0
x 1
x  3  puntos críticos
Encontrando la segunda derivada
DERIVANDO
f '  x   2x 2  8 x  6 
 f ''  x   4 x  8
Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos
Entonces la función alcanza su valor máximo cuando x  1
om
f '' 1  4 1  8  4  8  4  4  0 (negativo)
.m
x
Para que un producto de cómo resultado cero, uno de los factores (cualquiera) debe ser cero
to
.c
f ''  3  4  3  8  12  8  4  4  0 (positivo)
Entonces la función alcanza su valor mínimo cuando x  3
Finalmente encontremos el valor mínimo y máximo de la función
3
2
f  1   2  1   4 1   6 1   2  4  6  2  2  2  6  8
3
3
3
3
3
3
1, 83  Máximo
Que es 2
 
f  3  2  3  4  3  6  3  2 3  3 3  36  18  18  18  0
3
3
2
3,0  Mínimo
w
w
w
.c
al
ix
3
48
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
Ejemplo 2: Si y  2x 2  x 4 encontrar el mínimo y máximo valor de y.
3
DERIVANDO
IGUALANDO
y  2x2  x 4 
 y '  4 x  4 x 3 
A CERO  4 x  4 x  0
Para resolver la ecuación resultante se factoriza
Un producto resulta cero cuando alguno de sus factores es cero, entonces
.m
x
FACTOR COMÚN
DIFERENCIA
4 x  4 x 3  0 
 4 x 1  x 2   0 
4x
DE CUADRADOS 4 x 1  x 1  x   0
4x  0 ó 1  x  0 ó 1  x  0
x 0
x  1
1  x  Puntos círticos
om
Ahora evaluamos en la segunda derivada los puntos que encontramos
DERIVANDO
y '  4 x  4 x 3 
 y ''  4  12x 2
y ''  0   4  12  0   4 como 4  0 (es positivo) en x  0 hay un mínimo.
2
y ''  1  4  12  1  4  12  8 como  8  0 (es negativo) en x  1 hay un máximo.
2
y '' 1  4  12 1  4  12  8 como  8  0 (es negativo) en x  1 hay un máximo.
to
.c
2
finalmente encontremos los valores mínimos y máximos.
2
4
y 0  20  0  0
y 1  2 1  1   2  1  1
2
4
y  1  2  1   1  2  1  1
2
4
(0,0) mínimo
1,1 máximo
 1,1 máximo
w
.c
al
ix
EJERCICIOS
Encontrar los valores mínimos y máximos para las siguientes funciones:
a) f  x   x 3  6 x 2  9x
f  x   x 3  3x  4
w
w
b)
49
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.
e)
f  x   22x
x 4
f)
f  x   2 x
x 1
.m
x
f  x   x 3  3x 2  2
om
d)
to
.c
f  x   4 x 2  3x  8
w
w
w
.c
al
ix
c)
50
Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II
Prof. Jesús Calixto S.