Tema 1 Apuntes - Universidad de Alcalá

DEPARTAMENTO DE TEORÍA
DE LA SEÑAL Y
COMUNICACIONES
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS
TEMA 1
Introducción. Definiciones básicas
ÍNDICE
1.-Introducción......................................................................................................................1
1.1.-Definición de filtro..................................................................................................................1
1.2.-Efectos del filtrado...................................................................................................................1
1.3.-Tipos de filtros. Pasivos y activos.........................................................................................3
2.-Filtros.................................................................................................................................5
2.1.-Caracterización de un filtro....................................................................................................5
2.1.1.-Función de transferencia. ...............................................................................................5
2.1.2.-Polos y ceros.....................................................................................................................6
2.1.3.-Respuesta en amplitud.....................................................................................................8
2.1.4.-Respuesta en fase..............................................................................................................8
2.1.5.-Retardo de grupo..............................................................................................................9
2.1.6.-Obtención aproximada de la respuesta en frecuencia. Polos y ceros......................9
2.1.7.-Distorsión........................................................................................................................11
2.2.-Tipos de filtros.......................................................................................................................13
2.2.1.-Especificaciones de amplitud.......................................................................................13
2.2.1.1.-Filtro paso bajo.....................................................................................................13
2.2.1.2.-Filtro paso alto......................................................................................................15
2.2.1.3.-Filtro paso banda..................................................................................................16
2.2.1.4.-Filtro banda eliminada o elimina-banda...........................................................17
2.2.2.-Especificaciones de fase o retardo. Filtros paso-todo.............................................19
3.-Escalado en frecuencia e impedancia.............................................................................21
3.1.-Escalado en frecuencia..........................................................................................................21
3.2.-Escalado en impedancia........................................................................................................24
3.3.-Escalado en impedancia y frecuencia.................................................................................25
4.-Transformaciones de frecuencia.....................................................................................26
4.1.-Transformación paso bajo-paso alto..................................................................................26
4.2.-Transformación paso bajo-paso banda..............................................................................30
4.2.1.-Propiedades o condiciones de diseño del circuito....................................................31
4.2.2.-Transformación de impedancias..................................................................................36
4.3.-Transformación paso bajo-banda eliminada.....................................................................37
4.3.1.-Propiedades o condiciones de diseño del circuito....................................................38
4.3.2.-Transformación de impedancias..................................................................................41
5.-Pasos en el proceso de diseño de filtros..........................................................................41
TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
1
1.- Introducción.
En el análisis de circuitos, se ha tratado de encontrar la respuesta de una red conocida, a
una determinada excitación. Una vez vistos los métodos de análisis de circuitos el siguiente
paso consistirá en el diseño de redes, conocidas determinadas características de su
comportamiento, siendo esta la finalidad del estudio de la síntesis de circuitos. Dada una
relación entre magnitudes de entrada y salida, lo que se pretende es obtener un modelo de
circuito o sistema tal que al aplicar una determinada señal a la entrada la salida sea la deseada,
siempre dentro de un margen de tolerancias establecido.
Los datos de partida serán, principalmente, la excitación y respuesta de la red. Estos datos
pueden venir definidos de diferentes formas, hablándose en cada caso de un tipo de síntesis. Si
la excitación y la respuesta vienen dadas en función de la frecuencia compleja generalizada se
hablará de síntesis en el dominio complejo o de Laplace y por último puede darse un
planteamiento gráfico (método muy frecuente cuando se trabaja con filtros), en función de la
pulsación (ω)y la atenuación (α) a distintas ω.
En esta asignatura nos centraremos en el diseño de unos circuitos muy importantes en varios
campos tanto de la electrónica como del procesado de señal y de las comunicaciones, conocidos
como filtros.
1.1.- Definición de filtro.
Un filtro es, en general, un dispositivo formado por componentes (resistencias, bobinas,
condensadores, dispositivos activos,...) interconectados entre si para producir unos cambios
específicos en la señal de entrada y obtener una señal de salida con las características deseadas.
Según sabemos, una señal x(t) periódica de periodo 2π/ω0 se puede representar por su
desarrollo en serie de Fourier como:
∞
∞
x  t =a 0  ∑  a k cos k  0 tbk sen k  0 t  =A0  ∑ Ak cos  k 0 t k 
k =1
k =1
donde ak, bk, Ak y φk serán reales. De la misma forma, si x(t) es una señal no periódica, se puede
expresar como (integral de Fourier):
x  t =
1
2
∞
∫ X   e j t d 
−∞
El filtrado se considera, en general, como un proceso de cambio del espectro de la señal de
entrada, es decir, una modificación de los valores Xk o de la función X(ω) para conseguir la
señal de salida deseada. Más concretamente se puede entender como filtrado la eliminación de
determinadas componentes frecuenciales de una señal (bandas atenuadas o eliminadas) dejando
pasar las demás (bandas de paso).
1.2.- Efectos del filtrado.
Para comprobar el efecto que produce un circuito de filtrado sobre una determinada señal
partamos de un circuito sencillo de ejemplo que podemos analizar fácilmente y que tiene
elementos cuya impedancia depende de la frecuencia. Dicho circuito se muestra en la figura 1.
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2
Figura 1: Circuito sencillo de filtrado.
Para mayor sencillez en el análisis supongamos que la tensión Vi está compuesta por un
generador sinusoidal de pulsación ω. Nuestro objetivo es obtener la tensión de salida Vo
conocida la tensión de entrada.
Del análisis de circuitos sabemos que la tensión de salida será:
Vi
V o=
1
j C
R
1
1
=V i
j C
1 j  R C
de donde podemos obtener su módulo y su fase:
∣V o∣=∣V i∣
1
1 R C 
2
V = V −arctg  R C 
o
i
En estas expresiones se puede comprobar que la tensión de salida del circuito dependerá de
la pulsación del generador utilizado y que si esta es pequeña dicha tensión será próxima a la del
generador y si es grande será mucho más pequeña que la del generador.
Veamos el efecto producido en el caso de que la tensión Vi sea la suma de varios
generadores de frecuencias distintas de la forma:
∞
V i =a 0 ∑ a k cos   k t 
k=1
Al ser el circuito un sistema lineal se podrá aplicar superposición para el análisis del mismo,
obteniendo la salida para cada una de las tensiones y sumando los efectos al final. En el análisis
para cada generador por separado se obtendrá primero la tensión Vo correspondiente a cada
pulsación en el dominio fasorial y, posteriormente, se obtendrá la respuesta en el tiempo.
En la ecuación siguiente se hace un esquema del proceso en el que los a k representan los
valores correspondientes a las amplitudes de cada generador.
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3
∞
V i =a 0 ∑ a k cos  k t 
k =1
a0
a0

a1

a1
1
1 jR 1 C

a2

a2
1
1 jR2 C

1
1 jR0C
a1

a0
1  R 1 C 
a2
2
cos   1 t−arctg  R 1 C  
 1  R  C 
2
cos  2 t −arctg  R 2 C  

2
⋯
ak
∞
V o=a 0∑
k=1

1 R k C 
2
cos   k t−arctg  R  k C  
Es importante ver que la tensión de salida final será la suma de las correspondientes a cada
pulsación. Se puede comprobar que el efecto del filtro es modificar la amplitud y la fase de cada
uno de los generadores. Si la pulsación de generador es grande la amplitud resultante es
pequeña y el efecto de dicho generador no se apreciará a la salida. Eligiendo convenientemente
el circuito se podría tener una amplitud casi nula para ciertas pulsaciones y casi la unidad para
otras, ese es el fundamento del filtrado.
Si generalizamos lo visto en el ejemplo anterior llegamos a la conclusión de que si tenemos
señales formadas por la suma de varias componentes de pulsaciones distintas y usamos dicha
señal como entrada a un circuito de filtrado, a la salida tendremos algunas frecuencias
“eliminadas” y otras que “pasarán”.
Si a la relación de tensiones entre la entrada y la salida la llamamos H(ω). En el ejemplo del
circuito de la figura 1 esta función será simplemente:
H =
Vo
1
=
V i 1 j  RC
Y si tenemos una tensión de entrada:
∞
v e t =V 0 ∑ V k cos   k t k 
k =1
entonces la salida será:
∞
v s t=V 0 H 0∑ V k ∣H k ∣cos   k t k  H  k  
k =1
El objetivo del diseño de filtros será, por tanto, el obtener un circuito que tenga la H(ω)
deseada.
1.3.- Tipos de filtros. Pasivos y activos.
El diseño de filtros ha evolucionado de gran manera desde sus comienzos. Los primeros
filtros que se realizaron fueron los filtros RLC (pasivos). El excesivo coste y tamaño de las
bobinas (en bajas frecuencias) hizo que se tratara de sustituir dichos elementos por otros
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(dispositivos activos) dando lugar a los filtros activos, realizados en un principio por
resistencias, condensadores y transistores, que más tarde fueron sustituidos por amplificadores
operacionales.
En la actualidad se realizan, además, filtros de condensadores conmutados y filtros digitales
que se implementan en circuitos integrados y que presentan muy buenas características.
Según se ve, se ha evolucionado por tanto hacia los filtros activos. Estos, además de las
ventajas, con respecto a los pasivos RLC, de reducción de tamaño y peso, tienen otras como:
•
La realización de circuitos aumenta ya que todos los pasos de fabricación pueden ser
automatizados.
•
El coste de los filtros activos, cuando se realizan grandes cantidades, es mucho menor
que el de los pasivos.
•
Se pueden mejorar las características porque se pueden realizar con componentes de
gran calidad.
•
Los efectos parásitos se reducen debido al menor tamaño.
•
Los filtros activos analógicos y la circuitería digital se puede integrar en el mismo chip.
Además de estas ventajas de realización física, existen otras con relación a la teoría:
•
El diseño y sintetización suele ser más sencillo en los filtros activos.
•
Existen más circuitos disponibles para la realización de filtros activos que para filtros
pasivos.
•
Los filtros activos pueden proporcionar ganancias, los pasivos proporcionan pérdidas o
atenuaciones nulas.
No todo son ventajas, también existen una serie de desventajas de los filtros activos respecto
a los pasivos, como son:
•
Los dispositivos activos tienen un ancho de banda limitado, lo que hace que se usen
sólo hasta aplicaciones de audiofrecuencia.
•
La sensibilidad de los filtros pasivos es menor que la de los activos.
•
Los filtros activos necesitan alimentación exterior, mientras que los pasivos no.
•
La amplitud de la señal con la que pueden trabajar los filtros activos es a menudo
pequeña, menor, en general, que la de los pasivos debido a la limitación del margen
dinámico introducido por la alimentación.
En general, las ventajas de los filtros activos superan las desventajas, sin embargo los pasivos
siguen siendo ampliamente utilizados en determinadas aplicaciones (radiofrecuencia).
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2.- Filtros.
Se entiende, en sentido amplio, por filtrado cualquier operación de tratamiento o
manipulación realizada sobre una señal. En un sentido más estricto se entiende por filtrado a la
operación de seleccionar unas determinadas componentes de una señal, dependiendo de su
frecuencia, en detrimento de otras.
Un filtro es aquel dispositivo físico capaz de llevar a cabo este tipo de operaciones. En un
filtro se distinguen dos tipos de bandas de trabajo:
a) Banda de paso. Comprende el margen de frecuencias en la cual la atenuación que sufre
la señal es mínima, no pudiendo superar un determinado valor ( MAX ) denominado:
atenuación máxima de la banda de paso.
b) Banda eliminada o de atenuación. Comprende el margen de frecuencias en el cual el
circuito impide el paso de la señal. La señal debe sufrir una atenuación igual o superior
a lo que se denomina como atenuación mínima de la banda eliminada ( MIN ).
Mediante el filtrado se consigue extraer de una señal su parte útil y eliminar todo lo que se ha
añadido a la señal o que no nos es útil (ruidos, señalizaciones, pilotos, etc.).
2.1.- Caracterización de un filtro.
Un filtro es en esencia un dispositivo lineal capaz de modificar el contenido frecuencial
X  de la señal de entrada al mismo, x(t), obteniendo a su salida una señal de respuesta y(t)
cuya transformada es Y  . Existen diferentes formas matemáticas de caracterizar un filtro,
algunas de ellas se verán en los puntos siguientes.
2.1.1.- Función de transferencia.
Se define la función de red F(s) como la transformada de Laplace de la relación entre la
respuesta de un circuito y la excitación de ésta, con condiciones iniciales nulas. La función de
red puede tener dimensiones de: impedancia, admitancia o ser adimensional dependiendo de las
variables utilizadas.
Cuando las variables implicadas pertenece una a la puerta de entrada X(s) y la otra a la puerta
de salida Y(s), la función de red se denomina función de transferencia H(s).
m
Y  s a m s ⋯a 1 sa 0 N  s
H  s=
=
=
X  s bn s n⋯b1 sb 0 D  s
La función de transferencia se expresará como el cociente de dos polinomios en s y para que
sea realizable prácticamente debe cumplirse que el grado del numerador (m) debe ser menor
o igual que el grado del denominador (n). Además, todos los coeficientes de los polinomios
deben ser reales, nunca imaginarios.
Cuando las dos variables X(s) e Y(s) tienen dimensiones de tensión, se conoce como función
de transferencia en tensión, es decir H  s=V out  s/V in  s . Esta expresión se utiliza
generalmente en el diseño de filtros. Sin embargo en otras situaciones se utiliza la función de
transferencia en corriente, impedancias de transferencia o admitancias de transferencia.
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2.1.2.- Polos y ceros.
El comportamiento y las características de la función de transferencia dependen de cómo son
los polinomios del numerador y del denominador y, concretamente, de sus raíces. Para ver el
significado de estas raíces y su influencia partiremos del siguiente ejemplo.
Dado el siguiente circuito, en el cual las condiciones iniciales se consideran no nulas, se
conecta el generador en t=0 sg.
t
dit  1
e t =R it L
 ∫ i t dt
dt
C −∞
2
de  t 
d i t 
di t 
1
=L
+R
+
i t 
dt
dt
dt
C
i t  = i H  t  + i P  t 
Se obtiene iH(t):


LD 2 RD
−R± R2 −
D1,2 =
2L
4L
C

D1 t
 I2 e
2
 
R
1
R
±j
−
2L
LC
2L
=−
i H  t = I 1 e

1
=0
C
D2 t
donde:
– I1 e I2 dependerán de las condiciones iniciales.
– La solución de la homogénea no depende para nada del valor de e(t), en consecuencia
iH(t) representará el comportamiento propio del circuito.
– Las raíces de la ecuación característica D1 y D2, dependen únicamente de los elementos
del circuito, por lo tanto, son valores propios de la red.
– Re(D1)≤ 0 y Re(D2)≤ 0 para que la corriente no aumente indefinidamente y el circuito
sea estable.
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Si se hace el estudio del mismo circuito sin condiciones iniciales se obtiene el siguiente
resultado analizándolo en el dominio de Laplace:

E  s = R Ls
Resp I  s
=
=
Excit V  s
1
R Ls
1
Cs
=

1
I  s
Cs
s
L
Cs
=
CL s CRs1 s2  R s 1
L
LC
2
Cociente de dos polinomios en s con coeficientes reales positivos. Obteniendo las raíces del
polinomio del denominador:
s1,2=
−R
±
L
 
2
R
4
−
L
LC
R
=−
±
2
2L

2

R
1
R
−
=−
±j
2L
LC
2L

2
 
1
R
−
LC 2 L
s
I  s
L
=
V  s  s−s1  s−s 2 
Se observa que los valores de s1 y s2 coinciden con los valores de D1 y D2 respectivamente
del estudio con condiciones no nulas del circuito siendo, por tanto, los valores que aparecen en
las exponenciales.
Las raíces de los polinomios del numerador y del denominador tienen una gran importancia
para definir el comportamiento del circuito. A partir de esas raíces se definen los siguientes
valores:
● Los CEROS de la función son valores de s que hacen que la función sea cero, es decir,
si F(sz) = 0 en sz se tendrá un cero de la función. Coinciden con las raíces del polinomio
del numerador.
● Los POLOS son valores de s que hacen que la función tienda a infinito. Si F(sp) = ∞, sp
es un polo de la función. Coinciden con las raíces del polinomio del denominador.
A través de los polos y los ceros se podrá llegar a la relación Resp/Excit, ya que estos definen
la función en todo menos en una constante K.
 s−s z  s−s z ⋯ s−s z 
Resp
=k
Excit.
 s− s p  s−s p ⋯ s−s p 
1
1
2
2
m
n
El número de ceros debe ser igual al número de polos aunque algunos de ellos pueden estar
situados en el infinito.
En el plano complejo los polos se representan mediante una "x" y los ceros se representan
mediante un "0".
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Im
Re
Para que la respuesta del sistema no tienda a infinito se ha visto que Re[s] ≤ 0 por ello los
polos de la función deben estar situados en el semiplano izquierdo del plano s. Además los
polos y ceros de una función de red serán reales o aparecerán como pares complejos
conjugados. La respuesta libre (sin excitación) de un sistema vendrá regido por los polos de la
función de red, por tanto para que el sistema sea estable no podrá tener polos en el semiplano
derecho y todos los polos que se encuentren sobre el eje jω deben ser simples. Esto implica que
en el polinomio del denominador todos los coeficientes deben ser positivos. Además, el
número de polos en el diagrama nos dirá el orden de la función de transferencia del filtro.
A partir del diagrama de polos y ceros se puede obtener una forma aproximada de la
respuesta en frecuencia del circuito, teniendo en cuenta que en las proximidades de los polos la
función tendrá un máximo y en las de los ceros un mínimo. Esto se ampliará en el apartado
2.1.6.
2.1.3.- Respuesta en amplitud.
Una de las formas más comunes de especificar un filtro es mediante su respuesta en
amplitud. Esta respuesta en amplitud es la que fijará las bandas de paso y atenuada y las
atenuaciones de ambas bandas. Normalmente se especifica esta respuesta en amplitud y, a
partir de ella, se obtiene la función de transferencia. La respuesta en amplitud no es más que
el módulo de la particularización de la función de transferencia en el eje jω.
∣H  ∣=∣ H  s∣s= j 
A =∣ H ∣ ⇒
∣Y ∣=A∣X ∣
A partir de ella se define la función de atenuación del filtro como:
 =20 log
[
1
1
 dB =10 log
2
A 
∣H ∣
]
2.1.4.- Respuesta en fase.
La respuesta en fase se corresponde con la fase de la función de transferencia particularizada
en el eje jω. Esta fase se sumará a la de la entrada para dar la de la salida.
=arg  H  s∣s= j   ⇒
argY =arg X  
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En cierto tipo de filtros (filtros paso-todo) no se especifica la respuesta en amplitud sino la
respuesta en fase y, a partir de ella, se obtiene la función de transferencia total. Esta es, por
tanto, otra manera de especificar un filtro.
2.1.5.- Retardo de grupo.
La fase Φ(ω), en radianes o en grados, puede ser especificada directamente o también
mediante la función denominada retardo de grupo, que se define como:
 =−
d 
d
El retardo de grupo τ(ω) expresa el retardo experimentado por el entorno de una componente
de pulsación ω del espectro de la señal de entrada. La función de retardo de grupo es utilizada a
menudo como especificación para el diseño de un filtro, especialmente cuando es importante el
comportamiento en el dominio del tiempo, como en los sistemas de transmisión de datos.
2.1.6.- Obtención aproximada de la respuesta en frecuencia. Polos y ceros.
La respuesta en frecuencia del filtro (tanto en amplitud como en fase) será lo que determine
el tipo del mismo y sus características. A partir del diagrama de polos y ceros se puede
obtener de manera aproximada dicha respuesta. Para ver como se haría partiremos primero de
la expresión de la función de transferencia donde aparecen explícitamente los ceros y los
polos:
 s−s z  s−s z ⋯ s−s z 
 s−s p s−s p ⋯s−s p 
H  s=k
1
2
m
1
2
n
si particularizamos dicha función en s= j  obtendremos la respuesta en frecuencia según la
siguiente expresión:
H  j =k
 j −s z  j −s z ⋯ j −s z 
1
2
m
 j −s p  j −s p ⋯ j −s p 
1
2
n
De aquí podemos extraer la respuesta en amplitud obteniendo el módulo de la respuesta en
frecuencia. En la respuesta en amplitud se puede apreciar que cuando el valor de ω es
“cercano” a un polo el valor del módulo aumentará produciéndose un máximo mientras que
cuando sea “cercano” a un cero disminuirá para dar un mínimo.
∣ j −s z ∣∣ j −s z ∣⋯∣ j −s z ∣
∣ j −s p ∣∣ j −s p ∣⋯∣ j −s p ∣
∣H  j ∣=∣k ∣
1
1
m
1
2
n
La respuesta en fase aparece en la siguiente expresión:
m
n
 H =arg k ∑ arg j −s z −∑ arg j −s p 
k =1
k
k=1
k
donde se puede comprobar que la fase de los ceros respecto al eje jω se suma y la de los polos
se resta.
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Ejemplos:
Figura 2: Tres ejemplos de obtención aproximada de la respuesta en amplitud partiendo
del diagrama de polos y ceros.
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2.1.7.- Distorsión.
Cuando una señal atraviesa cualquier sistema, en nuestro caso cuando es filtrada mediante
un determinado circuito, puede aparecer una modificación en la forma de la misma que se
conoce como distorsión. Un sistema no distorsiona cuando la salida es una réplica de la señal
de entrada. Entendiendo por réplica que puede haber un retardo y/o una amplificación o
atenuación. Es decir que si llamamos x(t) a la entrada e y(t) a la salida, esta deberá ser:
y t =K⋅x t−
Si la señal de entrada está formada por la suma de varias componentes frecuenciales, para
que no haya distorsión todas ellas deben sufrir la misma atenuación o amplificación y el
mismo retardo. En el caso de los filtros, que es el caso que nos interesa, esto último sólo se
aplicará a la banda de paso pues las frecuencias que estén en la banda atenuada serán
eliminadas.
Suponemos una señal de entrada como suma de varias componentes frecuenciales:
m
x t =∑ cosn t 
n =1
Si queremos ver el efecto que se produce sobre la misma al atravesar un sistema con una
función de respuesta en frecuencia H  j  , deberemos aplicar la linealidad del sistema y
obtener la salida según la siguiente expresión:
m
y t=∑ ∣H  j  n∣cos  n t− H  n 
n=1
Para evitar la distorsión, ∣H  j ∣ debe ser constante para todas las pulsaciones. Si no lo
fuera hablaríamos de distorsión de amplitud.
La fase también influye en la distorsión puesto que produce un retardo en cada una de las
componentes. El retardo que sufre cada componente en el ejemplo anterior es:
n =
 H  n 
n

cos n t− n 
Si queremos que no haya distorsión, n debe ser constante para todos los valores de n. Por
tanto, la fase debe ser una función lineal con ω de la forma:
 H = 
siendo  el retardo que sufren las componentes y, por tanto, la señal en su conjunto. Si ese
retardo no fuera constante, hablaríamos de distorsión de fase.
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Componentes que forman la señal
Señal suma de las tres componentes
Componentes retardadas por igual
Señal total retardada
Componentes retardadas de distinta forma
Señal total distorsionada
En las imágenes anteriores se puede ver un ejemplo en el que las componentes pasan sin
distorsión y con distorsión de fase al sufrir distintos retardos.
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2.2.- Tipos de filtros.
Podemos realizar diferentes clasificaciones de los filtros en función de la respuesta en
amplitud que presenten. Cada tipo se especificará a partir de unas especificaciones de diseño
que consideremos como punto de partida. Así si las especificaciones son de ganancia o
atenuación podemos clasificarlos en: Paso bajo, paso alto, paso banda, banda eliminada o
eliminabanda.
Si las especificaciones de partida se refieren a la variación de la fase o retardo, sin
variaciones de amplitud, los filtros se denominan redes paso todo o ecualizadores de fase.
2.2.1.- Especificaciones de amplitud.
Cuando las especificaciones de partida para el diseño del filtro son de amplitud o atenuación
se pueden caracterizar en función de las componentes de frecuencia de la señal de entrada que
no se eliminan al pasar por él.
Se define "ωp" a la pulsación de corte de la banda de paso y "ωa" a la pulsación de corte de la
banda eliminada o atenuada.
Con respecto a esta caracterización hecha para los filtros, se distinguen los siguientes tipos
básicos de filtros en función de se respuesta en amplitud:
a) Filtro paso bajo.
b) Filtro paso alto.
c) Filtro paso banda.
d) Filtro elimina banda.
2.2.1.1.- Filtro paso bajo.
Idealmente se define un filtro paso bajo como un filtro que deja pasar las pulsaciones o
frecuencias por debajo de una dada. Su plantilla de atenuación es la mostrada en la figura, en la
cual la atenuación que sufre la señal al pasar por la banda de paso [0 , ωp] es nula y la
atenuación de la banda eliminada es infinita.
En un filtro paso bajo real se cumple que la atenuación de la banda de paso [ 0, ωp ], no es
superior a una atenuación máxima ( max ) y la atenuación de la banda eliminada [ ωa, ∞), no es
inferior a un valor de atenuación mínimo ( min ), además ωa > ωp.
La plantilla de atenuación en este tipo de filtros es la siguiente:
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
14
Figura 3: Plantilla de atenuación de un filtro paso bajo
Dependiendo del valor de "ωa-ωp" se tendrá un filtro más o menos selectivo en frecuencias,
así, cuanto más pequeño sea este valor más selectivo en frecuencias será el filtro. A la
atenuación máxima de la banda de paso otras veces se le llama sólo atenuación en la banda de
paso (  p ) y a la atenuación mínima de la banda atenuada sólo atenuación en la banda atenuada
( a ).
∣H  j ∣
max o rizado
A0
A1
min
A2
p
a

Figura 4: Plantilla de amplitud de un filtro paso bajo
Al igual que se definen especificaciones de atenuación se pueden definir también su
equivalente en amplitud sin más que tener en cuenta la relación existente entre ambas:
=10 log

1
2
∣H  j ∣

Observando los valores de la figura 4 se pueden encontrar directamente los valores análogos
de atenuación según las siguientes expresiones:
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15
 
 
 p=max =20 log
A0
A1
a = min =20 log
A0
A2
Lo normal, cobre todo en filtrado pasivo, es que el valor de A0 sea la unidad, indicando que
no hay ningún tipo de ganancia. Si hubiera ganancia (A0 > 1), la plantilla de atenuación podría
presentar valores negativos.
2.2.1.2.- Filtro paso alto.
Un filtro paso alto ideal se ajusta a una plantilla tal como muestra la figura. En la plantilla se
observa como la atenuación de la banda de paso, [ωp, +∞), es nula, mientras que la atenuación
de la banda eliminada [0 , ωa] tiende a infinito.
Para el caso de un filtro paso alto . real, se cumple que la atenuación que sufre la señal en la
banda eliminada [0 , ωa] es superior a min y la atenuación de la banda de paso, [ωp,+∞), va a
ser inferior a max . Se cumple que ωp>ωa. Al igual que ocurre en los filtros paso bajo cuanto
menor sea la diferencia entre ωp y ωa más selectivo en frecuencias será el filtro.
Figura 5: Plantilla de atenuación de un filtro paso alto
Las especificaciones para el diseño de este tipo de filtros son las mismas que hemos indicado
para los filtros paso bajo. En la figura 6 se muestra la respuesta de amplitud de este tipo de
filtros así como sus especificaciones.
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16
∣H  j ∣
max o rizado
A0
A1
min
A2
a
p

Figura 6: Plantilla de amplitud de un filtro paso alto
En teoría la banda de paso de un filtro paso alto se extiende hasta la pulsación ω = ∞, pero en
la práctica la banda de paso está limitada en los filtros activos debido al ancho de banda finito
de los dispositivos activos y a las capacidades parásitas. Como resultado, en un filtro paso alto
la ganancia decrece a partir de cierta frecuencia tal como se muestra en la figura anterior.
2.2.1.3.- Filtro paso banda.
El filtro ideal que responde a estas características es el mostrado en la siguiente figura, en el
cual la banda eliminada está dividida en dos tramos {[0,ω-a] y [ω+a,∞)} con una atenuación
infinita y una banda de paso [ω-p,ω+p] con una atenuación nula.
El filtro real responde a una plantilla como la mostrada en la siguiente figura, distinguiéndose
dos bandas eliminadas {[0,ω-a] y [ω+a,∞)} con una atenuación superior a min y una banda de
paso [ω-p,ω+p] con una atenuación inferior a max . También se cumple que
ω−a ω− p ω p ωa .
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
17
Figura 7: Plantilla de atenuación de un filtro paso banda
En general los filtros paso banda no serán simétricos y la atenuación en las bandas atenuadas
superior e inferior serán diferentes, esto es minH ≠minL , sin embargo, normalmente las
especificaciones de este tipo de filtros sólo tienen un valor para la atenuación mínima de la
banda atenuada. De la misma manera las bandas de transición superior e inferior no tienen por
que ser iguales (en general, ωa / ω p ≠ω− p /ω−a ). A continuación se representa la
característica y especificaciones de amplitud de un filtro paso banda donde se ha supuesto una
misma atenuación en las dos partes de la banda atenuada.
∣H  j ∣
max o rizado
A0
A1
min
A2
−a − p
 p
a

Figura 8: Plantilla de amplitud de un filtro paso banda
2.2.1.4.- Filtro banda eliminada o elimina-banda.
La plantilla ideal a la que responde un filtro elimina-banda es la mostrada en la figura, donde
se observa que hay un margen de frecuencias comprendido entre ω-a y ω+a, en la que la señal
queda totalmente atenuada, pasando el resto de la misma.
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
18
La plantilla real sería la mostrada en la siguiente figura. Aunque las atenuaciones en cada
banda de paso podrían ser distintas, lo normal es que ambas sean iguales y así se han
representado en la figura 9.
Figura 9: Plantilla de atenuación de un filtro banda eliminada
∣H  j ∣
max o rizado
A0
A1
min
A2
− p
−a
a
 p
Figura 10: Plantilla de amplitud de un filtro Banda eliminada
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
TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
19
Las especificaciones de amplitud un filtro eliminabanda, como se muestra en la figura 10,
son similares a las de un filtro paso banda debiendo fijarse cuatro pulsaciones para definir las
bandas de paso y eliminada. Al igual que ocurre en los filtros paso alto, la banda de paso
superior está limitada en frecuencia al ancho de banda de los dispositivos activos y las
capacidades parásitas. Por esta razón a partir de cierta frecuencia la amplitud decrece.
2.2.2.- Especificaciones de fase o retardo. Filtros paso-todo.
Puede demostrarse que en una función de transferencia la amplitud y la fase no son
independientes; es decir, una vez que ha sido especificada la amplitud, obtendremos una fase
resultante prefijada que puede no ser la deseada para la aplicación además de provocar
distorsión. Esto afecta de forma mínima en aplicaciones de voz o audiofrecuencia porque el
oído humano es muy insensible a los cambios de fase o retardo con la frecuencia. Sin
embargo, en aplicaciones de transmisión de digital o vídeo los cambios de fase introducidos
por un filtro pueden causar distorsiones intolerables en la forma de la señal digital o de vídeo
en el dominio del tiempo. Por ello, a veces, es necesario definir filtros en los que lo
importante sea la respuesta en fase y no la amplitud y que permitan corregir la distorsión. Es
lo que se conoce con filtros paso-todo.
En una función paso todo HAP(s) las raíces del numerador NAP(s), situadas en el semiplano
derecho, y las raíces del denominador DAP(s), situadas semiplano izquierdo, son simétricas
respecto del eje jω.
En consecuencia deberá cumplirse que:
N AP  s=±D AP −s 
siendo el signo + para el caso de que el grado del polinomio sea par y el signo menos si es
impar.
Por tanto una función paso todo tiene la forma:
H AP  s =±
D AP −s
D AP  s
cumpliéndose que ∣H AP  j =1∣ para todo ω, es decir, todas las señales
independientemente de la frecuencia no sufren variación de amplitud. Por tanto podemos
j   j 
expresar la función paso todo como H AP  j =±e
, donde:
AP
 AP  j =−2 arctg
D I 
D R 
siendo D R =Re [ D AP  j  ] y D I =Im [ D AP  j  ] . Se puede observar que una red
paso todo puede producir una variación de fase dada por la ecuación anterior o
equivalentemente producir un retardo  AP =−d  AP / d  sin ningún efecto sobre la
transmisión de amplitud.
Esta característica de las redes paso todo en general nos permite encontrar una eficiente
función de transferencia H(s), apropiada para las especificaciones de amplitud, e implementar
el filtro correspondiente. Si el resultado del retardo o fase es insatisfactorio, se puede
simplemente encontrar una función paso todo adecuada HAP(s) que al multiplicarla por H(s)
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
20
haga que la fase total ΦT o el retardo total τT sea el deseado. Las dos redes se conectan en
cascada, sumándose la fase o retardo de ambas.
T =AP 
T = AP 
La conexión en cascada de redes paso todo, naturalmente, solo incrementan la fase o
retardo de H(s); esto normalmente no es un problema, porque para transmisiones sin
distorsión, sólo la linealidad de ΦT, es decir, la constancia del retardo total τT, en el rango de
frecuencias de interés es importante, no su tamaño. Dependiendo de si se trabaja con la fase o
con el retardo, la red paso todo se conoce como ecualizador de fase o ecualizador de retardo;
esto indica por tanto que cuando la compensación de retardo τAP(ω) se suma al retardo no
aceptable τ(ω) del filtro o de otra parte del sistema de transmisión, la suma de ambos es
aproximadamente constante (τT(ω) ≈ constante) en el rango de frecuencias de interés.
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21
3.- Escalado en frecuencia e impedancia.
Cuando queremos montar un determinado circuito, debemos adaptar los valores del mismo a
los componentes de los que disponemos (siempre que sea posible). Además, una vez diseñado
un determinado filtro (los componentes han sido calculados), a veces, queremos cambiar sus
pulsaciones de corte para hacerlas más grandes o más pequeñas.
Para realizar estas operaciones sin necesidad de tener que recalcular todos los componentes
tenemos lo que se conoce como escalado o normalización.
Mediante la normalización va a ser posible diseñar filtros estándar, que al desnormalizar nos
permitan obtener los filtros deseados. Además, a la hora de la síntesis de circuitos pueden
aparecer valores de componentes poco manejables (grandes, con muchos decimales, etc.) que se
van a poder evitar con la normalización.
La normalización o escalado se va a realizar respecto a dos magnitudes: frecuencia e
impedancia.
3.1.- Escalado en frecuencia.
Veamos un ejemplo de cómo se usa la normalización sobre un circuito como el de la figura:
Figura 11: Circuito paso bajo con un condensador
Se quiere utilizar este circuito para obtener una función de transferencia paso bajo con una
respuesta en amplitud como la de la figura 12. Se sabe que esa respuesta en amplitud se obtiene
con la siguiente función de transferencia:
Ecuación 1Ecuación 1Ecuación 1Ecuación 1Ecuación 1 H  s=
1
s1
(1)
El primer paso para la síntesis del circuito sería obtener la función de transferencia del
mismo para compararla con la que se quiere obtener y, de ahí, calcular los valores de los
componentes. El análisis del circuito en Laplace nos da la función :
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22
1
Vo
RC
H  s= =
Vi
1
s
RC
Si comparamos ambas funciones llegamos a la siguiente ecuación:
1
=1 ; RC=1
RC
de donde podemos obtener los valores de los componentes fijando el valor de uno de ellos. Si
fijamos el valor de R = 1 Ω, obtenemos el valor del condensador C = 1 F.
∣H  j ∣
1
1
 2
 c =1

Figura 12: Respuesta en amplitud de un filtro paso bajo a sintetizar
Con los valores obtenidos el circuito tendría el comportamiento en amplitud de la figura 12.
Pero, supongamos que se produce un cambio en las especificaciones y necesitamos un filtro con
una respuesta en amplitud similar a la de la figura 12 pero con una pulsación ωc = 10 rad/s. Eso
supone que se debe multiplicar el eje de frecuencias por 10. ¿Cómo influye ese cambio en los
valores de los componentes?.
Para ver como influye llamemos ω' a la pulsación multiplicada y ω a la original y
observemos que:
'=10 
y, por tanto,
s '=10 s 
s=
s'
10
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
H  s=
1
s1
23

H  s ' =
1
s'
1
10
=
10
s ' 10
y la impedancia del condensador cambiaría según:
1
Cs

1
1
1
=
=
s'
C
C ' s'
C
s'
10 10
C'=
C
10
Podemos observar, por tanto, que el valor del condensador se dividiría por 10 para obtener la
nueva respuesta en amplitud. Por supuesto, la resistencia permanecería inalterada puesto que no
depende de la frecuencia. Por todo esto, si utilizamos una resistencia R = 1 Ω y un condensador
de valor C = 1/10 F, obtendríamos una función con ω c = 10 rad/s. Llegamos a la conclusión de
que multiplicar el eje de frecuencias por una constante (en este caso 10) hace que los
condensadores previamente calculados se dividan por esa misma constante.
¿Qué ocurriría con las bobinas en un caso similar?. Para ver el efecto tomemos el circuito de
la figura 13 y volvamos a sintetizar la función de la ecuación 1.
Figura 13: Circuito paso bajo con una bobina
Su análisis nos da una función de transferencia:
H  s=
Vo
=
Vi
R
L
s
R
L
que comparada con la que queremos sintetizar da la ecuación siguiente:
R
=1
L

R= L
De ahí si fijamos el valor de la resistencia a R = 1 Ω se obtiene L = 1 H.
Una vez más, si quisiéramos obtener una función con la pulsación multiplicada por 10
veríamos que el efecto producido en la impedancia de la bobina sería:
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
Ls

24
L
s' L
= s'
10 10

L '=
L
10
Observamos que, al igual que con el condensador, el nuevo valor estará dividido por 10
respecto al calculado originalmente. Llegamos a la conclusión de que multiplicar el eje de
frecuencias por una constante (en este caso 10) hace que las bobinas previamente calculadas se
dividan por esa misma constante.
El resultado obtenido nos demuestra que una vez obtenidos los componentes de un filtro, si
queremos variar sus características en frecuencia mediante un escalado (multiplicación por una
constante) no hace falta replantear las ecuaciones de síntesis sino, simplemente recalcular los
componentes según estas ecuaciones:
s  sk
R  R
C
C 
k
L
L 
k
donde a kω se le llama constante de normalización en frecuencia.
3.2.- Escalado en impedancia.
También se puede dar el caso de que una vez obtenidos los valores de los componentes del
circuito a diseñar haya que cambiar algunos de ellos porque no se tengan en ese momento o
porque haya que utilizar obligatoriamente unos dados.
En el ejemplo del circuito de la figura 11 se fijó el valor de la resistencia a R =1 Ω y
después se obtuvo el del condensador siendo C = 1 F. Si queremos, por ejemplo, que la
resistencia sea de R = 1000 Ω, habría que recalcular el condensador obteniéndose un valor de
C = 1 mF, ya que se debe cumplir que:
RC =1
; C=
1
R
En este caso el recalcular los componentes no supone mucho trabajo, pero en el caso de un
circuito complejo con muchos componentes si que supondría un mayor trabajo. Sin embargo,
hemos podido comprobar que si multiplicamos la R original por 1000 el condensador se
divide por esa misma cantidad.
En el circuito de la figura 13 la ecuación que se satisfacía era:
R
=1
L
;
R=L
Si fijábamos R = 1 Ω, entones L = 1 H. En el caso de fijar R = 1000 Ω, entonces L = 1000
H. Vemos que el valor de la bobina se multiplica por la misma constante que multiplica
a la resistencia.
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
25
Las conclusiones a las que se han llegado demuestran que multiplicar algunas impedancias
por una constante altera el valor de las restantes impedancias si queremos que el circuito siga
comportándose de la misma manera.
Si se define a k z como constante de normalización en amplitud se obtienen las siguientes
relaciones:
R ---------- R' =R k z
L ---------- L '= L k z
C ---------- C ' =
C
kz
En la normalización en amplitud la impedancia se modifica en la misma proporción para
cualquier valor de ω y, por tanto, si la función de transferencia es adimensional no se produce
cambio en la misma.
3.3.- Escalado en impedancia y frecuencia.
Aplicando los dos escalados a la vez se obtendrán unos componentes normalizados de valor:
Rn =
k L
R
; Ln = 
; C n = C k k z
kz
kz
;
sn =
s
k
Una de las funciones de la normalización es la de conseguir valores numéricos mas
manejables, por lo tanto los estudios se harán sobre circuitos normalizados y una vez obtenidos
los valores se procederá a la operación inversa, la desnormalización, con el fin de obtener los
valores reales de los elementos. Los valores normalizados, con subíndice n, serán valores
pequeños y manejables que nos permitirán realizar los cálculos más cómodamente y además
diseñar filtros prototipo fácilmente reconvertibles en otros con valores reales.
La ecuaciones para la desnormalización se incluyen a continuación:
R=Rn k z ; L=
Ln k z
C
; C= n ; s=s n k 
k
k kz
Consecuencias:
•
Cuando se realice un diseño, se hará con valores normalizados, desnormalizando una
vez finalizados los cálculos.
•
La función de transferencia normalizada es la misma a la función de transferencia sin
normalizar.
H n  sn = H  s 
Esto es cierto si trabajamos con las variables normalizadas, tal y como se hace en la
expresión anterior, es decir H n  sn = H  s  sí será cierto, pero no H n  s =H  s  .
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
26
4.- Transformaciones de frecuencia.
La teoría de la síntesis de filtros va encaminada, principalmente, a la realización de filtros
paso bajo, que generalmente son los más sencillos de obtener y aproximar. A partir del diseño
obtenido para un filtro paso bajo y mediante una serie de transformaciones en frecuencia se
obtendrá cualquier otro tipo de filtro. En los siguientes puntos se presentan dichas
transformaciones.
4.1.- Transformación paso bajo-paso alto.
Se parte de un filtro paso bajo cuya función de transferencia es H(s).
El primer paso a seguir es elegir una frecuencia arbitraria  0 , que va a ser condición de
diseño, y a continuación realizar la transformación :
 20
20
=
ó s=
s

Donde  es la variable compleja del filtro a obtener.
Mediante esta transformación el eje jω del plano "s" se va a transformar en el eje jω' del plano  .
Analizando diferentes puntos del eje jω se observa su transformación al eje jω'.
j =
ω
0
0−
∞
-∞
 20
⇒ ' =−
j '
ωp
 20

ωa
−ω p
−ωa
2
APLICANDO LA TRANSFORMACIÓN λ=ω 0 /s
ω’
-∞
∞
0−
0
−ω ' p =−ω20 /ω p
∣ a∣ ∣ p∣
⇒
−ω ' a =−ω20 /ω a
2
ω ' p =ω 0 /ω p
∣ p '∣ ∣a '∣
Por tanto la pulsación de corte de la banda de paso de un filtro paso bajo [  p ] se transforma
en la pulsación de corte de la banda de paso del filtro paso alto [  p ' ] así como la pulsación de
corte de la banda eliminada del filtro paso bajo [  a ] que se transforma en la pulsación de corte
de la banda eliminada del filtro paso alto [  a ' ].
Así mismo se puede ver en la siguiente figura como la banda de paso del filtro paso bajo se
transforma en la banda de paso del filtro paso alto y como la banda eliminada del filtro paso
bajo se transforma en la banda eliminada del filtro paso alto.
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2
ω ' a =ω 0 /ω a
TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
− ωa
27
− ωp
− ω 'p
ωp
− ω 'a
ωa
ω'
ω 'p
ω 'a
En toda transformación de filtros, debido a la transformación en el dominio de las
frecuencias, todos los elementos dependientes de las mismas sufrirán una serie de cambios:
 
2
o
H  s  H
s
Ri
sLi
1
Ci s
Li


 20

=

1
C' 
Ri

1

'
=
= L
2
2
0
C i 0
Ci
C' =

1
L i 02
'
L =
1
C i 02

Las resistencias y los transformadores del filtro paso bajo seguirán como tales al realizar la
transformación, sin embargo las bobinas se transformarán en condensadores y los
condensadores en bobinas, tomando los valores obtenidos anteriormente.
En resumen, para obtener el diseño de un filtro paso alto, se empieza por diseñar un filtro
paso bajo y una vez obtenido el circuito, mediante la transformación correspondiente se obtiene
el filtro paso alto en cuestión.
En el diseño de filtros activos RC, al aplicar esta transformación el filtro se convertiría en un
filtro activo RL paso alto. Para conseguir restituir el filtro paso alto RC tendremos en cuenta
que si se multiplican en una red lineal todas sus impedancias por un mismo factor α, la función
de transferencia no varía (sólo en el caso de funciones de transferencia adimensionales que sean
relaciones de tensiones o de corrientes). Haciendo α = 1/s conseguimos que bobinas se
transformen en resistencias y resistencias en condensadores, es decir, dado un filtro activo paso
bajo compuesto por resistencias Ri, condensadores Ci y amplificadores de tensión puede
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
28
transformarse en un filtro paso alto reemplazando cada resistencia Ri del filtro paso bajo por un
condensador y cada condensador Ci por una resistencia. Las expresiones finales de la
transformación serían:
Ri
1
Cis

'

Ri
s

1
C i 20

1
' 1
'
'
L s =R ; R =
s
C i 20
Ri

'
L s ; L=
C' =
1
Ri
Ejemplo 1:
Encontrar la plantilla de un filtro paso bajo normalizado cuya transformación produzca la
plantilla paso alto de la figura.
ω'a ω'p
ω'
 'a = 105 rad/s ;  'p = 1,1⋅105 rad/s
Solución:
Para diseñar el filtro paso alto se hará a partir de un filtro paso bajo. Teniendo en cuenta que
vamos a realizar el diseño con plantillas normalizadas a la pulsación  pn =1 , para aplicar la
transformación s=1/ debemos normalizar las frecuencias del filtro paso alto con respecto a
' p =1,1⋅ 105 rad / s obteniendo por tanto:
 ' pn=1 rad/s ;  ' an= ' a / ' p =10 5 /1,1 105 =0, 909 rad/s
Aplicando por tanto la transformación se obtiene:
 p =1 rad/s ;  a =1 /' an=1,1 rad/s
2
Otra forma de plantear el problema es aplicando la expresión: . s=0 / .
Como deseamos que  p =1 , entonces aplicando la expresión anterior obtenemos ω0.
 20 = p ' p =1,1⋅10 5  rad/s 2 ⇒  a = 20 /' a =1,1 rad/s
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29
Ejemplo 2:
Diseñar la plantilla del filtro paso bajo normalizado a partir del cual se diseñará un filtro paso
alto con las siguientes características:
- Atenuación de 3 dB a 200Hz.
- Atenuación de 30 dB (como mínimo) a 50 Hz
Solución:
La plantilla del filtro paso alto será:
f a' f p'
Normalizando respecto a la frecuencia de corte de la banda de paso se obtiene la plantilla
paso alto normalizada:
fa
50
=
=0, 25 Hz
f n 200
f
200
f ' pn = p =
=1 Hz
f n 200
f ' an=
Aplicando la transformación paso bajo paso alto obtenemos para las pulsaciones de corte:
1
1
=
=4 Hz
f ' an 0, 25
1
1
f pn=
= =1 Hz
f ' pn 1
f an=
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
30
4.2.- Transformación paso bajo-paso banda.
La transformación que se utiliza para pasar un filtro paso bajo a uno paso banda es la
siguiente:
s=
 2 20
B
Mediante esta transformación el eje jω se transforma en el eje jω'.
' 2−20
=
B '
' 2−B ' − 20=0 ; ' =
B
±
2

2

B
2
0
2
Analizando las pulsaciones mas significativas del filtro paso bajo se ve su transformación en
las pulsaciones del filtro paso banda:
=0
 ' =±0
=∞ 
=−∞ 
= p 
=− p 
= a 
{
{
{
{
{
' =0−
' =∞
' =0
 ' =−∞






B p
'  p =

2
B p
−' − p =
−
2
2

2

B p
02
2
B p
−'  p =−
−
2
B a
−' −a =
−
2

B p
02
2
B p
 ' − p =−

2
B a
' a =

2
2
B p
 20
2
2

B p
 20
2
2

B a
 20
2
2

B a
 20
2
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
=− a 
31
{
B a
' −a =−

2


B a
−a =−
−
2
'
− ωa − ωp
− ω' + a − ω' + p − ω' − p − ω' − a
ωp
2


B a
20
2
2
B a
 20
2
ωa
ωa
ω' − a ω' − p ω' + p ω' + a
ω'
4.2.1.- Propiedades o condiciones de diseño del circuito.
1ª.- Para todo par de pulsaciones o frecuencias transformadas se cumple:
' x ' −x =20
Concretamente, para las pulsaciones de corte del filtro se cumplirá:
' +p ' -p =  20
' +a ' -a =  20
Por lo que fijando tres de las cuatro pulsaciones se determinará la cuarta de ellas que cumpla
esta condición.
2ª.- Para todo par de pulsaciones transformadas se cumple:
' x −' −x = B  x
Para las pulsaciones de corte del filtro se cumplirá:
' +p - ' -p = B  p
 ' +a -  ' -a = B a
Teniendo en cuenta que para el diseño de filtros paso bajo se utilizan plantillas normalizadas
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
32
(ωp = 1) consideraremos como condición de diseño:
 20='  p ' − p
B= '  p− ' − p
Ejemplo 1:
Obtener el filtro que responda a la siguiente plantilla de atenuación, partiendo de una
especificación paso-bajo:
ω' −a ω' −p ω' +p ω' +a
 ' +p =1,2 Krad/s ; ' -p =0,6 Krad/s
' +a =1,6 Krad/s ; ' -a=0,2 Krad/s
Solución:
Teniendo en cuenta las condiciones de diseño indicadas, es decir:
 02='  p ' − p =1,2⋅ 0,6=0, 72  krad /s 
B= '  p − ' − p =1,2−0,6=0,6 ⋅10
 p =1 rad/s
2
3
Una vez calculada ω0 debemos hacer cumplir la condición de diseño para el par de
frecuencias de corte de la banda atenuada, obteniendo dos posibles soluciones:
{
1 .− ' +a =1,6 krad / s ⇒ ''−a =
' +a ' -a =  20 ⇒
 20
' a
2 .− ' -a =0,2 krad /s ⇒ ''a =
=
 20
 ' −a
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0, 72
=0, 45 krad /s
1,6
=
0, 72
=3,6 krad /s
0,2
TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
33
La solución válida es la primera ya que cumple las condiciones del enunciado cosa que la
segunda no. Por tanto:
ω' +a −ω '' -a 1,6−0, 45
ω ' +a =1,6 krad / s
⇒ ωa =
=
=1,916 rad/s
B
0,6
ω ''−a =0, 45 krad / s
}
Otra forma de resolver el problema puede ser la siguiente:
ω 20 =ω' p ω'− p=1,2⋅0,6=0, 72  krad /s 
2
B=ω '  p − ω ' − p =1,2−0,6=0,6⋅10 3
ω p =1 rad/s
El siguiente paso es obtener el valor de ωa a partir de cada una de las dos pulsaciones de corte
de la banda atenuada mediante aplicación de la expresión de la transformación:
2
a1 =−
 ' −a  −20
B ' −a
=−
2
a2 =
  'a  −20
B ' a
=
0,22 −0,72
=5, 66 rad/s
0,6⋅0,2
1,62 −0, 72
=1, 916 rad/s
0,6⋅1,6
de las dos soluciones obtenidas elegiremos la más restrictiva:
obteniéndose la misma solución anterior.
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
34
Ejemplo 2:
Obtener la plantilla del filtro paso bajo a partir de la cual se diseñará el filtro paso banda que
tiene las siguientes características.
1.- Filtro paso banda de frecuencia central 100 Hz.
2.- Atenuación de 3 dB en ± 15 Hz de la frecuencia central.
3.- Atenuación de 40 dB en ± 30 Hz de la frecuencia central.
Solución 1:
f 20 = f '  p f ' − p =85⋅ 115=9775  Hz 
2
B= f '  p − f ' − p =115−85=30
f p =1 Hz
El siguiente paso es obtener el valor de fa a partir de cada una de las dos frecuencias de corte
de la banda atenuada mediante aplicación de la expresión de la transformación:
2
f
1 
a =−
f
2 
a =
 f '−a  − f 02 =−702 −9775 =2,32
Bf ' −a
30⋅70
Hz
2
 f ' a  − f 20 =130 2 −9775 =1,8269
Bf ' a
30⋅130
Hz
de las dos soluciones obtenidas elegiremos la más restrictiva:
f
Solución 2:
Se obtienen primero las frecuencias simétricas de cada una de las pulsaciones de corte de la
banda atenuada:
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
f ' +a f ' -a = f 20 ⇒
35
{
f 20 9775
1.− f'+a =130 Hz ⇒ f ''−a =
=
=75 , 2 Hz
f ' a 130
f 20 9775
2 .− f'-a =70 Hz ⇒ f ''a =
=
=139 , 64 Hz
f ' −a 70
La solución válida es la segunda ya que cumple las condiciones del enunciado cosa que la
segunda no. Por tanto:
}
f
f ' a =130 Hz
⇒ f a=
f ' −a =75,2 Hz
'
a
−f
B
'
−a
=
130−75,25
=1,83 Hz
30
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
36
4.2.2.- Transformación de impedancias.
H  s  = f  Ri , sLi , sC i , ni . .. .. . .. .. H

2 + 20
B

-----------------------Ri . .. . .. .. . . R i
sL i = L i
1
=
Ci s

2 + 02
B

Li
Li  20 1
1
=
+
= L'  +
B
B 
C' 
1
1
1
1
=
=
=
2
Ci
1
Ci 
C
1
2 +  20
C ' 
+
+ i 0
Ci
L' 
B
B
B
B
B

2
C i 0


Al realizar la transformación paso bajo-paso banda las resistencias y los transformadores
no sufren variación sin embargo las bobinas se convierten en una bobina en serie con un condensador, y los condensadores se convierten en una bobina en paralelo con un condensador,
tomando los valores indicados anteriormente.
Li
’
’
L
C
’
Ci
L
’
C
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37
4.3.- Transformación paso bajo-banda eliminada
Se aplica la siguiente transformación:
s=
B
  20
2
Realizando un estudio análogo al de los dos casos anteriores se obtiene:
s= j 
=
' B
20 −' 2
= j '

⇒  20 −' 2 =' B
' =−
B
±
2

=0 
=0− 
' 2
⇒
B
' −02=0

2

B
20
2
{
{
 ' =0
 '=−∞
' =0−
' =∞
=∞  ' =±0
=−∞  '=±0
= p 
{
B
' − p =−

2p
{


2
B
−
2p
B
20
2p
B
'  p =

2p
B
20
2 p
−'  p =−
=− p 




2
B
 20
2p
B
−' − p =
−
2p
2


2
B
20
2p
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
= a 
38
{
B
 ' −a =−

2 a
−' a =−
{
=− a 
− ωa
− ω' +p
' a =




B
−
2 a
B

2 a
ωp
− ω' − p
− ω' +a − ω' −a

2

B
02
2 a
2

B
 20
2 a
B
−' −a =
−
2 a
− ωp
2
B
 20
2 a
ω' −p
2

B
02
2 a
ωa
ω' −a
ω' +a
ω' +p
4.3.1.- Propiedades o condiciones de diseño del circuito.
1ª.- Para todo par de pulsaciones o frecuencias transformadas se cumple:
2
' +x  ' -x = 0
Para las pulsaciones de corte del filtro:
' +p ' -p = 20
' +a ' -a =  20
Fijando tres de las cuatro pulsaciones se determinará la cuarta de ellas que cumpla esta
condición.
2ª.- Para todo par de pulsaciones transformadas se cumple:
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
39
' +x - ' -x =
B
x
En el caso de las pulsaciones de corte del filtro:
'
'
'
'
B
ωp
B
=
ωa
ω +p - ω -p =
ω +a - ω -a
Teniendo en cuenta que para el diseño de filtros paso bajo se utilizan plantillas normalizadas
(ωp = 1) consideraremos como condición de diseño:
2
 0 ='  p  ' − p
B= '  p− ' − p
Ejemplo 1:
Diseñar la plantilla del filtro paso bajo normalizado a partir de la cual se diseñará un filtro
banda eliminada con las siguientes especificaciones:
- Frecuencia central de 1000 Hz.
- Atenuación de 3 dB para ± 300 Hz alrededor de la frecuencia central.
- Atenuación de 40 dB para ± 200 Hz alrededor de la frecuencia central.
Solución:
La plantilla del filtro banda eliminada de partida será:
f ' −p
f ' −a
f ' +a
f ' +p
2
Calculamos las constantes de la transformación, empezando por  0 y teniendo en cuenta
que al tratarse de un filtro banda eliminada no queremos modificar dicha banda eliminada:
2
'
'
2
 0 =a −a =2 800⋅2 1200=2  960⋅10
3
(rad/s)
2
La constante B no se puede calcular todavía por que no conocemos  a . Sin embargo,
sabemos que las pulsaciones de la banda de paso deben cumplir con la condición de diseño, si
no las cumplen habrá que modificarlas para ello.
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
40
Obtenemos las frecuencias simétricas de las pulsaciones de corte de la banda de paso:
' +p ' -p = 20 ⇒
{
1 .-  ' -p=2 700 rad/s ⇒  '' p =
20
' − p
=
2 2 960 10 3
=2  1371 , 4 rad/s
2 700
 20
2 2 960 103
2 .-  ' +p =2 1300 rad/s ⇒ ''− p =
=
=2 738 , 4 rad/s
'p
2 1300
La condición más restrictiva es la segunda: '' -p=2 738 , 4 rad/s ; ' +p =2 1300 rad/s y
por tanto el valor de B será:
 p =1 rad/s ; B= p '  p − ''− p =21300−738 , 4=2  561,5 (rad/s)2
Ahora se puede obtener el valor de  a :
 a=
B
2 561,5
=
=1,404 rad/s
' a−' −a 2 1200−800 

40
3
1
1,404
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
TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
41
4.3.2.- Transformación de impedancias.

H  s  = f  Ri , sL i , sC i , ni . . .. . . .. . . H
B
 + 02
2

-----------------------Ri . . .. . . .. . . Ri
s Li = L i
1
=
Ci s


Li
B
1
1
=
=
=
2
2
2
 + 0
0
 0 1 C '  1


+
+
L'
B
Li B
B Li 
B
2


 20
 20 1
1
1 

1
=
+
=
+
= L' 
Ci B
Ci B
B Ci 
B
C '
 B
Ci 2
2
 + 0


Al igual que ocurre en los casos anteriores las resistencias y transformadores no sufren ninguna variación con respecto al circuito del filtro paso bajo. Las bobinas se transforman en el
paralelo de una bobina y un condensador y el condensador en un circuito serie de una bobina
y un condensador con los valores obtenidos de las relaciones anteriores.
L
Li
’
’
C
Ci
L
’
’
C
5.- Pasos en el proceso de diseño de filtros.
A la hora de la realización completa de un filtro hay que seguir, normalmente, una serie de
pasos establecidos partiendo de unas especificaciones iniciales hasta la obtención de un
circuito final. La figura 14 muestra los dos posibles caminos a seguir.
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
42
Figura 14: Pasos en la realización de un filtro.
Se empieza por la definición de una plantilla en la que se establezcan las pulsaciones de
corte de la banda de paso y atenuada, así como, las atenuaciones máxima de la banda de paso
y mínima de la banda atenuada. Después deberemos buscar una función de transferencia que
las cumpla. Como los métodos para encontrar funciones aproximadas únicamente permiten
obtener filtro paso bajo, deberemos transformar aquellas plantillas que pertenezcan a filtros
paso alto, paso banda y banda eliminada a una paso bajo normalizada en frecuencia. A partir
de esa plantilla, podremos obtener, mediante las distintas funciones de aproximación, una
función de transferencia paso bajo normalizada que cumpla con la plantilla.
Partiendo de esa función normalizada paso bajo tenemos dos opciones. Por un lado
podemos obtener un circuito normalizado paso bajo mediante técnicas de síntesis, para
después deshacer las transformaciones y las normalizaciones sobre los componentes del
mismo (Transformación-desnormalización de resistencias, bobinas y condensadores). O bien,
podemos desnormalizar y transformar la función de transferencia paso bajo normalizada para
obtener la función de transferencia que cumpla con la plantilla inicial y después obtener el
circuito mediante métodos de síntesis.
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TEMA 1: Introducción. Definiciones básicas.
43
Los dos caminos llevarán a un resultado similar, sin embargo, es preferible trabajar con
funciones normalizadas siempre que se pueda y transformar y desnormalizar los componentes
al final. En el caso de filtros activos y cuando estamos realizando filtros paso banda o banda
eliminada no podremos realizar el filtro transformando los componentes al final porque
aparecerían bobinas y estos componentes no pueden formar parte de un filtro activo.
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