Problemas Resueltos Muestreo-Cuantificación

EC2412
MUESTREO-CUANTIFICACION
Problema 1:
Una señal sinusoidal de frecuencia f0=30 Hz, es muestreada uniformemente de forma que si se dibuja un
cuarto de ciclo de la señal muestreada se observa lo siguiente:
A partir de esta señal se quiere recuperar la señal sinusoidal original usando un filtro cuya respuesta en
frecuencia se muestra a la derecha de la figura anterior.
Determine B a fin de que el filtro de recepción sea el más barato posible
Respuesta:
1ciclo =
1
1
seg ⇒ 60muestras → seg ⇒ f s = 1800Hz y
30
30
f0=30Hz ⇒ B = 1800 − 30 = 1770 Hz ,
como se puede observar en la siguiente figura: (En realidad debe ser un poco menor que 1770 Hz)
Problema 2
Un mensaje x(t) tiene una función densidad de probabilidad uniforme a trozos.
p(x)
A
B
0.2
1X
Este mensaje se quiere "compandir" antes de ser cuantificado uniformemente utilizando 256 niveles de
cuantificación, utilizando un sistema con la siguiente función característica, adecuada a la distribución
probabilística de la señal:
Para 0 ≤ x ≤ 0.2
⎧ 2. 5x
c(x ) = ⎨ 5 x + 3 Para0. 2 ≤ x ≤ 1
⎩ 8
8
Y en forma similar para el lado negativo
a)
Determine cuantos niveles de cuantificación, del cuantificador uniforme,usará la señal de entrada
cuando ésta se encuentra en el rango de 0.1 a 0.3 voltios.(Considerando la compansión)
b)
Determine A y B si se sabe que el factor de perfeccionamiento de la compansión CI =1,02.
c)
Determine la relación señal a ruido en dB con y sin compansor.
Respuesta:
a)
Determine cuantos niveles de cuantificación, del cuantificador uniforme,usará la señal de entrada
cuando ésta se encuentra en el rango de 0.1 a 0.3 voltios.(Considerando la compansión)
0.1 → 0.2 ⇒ 0.25 → 0.5
Esto implica que para 0.1 a 0.3 existe un rango dinámico de salida de
1 <x<9
4
16
Ma = 2 ⇒ a = 7.8125x10 −3 v ⇒ 0.25 = ka ⇒ k = 32 y ba = 9
16
0.2 → 0.3 ⇒ 1 → 9
2
16
⇒ b = 72
Es decir que entre 0.1 y 0.3 “se usarán” 40 niveles
b)
Determine A y B si se sabe que el factor de perfeccionamiento de la compansión CI =1,02.
−1
−1
⎡ 0.2
⎤
−1
1
⎡ 1 p (x)dx⎤
A
B
⎡ 0.4A 2B 0.4B⎤
−1
x
⎢
⎥
⎢
⎥
= 2∫
C1 = ∫
dx + 2 ∫
dx = ⎢
+
−
= [0.064A + 4.1B]
2
2
2
⎥
⎢ 0 (2.5)
⎥
⎢−1 C' (x) ⎥
⎣ 6.25 0.39 0.39 ⎦
0.2 5
⎣
⎦
⎢⎣
⎥⎦
8
( )
( )
[0.064A + 4.1B]−1 = 1.02 ⇒ 0.064A + 4.1B = 0.9804,
Probabilidad) → 0.4A + 1.6B = 1 ⇒ A =
B = 0.21 ⇒ A = 1.65
c)
Por otro lado tenemos que:(Por la función de
1 − 1.6B
⇒ 0.16 − 0.256B + 4.1B = 0.9804
0.4
Determine la relación señal a ruido en dB con y sin compansor.
( N)
S
Q
(S N )
Q
1
0.2
⎛ x2 ⎞
2
2
⎜
⎟
= 10 log 12 2 , donde x = 2 ∫ Ax dx + 2 ∫ Bx 2 dx = 0.15
⎜ a ⎟
0.2
0
⎝
⎠
⎛
⎞
0.15
⎟ = 44.69dB ,
= 10 log⎜⎜12
−3 2 ⎟
(
7
.
8125
x
10
)
⎝
⎠
la cantidad en decibeles que aumenta la relación señal a ruído es: 10 log(1.02)=0.086Db
(S N )
QCompansor
= 44.77dB
Problema 3
Una señal analógica aleatoria, uniformemente distribuida, tiene una densidad espectral de potencia como
la mostrada
Gx(f)
0.01
2200
4000 Hz
Esta señal se desea digitalizar.
a) Determine la mínima frecuencia de muestreo que permitiría rescatar la señal sin distorsión en el
receptor, si se sabe que el filtro de recepción es un pasabajos ideal.
b) Calcule la relación señal a ruido a la salida de un cuantificador uniforme de 16 niveles.
Respuesta:
a)
Determine la mínima frecuencia de muestreo que permitiría rescatar la señal sin distorsión en el
receptor, si se sabe que el filtro de recepción es un pasabajos ideal.
El valor de N máximo para el espectro mostrado es:
N Max =
N es:
fL
2200
=
= 1,22 ⇒ n = 1 , Por lo tanto la frecuencia de muestreo permitida para ese valor de
BW 1800
2 fM
2f
≤ f S ≤ L ⇒ 4000 ≤ f S ≤ 4400 ⇒ f S = 4000
N +1
N
b)
Calcule la relación señal a ruido a la salida de un cuantificador uniforme de 16 niveles
M = 16 ⇒ n = 4 ⇒ Ma = 2V y x 2 = 2 x1800 x0.01 = 36 =
( N)
S
Q
V2
(Por estar uniformemente distribuída)
3
⎞
⎛ V2
⎛ x2 ⎞
⎟
⎜
= 10 log⎜⎜12 2 ⎟⎟ = 10 log⎜12 32 M 2 ⎟ = 24,08dB
⎟
⎜ 4V
⎝ a ⎠
⎠
⎝
Problema 4
Encuentre y grafique con absoluta precisión la característica de compansión óptima
requerida para la cuantificación no uniforme de una señal con la siguiente función de
densidad de probabilidades.
Respuesta al problema 4
El valor que debe tomar Px(x) entre 2 y 4 debe ser tal que haga que el área total bajo la
curva entre -4 y 4 sea igual a 1. Si ese valor se denomina A, se puede calcular de la
siguiente manera:
⎛ 1⎞
2 ⋅ ( 2 ⋅ A) + 2 ⋅ ⎜ 2 ⋅ ⎟ = 1 ⇒
⎝ 6⎠
A=
1
12
Px(x) queda definida de la siguiente manera:
Debido a las características de la función de densidad de probabilidad, la curva de
compansión debe expandir los valores que toma x entre 0 y 2 y comprimir los valores
de x entre 2 y 4. Por lo tanto una curva de compansión podría ser la indicada:
⎡4
⎤
PX (x)
⎢
CI =
⋅ dx ⎥
⎢ C '(x) 2
⎥
⎣− 4
⎦
∫[
]
−1
⎡ ⎡2
1 1
⎢
= ⎢2 ⋅ ⎢
⋅
⋅ dx +
⎢ 6 a2
⎢⎣ ⎣ 0
∫
4
∫
2
⎤⎤
1 1
⎥
⋅ 2 ⋅ dx ⎥ ⎥
⎥
12 b
⎦ ⎥⎦
−1
1 ⎤ −1
⎡ 2
=⎢
+
⎥
⎣ 3 ⋅ a 2 3 ⋅ b2 ⎦
Existe una dependencia entre a y b, ya que las dos rectas deben tener el mismo
valor en x = 2.
a ⋅ x x=2 = b ⋅ x − 4b + 4 x=2
2 ⋅ a = 2b − 4b + 4
a = −b + 2
Sustituyendo en CI
−1
⎡
2
1 ⎤
⎥
CI = ⎢
+
⎢⎣ 3 ⋅ ( − b + 2) 2 3b2 ⎥⎦
Para que la potencia de ruido sea mínima, hay que encontrar el valor de b de manera
que CI sea máxima. Esto se realiza derivando la función e igualándola a cero.
⎡⎛
2
1 ⎞ ⎤ 18b5 − 72b 4 + 144b3 − 192b 2 + 96b
∂
⎟ ⎥=
+
[CI ] = ∂ ⎢⎜⎜
9b 4 − 24b3 + 40b 2 − 32b + 16
∂b
∂ b ⎢⎝ 3 ⋅ (− b + 2)2 3b 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
−1
∂
[CI ] = 0 ⇒ 18b5 − 72b4 + 144b3 − 192b2 + 96b = 0 ⇒ b = 0.885
∂b
a = −b + 2 = −0.885 + 2
⇒ a = 1.115
Con estos valores de a y b se obtiene el valor de CI máximo.
−1
CI máx
−1
⎡
⎤
1 ⎤
2
1
⎡ 2
+
= 1.04
= ⎢ 2 + 2⎥ = ⎢
2
2⎥
⎣ 3a 3b ⎦
⎣ 3 ⋅ (1.11) 3 ⋅ (0.89) ⎦
Problema 5
Un mensaje x(t) tiene una función de densidad de probabilidad dada por Px(x) y se
quiere comprimir, antes de ser cuantificado, utilizando un sistema con la función
característica dada por C(x).
Usando como criterio el factor de perfeccionamiento de compansión CI dado por:
⎡1
⎤
Px ( x)
⎢
CI =
dx⎥
⎢ C' x 2
⎥
⎣−1 ( )
⎦
∫[
−1
]
a.- Determine P1 y P2 para mejorar la relación señal a ruido.
b.- Calcule CI y determine cuántos dB mejora la (S/N)Q.
Respuesta al problema 5
a.- Cálculo de A. (Nota: el problema en realidad se puede realizar sin la necesidad
de encontrar el valor de A, ya que al derivar CI e igualarlo a cero, desaparece la
constante A ).
1
⋅A
2⋅A + 2
=1
2
⇒
A=
4
9
Las ecuaciones que describen las rectas tanto en Px(x) como en C(x) son las
siguientes:
⎡ ⎡1
⎤⎤
1
⎢ ⎢4 − 4A ⋅ x + 2A
A
⎥⎥
dx + ∫ 2 dx ⎥ ⎥
C I = ⎢2 ⋅ ⎢ ∫
2
P1
1 P2
⎢ ⎢0
⎥⎦ ⎥
4
⎣ ⎣
⎦
−1
⎡3 A 3 A ⎤
=⎢ ⋅ 2 + ⋅ 2⎥
2 P2 ⎦
⎣ 4 P1
−1
⎡ 1
2 ⎤
=⎢ 2 +
2 ⎥
3P2 ⎦
⎣ 3P1
−1
La dependencia entre P1 y P2 proviene de que en x = ¼ las dos rectas deben tener igual
valor.
P1 ⋅ x
x=
1
4
= P2 ⋅ x − P2 + 1
P1 P2
=
− P2 + 1 ⇒
4
4
x=
1
4
P1 = −3P2 + 4
Sustituyendo en CI se tiene
⎡
1
2 ⎤
⎥
CI = ⎢
+
⎢ 3 ⋅ ( − 3P2 + 4) 2 3P2 2 ⎥
⎣
⎦
−1
Para obtener los valores de P2 que hagan CI máxima, hay que derivar CI e igualarla a
cero para luego despejar P2.
∂
[C I ] = ∂
∂P2
∂P2
⎡⎛
1
2
⎢⎜
+
2
2
⎢⎜⎝ 3(− 3P2 + 4 )
3P2
⎣
⎤
⎥=
⎥
⎦
−
⎡
1
2 ⎤
+
⎢
2
2 ⎥
3P2 ⎥⎦
⎢⎣ 3(− 3P2 + 4 )
=
2
⎛
⎞
1
2 ⎟
⎜
⎜ 3(− 3P + 4 )2 + 3P 2 ⎟
2
2 ⎠
⎝
∂
∂P2
114 P2 − 432 P2 + 576 P2 − 256
3
=
⎞
⎟
⎟
⎠
−1
2
⎛
1
2
81P2 − 324 P2 + 432 P2 − 192 P2 .⎜⎜
+
2
2
3P2
⎝ 3(− 3P2 + 4 )
(
6
5
4
3
)
114 P2 − 432 P2 + 576 P2 − 256 = 0
3
⇒
2
P2 = 0,965
P1 = 1,105
b.- El valor de CI es:
⎡
⎤
1
2
⎥
CI = ⎢
+
2
2
⎢⎣ 3 ⋅ (1105
3 ⋅ ( 0.965) ⎥⎦
. )
−1
= 1011
.
⎞
⎟
⎟
⎠
2
La cantidad en decibeles que aumenta la relación señal a ruido, ( S/N )Q, es:
10Log(1011
. ) = 0.048 dB
Problema 6
Una señal tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
a.- Determine el paso de un cuantificador uniforme de 8 niveles.
b.- Determine la característica de compansión necesaria para lograr que los niveles de
la señal cuantificada sean equiprobables.
Respuesta al problema 6
a.a = paso del cuantificador
M=8
⇒
a=
2V
= 0.25V
8
b.- Hay que encontrar una curva de compansión c(x) que transforme la variable
aleatoria x en otra con distribución uniforme que se adapte mejor a los 8 niveles de
cuantificación igualmente espaciados.
Hay que dividir la función de densidad de probabilidad de x en ocho trozos que tengan
la misma probabilidad ( igual a 1/8 ).
a
∫
( − x + 1) dx =
1
8
⇒
-
a2
1
+a =
2
8
⇒
a=1-
1
3 = 0133
.
2
0
b
∫ ( − x + 1) dx =
1-
1
3
2
c
∫ ( − x + 1) dx =
1-
1
2
2
1
8
⇒
-
b2
1 1
+b− =
2
8 8
⇒
b=1-
1
8
⇒
-
1 1
c2
+c− =
2
4 8
⇒
c=
1
2 = 0.2929
2
1
= 0.5
2
La curva de compansión debe transformar linealmente los 8 segmentos en que fue
dividido x, en 8 segmentos igualmente espaciados, como se muestra a continuación.
Problema 7
Una señal aleatoria ergódica x(t) tiene una función de densidad de probabilidad igual a:
Esta señal es muestreada y cuantificada uniformemente ( x(nts) = xq(nts) + eq(nts) ).
Si se utilizan 2 niveles de cuantificación, calcular:
2
a.-
La potencia del error de cuantificación ( E[ eq (nts) ] )
b.-
La potencia de la señal cuantificada
( E[ xq2(nts) ] )
Respuesta al problema 7
a.- Para 2 niveles, la curva de cuantificación de la señal x(nTs) es xq(nTs) y la función de
densidad de probabilidad de xq(nTs) es Pxq, tal y como se muestra
La potencia del error de cuantificación es:
[
]
(
)
2⎤
⎡
eq (t) = E eq (t) = E ⎢ x(t) − xq (t) ⎥ =
⎣
⎦
2
2
0
=
∫
⎛
⎛
⎜x − ⎜−
⎝
⎝
−1
2
1
∫ ( x − xq )
−1
1
1⎞⎞
⎛
⎟ ⎟ ⋅ ( x + 1) ⋅ dx + ⎜ x −
⎠
⎝
2 ⎠
∫
0
[
]
1
x q (t ) = E x q (t ) = ∫ x q ⋅ PX q ( x ) ⋅ dx=
2
2
−1
1 ⎛
1⎞
1 ⎛
1⎞
x q (t ) = ∫ x ⋅ δ ⎜ x + ⎟ ⋅ dx + ∫ x 2 ⋅ δ ⎜ x − ⎟ ⋅ dx =
2 ⎝
2⎠
2 ⎝
2⎠
−1
0
0
2
1
2
2
2
⎛ 1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 1 1 1
= ⎜- ⎟ + ⎜ ⎟
= + =
⎝ 2⎠ 2 ⎝2⎠ 2 8 8 4
→ x q 2 (t ) =
4
1
2
⋅ PX ( x) ⋅ dx
1⎞
1
⎟ ⋅ ( − x + 1) ⋅ dx =
⎠
2
12
b.- La potencia de la señal cuantificada es:
2
2
Problema 8
Una señal de video tiene el siguiente espectro de potencia:
Esta señal se muestrea idealmente a fs = 42 MHz. Determine (analítica o gráficamente)
si ella puede ser recuperada, después de este muestreo, con un filtro pasabanda ideal
ubicado entre 60 MHz y 66 MHz.
Respuesta al problema 8
Si una señal pasabanda cumple
fL
≥1
BW
Entonces podrá ser muestreada a una frecuencia de muestreo menor al
límite de Nyquist ( que en este caso sería: fNyquist = 2fmáx = 2·66MHz = 132MHz ).
Para el caso de la señal analizada esta condición se cumple ya que:
fL
60 MHz
=
= 10
BW
6 MHz
La frecuencia de muestreo fs, debe satisfacer la siguiente condición para que no haya
solapamiento de espectros.
2 ⋅ fM
2 ⋅ fL
≤ fs ≤
N +1
N
donde N es un número entero que representa la cantidad de veces que el espectro
original se puede repartir entre -fL y +fL. Los valores permisibles para N están entre 1 y
(fL / BW).
Para verificar si fs está dentro de los valores permitidos, se buscará qué valor de N
corresponde a la frecuencia de muestreo fijada.
2 ⋅ fM
2 ⋅ fM
2 ⋅ 66 MHz
− 1 = 2.14 ⇒ N ≥ 2.14
≤ fs ⇒ N ≥
−1 =
N +1
fs
42 MHz
fs ≥
2 ⋅ fL
N
⇒ N≤
2 ⋅ f L 2 ⋅ 60 MHz
=
= 2.86 ⇒ N ≤ 2.86
fs
42 MHz
Los resultados obtenidos indican que para la frecuencia fs = 42 MHz, no existe ningún
número entero válido para N que impida un solapamiento entre los espectros. Por lo
tanto no se puede recuperar la señal.
Problema 9
Observe el siguiente sistema:
X(f) =
⎛ π ⎞
1
⋅ sen2 ⎜
⋅ f⎟ ⋅
2 fc
⎝ 2 fc ⎠
H ( f ) = Ts ⋅
⎛ f ⎞
∏ ⎜⎝ 2f ⎟⎠
c
⎛ f ⎞
∏ ⎜⎝ 2f ⎟⎠
c
m( t ) =
∑ δ( t − nT )
s
fc = 1 KHz
1
fs = ⋅ f Nyquist
2
Determine las expresiones de xs(t) y y(t)
Respuesta al problema 9
El espectro en frecuencia de la señal x(t) viene definido por el cuadrado de un seno
cuyo período es:
π
1
= 2π ⇒
2 fc T
⋅
T −1= 4 fc =4 KHz
( Nota: Las unidades del período de X(f) son en Hertz, por ser un espectro )
Gráficamente X(f) se representa de la siguiente manera:
El ancho de banda correspondiente a este espectro es igual a 1KHz, por lo tanto,
según las indicaciones del problema, al multiplicar x(t) por m(t), se está muestreando la
señal a la mitad de la frecuencia de Nyquist, quedando la frecuencia de muestreo igual
a:
fs =
f Nyquist
2
=
2 ⋅ 1 KHz
= 1 KHz = fc
2
El utilizar esta frecuencia de muestreo implica que la señal xs(t) resulta en un
solapamiento de espectros. Pero si se analiza cuáles son las señales que se están
superponiendo en cada punto del espectro de xs(t) se obtiene lo siguiente:
Por ejemplo, dentro del rango de frecuencias de 0KHz a 1KHz, Xs(f) se rige por la
siguiente ecuación:
Xs(f )=
⎛ π
⎞ 1
⎛ π
⎞
1
⋅ sen 2 ⎜⎜
⋅ f ⎟⎟ + ⋅ sen 2 ⎜⎜
⋅ ( f − f c )⎟⎟
2
⎝ 2 fc ⎠ 2
⎝ 2 fc
⎠
Pero el segundo término es un seno elevado al cuadrado desfasado ¼ de período, lo
que lo convierte en un coseno cuadrático. Por lo tanto, la expresión de Xs(f) queda
definida de la siguiente manera:
Xs(f )=
⎞
⎛ π
⎞⎤ 1
1 ⎡ 2⎛ π
⋅ ⎢sen ⎜⎜
⋅ f ⎟⎟ + cos 2 ⎜⎜
⋅ f ⎟⎟⎥ =
2 ⎢⎣
⎝ 2 fc
⎠
⎝ 2 fc
⎠⎥⎦ 2
Esta expresión es válida para cualquier valor de f, lo que indica que el espectro de
amplitud de Xs(t) es una constante. Al antitransformar Xs(f) obtenemos xs(t).
Al pasar xs(t) por el filtro pasabajo ideal se obtiene lo siguiente:
Para obtener y(t) hay que antitransformar Y(f).
⎡ 1
y(t) = F−1 Y(f) = F−1 ⎢ 2 ⋅
⎢⎣ 2 fc
1
y(t) = ⋅ sinc 2f c ⋅ t
fc
[
]
(
⎛ 1 ⎞⎤
1
c
c
∏ ⎜⎝ 2f ⎟⎠ ⎥⎥⎦ = 2f
2
(
⋅ 2 fc ⋅ sinc 2 fc ⋅ t
)
)
Problema 10
Una señal tiene el siguiente espectro de amplitud:
Se desea discretizar en tiempo esta señal muestreándola a una frecuencia fs apropiada,
para luego poder recuperarla con un filtro pasabanda. Deduzca analíticamente y
consiga el valor de fs más conveniente.
Respuesta al problema 10
El valor de N máximo para el espectro mostrado anteriormente es el siguiente:
N max =
fL
20 KHz
=
= 20
BW
1 KHz
( ya que según el gráfico fL=20KHz y BW=1KHz )
Por lo tanto, la frecuencia de muestreo permitida para este valor de N, es la siguiente:
2 ⋅ fM
2 ⋅ fL
≤ fs ≤
N +1
N
2 ⋅ 21 KHz
2 ⋅ 20 KHz
≤ fs ≤
20 + 1
20
2 KHz ≤ fs ≤ 2 KHz
⇒
f s = 2 KHz
Problema 11(2422p3sd00) La figura presenta un trozo arbitrario de 1mseg de una señal
pasabajo aleatoria uniformemente distribuida entre –1v y 1v. También se muestra el sistema por
donde pasa.
Se obtienen los siguientes datos:
a. La señal x(t) se muestrea exactamente a la menor frecuencia posible para poder
recuperar posteriormente la señal.
b. La relación señal a ruido a la salida del cuantificador es igual a 64
En base a estos datos:
1. Determine la potencia de la señal x(t)
2. Dibuje con absoluto detalle (escala de tiempo y amplitud) y total explicación(
para el mismo intervalo de 1 mseg de la señal de entrada ) la señal a la salida
del cuantificador asumiendo que la señal cuantificada ocupa 7.5KHz
aproximadamente
3. Calcule la potencia de la señal cuantificada(xQ(t))
Solución Problema 11
a. La potencia de una señal uniformemente distribuida entre – v y v se calcula
v
mediante la siguiente integral:
∫x
2
p x ( x)dx es
–v
tanto la potencia de la señal es igual a
v
2
3
. Sabemos que v es 1, por lo
1
.
3
b. Nos dicen que la señal cuantificada tiene W = 7.5kHz y sabemos que el ancho
de banda de una señal cuantificada es igual al número de bits de cuantificación
multiplicado por el ancho de banda de la señal original. Para cuantificar sabemos
1
2
12
x
⎛S⎞
.
que ⎜ ⎟ = 64 = 2 = 32 =
a
3a 2
a
⎝ N ⎠Q
12
12
12
Despejamos al paso de cuantificación: a 2 =
= 0,0625 → a = 0,25 . Tenemos
3 ⋅ 64
2 ⋅1
la fórmula 2v = Ma → M =
= 8. Siendo este último valor el número de
0,25
niveles de cuantificación y por la regla M = 2 n donde n es el número de bits
usados en el proceso, obtenemos que n = 3 .
Por lo tanto el ancho de banda de la señal original es:
7,5kHz 7,5kHz
W =
=
= 2,5kHz .
3
n
Y debido a que, por dato, la frecuencia de muestreo es la menor frecuencia
posible, es decir, Nyquist, concluimos que la frecuencia de muestreo es el doble
de la frecuencia del mensaje lo cual es fs = f NYQUIST = 2 ⋅ 2,5kHz = 5kHz . Entonces
el tiempo transcurrido entre una muestra y otra es ts =
estos valores podemos dibujar las gráficas solicitadas:
1
1
=
= 0,2ms . Con
fs 5kHz
c. La potencia de la señal cuantificada se calcula multiplicando el tiempo que
transcurre la señal en cada nivel de cuantificación por la probabilidad de dicho
nivel.
En
este
caso
la
potencia
sería
igual
a
⎛
2 1
2 1
2 1
2 1⎞
2⎜ (0,125) ⋅ + (0,375) ⋅ + (0,625) ⋅ + (0,875) ⋅ ⎟ = 0,32 debido a que
8
8⎠
8
8
⎝
la señal cuantificada permanece en cada nivel de cuantificación, cuya
1
probabilidad es para todos de porque es una cuantificación uniforme. El factor
8
de 2 es porque los niveles negativos producen la misma potencia que los
positivos.
Problema 12
Una señal aleatoria banda base x(t) con valores entre -1y 1 (con fdp como la
mostrada ) es muestreada cada 0.15 mseg. usando un muestreador tope plano. Esa
señal luego se cuantifica usando el cuantificador mostrado. La señal se puede
recuperar con un LPF sin distorsión.
a. Dibuje una posible señal cuantificada (detalle tiempos y amplitudes)
b. Determine el nivel DC de la señal a la salida del cuantificador.
c. Determine la potencia de la señal cuantificada.
d. Determine el máximo ancho de banda de la señal x(t)
Solución Problema 12:
a. Se sabe por las características del cuantificador que los posibles valores de salida
son (±0.25V, ±0.5V, ±1V), como la señal de entrada es muestreada cada 0.15 mseg,
se sabe que este será el valor de nuestros pasos en la salida del cuantificador. Por
ende la señal de salida debe tener esas características, por dar un ejemplo
mostraremos lo siguiente:
b. Para hallar el valor DC de la señal de salida se usara lo siguiente:
- Se sabe cuales son los únicos posibles valores de voltaje a la salida.
- Se puede calcula la probabilidad de que salga cada uno de esos valores,
usando la
fdp.
El área debajo de la curva será el valor de la probabilidad de cada valor y
análogamente se hará con al lado negativo.
P1(0<x<0.1)= 0.1
P4(0>x>-0.1)= 0.1
P2(0.1<x<0.2)=0.2
P5(-0.1>x>-0.2)=0.2
P3(0.2<x<1)=0.2
P6(-0.2>x>-1)=0.2
V1=0.25
V2=0.5
V3=1
- Usando eso se puede decir que el valor DC de la señal será la sumatoria de los
distintos valores de voltaje multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.
ΣVi*Pi
Y tendremos
DC=0.1*V1+0.2*V2+0.2*V3+0.1*(-V1)+0.2*(-V2)+0.2*(-V3)
DC=0
Esto se debe a la simetría tanto de la fdp como la simetría con respecto al eje
del cuantizador.
c. Similarmente como en el caso anterior ahora para calcular la potencia se usa el valor
del voltaje al cuadrado por su probabilidad de ocurrencia por ende la formula será así.
Pot=P1*V12+P2*V22+P3*V32+P4*(-V1) 2+P5*(-V2) 2+P6*(-V3) 2
Pot=0.1*V12+0.2*V22+0.2*V32+0.1*(-V1) 2+0.2*(-V2) 2+0.2*(-V3) 2
En este caso ya no será cero ya que el efecto de los signos se elimina con el cuadrado
Pot=0.625
d. Para determinar el máximo ancho de banda sabemos que por el teorema de nyquist
la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual a dos veces el ancho de banda a
modo tal de poder recuperar la señal.
Fs≥2*W
Despejando se obtiene que:
W≤Fs/2
Como Ts es 0.15mseg. Fs=1/Ts=6.66KHz
Por lo tanto
Wmax=3.33KHz
Problema 13
Solución Problema 13
:
Parte A)
El hecho de que la relación señal a ruido haya mejorado en 3dB después de la
compansión, lo podemos expresar matemáticamente de la siguiente manera:
10.log(S/Nc) = 10.log(S/N) + 3dB
(1)
donde S/Nc es la relación señal a ruido después de haber sido compandida la señal.
Sabemos que la relación señal a ruido mejora con respecto al factor de mejoramiento
C1, explicado en la guía de cuantificación no uniforme, por lo que se puede rescribir:
S/Nc = (S/N).C1;
Resolvemos (1) aplicando antilogaritmo:
=> C1 = 2
Las derivadas del compansor son: C’(x)
3
1/3
,
0<x<0.25
, 0.25<x<1
Sustituimos en la siguiente función:
Como la función P(x) es simétrica multiplicamos por 2 los intervalos positivos.
Î
(1/9).A + 27.B = 1
(2)
La segunda relación se obtiene del área de la fdp = 1.
Area(fdp) = 1 = 2.A.(0.25) + 2.B.(0.75)
Î
A.(1/2) + B.(3/2) = 1
(3)
Sustituyendo (2) en (3) se obtienen los siguientes resultados:
B = 0.02916
A = 1.915
Parte B)
Para calcular la relación señal a ruido primero necesitamos la potencia de la
señal original la cual viene dada por:
resolvemos
2
Al sustituir los valores de A y B encontrados se obtiene que E[x ] = 0.0416
Y se sabe que para un cuantificador no uniforme la relación señal a ruido es:
Como el cuantificador es 8 niveles, M = 8 y la máxima amplitud A =1, sabemos que
a = (1/4).
Finalmente (S) = 12x16x0.0416x2 = 15.97
N
En dB seria [S/N]dB = 12.03 dB
Parte C)
Si la señal solo pasa por el cuantificador uniforme se pierde el efecto del factor de
mejoramiento (C1) introducido por el Compansor, entonces nos queda:
S = 12x16x0.0416.= 7.98
N
En dB seria [S/N]dB = 9.03 dB
Problema 14 (p3em04)
Una señal aleatoria x (t) tiene una fdp tal y como se muestra en la figura de la
izquierda, mientras que su DEP está representada por la figura de la derecha.
Dicha señal se muestrea adecuadamente (Nyquist, ideal) y pasa por un
Cuantificador no-uniforme el cual puede ser modelado por: un compansor
(Con la característica c(x) definida a continuación) seguido de un
Cuantificador uniforme de 8 niveles y simétrico respecto al cero.
Estos dos sistemas en cascada son equivalentes a un cuantificador no uniforme,
simétrico respecto al cero, como el siguiente:
a) Determine α
b) Determine la probabilidad de que XQ sea igual a -0.125.
Solución Problema 14
a) La función del compansor esta definida por C(x)
Si la graficamos se tiene una recta con una misma pendiente de -0,5 a 0,5; y otras dos con
una pendiente mayor que van de -0,5 a -1 y de 0,5 a 1 respectivamente.
El cuantificador uniforme se visualiza en la siguiente gráfica:
Para hallar el valor de alfa (α), lo que hacemos es evaluar los valores límites del
compansor y verificar donde quedan ubicados dentro del cuantificador uniforme para hacer
los pasos del cuantificador no uniforme.
Evaluamos los valores limítrofes de la primera recta con valores X positivos del
compansor, que va de cero (0) a cero coma cinco (0,5) 0 → 0,5 y calculamos los valores
de C(x)
C (0) = 0,5 ⋅ 0 = 0; C (0,5) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25
Entonces observamos que aunque en el compansor va de 0 → 0,5 en el cuantificador
uniforme equivale al primer nivel completo que va de 0 → 0,25 , esto demuestra que
esta recta del compansor alarga el valor del cuantificador no uniforme en ese intervalo.
En la gráfica del cuantificador no uniforme se aprecia mejor esta relación.
El siguiente paso del cuantificador uniforme va hasta 0,5, entonces si evaluamos en la
función de C (x) correspondiente a los valores de x entre 0,5 y 1, sustituyendo x por alfa
(α) y lo igualamos a 0,5 podemos despejar alfa (α).
En el compansor va de 0,5 → α
C (0,5) = 1,5 ⋅ 0,5 − 0,5 = 0,75 − 0,5 = 0,25
1,5α − 0,5 = 0,5 ⇒ 1,5α = 1 ⇒ α = 0,667
A continuación se muestra el gráfico de X Q con los valores especificados:
b) Para determinar la probabilidad de que X Q sea igual a -0,125, nos ubicamos en
la fdp y calculamos el área que abarca los valores de 0 → −0,5 en el eje x.
Para calcular la altura de la fdp, sabemos que el área total vale uno (1), entonces el
área de cada triángulo vale ½, y de la ecuación despejamos la altura
b⋅h
h 1
AT =
⇒ = ⇒ h =1
2
2 2
para calcular el valor de la fdp en x = -0,5 lo hacemos por la ecuación de la recta
y2 − y1
⇒ m = −1
x2 − x1
y = m⋅ x
x = −0,5 ⇒ y = 0,5
m=
Teniendo la base y la altura del triángulo podemos calcular el área rayada:
1 1
⋅
b⋅h 2 2 1
AT =
=
=
2
2
8
P ( X Q = −0,125) =
1
8